数学建模 截断切割.
数学建模---最优化有效切割问题
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6米 1根 6米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米 1根
8米 1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
最新数学建模经典案例：最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、 假 设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5u66 1 755 69r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在G垂直切割面排列情有向路必经点形情况一（一）M1－M2－M3－M4 (1,0,z),(2,0,z),(2,1,z)情况一（二）M3－M4－M1－M2 (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z)情况二（一）M3－M1－M2－M4 (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z)情况二（二）M1－M3－M4－M2 (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z)情况三（一）M1－M3－M2－M4 (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z)情况三（二）M3－M1－M4－M2 (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。
数学建模截断切割.
数学建模截断切割问题学号：1443205000041 姓名：杨德升学号：1443205000108 姓名：李春红学号：1443205000088 姓名：杨建明问题描述：某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数。
2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
4、对于e=0 的情形有无简明的优化准则。
5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a r = 1 e = 0;b r = 1.5 e = 0;c r = 8 e = 0;d r = 1.5 2<= e<=15;对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
解：（1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。
我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。
但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为：720-3x5!+3x4!-3!=426种(2)(3)(4)(5)符号说明：a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。
全国大学生数学建模竞赛历年试题
全国大学生数学建模竞赛历年试题1.1992年A题：施肥效果分析；B题：试验数据分析；2.1993年A题：非线性交调的频率设计；B题：足球队拍名次；3.1994年A题：逢山开路；B题：锁具开箱；4.1995年A题：一个飞行管理问题；B题：天车与冶炼炉的作业调度；5.1996年A题：最优捕鱼策略；B题：节水洗衣机；6.1997年A题：零件的参数设计；B题：截断切割；7.1998年A题：投资的收益和风险B题：灾情巡视路线8.1999年A题：自动化车床管理B题：钻井布局C题：煤矸石堆积D题：钻井布局9.2000年A题：DNA序列分类B题：钢管订购和运输C题：飞越北极D题：空洞探测10.2001年A题：血管的三维重建B题：公交车调度C题：基金使用计划D题：公交车调度11.2002年A题：车灯线光源的优化设计B题：彩票中的数学C题：车灯线光源的计算D题：赛程安排12.2003年A题：SARS的传播B题：露天矿生产的车辆安排C题：SARS的传播D题：抢渡长江13.2004年A题：奥运会临时超市网点设计B题：电力市场的输电阻塞管理C题：饮酒驾车D题：公务员招聘14.2005年A题：长江水质的评价和预测B题：DVD在线租赁C题：雨量预报方法的评价D题：DVD在线租赁15.2006年A题：出版社的资源配置B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制16.2007A题：中国人口增长预测；B题：乘公交，看奥运；C题：手机“套餐”优惠几何；D题：体能测试时间安排17.2008A题数码相机定位;B题高等教育学费标准探讨;C题地面搜索;D题NBA赛程的分析与评价.18.2009A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控D题会议筹备19.2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计方案的评价19.2011A题城市表层土壤重金属污染分析B题交巡警服务平台的设置与调度C题企业退休职工养老金制度的改革D题天然肠衣搭配问题20.2012A题葡萄酒的评价B题太阳能小屋的设计C题脑卒中发病环境因素分析及干预D题机器人避障问题21.2013 A题车道被占用对城市道路通行能力的影响B题碎纸片的拼接复原C题古塔的变形D题公共自行车服务系统。
数学建模离散问题建模方法和案例分析
• 截断切割是指将物体沿某个切割平面切成两部分。
• 从一个长方体内加工出一个已知尺寸、位置预定的 长方体(两个长方体对应的平面相互平行)，通常要经 过6次切割。
• 假定切割费用与切割时扫过的面积成正比，则需要 考虑的不同切割方案的总数是多少？
记作B(k,λ; n)。
• 平衡不完全区组设计的存在性：
• 容易见到， B(k,λ; n)存在的必要条件是：
1)
； k(k1)n(n1)
2)
(k1)(n1) 。
• 有人证明了，除了少数情况，以上条件也是充分的。
