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广东省百校联盟2019届高三第二次联考数学理试题Word版含答案

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广东省2019届高三六校第二次联考数学(理科)试题

广东省2019届高三六校第二次联考数学(理科)试题

（2）
……………… 4 分 ……………… 5 分
令
得
分
或
（不合题意，舍去）．
，
．
…… …………6
在
两侧 的值由正变负．
……………… 8 分
所以（ a）当 （b ）当
即 即
时， ． 时，
……………… 10 分
，…… 12 分
所以 答：若
……………… 13 分
，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润
在点（ 1 ， 1 ）处的切线与
轴的交点的横坐标为
，令
的值为 ____________ ．
13． 设函数
， [ ] 表示不超过 的最大整数， 则函数
[
]的
值域是 ____________ ．
14 ． 若定义在区间
上的函数
对 上的任意 个值 ， ，…， ，总满足
≤
，则称
为 上的凸函数．已
知函数
在区间
A． 2
B． 5
C． 4
D． 1
7．在平面直角坐标系中，不等式组 的最小值为
（ 为常数）表示的平面区域的面积是 4，则
A．
B．Leabharlann C．D．8．在正整数数列中， 由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色． 先染 1，再染 2 个偶数 2、
4；再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、 7、 9；再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、
,公比
则 相减，故
故
……………… 12 分 ……………… 2 分 ……………… 3 分 ……………… 4 分 ……………… 5 分 ……………… 6 分 ， ……………… 7 分
……………… 10 分 ……………… 12 分

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13CDD CB A 7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==.……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC=……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅=== ……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分M O H F E D CB A 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sinθ=cos ,n AE⋅=n AE n AE3=.……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，. // v . 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n --=+. ……………14分。

广东省2019届高三六校第二次联考数学(理科)试题

广东省2019届高三六校第二次联考数学(理科)试题

广东省2019届高三六校第二次联考2019-11-2 本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A．B．C．D．2．若，则下列结论不正确．．．的是A．B．C．D．3．函数，已知的两个极值点为，，则A．B．C．D．4．设，，则函数的最大值为A．B．C．D．5．函数对于任意实数满足条件，若，则A．B．C．D．6．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD ＝A．2 B．5 C．4 D．17．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为A．B．C．D．8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是A．3948 B．3953 C．3955 D．3958二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知数列为等差数列，且，则____________．10．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于____________．11．方程在上有解，则的取值范围是____________．12．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为____________．13．设函数，[]表示不超过的最大整数，则函数[]的值域是____________．14．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期和值域；（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．16．（本小题满分12分）数列的前项和为，数列满足，且，．（1）求，的表达式；（2）设，求数列的前项和．17．（本小题满分14分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．18．（本小题满分14分）已知，若在区间上的最大值为，最小值为，令．（1）求的函数表达式；（2）判断的单调性，并求出的最小值．19．（本小题满分14分）已知函数，其中，为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）已知，．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若广东省2019届高三六校第二次联考数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．10．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）解：（1）………………3分∴函数的最小周期,值域为………………5分（2）………………6分是三角形内角∴，∴即： (8)分∴即：………………10分将可得：解之得：∴∴，………………12分16．（本小题满分12分）解：（1）………………2分当时，，所以………………3分………………4分成等比数列,且首项,公比………………5分,………………6分（2），………………7分令，记则相减，故………………10分故………………12分17．（本小题满分14分）解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：………………4分（2）………………5分令得或（不合题意，舍去）． (6)分，．在两侧的值由正变负．………………8分所以（a）当即时，．………………10分（b）当即时，，……12分所以………………13分答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． (14)分18．（本小题满分14分）19．（本小题满分14分）解：（I）当时则在内是增函数，故无极值。

