2016年高考数学复习资料

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（通用版）函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）(A) 13万件(B) 11万件(C) 9万件(D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C.2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为（ ）点拨】先求出曲线1⎰4.【规范解答】选D.5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）421dxx ⎰等于（ ）(A)2ln 2- (B)2ln 2 (C)ln 2- (D)ln 2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住x 1的原函数.【规范解答】选D .421dxx ⎰=(lnx+c)42 =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.6.7.2()1S x x =-，22()(1)S x x '=-1()0,01,3S x x x '=<<=，当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增；8.点分的概率分、几何概型概率的简单运算，属送分题【答案】139．（2010 ·海南高考理科·T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx⎰,先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数1x ,2x …,N x 和1y ,2y …,N y ,由此得到N个点(,)i ix y（i=1,2,…,N）,再数出其中满足()i iy f x≤（i=1,2,…,N）的点数1N，那么由随机模拟方法可得积分1()f x dx⎰的近似值为.【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.(即322ln230 x y-+-=.（2）1(1)'()111x kx kf x kxx x+-=-+=++，(1,)x∈-+∞.当0k =时，'()1x f x x =-+.所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.讨论()f x 的单调区间与极值.【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.【思路点拨】对函数()f x 求导，分析导数()f x '的符号情况，从而确定()f x 的单调区间和极值.【规范解答】()1()4x x ππ'=++解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f,【思路点拨】(1)由()90f x x -=的两个根及()y f x =过原点，可解出,,b c d ；（2）'()f x 是开口向上的二次函数，()f x 无极值点，则'()0f x ≥恒成立.【规范解答】由32()3a f x x bx cx d =+++ 得 2()2f x ax bx c '=++,因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以（*）（1）当3a =时，（*）式为y (2)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+. 【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.【思路点拨】(1)先分析()f x 的导数()f x '的符号情况，从而确定()f x 的单调区间和极值；(2) 设2()21xg x e x ax=-+-，把问题转化为：求证：当ln21a>-且0x>时，()0g x>.【规范解答】（1）()22xf x e x a=-+，()2xf x e'∴=-,令()0f x'=，得ln2x=，2【规范解答】（1）当a=1时，f（x）=323x x12-+，f（2）=3；f′(x)=233x x-, f′(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（2）f ′(x)=2333(1)ax x x ax -=-.令f ′(x)=0，解得x=0或x=1a .以下分两种情况讨论：若110a 2a 2<≤≥，则，当x 变化时，f ′(x)，f （x ）的变化情况如下表：解不等式组得52a <<或2a <-.因此2<a<5. 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5.15.（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x -=-+-∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思、数形结合思想和等价变换思想 g 即，解得.① 当12a =时， 12x x = ， ()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减;② 当102a <<时， 1110a ->>，()0,1x ∈时，()0g x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减，11,1x⎛⎫∈-x x x 2(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤(1)明确讨论对象，确定对象的范围；(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果； (4)归纳总结，得出结论.16. （2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数()()ln ,.f x g x a x a R ==∈（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； （2）设函数()()()h x f x g x =-,当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式；所以x=24a 是()h x 在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()h x 的最小值点.22()(4)2ln(4)2(1ln(2)).a h a a a a a a ϕ∴==-=-最小值②当a ≤ 0时，()0,()h x h x '=>在（0，+∞）递增，无最小值.故（3）由（2）知()2ln 2,0.a aa ϕ'=->（）ϕ由()h x ⇒利用导数法求()h x 的最小值()a ϕ的解析式⇒利用基本不等式证明（3）.【规范解答】（1）()()(0),af xg x x x ''==>2ln,1,.2.a xa e x eax====由已知得：解得∴两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为21(),2k f ee'==∞）递增，无最小值故(2ln(a b a b++综上可得：()()2()().22a b a b aba bϕϕϕϕ''++''≤≤+【方法技巧】不等式的证明方法1．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．2．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．证明：当fx从而f(c)-f(b)≤0，M无最小值.综上所述，M的最小值为.【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.19.（2010·辽宁高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a ≤-2，证明：对任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力. 【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)的单调性证明. 【规范解答】【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏. 2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.20.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f . （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，，求a 的取值范围.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力. 【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a 的范围. 【规范解答】【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏. 