2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数及其表示 Word版含解析

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【推荐】2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：变化率与导数、导数的计算

变化率与导数、导数的计算【考点梳理】1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．【考点突破】考点一、导数的计算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2； (4)y ＝cos x e x .[解析] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .【类题通法】1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【对点训练】1．f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e[答案] B[解析] f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x ＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．[答案] 3[解析] f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.考点二、导数的几何意义【例2】已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[解析] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 2，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[答案] (e ，e)[解析] 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．【例4】(1)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1(2)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D ．12[答案] (1)B (2)A[解析] (1)设切点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝－12＋1x，则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1.(2)由y ′＝－2(x －1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A.【类题通法】1.导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．【对点训练】1．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解析](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.2．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3)[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－1a·ex图象的切线，则实数a＝________.[答案] e2[解析]设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1a·e x0＝－1，∴e x0＝a，又－1a·e x0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.4．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.[答案] 1[解析]∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.。

2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理课件理

2 1
π 0
π 0

2x
1
1
14 12 14 12 ＝ e － e ＋ln 2－ln 1＝ e － e ＋ln 2. 2 2 2 2
(4)
1－sin 2x dx＝
|sin x－cos x|dx
＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx ＝(sin x＋cos x) ＋(－cos x－sin x) ＝ 2－1＋(－1＋ 2)＝2 2－2.
大流量比为 S2∶S1＝6∶5.
•三定积分在物理中的应用
定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时
b v(t)dt. 刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝
a
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动
25 止一共行驶了 4 s，此期间行驶的距离为 v(t)dt＝ 7－3t＋ dt 1＋t
4 0 4 0

4 32 ＝7t－2t ＋25ln1＋t 0
＝4＋25ln 5 (m)．
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为 W＝ F(x)dx＝ 5 dx＋
(2)建立如图所示的平面直角坐标系， 2 2 由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝ x －2， 25
6＋10×2 2 2 40 抛物线与 x 轴围成的面积 S1＝ 2－25x dx＝，梯形面积 S2＝＝16，最 3 2 －5 5
•二定积分几何意义的应用
• (1)利用定积分求平面图形面积的步骤： • ①根据题意画出图形； • ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； • ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； • ④计算定积分，写出答案． • (2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理课件理

(1)若f(x)是偶函数,则
a
f(x)dx=2
a
a 0
f(x)dx;
(2)若f(x)是奇函数,则
a
f(x)dx=0.
a
1-1
计算定积分
2 1
|3-2x|dx=
.
答案 1
2
解析
因为|3-2x|=
3
2
x
,
x
2
x
3,
x
3 2 3 2
, ,
所以 2 1
|3-2x|dx
3
2
= 2 1
(3-2x)dx+
典例2 (1)(2016唐山统一考试)过点(-1,0)的直线l与曲线y= 相x 切,则
曲线y= x与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为
;
(2)(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导
b
n
a
f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,
b
这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作① a f(x)dx ,即
b a
f(x)dx= l i m n
n
i 1
b
f(aξi).这里a和b分别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b]
n
叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.
x
dxx12;
1
(4) 0
1dx(x;(5)1)2
(3x3+4s5 in 5
x)dx.
解析
(1)因为(ln x)'= 1
x
,所以 12
2 x
dx= 1221x

