河南洛阳市2019年高考第三次统一考试数学理科卷及答案解析

【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题．
15.若数列 满足 ，且对于任意的 都有 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用累加法求出数列 的通项，再利用裂项相消法求解.
【详解】由题得
所以 ，适合n=1.
所以 ，
所以 .
故答案 ：
【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在 中，已知内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 ， ，且 ， 为锐角.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 得 ，再化简得到角 大小；（2）先利用正弦定理得 ， 且 .再利用三角函数的图像和性质求
16.如图所示，在棱长为6的正方体 中，点 分别是棱 ， 的中点，过 ， ， 三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．
【答案】
【解析】
如图，延长 相交于 ，连接 ，交 于 ，延长 相交于 ，连接 交 于 ，可得截面五边形 ， 是边长为 的正方体，且 分别是棱 的中点， ， 截面的周长为 ，故答案为 .
故答案为：-2295
【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_________．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】由题得样本容量为 ，
抽取的高中生人数为 人，
则近视人数为 人，
故选： ．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
4.在等比数列 中，已知 ，则 （）
A.6B. C.-8D.8
【答案】D
【解析】
k=6,p=720,6＜7,
k=7,p=5040,7≥7，
输出P=5040.
故选：C
【点睛】本题主要考查程序框图和循环结构，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆，中间有边长为 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是
推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙 丙 团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长．
【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，
丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，
得到年龄从大到小是乙 丙 学委，
由此得到乙不是学委，故乙是班长．
故答案为：乙．
18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC= ,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。
（I）证明PC 平面BED；
（II）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小
【答案】
【解析】
解法一：因为底面ABCD为菱形，所以BD AC,又
19.某商场营销人员对某商品 进行市场营销调查，发现每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
可得 =（5，5），
• =2×5+1×5=15，
| |=5 ，
可得向量 在 方向上的投影为：
= ．
故选：C．
点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
C.在 上单调递增，为偶函数D.周期为 ，图象关于点 对称
【答案】B
【解析】
分析】
先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.
【详解】设点P(x,y)是函数 图像上的任意一点，则点Q 在函数y=f(x)的图像上，
，
对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是 ，所以图象不关于直线 对称，所以该选项是错误的；
【详解】 ，
，
则 或 ，
则 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．
3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.100，10B.100，20C.200，10D.200，20
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
【详解】如图所示：
， ，
．
故选：B
【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
9.已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线于 两点， 为坐标原点，若 6，则 的面积为（）
， ， .
故随机变量的分布列为
1
2
3
所以 .
【点睛】本题主要考查回归方程的求法，考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，考查分布列的求法和期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 经过点 ，且点 为其一个焦点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 与 轴的两个交点为 ， ，不在 轴上的动点 在直线 上运动，直线 ， 分别与椭圆 交于点 ， ，证明：直线 通过一个定点，且 的周长为定值.
的解集为 等价于 的解集为 ，
即当且仅当在区间 上函数 的图象在直线 的上方，
函数 的图象与直线 的位置关系如图所示，
由图可知： ，
解得： ，
故选:
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和图像，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的 ，由此计算体积即可．
【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的 ，
所以几何体的体积为 ；
故选： ．
【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积．
回馈点数
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合该商品每天的销量 （百件）与返还点数 之间的相关关系.请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 ，并预测若回馈6个点时该商品每天销量；
（2）已知节日期间某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了抽样调查，得到如下频数表：
设等比数列 的公比为 ，则 ，所以 ，则 ，选D.
5.已知向量 ，点 ， ，则向量 在 方向上的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：运用向量的加减运算可得 =（5，5），运用向量的数量积的坐标表示，以及向量 在 方向上的投影为 ，即可得到所求值．
详解： ，点C（﹣1，0），D（4，5），
12.已知函数 ，若 的解集为 ，且 中恰有两个整数,则实数 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，所以函数 在 为增函数，在 为减函数，作函数 的图象与直线 ，由其位置关系得： ，解得 ，得解.
【详解】设 ，则
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 为增函数，在 为减函数，
洛阳市2018—2019学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 满足 ，则 的虚部为（）
A.-4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求出复数z,再求 及其虚部得解.
【详解】由题得 ，
7.执行如图所示的框图，若输入的 是7，则输出 的值是（）
A.720B.120C.5040D.1440
【答案】C
【解析】
【分析】
直接模拟程序框图运行程序即得解.
【详解】由题得k=1,p=1,p=1,1＜7，
k=2,p=2,2＜7,
k=3,p=6,3＜7,
k=4,p=24,4＜7,
k=5,p=120,5＜7,
A. B. C. D.4
【答案】A
【解析】
解：设直线 的方程为： ，
与抛物线方程联立可得： ，
则： ，
由弦长公式可得： ，
三角形的面积为： .
本题选择A选项.
10.若 ，且 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，再求出 ，利用幂函数的性质比较得解.