2018届高三数学第50练表面积与体积练习

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2018届高三数学第50练表面积与体积练习

2018届高三数学第50练表面积与体积练习

- 让每一个人同等地提高自我第 50 练表面积与体积(1) 会利用几何体的表面积、体积公式求几何体的表面积、体积;(2) 能经过几训练目标何体的三视图复原几何体,求面积、体积.(1) 求简单几何体的表面积、体积;(2) 求简单的组合体的表面积、体积;(3)训练题型经过三视图复原几何体求几何体的面积、体积.由三视图求面积、体积重点在于复原几何体,球的问题重点在确立球半径,不解题策略规则几何体可经过切割、补形转变为规则几何体求面积、体积.一、选择题1.在体积为4的三棱锥S-ABC中, AB= BC=2,∠ ABC=90°, SA= SC,且平面SAC⊥平面3ABC,若该三棱锥的四个极点都在同一球面上,则该球的体积是()8 2π9πA.3B.227πC.2D.12π2.如图是一个空间几何体的三视图,则该空间几何体的表面积是()A. (8 + 2 5) πB.(9 + 25) πC. (10 + 2 5) πD.(8 + 23) π3.(2016 ·山西四校联考) 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积是() 1A.5+ 3B.5+ 2 3C.4+2 2D.4+ 2 34.(2016 ·唐山模拟 ) 若正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为 () A.64πB.32πC.16πD.8π5.某几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为()A. 16+8πB.8+8πC. 16+16πD.8+16π6. 如图,已知正三角形ABC三个极点都在半径为2的球面上,球心 O到平面 ABC的距离为1,点 E 是线段 AB的中点,过点 E 作球 O的截面,则截面面积的最小值是()27A. 4πB.2π9C. 4πD.3π7.某几何体的三视图( 单位: cm)如下图,则该几何体的体积是()A. 72 cm 3B.98 cm 3C. 108 cm 3D.138 cm 38.如图,在棱长为 1 的正四周体-中,O 是四周体的中心,平面∥平面,设S ABC PQR ABC SP= x(0≤ x≤1),三棱锥 O- PQR的体积为 V= f ( x),其导函数 y= f ′(x)的图象大概为() 3二、填空题9.如图,在三棱柱A1B1C1- ABC中, D, E, F 分别是 AB, AC, AA1的中点,设三棱锥F- ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1 B1C1- ABC的体积为 V2,则 V1∶ V2=________.410.(2016 ·九江模拟) 已知矩形 ABCD 的极点都在半径为 2 的球 O 的球面上,且AB = 3, BC= 3,过点 D 作 DE 垂直于平面 ABCD ,交球 O 于 E ,则棱锥 E - ABCD 的体积为 ________.11.如图,在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB = AD = 3 cm , AA 1= 2 cm ,则三棱锥 A -B 1D 1D 的体积为 ________ cm 3.12.已知球 O 的直径 PQ =4, A , B ,C 是球 O 球面上的三点,△ ABC 是等边三角形,且∠ APQ=∠ BPQ =∠ CPQ =30°,则三棱锥P - ABC 的体积为 ________.答案精析1. B [ 如图,设球心为O ,半径为 R ,取 AC 中点为 M ,连结 SM ,依照图形的对称性,点 O1 1 42必在 SM 上,由题设可知 3×2×2×2× SM =3,解得 SM = 2,连结 OC ,则在 Rt △ OMC 中, R523 4π3 39π =(2 - R ) + 2,解得 R = ,则 V =3×() =,故应选 B.]2222. A [ 从三视图所供给的图形信息和数据信息可知该几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体.圆柱的底面面积为π,侧面积为 2π× 1×2=4π,圆锥的底面积为4π,因为其母线长为1 5=2 5π,故该几何体的表面积 S = 2 5π+ 4π5 ,所以其侧面面积为 ×2π× 2×2+4π-π+π= (2 5+8) π,应选 A.]3.A[ 该几何体的直观图如图.表面积1 1 1 =1×1+ ×1×1×2+2××(1 +2) ×1+ × 6222× 2= 5+ 3,所以选 A.]4.A [ 如图,作 PM ⊥平面 ABC 于点 M ,则球心 O 在 PM 上, PM = 6,连结 AM , AO ,则 OP = OA=R ( R 为外接球半径 ) ,在 Rt △ OAM 中, OM = 6-R , OA = R ,又 AB =6,且△ ABC 为等边三角6形,故 AM =2362- 32= 23,则 R 2- (6 - R ) 2= (2 3) 2,解得 R = 4,则球的表面积 S =4π R 2= 64π.]5. A [ 由三视图可知,该组合体下半部分是一个半圆柱,上半部分是一个长方体,故体积V =2×2×4+ 1 ×π×22×4= 16+8π.]26. C [ 所作的截面与垂直时,截面圆的面积最小,设正三角形 的高为3,OEABCa则 42a=3+ 1= 4,即,a2223 7227 99π此时 OE = 1 +4= 4. 截面圆半径 r = 2 - 4= 4,故截面面积为 4 .]7. B [ 该几何体的体积 = 长方体 - V 1 1 3三棱柱=6×6×3- × ×3×4×5= 98 (cm ) . ]V V 3 28.A [ 设 O 点究竟面 PQR 的距离为 h ,即三棱锥 O - PQR 的高为 h ,设底面 PQR 的面积为S ,1∴三棱锥 O - PQR 的体积为 V =f ( x ) = 3Sh ,点 P 从 S 到 A 的过程中,底面积S 向来在增大,高 h 先减小再增大, 当底面经过点 O 时,高为 0,∴体积先增大, 后减小, 再增大, 应选 A.] 9. 1∶ 241 1V 1h AD · AE ·sin ∠ DAE13 2分析设三棱锥 F -ADE 的高为 h ,则 V 2 =1= 24 .(2 h ) 2(2 AD )(2 AE )sin ∠ DAE10. 2 3分析如下图, BE 过球心 O ,∴ DE = 42 -[3 2+ ( 3) 2] =2 ,1∴V E - ABCD = 3×3× 3×2= 2 3.7- 让每一个人同等地提高自我11. 3分析VA B1D1DVB111 11×1××1×1 1AD1D S AD1D×BA=3AD DD BA32=1×1×3×2×3= 3.3 29 312.4分析如图,设球心为M,△ ABC截面所截小圆的圆心为O.∵△ ABC是等边三角形,∠APQ=∠ BPQ=∠ CPQ=30°,∴P 在平面 ABC上的投影是△ ABC的中心 O.设 AB的中点为 H,∵PQ是直径,∴∠ PCQ=90°,8- 让每一个人同等地提高自我∴PC=4cos 30°=23,∴PO=2 3cos 30°=3,OC= 23sin 30 °= 3.2∵O是△ ABC的中心,∴ OC=3CH,3333∴△ ABC的高 CH=2,AC=2sin 60°=3,1113393∴V 三棱锥P-ABC=3PO· S△ABC=3×3×2×2×3=4.2018届高三数学第50练表面积与体积练习9。

高三高考数学复习练习82空间几何体的表面积与体积

高三高考数学复习练习82空间几何体的表面积与体积

821.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C .16π D .24π【解析】 设球的半径为R ,因为表面积是16π,所以4πR 2=16π,解得R =2,所以体积为43πR 3=32π3. 【答案】 B2.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )A .πB .2πC .3πD .4π【解析】 由三视图可知,该几何体为半径为r =1的半球体,表面积为底面圆面积加上半球面的面积,所以S =πr 2+12×4πr 2=π×12+12×4π×12=3π.故选C. 【答案】 C3.在梯形ABCD 中,∠ABC =π2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D .2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ,梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径,线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为V =V圆柱-V 圆锥=π·AB 2·BC -13·π·CE 2·DE =π×12×2-13π×12×1=5π3,故选C. 【答案】 C4.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+ 3B .2+ 3C .1+2 2D .2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图,如图所示,∴该四面体的表面积为S 表=2×12×2×1+2×34×(2)2=2+3,故选B. 【答案】 B5.(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .6π+1B.(24+2)π4+1C.(23+2)π4+12D.(23+2)π4+1 【解析】 由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其中下部是底面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为4π+π+3π4+2π4+1=(23+2)π4+1,故选D. 【答案】 D6.甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示,甲、乙几何体的体积分别为V 1,V 2,则V 1∶V 2等于( )A .1∶4B .1∶3C .2∶3D .1∶π【解析】 由三视图知,甲几何体是半径为1的球,乙几何体是底面半径为2,高为3的圆锥,所以球的体积V 1=43π,V 2=13π×22×3=4π,所以V 1∶V 2=1∶3.故选B. 【答案】 B7.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A .πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ,球的半径为R ,且R =1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r ,R 及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r = 12-⎝⎛⎭⎫122=32.∴圆柱的体积为V =πr 2h =34π×1=3π4. 故选B.【答案】 B8.(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为________.【解析】 由三视图可知,该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体,其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆,正四棱柱的底面边长为4,高为2,半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成,故其表面积为(4×4×2+2×4×4)+12×(4π×22)-π×22=64+4π. 【答案】 64+4π9.(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB =CD =6,AC =AD =BC =BD =2,则四面体ABCD 的外接球的表面积是________.【解析】 (图略)在四面体ABCD 中,取线段CD 的中点为E ,连接AE ,BE .∵AC =AD =BC =BD =2,∴AE ⊥CD ,BE ⊥C D.在Rt △AED 中,CD =6,∴AE =102.同理BE =102.取AB 的中点为F ,连接EF .由AE =BE ,得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中,∵AF =12AB =62,AE =102,∴EF =1.取EF 的中点为O ,连接OA ,则OF =12.在Rt △OF A 中,OA =72.∵OA =OB =OC =OD ,∴该四面体的外接球的半径是72,∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10.(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π,A ,B 是球面上的两点,∠AOB =60°,C 是球面上的动点,则四面体OABC 体积V 的最大值为________.【解析】 设球的半径为R ,由4πR 2=36π,得R =3.显然在四面体OABC 中,△OAB 的面积为定值,S △OAB =12×R ×32R =34R 2=934.要使三棱锥的体积最大,只需球上的点到平面OAB 的距离最大,显然,到平面OAB 距离的最大值为球的半径,所以四面体OABC 的体积的最大值V =13×934×R =934. 【答案】 93411.(2016·全国丙卷)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,P A =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明:MN ∥平面P AB ;(2)求四面体N -BCM 的体积.【解析】 (1)证明 由已知得AM =23AD =2. 如图,取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN =12BC =2. 又AD ∥BC ,故TN 綊AM ,所以四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ,MN ⊄平面P AB ,所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ,N 为PC 的中点,所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ,连接AE .由AB =AC =3得AE ⊥BC ,AE =AB 2-BE 2= 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5,故S △BCM =12×4×5=2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM =13×S △BCM ×P A 2=453. 12.如图所示,在空间几何体ADE -BCF 中,四边形ABCD 是梯形,四边形CDEF 是矩形,且平面ABCD ⊥平面CDEF ,AD ⊥DC ,AB =AD =DE =2,EF =4,M 是线段AE 上的动点.(1)试确定点M 的位置,使AC ∥平面MDF ,并说明理由;(2)在(1)的条件下,平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分,求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比.【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时,AC ∥平面MDF .理由如下:连接CE 交DF 于点N ,连接MN .因为M ,N 分别是AE ,CE 的中点,所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ,AC ⊄平面MDF ,所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ,如图所示,三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V =S △ADE ·CD =12×2×2×4=8,则几何体ADE -BCF 的体积V ADE ­BCF =V ADE ­B ′CF -V F ­BB ′C=8-13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2=203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M ­DEF =13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1=43, 所以V ADM ­BCF =203-43=163, 所以两几何体的体积之比为43∶163=1∶4.。