2019广东二模理数答案

2019广东二模理数答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.C2.D3.D4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.C11.A12.A13.14.-15.216.17.解:(1)因为n+2,,(a1-2)n依次成等比数列,所以S=(a1-2)n(n+2)...................................................................................................................................................... 1分n当n=1时,S=a1=3(a1-2),解得a1=3,从而S n=n(n+2); ................................................................................................... 2分1当n≥2时,a=S n-S n-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1;............................................................................................................ 4分n当n=1时,也满足a=2n+1,故a n=2n+1........................................................................................................................ 6分n(2)因为=-, .................................................................................................................................. 8分所以T=---n=-=................................................................................................................................................ 12分评分细则:第(1)问中,没有写到当n=1时,也满足a=2n+1,而直接得出数列的通项公式为a n=2n+1,要扣1分;n第(2)问中,得出T=-,而没有得到,不扣分.n18.(1)证明:连接DE,BD.因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,E为AB的中点,所以DE⊥AB. .................................................................. 1分因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB, ........................................................................................................................... 2分又DE∩PD=D,所以AB⊥平面PDE, ............................................................................................................................. 3分则AB⊥PE....................................................................................................................................................................... 4分因为AB∥CD,所以PE⊥CD.......................................................................................................................................... 5分(2)解:以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(其中O为AC与BD的交点),如图所示,则P(-1,0,2),A(0,-,0),E-,C(0,,0). ...................................................................................................................................... 6分设平面APE的法向量为n=(x1,y1,z1),则·n=0,·n=0,即-................................................................................................................................... 7分令x1=,得n=(,-1,1)............................................................................................................................................... 8分设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,z2),则·m=0,·m=0,即--........................................................................................................................................ 9分令x2=3,得m=(3,1,2). ........................................................................................................................................ 10分所以cos<n,m>===, ......................................................................................................................... 11分由图可知二面角A-PE-C为钝角,故二面角A-PE-C的余弦值为-.............................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,连接BD,证得△PDA与△PDB全等,从而PA=PB,PE⊥AB,此法也可证明PE⊥CD,另外,用空间向量证明PE⊥CD,同样得分;第(2)问中,两个平面的法向量不唯一,只要与所给法向量共线即可得分.19.(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0. ....................................................................................................... 2分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18, ..................................................................................................................................... 3分从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18为定值............................................................................................................................. 5分(2)解:存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.由(1)知x1+x2=6k, .......................................................... 6分从而k1+k2=-+-.................................................................................................................................................... 7分=-.................................................................................................................................................... 8分=--................................................................................................................................................................. 9分当b=-3时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, ................................................................... 11分故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-3)符合题意. .............................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,直线方程与抛物线方程联立正确得2分,两根之和对(1)问无贡献,若第(2)问未写,而第(1)问写了,应给1分.20.解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10点04分........................................................................... 2分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4......................................... 3分所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ............................................................................................................................ 6分所以X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. ........................................................................................................... 8分(3)由(1)可得μ=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18........................................................................................................................................................................ 9分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46<T≤100通过的车辆数,由T~N(μ,σ2),得P(64-18<T≤64+2×18)=-+-=0.8186, ................................................ 11分所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆........................................................ 12分评分细则:第(2)问中,若没有逐个计算每个X的概率,直接得出X的分布列,扣2分.21.(1)解:g(x)的定义域为(0,+∞), .................................................................................................................................... 1分g'=-, ............................................................................................................................................................ 2分若a≤-,因为x>1,所以ln x>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. .............................................................. 3分若a>-,令g'=0,得x=,当1<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(1,).............................................................................. 5分(2)x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h'(x)=ln x+1-a,令h'(x)=0,得x=e a-1. .................................................................................. 6分当x∈(0,e a-1)时,h'(x)<0;当x∈(e a-1 ,+∞)时,h'(x)>0, ...................................................................................................... 7分所以h(x)的最小值为h(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1, ................................................................................... 8分令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1,令t'(a)=0,得a=1.当a∈[0,1)时,t'(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增;当a∈(1,+∞)时,t'(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减........................................................................................................ 10分所以当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e-2->0;当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2)............................................................................................ 11分故a的取值范围是[0,2]. ............................................................................................................................................... 12分评分细则:第(1)问中,g(x)的定义域与g(x)的导数正确各得1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 2分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. ...................................................................................................... 3分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分所以|PM|+|PN|=6+sin, .............................................................................................................................. 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+............................................................................................. 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+-<4. ....................................................................................................................... 1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; ............................................................................................................................ 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2; ............................................................................................................... 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<. ............................................................................................................................... 4分故f(x)<0的解集为-. ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f(x)=+--k≥|x+1+2-x|-k=3-k, ........................................................................................................ 6分所以f(x)的最小值为3-k................................................................................................................................................. 7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥,k+3≥0,所以--................................................................................................................................................. 9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1]........................................................................................................................... 10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。

2019年广东省高考数学二模试卷(理科)(可编辑修改word版)

2019年广东省高考数学二模试卷(理科)(可编辑修改word版)