第三章导数及其应用专题11 导数与定积分 Word版含解析 2018届高考数学考点详解技巧大全

考点22 导数的几何意义考场高招1 导数的几何意义应用规律 1. 解读高招类型解读典例指引求参数值已知曲线上一点P (x 0,y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),应先确定该切线的斜率k ,再求出函数的导函数,最后利用导数的几何意义得到k=f'(x 0)=tan α,求有关参数的值典例导引1(1)求直线的倾斜角由k=f'(x 0)=tan α可求α,其中倾斜角α∈[0,π)典例导引 1(2)温馨提醒切点的三重身份的灵活应用,即(1)切点在切线上;(2)切点在曲线上;(3)切线斜率k=f'(x 0)2.典例指引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f (x )=e xsin x 在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m= .(2)若点P 是函数y=e x-e -x-3x 图象上任意一点,且在点P 处切线的倾斜角为α,则α的最小值是 . 【答案】(1)-1 (2)3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.2.(2016课标Ⅱ,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .【答案】 1-ln 23.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b 的值为.【答案】 1【解析】∵两曲线的交点为(0,m), ∴m=a cos 0,m=02+b×0+1.∴m=1,a=1.∵曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线, ∴f'(0)=g'(0).∴-sin 0=2×0+b.∴b=0,∴a+b=1.考场高招2 求曲线y=f(x)的切线方程看清“在”与“过”1.解读高招典例解读典例指引求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线方程点P(x0,y0)为切点,当切线斜率存在时,切线斜率为k=f'(x0),有唯一的一条切线为y-y0=f'(x0)(x-x0);当切线斜率不存在时,切线方程为x=x0典例导引2(1)求“过”曲线y=f(x)上一点切线经过点P,点P可以是切点,也可以不是切点,这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,典例导引2(2)P (x 0,y 0)的切线方程即:①设点A (x 1,y 1)是曲线y=f (x )上的一点,则以A 为切点的切线方程为y-y 1=f'(x 1)(x-x 1);②由点P (x 0,y 0)在切线上,点A (x 1,y 1)在曲线y=f (x )上,得到方程组求出切点A (x 1,y 1),代入方程y-y 1=f'(x 1)(x-x 1),化简即得所求的切线方程2.典例指引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f (x )是奇函数,当x<0时,f (x )=x ln(-x )+x+2,则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=-2x+3D.y=-2x-3(2)经过原点(0,0)作函数f (x )=x 3+3x 2的图象的切线,则切线方程为 . 【答案】 (1)B (2)y=0或9x+4y=03.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理15)已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.2.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【答案】 (-ln 2,2)【解析】设点P的坐标是(x0,),则由题意知,y'=-=-2,得x0=-ln2,又=e ln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).3.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点23 定积分的计算与应用考场高招3 求定积分的常用方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引定理法利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,可利用此结论检验被积函数的正确性函数较简单典例导引3(2)几何法用定积分的几何意义来求,即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小函数较复杂且有明显的几何意义典例导引3(1)方法解读适合题型典例指引性质法利用定积分的性质baf(x)d x=caf(x)d x+bcf(x)d x,根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可绝对值函数、分段函数典例导引3(3)奇偶性法若函数f(x)为偶函数,且在区间[-a,a]上连续,则a-af(x)d x=2af(x)d x;若f(x)是奇函数,且在区间[-a,a]上连续,则a-af(x)d x=0函数为奇函数或偶函数典例导引3(4)2.典例指引3(1)(2017中原名校三评)已知函数f(x)=f(x)d x= .(2)sin2d x= .(3)定积分(|x|-1)d x= .(4)计算:(x3cos x)d x= .【答案】(1)6+(2)(3)-1(4)03.亲临考场1.(2014陕西,理3)定积分(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C【解析】因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.2. (2015湖南,理11)(x-1)d x= .【答案】0【解析】(x-1)d x==0.3.(2017湖北荆州模拟)计算:d x= .【答案】【解析】因为F'(x)= '=2x-,所以d x=F(3)-F(1)=9+-1-1=.考场高招4 利用定积分求平面图形面积的步骤1.解读高招步骤解读建系画图根据题意画出图形确定函数借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限分割面积将要求面积的图形进行科学而准确的划分,表示成若干个定积分的和或差准确计算计算定积分得出答案温馨提醒(1)注意面积非负,而定积分的结果可以为负.(2)若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量2.典例指引4求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.3.亲临考场1.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【答案】故所求面积S=(x-x2)d x=.2.(2017河北唐山模拟)曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为.【答案】5 12【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为-x3)d x=.。

高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理含解析

高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理含解析【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i ＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx ＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作f(x)dx ，即f(x)dx ＝f(ξi).1n i =∑1n i =∑lim n →∞1n i =∑在f(x)dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x) ，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)(cos x＋1)dx＝________.(2)|x2－2x|dx＝________.(3)(2x＋)dx＝________.[答案] (1) π(2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π.(2)|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝＋4＋4－＝8.(3)dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，∴dx＝.又∵ 2xdx＝x2＝1，∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝1＋.。

导数与定积分知识汇总

高考数学----导数、定积分知识清单一、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y△x叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即△y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。

如果当0→∆x 时，△y△x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0即f ‘（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。