表面积和体积练习题

表面积和体积练习题

表面积和体积练习题表面积和体积练习题在数学中,表面积和体积是我们经常接触到的概念。

无论是计算一个物体的表面积还是体积,都需要一定的数学技巧和思维能力。

在本篇文章中,我将为大家提供一些关于表面积和体积的练习题,帮助大家更好地理解和应用这些概念。

1. 立方体的表面积和体积假设一个立方体的边长为a,那么它的表面积和体积分别是多少?解答:立方体有6个面,每个面的面积都是a^2,所以它的表面积是6a^2。

立方体的体积等于边长的立方,即V = a^3。

2. 球的表面积和体积给定一个半径为r的球体,求它的表面积和体积。

解答:球体的表面积可以通过公式4πr^2来计算。

球体的体积可以通过公式(4/3)πr^3来计算。

3. 圆柱体的表面积和体积一个圆柱体的底面半径为r,高度为h,求它的表面积和体积。

解答:圆柱体的表面积由底面积、侧面积和顶面积组成。

底面积是πr^2,顶面积也是πr^2,侧面积是2πrh。

所以圆柱体的表面积是2πr(r+h)。

圆柱体的体积等于底面积乘以高度,即V = πr^2h。

4. 锥体的表面积和体积一个底面半径为r,高度为h的锥体,求它的表面积和体积。

解答:锥体的表面积由底面积和侧面积组成。

底面积是πr^2,侧面积可以通过计算锥体的母线来求得。

锥体的母线可以通过勾股定理求得,即母线的长度等于r^2 + h^2的平方根。

所以锥体的侧面积是πr(r+√(r^2+h^2))。

锥体的表面积等于底面积加上侧面积,即S = πr^2 + πr(r+√(r^2+h^2))。

锥体的体积等于底面积乘以高度再除以3,即V = (1/3)πr^2h。

通过以上的练习题,我们可以更好地理解和应用表面积和体积的概念。

这些概念在日常生活中也有广泛的应用,比如计算房间的面积和体积、购买物品时的容量估算等等。

掌握了这些概念和计算方法,我们可以更好地应对各种实际问题,并提高数学思维能力。

希望大家通过不断练习和思考,能够在数学中取得更好的成绩和进步!。

高三数学立体几何练习题及答案

高三数学立体几何练习题及答案

高三数学立体几何练习题及答案第一题:已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm,求该长方体的体积和表面积。

解答:长方体的体积可以通过公式V = lwh 计算,其中l、w、h分别为长、宽、高。

根据题目给出的数据,代入公式可得 V = 3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。

因此,该长方体的体积为60立方厘米。

长方体的表面积可以通过公式 S = 2lw + 2lh + 2wh 计算。

根据题目给出的数据,代入公式可得 S = 2 × 3cm × 4cm + 2 × 3cm ×5cm + 2 × 4cm × 5cm = 94cm²。

因此,该长方体的表面积为94平方厘米。

答案:体积:60立方厘米表面积:94平方厘米第二题:一个正方体的棱长为a,求该正方体所有顶点到一个固定点之间的最短距离之和。

解答:正方体的每个顶点到固定点的最短距离为正方体的对角线长。

对于正方体而言,其对角线的长度可以通过勾股定理求解。

设每个边长为a,则对角线长d满足 d² = a² + a² + a² = 3a²。

因此,每个顶点到固定点的最短距离之和为 8 × 3a² = 24a²。

答案:每个顶点到固定点的最短距离之和为24a²。

第三题:一个球体的直径为10cm,求该球体的体积和表面积(结果保留π)。

解答:球体的体积可以通过公式V = 4/3πr³ 计算,其中r为球体的半径。

根据题目给出的数据,直径d为10cm,因此半径r = d/2 = 5cm。

代入公式可得V = 4/3 × π × (5cm)³ ≈ 523.6cm³。

因此,该球体的体积约为523.6立方厘米。

球体的表面积可以通过公式S = 4πr² 计算,其中r为球体的半径。

专题08几何体的表面积与体积测2018年高考数学文二轮复习讲练测

专题08几何体的表面积与体积测2018年高考数学文二轮复习讲练测

2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标文科数学】总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______(一)选择题(12*5=60分)1.【2018届四川省成都实验中学高三上学期1月】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是()A. 2025+B. 1445+C. 26D. 1225+【答案】A2.【2018届华大新高考联盟高三1月】如图是某四棱锥的三视图,其中正视图是边长为2的正方形,侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为()A. 83B.43C.823D.223【答案】A【解析】3.【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则此几何体的体积为()A. 4B. 2C. 23D.43【答案】D【解析】几何体如图,体积为114222323⨯⨯⨯⨯=,选D.4.某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为( )A .219cm π+B .2224cm π+ C .210624cm π++ D .213624cm π++ 【答案】C5.如图1,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,,,M N Q 分别是线段1111,,AD B C C D 上的动点,当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时,三棱锥Q BMN -的体积为( )A .312a B .314a C .324a D .3112a【答案】D【解析】6.【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中,重庆一中等五校高三1月联合模拟】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. 16243π+B.16163π+C.883π+D.1683π+【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个14球体的组合体,其中四棱锥的是以侧视图为底面,其体积为116422.33⨯⨯⨯=而14球体的体积为()31482433ππ⨯⨯= .故组合体的体积为1683π+故选D.7.【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月调研】已知底面半径为13的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则此球的表面积为A.323π B. 4π C. 16π3D. 12π 【答案】C8.【2018届河北省承德市联校高三上学期期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A. 142π平方尺B. 140π平方尺C. 138π平方尺D. 128π平方尺 【答案】C【解析】将该几何体补形为长方体,外接球的直径2R 即为长方体的对角线,即()22222578254964138R =++=++=,故其表面积是24π138πR =.9.【2018届广东省汕头市高三上学期期末】如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的体积为( )A.323π B. 643π C. 32π D. 6423π 【答案】D10.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于( ) A .952π B .π20 C .π8 D .352π【答案】B 【解析】试题分析:在ABC 中2,120AB AC BAC ==∠=︒,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC 外接圆半径2r =,设此圆圆心为'O ,球心为O ,在'Rt OBO 中,易得此球的表面积为2420R ππ=,故选B .11.【2018届全国名校大联考高三第四次联考】已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -,各侧棱长都为23,底面面积为16,以O 为球心,2为半径作一个球,则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( ) A.29π B. 89π C. 169π D. 43π【答案】C12.【2018届四川省高三“联测促改”活动】设点,,A B C 是半径为2的球O 的球面上的三个不同的点,且OA BC ⊥, 3BC =, 0120BAC ∠=,则三棱锥O ABC -的体积为( )A.3432 C. 3343【答案】A【解析】作△ABC 的外接圆圆1O ,球心为1O ,由题意可得: 1OO ⊥平面ABC , 设△ABC 外接圆半径为r ,由正弦定理有132,3sin60r O A r =∴==取BC 中点E ,由OA OB =可得: OE BC ⊥,结合OA BC ⊥可知直线BC ⊥平面OAE ,则BC AE ⊥,结合BE CE =可得: AB AC =,等腰三角形ABC 中, 120,3BAC BC ∠==,则3AB AC ==, 13333sin1202ABCS=⨯⨯⨯=, 由勾股定理可得: 22111OO OA AO =-=, 由三棱锥体积公式可得: 111333133O ABC ABC V S OO -=⨯⨯=⨯⨯=. 本题选择A 选项.二、填空题(4*5=20分)13.【2019届四川省乐山四校第三学期半期联考】如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为4,一个内角为60的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为________.【答案】π14.【2018届河北省石家庄市高三毕业班教学质量检测】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若3AB =, 5AC =, 7BC =, 12AA =,则此球的表面积等于__________. 【答案】2083π 【解析】设三角形ABC 外接圆圆心为O 1,半径为r ,则222023571714373cos 12022352sin sin120BC A A r r A +-==-∴=∴====⨯⨯因此球半径为2273522081,4333R S R ππ⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭15.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3AB AD cm ==,12AA cm =,则三棱锥11A B D D -的体积为 3cm .【答案】3 【解析】111111*********323 3.33232A B D D B AD D AD D V V S B A AD D D B A --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=16.【2018届河南省商丘市高三第一学期期末】在三棱锥A BCD -中,侧棱,,AB AC AD 两两垂直,,ABC ACD ADB ∆∆∆,的面积分别为2362,,,则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________. 【答案】6π故答案为:6π.三、解答题(6*12=72分)17.【2018届陕西省西安市高三上学期期末】如图,直三棱柱111ABC A B C -中, D , E 分别是AB , 1BB 的中点.(1)证明: 1BC 平面1A CD ;(2)设12AA AC CB ===, 22AB =,求三棱锥1C A DE -的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2) 1.所以111632132C A DE V -=⨯⨯⨯⨯=. 18.【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】如图,在多面体ABCDEF 中, ABCD 是正方形, BF ⊥平面ABCD , DE ⊥平面ABCD , BF DE =,点M 为棱AE 的中点.(1)求证:平面//BMD 平面EFC ;(2)若12AB BF ==,,求三棱锥A CEF -的体积.【答案】(1)证明见解析;(2) 23.19.如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE 并延长交AB于点G.(I)证明G是AB的中点;(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE【答案】(I)见解析(II)作图见解析,体积为43【解析】(I)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以.AB PD20.【2018届福建省厦门市高三年级第一学期期末】如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAB ⊥底面ABCD , PA PB =, 24CD AB ==, CD AB , 90BPA BAD ∠=∠=︒.(1)求证: PB ⊥平面PAD ;(2)若三棱锥C PBD -的体积为2,求PAD ∆的面积.【答案】(1)证明见解析;(2) 322.又∵AD⊥平面PAB且PA⊂平面PAB,∴PA AD⊥.∴13222 PADS PA AD∆=⋅=.21.【2018届四川省广元市高三第一次高考适应性】如图四棱锥P ABCD -,底面梯形ABCD 中, //AB DC ,平面PAD ⊥平面ABCD ,已知24,2225BD AD AB DC BC =====.(1)求证: BD PA ⊥;(2)线段PC 上是否存在点M ,使三棱锥P ABD -体积为三棱锥P MBD -体积的6倍.若存在,找出点M 的位置;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2) 点M 是PC 上的一个靠近点P 的三等分点.由题意得1111212361133ABDP ABD P ABDP MBD P BCD M BCDBCD BCDS hV V hV V V h mhS h S h∆-----∆∆====---解得23m=.∴点M是PC上的一个靠近点P的三等分点.22.【2018届北京市海淀区】如图,三棱柱111ABC A B C-侧面11ABB A⊥底面ABC,,AC AB⊥12,AC AB AA===0160AA B∠=,,E F分别为棱11,A B BC的中点.(Ⅰ)求证:AC AE⊥;(Ⅱ)求三棱柱111ABC A B C-的体积;(Ⅲ)在直线1AA上是否存在一点P,使得//CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)23V=;(Ⅲ)在直线1AA上存在点P,使得//CP平面AEF,证明见解析.(Ⅱ)连接1AB ,因为三棱柱111ABC A B C -中,所以11A B AB =. 因为12AB AA ==,所以1112A B AA ==.又因为01160AA B ∠=,且3AE =.。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.已知某个几何体的三视图如下(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 .【答案】640+80π cm3【解析】由三视图可知,该几何体是一长方体与一半圆柱的组合体.长方体棱长分别为8,10,8,圆柱的底半径为4,高为10,故几何体体积为【考点】三视图,几何体的体积.2.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2 cm的半圆,则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】由题意得:,所以圆锥的体积为【考点】圆锥的体积及展开图3.三棱锥中,,分别为,的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则________.【答案】【解析】由已知设点到平面距离为,则点到平面距离为,所以,【考点】几何体的体积.4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.【答案】(1)64 (2)40+24【解析】解:本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积,由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥,如图.(1)V=×(8×6)×4=64.(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形,取BC的中点E,连接OE,VE,则△VOE为直角三角形,VE为△VBC边上的高,VE==4.同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高h==5.∴S=2×(×6×4+×8×5)=40+24.侧5.(12分)(2011•陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把是BC上的△ABD折起,使∠BDC=90°.(Ⅰ)证明:平面ADB⊥平面BDC;(Ⅱ)设BD=1,求三棱锥D﹣ABC的表面积.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)翻折后,直线AD与直线DC、DB都垂直,可得直线与平面BDC垂直,再结合AD是平面ADB内的直线,可得平面ADB与平面垂直;(Ⅱ)根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形,△ABC是等边三角形,利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积.解:(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高,∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DB∩DC=D,∴AD⊥平面BDC,∵AD⊂平面ABD.∴平面ADB⊥平面BDC(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA=,从而所以三棱锥D﹣ABC的表面积为:点评:解决平面图形翻折问题的关键是看准翻折后没有发生变化的位置关系,抓住翻折后仍然垂直的直线作为条件,从而解决问题.6.已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】球的半径为,则,,设正方体的棱长为,于是,.【考点】正方体的外接球.7.正三棱锥内接于球,且底面边长为,侧棱长为2,则球的表面积为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,设三棱锥的外接球球心为O,半径为r,BC=CD=BD=,AB=AC=AD=2,,M为正的中心,则DM=1,AM=,OA=OD=r,所以,解得,所以,选C.8.已知圆锥母线长为6,底面圆半径长为4,点是母线的中点,是底面圆的直径,半径与母线所成的角的大小等于.(1)求圆锥的侧面积和体积.(2)求异面直线与所成的角;【答案】(1)(2)或.【解析】(1)根据圆锥的侧面积即体积公式,可直接求出结果. ,.(2)求异面直线所成角,关键在平移,即将空间角转化为平面角.利用中位线实现线线之间平移. 连,过作,则等于异面直线与所成的角或其补角.又,所以为异面直线OC与PB所成的角或其补角.明确角之后,只需在相应三角形中求解即可.试题解析:(1)圆锥的侧面积.,4分(2)连,过作交于点,连.又,.又.,等于异面直线与所成的角或其补角.,或. 9分当时,.,当时,.,综上异面直线与所成的角等于或. 12分【考点】圆锥的侧面积和体积, 异面直线所成角9.如图,三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)若,,求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见详解;(2)3.【解析】(1)由题目给出的边的关系,可想到去中点,连结,,可通过证明平面得要证的结论;(2)在三角形中,由勾股定理得到,再根据平面,得到为三棱柱的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积.试题解析:(1)取AB的中点,连接、、,因为CA=CB,所以,由于,,故为等边三角形,所以,因为,所以平面.又,故.(2)由题设知都是边长为2的等边三角形,所以【考点】1、直线与平面垂直的判定与性质应用;2、棱柱的体积.10.正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】作面于点,则球心在上,,连结,则,在中,,,又,且为等边三角形,故,则,则,所以球的表面积.【考点】1.正三棱锥;2.球的表面积.11.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】3【解析】本题考查圆台的体积公式.做出圆台的轴截面如图,由题意知,BF=14(单位寸,下同),OC=6,OF=18,OG=9,即G是OF中点,所以GE为梯形的中位线,所以GE==10,即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π+36π+)=588π.盆口的面积为142π=196π,所以=3,即平地降雨量是3寸.12. 如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =90°,∠ADC =135°,AB =5,CD =2,AD =2,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】(60+4)π,π【解析】由已知得CE =2,DE =2,CB =5,S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,V =V 圆台-V 圆锥=(π·22+π·52+)×4-π×22×2=π.13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为 .【答案】【解析】由对称性知正方体对角线即其外接球直径, 设球半径为R,正方体棱长为a, 则πR 3=,R=,则=3,得a=.14. 如图,四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,O 是底面中心,A 1O ⊥底面ABCD,AB=AA 1=.(1)证明:平面A 1BD ∥平面CD 1B 1; (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积. 【答案】(1)见解析 (2)1【解析】(1)证明:由题设知,BB 1DD 1, ∴BB 1D 1D 是平行四边形, ∴BD ∥B 1D 1.又BD 平面CD 1B 1, ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1B 1C 1BC,∴A 1BCD 1是平行四边形, ∴A 1B ∥D 1C.又A 1B 平面CD 1B 1, ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD∩A 1B=B,∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解:∵A 1O ⊥平面ABCD,∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高. 又∵AO=AC=1,AA 1=,∴A 1O==1. 又∵S △ABD =××=1,∴=S △ABD ×A 1O=1.15.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO⊥平面ABC,,则三棱锥与球的体积之比为________.【答案】【解析】依题意,AB=2R,又,∠ACB=90°,因此AC=R,BC=R,三棱锥P-ABC的体积VP-ABC =PO·S△ABC=×R×=R3.而球的体积V球=R3,因此VP-ABC∶V球=R3∶R3=.16.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为________.【答案】【解析】设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,由题意知πR3=,∴R3=,则R=. 由于3a2=4R2,∴a2=R2=×2=3,∴a=.17.在几何体ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC, AB=AC=BE=2,CD=1。

