(完整word版)双曲线讲义
双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。
| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。
双曲线专题讲义
双曲线专题讲义一、知识梳理1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)． 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )题组二：教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5B ．5 C. 2 D ．23．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．题组三：易错自纠4．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.536．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为_______． 三、典型例题题型一：双曲线的定义及标准方程命题点1：利用定义求轨迹方程典例 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．命题点2：利用待定系数法求双曲线方程典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．命题点3：利用定义解决焦点三角形问题典例 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.引申探究：1．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？2．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？思维升华：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 跟踪训练 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_________．(2)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 题型二：双曲线的几何性质典例 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 (2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是______．思维升华：双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2. 跟踪训练 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3 D ．2 题型三：直线与双曲线的综合问题典例已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是______．思维升华：(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．跟踪训练 已知双曲线x 22－y 23＝1上存在两点P ，Q 关于直线y ＝x ＋b 对称，且PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，则实数b 的值为( )A ．0或－10B ．0或－2C ．－2D ．－10注意：直线与圆锥曲线的交点典例 若直线y ＝kx ＋2与曲线x ＝y 2＋6交于不同的两点，那么k 的取值范围是( ) 四、反馈练习1．双曲线x 2a 2－y 24a 2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.623．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 5．已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( )A.233B.2 C ．2 D.2636．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc 3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132 D.1337．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 8．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.10．设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________．11．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．12．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．13．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1--------→的值为( ) A ．3B ．2C ．－3D ．－214．已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C．2 2 D．2315．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△P AF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝3，则E的离心率是() A．2 3 B.5C. 3D.216．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．。
双曲线讲义(学生版)
双曲线专题讲义1.2.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 3．点P (x 0，y 0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的关系(1)双曲线内(含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2>1；(2)双曲线上⇔x 20a 2－y 20b 2＝1；(3)双曲线外(不含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2<1.求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c 2＝a 2＋b 2转化为关于a ，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k ＝±ba ＝±c 2－a 2a ＝±c 2a2－1＝±e 2－1. 双曲线定义1. 已知P 是双曲线1366422=-y x 上一点,F 1,F 2是双曲线的两个焦点,若|PF 1|＝17,则|PF 2|的值为________．2. 已知点F 1(0,－13)、F 2(0,13),动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26,则动点P 的轨迹方程为( ) A .y ＝0 B .y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C .x ＝0(|y |≥13) D .以上都不对3. 若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________． 参考答案：1. 33 2. C 3. 18 双曲线方程的认识1. (2013·福建)双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1C .653D ．－653 2. 若方程15222=---ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52<<kB ．5>kC ．2<k 或5>kD ．以上答案均不对3. 方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．4. 已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线,则m 的值等于（ ） A ．－30 B ．10 C ．－6或10 D ．－30或3A ．2322-=-y xB ．()12322±¹-=-x y xC ． 2322=-y x面积是9,则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．73. 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为__________．参考答案：1.A 2.B 3. 2 3 双曲线性质离心率1. 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点.若在双曲线上存在点P .使21PF PF ^,且°=Ð3021F PF ,则双曲线的离心率为___________.2. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( )A . 6B . 3C .2D .333. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F D 的最小内角为30°，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．26C ．23D ．34. 如图,1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF D 为等边三角形,则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．332 D ．3 5. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uuu r uuu r,则双曲线的离心率是 （ ）A B C D 6. 双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e Î,则k 的取值范围是（ ）A . (10,0)-B . (12,0)-C . (3,0)-.D . (60,12)-- 参考答案：1. 13+ 2-6 BDBCB渐近线1. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±2. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3. 已知0a b ＞＞,椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +,双曲线2C 的方程为22221y x a b -=,1C 与2C 的离心率之积为2,则2C 的渐近线方程为（ ）. 0A x ±= .0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±=4. 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ,满足||||212F F PF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A ．043=±y xB ．034=±y xC ．053=±y xD ．045=±y x5. 1F 、2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ,)0>b 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于点A 、B ,若2ABF D 为等边三角形,则该双曲线的渐近线的斜率为( )（A ）33±（B ）2± （C ）15± （D ）6± 参考答案： ACBBD直线与双曲线位置关系 1. 若直线2y kx =+与双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ,直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长.【答案】（1）16322=-y x ；（2）5316.2. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点2F 的直线l交双曲线于A 、B 两点,1F 为左焦点．(1) 求双曲线的方程；(2) 若AB F 1D 的面积等于62,求直线l 的方程．【答案】(1) 1322=-y x ；(2) )2(-±=x y .3. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ,点P 在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与双曲线交于不同的两点E 、F ,若OEF D 的面积为,O 为坐标原点,求直线l 的方程.【答案】（1）222x y -=;（220y -+=20y +-=. 中点弦1. 直线l 经过11P （，）与双曲线1222=-y x 交于A B 、两点,且P 平分是线段AB ,那么直线l 的方程为（ ） A 、210x y --= B 、230x y +-= C 、210x y -+= D 、不存在2. 若双曲线的中心为原点,F (3,0)是双曲线的焦点,过F 的直线l 与双曲线相交于P ,Q 两点,且PQ 的中点为M (－12,－15),则双曲线的方程为( )A .16322=-y xB . 14522=-y xC 13622=-y xD . 15422=-y x3. 已知双曲线191622=-y x 及点)1,2(P ,是否存在过点P 的直线l ,使直线l 被双曲线截得的弦恰好被P 点平分？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由. 【答案】不存在.4. 已知直线l 交双曲线2212y x -=于A B 、不同两点,若点(1,2)M 是线段AB 的中点,求直线l 的方程及线段AB 的长度【答案】。
双曲线专题复习讲义自理
双曲线专题复习讲义★知识梳理★1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．242.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e为 ．c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3C.5D.29. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=2.已知双曲线的两个焦点为1(0)F 、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅= ，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．4C ．54D ．54..曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程。
(完整word版)双曲线知识点总结
双曲线知识点知识点一：双曲线的定义:在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）4.焦点三角形的面积2cot221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=±2aa ＞c ＞0， a 2－c 2=b 2（b ＞0）0＜a ＜c ， c 2－a 2=b 2（b ＞0），（a ＞b ＞0），（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）。
双曲线讲义
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双曲线复习讲义一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线第 2 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
二、 双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；注意：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a不一定大于b.直线与双曲线：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时， k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点；0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；三、双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2. 若双曲线方程为12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）第 3 页 共 8 页You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。
(word完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点,文档
左老师备战考高基础复习资料椭圆〔焦点在 x 轴〕〔焦点在 y 轴〕标准x 2y2y 2x2方程22 1(a b 0)1(a b 0)a b a 2b2第必然义：平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距离〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
M MF1MF22a 2a F1F2定义范围极点坐标对称轴对称中心焦点坐标离心率准线方程y yMF2MF1O F2x O xF1第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
yyM MF2MF1F2xF1xMx a y b x b y a(a,0)(0,b)(0, a)(b,0)x 轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为 2b原点O(0,0)F1 (c,0)F2 (c,0)F1 (0, c)F2 (0, c)焦点在长轴上， ca2b2；焦距： F1F22cec( 0 e 1), e2 c 2 a 2b2，a a 2ae 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。
xa2ya 2c c左老师备战考高基础复习资料准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：2a2 c极点到极点 A1〔 A2〕到准线 l 1〔 l 2〕的距离为a2ac准线的距离〕到准线 l2〔 l1〕的距离为a2极点 A1〔 A2ac焦点到焦点 F1〔 F2〕到准线l1〔l2〕的距离为a2cc准线的距离〕的距离为a2焦点 F1〔 F2〕到准线 l 2〔 l1cc椭圆上最大距离为： a c到焦点最小距离为： a c的最大相关应用题：远日距离 a c〔小〕距近期距离 a c离椭圆的x a cos 〔x b cos 〔参数方为参数〕为参数〕程y bsin y a sin椭圆上利用参数方程简略：椭圆x a cos0 的的点到y〔为参数〕上一点到直线 Ax By C b sin给定直|Aa cos Bb sin C|线的距离距离为： dA2B2椭圆 x 2y21与直线 y kx b 的地址关系：a 2b2直线和x2y21利用a2b2转变成一元二次方程用鉴识式确定。
双曲线性质的应用讲义
双曲线一：学生情况及其分析：浙江高二学生，新授课同步，水平中等。
二：教学目的：本节课的目的在于理解双曲线的定义及其基本性质 三：教学设计：1.基础知识回顾：双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
分析：对比椭圆的证明过程，得到双曲线的方程，在此过程中学会化解含根式的方程两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()acca x c x y =±±+22（可以让学生参照椭圆自己先思考 ） 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ；因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
(完整版)(完整word)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版),推荐文档
0 ， b 0 ），过其焦点 F ( ,0) 且垂 2c
2
A(c, b )
A 在 x 轴的上方） ，则
a
，
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2
B( c, b ) a ，于是该双曲线的通径长为
b2
b2
b2
AB
( )2
a
a
a
.