回到原问题：由于董事会人数的关系，任意两位董事分在同组 的次数不可能做到完全平衡。只能力求平衡。以九名在职董事为 例 ，可以安排如下：
2) 将“唯一的”推广到大家重复λ次。
• 于是就有了平衡不完全区组设计的概念： • 设S是一个n元集合，B是由S的一些k元子集(或称k元 组) 组成的集合。如果S中的任意一对不同的元素，都
恰好同时包含在B的λ个 k 元子集中,则称（S, B）组成 一个区组长度为k, 相遇数为λ的平衡不完全区组设计。
• 2. Steiner三元系 设S是一个n元集合，B是由S的一些三元子集组成的 集合。如果S中的任意一对不同的元素，都恰好同时包
含在B的唯一的一个三元子集中, 则称( S, B )组成一个
n 阶的Steiner三元系, 记作STS(n)。 • 例如：
• (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (2,4,6), (2,5,7), (3,4,7), (3,5,6) 组成一个7阶的Steiner三元系。
组别
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上午第一节 15
截断切割大学生数学建模word版
截断切割数学建模论文摘要 本文讨论了将一个待加工长方体经过六次截断切割成一个成品长方体的切割方式问题，利用重心偏移法，考虑了第七及第k+1次切割之间的联系，建立了动态规划的数学模型，并用直接搜索法进行了求解。
本文接着用此模型对某些部门的切割准则作了正确的评价，并给了当e=0时的简明优化准则，最后用具体实例验证了模型的可靠性，并对一些初值进行了详细的讨论，给出了所有的最优解。
本文还对模型进行了误差分析，并对模型进行了推广。
关键词 动态规划 切割方式 f-原则一、问题的提出与分析某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸，位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e 。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
并对某部门用的如下准则作出评论：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
该问题可以采用重心偏移法。
在切割之前，长方体的重心是确定的，每切割一次它的重心就偏移一次，而且偏移有一定的规律，它只是沿着长、宽或高的方向偏移。
待原长方体加工成成品长方体之后，长方体的重心经过六次偏移已与成品长方体的重心重合了。
这就是长方体的重心偏移过程。
该问题是一个动态规划问题，是分级决策方法和最佳化原理的综合应用。
首先是建立分级决策的模型。
用d k 表示第k 次决策，J k 表示第k 级的级收益，现在一定条件下，寻求一组可行决策变量{}621,,,d d d ，使问题的总收益J 为最佳。
二、基本假设与符号约定（一） 基本假设1． 由工艺要求，与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的，成品长方体的尺寸已知，位置预定，且两个长方体和对应表面是平行的。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手头有一根长长的原木，需要将其切割成不同长度的木板，以满足客户的订单需求。
但原木的长度是有限的，而客户的订单要求各种各样，怎样切割才能最大限度地利用这根原木，减少浪费，提高利润呢？这可不是一件简单的事情，需要运用数学建模的智慧来找到最优解。
为了更好地理解最优截断切割问题，让我们先来看一个具体的例子。
假设有一根长度为 10 米的钢材，需要切割成 2 米、3 米和 4 米三种不同长度的小段，分别需要 10 段、8 段和 5 段。
那么，应该如何切割才能使浪费最少，或者说在满足需求的前提下使用的钢材最少呢？首先，我们可以尝试一些直观的切割方法。
比如说，先把钢材尽可能地切成 4 米长的小段，然后再处理剩下的部分。
但这样做真的是最优的吗？也许在这个例子中是，但如果需求的数量或者钢材的长度发生变化，这种方法可能就不再适用了。
为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。
假设我们用 x1、x2、x3 分别表示切割成 2 米、3 米和 4 米小段的数量。
那么，我们需要满足以下条件：2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 ＜＝ 10 （这表示切割出的小段长度总和不能超过原材料的长度）x1 ＞＝ 10 （2 米小段的需求数量）x2 ＞＝ 8 （3 米小段的需求数量）x3 ＞＝ 5 （4 米小段的需求数量）同时，我们的目标是要使切割使用的钢材长度最小，也就是要最小化 2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 这个目标函数。
接下来，我们可以使用一些数学方法来求解这个模型。
常见的方法有线性规划、动态规划等。
以线性规划为例，我们可以通过软件工具（如 LINGO、Matlab 等）来求解这个问题，得到最优的切割方案。
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
全国大学生数学建模竞赛历年赛题Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】1992A 施肥效果分析1992B 实验数据分解1993A 非线性交调的频率设计1993B 足球队排名次1994A 逢山开路1994B 锁具装箱1995A 一个飞行管理问题1995B 天车与冶炼炉的作业调度1996A 最优捕鱼策略1996B 节水洗衣机1997A 零件参数1997B 截断切割1998A 投资的收益和风险1998B 灾情巡视路线1999A 自动化车床管理1999B 钻井布局1999C 煤矸石堆积1999D 钻井布局2000A DNA序列分类2000B 钢管购运2000C 飞越北极2000D 空洞探测2001A 血管三维重建2001B 公交车调度2001C 基金使用2001D 公交车调度2002A 车灯线光源2002B 彩票中数学2002C 车灯线光源2002D 赛程安排2003A SARS的传播2003B 露天矿生产2003C SARS的传播2003D 抢渡长江2004A 奥运会临时超市网点设计2004A 赛题使用数据2004B 