山东省胶州市2018届高考数学一轮复习专题空间几何体的表面积体积练习文

山东省胶州市2018届高考数学一轮复习专题空间几何体的表面积体积练习文

空间几何体的表面积、体积一、选择题题文1、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A. B. C. D.2、已知平面和两条不同的直线,,则下列命题是真命题的是()A.若直线,与平面所成的角相等,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则3、如图,三棱柱的侧棱长和底面边长均为,且侧棱底面,其正视图是边长为的正方形,则此三棱柱侧视图的面积为()A. B. C. D.4、中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅同方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的为()A.1.2B.1.6C.1.8D.2.45、右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.6、已知某正四面体的内切球体积是1,则该正四面体的外接球的体积是()A.27B.16C.9D.37、已知球的半径为三点在球的球面上,球心到平面ABC的距离为,,则球的表面积为()A.B.C.D.8、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A. B. C. D.9、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形,为球的直径,该三棱锥的体积为,则球的表面积为()A. B. C. D.10、四棱锥的底面为正方形,且垂直于底面,为中点,则三棱锥与四棱锥的体积比为()A. B. C. D.11、在棱长为3的正方体中,为的中点(如图所示),则点到平面的距离为()D.A.B. C.12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.12B.18C.24D.30二、填空题题文13、在直三棱柱中,若,,,为中点,点为中点,在线段上,且,则异面直线与所成角的正弦值__________14、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为,则其母线与轴的夹角的大小为__________15、如图,网格纸的各小格都是边长为1的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为__________.16、一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为____.。