2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合 A ＝{x |﹣1＜x ＜6}，集合 B ＝{x |x 2＜4}，则 A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜2}B ．{x |﹣1＜x ≤2}C ．{x |2≤x ＜6}D ．{x |2＜x ＜6} 2．（5 分）设 i 为虚数单位，则复数的共轭复数 ＝（）A ．B ．C ．D ．3．（5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（ ）A ．0.2B ．0.25C ．40D ．504．（5 分）设向量与向量垂直，且＝（2，k ），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（ ）A ．（1，8）B ．（﹣16，﹣2）C ．（1，﹣8）D ．（﹣16，2）5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面 积为，则其体积为（）C ．D ．6．（5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘 积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为，面积为 12π，则椭圆 C 的方程为（）A ．B ．A ．B ．C．D．7．（5 分）设a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，若B＝C≠A，且b＝2a cos A，则A＝（）A． B． C． D．8．（5 分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30 B．80 C．﹣50 D．1309．（5 分）函数的部分图象不可能为（）A．B．C． D．10．（5 分）若函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，则k 的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．11．（5 分）已知高为H 的正三棱锥P﹣ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，则＝（）A． B． C． D．12．（5 分）已知函数，若关于x 的方程f（f（x）＝m 有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2 的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则的最大值为．14．（5 分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．15．（5 分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为16．（5 分）已知直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C 的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C 的离心率为．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分. 17．（12 分）已知S n 为数列{a n}的前n 项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n．18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E 为AB 中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．19．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：x2＝6y 与直线l：y＝kx+3 交于M，N 两点．（1）设M，N 到y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1 和d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点p，当k 变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40 记作区[20，40），9：40～10：00 记作[40，60），10：00～10：20 记作[60，80），10：20～10：40 记作[80，100），例如10 点04 分，记作时刻64．（1）估计这600 辆车在9：20～10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600 辆车中抽取10 辆，再从这10辆车随机抽取4 辆，设抽到的4 辆车中，在9：20～10：00 之间通过的车辆数为X，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600 辆车在9：20～10：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000 辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．21．（12 分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1 的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4 时，求不等式f（x）＜0 的解集；（2）若不等式对x∈R 恒成立，求k 的取值范围．2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|2≤x＜6} D．{x|2＜x＜6} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B 的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，则∁R B＝{x|x≥2 或x≤﹣2}，则A∩（∁R B）＝{x|2≤x＜6}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2．（5 分）设i 为虚数单位，则复数的共轭复数＝（）A．B． C． D．【考点】A5：复数的运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：∵＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5 分）在样本的频率直方图中，共有9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8 个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A．0.2 B．0.25 C．40 D．50【考点】B8：频率分布直方图．【分析】设其他8 组的频率数和为m，则由题意得：m+ m＝200，由此能求出中间一组的频数．【解答】解：在样本的频率直方图中，共有9 个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8 个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8 组的频率数和为m，则由题意得：m+m＝200，解得m＝150，∴中间一组的频数为＝50．故选：D．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5 分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A．（1，8）B．（﹣16，﹣2）C．（1，﹣8）D．（﹣16，2）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据即可得出，从而得出k＝﹣3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．【解答】解：∵；∴；∴k＝﹣3；∴；∴；∴（﹣16，﹣2）与共线．故选：B．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（ ）C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S ＝3×+＝，r ＝ ，几何体的体积为：＝． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘 积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为，面积为 12π，则椭圆 C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．A ．B ．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得：，解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7．（5 分）设a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，若B＝C≠A，且b＝2a cos A，则A＝（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin B＝sin2A，可求B＝2A，或B＝π﹣2A，根据三角形的内角和定理即可得解A 的值．【解答】解：在△ABC 中，∵b＝2a cos A，∴由正弦定理可得：sin B＝2sin A cos A＝sin2A，∴B＝2A，或B＝π﹣2A，∵B＝C≠A，∴当B＝2A 时，由于A+B+C＝5A＝π，可得：A＝；当B＝π﹣2A 时，由于A+B+C＝B+2A，可得：B＝C＝A（舍去）．综上，A＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8．（5 分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30 B．80 C．﹣50 D．130【考点】DA：二项式定理．5 55 5 【分析】令 x ＝1 得各项系数为 3，求出 n 的值，结合展开式项的系数进行求解即可．【解答】解：令 x ＝1 得各项系数和为（2﹣n ）（1﹣2）5＝3，即 n ﹣2＝3，得 n ＝5，多项式为（2x 2﹣5）（x ﹣ ）5，二项式（x ﹣）5 的通项公式为 T k +1＝C k x 5﹣k （﹣）k ＝（﹣2）k C k x 5﹣2k ， 若第一个因式是2x 2，则第二个因式为x ，即当k ＝2 时，因式为4C 2x ＝40x ，此时2x 2×40x ＝80x 3，若第一个因式是﹣5，则第二个因式为 x 3，即当 k ＝1 时，因式为﹣2C 1x 3＝﹣10x 3，此时﹣5 ×（﹣10）x 3＝50x 3，则展开式中 x 3 项的为 80x 3+50x 3＝130x 3，即 x 3 的系数为 130 故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令 x ＝1 求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键． 9．（5 分）函数的部分图象不可能为（）A. B ．C ．D ．【考点】HK ：由 y ＝Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．【解答】解：A ．由图象知函数的周期 T ＝2π，则＝2π 得 ω＝1，此时 f （x ）＝2sin （x ﹣）＝﹣2cos x 为偶函数，对应图象为 A ，故 A 图象可能B. 由图象知函数的周期 T ＝﹣（﹣）＝＝，即＝，得 ω＝±3，当 ω＝3 时，此时 f （x ）＝2sin （3x ﹣），f （ ）＝2sin （3× ﹣ ）＝2sin≠﹣2，即B 图象不可能，当ω＝﹣3 时，此时f（x）＝2sin（﹣3x+），f（）＝2sin（﹣3×+）＝﹣2sin ≠﹣2，即B 图象不可能，C.由图象知函数的周期T＝4π，则＝4π得ω＝±，当ω＝时，此时f（x）＝2sin（x﹣π）＝﹣2sin x，f（π）＝﹣2sin ＝﹣1，即此时C 图象不可能，当ω＝﹣时，此时f（x）＝2sin（﹣x﹣π）＝2sin x，f（π）＝2sin ＝﹣1，即此时C 图象可能，D.由图象知函数的周期＝﹣＝，即t＝π，则＝π得ω＝2，此时f（x）＝2sin（2x﹣），f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2，即D 图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω 以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω 有可能是复数．10．（5 分）若函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，则k 的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令f′（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立得k 在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k 的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）＝3x2﹣ke x≤0 在（0，+∞）上恒成立，∴k 在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝，x＞0，则，当0＜x＜2 时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x＝2 时，g（x）取得最大值g（2）＝，则k ，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．11．（5 分）已知高为H 的正三棱锥P﹣ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，则＝（）A． B． C． D．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【分析】设棱锥底面边长为a，由已知把a 用含有H 的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．【解答】解：设P 在底面ABC 的射影为E，D 为AB 的中点，连结PD，设正三角形ABC 的边长为a，则CD＝，∴ED＝，EC＝a，由二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，得＝4，解得a＝．∴EC＝＝，OP+OC＝R，OE＝H﹣R，∴OC2＝OE2+CE2，∴R2＝（H﹣R）2+（）2，解得＝．故选：A．【点评】本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．（5 分）已知函数，若关于x 的方程f（f（x）＝m 有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2 的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【分析】画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t 两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，令g（t）＝2t﹣t+1，利用导数求解．