●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。

2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

函数的奇偶性与周期性【考点梳理】1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．【考点突破】考点一、函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0. [解析] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )．∴该函数为奇函数.(2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.【类题通法】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．【对点训练】1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[答案] C[解析] A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．2．判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．[解析] 由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.考点二、函数奇偶性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.[答案] (1)1 (2)⎩⎨⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.【类题通法】 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．【对点训练】1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.2．函数y ＝log 21＋x 1－x的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x ＝－f (x )，∴函数y＝log21＋x1－x为奇函数，故选A.考点三、函数的周期性及其应用【例3】设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.[答案] 1 009[解析]∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.[变式1]若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.[变式2]若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝1f(x)”，则结论如何？[解析] ∵f(x＋1)＝1f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f(x＋1)＝f(x).故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.【类题通法】1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ，(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ， (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)．【对点训练】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎨⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2) [答案] D [解析] 由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.。

导数、定积分知识结构与拓展

知识篇知识结构与拓展高考数学 2018年9月十摩錢理化■河南省信阳高级中学熊成兵导数导数的运算导数的应用定积分-、知识结构框架导数的概念—导数的几何意义、物理定义常见函数的导数导数的运算法则复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最值导数与方程的解导数与不等式「定积分的背景与定义微积分基本定理定积分的运算与性质 .定积分的应用、结构分析微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

导数、定积分都是微积分的核心概念。

在本章中，要理解导数的概念，了解导数在研究函数的单调性、极值与最值、零点问题，以及导数与不等关系中的作用，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

本部分一直是高考的重点和难点。

一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的性质；利用导数解决与不等式相关问题；本部分涉及的数学思想主要为分类整合思想，转化与化归思想，对同学们的运算求解能力和推理论证能力的提高有很大的帮助。

三、实例分析例1 设函数/(1)=13 + ( —1)工2 +a i ，若/ (I )为奇函数，则曲线y =/(:r )在点(0,0)处的切线方程为（）。

八y = —2c cB .y = —s cC .y= 2 scD .y = c分析：本题考查函数的对称性和导数的几何意义及其运算。

利用奇函数偶次项系数为零求得a = 1，进而得到/(c )的解析式，再对/(c )求导得出切线的斜率^，进而求得切线方程。

解：因为函数/ (c )是奇函数，所以a —1=0,解得a = 1，所以/ (c )=c 3+c ，所以/'(c ) = 3C + 1，所以 /'(0) = 1，/(0) = 0,所以曲线y =/(c )在点（0,0)处的切线方程为y — /(〇)=/'(0)c，化简得 y =c 。

2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数的图象+Word版含解析

函数的图象【考点梳理】1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象．(4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．【考点突破】考点一、作函数的图象【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.[解析] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④. 【类题通法】画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．【对点训练】分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解析] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.考点二、识图与辨图【例2】(1)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )(2)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()A B C D[答案] (1)D(2)B[解析](1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P沿着边BC运动，即0≤x≤π4时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△P AB中，|P A|＝|AB|2＋|PB|2＝4＋tan2x，则f(x)＝|P A|＋|PB|＝4＋tan2x＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B. 【类题通法】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．【对点训练】1．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x [答案] A[解析] 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x－1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb ＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.考点三、函数图象的应用【例3】已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) [答案] C[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．【例4】已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．[答案] 5[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.【例5】若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx －1，x ＞0，－ln (－x )，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)[答案] B[解析] 根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，即km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.【例6】函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2[解析] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上f (x )cos x ＜0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以f (x )cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.【类题通法】函数图象应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【对点训练】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)[答案] D[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0[答案] B[解析] 函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3．已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1][答案] D[解析] 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}[答案] C[解析] 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．。

高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1课时函数及其表示精品课件

结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．奇偶性
知识点
指数与指数函数
对数与对数函数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法：解析法、
图象法、列表法．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x) 1x－1，将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中，可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．

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二次函数与幂函数【考点梳理】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质考点一、求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解析] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【类题通法】用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下【对点训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．[解析]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.考点二、二次函数的图象与性质【例2】(1)设abc ＞0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[解析] (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误．(2)作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.【例3】(1)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1D ．0(2)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，1]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2[答案] (1)A (2)D[解析] (1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x ≥15，令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.故选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a ，1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.【例4】已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12[解析] 由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16.因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12. 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.【类题通法】1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min . 【对点训练】1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )A B C D[答案] D[解析] 由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.2．已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)[答案] C[解析] 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.3．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞). 4．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解析](1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.5．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．[答案] (－4，4)[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.考点三、幂函数的图象与性质【例5】(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝223mm x --(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．[答案] (1)C(2)1[解析] (1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝1 2，∴f(x)(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.又m∈N*，∴m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．∴m2－2m－3的值应为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，∴m＝2舍去．因此m＝1.【类题通法】1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.【对点训练】1．设a ＝0.5，b ＝0.9，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c[答案] D [解析] a ＝0.5＝0.25，b ＝0.9，所以根据幂函数的性质知b ＞a ＞0，而c ＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .2．若(a ＋1) ＜(3－2a ) ，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [解析] 易知函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.。