2018版高考数学总复习立体几何7.2空间几何体的表面积和体积模拟演练文

2018版高考数学总复习立体几何7.2空间几何体的表面积和体积模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积和体积模拟演练 文[A 级 基础达标](时间:40分钟)1.[2016·全国卷Ⅰ]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π 答案 A解析由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R ,则78×43πR 3=28π3,故R =2,从而它的表面积S =78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.2.[2017·江西南昌联考]已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A .108 cm 3B .100 cm 3C .92 cm 3D .84 cm 3 答案 B解析 由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥,因此该几何体的体积=6×3×6-13×4×12×4×3=108-8=100(cm 3),故选B.3.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )A .92+14πB .82+14πC.92+24πD.82+24π答案 A解析由三视图可知,此几何体上半部分是半个圆柱,圆柱的底面半径为2,高为5,下半部分是一个长方体,长、宽、高分别为5、4、4,故此几何体的表面积为4×4×2+4×5×3+4π×52+4π=92+14π,故选A.4.[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+ 5 B.4+ 5C.2+2 5 D.5答案 C解析由三视图还原几何体如图.故S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=12×2×2+2×12×5×1+12×2×5=2+5+5=2+2 5.5.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为16π3,则此三棱柱的侧面积为( )A. 3B.32C .8D .6答案 D解析 如图,根据球的表面积可得球的半径为r =43,设三棱柱的底面边长为x ,则⎝ ⎛⎭⎪⎫432=x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2,解得x =1,故该三棱柱的侧面积为3×1×2=6. 6.[2016·天津高考]已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m 3.答案 2解析 四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其底面积为2×1=2 (m 2),四棱锥的高为3 m ,所以四棱锥的体积V =13×2×3=2 (m 3).7.[2017·江苏模拟]某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是________.答案 2(π+3)解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积即俯视图的面积为23;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π+3).8.[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是________cm 2,体积是________cm 3.答案72 32解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的长方体组合而成,其中AB=BC=2 cm,BD=4 cm,∴该几何体的体积V=2×2×4×2=32 (cm3),表面积S=(2×2×3+2×4×3)×2=36×2=72 (cm2).9.[2016·南宁二模]一个空间几何体的三视图如图所示,求该几何体的外接球的表面积.解 依题意,题中的几何体是三棱锥A -BCD ,如图所示.其中底面△BCD 是等腰直角三角形,BC =CD =2,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AB =2,BD =2,AC ⊥CD .取AD 的中点M ,连接BM ,CM , 则有BM =CM =12AD =12 22+22=62, 该几何体的外接球的半径是62, 该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622=6π. 10.如图,△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,DB ⊥平面ABC ,且AE ∥FC ∥BD ,BD =3,FC =4,AE =5.求此几何体的体积.解 解法一:如图,取CM =AN =BD ,连接DM ,MN ,DN ,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V 几何体=V 三棱柱+V 四棱锥.由题知三棱柱ABC -NDM 的体积为V 1=12×8×6×3=72.四棱锥D -MNEF 的体积为:V 2=13×S 梯形MNEF ×DN =13×12×(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为:V =V 1+V 2=72+24=96.解法二:用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA ′=BB ′=CC ′=8,所以V几何体=12V 三棱柱=12×S △ABC ×AA ′=12×24×8=96. [B 级 知能提升](时间:20分钟)11.[2016·全国卷Ⅲ]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A .18+36 5B .54+18 5C .90D .81答案 B解析 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为35的平行六面体,则该几何体的表面积S =2×32+2×3×35+2×3×6=54+185,故选B.12.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.33 B.233 C.433 D.533答案 C解析 如图所示,由题意知该几何体为四棱锥P -ABCD ,底面面积S =2×2=4,高h =3,故体积V P -ABCD =13Sh =13×4×3=433.13.一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为________.答案 9π解析该三棱锥的直观图如图所示,其中底面ABC 为以C 为直角顶点的等腰直角三角形,侧面PAB ⊥底面ABC ,顶点P 在底面上的射影为AB 的中点O ′.该三棱锥的外接球的球心一定在PO ′上,且满足OP =OA =r .在Rt △OO ′A 中,O ′A =12 22+22=2,OO ′=2-r ,所以r 2=2+(2-r )2, 解得r =32,所以其外接球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322=9π. 14.[2016·江苏高考]现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB =6 m ,PO 1=2 m ,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?解 (1)由PO 1=2知,O 1O =4PO 1=8.因为A 1B 1=AB =6,所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13·A 1B 21·PO 1=13×62×2=24(m 3).正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O =62×8=288(m 3).所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2)设A 1B 1=a m ,PO 1=h m ,则0<h <6,O 1O =4h .如图,连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 21+PO 21=PB 21,所以⎝⎛⎭⎪⎫22a 2+h 2=36, 即a 2=2(36-h 2).于是仓库的容积V =V 柱+V 锥=a 2·4h +13a 2·h =133a 2h =263(36h -h 3),0<h <6,从而V ′=263(36-3h 2)=26(12-h 2).令V ′=0,得h =23或h =-23(舍). 当0<h <23时,V ′>0,V 是单调递增函数; 当23<h <6时,V ′<0,V 是单调递减函数. 故h =23时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当PO 1=2 3 m 时,仓库的容积最大.。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.如图,多面体的直观图及三视图如图所示,分别为的中点.(1)求证:平面;(2)求多面体的体积.【答案】(1)证明:见解析;(2)多面体的体积.【解析】(1)由多面体的三视图知,三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,平面,侧面都是边长为的正方形.连结,则是的中点,由三角形中位线定理得,得证.(2)利用平面,得到,再据⊥,得到⊥平面,从而可得:四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面.利用体积公式计算.所以多面体的体积. 12分试题解析:(1)证明:由多面体的三视图知,三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,平面,侧面都是边长为的正方形.连结,则是的中点,在△中,,且平面,平面,∴∥平面. 6分(2)因为平面,平面,,又⊥,所以,⊥平面,∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面. 10分所以多面体的体积. 12分【考点】三视图,平行关系,垂直关系,几何体的体积.2.某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是时,则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为,底面半径为,则,,,,所以圆锥的高为,体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.3.棱长为1的正方体及其内部一动点,集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.4.在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,且AC=AD=CD=DE=2,AB=1.(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一结论;(2)求多面体ABCDE的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)如图所示,由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥ED,设F为线段CE的中点,H是线段CD的中点,连接BF、FH、AH,则FH=ED,又AB=ED,∴FH=AB,∴四边形ABFH是平行四边形,∴BF∥AH,又因为BF⊄平面ACD,AH⊂平面ACD,∴BF∥平面ACD.(2)取AD中点G,连接CG.因为AB⊥平面ACD,∴CG⊥AB,又CG⊥AD,∴CG⊥平面ABED,即CG为四棱锥C—ABED的高,求得CG=,∴V=··2·=.C—ABED5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A.4B.C.D.6【答案】B【解析】由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故=6.如图,在三棱锥中,是等边三角形,.(1)证明::;(2)证明:;(3)若,且平面平面,求三棱锥体积.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).【解析】(1)先证明,从而得到;(2)取的中点,连接、,证明平面,利用直线与平面垂直的性质得到;(3)作,垂足为,连结,结合(2)中的结论证明平面,再求出的面积,最后利用分割法得到三棱锥的体积来进行计算.试题解析:(1)因为是等边三角形,,所以,可得;(2)如图,取中点,连结、,则,,所以平面,所以;(3)作,垂足为,连结,因为,所以,,由已知,平面平面,故,因为,所以、、都是等腰直角三角形.由已知,得,的面积,因为平面,所以三棱锥的体积.【考点】1.全等三角形;2.直线与平面垂直的判定;3.分割法求锥体体积7.如图甲,是边长为6的等边三角形,分别为靠近的三等分点,点为边边的中点,线段交线段于点.将沿翻折,使平面平面,连接,形成如图乙所示的几何体.(1)求证:平面(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明过程详见试题解析;(2)四棱锥的体积为10.【解析】(1)先证明平面,又,所以平面;(2)先求出,再用体积公式求解即可.试题解析:(1)在图甲中,由为等边三角形,分别为三等分点,点为边边的中点,知, 则在图乙中仍有,且,所以平面,又,所以平面. 6分(2)∵平面平面,,∴平面,∴ 12分【考点】直线与平面垂直的判定定理、空间几何体的体积.8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】3【解析】本题考查圆台的体积公式.做出圆台的轴截面如图,由题意知,BF=14(单位寸,下同),OC=6,OF=18,OG=9,即G是OF中点,所以GE为梯形的中位线,所以GE==10,即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π+36π+)=588π.盆口的面积为142π=196π,所以=3,即平地降雨量是3寸.9.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.【答案】1∶24【解析】设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=×S·h=Sh=V2,即V1∶V2=1∶24.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(3)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)3(3)【解析】(1)如图,取AB的中点O,连接CO,A1O.∵CA=CB,∴CO⊥AB,又∵AA1=AB,得AA1=2AO,又∠A1AO=60°,∴∠AOA1=90°,即AB⊥A1O,∴AB⊥平面A1OC,又A1C⊂平面A1OC,∴AB⊥A1C.(2)∵AB=CB=2=AC,∴CO=,又A1A=AB=2,∠BAA1=60°,∴在等边三角形AA1B中,A1O=,∵A1C2=A1O2+CO2=6,∴∠COA1=90°,即A1O⊥CO,∴A1O⊥平面ABC,∴VABC-A1B1C1=×22×=3.(3)作辅助线同(1)以O为原点,OA所在直线为x轴,OA1所在直线为y轴,OC所在直线为z轴,建立如图直角坐标系,则A(1,0,0),A1(0,,0),B(-1,0,0),C(0,0,),B1(-2,,0),则=(1,0,),=(-1,,0),=(0,-,),设n=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则即所以n=(,1,-1),则cos<n,==-,所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.11.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱BC,AD的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)已知二面角P-BF-C的余弦值为,求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)因为E,F分别为正方形ABCD的两边BC,AD的中点,所以BE綉FD,即BEDF 为平行四边形,∴ED∥FB,∵FB⊂平面PFB,且ED⊄平面PFB,∴DE∥平面PFB.(2)以D为原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.如图,设PD=a,可得如下点的坐标P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0).则有=(1,0,-a),=(1,2,0).因为PD⊥底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面PFB的法向量为n=(x,y,z),则可得即.,令x=1, 得z=,y=-,所以n=.由已知二面角P-BF-C的余弦值为,所以得cos〈m,n〉==,∴a=2,∴V=×2×2×2=P-ABCD12.在三棱锥中,,则三棱锥的体积为_____________.【答案】160【解析】将三棱锥补为长方体,如图所示.由题设可得:.【考点】几何体的体积.13.如图,四棱锥中,底面是菱形,,,是的中点,点在侧棱上.(1)求证:⊥平面;(2)若是的中点,求证://平面;(3)若,试求的值.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【解析】(1)由线面垂直判定定理,要证线面垂直,需证垂直平面内两条相交直线,由,是的中点,易得垂直于,再由底面是菱形,得三角形为正三角形,所以垂直于,(2)由线面平行判定定理,要证线面平行,需证平行于平面内一条直线,根据是的中点,联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线.所以OQ // PA注意在写定理条件时,不能省,要全面.例如,线面垂直判定定理中有五个条件,线线垂直两个,相交一个,线在面内两个;线面平行判定定理中有三个条件,平行一个,线在面内一个,线在面外一个,(3)研究体积问题关键在于确定高,由于两个底面共面,所以求的值就转化为求对应高的长度比.试题解析:证明:(1)因为E是AD的中点,PA=PD,所以AD⊥PE.因为底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以 AD⊥BE.因为PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE. 4分(2)连接AC交BD于点O,连结OQ.因为O是AC中点,Q是PC的中点,所以OQ为△PAC中位线.所以OQ//PA. 7分因为PA平面BDQ,OQ平面BDQ.所以PA//平面BDQ. 9分(3)设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为,,所以VP-BCDE =SBCDE,VQ-ABCD=SABCD. 10分因为VP-BCDE =2VQ-ABCD,且底面积SBCDE=SABCD. 12分所以,因为,所以. 14分【考点】线面垂直判定定理, 线面平行判定定理,锥的体积.14.在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,侧棱底面,,为的中点,则四面体的体积为 .【答案】【解析】显然面,底面的面积为所以【考点】三棱锥体积.15.某一容器的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.【答案】【解析】由三视图可知该几何体是一具正方体挖去一个和正方体等高的圆锥后的组合体,并且圆锥的底面是正方体的上底面的内切圆,如图..所以填:【考点】1、几何体的体积;2、三视图.16.已知四棱锥中,侧棱底面,且底面是边长为2的正方形,,与相交于点.(I)证明:;(II)求三棱锥的体积.【答案】(I)详见试题解析;(II).【解析】(I)要证与垂直,只要证明平面.平面,又,且与交于点,平面或者证明三角形为等腰三角形,可以通过证明直角三角形和直角三角形全等证得;(II)可以直接利用棱锥体积计算公式:直接求三棱锥的体积,也可利用等体积法转化为求,这样底面积易求,而三棱锥高即为,可以利用线面垂直的证法证得.试题解析:(I)证明:平面,又,且与交于点,平面平面 6分(II)解:底面平面13分【考点】1.立体几何线面垂直的证明;2.锥体的体积公式.17.已知正四棱锥的底边和侧棱长均为,则该正四棱锥的外接球的表面积为 .【答案】【解析】由于正四棱锥的底边和侧棱长均为,则此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面,故外接球半径长是3,则该正四棱锥的外接球的表面积为.【考点】1.球的表面积;2.正四棱锥的性质.18.三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上,且三条侧棱两两互相垂直,则该三棱锥侧面积的最大值为 .【答案】32【解析】设三条侧棱长为a,b,c,则,三棱锥的侧面积为,又因为,所以,当且仅当时侧面积达到最大值.【考点】三棱锥,球,不等式.19.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( )A.372B.360C.292D.280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和S=2(10×8+10×2+8×2)+2(6×8+8×2)=360.故选B.【考点】由三视图求面积体积点评:把三视图转化为直观图是解决问题的关键,考查计算能力,逻辑思维能力,是基础题.20.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点.将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为1,故外接球半径为,外接球的体积为,故选C.故选C.【考点】球内接多面体;球的体积和表面积.点评:本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题.21.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,那么这个球的体积为。

高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积

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高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积一、圆柱的体积与表面积问题1:一个圆柱的高度为12 cm,底面半径为8 cm,求其体积和表面积。

解析:首先计算圆柱的体积。

圆柱的体积公式为V = πr²h,其中V 表示体积,π取近似值3.14,r表示底面半径,h表示高度。

代入已知数据,计算得到 V = 3.14 × 8² × 12 = 2419.52 cm³。

接下来计算圆柱的表面积。

圆柱的表面积包括底面积和侧面积两部分。

底面积为圆的面积,即 A₁ = πr²。

侧面积为矩形的面积,即 A₂ = 2πrh。

所以圆柱的总表面积为 A = 2A₁ + A₂ = 2πr² + 2πrh。

代入已知数据,计算得到 A = 2 × 3.14 × 8² + 2 × 3.14 × 8 × 12 = 659.84 cm²。

因此,该圆柱的体积为 2419.52 cm³,表面积为 659.84 cm²。

问题2:一个空心圆柱的高度为10 cm,内半径为4 cm,外半径为6 cm,求其体积和表面积。

解析:首先计算圆柱的体积。

由于是空心圆柱,体积需要减去内部圆柱的体积。

内部圆柱的体积为 V₁ = πr₁²h,外部圆柱的体积为 V₂ =πr₂²h。

所以空心圆柱的体积为 V = V₂ - V₁ = π(r₂² - r₁²)h。

代入已知数据,计算得到 V = 3.14((6²) - (4²)) × 10 = 376.8 cm³。

接下来计算圆柱的表面积。

空心圆柱的表面积也包括底面积和侧面积两部分。

底面积的计算方式与问题1相同。

侧面积为两个圆柱的高度差乘以底面周长,即 A₂ = 2π(r₂ - r₁)h。

高三数学理科立体几何练习(体积表面积)

高三数学理科立体几何练习(体积表面积)

高三数学理科立几练习(表面积+体积)班级 姓名 座号一、柱、锥、台和球的侧面积和体积提示:(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形. 二、多面体的表面积的求法:(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系. (2)旋转体的表面积的求法:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.三、给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物,画出该几何体的直观图,确定该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其体积,求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种.若所给几何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割补法求解. 练习:1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的 ( ).A .2倍B .22倍 C.2倍 D.32倍2.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.1423B.2843C.2803D.14034.点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,给出下列四个命题:①三棱锥A -D 1PC 的体积不变;②A 1P ∥平面ACD 1;③DP ⊥BC 1;④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________.5. 棱长为2的正四面体的表面积是 ,体积是 ,其外接球体积为 。