电力市场的输电阻塞管理2004C 饮酒驾车2004D 公务员招聘2005A 长江水质的评价和预测2005B DVD在线租赁2005C 雨量预报方法的评价2005D DVD在线租赁2005D 数据2006A 出版社的资源配置2006A 数据2006B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006B 数据2006C 易拉罐形状和尺寸的最优设计2006D 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制2006D 数据2007A 中国人口增长预测2007A 数据2007B 乘公交，看奥运2007B 数据2007C 手机“套餐”优惠几何2007C 数据2007D 体能测试时间安排2008A 数码相机定位2008B 高等教育学费标准探讨2008C 地面搜索2008D NBA赛程的分析与评价2008D 数据2009A 制动器试验台的控制方法分析2009A 数据2009B 眼科病床的合理安排2009C 卫星和飞船的跟踪测控2009D 会议筹备2010A 储油罐的变位识别与罐容表标定2010B 2010年上海世博会影响力的定量评估2010C 输油管的布置2010D 对学生宿舍设计方案的评价。
截断切割问题的参数规划模型
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证 由于 四个竖 直 面 中 ， 最后 切 的不是 右 面就 是后 面 ， 一个 切割 方 案要 么对 应 图 １ 示 故 所 赋权 有 向图 Ｇ的子 图 Ｇ。 中 。 到 的一 条 有 向路 ， 么对 应 图 ２所示 Ｇ 要 中 。 到 的一 条 的有 向路 ． 图 中所 示 方式 对一 些 弧 增 加权 ｅ 如 些 即可 反 映每 个 切 割 方 案 的 调 刀 费用 ． 按 ． ４ 记 Ｊ Ｇ。 的关 联矩 阵为 ， 据 （ ） Ｇ 的权 函数 为 Ｃ ＋ｒ 又 １记 。 。 ｃ ｃ， 中 Ｃ， Ｃ ＋ｅ 其 。Ｃ ， 均为 常 数 向量 ， 则 双参 数线 性 规划 问题
构 造空 间 赋权 有 向图 Ｇ（ ， （ ４ ， Ｅ） ［ ］ 参见 下 面 图 ３ ： ） 顶点 （ ，， ） Ｙ 表示 被切 割 长方 体所
处 的一 个状 态 ， 中 …Ｙ、 各 表 示左 右 、 后 、 下 已 被切 割 的 刀 数 ， ， ，ｚ∈ ｛ ， ， ｝ 弧 其 前 上 ，Ｙ ， ０ ｌ ２ ； （ ，，表 示 长方体 被 切割 的一 个 阶段 ， ） 即经 一次 切割 状态 变 为 ，权 叫（， ，为这 一 阶段 不 ； ）
计调 刀 费的 费用 ：
叫 （ ， ）一 ６Ｃ （ ，一 ）＋ ａｃ （ ， ，， ，一 Ｙ ）＋ ａ６ ，一 ２ ） ， ，， ，ｒ （） １
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在日常生活和工业生产中，我们常常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手里有一根长度固定的原木，而客户向你订购了各种不同长度的木板。
为了最大限度地利用这根原木，减少浪费，同时满足客户的订单需求，你需要思考怎样切割才能达到最优效果。
这不仅仅是简单的切割操作，而是涉及到数学的精确计算和策略规划。
比如说，我们有一根长度为 10 米的原木，而客户需要 2 米长的木板 3 块，3 米长的木板 2 块。
那么，我们应该怎样切割这根原木呢？这就需要用到数学建模的方法来找到最优的切割方案。
首先，我们来分析一下可能的切割方式。
一种方式是直接按照客户的需求进行切割，即先切出 3 段 2 米长的，然后再切出 2 段 3 米长的。
但这样可能会剩下 1 米的废料。
另一种方式是尝试不同的组合，比如先切出 2 段 3 米长的，然后从剩下的 4 米中再切出 3 段 2 米长的，这样就没有废料产生。
但这只是简单的举例，实际情况可能会更加复杂。
为了找到最优的切割方案，我们需要建立一个数学模型。
假设原木的长度为 L，客户需要的木板长度分别为 l1, l2, l3,， ln ，数量分别为n1, n2, n3,， nn 。
我们的目标是在满足客户需求的前提下，使废料最小或者利用率最大。
我们可以定义一个变量 xij 表示第 i 种长度的木板切割 j 段。
那么，我们的约束条件就是：对于每种长度的木板，其切割的数量要满足客户的需求，即∑j xij ＝ni 。
同时，切割的总长度不能超过原木的长度，即∑i j × lij × xij ≤ L 。
接下来，我们的目标函数可以是使废料最小，即 Minimize （L ∑i j × lij × xij) ，或者使利用率最大，即 Maximize （∑i j × lij × xij ／ L) 。
历年高教杯全国大学生数学建模题目
A 1992 B A 1993 B A 1994 B 锁具装箱 锁具装箱 足球比赛的排名问题 逢山开路 实验数据分解 交调频率设计 农作物施肥效果分析
A 1995 B A 1996 B A 1997 B
一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题 零件的参数设计 最优截断切割问题
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁 在线租赁
2006
2007
出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 B 的预测 A 中国人口增长预测 A B A 乘公交， 乘公交，看奥运 数码相机定位
2008 B 2009
高等教育学费标准探讨 制动器试验台的控制方法 A 分析 B 眼科病床的合理安排
A 1998 B A 1999 B A 2000 B A 2001 B
投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
血管的三维重建 公交车调度
A 2002 B A 2003 B A 2004 B A 2005 B
车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
数学建模-钢管切割问题
问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是21米的。
（1）现有一客户需要45根5m，25根7m和20根9m,的钢管。
