线性代数与空间解析几何 精品课件-6
线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
6线性代数与空间解析几何
微积分学（上）微积分学（上）本讲要点用定积分求满足一定条件的和式极限.若()f x 在][b a ,上可积，则将][b a ,n 等分，且取i ξ为小区间的右端点，n a b i n a b a f x f x x f n i n i n i i ba -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∆=∑∑⎰=→∞=→110lim )(lim d )(ξλ.反之，如果n 项和的数列极限能化为上式右边的形式，则可用定积分求便有该极限.例1例1解 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n n n I n 12111lim . 因为n n i n n n n n I n i n n 111lim 111211111lim 1⋅+=⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∑=∞→∞→ ， 取n i i =ξ，则得被积函数为xx f +=11)(，积分区间]10[,，于是 2ln )1ln(d 111010=+=+=⎰x x xI . n a b i n a b a f x f x x f n i n i n i i ba -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∆=∑∑⎰=→∞=→110lim )(lim d )(ξλ.例2例2求n n n n n nI )12()1(1lim -+=∞→ . 解 记n n n nn n n n n n I )11()11(1)12()1(1-+⋅⋅+⋅=-+= ， 所以 e 4e 12ln 2==-I . 1()d lim n ba n ib a b a f x x f a i n n →∞=--⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑⎰则11ln ln(1)n n n i i J I n n -===+⋅∑，且 1110011lim lim ln(1)ln(1)d [(1)ln(1)]2ln 21n n n n i i J x x x x x n n -→∞→∞==+⋅=+=++-=-∑⎰，例3例3求⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n n n n n I n 1πsin 21π2sin 1πsin lim .所以∑∑∑===⋅≤+≤⋅⋅+n i n i n i nn i in n i n n i n n 1111πsin 1πsin 1πsin 1. 分析 注意到∑=+n i i n n i 11πsin 不能直接化为定积分和式中的形式，故先考虑放缩. 因为 πsin π1π1sin sin (12)11i i i n i n n n n n n i⋅≤≤⋅=++ ,,,，例3例3求⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n n n n n I n 1πsin 21π2sin 1πsin lim .所以∑∑∑===⋅≤+≤⋅⋅+n i n i n i n n i i n n i n n i n n 1111πsin 1πsin 1πsin 1. 续解 而 π21πsin 1lim 1=⋅⋅+∑=∞→ni n n n i n n ，由夹挤准则得π2=I . ⎰∑=-==⋅=∞→10101π2]πcos [π1d πsin 1πsin lim x x x n n i n i n ；小结要把符合一定条件的极限化为定积分的定义形式，关键在于选择.i。
线性代数与空间解析几何(哈工大
20
例5：证明 (a b)2 (a b)2 a2b2 证：由内积定义知 (a b)2 | a |2 | b |2 c，os2
21
3.2.4 三个向量的混合积
1．定义（混合积）[abc] (a b)是c 个数值.
2．几何意义：[abc] V， 设 a,b不,c 共
面，| a b || a || b | sin(a, b) ， S oADB [abc] (a b) c，|当a b为|| c | cos
锐角 时， 右手a,b系,c
1
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的概念
现实生活中有这样的两种量：数量（标量）， 即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温 度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还有方 向的量，如：力、速度、加速度、电场强度 等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不 行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的 工具.
( a) (mb) m(a b)
3．注：（（2）1）称a 为b 并数0 不量见积得是因中结ab必果有是个向数0量. ， 也a 可b.
（ （34） ）数量a 积b无c不意满义足. 消去律即 事实上，所以.
a b a c, a 0 b c
15
例2：用向量的数量积，证明恒等式
| a b |2 | a b |2 2 | a |2 2 | b |2
6
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向 量的乘法.
1．定义：k Z, a ，0 则 是ka一个向量，与 共线a ，模 | ka || k || a与|, k 同0 向，a 时与 反向，k 0 . a 0a 0
线性代数与解析几何-第六章-特征值与特征向量
A 0 0
则
而 X也是
1 A X X , A1 X
A
AXAA1X
A 的 1 属于特征值 1
1X
X
定义法
的特征向量.