6.如图,已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ,高为5 cm ,则一质点自点A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________c m. CD =22,7.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =90°,∠ADC =135°,AB =5,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.8. 一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为3,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.10.已知圆锥的母线长为20cm,则当其体积最大时,其侧面积为()A.cm2B.cm2 C.cm2D.cm2高三(上)数学立几练习(体积表面积)班级姓名座号一、柱、锥、台和球的侧面积和体积提示:(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形.二、多面体的表面积的求法:(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.(2)旋转体的表面积的求法:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.三、给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物,画出该几何体的直观图,确定该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其体积,求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种.若所给几何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割补法求解.练习:1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的().答案 BA.2倍B.22倍 C.2倍 D.32倍2.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为( ).答案 BA.1423B.2843C.2803D.1403解析 根据三视图的知识及特点,可画出多面体的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积V =V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6-13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2=2843.4.点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,给出下列四个命题:①三棱锥A -D 1PC 的体积不变;②A 1P ∥平面ACD 1;③DP ⊥BC 1;④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________.解析:连接BD 交AC 于O ,连接DC 1交D 1C 于O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1. ∴BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变, ∴三棱锥P -AD 1C 的体积不变. 又VP ­AD 1C =VA ­D 1PC ,∴①正确.∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂ 平面A 1C 1B , ∴A 1P ∥平面ACD 1,②正确.由于DB 不垂直于BC 1,显然③不正确; 由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1=D 1, ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1⊂平面PDB 1, ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1,④正确.答案:①②④5.棱长为2的正四面体的表面积是 43,体积是 ,其外接球体积为 。

【高三数学试题精选】2018届高考理科数学立体几何空间几何体的表面积与体积复习题及答案

【高三数学试题精选】2018届高考理科数学立体几何空间几何体的表面积与体积复习题及答案

2018届高考理科数学立体几何空间几何体的表面积与体积
复习题及答案
5 c 高三数学(理)一轮复习教案第八编立体几何总第36期
§82空间几何体的表面积与体积
基础自测
1(Bcc1B1的体积为
答案
3已知正方体外接球的体积为 ,那么正方体的棱长等于
答案
4(( + )= R3- R3= R3
例3 如图所示,长方体ABcD—A′B′c′D′中,用截面截下一个棱锥c—A′DD′,
求棱锥c—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比
解已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—Bcc′B′
设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh
而棱锥c—A′DD′的底面面积为 S,高是h,
因此,棱锥c—A′DD′的体积Vc—A′DD′= × Sh= Sh余下的体积是Sh- Sh= Sh
所以棱锥c—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5
例4 如图所示,在等腰梯形ABcD中,AB=2Dc=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEc分别沿ED、Ec向上折起,
使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积
解由已知条知,平面图形中AE=EB=Bc=cD=DA=DE=Ec=1
∴折叠后得到一个正四面体
方法一作AF⊥平面DEc,垂足为F,F即为△DEc的中心
取Ec的中点G,连接DG、AG,过球心作H⊥平面AEc
则垂足H为△AEc的中心∴外接球半径可利用△HA∽△GFA求得。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,平面BCD,是边长为3的等边三角形.若,则球O的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】取的中点E,连结AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心,,,四面体ABCD外接球的表面积为:,故选C.【考点】球的体积和表面积.2.已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且,BC=1,AC=3,三棱锥O- ABC的体积为,则球O的表面积为__________。

【答案】【解析】设球的半径为R,ABC的外接圆半径为r,球心O到截面ABC的距离为,由得,=,=,解得AB=,所以==,所以===,解得=,由正弦定理知,2r===3,所以r=,由球的截面性质知,=2,所以球O的表面积为=.【考点】球的截面性质,球的表面积公式,棱锥的体积公式,正弦定理,余弦定理,运算求解能力3.如图,多面体的直观图及三视图如图所示,分别为的中点.(1)求证:平面;(2)求多面体的体积.【答案】(1)证明:见解析;(2)多面体的体积.【解析】(1)由多面体的三视图知,三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,平面,侧面都是边长为的正方形.连结,则是的中点,由三角形中位线定理得,得证.(2)利用平面,得到,再据⊥,得到⊥平面,从而可得:四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面.利用体积公式计算.所以多面体的体积. 12分试题解析:(1)证明:由多面体的三视图知,三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,平面,侧面都是边长为的正方形.连结,则是的中点,在△中,,且平面,平面,∴∥平面. 6分(2)因为平面,平面,,又⊥,所以,⊥平面,∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面. 10分所以多面体的体积. 12分【考点】三视图,平行关系,垂直关系,几何体的体积.4.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2 cm的半圆,则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】由题意得:,所以圆锥的体积为【考点】圆锥的体积及展开图5.若长方体三个面的面积分别为,,,则此长方体的外接球的表面积是________.【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c,则解得长方体外接球半径为R==,外接球的表面积为S=4π=6π6.如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P EFQ的体积()A.与x,y都有关B.与x,y都无关C.与x有关,与y无关D.与y有关,与x无关【答案】C【解析】三棱锥P EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面,而△PEF 的底EF=1,高A 1P=,与x 有关,三棱锥P EFQ 的高为点Q 到平面PEF 的距离.∵CD ∥EF,∴CD ∥平面PEF.∴点Q 到平面PEF 的距离等于点D 到平面PEF 的距离,与y 无关,故选C.7. 已知一个圆柱内接于球O 中,其底面直径和母线都是2,则球O 的体积是 . 【答案】π【解析】设球的半径为R,则2R==2,∴R=, ∴V=πR 3=π.8. 如图,AA 1,BB 1为圆柱OO 1的母线,BC 是底面圆O 的直径,D ,E 分别是AA 1,CB 1的中点,DE ⊥面CBB 1.(1)证明:DE ∥面ABC ; (2)求四棱锥C-ABB 1A 1与圆柱OO 1的体积比. 【答案】(1)见解析 (2)【解析】解:(1)证明:连接EO ,OA. ∵E ,O 分别为B 1C ,BC 的中点, ∴EO ∥BB 1.又DA ∥BB 1,且DA =BB 1=EO ,∴四边形AOED 是平行四边形,即DE ∥OA.又DE ⊄平面ABC ,AO ⊂平面ABC , ∴DE ∥平面ABC.(2)由题意知DE ⊥平面CBB 1,且由(1)知DE ∥AO , ∴AO ⊥平面CBB 1, ∴AO ⊥BC , ∴AC =AB.∵BC 是底面圆O 的直径, 得CA ⊥AB ,且AA 1⊥CA ,∴CA ⊥平面AA 1B 1B ,即CA 为四棱锥C-ABB 1A 1的高.设圆柱高为h ,底面半径为r , 则V OO 1=πr 2h ,V C-ABB 1A1=h(r)·(r)=hr 2.∴V C-ABB 1A1∶V OO 1=.9. 若长方体的顶点都在半径为3的球面上,则该长方体表面积的最大值为 . 【答案】【解析】设长方体的边长为,那么长方体的表面积为:,又由于:,而,所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积;基本不等式的变形.10.已知Rt△ABC,其三边分别为a,b,c(a>b>c).分别以三角形的边a,b,c所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为S1,S2,S3和V1,V2,V3.则它们的大小关系为()A.S1>S2>S3,V1>V2>V3B.S1<S2<S3,V1<V2<V3C.S1>S2>S3,V1=V2=V3D.S1<S2<S3,V1=V2=V3【答案】B【解析】S1=π (b+c),V1=πa,S2=πac+πc2,V2=πbc2,S3=πab+πb2,V3=πb2c.由于a>b>c,可得S1<S2<S3,V1<V2<V3.11.在三棱锥中,,,,二面角的余弦值是,若都在同一球面上,则该球的表面积是 .【答案】【解析】取中点,连接,∵,∴,∵,∴,平面.∴为二面角.在中,,,∴.取等边的中心,作平面,过作平面,为外接球球心,∴,二面角的余弦值是,所以,,∴,∴点为四面体的外接球球心,其半径为,表面积为.【考点】三棱锥的外接球.12.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱BC,AD的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)已知二面角P-BF-C的余弦值为,求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)因为E,F分别为正方形ABCD的两边BC,AD的中点,所以BE綉FD,即BEDF 为平行四边形,∴ED∥FB,∵FB⊂平面PFB,且ED⊄平面PFB,∴DE∥平面PFB.(2)以D为原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.如图,设PD=a,可得如下点的坐标P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0).则有=(1,0,-a),=(1,2,0).因为PD⊥底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面PFB的法向量为n=(x,y,z),则可得即.,令x=1, 得z=,y=-,所以n=.由已知二面角P-BF-C的余弦值为,所以得cos〈m,n〉==,∴a=2,∴V=×2×2×2=P-ABCD13.如图,四棱锥中,底面是菱形,,,是的中点,点在侧棱上.(1)求证:⊥平面;(2)若是的中点,求证://平面;(3)若,试求的值.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【解析】(1)由线面垂直判定定理,要证线面垂直,需证垂直平面内两条相交直线,由,是的中点,易得垂直于,再由底面是菱形,得三角形为正三角形,所以垂直于,(2)由线面平行判定定理,要证线面平行,需证平行于平面内一条直线,根据是的中点,联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线.所以OQ // PA注意在写定理条件时,不能省,要全面.例如,线面垂直判定定理中有五个条件,线线垂直两个,相交一个,线在面内两个;线面平行判定定理中有三个条件,平行一个,线在面内一个,线在面外一个,(3)研究体积问题关键在于确定高,由于两个底面共面,所以求的值就转化为求对应高的长度比.试题解析:(1)因为E是AD的中点,PA=PD,所以AD⊥PE.因为底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以 AD⊥BE.因为PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE. 4分(2)连接AC交BD于点O,连结OQ.因为O是AC中点,Q是PC的中点,所以OQ为△PAC中位线.所以OQ//PA. 7分因为PA平面BDQ,OQ平面BDQ.所以PA//平面BDQ. 9分(3)设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为,,所以VP-BCDE =SBCDE,VQ-ABCD=SABCD. 10分因为VP-BCDE =2VQ-ABCD,且底面积SBCDE=SABCD. 12分所以,因为,所以. 14分【考点】线面垂直判定定理, 线面平行判定定理,锥的体积.14.如图1,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块,容器内盛有升水.平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点,若将容器倒置如图2,水面也恰过点.以下命题正确的是( ).A.圆锥的高等于圆柱高的;B.圆锥的高等于圆柱高的;C.将容器一条母线贴地,水面也恰过点;D.将容器任意摆放,当水面静止时都过点.【答案】C【解析】本题考查体积公式与空间想象能力,设圆锥的高为,圆柱的高为,则利用倒置前后水的体积不变这个性质知,化简得,均错,现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半,因此把圆柱的母线贴地,则水面过点,但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分,故错误.【考点】体积公式.15.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=,AD=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(I)求三棱锥E—PAD的体积;(II)试问当点E在BC的何处时,有EF//平面PAC;(1lI)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE AF.【答案】见解析【解析】(Ⅰ)注意到PA平面ABCD,得知的长即为三棱锥的高,而三棱锥的体积等于的体积,计算即得.(Ⅱ)当点为的中点时,与平面平行.利用三角形中位线定理,得到,进一步得出∥平面.(Ⅲ)证明:根据等腰三角形得出,根据平面,平面,得到,又因为且,⊂平面,得到平面,又平面,.再根据,平面,及平面,根据,作出结论.试题解析:(Ⅰ)由已知PA平面ABCD,所以的长即为三棱锥的高,三棱锥的体积等于的体积= = .(Ⅱ)当点为的中点时,与平面平行.∵在中,分别为的中点,连结,又平面,而平面,∴∥平面.(Ⅲ)证明:因为,所以等腰三角形中,∵平面,平面,∴又因为且,⊂平面,∴平面,又平面,∴.又∵,∴平面.PB,BE⊂平面PBE,∵平面,∴,即无论点E在边的何处,都有.【考点】几何体的体积,垂直关系,平行关系.16.已知D、E是边长为3的正三角形的BC边上的两点,且,现将、分别绕AD和AE折起,使AB和AC重合(其中B、C重合).则三棱锥的内切球的表面积是()A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示,,,,.设内切球的半径为r,则,所以内切球的表面积为:.【考点】空间几何体的体积及表面积.17.如图,平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一球面上,则该球的体积为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上,可知A′B⊥A′C,所以BC 是外接球的直径,所以BC=,球的半径为:,所以球的体积为:,选A.【考点】1.球内接多面体;2.球的体积和表面积18.在正三棱锥中,、分别是、的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵三棱锥是正棱锥,∴SB⊥AC(对棱互相垂直)∴,又∵而,∴平面,即平面,∴,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,∴,故选C.【考点】垂直关系,几何体的体积19.在三棱锥S−ABC中,,二面角S−AC−B的余弦值是,若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积是.【答案】【解析】如图,取AC的中点D,由已知易证二面角S−AC−B的平面角是∠SDB,,故由余弦定理可得,由勾股定理的逆定理可得,补体得正方体,∴三棱锥S−ABC的外接球的半径为,∴该球的表面积是.【考点】立体几何的二面角,球的表面积20.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于____.【答案】12【解析】由平面可得,又所以是平面,可以发现线段的中点为球心,取的中点,则,于是.【考点】立体几何中线线垂直、线面垂直的证明,以及椎体体积的求解等知识,考查学生的分析、知识迁移能力21.棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上,分别是棱、的中点,则过两点的直线被球截得的线段长为____________【答案】【解析】设过两点的直线与球球交于均为等腰直角三角形,,点到的距离为棱长一半【考点】正方体与外接球点评:求解本题首先要把握住正方体的外接球的球心为正方体的中心,球心与弦中点的连线垂直于弦,从而解直角三角形求出弦长22.点在同一个球的球面,,,若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,∴是直角三角形,∴的外接圆的圆心是边AC的中点O,如图所示,若使四面体ABCD体积的最大值只需使1点D到平面ABC的距离最大,又平面ABC,所以点D是直线与球的交点设球的半径为R,则由体积公式有:在中,,解得:,故选C。