【解答】解：函数，的图象如下：当m≥1 时，f（t）＝m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）＝t1 有一个解，f（x）＝t2 有两个解，不符合题意．当m＜0 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）＝t 有一个解，不符合题意．当0≤m＜1 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t 两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，令g（t）＝2t﹣t+1，g′（t）＝2t lnt﹣1＞0，故g（t）在（1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】设z＝，作出不等式组对应得平面区域，利用z 得几何意义即可得到结论．【解答】解：设z＝，则k 得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA 的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA 得斜率k＝，则的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5 分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】由已知求得tan2β，再由tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]求出tanα，代入得答案．【解答】解：由tanβ＝2，得tan2β＝＝，又tan（α﹣2β）＝4，∴tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]＝＝．∴＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．15．（5 分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为 2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由二次型函数值域的求法得：设m＝3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，得解【解答】解：设m＝3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．16．（5 分）已知直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F2，且，则双曲线C 的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P 的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．【解答】解：双曲线C 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1＝＝，即有直线PF2 的斜率为tan∠PF2F1＝，由直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线y＝x 交于点P，可得P（2a，2b），可得＝，即有4b2＝15（4a2﹣4ac+c2）＝4（c2﹣a2），化为11c2﹣60ac+64a2＝0，由e＝可得11e2﹣60e+64＝0，解得e＝或e＝4，由2a﹣c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e＝4 舍去．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分. 17．（12 分）已知S n 为数列{a n}的前n 项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）运用等比数列的中项性质，令n＝1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2 时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算可得所求通项公式；（2）求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【解答】解：（1）依次成等比数列，可得（）2＝S n＝（n+2）（a1﹣2）n，当n＝1 时，a1＝S1＝3（a1﹣2），解得a1＝3，当n≥2 时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1，上式对n＝1 也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝2n+1；（2）＝＝（﹣），可得前n 项和T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18（．12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，P D⊥平面ABCD，∠PAD＝∠ DAB＝60°，E 为AB 中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD 交点为O，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，E 为AB 的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥ 平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD 交点为O，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P（﹣1，0，2 ），A（0，﹣，0），E（，0），C（0，，0），＝（﹣1，，2），＝（，0），＝（1，），＝（，0），设平面APE 的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），设平面PCE 的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（3，1，2），设二面角A﹣PE﹣C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．∴二面角A﹣PE﹣C 的余弦值为﹣．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：x2＝6y 与直线l：y＝kx+3 交于M，N 两点．（1）设M，N 到y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1 和d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点p，当k 变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【分析】（1）先将y＝kx+3 代入x2＝6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，由∠OPM＝∠OPN，得当k 变化时，k1+k2＝0 恒成立，进而可求出结果【解答】解（1）证明：将y＝kx+3 代入x2＝6y，得x2﹣6kx﹣18＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣18，从而d1d2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|＝18 为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2＝+＝＝．当b＝﹣3 时，有k1+k2＝0 对任意k 恒成立，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20．（12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40 记作区[20，40），9：40～10：00 记作[40，60），10：00～10：20 记作[60，80），10：20～10：40 记作[80，100），例如10 点04 分，记作时刻64．（1）估计这600 辆车在9：20～10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600 辆车中抽取10 辆，再从这10辆车随机抽取4 辆，设抽到的4 辆车中，在9：20～10：00 之间通过的车辆数为X，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600 辆车在9：20～10：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000 辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X 的所有可能的取值，计算出每个X 对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．【解答】解：（1）这600 辆车在9：20～10：40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20＝64，即10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10 辆车中，在10：00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10 ＝4，所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．（3）由（1）得μ＝64，σ2＝（30﹣64）2×0.1+（50﹣64）2×0.3+（70﹣64）2×0.4+（90﹣64）2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64﹣18≤T≤64+2×18）＝+＝0.8186，所以估计在在9：46～10：40 之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819 辆．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．21．（12 分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数．∴x＞0，．若a≤﹣，∵x＞1，∴lnx＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞﹣，令g′（x）＝0，得x＝，当1＜x＜e 时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，∴xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，令h′（x）＝0，得x＝e a﹣1，当x∈（0，e a﹣1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a﹣1）＝（a﹣1）e a﹣1+a+e﹣2﹣ae a﹣1＝a+e﹣2﹣e a﹣1，令t（a）＝a+e﹣2﹣e a﹣1，则t′（a）＝1﹣e a﹣1，令t′（a）＝0，得a＝1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）＝e﹣2﹣，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）＝a+e﹣2﹣e a﹣1≥0＝t（2），∴a 的取值范围是[0，2]．【点评】本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1 的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C 的直角坐标方程．（2）由（1）可设P 的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．【解答】解：（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C 的直角坐标方程．（2）由（1）可设P 的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|＝3+sinα，又直线ρcosθ＝﹣1 的直角坐标方程为x＝﹣1，所以|PN|＝2+cosα+1＝3+cosα，所以|PM|+|PN|＝6+ sin（α+），故当α＝时，|PM|+|PN|取得最大值为6+ ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4 时，求不等式f（x）＜0 的解集；（2）若不等式对x∈R 恒成立，求k 的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）k＝4 时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0 的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3﹣k≥，求不等式的解集即可．【解答】解：（1）k＝4 时，函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣4，不等式f（x）＜0 化为|x+1|+|2﹣x|＜4，当x＜﹣1 时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得﹣＜x＜﹣1，当﹣1≤x≤2 时，不等式化为x+1+2﹣x＝3＜4 恒成立，则﹣1≤x≤2，当x＞2 时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0 的解集为（﹣，）；（2）因为f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k≥|x+1+2﹣x|﹣k＝3﹣k，所以f（x）的最小值为3﹣k；又不等式对x∈R 恒成立，所以3﹣k≥，所以，解得﹣3≤k≤1，所以k 的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为D C B AA ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式2210x x --<的解集为 . 10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FEDCBAa 图3重量/克0.0320.02452515O由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE = （1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图419．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+14115．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sinA ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 3AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CBA （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n --=+. ……………14分。