四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于双曲线的标准方程， 最基本的两个问题是： 其一， 当题目已指明曲线的位置特征，
高中数学讲义之解析几何
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圆锥曲线第 2 讲 双曲线
【知识要点】
一、双曲线的定义
1. 双曲线的第一定义：
平面内到两个定点 F1 、
F 的距离之差的绝对值等于定长
2
2a（ 0 2a
FF
1 2 ）的点的轨迹
叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注 1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作
a 、 b 的值。特别
需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在
x 轴或 y 轴上，则以 a 、 b 为未知参数的
方程组只有一个解， 即 a 、b 只有一个值； 若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上， 则以 a 、
b 为未知参数的方程组应有两个解，即 a 、 b 应有两个值。
（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为
2
b
（8）焦准距： c
；
e
（9）离心率：
c 且 e 1 . e 越小，双曲线的开口越小； a
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e 越大，双曲线的开口越大；
y
双曲线高二数学专题复习培优讲义
第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。
双曲线及抛物线(讲义)
双曲线及抛物线（讲义）知识点睛一、双曲线1. 双曲线的标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．12{|||||||2}P M MF MFa =-=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =±． ①类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得22222222()()c a x a y a c a --=-，两边同除以222()a c a -，得222221x y a c a-=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得22221(00)x y a b a b-=>>，． 双曲线的标准方程：22221(0 0)x y a b a b，-=>>．2.双曲线的几何性质R R对称轴二、抛物线1.抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2px =-．设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{|||}P M MF d==．因为||||2pMF d x ==+，所以||2px =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>．2. 抛物线的几何性质1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点在x轴上，经过点(，3；（3）焦点为(06)-，，(06)，，且经过点(25)-，．2.双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，与2222(0)x ya bλλ-=≠有相同的（）A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对3.已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的一条渐近线方程是y=，它的一个焦点在直线6x=-上，则双曲线的方程为（）A．22136108x y-=B．221927x y-=C．22110836x y-=D．221279x y-=4.若双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，，则其渐近线方程为（）A．2y x=±B．y=C．12y x=±D．y x=5. 已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点． 若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5 0)A ，在线段PQ 上， 则△PQF 的周长为__________．6. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若(1 4)A ，，则||||PF PA +的最小值是__________．7. 如图，1F ，2F 是椭圆221 +14x C y =：与双曲线2C 的公共焦点， 点A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ） ABC ．32D．28. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？9.点()M x y，到定点(5 0)F，的距离和它到定直线l：165x=的距离之比是常数54，求点M的轨迹方程．10.已知双曲线2212yx-=，过点(11)P，能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．11. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x 轴对称，并且经过点(5 4)M -，； （2）准线方程是4x =； （3）焦点是(0 8)F -，；（4）对称轴是x 轴，且顶点与焦点的距离等于6．12. 如图，M 是抛物线212y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角∠xFM =60°，则||FM =__________．13. 如图，已知直线1 4360l x y --=：和直线2 1l x =：，抛物线 24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A．5B ．2C ．115D ．314. 如图，斜率为1的直线l 经过抛物线为24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．15. 如图，过抛物线28y x =-的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，若||6AF =，求BF 的长．16. 如图，已知直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD⊥AB 交AB 于点D ，若点D 的坐标为(2 1)，，求p 的值．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】知识点睛一、x轴、y轴原点2a2b2cb y x a=±a y x b=±(1)+∞， 22a b +二、x 轴y 轴2px =-2p x =2p y =-2p y =精讲精练1．（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -=2．C 3．B 4．B 5．44 6．97．D8．点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，以r 为实轴长的双曲线9．点M 的轨迹方程是221169x y -=10．不存在满足条件的直线l11．（1）2165y x =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±12．1213．B14．815．||3BF =16．54p =。
双曲线讲义
双曲线讲义课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作 ,两焦点间的距离叫作 . 集合P={M|||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a>0,c>0. (1)当 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 时,P 点不存在. 2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0); (2)中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a2-x 2b 2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)图形性质范围 ,y ∈R,x ∈R对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点 A 1 ,A 2 A 1 ,A 2渐近线y=y=离心率e=ca ,e ∈a ,b ,c 的关系c 2= (c>a>0,c>b>0)实、虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|= ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|= ;a 叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x 2a 2-y 2b 2=λ(λ≠0). (2)双曲线上的点P(x 0,y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,则①x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在右支上,则r 1=ex 0+a,r 2=ex 0-a;若点P 在左支上,则r 1=-ex 0-a,r 2=-ex 0+a.