高三数学 第50练 表面积与体积练习

高三数学 第50练 表面积与体积练习

第50练 表面积与体积1.在体积为43的三棱锥S -ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =90°,SA =SC ,且平面SAC ⊥平面ABC ,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是( )A.82π3B.9π2C.27π2D .12π2.如图是一个空间几何体的三视图,则该空间几何体的表面积是( )A .(8+25)πB .(9+25)πC .(10+25)πD .(8+23)π3.(2016·山西四校联考)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A .5+ 3B .5+2 3C .4+2 2D .4+2 34.(2016·唐山模拟)若正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为( ) A .64π B .32π C .16πD .8π5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π6.如图,已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )A.74π B .2π C.94π D .3π7.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A .72 cm 3B .98 cm 3C .108 cm 3D .138 cm 38.如图,在棱长为1的正四面体S -ABC 中,O 是四面体的中心,平面PQR ∥平面ABC ,设SP =x (0≤x ≤1),三棱锥O -PQR 的体积为V =f (x ),其导函数y =f ′(x )的图象大致为( )二、填空题9.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=________.10.(2016·九江模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上,且AB =3,BC =3,过点D 作DE 垂直于平面ABCD ,交球O 于E ,则棱锥E -ABCD 的体积为________. 11.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =3 cm ,AA 1=2 cm ,则三棱锥A -B 1D 1D 的体积为________ cm 3.12.已知球O 的直径PQ =4,A ,B ,C 是球O 球面上的三点,△ABC 是等边三角形,且∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30°,则三棱锥P -ABC 的体积为________. 答案精析1.B [如图,设球心为O ,半径为R ,取AC 中点为M ,连接SM ,依据图形的对称性,点O 必在SM 上,由题设可知13×12×2×2×SM =43,解得SM =2,连接OC ,则在Rt △OMC 中,R2=(2-R )2+2,解得R =32,则V =4π3×(32)3=9π2,故应选B.]2.A [从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体.圆柱的底面面积为π,侧面积为2π×1×2=4π,圆锥的底面积为4π,由于其母线长为5,因此其侧面面积为12×2π×2×5=25π,故该几何体的表面积S =25π+4π+4π-π+π=(25+8)π,故选A.]3.A [该几何体的直观图如图.表面积S =1×1+12×1×1×2+2×12×(1+2)×1+12×6×2=5+3,所以选A.]4.A [如图,作PM ⊥平面ABC 于点M ,则球心O 在PM 上,PM =6,连接AM ,AO ,则OP =OA =R (R 为外接球半径),在Rt △OAM 中,OM =6-R ,OA =R ,又AB =6,且△ABC 为等边三角形,故AM =2362-32=23,则R 2-(6-R )2=(23)2,解得R =4,则球的表面积S =4πR2=64π.]5.A [由三视图可知,该组合体下半部分是一个半圆柱,上半部分是一个长方体,故体积V =2×2×4+12×π×22×4=16+8π.]6.C [所作的截面与OE 垂直时,截面圆的面积最小,设正三角形ABC 的高为3a , 则4a 2+1=4,即a =32, 此时OE 2=12+34=74.截面圆半径r 2=22-74=94,故截面面积为9π4.]7.B [该几何体的体积V =V 长方体-V 三棱柱=6×6×3-13×12×3×4×5=98 (cm 3).]8.A [设O 点到底面PQR 的距离为h ,即三棱锥O -PQR 的高为h ,设底面PQR 的面积为S ,∴三棱锥O -PQR 的体积为V =f (x )=13Sh ,点P 从S 到A 的过程中,底面积S 一直在增大,高h 先减小再增大,当底面经过点O 时,高为0,∴体积先增大,后减小,再增大,故选A.] 9.1∶24解析 设三棱锥F -ADE 的高为h ,则V 1V 2=13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE (2h )12(2AD )(2AE )sin ∠DAE=124.10.2 3解析 如图所示,BE 过球心O ,∴DE =42-[32+(3)2]=2, ∴V E -ABCD =13×3×3×2=2 3.11.3解析 1111113A B D D B AD D AD D V V S --∆==×B 1A 1=13×12×AD ×D 1D ×B 1A 1=13×12×3×2×3=3. 12.934解析 如图,设球心为M ,△ABC 截面所截小圆的圆心为O .∵△ABC 是等边三角形,∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30°, ∴P 在平面ABC 上的投影是△ABC 的中心O . 设AB 的中点为H ,∵PQ 是直径,∴∠PCQ =90°, ∴PC =4cos 30°=23,∴PO =23cos 30°=3,OC =23sin 30°= 3.∵O 是△ABC 的中心,∴OC =23CH ,∴△ABC 的高CH =332,AC =332sin 60°=3,∴V 三棱锥P -ABC =13PO ·S △ABC =13×3×12×332×3=934.。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,.(1)证明: // 平面;(2)求三棱柱的体积.【答案】(1)证明详见解析;(2)体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,由图象可得到,,,所以得到四边形为平行四边形,所以,利用面面平行的判定得证;第二问,由面ABCD,所以得到是三棱柱的高,利用体积转化法,得到三棱柱的体积.试题解析:(1)设线段的中点为,∵BD和是的对应棱,∴,同理,∵AO和是棱柱的对应线段,∴,且,且四边形为平行四边形且,面面.(2)∵面ABCD,∴是三棱柱的高,在正方形ABCD中,,在中,,,所以,.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.(正四棱锥与球体积选做题)棱长为1的正方体的外接球的体积为________.【答案】.【解析】正方体的体对角线,就是正方体的外接球的直径,所以球的直径为:所以球的半径为:,∴正方体的外接球的体积V=.【考点】1.球的体积;2.球内接多面体.3.如图,ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,ED=1,EF∥BD且EF=BD.(1)求证:BF∥平面ACE;(2)求证:平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)2【解析】(1)利用线线平行,推证线面平行;(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直,则这两个平面垂直,证明面面垂直;(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解.试题解析:(1)证明:记AC与BD的交点为O,则DO=BO=BD,连接EO,∵EF∥BD且EF=BD,∴EF∥BO且EF=BO,则四边形EFBO是平行四边形,∴BF∥EO,又∵面ACE,面ACE,∴BF∥平面ACE;(2)证明:∵ED⊥平面ABCD,平面ABCD,∴ED⊥AC.∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC,又ED∩BD=D,∴AC⊥平面BDEF,又平面EAC,∴平面EAC⊥平面BDEF;(3)解:∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD,又∵EF∥BD且EF=BD,∴BDEF是直角梯形,又∵ABCD是边长为2的正方形,BD=2,EF=,∴题型BDEF的面积为,由(1)知AC⊥平面BDEF,∴几何体的体积VABCDEF =2VA-BDEF=2×S BDEF·AO=.【考点】空间直线与平面位置关系,几何体的体积4.如图,多面体的直观图及三视图如图所示,分别为的中点.(1)求证:平面;(2)求多面体的体积.【答案】(1)证明:见解析;(2)多面体的体积.【解析】(1)由多面体的三视图知,三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,平面,侧面都是边长为的正方形.连结,则是的中点,由三角形中位线定理得,得证.(2)利用平面,得到,再据⊥,得到⊥平面,从而可得:四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面.利用体积公式计算.所以多面体的体积. 12分试题解析:(1)证明:由多面体的三视图知,三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,平面,侧面都是边长为的正方形.连结,则是的中点,在△中,,且平面,平面,∴∥平面. 6分(2)因为平面,平面,,又⊥,所以,⊥平面,∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面. 10分所以多面体的体积. 12分【考点】三视图,平行关系,垂直关系,几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】如下图所示,连接,因为是正三角形,且为中点,则,又因为面,故,且,所以面,所以是三棱锥的高,所以.【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质;2、三棱锥体积.6.棱长为的正四面体的外接球半径为.【答案】【解析】记正四面体棱长为,外接球半径为,在正四面体中,利用棱,与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得,因此中本题中.【考点】正四面体(正棱锥的性质).7.如图,已知平面,,,且是的中点,.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求此多面体的体积.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).【解析】(1)取的中点,连结、,利用中位线证明,利用题中条件得到,进而得到,于是说明四边形为平行四边形,得到,最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面;(2)由平面得到,再利用等腰三角形三线合一得到,利用直线与平面垂直的判定定理证明平面,结合(1)中的结论证明平面,最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面;(3)利用已知条件得到平面平面,然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高,最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.(1)取中点,连结、,为的中点,,且,又,且,且,为平行四边形,,又平面,平面,平面;(2),,所以为正三角形,,平面,,平面,又平面,,又,,平面,又,平面,又平面,平面平面;(3)此多面体是一个以为定点,以四边形为底边的四棱锥,,平面平面,等边三角形边上的高就是四棱锥的高,.【考点】1.直线与平面平行;2.平面与平面垂直;3.椎体体积的计算8.如图,在三棱锥中,,,°,平面平面,,分别为,中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3).【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问,由于D、E分别为AB、AC中点,所以利用三角形的中位线得出∥,再利用线面平行的判定直接得到结论;第二问,由,而∥得,而D为AB中点,PA=PB,得,所以利用线面垂直的判定得平面,再利用线面垂直的性质得;第三问,由于,利用面面垂直的性质得平面,所以PD是三棱锥的高,而,所以. (1)因为,分别为,中点,所以∥,又平面,平面,所以∥平面. 4分(2)连结,因为∥,又°,所以.又,为中点,所以.所以平面,所以. 9分(3)因为平面平面,有,所以平面,所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点,集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明:平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】(1)见解析(2)M为线段PB的中点时(3)不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下:设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下:(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为()A.6πB.4πC.2πD.π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π.12.如图,在三棱锥中,,,平面平面,为中点,点分别为线段上的动点(不含端点),且,则三棱锥体积的最大值为________.【答案】【解析】因为且为中点,所以,因为平面平面,由面面垂直的性质定理可得,即。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:四面体S -ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R,四面体S -ABC的体积为V,则R=.【答案】.【解析】设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为 V四面体A−BCD=∴.【考点】类比推理.2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.【答案】(1)64 (2)40+24【解析】解:本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积,由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥,如图.(1)V=×(8×6)×4=64.(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形,取BC的中点E,连接OE,VE,则△VOE为直角三角形,VE为△VBC边上的高,VE==4.同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高h==5.∴S侧=2×(×6×4+×8×5)=40+24.3.某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是时,则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为,底面半径为,则,,,,所以圆锥的高为,体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.4. (2014·荆州模拟)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12cm,深2cm的空穴,则该球的半径是________cm,表面积是________cm2.【答案】10 400π【解析】设球的半径为r,如图:由勾股定理可知,r2=(r-2)2+36,解得r=10cm.所以表面积为4πr2=4π×100=400π(cm2).5.如图甲,在平面四边形ABCD中,已知,,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E,F分别为棱AC,AD的中点.(1)求证:DC平面ABC;(2)设,求三棱锥A-BFE的体积.【答案】(1)证明:见解析;(2).【解析】(1)注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得;在图乙中,可得AB⊥CD.根据DC⊥BC,即可得到DC⊥平面ABC.(2)首先根据E,F分别为AC,AD的中点,得到EF//CD,根据(1)知,DC⊥平面ABC,得到EF⊥平面ABC,从而得到在图甲中,根据给定角度及长度,计算“不变量”,得,BD=2,BC=,EF=CD=,利用体积公式计算即得所求.解答本题的关键是确定“垂直关系”,这也是难点所在,平时学习中,应特别注意转化意识的培养,等体积转化的方法,是立体几何中常用方法之一.(1)证明:在图甲中∵且∴,即 1分在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC ,且平面ABD∩平面BDC=BD4分又,,且,∴DC⊥平面ABC. 6分(2)解:, 7分又由(1)知,DC⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 8分所以, 9分在图甲中,由得,, 10分,11分12分【考点】平行关系,垂直关系,几何体的体积.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.【答案】【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱∴该几何体的体积是7.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)【答案】【解析】由圆锥的母线长为,侧面积为.则根据.即可求出圆锥的底面周长.从而解出底面半径.再求出圆锥的高.根据体积公式.【考点】1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化.8.已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周,所得旋转体的体积为___________.【答案】【解析】.【考点】旋转体的体积.9.正四棱锥的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则这个球的表面积为_________.【答案】【解析】如图是正四棱锥外接球的球心,是底面中心,,,设球半径为,在中,,解得,所以.【考点】正棱锥的外接球.10.若长方体三个面的面积分别为,,,则此长方体的外接球的表面积是________.【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c,则解得长方体外接球半径为R==,外接球的表面积为S=4π=6π11.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值;(2)当四面体的体积最大时,求其表面积.【答案】(1)a3(2)a2【解析】(1)如图,在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点为P,BC的中点为E,连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC,∴V-BCD=V A-BPC+V D-BPC=·S△BPC·AP+S△BPC·PD=·S△BPC·AD=··aA≤·=a3(当且仅当x=a时取等号).∴该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为a,∴S=2×a2+2××a×=a2+a×=a2+=a2.表12.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P BDF的体积.【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.(2)解:三棱锥P BCD的底面BCD的面积S△BCD由PA⊥底面ABCD,得=·S·PA=××2=2.△BCD由PF=7FC,得三棱锥F BCD的高为PA,故=·S△BCD·PA=×××2=,所以=-=2-=.13.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π,则球的体积为() A.B.C.D.8π【答案】A【解析】由题意,球的半径为R=,故其体积V=π()3=,选A.14.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.【答案】【解析】因为E点在线段AA1上,所以S△DED1=×1×1=,又因为F点在线段B1C上,所以点F到平面DED1的距离为1,即h=1,所以VD1-EDF=VF-DED1=·S△DED1·h=××1=.15.若长方体的顶点都在半径为3的球面上,则该长方体表面积的最大值为.【答案】【解析】设长方体的边长为,那么长方体的表面积为:,又由于:,而,所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积;基本不等式的变形.16.若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为.【答案】【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形,所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形,由相应扇形面积公式理解记忆.【考点】圆锥的侧面积.17.已知四面体的四个顶点都在球的球面上,若平面,,且,,则球的表面积为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为平面,,在四面体的基础上构造长方体如图,可知长方体的外接球与四面体的外接球相同,长方体的对角线就是外接球的直径,即,球的表面积,故选C.【考点】1、空间几何体的位置关系;2、球的表面积.18.如图,一只蚂蚁由棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的点出发沿正方体的表面到达点的最短路程为.【答案】【解析】采用侧面展开法,展开后,在矩形中,,.【考点】立体几何表面距离最短问题.19.如图,平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一球面上,则该球的体积为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上,可知A′B⊥A′C,所以BC 是外接球的直径,所以BC=,球的半径为:,所以球的体积为:,选A.【考点】1.球内接多面体;2.球的体积和表面积20.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求四棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由,,,易得,从而平面,由此可得平面平面.(Ⅱ)思路一、由(Ⅰ)知,平面,所以,即是一个直角三角形,这样可得四边形的面积.又平面平面,所以过D作的垂线,该垂线即垂直于平面,由此可得该棱锥的高,从而求得其体积.思路二、将四棱锥分割为以下两部分:三棱锥和,这两个三棱锥的体积相等,我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥,这个三棱锥的体积就很易求了.试题解析:(Ⅰ)证明:在中,由余弦定理得:,所以,所以,即, 3分又四边形为平行四边形,所以,又底面,底面,所以,又,所以平面, 5分又平面,所以平面平面. 6分(Ⅱ)法一:连结,∵,∴∵平面,所以, 8分所以四边形的面积, 10分取的中点,连结,则,且,又平面平面,平面平面,所以平面,所以四棱锥的体积:. 12分法二: 四棱锥的体积, 8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等, 10分所以. 12分【考点】1、空间两平面的垂直;2、空间几何体的体积.21.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.【答案】【解析】圆锥与球的截面如下图,设球的半径为,则圆锥底面圆的直径为,圆锥底面面积为,圆锥的侧面面积为,所以圆锥的表面积为,球的表面积为,所以其面积比为.【考点】1.圆锥与球的表面积;2.球与其内接几何体的关系.22.一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上,则此球的体积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设四棱锥是满足条件的,连结、交于,球心在上,令球的半径为,则,由正四棱锥所有棱长为1,易求得四棱锥的高,在中,,即,解得,故球的体积为. 选D.【考点】正四棱锥的性质,球的体积.23.如图,设是棱长为的正方体的一个顶点,过从顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,截去个三棱锥,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有个顶点;②有条棱;③有个面;④表面积为;⑤体积为.其中正确的结论是(写出所有正确结论的编号).【答案】①②⑤【解析】根据几何体的特点可知,有12个顶点,24条棱,16个面,所以①、②都对,③错;表面积为故④错;其体积为故⑤成立.【考点】几何体的体积和表面积.24.如图,在三棱柱中,,,分别为,,的中点,设三棱锥体积为,三棱柱的体积为,则【答案】【解析】依题意,,三棱锥的高为三棱柱的高的. ∴.【考点】三棱柱与三棱锥的体积,三角形中位线定理,相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.25.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.1B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,所以该几何体的体积为【考点】本小题主要考查三视图.点评:此类问题,主要考查学生的空间想象能力,解决此类问题的关键是根据三视图正确还原几何体.26.如果一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.C.96D.80【答案】A【解析】由三视图知:原几何体为正方体和一个四棱锥的组合体,正方体的棱长为4,正四棱锥的底面边长为4,高为2,所以正四棱锥的斜高为。