应如何下料最省？（2）零售商如果采用的不同的切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的切割模式不能超过3种。
因此，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要15根6m的钢管。
应如何下料最节省。
问题（1）的求解问题分析首先，应该确定哪些切割模式是可行的。
所谓的一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。
例如：我们将21m的钢管切割成4根5m的钢管，余料为1m；或者将21m的钢管切割成2根5m，1根7m的钢管，余料是4m。
显然这样的切割模式很多的。
其次，应当确定哪些切割模式是合理的。
通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或者等于客户需要的钢管的最小尺寸。
在这种合理的假设下，切割模式一问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少原料钢管，最为节省。
而所谓节省，可以有两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最小。
下面将对这两个目标分别讨论。
模型建立决策变量用xi表示按照第i种模式（i=1,2,…，7）切割的原料钢管的根数，显然他们是非负整数的。
决策目标以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表可得Min Z1=x1+4x2+2x3+2x4+3x7 （1）以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有Min Z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 （2）下面分别在这两种目标下求解。
约束条件为了满足客户的需要，按照表应有4x1+2x2+2x3+x4+x5≥45 （3）X2+2x4+x5+3x6≥25（4）X3+x5+2x7≥20（5）模型求解1.将（1），（3），（4），（5）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINDO如下：求解可以得到最优解如下：即按照模式5切割45根原料钢管，按照模式6切割9根原料钢管，共54根。
数学建模中的切割及解答
下料问题：一个公司有一批钢材，每根钢材长7.3米，由于某种需求，需要100套短钢材，已知每套钢材包括长2.9米，2.1米和1.5米的各一根，现在问从公司的利益出发（余料只能作为废品出售），至少要用掉多少根短钢材才能保证既满足需求，又使得余料最少？显然，如果公司采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该公司规定采用的不同的切割模式不能超过3种。
此外该客户需要的100套短钢材，每套改变为2.9米，2.1米，1.5米各一根，该如何下料最节省？（此为带有普遍性的方法）决策目标：1.以切割后剩余的总余量最小为目标，Min=0.2x2+0.8x3+1.4x4+1.0x5+0.1x6+0.7x7+1.3*x8;2.以切割原材料钢材的总根数最少为目标，则有Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：2x1+x2+x3+x4>=100;2x2+x3+3x4+2x5+x6>=100;X1+x3+2x5+3x6+4x7>=100;min=0.2*x2+0.8*x3+1.4*x4+1.0*x5+0.1*x6+0.7*x7+1.3*x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 2Objective value: 7.000000Variable Value Reduced Cost X2 20.00000 0.2000000 X3 0.000000 0.8000000 X4 0.000000 1.400000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 0.1000000 X7 0.000000 0.7000000 X8 0.000000 1.300000 X1 40.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000方法二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000第二问：min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=100;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=100;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=100;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31<=7.3;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32<=7.3;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33<=7.3;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31>=5.8;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32>=5.8;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33>=5.8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);Local optimal solution found at iteration: 15Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 1.000000 X2 30.00000 1.000000 X3 40.00000 1.000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 2.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 2.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 0.1000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 1.300000 0.0000009 1.400000 0.00000010 1.500000 0.000000。