②y 2a2-x 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在上支上,则r 1=ey 0+a,r 2=ey 0-a;若点P 在下支上,则r 1=-ey 0-a,r 2=-ey 0+a.题组一 常识题1.[教材改编] 若双曲线E :x 225-y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=4,则|PF 2|= .2.[教材改编] 已知双曲线经过点P (3,-2√7)和点Q (6√2,-7),则该双曲线的标准方程为 .3.[教材改编] 双曲线C :12x 2-3y 2=24的离心率是 ,渐近线方程是 . 题组二 常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F 1F 2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F 1(6,0),F 2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是 .6.平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是 .7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线的离心率为 .8.P 是双曲线x 216-y 281=1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且|PF 1|=9,则|PF 2|= . 探究点一 双曲线的定义及标准方程1 (1)F 1,F 2分别是双曲线C :x 29-y 27=1的左、右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且|PF 1|=8,则△PF 1F 2的周长为 ( )A.15B.16C.17D.18(2)已知双曲线C 的中点为原点O ,左焦点为F (-2√5,0),点A 为左支上一点,满足|OA |=|OF |且|AF |=4,则双曲线C 的方程为( )A.x 216-y 24=1 B.x 236-y 216=1 C.x 24-y 216=1D.x 216-y 236=1[总结反思] (1)应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;可在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用配方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.应用双曲线的定义时,若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲线的一支. (2)待定系数法求双曲线方程时,一要注意焦点位置的判断,二要注意c 2=a 2+b 2,a ,b ,c 的关系不要弄错.式题 (1)已知双曲线x 225-y 29=1上有一点M 到右焦点F 1的距离为18,则点M 到左焦点F 2的距离是 ( ) A.8 B.28 C.12D.8或28(2) 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点,∠F 1PF 2的角平分线为l ,点F 1关于l 的对称点为Q ,|F 2Q |=2,则双曲线的方程为 ( )A.x 22-y 2=1 B.x 2-y 22=1C.x 2-y 23=1D.x 23-y 2=1探究点二 双曲线的几何性质考向1 已知离心率求渐近线方程2 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√62,则其渐近线方程为( ) A.y=±√2x B.y=±√22x C.y=±12x D.y=±2x[总结反思] 已知离心率求渐近线方程,即由e=ca ⇒c 2=e 2·a 2=a 2+b 2⇒e 2=1+b 2a 2,得渐近线方程为y=±√e 2-1x.考向2 已知渐近线方程求离心率3 已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√52x ,则该双曲线的离心率等于( )A.3√1414B.3√24C.32 D.43[总结反思] 已知渐近线方程为y=±kx ,若焦点位置不明确,则要分k=ba 和k=ab 两种情况讨论.已知渐近线方程为y=±b a·x ,可由c 2=a 2+b 2得c 2a2=1+b 2a2,从而求得离心率e=√1+(b a)2.考向3 由离心率研究渐近线夹角问题4 已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),当其离心率e ∈[√2,2]时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为 ( )A.[0,π6] B.[π6,π3] C.[π4,π3] D.[π3,π2][总结反思] 由离心率可得出双曲线的渐近线方程,即得出渐近线的斜率,从而可解决与渐近线夹角有关的问题.考向4 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围5 已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ,若∠F 1MF 2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(2,+∞)B.(√2,+∞)C.(1,2)D.(1,√2)[总结反思] 解决此类问题可通过联立方程组求得直线与双曲线的渐近线的交点,把条件转化为一个关于b a的不等式,再利用a 2+b 2=c 2,转化为关于ca的不等式,即得离心率的取值范围.强化演练1.【考向1】若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A.y=±√2x B.y=±2x C.y=±12x D.y=±√22x2.【考向2】已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x ,则双曲线C 的离心率为( )A.√72B.53C.√73D.543.【考向2】已知双曲线C :x 2-y 2b 2=1(b>0) 的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线C 的离心率为( ) A.√2B.√3C.2D.2√24.【考向3】已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33,则双曲线的两条渐近线的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π25.【考向4】过双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,与双曲线的两条渐近线交于C ,D 两点,若|AB|≥35|CD|,则双曲线离心率的取值范围为 ( ) A.[53,+∞)B.[54,+∞)C.(1,53]D.(1,54]探究点三 直线与双曲线的位置关系6 已知双曲线C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上,离心率e=√52,虚轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程;(2)若直线l :y=kx+m 与曲线C 相交于A ,B 两点(A ,B 均异于左、右顶点),且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,求证:直线 l 过定点.[总结反思] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程与双曲线方程联立,消元得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线某支相交于一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.对于中点弦问题常用“点差法”,但需要检验.课时作业一、 填空题1． 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．3．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________．4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．6．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．9．双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．10．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．11．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．二、解答题12．已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐进线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．13．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．。