2018年高考数学总复习 8.2 空间几何体的表面积与体积演练提升同步测评 文 新人教B版

2018年高考数学总复习 8.2 空间几何体的表面积与体积演练提升同步测评 文 新人教B版

8.2 空间几何体的表面积与体积A 组 专项基础训练(时间:35分钟)1.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3 【解析】 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成,V =V 正方体+V 四棱锥=8 cm 3+83 cm 3=323cm 3.故选C.【答案】 C2.(2016·课标全国Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π【解析】 由该几何体的三视图可知,这个几何体是把一个球挖掉它的18得到的(如图所示).设该球的半径为R ,则78×43πR 3=283π,得R =2.所以它的表面积为4π×22-18×4π×22+3×14×π×22=17π.故选A.【答案】 A3.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛【解析】 由题意知:米堆的底面半径为163(尺),体积V =13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛).【答案】 B4.(2016·黑龙江哈六中期末)在平行四边形ABCD 中,AC →·CB →=0,2BC →2+AC →2-4=0,若将其沿AC 折成直二面角D ­AC ­B ,则三棱锥D ­ACB 的外接球的表面积为( )A .16πB .8πC .4πD .2π【解析】 由题意知,AC ⊥CB ,2BC 2+AC 2-4=BC 2+BC 2+AC 2-4=BC 2+AB 2-4=0.因为ABCD 是平行四边形,所以BC =AD .因为二面角D ­AC ­B 是直二面角,所以AD ⊥平面ABC ,即AD ⊥AB ,那么BC 2+AB 2=AD 2+AB 2=BD 2=4,即BD =2.取BD 中点O ,连接OA ,OC ,∠BAD ,∠BCD 都是直角三角形,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,有OA =OB =OC =OD ,所以三棱锥D ­ACB 的外接球的球心为点O ,半径R =OB =1,所以表面积为S =4πR 2=4π.【答案】 C5.(2015·课标全国Ⅱ)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A .36πB .64πC .144πD .256π【解析】 如图,要使三棱锥O ­ABC 即C ­OAB 的体积最大,当且仅当点C 到平面OAB 的距离,即三棱锥C ­OAB 底面OAB 上的高最大,其最大值为球O 的半径R ,则V O ­ABC 最大=V C ­OAB 最大=13×S △OAB ×R =13×12×R 2×R =16R 3=36,所以R =6,得S 球O =4πR 2=4π×62=144π.选C.【答案】 C6.(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是________cm 2,体积是________cm 3.【解析】 根据几何体的三视图可得该几何体由如图所示的两个长方体组成,所以它的表面积为72 cm 2,体积为32 cm 3.【答案】 72 327.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________.【解析】 设新的底面半径为r ,由题意得13πr 2·4+πr 2·8=13π×52×4+π×22×8,解得r =7.【答案】 78.(2017·安徽合肥一中等六校第二次联考)在三棱锥P ­ABC 中,PA ⊥平面ABC ,PA =2,AB =2,AC =1,∠BAC =60°,则该三棱锥的外接球的表面积为________.【解析】 因为AB =2,AC =1,∠BAC =60°,利用余弦定理得BC =3,所以AC 2+BC2=AB 2,所以AC ⊥BC .又因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥P ­ABC 是长为1,宽为3,高为2的长方体的一部分(如图所示),所以三棱锥P ­ABC 外接球的半径为12×12+(3)2+22=2,所以其外接球的表面积为4π×(2)2=8π.【答案】 8π9.(2016·课标全国Ⅰ)如图,已知正三棱锥P ­ABC 的侧面是直角三角形,PA =6.顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G .(1)证明:G 是AB 的中点;(2)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.【解析】 (1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D , 所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE . 又PD ∩DE =D ,所以AB ⊥平面PED ,故AB ⊥PG . 又由已知可得PA =PB ,所以G 是AB 的中点.(2)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ,F 即为点E 在平面PAC 内的正投影.理由如下:由已知可得PB ⊥PA ,PB ⊥PC ,又EF ∥PB ,所以EF ⊥PA ,EF ⊥PC ,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为点E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ,DF ,因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ,所以D 是正三角形ABC 的中心. 由(1)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,且CD =23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ,DE ⊥平面PAB ,所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13PC .由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA =6,可得DE =2,PE =2 2.因为EF ∥PB ,PG 为等腰△PAB 的角平分线,所以∠FEP =∠FPE ,所以△EFP 为等腰直角三角形,可得EF =PF =2.所以四面体PDEF 的体积V =13×12×2×2×2=43.10.(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和30 cm ,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.【解析】 如图所示,三棱台ABC ­A 1B 1C 1中,O 、O 1分别为两底面中心,D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点,则DD 1为棱台的斜高.由题意知A 1B 1=20,AB =30, 则OD =53,O 1D 1=1033,由S 侧=S 上+S 下,得3×12×(20+30)×DD 1=34×(202+302), 解得DD 1=1333,在直角梯形O 1ODD 1中,O 1O =DD 21-(OD -O 1D 1)2=43,所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升 (时间:30分钟)11.(2017·湖北武汉华中师大一附等校第一次联考)已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于( )A .12 3B .16 3C .20 3D .32 3【解析】 题中三视图是下图中几何体ABCDEF 的三视图,由三视图中的尺寸,知其体积为V =12×4×23×6-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×3×23=20 3.故选C.【答案】 C12.(2017·河南郑州一模)如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形,正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( )A.23B.43C.83D .2 【解析】 由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1­BDE ,其中E 是CD 的中点,△BDE 的面积S =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2=1,三棱锥C 1­BDE 的高h =CC 1=2,所以该四面体的体积V =13Sh =23.故选A.【答案】 A13.(2015·四川)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M ,N ,P 分别是AB ,BC ,B 1C 1的中点,则三棱锥P ­A 1MN 的体积是________.【解析】 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱,三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形,高为1的直三棱柱,∵VP ­A 1MN =VA 1­PMN , 又∵AA 1∥平面PMN , ∴VA 1­PMN =V A ­PMN ,∴V A ­PMN =13×12×1×12×12=124,故VP ­A 1MN =124.【答案】 12414.(2017·湖北襄阳一模)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.【解析】 由三视图可知该几何体为长方体中挖去一个半球.长方体的棱长分别为4,4,2,半球的半径为2.∴S =4×4+4×2×4+4×4-π×22+12×4π×22=64+4π.【答案】 64+4π15.(2016·江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P ­A 1B 1C 1D 1,下部分的形状是正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB =6 m ,PO 1=2 m ,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大? 【解析】 (1)由PO 1=2知O 1O =4PO 1=8.因为A 1B 1=AB =6,所以正四棱锥P ­A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13·A 1B 21·PO 1=13×62×2=24(m 3); 正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O =62×8=288(m 3). 所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3). (2)设A 1B 1=a (m),PO 1=h (m), 则0<h <6,O 1O =4h .如图,连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 21+PO 21=PB 21,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22+h 2=36,即a 2=2(36-h 2).于是仓库的容积V =V 柱+V 锥=a 2·4h +13a 2·h =133a 2h =263(36h -h 3),0<h <6,从而V ′=263(36-3h 2)=26(12-h 2).令V ′=0,得h =23或h =-23(舍). 当0<h <23时,V ′>0,V 是单调增函数, 当23<h <6时,V ′<0,V 是单调减函数. 故当h =23时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当PO 1=2 3 m 时,仓库的容积最大.。