历年全国赛数学建模题目
目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题: 出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索 (57)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (59)A题制动器试验台的控制方法分析 (59)B题眼科病床的合理安排 (60)C题卫星和飞船的跟踪测控 (61)D题会议筹备 (61)2010全国高教社杯数学建模题目 (65)A题储油罐的变位识别与罐容表标定 (65)B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 (66)A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.(北京师范大学刘来福提供)B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称"加水-漂洗-脱水"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，以最优的方式进行切割，以满足不同尺寸的需求，同时最大程度地减少浪费，这就是最优截断切割问题。
这个问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理和实际应用价值。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，接到了一批订单，需要生产不同长度的木板。
你手头有一定长度的原木，如何切割这些原木才能满足订单需求，并且使用的原木数量最少，废料最少呢？这就是一个典型的最优截断切割问题。
为了更好地理解这个问题，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一根长度为 10 米的原木，需要切割出 2 米、3 米和 4 米长的木板各若干块。
那么，我们应该如何切割才能最节省材料呢？一种可能的切割方案是，先将原木切成 2 米长的 5 段。
但这样做显然会有很大的浪费，因为我们还需要 3 米和 4 米长的木板。
另一种方案是，先切割出一段 4 米长的木板，剩下的 6 米再切割出两段 3 米长的木板。
这种方案看起来比第一种要好一些，但也许还不是最优的。
那么，如何找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的方法。
首先，我们需要明确问题的目标。
在这个例子中，目标是在满足订单需求的前提下，使原木的利用率最高，也就是废料最少。
接下来，我们需要确定决策变量。
在这里，决策变量就是每种长度木板的切割数量。
然后，我们要建立约束条件。
约束条件包括原木的长度限制，以及订单中对每种长度木板数量的要求。
有了目标函数、决策变量和约束条件，我们就可以建立一个数学模型。
通过求解这个数学模型，我们就能够得到最优的切割方案。
在实际求解过程中，可能会用到一些数学方法和算法，比如线性规划、动态规划等。
线性规划是一种常用的数学方法，它可以在一组线性约束条件下，求出目标函数的最优解。
对于简单的最优截断切割问题，线性规划可能就能够有效地解决。
但对于一些复杂的情况，比如需要考虑多种原材料、多种切割方式，或者存在不同的成本因素时，动态规划可能会更加适用。
历年全国数学建模试题及解法
一、历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A 非线性交调的频率设计拟合、规划93B 足球队排名图论、层次分析、整数规划94A 逢山开路图论、插值、动态规划94B 锁具装箱问题图论、组合数学95A 飞行管理问题非线性规划、线性规划95B 天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A 最优捕鱼策略微分方程、优化96B 节水洗衣机非线性规划97A 零件的参数设计非线性规划97B 截断切割的最优排列随机模拟、图论98A 一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B 灾情巡视的最灾情巡视的最佳佳路线图论、组合优化99A 自动化车动化车床床管理随机优化、计随机优化、计算算机模拟99B 钻井布局0-1规划、图论00A DNA 序列分类模式识别式识别、、Fisher 判别判别、、人工神经网络00B 钢管订购和运输组合优化、组合优化、运输运输运输问题问题01A 血管三维重建曲线拟合、线拟合、曲面重建曲面重建01B 工交车调度问题多目标规划02A 车灯线光源光源的优化的优化非线性规划02B 彩票彩票问题问题问题 单目标目标决决策 03A SARS 的传播传播 微分方程、微分方程、差差分方程分方程03B 露天矿生产矿生产的车的车的车辆安辆安辆安排排 整数规划、整数规划、运输运输运输问题问题问题 04A 奥运会临时超市网点奥运会临时超市网点设计设计设计 统计分析、数计分析、数据处据处据处理、优化理、优化理、优化 04B 电力市场电力市场的的输电阻塞输电阻塞管理管理管理 数据拟合、优化拟合、优化 05A 长江长江水水质的评价和预测评价和预测 预测评价预测评价、数、数、数据处据处据处理理 05B DVD 在线租赁租赁 随机规划、整数规划随机规划、整数规划二、赛题发展的特点1.对选手对选手的计的计的计算算机能力提出了更高能力提出了更高的的要求：要求：赛题的解赛题的解赛题的解决依赖决依赖决依赖计计算机，题目的数题目的数据较据较据较多多，手工，手工计计算不能完成，如03B ，某些，某些问题问题问题需要需要需要使用使用使用计计算机软件，01A 。
历届中国大学生数学建模竞赛赛题题目汇总
历届中国大学生数学建模竞赛赛题题目汇总
1992：(A)施肥效果分析；(B)实验数据分析
1993：(A)非线性交调的频率设计；(B)足球队排名次