双曲线.参考教案.学生版 普通高中数学复习讲义Word版
【例3】 双曲线22149y x -=的渐近线方程是（ ）A ． 32y x =±B ． 23y x =±C ． 94y x =±D ． 49y x =±【例4】 动点P 与点1(05)F -，、2(05)F ，满足216PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+=C ．221(3)169x y y -+=≥ D．221(3)169x y y -+=-≤【例6】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x y =B ．y =C ．x y =D ．y =【例7】 到两定点1(30)F -，．2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线【例8】 若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件双曲线.参考教案【例9】 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是______．【例10】 双曲线C 的左、右焦点12F F ，与椭圆2214924x y +=的焦点相同，且离心率互为倒数，则双曲线C 的方程是______________；它的渐近线的方程是__________．【例11】 如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且30BAO ∠=︒，ABF S ∆=1(62-，则设双曲线方程是 ．【例12】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．⑴c =(52)-，，焦点在x 轴上．⑵与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点2)．【例13】 已知下列双曲线方程，求它们的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，以及焦距、实轴和虚轴长，并在同一坐标系中分别画出这两个双曲线的图象． ⑴223412x y -= ⑵224312y x -=【例14】 已知双曲线C ：22221x y a b-=(00)a b >>，C 的两个焦点为12F F ，，直线l 过2F ，且l 与线段12F F 的垂直平分线交点为P ，线段2PF与双曲线交点为Q ，12tan F F Q ∠，2:2:1PQ QF =，求双曲线的方程．【例15】 已知双曲线的中心在原点，过右焦点(20)F ，作斜率为的直线，交双曲线于M N ，两点，且||4MN =，求双曲线方程．【例16】 已知点()0A 和)0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，⑴求轨迹C 的方程；⑵求线段DE 的长．【例17】 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为37∶，求此椭圆、双曲线的方程．【例18】 设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=°且12||3||AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D【例19】 下 ）A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -=【例20】 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A．)2B．C ．()25，D．(2【例21】 设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=︒，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）ABC．1+ D．1+【例22】 已知双曲线22219x y a -=()0a >的中心在原点，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．45 BC ．54D【例23】 已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B．(1,C ．(1,2) D．(1,1【例28】 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60︒，则双曲线C 的离心率为_________．【例29】 以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形，则该双曲线的离心率为 ．【例30】 过双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ， B ．若120AOB ∠=︒（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．【例31】 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左，右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．三、双曲线的几何性质【例32】 设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ） A ．1或5 B ． 6 C ．7 D ．9【例33】 已知点P 在双曲线222x y a -=（0a >）的右支上（P 与2A 不重合），12A A ，分别为双曲线的左、右顶点，且21122A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠=（ ）A ．30︒B ．27.5︒C ．25︒D ．22.5︒【例34】 设12F F ，为双曲线22221(00)sin 2x y b b θθ-=<>π≤，的两个焦点，过1F 的直线交双曲线的同支于A B ，两点，如果||AB m =，则2AF B ∆的周长的最大值是（ ）． A ．4m - B ．4 C ．4m + D ．42m +2a双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为（7⎡则PA PF ⋅最小值为【例37】 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与左支交于A B ，两点，若5AB =且实轴长为8，则2ABF △的周长为 ．【例38】 若直线l 过点(30)，与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有________条．【例39】 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()14A ，，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．【例40】 P是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆1C ：22(5)4x y ++=和2C ：22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．【例42】 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB ∆的面积为______________．【例43】 舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹．设舰与动物均为静止的，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角应是多少？【例44】已知双曲线22214x ya-=(0)a>的离心率e，⑴求该双曲线的方程；⑵如图，点A的坐标为()0，B是圆22(1x y+=上的点，点M在双曲线右支上，求MA MB+的最小值，并求此时M点的坐标．。
高中数学基础讲义15双曲线-简单难度-讲义