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等. 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.21.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数()()xf x xe x R -=∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >. （3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>.【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.【思路点拨】利用导数及函数的性质解题.【规范解答】（1）f ′()(1)xx x e -=-，令f ′(x)=0,解得x=1，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e .(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围.【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.【思路点拨】(1)求出)('xf，并将其表示为)1)(()('2+-=axxxhxf的形式，注意()0h x>.(2)利用(1)的结论求解. 【规范解答】ϕf综上所述，当2b≤时，)(xf在区间),1(+∞上递增；当2b>时，)(xf在上递减；)(xf在)+∞上递增.（方法二）当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ϕ=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；当2b >时，()x ϕ图像开口向上，对称轴12b x =>，方程()0x ϕ=的两根为：，f∴综合以上讨论，得所求m 的取值范围是（0，1）.（方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立.所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增. ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调性知()g α、()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设. ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.因此综合①、②、③得所求的m 的取值范围是（0，1）23.（2010·浙江高考文科·Ｔ21）已知函数2()()f x x a =-（x -b ）(,,a b R a ∈<b).（1）当a=1，b=2时，求曲线()y f x =在点（2，()f 2）处的切线方程.（2）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠，证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后得等差数列，并求4x【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识. 【思路点拨】（1）先求出()f 2'再代入点斜式方程；（2）先找到123,,x x x ，观察它们之间的关系，从而确定4x 在等差数列中的位置.【规范解答】(1)当a=1,b=2时，2()(1)(2)f x x x =--,因为f'(x)=(x-1)(3x-5)，故f'(2)=1，f(2)=0, 所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2.（2）因为f'（x）＝3（x－a）（x－23a b+），由于a<b.故a<23a b+.）(正整数，【命题立意】本题为一道综合题，主要考查解析几何、导数、不等式等的综合应用. 【思路点拨】(1)利用导数求解；（2）利用不等式的性质求解；（3）用数学归纳法证明.【规范解答】（1）'2y nx=，∴'()2n nf x nx=，切线n l 的方程为：22()n n n y n x nx x x -⋅=-， 即：220n n nx x y n x ⋅--⋅=， 令0x =，得 2n y nx =-，∴ 2(0,)n n Q nx -.d以2s ++<当1s =时，左边=1，右边2==，不等式成立.假设s k =时，不等式成立，即1k +<成立,当1s k =+时，1k++++<1)=22211()42k k k k k +<++=+， ∴12k <+2s ++<k +2s ++<2s ++<所以，原不等式成立.x 数列的相关知识来求4x .由于1234,,,x x x x 的排列有多种情况，因此要注意讨论.【规范解答】（1）f ′(x)=ex(x-a) 2(3)2,x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦ 令2()(3)2,g x x a b x b ab a =+-++--22=(3-a+b)4(2)(1)80,b ab a a b ∆---=+-+>则于是，假设1212,()0.x x g x x x =<是的两个实根，且①当x1=a 或x2=a 时，则x=a 不是f(x)的极值点，此时不合题意. ②当x1≠a 且x2≠a 时，由于x=a 是f(x)的极大值点，故x1<a<x2.2x a于是1a b +-=92-（舍）或92-.此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=，综上所述，存在b 满足题意， 当b=-a-3时，4x a =±2若存在，求出点（2）①由得，是上的增函数，()0g x '∴≥在[)2,+∞上恒成立，设()21x t-=，[)2,x ∈+∞，[)1,t ∴∈+∞，即不等式20mt t +-≥在[)1,+∞上恒成立.当0m ≤时，不等式20mt t +-≥在[)1,+∞上恒成立； 当0m >时，不等式2m y t t =+-，[)1,t ∈+∞，因为210myt '=+>，所以函数2m y t t =+-在[)1,+∞上证明如下：()3g x =)(12x =-(1)当2a ≤时，讨论()f x 的单调性；（2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】（1）直接利用函数单调性与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择；x x 时，，此时，函数单调递增； 1(1,)x a ∈-+∞时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减.(iii)当0a <时，由于110a -<,(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (0,x ∈+∞1)时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增22min 2min min ()()4,[1,2],(1)520,4012(2)84,2g x x b b x g b b g b =-+-∈==->∈=-≥∈+∞==-≤-又所以① 当 b<1 时，因为 [g(x)]此时与题设矛盾② 当 b [1,2]时，因为[g(x)]，同样与题设矛盾③ 当 b （，）时，因为[g(x)]解不等式8-4b 23（2）()12xf x e ax '=--. 由（1)知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，故()12112(12)xf x e ax x ax a x '=--≥+--=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，()0(0)f x x '≥≥，而(0)0f =，于是，当0x ≥时()f x 0≥.1a >ff ；②13)('2-=x x f ，),(13111x x x P -，13)('211-=x x f ，因此 过点1P 的切线方程为：()()23111131=--+-y x x x x x ，即()2311312=--y x x x ，由()23113312⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y x x x y x x 得()32311312-=--x x x x x ，所以1=x x 或12=-x x ，故212=-x x ，进而有()11232311132-=-+⎰x x S x x x x dx 1422341111213272424-⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭x x x x x x x x ，用2x 代S y(以得到，所以16121=S S . 【方法技巧】函数、导数的内容在历届高考中主要考查切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立体几何、解不等式等知识联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用.。