河北省衡水中学2019～2020届高三上学期第21周周测数学(理)试题含答案
精品解析：河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。
4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。
7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。
2019-2020学年人教A版河北省衡水中学高三(上)期中理科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为．16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．解：f（x）＝x cos x+3x的导数为f′（x）＝cos x﹣x sin x+3，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为cos0﹣0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得﹣＝﹣，即a＝1．故选：C．2．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2，求得a7的值，再根据b2b12＝计算．解：由a5﹣2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3（a1+6d）＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7＝＝b7，则b2b12＝＝．故选：C．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④【分析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！解：对于函数①，当x∈[0，1]，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；对于函数②f（x）＝x2﹣1，当x∈[﹣1，0]时，则有f（x）∈[﹣1，0]，符合题意；对于函数③，当x∈[0，1]时，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；由选项可知，应选B，故选：B．4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定【分析】由题意可得，（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．解：（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＝4（）2﹣4＝4﹣4＝﹣4sin2θ＜0，由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．且当t＝﹣＝﹣cosθ时，g（t）最小，且为1．即g（﹣cosθ）＝﹣||2cos2θ+||2＝||2sin2θ＝1，故当θ唯一确定时，||唯一确定．故选：D．5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM 最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．解：圆C：x2+（y﹣1）2＝1圆心坐标为（0，1），半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2x﹣4上的动点，∴PC最小值＝＝，∴PM最小值＝＝，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得A＝2，由2sinφ＝，求得φ＝．再根据五点法作图，可得ω•+＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（）＝2sin（+）＝﹣2cos＝﹣1，故选：C．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．【分析】将函数式f（x）进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．解：∵f（x）＝﹣4sin x cos x＝﹣2sin2x∴f（x）的最小正周期为T＝π；又∵f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，∴f（x）＝﹣f（x+2a）⇒﹣f（x）＝f（x+2a），而﹣f（x）＝f（x﹣2a），∴f（x+2a）＝f（x﹣2a）⇒f（x）＝f（x+4a），∴f（x）是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a＝；故选：D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到＝（）n﹣1，再根据等比数列的求和公式即可求出．解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n﹣1，∴a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n﹣1，当n＝1时也满足，∴＝（）n﹣1，∴数列{}的前20项和为＝﹣故选：A．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2﹣2ac＝c2，所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），解得e＝＝．故选：A．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．解：函数＝sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．当a＝1时，f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∵f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]【分析】利用函数求导函数f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解有e x﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝e x，v （x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，解：函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0 时，成立．当k≠0时，设u（x）＝e x，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．【分析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a（3﹣），|AF1|＝2a（2﹣），再根据勾股定理即可求出解：设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，∴|AB|＝|BF2|＝m，|AF2|＝|BF2|＝m，由|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|＝m﹣2a，由|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m﹣2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴m﹣2a+2m﹣2a＝m，∴m＝2a（﹣1），∴|AF2|＝•2a（﹣1）＝2a（3﹣）|AF1|＝2a（3﹣）﹣2a＝2a（2﹣）又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2（3﹣）2+4a2（2﹣）2＝4c2，即（19﹣10）a2＝c2，∴e2＝19﹣10，故选：D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．【分析】根据，对两边平方即可得出，从而可求出．解：∵||＝1，||＝2，且|2+|＝，∴＝，∴．故答案为：．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝16 ．【分析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．解：由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30°，则直线AB的倾斜角为60°，斜率为．由抛物线y2＝12x，得F（3，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣3）．联立，得x2﹣10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．故答案为：16．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为（﹣1，+∞）．【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，∵y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，）上递减，在（）上递增，∵当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，f（）＜﹣1，f（2）＝0，∴m＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝ 1 ．【分析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），进而得出结论．解：由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．【分析】（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF ＝，代入结合正弦函数的性质可求．解：（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF 都为边长为1km的等边三角形，面积，绿化面积＝km2；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，∠BED＝120°﹣α，由正弦定理可得，，∴BE＝，△CDF中，∠CDF＝120°﹣α，∠CFD＝α，由正弦定理可得，，∴CF＝，∴BE+CF＝+＝，＝═＝1＝1，∴s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF＝＝（30°＜α＜90°），，，∴，∴，答：地块的绿化面积S（α）的取值范围（]18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知列关于d 和q的方程组，求得q，可得数列{b n}的通项公式；（2）由b1＝1，T3＝13列式求得q，然后分类求解S5．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4，a3+b3＝7，得，解得q＝2．∴；（2）由b1＝1，T3＝13，得1+q+q2＝13，即q＝﹣4或q＝3．当q＝﹣4时，b2＝﹣4，此时a2＝4﹣b2＝8，d＝a2﹣a1＝7，；当q＝3时，b2＝3，此时a2＝4﹣b2＝1，d＝a2﹣a1＝0，S5＝5a1＝5．综上，S5＝75或5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．【分析】（1）根据题意设出直线OA的方程，联立抛物线方程可表示出交点A的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围，继而算出A点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB的斜率，继而写出AB的方程，可以求得B点坐标，设出直线l及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P+y N＝2y M，得出结论．解：（1）由题意直线OA斜率存在且不为零，设l OA：y＝kx，则由'解得，又D（2，1）到l OA：kx﹣y＝0的距离为，即，所以．（2）证明：当直线OA过圆心D（2，1）时，，＝16，A（16，8），由y2＝4x（y＞0）可得，所以，所以，所以，即，所以B（0，4），设l：y＝mx+4，P（），Q（），由，l OQ：，得，y N＝，由，解得my2﹣4y+16＝0，所以，，所以＝，即M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．解：（1）∵等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}，∴a1＝0，d＝，，∴b n＝sin（a n）＝0，，故S＝{0，}；（2）a1＝，，d∈（0，π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin（）＝，故成立，因为a1＝，要使a n（n≥2）的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d＝，故d＝π或；（3）①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1，b2，b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin（a n+4d）＝sin a n，或a n+4d＝2kπ﹣a n，等差数列a n的公差d∈（0，π]，故，，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0，1，﹣1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时S＝{0，1，﹣1}21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．解：（1）由已知可得，∴椭圆C的方程为；（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43＝0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，设P（0，p），则，＝假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则，即．即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39＝0对任意k∈R恒成立，∴，此方程组无解，∴不存在定点满足条件．。
衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.3215【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．【详解】由题意，知3cosx 5=-，且πx π2<<，所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3==-， 448tanx sinx 3515∴+=-+=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3B.12C .D.【答案】D 【解析】 【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以3sin α=. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围． 6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值. 【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566T πππ=+=，所以2ππω=，所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，即3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 的图象关于直线4x π=对称，所以22()432m k k Z ππππ⨯+-=+∈，解得()62k m k Z ππ=-∈，又m >0，所以m 的最小值为6π.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表达式从而可求得结果.【详解】2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βααβααααα+==++ 222cos sin cossin1tancos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222ααααααπααααααα---⎛⎫=====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 故tan tan 42παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，42παβ∴=-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简能力，属中档题.9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确.综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选：B.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题. 10.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，n ）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值．【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )， 都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )取得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，按下图取值即可满足条件，则n 的最小值为5. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决本题的关键，属中档题.11.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C 【解析】 试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点， 当时，，，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点， ，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数． 12.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π． 令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0sin （4x πωϕ+-）＝0，即4x πωϕ+-＝k π，k ∈Z ．当k ＝0时，可得一个零点x 1＝4πω-∅当k ＝1时，可得二个零点x 2＝54πω-∅, ω＞0， 那么|x 1﹣x 2|＝|544|2ππππωωω-∅-∅-==，可得ω2=,则()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π222ϕπϕ-<<+-,只需26224k k ϕπππϕππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩即2k π2,32k ππϕπ+≤≤+又2πϕ≤，则当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 【答案】－1 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为：1-.【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.【答案】328π-【解析】 【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线3y x =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.【详解】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则直线OA 的方程为：3y x =， 如图，则直线OA 与抛物线22y x =所围成的面积()3322231032332333322324388S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，又扇形AOB 圆心角为3πα=，则扇形AOB 的面积221132232S r ππα==⨯⨯=， 所以阴影部分的面积2132S S S π=-=. 故答案为：328π-. 【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()122224a a a a =-⨯=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
连接 ED , ED 6, 因为 BC / / AD ,
所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为 EAD ,
在 VEAD 中 cos EAD 6 4 6
6,
22 6 6
故选 : D
x1 x2 ， 2
因为 AB 是抛物线 y2 2 x 的一条焦点弦，所以 AB x1 x2 p x1 x2 1 4 ，
所以 x1 x2 3 ，故 x0
x1 x2
3
.
22
故选 B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于
基础题型 .
3.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形， E 为弧 ?BC 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 （ ）
A. 3 3
B. 5 5
30
C.
6
D. 6 6
【答案】 D
【解析】 【分析】
取 BC 的中点 H ，连接 EH , AH ,?ED，则异面直线 AE 与 BC 所成角即为 cos EAD 得解 . 【详解】取 BC 的中点 H ，连接 EH , AH , EHA 90o,
EAD ，再利用余弦定理求
设 AB 2, 则 BH HE 1, AH 5, 所以 AE 6,
A.
,0
B.
,0
Hale Waihona Puke C. 1,D. 1,
【答案】 A 【解析】 【分析】
分别求出集合 A 集合 B 范围，根据 A I B A 得到 A 是 B 子集，根据范围大小得到答案 .
【详解】 A x | x x 1 0 0 x 1
B x | y ln x a ABA A B
所以 a 0 故答案选 A
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版).doc
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标是A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(0,)【答案】D【解析】先将抛物线的方程化为标准方程形式x2=y，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．【详解】∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选：D．【点睛】根据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为标准形式，求出的值，确定开口方向，否则，极易出现错误．2．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6，又|F1F2|=4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【详解】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=，所以，点P的轨迹方程为：．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