2.特征向量的性质
定理1 如果1, 2,…,m是n阶方阵A的互异
特征值, 则它们所对应的特征向量 X1,X2,…, Xm线性无关.
证 由已知 A X iiX i,i 1 ,2 , ,m
0 1
k 1 , k 2 是不全为0的任意常数.
对 3 ,解5 方程组 (5EA)X0
4 2 2 1 0 1
5EA 2 4 2 0 1 1
2 2 4 0 0 0
得同解方程组:
x1 x3 x2 x3
1
得基础解系为 ξ 3 1
1
1
得A的属于5的全部特征向量为 X k 3 1
对特征值个数m用数学归纳法. 当m=1时,因为X10, 所以结论成立.
设m-1个特征值时结论成立, 考虑m的情形.
k 1 X 1 k 2 X 2 k m X m 0 ( 1 )
n
n
n
i aii tr(A), i A
i1
i1
i1
注: 1. A 0 A 有0 特征值.
2. A可逆 A的特征值都非0.
性质2 设λ为n阶方阵A的特征值, 且
f(x ) a m x m a m 1 x m 1 a 1 x a 0
则 f(A)Xf()X.
证
AXX,(X≠0)
则 A2XA(AX)A(X)AX2X
向量X,使向量AX与X平行？ AX=X
2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？
例1
设
A
《高等数学课件——空间解析几何》
向量的线性运算与性质
向量加法与减法
深入研究向量的加法和减法 的运算规则，以及它们的几 何意义和应用。
数量积及其性质
了解向量的数量积的定义和 性质，并掌握数量积在解析 几何中的应用方法。
向量积及其性质
探索向量的向量积的定义和 性质，解析向量积的几何意 义与特点。
平面的法向量及其方程
平面的法向量
平面的方程
了解平面的法向量的概念与性质， 进一步理解法向量在平面方程中 的运用与解读。
通过法向量和已知点的坐标，求 解平面的方程，应用平面方程解 决实际问题。
平面的位置关系
分析不同平面之间的位置关系， 如相交、平行、重合等，加深对 平面的理解。
直线的方向向量及其方程
1 直线的方向向量
学习直线的方向向量的定义 和性质，以及与直线垂直的 向量的特征。
3
线平行或垂直于面
深入研究直线与平面之间的位置关系，如直线平行于面、直线垂直于面等情况。
点到直线的距离及其计算
点到直线的垂直距离
学习如何计算点到直线的垂直距 离，以及求解点到直线的最短距 离的方法。
点到直线的最近点
探究如何确定点到直线的最近点 的坐标，加深对点到直线距离的 理解。
点到直线的垂线段
了解点到直线的垂线段和与之相 关的几何特征，应用垂线段解决 问题。
探讨点在直线上的性质与条件， 进一步发掘点的坐标与直线的关 联。
向量的概念和表示方法
1 向量的定义
2 向量的表示
准确把握向量的概念和基本 性质，以及它在空间解析几 何中的重要作用。
3 向量的数量特征
学习向量的表示方法，包括 点表示、坐标表示和运算表 示等，加深对向量概念的理 解。
探索向量的模、方向和共线性的性质，并应用于解决空间几何问题。
线性代数与空间解析几何2-6 16页PPT文档
【例1】 求 球 面 x 2 y 2 z 2 2 R z 的 球 心 及 半 径 . 【解】 x 2y 2 (z R )2 R 2 ;
球心 (0,0为 ,R)半 , 径 R. 为
2. 柱面
L
平行于定直线并沿定曲线 C
移动的直线 L 所形成的曲面
称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线,
(1)平 面 zh(h0)截 曲 面 为 双 曲 线 (左 右 开 口 )
(2)平面z0截曲面 两条相交直线
(3) 平面z h(h 0) 截曲面为双曲线 (前后开口)
( 4 ) 平 面 x h , y h 截 曲 面 为 抛 物 线
7. 单叶双曲面
方程
x2 a2
by22
cz22
C
动直线 L 叫柱面的母线.