2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)

2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)

2019届百师联盟全国高三模拟考（二）全国Ⅱ卷数学（理）试题一、单选题1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B【解析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A ．1BCD ．5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 3．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】命题p ：函数()xxf x e e-=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【详解】解：命题p ：函数()xxf x e e-=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.5．已知131412,log ,sin(1)5a b c -===-，则（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 解：1030221-<<=Q ，14441log log 5log 415=>=， (0,1),1,sin(1)0a b c ∴∈>=-<，即b a c >>， 故选：D 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r，则y x -的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-【答案】D【解析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==. 故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【解析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求． 【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==，∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．12．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A【解析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛===+ ⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题13．5(13)(1)x x -+展开式中3x 项的系数是__________ 【答案】-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解． 【详解】解：555(13)(1)(1(13))x x x x x -=-+++展开式中3x 项的系数： 二项式5(1)x +由通项公式515()r r r T C x -+= 当3r =时，3x 项的系数是3510C =，当2r =时，2x 项的系数是2510C =， 故3x 的系数为3255320C C -=-；故答案为：20- 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，()222321111922232S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 9321552ABCDS P S ∴===阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____ 2【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b a =，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b a =，c ∴=，ce a∴==，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 【答案】A 或D【解析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的，由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．故答案为：A 或D 【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos )cos 0(C A A B +=（1）求内角B 的大小（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）8【解析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则21sin 23ABC S AB π∆=，142sin 2AOB S θ∆=⨯⨯得到()4sin OACB S θθ=四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】解：（1）由cos cos )cos 0(C A A B +=，cos()(cos )cos 0A B A A B ∴-++-=，cos cos sin sin (cos )cos 0A B A B A A B ∴-++=，sin (sin )0A B B ∴=，sin 0A ≠Q ，tan 3B ∴=，()0,B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，21sin 5343cos 23ABC S AB πθ∆∴==- 142sin 4sin 2AOBS θθ∆=⋅⋅=Q ，()534sin 3cos 538sin()3OACB S πθθθ∴=+-=+-四边形，所以当56πθ=时有最大值538+【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.18．健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题： （1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望()E X【答案】（1）25（2）（3）见解析，249200【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率2510521005p++==；（2）第1次消费利润600.953027⨯-=；第2次消费利润600.903024⨯-=；第3次消费利润600.853021⨯-=；第4次消费利润600.803018⨯-=；这4次消费获得的平均利润：2724211822.54+++=（3）1次消费利润是27，概率是35；2次消费利润是272425.52+=，概率是14；3次消费利润是272421243++=，概率是110；4次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,,3,22X=3311111187(0)554410102020200 P X==⨯+⨯+⨯+⨯= 33111119()2()254410102025P X==⨯+⨯+⨯=311129(3)2()510420200P X==⨯+⨯=9313()2252050P X==⨯⨯=故分布列为：期望为:87392993249 ()03200225200250200 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（2）16【解析】（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O ePA BC ∴⊥BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ；（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r则00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，43,1,n t ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭r如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，则234cos 124m n t m nθ⋅==-+⋅u r ru r r ，4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为155，则tan θ最小值为16【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）61k ≥61k ≤- 【解析】（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0∆得到2k 的范围，设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 则120022,0221x x x y k +==>+，所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0，，2221121b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩，1a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+联立22222x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++， 由2264421)60k k ∆=-+⨯>（，解得232k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022,0221x x x y k +∴==>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得12k ≥+或12k ≤--【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数2()64ln f x x x x =-+ （1）求()f x 单调区间和极值；（2）若存在实数,,(0)a b c a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，求证：2c a -< 【答案】（1）()()0,12,x ∈⋃+∞时，函数单调递增，(1,2),x ∈，函数单调递减，min max ()4ln 28;()5f x f x --；（2）见解析【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得(4ln 28,5)m ∈--且012a b c <<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+，即(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立，构造函数()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为2()64ln f x x x x =-+定义域为()0,∞+，所以2(1)(2)()x x f x x--'=，()()0,12,x ∴∈⋃+∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，即函数()f x 在(1,2)单调递减，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值；()(2)4ln 28f x f ∴==-极小值，()(1)5f x f ==-极大值；（2）易得(4ln 28,5),012m a b c ∈--<<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+ 即证(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立， 令()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，则224[(1)3]()(2)()02x g x f x f x x x+-'''=+-=>+令()0g x '>，解得11x >>，即()g x 在)1,1上单调递增；令()0g x '<，解得01x <<，即()g x 在()1上单调递减；则()g x 在1x =取得极小值，也就是最小值，min ()1)121)1)g x g ∴==+-124ln 2)0e >+-=从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t tt te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数）（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5【解析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】解：（1）曲线C ：22t tt t e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=，23305m ∴--=设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m ∴⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 23．已知函数()|2|f x x a =-（1）若1a =，不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集； （2）若,(2)2x R f x x ∀∈-≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-【解析】（1）依题意可得41|21|2x x --+≥，再用零点分段法分类讨论可得； （2）依题意可得42x a x -≥+对x R ∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R ，得到不等式即可解得； 【详解】解：（1）若1a =，()|21|f x x =-，则(2)(1)2f x f x -+≥，即41|21|2x x --+≥，当12x ≤-时，原不等式等价于14212x x -++≥，解得12x ≤- 当1124x -<<时，原不等式等价于14212x x ---≤，解得13x ≤-，所以1123x -<≤-； 当14x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，由42x a x -≥+解得23a x +≥， 由42x a x -≤--解得25a x -≤， 要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。

