华南理工半导体物理—第三章

k空间状态分布
状态密度
• 导带底E(k)与k的关系
h2k 2 E ( k ) Ec * 2mn
• 能量E~(E+dE)间的量子态数
dZ 2V 4k 2 dk
• 可得
(2m ) ( E Ec ) k h
* n 2 1 1 2 * mn dE , kdk h2
• 代入可得
Eg
EC EF EF EV
EV
价带
N(E) 0 0.5 F(E) 1.0 n(E)和p(E)
(a) 能带图
(b) 态密度
(c) 费米分布函数 (d) 载流子浓度
利用:
n0
Etop
0
n( E )dE
Etop
0
N ( E ) F ( E )dE
可由图求得载流子浓度，亦即由图 (b) 中的 N(E) 与图 (c) 中的F(E) 的乘 积即可得到图(d)中的n(E)对E的曲线(上半部的曲线)。图(d)上半部阴 影区域面积相当于电子浓度。
本章重点
• 计算一定温度下本征和杂质半导体中热 平衡载流子浓度 • 探讨半导体中载流子浓度随温度变化的 规律
• 计算载流子浓度须掌握以下两方面的知识 – 允许的量子态按能量如何分布 – 电子在量子态中如何分布 • 热平衡态 – 一定的温度下，两种相反的过程（产生 和复合）建立起动态平衡
费米分布函数
3 2
在 室 温 下 ， 对 硅 而 言 NV 是 2.66×1019cm-3 ； 对 砷 化 镓 则 为 7.0×1018cm-3。
本征载流子浓度
本征载流子浓度ni:对本征半导体而言，导带中每单位体积的 电子数与价带每单位体积的空穴数相同,即浓度相同，称为本 征载流子浓度，可表示为n＝p＝ni 本征费米能级Ei：本征半导体的费米能级。
其中 k 是玻尔兹曼常数 ， T 是以开 (Kelvin) 为 单 位 的 绝 对 温 度 ， EF 是费米能级。 费米能级(Fermi level) ： 是 电 子 占 有 率 为 1/2 时的 能量。
1 F (E) E EF 1 exp( ) k0T
1 E EF 1 exp( ) kT
E EF F ( E ) exp( ) k0T
E EF F ( E ) 1 exp( ) k0T （E－EF）＜3kT
F(E)
F (E)
1 E EF 1 exp( ) kT
≈
（E－EF）＞3kT
0.5
500K 300K
100K
1 1 1 注：利用 或1 1 x x x
所以：
n0 p0 n
2 i
本征载流子浓度ni/cm-3
1000 500
200 100
27 0
50
10
19
1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010
109 108 107 106 2.25 106 cm3 9.65 109 cm3
该式对非本征半导体同样成 立，称为质量作用定律。
• 设导带底的状态有s个，根据同样方法可求 得
(2m ) gc ( E) 4V h
* n 3 3 2
( E Ec )
1
2
• 其中
m mdn s (ml m )
* n 2 2 t 3 1 3
• mdn称为导带底电子状态密度有效质量。 – 对于Si，导带底有六个对称状态，s=6 – mdn=1.08m0 – 对于Ge，s=4 – mdn=0.56m0
EC EF 令：n0 NC exp k0T
则：
EF EV p0 NV exp k0T
EC EV k0T NV EF Ei ln( ) 2 2 NC
在室温下，第二项比禁带宽度小得多。因此，本征半导体的 本征半导体的本征费米能级Ei相当靠近禁带的中央。
显然，该式可看作是能量为E时空穴的占据几率。
≈
-0.5 -0.4 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1 0.2
E EF / eV
右图由左到右所描绘的 时能带图、态密度N（E ）、费米分布函数及本 征半导体的载流子浓度 。其中态密度N（E）在 一定的电子有效质量下 ，随E1/2改变。
E
导带
E
E
E
EC
半导体物理
第三章 半导体中载流子的统计分布
华南理工大学电子与信息学院 蔡 敏 教授
第三章 半导体中载流子的统计分布
• 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布 • 3.2 半导体载流子的统计 • 3.3 本征半导体的载流子浓度 • 3.4 杂质半导体的载流子浓度 • 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费 米能级随温度的变化 • 3.6 简并半导体的载流子浓度
在室温下（ 300K ），对硅而言 NC 是 2.86×1019cm － 3 ；对砷化 镓则为4.7×1017cm-3。
同理，价带中地空穴浓度p为
EF EV p0 NV exp k0T
2 mP k0T 其中：NV 是价带中的有效态密度，且NV 2 2 h
• 热平衡状态下，对于一定的半导体材料， 浓度积只由温度决定，而与所含杂质无关。
第三章 半导体中载流子的统计分布
• 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布 • 3.2 半导体载流子的统计 • 3.3 本征半导体的载流子浓度 • 3.4 杂质半导体的载流子浓度 • 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费 米能级随温度的变化 • 3.6 简并半导体的载流子浓度
2
1
x