1994: (A)逢山开路；(B)锁具装箱
1995: (A)一个飞行管理问题；(B)天车与冶炼炉的作业调度
1996: (A)最优捕鱼策略；(B)节水洗衣机
1997: (A)零件的参数设计；(B)截断切割
1998: (A)投资的收益与风险；(B)灾情巡视路线
1999: (A)自动化车床管理；(B)钻井布局；(C)煤矸石堆积；(D)钻井布局
2000: (A)DNA序列分类；(B)钢管订购和运输；(C)飞越北极；(D)空洞探测
2001: (A)血管的三维重建；(B)公交车调度；(C)基金使用计划；(D)公交车调度
2002: (A)车灯线光源的优化设计；(B)彩票中的数学；(C)车灯线光源的计算；(D)赛程安排2003: (AC)SARS的传播；(B)露天矿生产的车辆安排；(D)抢渡长江
2004: (A)奥运会临时超市网点设计；(B)电力市场的输电阻塞管理；
(C)饮酒驾车；(D)公务员招聘
2005: (A)长江水质的评价和预测；(BD)DVD在线租赁；(C)雨量预报方法的评价
2006: (A)出版社的资源配置；(B)艾滋病疗法的评价及疗效的预测；
(C)易拉罐形状和尺寸的最优设计；(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制。
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数学建模截断切割问题学号：************* 姓名：杨德升学号：************* 姓名：李春红学号：************* 姓名：杨建明问题描述：某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数。
2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
4、对于e=0的情形有无简明的优化准则。
5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a r = 1 e = 0;b r = 1.5 e = 0;c r = 8 e = 0;d r = 1.5 2<= e<=15;对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
解：（1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。
我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。
但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为：720-3x5!+3x4!-3!=426种(2)(3)(4)(5)符号说明：a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。
a,b,c分别表示成品长方体的长、宽、高。
1M、2M、3M、4M、5M、6M表示左、右、前、后、上、下，1u,2u,3u,4u,5u,6u分别表示待加工长方体与成品长方体。
有向图顶点是vi，坐标为（xi,y i,z i），xi,y i,z i分别代表侧面（左右面）、正(前后面）、水平面（上下面）的切割次数。
其中xi,y i,z i都在{0.1.2}中取值。
a i,bi,c i分别表示在iv时，长方体左右、前后、上下面的距离。
有向弧（vi,v j）代表一个从vi至v j的切割步骤，模型建立：考虑不同切割方式的总数，设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为a0、b0、c0。
六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为1M、2M、3M、4M、5M、6M，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为1u、2u、3u、4u、6u、5u。
这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有6！=720种切割方式。
当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工。
由此准则,只需考虑6！/(2!x2!x2!)=90种切割方式。
即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑。
不失一般性，设1u 2u 、3u 4u、5u 6u，故只考虑1M在2M前、3M在4M前、6M在5M前的切割方式。
Ⅱ、根据不同情况建立数学模型1、e=0的情况为简单起见,先考虑e=0的情况。
构造如图所示的一个有向赋权网络图G(V,E)。
为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z。
图G(V,E)的含义为：(1)、空间网络图中每个结点Vi（xi,y i,z i）表示被切割石材所处的一个状态。
顶点坐标ix，y i, z i分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数。
顶点1V(0,0,0)表示石材的最初待加工状态，顶点27V(2,2,2)表示石材加工完成后的状态。
(2)、G的弧（Vi , V j）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi 经一次切割变为状态V j，即当且仅当xi+y i+z i+1= x j +y j+z j时，Vi（xi,y i, z i）到V j（xi,y i, z i）有弧（Vi , V j），相应弧上的权W（Vi , V j）即为这一切割过程的费用。
对于任意相邻状态的点之间的弧的权值公式如下：其中，a i、b i、c i分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离。
(3)、根据局部优化准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切1M、3M、6M 中的某个面，在图中分别对应的弧为(1V,2V)，(1V,4V)，(1V,10V)，图G中从1V到27V的任意一条有向道路代表一种切割方式。
从1V到27V共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式。