3．将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．【详解】假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，当k=0时，ρ=﹣，向右平移，故选：B．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.4．函数的图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．【详解】令y=（2x﹣1）e x=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，当x→﹣∞时，e x→0，所以y→0，故排除B，故选：A．【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．【考点】空间几何体的三视图.6．已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为A．B．C．2 D．3【答案】C【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=3，即可求得结论．【详解】由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA•k PB=∵∴两式相减可得,∵k PA •k PB =3，∴∴∴e=2故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．7．7．已知抛物线x2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ． 32C ． 1D ． 2 【答案】D【解析】解析：设抛物线的焦点为()0,1,F AB 的中点为M ，准线方程为1y =-，则点M 到准线的距离()11322d AF BF AB =+≥=，即点M 到准线的距离的最小值为min 3d =，所以点M 到x 轴的最短距离/min 12min d d =-=，应选答案D 。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷试题及答案(解析版)(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．46．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．128．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．211．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．2712．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＞a}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故选：D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵、，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∵sinα＜sinβ且α，β均为锐角，∴0＜α＜β＜，∴﹣＜α﹣β＜0，又sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣＝﹣，∴α﹣β＝﹣．故选：C．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴或，k∈Z，∴a＝3，b＝或a＝﹣3，b＝，k∈Z．∵a∈R，b∈[0，2π]，∴当k＝﹣1时，b＝或k＝0时，b＝，满足条件，∴满足条件的有序实数对（a，b）为（3，）和（﹣3，），共2对．故选：B．6．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．联立，解得P（，）．∴．故选：B．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差d不为零，S3，S9，S27成等比数列，可得S92＝S3S27，即有（9a1+36d）2＝（3a1+3d）（27a1+351d），化为d＝2a1，则＝＝＝9，故选：C．8．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，，点P满足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝当且仅当μ＝λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为故选：B．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．2【解答】解：根据三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）坐标，设圆心的坐标为P（a，﹣2），利用r2＝（1﹣a）2+（3+2）2＝（4﹣a）2+（2+2）2，解得a＝1，所以P（1，﹣2，）由于直线x+ay+2＝0经过定点Q（﹣2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，所以l ＝2，所以最小弦长为4．故选：B．11．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．27【解答】解：如图，延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，∵A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E，∴M，N分别为C1B1，B1B的中点，下部分体积V下＝V P﹣AQC﹣V﹣V M﹣ABQ＝﹣＝23．故选：B．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝﹣4．【解答】解：∵，∴f（）＝＝﹣3∴．故答案为：﹣4．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．【解答】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，∴＝3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|＝＝，故答案为：．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）＝，f（x0）＝（x＞0），即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）＝（）（x﹣x0），则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）＝﹣（）＝＝＝当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0＝e，＝＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，故，即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）＝＝，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．【解答】解：（1）由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C＝，故C＝60°．（2）由，＝，所以CE＝18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面P AB内的正投影，∴DE⊥面P AB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又P A＝PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG．由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PG＝3，PE＝2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2．所以四面体PDEF的体积V＝×DE×S△PEF＝×2××2×2＝．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k＝﹣或k＝﹣．由＞0．可得k，故k＝﹣，20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG＝DC＝1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，仅而∠ADB＝90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝，由余弦定理得cos∠ADE＝，∴sin∠ADE＝，∴AH＝AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴+2=0．的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋?龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019?衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋?衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，?a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011?新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋?湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013?济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019?兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014?淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014?济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1?f（x2）＜1×2，即≤x1?f（x2）＜2，故x1?f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019?衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋?衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015?南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋?袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→０时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春?保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014?唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋?新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，∵S△ABC=absinC=a??a×==3，∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春?桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．（x）=﹣【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由?a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由?x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014?新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014?东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019?高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014?唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED?EO．由切割线定理得EA2=EB?EC，∴ED?EO=EB?EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019?衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣+2=0．4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．+2=0，【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014?唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。
衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.3215【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．【详解】由题意，知3cosx 5=-，且πx π2<<，所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3==-， 448tanx sinx 3515∴+=-+=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3B.12C .D.【答案】D 【解析】 【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以3sin α=. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围． 6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值. 【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566T πππ=+=，所以2ππω=，所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，即3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 的图象关于直线4x π=对称，所以22()432m k k Z ππππ⨯+-=+∈，解得()62k m k Z ππ=-∈，又m >0，所以m 的最小值为6π.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表达式从而可求得结果.【详解】2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βααβααααα+==++ 222cos sin cossin1tancos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222ααααααπααααααα---⎛⎫=====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 故tan tan 42παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，42παβ∴=-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简能力，属中档题.9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确.综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选：B.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题. 10.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，n ）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值．【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )， 都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )取得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，按下图取值即可满足条件，则n 的最小值为5. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决本题的关键，属中档题.11.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C 【解析】 试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点， 当时，，，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点， ，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数． 12.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π． 令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0sin （4x πωϕ+-）＝0，即4x πωϕ+-＝k π，k ∈Z ．当k ＝0时，可得一个零点x 1＝4πω-∅当k ＝1时，可得二个零点x 2＝54πω-∅, ω＞0， 那么|x 1﹣x 2|＝|544|2ππππωωω-∅-∅-==，可得ω2=,则()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π222ϕπϕ-<<+-,只需26224k k ϕπππϕππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩即2k π2,32k ππϕπ+≤≤+又2πϕ≤，则当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 【答案】－1 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为：1-.【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.【答案】328π-【解析】 【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线3y x =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.【详解】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33,2A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， 则直线OA 的方程为：3y x =， 如图，则直线OA 与抛物线22y x =所围成的面积()3322231032332333322324388S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，又扇形AOB 圆心角为3πα=，则扇形AOB 的面积221132232S r ππα==⨯⨯=， 所以阴影部分的面积2132S S S π=-=. 故答案为：328π-. 【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()122224a a a a =-⨯=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。
河北衡水中学2019-2020学年全国高三第一次摸底联考理科数学
河北衡水中学2019-2020学年全国高三第一次摸底联考理科数学一 选择题(每小题5分,共60分)1.复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.已知全集U=R ， 则 A. B. C. 或 D. 或3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计 则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 145.已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时， A. B. C. D.6.已知椭圆和直线，若过 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 的离心率为A.B.C.D.7.如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且，则A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D.10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.12.如图，在正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，点 为上底面的中心，过 ， ， 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 的部分为 ，不含 的部分为 ，连结 和 的任一点 ，设 与平面 所成角为 ，则 的最大值为A. B.C. D.二 填空题(每小题5分,共20分)13.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.14若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知=，则___ ___ ． 15．已知，且，则的最小值等于_______．16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．三 解答题(共70分)17．(10分) 命题：函数的定义域为；命题:函数在上单调递减，若命题为真，为假，求实数的取值范围.ABC △sin 2ABC ∠=D AC 2AD DC=BD =ABC△p ()()21f x lg x ax =++R q ()221f x x ax =--(]1,-∞-"p q"∨"p q"∧a18.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a （sin A ﹣sin B ）=（c ﹣b ）（sin C +sin B ） （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长．19.(12分)数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.20(12分)在四棱锥中，都为等腰直角三角形，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是边长为2的等边三角形，，求三棱锥的体积．21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +n=2a n (n ∈N *). (1)证明:数列{a n +1}为等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =(2n+1)a n +2n+1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求满足不等式>2 010的n 的最小值.22.(12分)已知函数f (x )=2ln x+ax-(a ∈R )在x=2处的切线经过点(-4,ln 2). (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若不等式>mx-1恒成立,求实数m 的取值范围.7233{}n a 11()n a a n N ++==∈{}2n a {}n a 12n n n b a a +=+{}n b河北衡水中学2019-2020学年全国高三第一次摸底联考理科数学1.复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D2.已知全集U=R ， 则 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计 则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D4.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C5.已知 是定义在 上的奇函数，若 时， ，则 时， A. B. C. D. 【答案】B6.已知椭圆和直线，若过 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C.D.【答案】A10.已知函数（为自然对数的底数），若关于 的方程 有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A12.如图，在正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点，点 为上底面的中心，过 ， ， 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 的部分为 ，不含 的部分为 ，连结 和 的任一点 ，设 与平面 所成角为 ，则 的最大值为A. B.C. D.【答案】B二填空题13.___8____. 14._4 ． 15．16．17．3218.解：（Ⅰ）由已知a （sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）（sinC+sinB ） 由正弦定理，得a （a ﹣b ）=（c ﹣b ）（c+b ），即a 2+b 2﹣c 2=ab ． 所以cosC==，又C ∈（0，π），所以C=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2+b 2﹣c 2=ab ．所以（a+b ）2﹣3ab=c 2=7， 又S=sinC=ab=，所以ab=6，所以（a+b ）2=7+3ab=25，即a+b=5．所以△ABC 周长为a+b+c=5+．19.2021 (1)证明 当n=1时,2a 1=a 1+1,∴a 1=1.∵2a n =S n +n ,n ∈N *,∴2a n-1=S n-1+n-1,n ≥2, 两式相减,得a n =2a n-1+1,n ≥2, 即a n +1=2(a n-1+1),n ≥2,∴数列{a n +1}为以2为首项,2为公比的等比数列, ∴a n +1=2n ,∴a n =2n -1,n ∈N *.(2)解 b n =(2n+1)a n +2n+1=(2n+1)·2n ,∴T n =3×2+5×22+…+(2n+1)·2n , ∴2T n =3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,两式相减可得-T n =3×2+2×22+2×23+…+2·2n -(2n+1)·2n+1,∴T n =(2n-1)·2n+1+2,∴>2010可化为2n+1>2010.22解(1)f'(x )=+a+,令x=2,则f'(2)=1+a+f'(2),∴a=-1, 因切点为(2,2ln2+2a-2f'(2)),则y-(2ln2+2a-2f'(2))=f'(2)(x-2),代入(-4,2ln2),得2ln2-2ln2-2a+2f'(2)=-6f'(2),∴f'(2)=-,∴f'(x)=-1-≤0, ∴f(x)在(0,+∞)单调递减.(2)>mx-1恒成立,即>m,令φ(x)=2ln x+,由(1)可知φ(x)在(0,+∞)单调递减,∵φ(1)=0,∴x∈(0,1),φ(x)>0,x∈(1,+∞),φ(x)<0,∴φ(x)在(0,+∞)恒大于0,∴m≤0.。
衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(原卷版)
2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.32152.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >>D. c a b >>3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3 B.12C.22D.3 5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-图象大致为( )A. B.C. D.6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.223D. 223-9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0B. 1C. 2D. 310.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n最小值为（ ）A 3B. 4C. 5D. 611.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 712.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x ef x f x -<-的解集为__________．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图像. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()3f x m 恒成立，求实数m 的取值范围.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin sin sin A B A C +=. （1）求证：sin sin 2cos CA A=；（2）若B 为钝角，且ABC ∆的面积S 满足2(sin )S b A =，求角A 的大小. 19.设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆b ，c 的值；（2）若sin sin (0)B k C k =>，且ABC ∆为钝角三角形，求实数k 的取值范围. 21.已知函数22()x f x e ax =-，a ∈R .（1）若()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(0,)+∞内存在极大值M ，证明：4a M <. 22.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图像与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--.（1）求证：2(1)()x f x x-≤；（2）若21x b <<，求证：2(1)0()2b g x -<<.。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知曲线f(x)＝xcosx+3x在点（0, f(0)）处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A.−4B.−1C.1D.4【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．【解答】f(x)＝xcosx+3x的导数为f′(x)＝cosx−xsinx+3，可得在点（0, f(0)）处的切线斜率为cos0−0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得−a4=−14，即a＝1．2. 已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5−2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2a72，求得a7的值，再根据b2b12=b72计算．【解答】由a5−2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3(a1+6d)＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7=32=b7，则b2b12=b72=94．3. 对于函数f(x)，若存在区间A＝[m, n]使得{y|yf(x), x∈A}＝A则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝cosπ2x；②f(x)＝x2−1；③f(x)＝|x2−1|；④f(x)＝log2(x−1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A.①②B.①②③C.②③D.①②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！ 【解答】对于函数①f(x)=cosπx 2，当x ∈[0, 1]，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意；对于函数②f(x)＝x 2−1，当x ∈[−1, 0]时，则有f(x)∈[−1, 0]，符合题意； 对于函数③f(x)=||，当x ∈[0, 1]时，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意； 由选项可知，应选B ，4. 设θ为两个非零向量a →,b →的夹角，已知对任意实数t ，|b →+ta →|的最小值为1，则（ ）A.若|a →|确定，则 θ唯一确定 B.若|b →|确定，则θ唯一确定 C.若θ确定，则|a →|唯一确定 D.若θ确定，则|b →|唯一确定 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意可得，(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，可得判别式△<0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案． 【解答】(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2， 可得判别式△＝4(a →⋅b →)2−4a →2b →2＝4a →2b →2cos 2θ−4a →2b →2=−4a →2b →2sin 2θ<0，由二次函数的性质，可得g(t)>0恒成立． 且当t =−2a →⋅b →2a →2=−|b →||a →|cosθ时，g(t)最小，且为1．即g(−|b →||a →|cosθ)＝−|b →|2cos 2θ+|b →|2＝|b →|2sin 2θ＝1，故当θ唯一确定时，|b →|唯一确定．5. 已知点P(x, y)是直线y ＝2√2x −4上一动点，PM 与PN 是圆C:x 2+(y −1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A.4 3B.23C.53D.56【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．【解答】圆C:x2+(y−1)2＝1圆心坐标为(0, 1)，半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2√2x−4上的动点，∴PC最小值=√8+1=53，∴PM最小值=√(53)2−12=43，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×12×43×1=43．6. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(3π4)=()A.−√22B.−12C.−1D.√22【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(3π4)的值．【解答】由函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象，可得A＝2，由2sinφ=√3，求得φ=π3．再根据五点法作图，可得ω⋅7π12+π3=3π2，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x+π3)，∴f(3π4)＝2sin(3π2+π3)＝−2cosπ3=−1，7. 已知函数f(x)=12−4sinxcosx，若f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，则实数a的最小正值为（）A.2πB.πC.π2D.π4【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】将函数式f(x)进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．【解答】∵f(x)=12−4sinxcosx=12−2sin2x∴f(x)的最小正周期为T＝π；又∵f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，∴f(x)＝−f(x+2a)⇒−f(x)＝f(x+2a)，而−f(x)＝f(x−2a)，∴f(x+2a)＝f(x−2a)⇒f(x)＝f(x+4a)，∴f(x)是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a=π4；8. 设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{1a n}的前20项和为（）A.3 2−12×319B.74−14×319C.3 2−12×3D.74−14×3【答案】A【考点】数列的求和【解析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到1 a n =(13)n−1，再根据等比数列的求和公式即可求出．【解答】设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n−1，∴a n+1−a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n−1，当n＝1时也满足，∴1a n =(13)n−1，∴数列{1a n }的前20项和为1−13201−13=32−12×3199. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A.√3−1B.√3+12C.√22D.√5−12【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．【解答】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得(2a−c)2+c2＝4c2，可得2a2−2ac＝c2，所以e2+2e−2＝0，e∈(0, 1)，解得e=−2+√122=√3−1．10. 已知函数f(x)=asinx−√3cosx图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=asinx−√3cosx=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A.(−∞, e) B.[0, e] C.(−∞, 2) D.(0, 2]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】利用函数求导函数f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，只有一个极值点时f′(x)＝0只有一个实数解有e x−kx≥0，设新函数设u(x)＝e x，v(x)＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【解答】函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝0只有一个实数解，则：e x−kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0时，成立．当k≠0时，设u(x)＝e x，v(x)＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k<0时不成立．