广东省2019届高三理数第二次联考试卷

广东省2019届高三理数第二次联考试卷

第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三理数第二次联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知复数 R )，（ 为虚数单位），若 为纯虚数，则 ( )A . 1B .C . 2D .2. 设全集，集合 ，集合 ，则（ ）A . [4,5)B . （-5,-2]C . （-5，-2）D . （4,5）3. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（ ）A . 36里B . 24里C . 18里D . 12里 4. 函数的单调递增区间是（ ）A .B .C .答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D .5. 下列有关命题的说法中错误的是( ) A . 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B . 命题：“若 是幂函数，则 的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C . 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D . 若直线和平面，满足 .则“ ” 是“ ”的充分不必要条件.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .B .C .D .7. 如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，点F 在线段CD 上， 设 ， , ，则的最小值为（ ）。

2019广州二模理科数学试题及答案WORD

2019广州二模理科数学试题及答案WORD

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足 i2z=，其中i为虚数单位，则z的虚部为A．2- B．2 C．2-i D．2i2．若函数()y f x=是函数3xy=的反函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为A．2log3- B．3log2- C．19D3．命题“对任意x∈R，都有32x x>”的否定是A．存在x∈R，使得3200x x> B．不存在x∈R，使得3200x x>C．存在x∈R，使得3200x x≤ D．对任意x∈R，都有32x x≤4. 将函数()2cos2(f x x x x=+∈R)的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x=，则函数()y g x=A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A．16B．13C．12D．386．设12,F F分别是椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F︒∠=，则椭圆C的离心率为A．16B．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A．6π4+ B．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内FE D CBA 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分M O H F E D CBA ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k+=.……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k kk k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

(精心整理)2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

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侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13CDCB A7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为M O H F E D CB A 0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，. ……………8分∴FH AB∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减. 由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x -+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x k g x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+……………13分 223222n n n n --=+.……………14分。

广东省百校联盟(定向邀约校)2019届高三9月联考数学(理)试题(解析版)

广东省百校联盟(定向邀约校)2019届高三9月联考数学(理)试题(解析版)