双曲线知识讲解 一、双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．依定义，设P 是双曲线上一点，则有122PF PF a -=且22a c <2.双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -，，(0)c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； 二、双曲线的几何性质1.范围：x a ≥或x a -≤；如图．2.对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．3.顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．4.实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴．5.渐近线：直线b y x a=±；6.离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，1e >．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．典型例题一．选择题（共15小题）1．（2018•浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．2．（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±xC．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．3．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．2【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得=，即：，解得a=b，双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．故选：D．4．（2018•麻城市校级模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（）A．B．3C．2 D．1【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则e==3，即c=3a，设焦点为（c，0），渐近线方程为y=x，焦点到渐近线的距离为，则d==b=，又b2=c2﹣a2=2，解得a=，c=．则双曲线的焦距为3．故选：B．5．（2018•新课标Ⅲ）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，∵|PF1|=|OP|，∴|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即a=c，∴e==，故选：C．6．（2018•葫芦岛一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．D．C．【解答】解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．∵线段AB的长度恰等于焦距，∴，∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．7．（2018•临沂三模）已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．B．D．x2﹣y2=1C．【解答】解：双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，可得一条渐近线方程y=x，且一个焦点为（﹣2，0），即有=1，c=2，又c2=a2+b2，解得a=b=，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．8．（2018•海南三模）若双曲线（a＞0）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A．2 B．4C．18 D．36【解答】解：∵双曲线（a＞0）的一条渐近线与直线垂直，∴双曲线的渐近线方程为3y=±ax∴，得a=9，∴2a=18．故选：C．9．（2018•潍坊三模）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x﹣y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，直线2x﹣y+1=0的斜率为：2，由于一条渐近线与直线2x﹣y+1=0垂直，则﹣=，即有b=2a，c==a，则离心率为e==．故选：D．10．（2018•民乐县校级模拟）过双曲线﹣=1的右焦点F作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为8，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2xC．y=±x D．y=±2x【解答】解：由右焦点F（c，0），∴﹣﹣=1，∴y=±，∴|AB|=，∵△AOB的面积为8，∴××=8，解得m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：C．11．（2018•南平二模）已知双曲线（m＞0）的焦点在圆x2+y2=25上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=B．y=y=D．y=C．【解答】解：由x2+y2=25，取y=0，可得x=±5，∴双曲线（m＞0）的焦点坐标为（﹣5，0），（5，0）．由c2=25=a2+b2=16+m，得m=9．∴双曲线（m＞0）的实半轴长为4，虚半轴长为3．∴渐近线方程为y=．故选：C．12．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．4【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|==3．故选：B．13．（2017秋•黄陵县校级期末）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．双曲线C．双曲线左支D．双曲线右支【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|=4=2aa=2而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点c=2而在双曲线中c＞a所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选：A．14．（2017•肇庆三模）已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：连接ON，由题意可得ON=1，且N为MF1的中点∴MF2=2∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PM=PF1∴|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2＜F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线故选：B．15．（2017秋•梅河口市校级月考）已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P 满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线【解答】解：当a=3时，根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线，|PF1|＞|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支．当a=5时，方程y2=0，可知其轨迹与x轴重合，舍去在x轴负半轴上的一段，又因为|PF1|﹣|PF2|=2a，说明|PF1|＞|PF2|所以应该是起点为（5，0），与x轴重合向x轴正方向延伸的射线，故选：D．二．解答题（共4小题）16．求离心率为且经过点（3，1）的双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，即a=b设双曲线的方程为x2﹣y2=λ将点（3，1）代入得λ=8，∴双曲线的方程为x2﹣y2=8，故双曲线的标准方程为．17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8；（3）离心率e=，经过点M（﹣5，3）．【解答】解：（1）根据题意，要求双曲线的实轴长是10，虚轴长是8；即2a=10，2b=8，则有a=5，b=4，又由双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为：﹣=1；（2）根据题意，要求双曲线的实轴长是10，虚轴长是8；即2c=10，2b=8，则c=5，b=4，则a==3，又由双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为﹣=1；（3）根据题意，要求双曲线的离心率e=，即=，则有c=a，则b==a，该双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2﹣y2=t，又由双曲线经过点（﹣5，3），则有25﹣9=t，则t=16，则双曲线的标准方程为：﹣=1．18．已知﹣=﹣1，当k为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在x轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线．【解答】解：（1）方程表示双曲线，则（k﹣1）（|k|﹣3）＜0，可得k＜﹣3或1＜k＜3；（2）焦点在x轴上的双曲线，则，∴1＜k＜3；（3）焦点在y轴上的双曲线，则，∴k＜﹣3．19．（2012秋•睢宁县校级月考）已知动圆M与圆F：x2+（y﹣2）2=1外切，与圆N：x2+y2+4y﹣77=0内切，求动圆圆心M所在的曲线C的方程．【解答】解：∵圆F：x2+（y﹣2）2=1的圆心为（0，2），半径为1，圆N：x2+y2+4y﹣77=0内的圆心为（0，﹣2），半径为9．又动圆M与圆F：x2+（y﹣2）2=1外切，与圆N：x2+y2+4y﹣77=0内切，设动圆圆心为（x，y）．∴整理得25x2+21y2=525∴动圆圆心M所在的曲线C的方程为25x2+21y2=525．。
高中数学双曲线讲义