1V到27V的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式。
2、e!=0的情况当e!=0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e。
希望在上面的网络图中某些边增加权来实现此费用增加。
在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况（不管它们之间是否穿插水平切割）：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e。
<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e。
<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e。
在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在图G中对应有向路的必经点如下表（z=0,1,2）：我们希望通过在上面的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的。
对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用上面的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径。
由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}。
且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集。
所以可判断出这两部分是独立的、互补的。
.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2。
这两个网络图具有互补性。
对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中。
由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e。
增加e的情况如下图中所示。
再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列。
综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图1H和2H中从1V到27V的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1 ,d2)，相应的图求出的最优切割序列即为其对应的最短路径。
图1H图2HⅢ、对“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割”这个准则的好坏进行评价评价的标准：最佳切割方式可以不唯一，可是最佳加工费用应等于按照之前的模型求解出的最少加工费用。
即：若准则精选出的不同切割方式有很多，而相应的加工费却不全相同，则其不具备优化准则的基本属性。
同样，即使精选出的切割方式唯一，但加工费却非真正意义上的最小，则准则也无最优性可言。
根据实例中的数据，在局部最优准则的前提下，假定e =0,r= 1时，求出的最佳加工费用为374元，这与用上面的模型求解出的结果相同。
假定e= 2, r = 1.5时，求出的最佳加工费用为490元，这个与用上面的模型求解出的结果443.5不相同，并且比上面的结果大。
因此，“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割”不能作为最佳优化准则使用，但当e=0时可以采用这个准则，而当e!=0时不能采用这个准则。
Mat l a b程序function [ y1,y2 ] = qiegel( r,e )a = [10,14.5,19;6,7,9;1.5,5,6];k= 0;nn = 1;mm =zeros(720,6);%UNTITLED Summary of this function goes here% Detailed explanation goes herefor i1=1:6for i2=1:6for i3=1:6for i4=1:6for i5=1:6for i6=1:6if i1==i2|i2==i3|i3==i4|i4==i5|i1==i3|i1==i4 |i1==i5|i2==i4|i2==i5|i3==i5break;endb=[i1,i2,i3,i4,i5,i6];if ispl(b)==1k = k+1;m(k)=fee(a,b,c);mm(k,;)=b;endendendendendendendi2 =1;for i1 = 1:kif m(i1)==min(m);m1(i2)=i1;i2= i2+1;endendy1 = min(m);y2 = mm(m1,;);endfunction x4 = ispl(x)x3 =1;for x1 =1:5if x(x1)-x(6)==0x3=0;endendx4=x3;endfunction s =fee(a,b,r,e)c=b;for i=1:6switch b(i)case 1b(i)=a(1,2)*a(1,3);a(1,1)=a(1,1)-a(2,1);case 2b(i)=a(1,2)*a(1,3);a(1,1)=a(1,1)-a(3,1);case 3b(i)=a(1,2)*a(1,3);a(1,2)=a(1,2)-a(2,2);case 4b(i)=a(1,2)*a(1,3);a(1,2)=a(1,2)-a(3,2);case 5b(i)=a(1,2)*a(1,3);a(1,3)=a(1,3)-a(2,3);case 6b(i)=a(1,2)*a(1,3);a(1,3)=a(1,3)-a(3,3);endends = sum (b) +shu(c)*e:function n=shu(b)k=0;kk=0;if b(i)~=5&b(i)~+6k =k+1;a(k)=b(i);endendfor i =1:3if (a(i)==1|a(i)==2)&(a(i+1)==3|a(i+1)==4) kk =kk+1;endif (a(i)==3|a(i)==4)&(a(i+1)==1|a(i+1)==2) kk =kk+1;endendn =kk;。