故k的取值范围为：(0, e]综上：k的取值范围为：[0, e]12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A.11+4√3B.13+5√3C.16−6√3D.19−10√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a(3−√3)，|AF1|＝2a(2−√3)，再根据勾股定理即可求出【解答】设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，∴|AB|=12|BF2|＝m，|AF2|=√32|BF2|=√3m，由|AF2|−|AF1|＝2a，∴|AF1|=√3m−2a，由|BF2|−|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m−2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴√3m−2a+2m−2a＝m，∴m＝2a(√3−1)，∴|AF|=√3⋅2a(√3−1)＝2a(3−√3)2|AF1|＝2a(3−√3)−2a＝2a(2−√3)又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2(3−√3)2+4a2(2−√3)2＝4c2，即(19−10√3)a2＝c2，∴e2＝19−10√3，二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）已知向量a→，b→，|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，则a→⋅b→=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据|a→|=1,|b→|=2，对|2a→+b→|=√10两边平方即可得出4+4a→⋅b→+4=10，从而可求出a→⋅b→．【解答】∵|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，∴(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+4a→⋅b→+4=10，∴a→⋅b→=1．2已知抛物线E:y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝________．【答案】16【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【解答】由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30∘，则直线AB的倾斜角为60∘，斜率为√3．由抛物线y2＝12x，得F(3, 0)，则直线AB的方程为y=√3(x−3)．联立{y=√3(x−3)y2=12x，得x2−10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．已知函数f(x)＝(x2−2x)e x−1，若当x>1时，f(x)−mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为________．【答案】(−1, +∞)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．【解答】∵f(x)−mx+1+m≤0，∴f(x)≤m(x−1)−1，∵y＝m(x−1)−1且过定点(1, −1)，∵当x>1时，f(x)−mx+1+m≤0有解，∴当x>1时，存在y＝f(x)在y＝m(x−1)−1的下方，∵f′(x)＝(x2−2)e x−1，令f′(x)＝0，解得x=√2，当1<x<√2时，f′(x)<0，当x>√2时，f′(x)>0，∴f(x)在(1, √2)上递减，在(√2,+∞)上递增，∵当x>2时，f(x)>0，又f(1)＝−1，f(√2)<−1，f(2)＝0，∴m>−1，故答案为：(−1, +∞)数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝________．【答案】1【考点】数列的求和【解析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，进而得出结论．【解答】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60∘角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE=α．(1)当α=60∘时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围．【答案】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120∘−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120∘−α)，∴CF=sin(120∘−α)sinα，∴BE+CF=sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin2(120∘−α)+sin2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴S(α)=S△ABC −S△BDE−S△CDF=√3−√34(BE+CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32，∴23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32.故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√3 2].【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式解三角形正弦函数的定义域和值域【解析】（1）当α＝60<em>o</em>时，DE // AC，DF // AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s(α)＝s△<em><em>ABC</em></em>−s△<em><em>BDE</em></em>−s<em>CDF</em>=√3−√34(BE+CF)，代入结合正弦函数的性质可求．【解答】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120−α)，∴ CF =sin(120∘−α)sinα，∴ BE +CF =sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin 2(120∘−α)+sin 2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin 2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin 2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴ S(α)=S △ABC −S △BDE −S △CDF =√3−√34(BE +CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵ 12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32， ∴ 23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32. 故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√32].已知等差数列{a n }前n 项和S n ，等比数列{b n }前n 项和为T n ，a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4．（1）若a 3+b 3＝7，求数列{b n }的通项公式；（2）若T 3＝13，求S 5． 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5． 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由已知列关于d 和q 的方程组，求得q ，可得数列{b n }的通项公式；（2）由b 1＝1，T 3＝13列式求得q ，然后分类求解S 5． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5．已知圆D ：(x −2)2+(y −1)2＝1，点A 在抛物线C:y 2＝4x 上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点．（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线OA 、OQ 交于M 、N ，求证：M 为PN 中点． 【答案】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x ′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1，即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4，所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P +y N =y 1+y 12y 2=y 12(y 1+y 2)y 1y 2=y 12⋅4m16m =y 124=2y M ，即M 为PN 中点． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意设出直线OA 的方程，联立抛物线方程可表示出交点A 的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA 斜率范围，继而算出A 点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB 的斜率，继而写出AB 的方程，可以求得B 点坐标，设出直线l 及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P +y N ＝2y M ，得出结论． 【解答】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1， 即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4， 所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P+y N=y1+y12y2=y12(y1+y2)y1y2=y12⋅4m16m=y124=2y M，即M为PN中点．已知等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}．（1）若a1＝0，d=2π3，求集合S；（2）若a1=π2，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【答案】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}【考点】数列与函数的综合【解析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．【解答】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}已知函数f(x)＝(x −1)lnx ，g(x)=x −lnx −3e ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ． 【答案】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；(Ⅱ)求出ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，所在位置，即可证明：x 1+e >x 2+1e ． 【解答】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过定点M(1, √22)． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l:y ＝kx −13(k ∈R)与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标和△PAB 的面积的最大值，若不存在，说明理由． 【答案】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的离心率 【解析】（1）运用离心率公式和点M 满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P(0, p)，求得向量PA ，PB 和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论． 【解答】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件．。
河北衡水中学2019高三上年末考试--数学(理)