第八讲 圆锥曲线（双曲线）一．定义及标准方程平面内与两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。
符号表示：|)|2(2||||||2121F F a a MF MF <=-1.求双曲线的标准方程（1）.定义法：根据定义确定22,b a 的值，再根据焦点的位置写出标准方程。
（2）.待定系数法：1）已知a=b 可设λ=-22y x2 )已知渐近线λ=-=±22220ny m x n y m x 可设为3 ）已知过两点可设双曲线方程为122=-By Ax例1.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________. 例2 动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹是 ( )A 圆B 椭圆C 双曲线D 双曲线的一支例3.已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.例4.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.例5.已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，它的一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为_________________.例 6.设中心在原点的双曲线与椭圆1222=+y x 有公共焦点，且他们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为__________________________.二．简单几何性质：三．两类双曲线 1.等轴双曲线双曲线方程：222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率2=e2.共轭双曲线双曲线方程为：1122222222=-=-a x b y b y a x 与它们有共同的渐近线x ab y ±=，他们的离心率满足1112221=+e e3.关于双曲线的渐近线：（1）.已知双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 求渐近线，可令02222=-by a x 即x a b y b y a x ±==±或0（2）.与)0,(12222>=-b a b y a x 共渐近线的双曲线可设为)0(2222≠=-λλby a x【典例分析】例1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x例2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =1例3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.例4.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于（ ） A.1或5 B.6C.7D.9例5.（2003年上海）给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________________.例6.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.例7.（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
双曲线的简单几何性质教学讲义
双曲线的简单几何性质教学讲义自主预习探新知情景引入凉水塔的纵切而是双曲线•双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线, 因此，我们有必要探究英有怎样的特性.新知导学2.双曲线几何性质的进一步理解(1)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，即长轴两端点与短轴两端点•⑵双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆.(3)两个特殊的双曲线①等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.②共轨双曲线：实轴与虚轴互换的双曲线称为共轨双曲线，即牙一$=l(a>0, b>0)与讦一务= l(a>0, b>0)互为共轨双曲线.(4)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上.(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：①当双曲线焦点在x轴上时，a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2=B+，，所以以心b. c为三边长可构成宜角三角形，如图，其中RtAOJ 252称为双曲线的特征三角形.②当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似结论. (6) 双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近. 预习自测1.双曲线务一晋=1的顶点坐标是(A ) A. (±5,0) B. (±5,0)或(0, ±3) C. (±4,0)D. (±4,0)或(0, ±3)［解析］•••双曲线的顶点在x 轴上，又a 二5 , 选A .2 . (2019浙江卷，2)渐近线方程为牡尸0的双曲线的离心率是(C ) A.乎 B. 1 C.返D. 2［解析］由题意可得号二1,「. e 二 寸1十务二pl 十P 二匹故选C. 3 . (2020山东潍坊高二期末)双曲线方程为节一护=1,则渐近线方程为(A )B ・ y=±2xD ・ y=Y［解析］••双曲线方程为于-护二1 ,则渐近线方程为手-护二o ,即.V 二,故选A 4 •已知双曲线卡一£=l(a>0)的右焦点为(3.0),则该双曲线的离心率等于(B )C. 3 D ・ 4c 3［解析］由题意得+ 5 = 9 f :.a 2= 4 , :.a = 2J ・离心率e 二：二于5. (2020北京卷，12)已知双曲线C ： ~-y=l,则C的右焦点的坐标为( 3.0) : C 的焦 点到其渐近线的距离是」］_•［解析］双曲线C ：卜壬二1中，。
双曲线典型例题讲义
直线与双曲线一、知识梳理1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；⑵与两定点F i, F2的距离的差的绝对值等于常数; （3）常数小于|F I F2|.2.双曲线的标准方程和几何性质二、典型例题：例1 •双曲线y2—x2= 2的渐近线方程是（）A . y= ±x B. y=± 2x C. y=±. 3x D. y= ±2x3例2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3,0）, c/a等于；，则C的方程是（）^x 2 y 2 d C2 - 5 = 12 2例3•斜率为2的直线I 过双曲线 拿一汁1(a >0, b >0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双 曲线的c/a 的取值范围是 () A •(―汽 2)B • (1 , .3)C . (1 ,5) D • (.5,+^)例4•已知双曲线x 2— y5 = 1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a 等于(例5.双曲线mx 2+ y 2= 1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m = 例6.已知中心在原点的双曲线C ,过点P(2,3)且c/a 为2，则双曲线C 的标准方程为PF 1F 2的最小内角为30 °贝U C 的c/a 为 _________ •例&已知椭圆D : X+ £ = 1与圆M : x 2 + (y — 5)2= 9,双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线 50 25 恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程.、/ v 2例9.过双曲线3 — 6 =1的右焦点F 2,倾斜角为30。
的直线交双曲线于 A , B 两点，O 为坐标原点，F 1为左 焦占 八、、八\、♦(1)求|AB|; (2)求厶AOB 的面积.例10.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，c/a 为，2,且过点P(4, — 10).A. 3 ,'14 14D.3例7•设F 1, F 2是双曲线 P 是C 上一点.若|PF 11+ |PF 2|= 6玄，且厶C :=1(a >0, b >0)的两个焦点,（1）求双曲线方程；（2）若点M （3, m ）在双曲线上，求证： MF i MF 2= 0;⑶求厶F 1MF 2的面积.11、已知曲线C 的方程为（1） 若曲线C 为椭圆，则m 的取值范围为 ____________________ ；（2） ________________________________________________________ 若曲线C 为双曲线，贝U m 的取值范围为2 212、直线丨：y k x 2与双曲线C : -— 1交于A 、B 两点，若 AB 6. 2，求k 的取值范围。