【母线平行于 z 轴的柱面方程】
z
缺少 z的方程 F(x, y) 0 在空间直角坐标系 Oxyz 中一般为母线平行于 z 轴 的柱面, 在 xOy 坐标面内 F(x, y) 0 为准线.
y O x F(x,y)0
(1) 圆柱面
z x2y2 a2
ay O x x2y2a2
【说明】
F (x 2y 2,z) 0
如 图 ,M ( x ,y ,z ) 在 旋 转 面 上 , z
M (x,y,z)由 yOz平 面 内 的 点 M 1(0,y1,z)旋 转 得 到 ,
|y1| x2y2,
(0,0,z)
.d
M 1(0,y1,z)
M F(y,z)0
y
y1 x2y2,
x2 y2 1 2 ph 2qh
(3) 平面 y h截此曲面为抛物线 x2 2p(z2hq2)
第六讲空间解析几何.
向量代数与空间解析几何1、向量的坐标表示及其线性运算(1) a(a x，a y，a z)a x i a y j a z k2 a y a z，方向余弦第六讲空间解析几何cos —-,cos-,cos —a a aa a已知点M i(X i，y i，Z i), M 2(x2, y2，Z2)M i M 2(2)线性运算(X2 x i, y2 y i，z2 z i)a (a x，a y ,a z),b (b x，b y,b z)a b (a x b x，a ya( a x，a y，a z) (3)向量的数量积。
向量积b y，a z b z)数量积a b a b cos(a, b) a (b)a b (a)ba xb x a y b y a z b z性质满足交换律、结合律、分配律2.平面及其方程已知平面过点M (x o、y o、z o), n A, B, C为的法矢量。
1>2> 点法式:一般式:A(x-x o)+B(y-y o)+C(z-z o)=OAx+By+Cz+D=P A、B、C不全为零。
3> 截距式:x y - 1 , a, b, c分别为平面在x轴、y轴、a b cz轴上的截距。
n i n2n 11 n 2 n 1 n 2点M （x o 、y o 、Z 0）到平面Ax+By+Cz+D=（的距离为 ,Ax 0 By 。
Cz 。
DB 2C 2xoy 平面, z 0, n (0,0,1)yoz 平面 x 0, n (1,0,0)xoz 平面, y 0, n (0,1,0)习题4.13求通过点P （2, -1，-1），Q （ 1, 2，3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。
Qp 1,9, 1,3所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0例 2、求垂直 xoy 平面且过 M 1 （2, -1, 0）, M 2 （3, 0, 5）的平面方程k M 1M 2(x -2 ) + ( y + 1 ) = 0得平面方程：x -y -3 = 0QP n 1 27i 3j 9kp174 例 4.13 4.14解: 3, 4，已知平面的法矢量n j 2,3, 5解：n k , n M 1M 23.曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1.球面设P0 X0,y0,z0是球心，R是半径，P X, y, z是球面上任一点，则P o P R，即2、3、4、5、6、2X X0椭球面旋转曲面y y。
华南理工大学 线性代数与解析几何 课时课件 (6)
第二章 矩阵
§2.1 矩阵与矩阵运算
注: ① (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2 (若A、B可交换) ② (A B)2 = A2 AB BA + B2 ③ (A + B)(A B) = A2 AB + BA B2
1 1 1 2 0 0 = 2 2 1 2 0 0
AB与BA未必相等.
矩阵乘法不满足交换律. AB有意义， 而BA可能无意义； 一般，AB BA
第二章 矩阵
§2.1 矩阵与矩阵运算
矩阵乘法的特殊性
AB = O (A = O 或 B = O)
1 1 2 2
2 A 1 1 B 1 1 C 0 4 2 3 0 1 1
=
a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32
a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32
第二章 矩阵
§2.1 矩阵与矩阵运算
矩阵乘法的特殊性
只有当A的列数等于B的行数时, 乘积AB才 有意义. Amn, Bnm AB和BA都有意义.