2
Ec ) / k0T x ( Ec
(2m k T ) n0 2 h
* n 0 3 3 2
Ec E F exp( ) N c f ( Ec ) k 0T
(2m k T ) Nc 2 h
* n 0 3
3
2
• 同理
g v (E) p0 [1 f ( E )] dE Ev V
本征半导体的载流子浓度
本征半导体（intrinsic semiconductor） ：
当半导体中的杂质远小于由热产生的电子空穴时，此种半导 体称为本征半导体。 热平衡状态：即是在恒温下的稳定状态，且并无任何外来干扰， 如照光、压力或电场。在恒温下，连续的热扰动造成电子从价带 激发到导带，同时在价带留下等量的空穴。热平衡状态下的载流 子浓度不变。 导带中的电子浓度可将 N(E)F(E) 由导带底端 ( 为简单起见，将 EC起始视为0)积分到顶端Etop：
3 2
E 令 x k0T
EF 1 x NC exp( ) x e dx 则 n 2 k0T 0 2
其中： x e dx
0 1 2 x
EF ) 所以 n0 NC exp( k0T

2
假如将导带底部定为EC而不是零，则导带的电子浓度为
EC EF n0 NC exp k0T
玻耳兹曼分布函数
第三章 半导体中载流子的统计分布
• 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布 • 3.2 半导体载流子的统计 • 3.3 本征半导体的载流子浓度 • 3.4 杂质半导体的载流子浓度 • 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费 米能级随温度的变化 • 3.6 简并半导体的载流子浓度
状态密度
≈
F (E)
F(E)
0.5
500K 300K 100K
≈
-0.5 -0.4 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1 0.2
E EF / eV
可见，F(E)在费米能量EF附近成对称分布。在能量高于 或低于费米能量 3kT 时，上式的指数部分会大于 20 或小于 0.05，费米分布函数因此可以近似成下列简单式：
dN dn V
n0
Ec Ec
(2m ) 4 h
* n 3 3 2
* n 3
3
2
1 E EF exp( )( E Ec ) 2 dE k0T
(2m ) 4 h
Ec EF x 12 x (k0T ) exp( ) x e dx 0 k0T


0
x e dx
虽然在导带在存在大量可允许的能态，然而对本征半导体而 言，导带中却不会有太多的电子，即电子占据这些能态的几率很 小。同样，在价带也有大量的可允许能态，但大部分被电子占据 ，其几率几乎为1，只有少数空穴。因此费米能级的位置接近禁带 的中间(即EF低于EC好几个kT)。
E EF 2mn 由：N ( E ) 4 2 和F ( E ) exp h k T 0
* p 2 2 3 3 3 2
– 对于Si，mdp=0.59m0 – 对于Ge，mdp=0.37m0
导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度
dN f B ( E) g c ( E)dE
( 2m ) dN 4V h
* n 3 3 2 1 E EF exp( )(E Ec ) 2 dE k 0T
Si
Eg 即： n N C NV exp k0T
2 i
GaAs
最终：
ni NC NV exp(
Eg 2k0T
)
1000 T /K
其中Eg=EC-EV。室温时，硅的ni为9.65×109cm-3；砷化镓的ni为 2.25×106cm－3。上图给出了硅及砷化镓的 ni对于温度的变化情 形。正如所预期的，禁带宽度越大，本征载流子浓度越小。
n
Etop
0
n( E )dE
Etop
0
N ( E ) F ( E )dE