2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：导数与函数的极值、最值 Word版含解析

导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【例2】求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.【例3】(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，1)D ．(0，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.[答案] (1)B (2)5[解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝ln x＋1x，设g(x)＝ln x＋1x，则g′(x)＝－ln xx2，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0＜2a＜1⇒0＜a＜1 2.(2)f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案] A[解析]导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．2．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． [解析] (1)由于f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝2a ，f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝－b ，解得⎩⎨⎧b ＝－3，a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3.于是有f (1)＝－52.又f ′(1)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，则g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x ，令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，当x ≤0或x ≥3时，g ′(x )≤0，当0≤x ≤3时，g ′(x )≥0，于是函数g (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减．所以函数g (x )在x ＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x ＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2C．4 D．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：单调递减单调递增所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.【类题通法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．【对点训练】若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D. 考点三、利用导数研究生活中的优化问题【例5】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解析] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【类题通法】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．【对点训练】某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.[答案] 40[解析] 由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0＜x＜40时，y′＜0；x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时，y有最小值．。

2018高考数学考点突破函数与导数、定积分：函数及其表示含解析精品

函数及其表示【考点梳理】1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【考点突破】考点一、求函数的定义域【例1】(1)函数y＝3－2x－x2的定义域是________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________． [答案] (1)[－3，1] (2)[0，1)[解析] (1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0，1)．【类题通法】1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【对点训练】1．函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 由题意，自变量x 应满足⎩⎨⎧ 1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎨⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.2．已知函数f (2x )的定义域为[－1，1]，则f (x )的定义域为________.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2[解析] ∵f (2x )的定义域为[－1，1]， ∴12≤2x≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.考点二、求函数的解析式【例2】(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式． (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解析] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．【类题通法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．【对点训练】1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. [答案] x 2－1(x ≥1)[解析] (换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.[答案] 23x ＋13(x ＞0)[解析] 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23x ＋13(x ＞0)．3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x －1[答案] A[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.考点三、分段函数及其应用【例3】(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4 D.12 016[答案] (1)C (2)C[解析] (1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. (2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C. 【例4】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3 D.3或－ 3[答案] D[解析] f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D. 【例5】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2(x ＋1)，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[答案] (1)－13 (2)(－∞，8][解析] (1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13. (2)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．【类题通法】1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【对点训练】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＝________.[答案] 4[解析] ∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4. 2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －2)，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.[答案] 1[解析] 由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78 C ．34 D ．12[答案]D[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则522b -＝4，解得b＝12.4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[答案] A[解析] 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，2][解析]由题意得⎩⎨⎧ f (a )＜0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎨⎧f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2. 由⎩⎨⎧ a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.。

2018版高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三讲定积分与微积分基本定理课件理

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第三章·第三讲定积分与微积分基本定理考点二微积分基本定理
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第三章·第三讲定积分与微积分基本定理
【规律总结】
常见被积函数的原函数
被积函数
f(x) f(x)的一个原函数F(x) 被积函数
f(x) f(x)的一个原函数F(x)
xα(α≠-1)
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第三章·第三讲定积分与微积分基本定理
图3-3-5
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第三章·第三讲定积分与微积分基本定理
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第三章·第三讲定积分与微积分基本定理
答案 C 点评物体沿直线朝一个方向运动的路程问题,只需对速度求定积分,积分的上、下限分别是计时结束和开始Biblioteka 时间.数学题型全突破 6
考法二
第三章·第三讲定积分与微积分基本定理定积分的应用
考法指导 1.求图形的面积利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出曲线的交点坐标,确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 求解时,注意要把定积分与利用定积分计算的图形面积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正. 2.求变速运动的路程和变力做的功详见教材.定积分的物理意义. .
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考点一定积分
第三章·第三讲定积分与微积分基本定理
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18版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理课件理