高中表面积和体积专项练习题

高中表面积和体积专项练习题

高中表面积和体积专项练习题问题一一个长方体的长、宽和高分别是3 cm、4 cm和5 cm,求它的表面积和体积。

解答:根据长方体的表面积和体积的公式,可以得出如下结果:表面积 = 2 * (长 * 宽 + 长 * 高 + 宽 * 高) = 2 * (3 * 4 + 3 * 5 + 4 * 5) = 94 cm²体积 = 长 * 宽 * 高 = 3 * 4 * 5 = 60 cm³问题二一个正方体的边长为6 cm,求它的表面积和体积。

解答:正方体的边长等于它的长、宽和高,因此可以使用正方体的表面积和体积的公式来计算:表面积 = 6 * (边长 * 边长) = 6 * (6 * 6) = 216 cm²体积 = 边长 * 边长 * 边长 = 6 * 6 * 6 = 216 cm³问题三一个圆柱的底面半径为8 cm,高度为10 cm,求它的表面积和体积(保留π的值为3.14)。

解答:根据圆柱的表面积和体积的公式,可以得出如下结果:表面积= 2 * π * 半径 * (半径 + 高度) = 2 * 3.14 * 8 * (8 + 10) ≈ 1004.8 cm²体积= π * 半径² * 高度 = 3.14 * 8² * 10 = 2010.4 cm³问题四一个球的半径为6 cm,求它的表面积和体积(保留π的值为3.14)。

解答:球的表面积和体积的公式如下:表面积= 4 * π * 半径² = 4 * 3.14 * 6² ≈ 452.16 cm²体积= (4/3) * π * 半径³ = (4/3) * 3.14 * 6³ ≈ 904.32 cm³以上是关于高中表面积和体积的专项练习题的解答。

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高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图,求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4,体积为.【解析】由于展开图是,分别是所在边的中点,根据三角形的性质,是正三角形,其边长为4,原三棱锥的侧棱也是2,要求棱锥的体积需要求出棱锥的高,由于是正棱锥,顶点在底面上的射影是底面的中心,由相应的直角三角形可求得高,得到体积.试题解析:由题意中,,,所以是的中位线,因此是正三角形,且边长为4.即,三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图,设顶点在底面内的投影为,连接,并延长交于∴为中点,为的重心,底面∴,,【考点】图象的翻折,几何体的体积.2.设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为,体积为,若它们的侧面积相等且,则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为,,则,,又,所以,则.【考点】圆柱的侧面积与体积.3.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】如下图所示,连接,因为是正三角形,且为中点,则,又因为面,故,且,所以面,所以是三棱锥的高,所以.【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质;2、三棱锥体积.4.如图,在三棱锥中,,,°,平面平面,,分别为,中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3).【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问,由于D、E分别为AB、AC中点,所以利用三角形的中位线得出∥,再利用线面平行的判定直接得到结论;第二问,由,而∥得,而D为AB中点,PA=PB,得,所以利用线面垂直的判定得平面,再利用线面垂直的性质得;第三问,由于,利用面面垂直的性质得平面,所以PD是三棱锥的高,而,所以.(1)因为,分别为,中点,所以∥,又平面,平面,所以∥平面. 4分(2)连结,因为∥,又°,所以.又,为中点,所以.所以平面,所以. 9分(3)因为平面平面,有,所以平面,所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.5.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB∵DA⊥面ABP,CB∥DA∴CB⊥面ABP CB⊥AB ,∴AB⊥面PBC又DC∥AB,∴DC∥面PBC∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC(2)如图建立空间直角坐标系则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)设E(x,y,z),= (0<<1)则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则令c=n=(,0,)同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)∵cos<n,m>====∴=或=1(舍去)∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离∴V=××1××=E-PAB6.某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是时,则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为,底面半径为,则,,,,所以圆锥的高为,体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.7.如图,在三棱锥中,,,平面平面,为中点,点分别为线段上的动点(不含端点),且,则三棱锥体积的最大值为________.【答案】【解析】因为且为中点,所以,因为平面平面,由面面垂直的性质定理可得,即。

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第50练 表面积与体积
1.在体积为4
3
的三棱锥S -ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =90°,SA =SC ,且平面SAC ⊥平面
ABC ,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是( )
A.82π3
B.9π2
C.27π2
D .12π
2.如图是一个空间几何体的三视图,则该空间几何体的表面积是( )
A .(8+25)π
B .(9+25)π
C .(10+25)π
D .(8+23)π
3.(2016·山西四校联考)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )
A.5+ 3 B.5+2 3
C.4+2 2 D.4+2 3
4.(2016·唐山模拟)若正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为( ) A.64π B.32π
C.16π D.8π
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8π B.8+8π
C.16+16π D.8+16π
6.如图,已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是( )
A.7
4π B .2π C.9
4
π D .3π
7.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )
A .72 cm 3
B .98 cm 3
C .108 cm 3
D .138 cm 3
8.如图,在棱长为1的正四面体S -ABC 中,O 是四面体的中心,平面PQR ∥平面ABC ,设
SP =x (0≤x ≤1),三棱锥O -PQR 的体积为V =f (x ),其导函数y =f ′(x )的图象大致为( )
二、填空题
9.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE 的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.
10.(2016·九江模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上,且AB =3,BC =3,过点D 作DE 垂直于平面ABCD ,交球O 于E ,则棱锥E -ABCD 的体积为________. 11.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =3 cm ,AA 1=2 cm ,则三棱锥A -B 1D 1D 的体积为________ cm 3
.
12.已知球O 的直径PQ =4,A ,B ,C 是球O 球面上的三点,△ABC 是等边三角形,且∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30°,则三棱锥P -ABC 的体积为________. 答案精析
1.B [如图,设球心为O ,半径为R ,取AC 中点为M ,连接SM ,依据图形的对称性,点O 必在SM 上,由题设可知13×12×2×2×SM =43
,解得SM =2,连接OC ,则在Rt △OMC 中,R
2
=(2-R )2
+2,解得R =32,则V =4π3×(32)3=9π2
,故应选B.]
2.A [从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体.圆柱的底面面积为π,侧面积为2π×1×2=4π,圆锥的底面积为4π,由于其母线长为5,因此其侧面面积为1
2×2π×2×5=25π,故该几何体的表面积S =25π+4π
+4π-π+π=(25+8)π,故选A.]
3.A [该几何体的直观图如图.表面积S =1×1+12×1×1×2+2×12×(1+2)×1+1
2×6
×2=5+3,所以选A.]
4.A [如图,作PM ⊥平面ABC 于点M ,则球心O 在PM 上,PM =6,连接AM ,AO ,则OP =OA =R (R 为外接球半径),在Rt △OAM 中,OM =6-R ,OA =R ,又AB =6,且△ABC 为等边三角
形,故AM =2362-32=23,则R 2-(6-R )2=(23)2,解得R =4,则球的表面积S =4πR
2
=64π.]
5.A [由三视图可知,该组合体下半部分是一个半圆柱,上半部分是一个长方体,故体积
V =2×2×4+12
×π×22×4=16+8π.]
6.C [所作的截面与OE 垂直时,截面圆的面积最小,设正三角形ABC 的高为3a , 则4a 2
+1=4,即a =
32
, 此时OE 2=12+34=74.截面圆半径r 2=22
-74=94,故截面面积为9π4
.]
7.B [该几何体的体积V =V 长方体-V 三棱柱=6×6×3-13×12×3×4×5=98 (cm 3
).]
8.A [设O 点到底面PQR 的距离为h ,即三棱锥O -PQR 的高为h ,设底面PQR 的面积为S ,∴三棱锥O -PQR 的体积为V =f (x )=1
3Sh ,点P 从S 到A 的过程中,底面积S 一直在增大,
高h 先减小再增大,当底面经过点O 时,高为0,∴体积先增大,后减小,再增大,故选A.] 9.1∶24
解析 设三棱锥F -ADE 的高为h ,则V 1V 2=13h ⎝ ⎛⎭⎪
⎫12AD ·AE ·sin∠DAE (2h )12(2AD )(2AE )sin ∠DAE
=1
24
.
10.2 3
解析 如图所示,BE 过球心O ,∴DE =42-[32+(3)2
]=2, ∴V E -ABCD =1
3
×3×3×2=2 3.
11.3
解析 111111
3
A B D D B AD D AD D V V S --∆==×B 1A 1=13×12×AD ×D 1D ×B 1A 1
=13×1
2×3×2×3=3. 12.934
解析 如图,设球心为M ,△ABC 截面所截小圆的圆心为O .
∵△ABC 是等边三角形,∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30°, ∴P 在平面ABC 上的投影是△ABC 的中心O . 设AB 的中点为H ,
∵PQ 是直径,∴∠PCQ =90°,
∴PC =4cos 30°=23,
∴PO =23cos 30°=3,OC =23sin 30°= 3. ∵O 是△ABC 的中心,∴OC =2
3
CH ,
∴△ABC 的高CH =332,AC =33
2sin 60°=3,
∴V 三棱锥P -ABC =13PO ·S △ABC =13×3×12×332×3=93
4
.。

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