广东省百校联盟（定向邀约校）2019届高三9月联考数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. 或C. 或D.【答案】A【解析】解：集合，或，，．故选：A．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.是复数z的共轭复数，且，则z的虚部为A. B. C. 2 D. l【答案】D【解析】解：，，故，故z的虚部是1，故选：D．求出z的共轭复数，从而求出z，求出z的虚部即可．本题考查了复数的运算，考查转化思想以及复数的运算，是一道常规题．3.已知等差数列的前n项和为，若，，则A. lB.C.D.【答案】B【解析】解：设等差数列的公差为d，等差数列的前n项和为，若，，，解得，．故选：B．设等差数列的公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的第5项与前3项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知椭圆：，若直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆的长轴长为A. 2B. 4C.D.【答案】B【解析】解：椭圆：，若直线与椭圆C交于A，B两点，且，联立，解得，，，解得，椭圆C：．，．椭圆的长轴长为4．故选：B．联立，解得，，从而，进而椭圆C：由此能求出椭圆的长轴长．本题考查椭圆的长轴长的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，是中档题．5.某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满100元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得微信红包5元，没有中奖不发红包，现有5名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为，记X为5名顾客的红包金额总和，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满100元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得微信红包5元，没有中奖不发红包，现有5名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为，记X为5名顾客的红包金额总和，中奖人数～，．故选：B．推导出中奖人数～，，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.若，，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，；．故选：B．容易看出，，从而得出a，b，c，d的大小关系．考查指数函数的单调性，幂函数的单调性，对数函数的单调性，和指数函数的值域．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为A.B.C. 6D.【答案】C【解析】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体是三棱锥如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，，所以最长棱为6．故选：C．根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键8.如图，在梯形ABCD中，，，点E为CD中点，AE与BD交于点设，则A. lB.C.D.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，设，则：，，，，；直线AE的方程为：，直线BD的方程为：；联立两直线方程求得；；；；解得；．故选：B．根据条件可建立平面直角坐标系，并设，从而得出，，，，，从而求出直线AE和BD的方程，联立两直线方程即可求出点F的坐标，这样根据即可求出x，y的值，从而求出的值．考查通过建立直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及点斜式直线方程，向量坐标的加法和数乘运算．9.已知函数，，，且在上单调，则A. 2B.C.D. l【答案】B【解析】解：由题意得，函数的最小正周期为，在上单调， ，得．，解得，．，则．故选：B．由已知可得函数的最小正周期为，解得，结合已知列关于 ， 的方程组，求解可得，，得到函数解析式，进一步求得的值．本题考查型函数的图象和性质，考查三角函数的单调性与周期性，是中档题．10.2018年～月某市邮政快递业务量完成件数较2017年～月同比增长，下图为该市2017年～月邮政快递业务量柱形图及2018年～月邮政快递业务量结构饼形图，根据统计图，给出下列结论 年～月，该市邮政快递业务量完成件数约l500万件 年～月该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年～月相比有所减少， 年月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长其中正确结论的个数为A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】解：2018年～月，该市邮政快递业务量完成件数约为：万件，故 正确；2017年～月，邮政快递同城业务量完成件数约万件，故 错误；2018年月邮政快递国际及港澳台业务量同比增长约为，故错误．故选：C．利用柱形图、饼形图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查柱形图、饼形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.已知双曲线C：，若 变化时，直线与双曲线C恒有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解： 变化时，直线，可得原点到直线的距离为，为定值，即有直线与圆都相切，由题意可得只要圆与双曲线双曲线C：有交点，即有，则，由，可得，则双曲线的离心率的范围为故选：A．求得原点到直线的距离为定值，可得圆与双曲线有交点，即，又，结合离心率公式，可得范围．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，注意运用转化思想和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．12.对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由得，令，，，，，当时，，则在，上为增函数，则的值域为，，当或时，，此时单调递减，当时，，单调递增，则的图象如图：若任意的，关于x的方程在上有三个根，则，即，得，即，故选：A．由由得，构造函数，，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，设圆的方程为，又由圆经过，，三点，则有，解可得：，，；则圆的方程为：；故答案为：根据题意，设圆的方程为，将三点的坐标代入可得，解可得D、E、F的值，将D、E、F的值代入圆的方程，计算可得答案．本题考查圆的方程的计算，注意由三点的坐标设出圆的方程．14.在的二项展开式中含项的系数为______【答案】21【解析】解：，故该二项展开式中含项的系数为，故答案为：21．把按照二项式定理展开，可得展开式中含项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：设，则直线过点时，z取得最大值3，过时，z取得最小值：，所以的取值范围是：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.函数______．【答案】【解析】解：函数，由，，又，，的值域为．故答案为：．利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，结合正弦函数的图象与性质求得的值域．本题考查了三角函数的化简与求函数的值域问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．求角C；Ⅱ若，，，求点C到直线AD的距离．【答案】解：由得，得；即，，，则．Ⅱ设点C到直线AD的距离为h，，，则，得，则三角形ACD的面积ℎ，即ℎ得ℎ，即点C到直线AD的距离为ℎ．【解析】Ⅰ由正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简求解即可Ⅱ利用余弦定理求出AD的长度，结合三角形的面积利用等积法进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系是解决本题的关键．18.各项都为正数的数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：，可得，解得；时，．又．相减可得，即为，由，可得，即有；Ⅱ若，可得前n项和，，相减可得，化简可得．【解析】运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，计算可得所求通项公式；Ⅱ若，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.如图所示，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，且．求证：；Ⅱ若M为的中点，求直线AM与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，是等边三角形，连结，设，则，，，，，，，平面，平面，．解：Ⅱ取的中点E，的中点O，连结OE，则由，得，又，，，平面，由Ⅰ得，设，以O为坐标原点，以为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，0，，0，，，则0，，，，0，，，设平面的一个法向量y，，由，取，得1，，设直线AM与平面所成角为，则，．直线AM与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出四边形是菱形，从而是等边三角形，连结，推导出，，从而平面，由此能证明．Ⅱ取的中点E，的中点O，连结OE，以O为坐标原点，以为x轴，OE 为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.一种室内种植的珍贵草药的株高单位：与一定范围内的温度单位：有关，现收集了该种草药的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，，得如下数据：且，，且用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；Ⅱ根据的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；Ⅲ已知这种草药的利润z与x，y的关系为，当z为何值时，利润z 的预报值最大．附：参考公式和数据：对于一组数据2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数，．【答案】解：用相关系数，，因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适；Ⅱ根据知，，；所以关于x的回归方程为；Ⅲ由题意知利润函数，由基本不等式，当且仅当时“”成立，所以当气温 时，利润z的预报值最大．【解析】利用相关系数，，比较与的大小，得出用模型建立回归方程更合适；Ⅱ根据的结论求出y关于x的回归方程即可；Ⅲ由题意写出利润函数z，利用基本不等式求得利润z的最大值以及对应的x值．本题考查了线性回归方程与相关系数的应用问题，是中档题．21.已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C相切于点M，且．求抛物线C的方程；Ⅱ若A，B是抛物线c上异于原点O的两点，且直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点．第11页，共13页【答案】解：Ⅰ联立方程可得，消x可得，由，可得，此时，可得点M的坐标为，由，可得，解得，，则抛物线的方程为；Ⅱ设A，B的坐标为，，由题意可得，，易知直线AB的方程为，即，可化为，显然直线AB过定点．【解析】联立方程可得，利用判别式求出，则根据抛物线的定义可得，，求出p，然后求抛物线C的方程；Ⅱ通设A，B的坐标为，，根据题意可得，求出直线AB的方程，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求方法的应用．22.已知函数．当时，求满足不等式组的x的取值范围；Ⅱ当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，在上，函数是增函数，在上，函数是减函数，而，，故使得，的解集是，第12页，共13页由得，故，故求交集得x的范围是；Ⅱ令，时，成立的一个充分条件是：即，化为，令ℎ，则ℎ，当时，，当时，，，故，递减，的最大值是，故，当时，，若在上无零点，则，，不合题意，舍，若在上上有零点，设m是的最小零点，则在上，，，不合题意，舍，，故a的范围是．【解析】Ⅰ求出a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x的范围即可；Ⅱ令，问题转化为，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．第13页，共13页。