(2)若 f(x)为奇函数，则ʃa －af(x)dx＝0.
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
b (1)设函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续，则ʃb f ( x )d x ＝ ʃ a af(t)dt.( √ )
(2)若函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续且恒正，则ʃb af(x)dx>0.( √ ) (3)若ʃ b af(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方.( × )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的.( × )
2 (5)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是ʃ1 ( x －x)dx.( × ) 0
考点自测
x 1.(2017· 福州质检) ʃ1 0(e ＋2x)dx 等于
答案
解析
A.1
B.e－1
C.e
D.e＋1
x x 2 1 ʃ1 (e ＋ 2 x )d x ＝ (e ＋ x )|0＝e＋1－1＝e. 0
3.微积分基本定理
一般地，如果 f(x) 是区间 [a ， b] 上的连续函数，且 F′(x) ＝ f(x) ，那么
F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿— ʃb af(x)dx ＝
莱布尼茨公式.
b F ( x )| a ，为了方便，常把F(b)－F(a)记作
即
ʃb af(x)dx ＝ F ( x )
3.(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间
的1 s内经过的位移是答案
13 A. m 2 B.6 m
解析
15 C. m 2
D.7 m

2018年高考数学总复习第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理

关闭
∴S=
2 0
(4x-x3)dx=
2��
2
-
1 4
��
4
|02 =4.
π
π
(2)
2
0
(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)|02 =-a+1=2,a=-1.
(于3)依01A题(.12√意��知-x2,)题dx中=13的,B因.正16此方所形投区的域点的落C面.在14积叶为形1图2=内1D,部.阴13 的影概区域率等的于面13积,故等选关闭 D(1.)D (2)A (3)D
2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;再确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.
考点1 考点2 考点3
-21-
(2) π 0(sin x-cos x)dx= π 0sin xdx- π 0cos xdx=(-cos x)|π 0-sin x|π 0=2.
(3)
2 1
e2�� + 1
��
dx=
2 1
e2xdx+
2 1
��1��dx=12e2x|12+ln x|12 = 12e4-12e2+ln 2-ln
A.√22
B.13
C.12
D.23
如图思,考∵怎满足样题求意定的积图分形与的概面率积的交S=汇01问��题��12d?x=23
��
3 2
|10
=

【推荐】2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数模型及其应用

函数模型及其应用【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A B C D[答案] (1)A(2)D[解析] (1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.【类题通法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【对点训练】1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()[答案] D[解析]y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()[答案] B[解析] 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.考点二、应用所给函数模型解决实际问题【例2】某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)①②(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2x(x≥0).(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6，所以总利润y＝8.25万元.②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0，32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.【类题通法】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【对点训练】某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B (x －A )，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元[答案] A[解析] 根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝⎩⎨⎧4，0＜x≤5，4＋12(x－5)，x＞5，所以f(20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.考点三、构建函数模型解决实际问题【例3】(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.[答案] (1)B (2)9[解析] (1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n>2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0＜x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.【类题通法】构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋a x (a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．【对点训练】1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)[答案] 8[解析] 设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.2．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.。

2018高考数学题源探究课件——导数及其应用：定积分与微积分基本定理

t0 3
B．5
C．6
D．8
解析：由变速直线运动路程与速度的关系得 (2t＋3)dt＝22，
2
即(t ＋3t)
0 t3＝22，
∴t2 0＋3t0－40＝0(t0＞3)， ∴t0＝5，故选 B.
1 3.(选修 2－2 P60B 组 T1(1)改编)
0
1－x2dx 的值为( D ) π D. 4
解析：由题意知
sin x
3 3 ＝－－＝ 3. 2 2
7．(选修 2－2 P60 A 组 T1(2)改编)曲线 y＝－x2＋9 与直线 x＋y－7 9 ＝0 所围成的图形的面积为________ ． 2
解析：如图，作出 y＝－x2＋9 与 x＋y－7＝0 的草图，所求的面
2 y＝－x ＋9，积为图中阴影部分面积，由方程组 x＋y－7＝0，
2 2 9．(选修 2－2 P60 B 组 T1(2)改编) [ 1－x－1 ＋πx]dx＝ 0 5π 2 ________.
2 2 2 2 2 解析： 1 － x － 1 d x ＋ [ 1－x－1 ＋πx]dx＝ πx dx，

0

0

2 y ＝ x ，解析：由 3 y ＝ x
1 0
得 x＝0 或 x＝1，由图易知封闭图形的面积 S＝
1 1 1 (x －x )dx＝－＝，故选 A. 3 4 12
2 3
2．(选修 2－2 P59 练习 T1 改编)一物体沿直线以 v＝2t＋3(t 的单位为 s，v 的单位为 m/s)的速度运动，该物体在时间段[3，t0]内行进的路程为 22 m，则 t0 的值为( B ) A．4
2 y ＝x，解析：由 2 y ＝ x ，