河北衡水中学2019高三上年末考试--数学（理）理科数学试卷第一卷〔选择题共60分〕【一】选择题〔每题5分，共60分〕1.=-+2005)11(ii〔〕A 、iB 、－iC 、20052D 、－200522.设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上单调，那么f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为A 、f(b －2)＝f(a ＋1)B 、f(b －2)>f(a ＋1)C 、f(b －2)<f(a ＋1)D 、不能确定3.某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是()A 、4B 、5C 、6D 、74.随机变量ξ的分布规律如下，其中a 、b 、c 为等差数列，假设E 〔ξ〕=31，那么D 〔ξ〕为〔〕5.欲登上第10级楼梯，假如规定每步只能跨上一级或两级，那么不同的走法共有() A.34种 B.55种 C.89种 D.144种6.设数列{}na为等差数列，其前n 项和为S n ，93,99852741=++=++a a a a a a ，假设对任意*∈N n ，都有kn S S ≤成立，那么k 的值为〔〕A 、22B 、21C 、20D 、197.某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，那么该几何体的体积为()A 、24－3π2B 、24－π3C 、24－πD 、24－π2 8.在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，那么有理项都不相邻的概率为 〔〕A 、16B 、14C 、13D 、5129.假设a＝sin x d x ，b ＝⎠⎛01cos x d x ，那么a 与b 的关系()A 、a <bB 、a >bC 、a ＝bD 、a ＋b ＝010.将奇函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，那么ω的值能够为()A 、2B 、3C 、4D 、611.在平面直角坐标系xOy 中，点A 〔5，0〕，关于某个正实数k ，存在函数f 〔x 〕=ax 2〔a ＞0〕，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙=||||OQ OQOA OA OP λ〔λ为常数〕，那个地方点P 、Q 的坐标分别为P 〔1，f 〔1〕〕，Q〔k ，f 〔k 〕〕，那么k 的取值范围为〔〕A 、〔2，+∞〕B 、〔3，+∞〕C 、[4，+∞〕D 、[8，+∞〕 12、关于定义域和值域均为[0，1]的函数f 〔x 〕，定义f 1〔x 〕=f 〔x 〕，f 2〔x 〕=f 〔f 1〔x 〕〕，，…，f n 〔x 〕=f 〔f n-1〔x 〕〕，n=1，2，3，…、满足f n 〔x 〕=x 的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点、设f 〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121,22210,2x x x x ，那么f 的n 阶周期点的个数是〔〕A 、2nB 、2〔2n-1〕C 、2nD 、2n 2第二卷非选择题〔共90分〕【二】填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13.平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，假如这三条直线将平面划分为六部分，那么实数k 的取值集合为、14.边长是ABC内接于体积是的球O ，那么球面上的点到平面ABC 的最大距离为。
河北省衡水中学高三上学期第周周测数学(理)试题 Word版含答案2
河北省衡水中学2021届高三上学期第21周周测数学〔理〕试题第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、含有三个实数的集合可表示为{,1,}b a a ，也可表示为2{,0,}a b a +，那么20162016a b + 的值是 A ．0 B ．1 C ．-2 D ．1±2、设复数2()1a i z i +=+，其中a 为实数，假设z 的实部为2，那么z 的虚部为 A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i - 3、函数cos 42x x y =的象大致是4、在ABC ∆中，080,100,45a b A ===，那么此三角形的解的情况是A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5、函数()f x 是R 上的单调函数且对任意实数x 都有21[()]213x f f x +=+，那么2(log 3)f = A ．1 B ．45 C ．12D ．0 6、假设某程序框如下，那么该程序运行后输出的值是A ．2B ．3C ．4D ．57、平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,3,2)a b m ==-，，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成(,c a b λμλμ=+为实数〕那么m 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2)-∞+∞8、棱长为1的正方体的俯视是衣蛾面积为1的正方形，记该正方体的正视与侧视的面积分别为12,S S ，那么A ．1211S S -为定值 B．22122S S +为定值 C ．1211S S +为定值 D ．12221222S S S S ++为定值 9、平面区域3418020x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短间隔 为m ，假设点(,)P x y ∈Ω，且mx y -的最小值为的,y p x m +最大值为q ，那么pq 等于 A ．2722 B ．3 C ．25D ．0 10、如，阴影局部是由四个全等的直角三角形组成的形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为15 假设直角三角形的两条直角边的长分别为,()a b a b >，那么b a =A ．13B ．12C 3．2211、如，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为23动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形〔含三角形〕的周长为y ，设BP x =，那么当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为A ．[26,66]B ．[26,18]C ．[36,18]D ．[36,66]12、函数()f x 与()f x '的象如下列所示，那么函数()()x f x g x e=的递减区间 A ．(0,4) B ．4(,1),(,4)3-∞ C ．4(0,)3 D ．(0,1),(4,)+∞第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、数列{}n a 定义如下：12212(1)1,3,,1,2,3,21n n n n n a a a a a n n n +++===-=++， 假设201642017m a >+ 那么正整数m 的最小值为 14、设,,[0,2)a b R c π∈∈，假设对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+，定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的象与cos y x =的象的焦点横坐标为,d 那么满足条件的有序实数组(,,,)a b c d 得组数为15、先后抛掷投资〔骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6个点〕两次，落在程度桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数〞，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠〞，那么事件(|)P B A 等于16、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，假设,48AF FB BA BC =⋅=，那么抛物线的方程为三、解答题：本大题共6小题，总分值70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17、〔本小题总分值12分〕递增的等比数列{}n a 的前n 项和为6,64n S a =，且45,a a 的等差中项为33a .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、〔本小题总分值12分〕某园林基地培养了一中新欣赏植物，经过一点的生长发育，技术人员从中抽取了局部植株的高度〔单位：厘米〕作为样本〔样本容量为n 〕进展统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分组作出频率分布直方，并作出样本高度的茎叶〔中仅列出了高度在[)50,60[],90,100的数据〕.〔1〕求样本容量n 和频率分布直方中,x y 的值；〔2〕在选取的样本中，从高度在80厘米以上〔含80厘米〕的植株中随机抽取3珠高度在[)80,90 内的株数，求随机变量X 的分布列及数学期望.19、〔本小题总分值12分〕如，在三棱柱111ABC A B C -中，0111,90,BB B A AB BC B BC D ===∠=为AC 的中点，1AB B D ⊥. 〔1〕求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；〔2〕求直线1B D 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20、〔本小题总分值12分〕两点1(3,0)F -和点2(3,0)F ，点(,)P x y 使平面直角坐标系xOy 内的一动点，且满足24OF OP OF OP +++=，设点P 的轨迹为C .〔1〕求轨迹C 的方程；〔2〕设曲线C 上的两点,M N 均在x 轴的上方，且12//FM F N 点使轴上的定点(0,2)R ，假设以MN 为直径的圆恒过定点R ，求直线1F M 的方程.21、〔本小题总分值12分〕函数()()21ln ,8f x x xg x x x ==-. 〔1〕求()f x 的单调区间和极值点；〔2〕是否存在实数m ，使得函数()()3()4f x h x m g x x=++有三个不同的零点？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由.22、〔本小题总分值10分〕 曲线C 的参数方程为6cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数〕，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1314x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '. 〔1〕求曲线C '的普通方程；〔2〕假设点A 在曲线C '上，点(1,3)D ，当点A 在曲线C '上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程.23、〔本小题总分值10分〕 选修4-5 不等式选讲函数()5()f x x m x m R =+--∈.〔1〕当3m =时，求不等式()6f x >的解集；〔2〕假设不等式()10f x ≤对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.附加题24、函数()1ln()f x x ax a =+-，其中a R ∈且0a ≠ .〔1〕讨论()f x 的单调区间；〔2〕假设直线y ax =的象恒在函数()f x 像的上方，求a 的取值范围；〔3〕假设存在1210,0x x a-<<>，使得()()120f x f x ==，求证：120x x +>。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 S={ 1，2} ， T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ）
A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2
2．（ 5 分）已知复数 z1，z2 满足 | z1| =| z2| =1，| z1﹣z2| = ，则| z1+z2| 等于（ ） A．2 B． C．1 D．3
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 解答时请写清题号 .[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐标系中，圆 C 的方程是 x2+y2﹣4x=0，圆心为 C，在以坐标 原点为极点， 以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 C1：ρ＝﹣4 sin θ 与圆 C 相交于 A， B 两点． （ 1）求直线 AB 的极坐标方程；
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2019?云南二模）已知集合 S={ 1，2} ，T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ） A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2 【分析】 求出 T 中不等式的解集确定出 T，找出 S 与 T 的交集即可． 【解答】 解：由 T 中不等式变形得： x2﹣ 4x+3＜0，即（ x﹣1）（ x﹣3）＜ 0， 解得： 1＜x＜3，即 T=（1，3）， ∵ S={ 1，2} ， ∴ S∩ T={ 2} ， 故选： B．
∴