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
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广东省百校联盟2019届高三第二次联考数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()(1)1z i i +-=，则z = （ ）A ．12.已知222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=，则A B = （ ）A ．1(0,)3B ．1[2,)3-C ．1(,2]3D ．1(,2)33. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高温为正相关 B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4. 已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若sin x =2cos 2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin ,A B c =5cos 6C =，则a =（ ）A ．．3 C ．．46.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）A ．8+．6+ C ．6+．8+7. 将曲线1:sin()6C y x π=-上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[,0]π-上的单调递增区间是（ ）A ．5[,]66ππ--B ．2[,]36ππ-- C ．2[,0]3π- D ．[,]6ππ-- 8. 执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．169. 设,x y 满足约束条件22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2y x z x y =-的取值范围是（ ） A ．7[,1]2- B ．7[2,]2- C ．77[,]23-- D ．3[,1]2-10. 函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D．(22)++∞ 12. 已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 22+ B ．ln 2 C ．12ln 22+ D ．2ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量m 与向量n 互相垂直，且2(11,2)m n -=-，若5m =，则n = ．14.在二项式6的展开式中，其3项为120，则x = ．15.如图，E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1BCF，则异面直线1BD与CE 所成角的余弦值为 ．16.已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题（60分）17. 已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}nb 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11{}n na b + 的前n 项和n T .18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523.（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.19.如图，四边形ABCD 是矩形，3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE =（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）求二面角A PB C --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的且椭圆C 经过点(2,)2A . （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，MN =l 在y 轴上的截距为m ， 求m 的最大值.21.函数()2ln(1)f x x m x =++ . （1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：2112()2ln 2f x x x >-+ .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=，若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 上在2C ，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.23.已知()223f x x a x a =-+++ . （1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.广东省百校联盟2019届高三第二次联考数学理试题答案一、选择题1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12：A 二、填空题13. 5 14.223三、解答题17.解：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知111111()2(1)21n na b n n n n +==-++，所以11111111[(1)()()()]22233412(1)n nT n n n =-+-+-++-=++. 18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则11214211313()25525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量(3,0.4)XB ，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=. 19.（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形，3,2AB BC DE EC ===, 所以CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACEπ∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PEBE E =，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,A B C P -, 则6(0,33,0),(3,3,6),(,0,1)AB BP CB ==--=,设平面APB 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111030x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，取1110,13x y z ===，即16(,0,1)3n = 设平面BPC 的法向量2222(,,)n x y z=，则22223030x x =⎧⎪⎨--=⎪⎩，取2110,1x y z ===，即1(0,2,1)n = 设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则1212125cos cos,n n n n n nθ⋅===⋅由图可知二面角为钝角，所以cos θ=.20.解：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点(2,2A 的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=，所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=.（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程组2218xy y kx m⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 得222(18)16880k x kmx m +++-=，由22225632(1)(18)0m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ===2222(81)(34)4(1)k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，24921(8)214m t t=-+≤-m ≤当且仅当4984t t =，即t =时，上式取等号，此时2k =，2m =，满足2218m k <+，所以m 21.解：函数()f x 的定义域为()222(1,),1x x mf x x ++'-+∞=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上，12x =-为对称轴的抛物线，当1x >-时，①11()022g m -=-+≥，即12m ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得121122x x =-=-+，因为()10g m -=>，所以1111222x -<<--<-，当12x x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时，()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时，()f x 在11(,2222---+上递减，在1(1,22---和1()22-++∞上递增，当12m ≥时，在(1,)-+∞上递增.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在1(1,)x -和2(,)x +∞上递增，则2()(0)0f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证2112()2ln 2f x x x >-+又2222221222()22ln(1)24ln(1)f x x m x x x x x =++=++22222222224(1)ln(1)(1)2(1)ln 212(1)ln 2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+， 即证22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()2124(1)ln(1)(1)(12ln 2),(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<<则()44(12)ln(1)ln x x x eϕ'=-++-当102x -<<时，4120,ln(1)0,ln 0x x e+>+<>，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1(,0)2-上递增，故()11111()24ln (12ln 2)024222x ϕϕ>=⨯-⨯⨯--=，所以22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->，所以2112()2ln 2f x x x >-+.22.解：（1）1C 的普通方程为22(1)1x y +-=， 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆.（2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q θθ，则1(cos ,1sin )2M θθ+，直线:240l x y--=，点M到直线l的距离为d==，所以d≤=，即M到直线l的距离的最小值为5.23.（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a=-+++≥++-+而2222323(1)22x a x a a a a++-+=++=++≥，所以()2f x≥.（2）因为222323,3334()232222,4a a af a aa a a⎧++≥-⎪⎪-=+++=⎨⎪-<-⎪⎩，所以234233aa a⎧≥-⎪⎨⎪++<⎩或23423aa a⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得10a-<<，所以a的取值范围是(1,0)-.。

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