④ AB = BA
1 An1B + C2 An2B2 + (A + B)n = An + Cn n 1ABn1 + Bn … + Cnn
第二章 矩阵
§2.1 矩阵与矩阵运算
1 例：A
0
线性代数 课件-PPT精品文档
16
线性代数
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• 1.4
• 从行列式的定义看，一般低阶行列式的计 算比高阶行列式的计算简便.
• 定义2 在n阶行列式D=Δ(aij)中，把元素aij 所在的第i行和第j列划去，剩下元素按原来 的相对位置不变形成的一个n-1阶行列式， 17
线性代数
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• 称之为D中元素aij的余子式，记为Mij；称 Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式.
28
线性代数
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• 2.2.3 矩阵的乘法 • 定义4 设A=(ai k)m×s,B=(bk j)s×n,则称C=(cij)m×n
为矩阵A与B的乘积,记为C=AB,
29
线性代数
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• 2.2.4
• 定义5 把矩阵A的行列依次互换得到的新 矩阵称为A的转置矩阵，记为AT.
30
• 性质1 向量组线性无关的充分必要条件是 向量组所含向量的个数等于其秩.
• 性质2 设向量组A的秩为r1，向量组B的秩 为r2，如果A组能由B组线性表示，则r1≤r2.
• 性质3 等价的向量组有相同的秩.
57
线性代数
• 证 设矩阵
• 3.4
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58
线性代数
• 定理8 正交向量组一定线性无关.
36
线性代数
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• 这里k≤min(m，n)，共有CkmCkn个k阶子式. • 定义9 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子
式D，并且所有r+1阶子式(如果有)全等于零， 则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩 阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩 等于零.
《空间解析几何》课件
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通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
《线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题.ppt
3 1
10.
1
2、
3
2
1
1
2
3 1 3 2 3 2 1 2 2
11 12
33 23
3 2
13 1
6 4 2
9
6 3
3、
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12b1 a22b2 a32b3
例3 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
故 AA A E.
同理可得
A
A
n k 1
Aki akj
A E.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩 阵
矩阵与矩阵相乘
运 转置矩阵
算 方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
与反对称阵之和.
证明 设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.
《空间解析几何基础》PPT课件
24
(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
25
(7)双曲抛物面(马鞍面) x2 y2 2z 0 (a,b 0) a2 b2
(7.12)
26
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
27
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
பைடு நூலகம்
28
三、平面区域的概念及其解析表示 设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实
4
空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
5
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当
6线性代数与空间解析几何
b
f (x)dx lim f (x)dx .
a
b a
b
若极限（1）存在，则称反常积分 f (x)dx 收敛，否则称反常积分发散. a
微积分学（上） 6.3.2 无界函数的反常积分
定定义义22 设 f (x) 在 (a,b]上有定义， a 为 f (x) 的奇点（即 f (x) 在 a 的
任一右邻域内无界）. 若 (a,b) ， f (x) 在[ ,b]上可积，则称
lim
3
2
x
1
3
x
1
dx 1
1 lim ln 3 ， 故
2 3 1
3 dx 2 x2 4x 3 发散，从而原积分发散.
微积分学（上） 6.3.2 无界函数的反常积分
小结
形式上，无界函数的反常积分与定积分一样，因此， 做题时应格外注意.
1
a)
dx
lim
a
ln(x
a)
b
ln(b a) lim ln( a) ； a
微积分学（上） 6.3.2 无界函数的反常积分
例例22
证明反常积分
b a
(x
1 a)p
dx
当
p
1时收敛；当
p
1时发散.
证
由于 lim 1 ，所以 x a 为奇点. xa (x a) p
当 p 1 时，
微积分学（上） 6.3.2 无界函数的反常积分
定定义义11 设 f (x) 在[a,b) 上有定义， b 为 f (x) 的奇点. 若 (a,b) ，
f (x) 在[a, ] 上可积，则称
lim f (x)dx
b a
（1）
b
为 f (x) 在[a,b) 上的反常积分，记为 f (x)dx ， 即 a
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,