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圆锥曲线第二讲 双曲线一 双曲线的定义平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支.例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线.例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形：（16=；（26=练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.二 双曲线的标准方程（1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22221(0,0)x y a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确（2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22221(0,0)y x a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确例1 若方程22123x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______.(3,2)(3,)-+∞U例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在y 轴上的双曲线.例3 方程221cos 2010sin 2010x y ︒︒-=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线.练习1 若方程2221523x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1三 双曲线的定义及其标准方程的应用例1 若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16例2 在ABC V 中，,,a b c 为其三边边长，点B ，C 的坐标分别为(1,0)B -，(1,0)C ，则满足1sin sin sin 2C B A -=的顶点A 的轨迹方程为______.224141()32x y x -=>例 3 已知(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于P ，则点P 的轨迹方程为________.221(1)8y x x -=>例4 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____.9练习1在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC V 的顶点(6,0),(6,0)A C -，若顶点B在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B -=______.56练习2若点P 是以(A B 为焦点，实轴长为2210x y +=的一个交点，则PB PA +的值为______.例3 已知2225:(2)4A x y ++=e ，221:(2)4B x y -+=e ，动圆P 与A e ，B e 都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为_____.221(0)3y x x -=>练习4 已知双曲线的方程2214y x -=，点A 的坐标为(0)，B 是圆2x +2(1y =上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为1四 双曲线的简单几何性质注：（1）标准方程中参数,,a b c ，其中c 最大，,a b 大小关系不确定.（2）我们把ce a=称为双曲线的离心率且1e >.22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a=±.（3）如果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.（求离心率的范围）（4）122PF PF c +≥,122PF PF c -<.（求离心率范围）（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率e =（6）共轭双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共轭双曲线.三 双曲线的定义练习（5.3）已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=，与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）D .A 实轴长相等 .B 虚轴长相等 .C 焦距相等 .D 离心率相等 四 双曲线标准方程的求解（先定位后定量）例1（调研）设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为4)，则此双曲线的标准方程是______.22145y x -=例2 （调研）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为________.22131********y x -= 练习1（简单）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为_______.221169x y -= 例2（5.3）已知双曲线:C 22221x y a b -=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为_______.221205x y -= 五 双曲的简单几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点，两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.例 1（简单）设双曲线22221x y a b-=，的虚轴长为2，焦距为近线的方程为_______.y x =例2（练透）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为_____.12y x =±.练习1（调研）设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，1234PF PF =，则12PF F V 的面积等于_____.24例2（简单）若直线1y kx =+与双曲线221916y x -=的一条渐近线垂直，则实数k=____.43±六 双曲线的离心率 离心率的取值问题例1（练透）12,F F 是双曲线:C 22221x y a b-=的左右焦点，过1F 的直线l 与C 的左右两支分别交于,A B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为例2（练透）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线，则双曲线的离心率为____.练习1（练透）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F V 的最小内角为30︒，则C 的离心率为练习2（练透） 设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.3练习3（练透）设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +=u u u r u u u u r u u u u rg ，O为坐标原点，且12PF =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为1离心率的范围问题双曲线的离心率范围问题主要考查两点：（1）利用三角形的三边关系得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.（2）若果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.通过余弦定理得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.例1 （调研）已知双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为_____.53. 例2（调研）已知(1,2),(1,2)A B -，动点P 满足AP BP ⊥u u u r u u u r ，若双曲线22221x y a b-=的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是____.12e <<练习1（5.3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是_____.(1,3]练习2（练透）点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率取值范围是_______.4(1,]3练习3（练透）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE V 是锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为______.(1,2) 七 双曲线的综合问题例1 （练透）设双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为____.11。