﹣ 2z1z2+
河北省衡水2019-2020学年高三上学期期中考试理科数学试卷(有答案)(已审阅)
2019-2020学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. B.C. 2D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 1B.C. 211.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1•f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀a∈（﹣1，+∞），∃x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋•龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019•衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋•衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋•新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，∀a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋•湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013•济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019•兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014•淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014•济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1•f（x2）＜1×2，即≤x1•f（x2）＜2，故x1•f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019•衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋•衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015•南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋•袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→0时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春•保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014•唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋•新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，=absinC=a••a×==3，∵S△ABC∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春•桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀a∈（﹣1，+∞），∃x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x）=﹣（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由∀a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由∃x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014•新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014•东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019•高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014•唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED•EO．由切割线定理得EA2=EB•EC，∴ED•EO=EB•EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019•衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ+2=0，∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。
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河北省衡水中学2019～2020届高三上学期第21周周测
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、含有三个实数的集合可表示为{,1,}b
a a ，也可表示为2
{,0,}a b a +，则20162016a b + 的值是 A ．0 B ．1 C ．-2 D ．1±
2、设复数2(
)1a i z i +=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32
i - 3、函数cos 42x x y =
的图象大致是
4、在ABC ∆中，080,100,45a b A ===，则此三角形的解的情况是
A ．一解
B ．两解
C ．一解或两解
D ．无解
5、已知函数()f x 是R 上的单调函数且对任意实数x 都有21[()]213x f f x +
=+，则2(log 3)f = A ．1 B ．45 C ．12
D ．0 6、若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7、已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,3,2)a b m ==-，，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成(,c a b λμλμ=+为实数）则m 的取值范围是
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(,2)(2)-∞+∞
8、已知棱长为1的正方体的俯视图是衣蛾面积为1的正方形，记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为12,S S ，则
A ．1211S S -为定值 B
为定值 C ．1211S S +为定值 D ．12221222S S S S ++为定值 9、已知平面区域3418020x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m ，若点(,)P x y ∈Ω，且mx y -的最小值为的,
y p x m +最大值为q ，则pq 等于 A ．2722 B ．3 C ．25
D ．0 10、如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为
15 ，若直角三角形的两条直角边的长分别为,()a b a b >，则b a =
A ．13
B ．12
C
．3 D
．2 11、如图，正方体1111ABCD A B C D -
的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为
A ．
B ．
C ．
D ．
12、已知函数()f x 与()f x '的图象如下图所示，则函数()()x f x g x e
=的递减区间 A ．(0,4) B ．4
(,1),(,4)3-∞ C ．4(0,)3
D ．(0,1),(4,)+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、数列{}n a 定义如下：12212(1)1,3,,1,2,3,21n n n n n a a a a a n n n +++===
-=++， 若201642017
m a >+ ，则正整数m 的最小值为 14、设,,[0,2)a b R c π∈∈，若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π
-=+，定义在区间[0,3]π上的函
数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的焦点横坐标为,d 则满足条件的有序实数组(,,,)a b c d 得组数为
15、先后抛掷投资（骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数
分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则事件(|)P B A 等于
16、过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若,48AF FB BA BC =⋅=，则抛物线的方程为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为6,64n S a =，且45,a a 的等差中项为33a .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21n n n b a -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18、（本小题满分12分）
某园林基地培养了一中新观赏植物，经过一点的生长发育，技术人
员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,7 分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[)50,60[],90,100的数据）
.
（1）求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；
（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3珠高度在[)80,90 内的
株数，求随机变量X 的分布列及数学期望.
19、（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，0111,90,BB B A AB BC B BC D ===∠=为AC 的中点，1AB B D ⊥.
（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；
（2）求直线1B D 与平面11ACC A 所成角的正弦值.
20、（本小题满分12分）
已知两
点1(F 和
点2,0)
F ，点(,)P x y 使平面直角坐标系xOy 内的一动点，且满足24OF OP OF OP +++=，设点P 的轨迹为C .
（1）求轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 上的两点,M N 均在x 轴的上方，且1
2//FM F N 点使轴上的定点(0,2)R ，若以MN 为直径的圆恒过定点R ，求直线1F M 的方程.
21、（本小题满分12分）
已知函数()()21ln ,8
f x x x
g x x x ==-. （1）求()f x 的单调区间和极值点；
（2）是否存在实数m ，使得函数()()3()4f x h x m g x x =
++有三个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22、（本小题满分10分）
已知曲线C 的参数方程为6cos (4sin x y θθθ
=⎧⎨=⎩为参数）
，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1314
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点(1,3)D ，当点A 在曲线C '上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程.
23、（本小题满分10分） 选修4-5 不等式选讲
已知函数()5()f x x m x m R =+--∈.
（1）当3m =时，求不等式()6f x >的解集；
（2）若不等式()10f x ≤对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.
附加题
24、已知函数()1ln()f x x ax a =+-，其中a R ∈且0a ≠ .
（1）讨论()f x 的单调区间；
（2）若直线y ax =的图象恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；
（3）若存在1210,0x x a
-
<<>，使得()()120f x f x ==，求证：120x x +>。