(完整版)特殊四边形经典例题

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(完整版)特殊平行四边形练习题(答案已做)

特殊平行四边形专题练习1、练习：①矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形对角线AC 长为______cm ．②．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（）A ．AO=CO ，BO=DOB ．AO=BO=CO=DOC ．AB=BC ，AO=COD ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD③．四边形ABCD 中，AD //BC ，则四边形ABCD 是 ___________，又对角线AC ，BD 交于点O ，若∠1=∠2，则四边形ABCD 是_______________．2、练习：①．如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．②．一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的周长等于 cm,面积= cm 2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为(三)正方形:3．练习：①正方形的面积为4，则它的边长为____，对角线长为_____．②已知正方形的对角线长是4，则它的边长是，面积是。

③如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，EF ，要使四边形ADEF 是正方形，还需增加条件：_______．二、复习练习：（一）、选择题：1、矩形ABCD 的长AD=15cm ，宽AB=10cm ，∠ABC 的平分线分AD 边为AE 、ED两部分，这AE 、ED 的长分别为（）A ．11cm 和4cmB ．10cm 和5cmC ．9cm 和6cmD ．8cm 和7cm2、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD3、如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEBO （） A. 10° B ．15° C ．20° D ．12.5°4、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD 的周长是（） A. 4 B ．8 C ．12 D ．16ABDECABCDEEF（二）、填空题5、已知正方形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，•且AC=•16cm ，•则DO=•_____cm ， •BO=____cm ，∠OCD=____度．6、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，且点A 的坐标为（0，2）,则点B 坐标（），点C 坐标为（），点D 坐标为（）。

(完整版)特殊的平行四边形(压轴题)

特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。

（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。

（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。

（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ；（2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。

（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。

(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。

（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。

（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。

GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。

专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。

第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确；（3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。

特殊四边形经典例题(有详解)

特殊四边形经典例题1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A ．两条对角线相等的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3均在x 轴正半轴上．若已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3的坐标是（）A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，）4．下列命题中正确的是（）A ．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是菱形C ．对角线相等的梯形是等腰梯形D ．对角线相等的四边形是平行四边形5．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N ．给出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②AM=AC ；③DN=2NF ；④S 四边形BFNM =S 平行四边形ABCD ．其中正确的结论有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．11．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是_________阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．12．（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC 交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．13．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．答案详解1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A ．两条对角线相等的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解答：故选C ．2．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个解答：解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B ．3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3均在x 轴正半轴上．若已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3的坐标是（）A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，）考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．解答：解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∴OC1=×1=，C1E1=×1=，E1E2=×1=，E2C2=×=，C2E3=E2B2=，E3E4=×=，E4C3=×=，∴B3C3=2E4C3=2×=，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，则A3M=+×=，A3N=×=，C3M=×=，∴C3N=（××2）﹣=，ON=+++++++，=+，∵点A3在第一象限，∴点A3的坐标是（+，）．故选C．点评：本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A3作辅助线构造出含60°角的直角三角形．4．下列命题中正确的是（）A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的梯形是等腰梯形D．对角线相等的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，故本选项正确；D、对角线相等的四边形形状不确定，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF 于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，易证得S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，在△ABM≌△CDN，，∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正确；∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，∴NF∥BM，∵F为BC的中点，∴NF为三角形BCM的中位线，∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，∴AM=AC，DN=2NF，故②③正确；∵S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，∴S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．故④正确；综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．点评：本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意，三角形中位线定理的应用．6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定考点：正方形的性质；等腰直角三角形；矩形的性质．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，然后求出MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，再设正方形的边长为a，然后用a表示出m1，m2，进行判断即可．解答：解：∵点E、N是正方形ABCD对角线BD上两动点，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，∵四边形EFCH和四边形MNQP是矩形，∴△BMN，△PQD，△BEF，△DEH是等腰直角三角形，∴MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，设正方形的边长为a，则BD=a，所以m1=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a，m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=a+PM，∵PM的长度无法确定，∴2a与a+PM的大小无法确定，∴m1，m2的大小不确定．故选D．点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，用正方形ABCD的边长表示出m1，m2是解题的关键．7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定．分析：根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得到===，进而得到EF是△ABC的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．解答：解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=AD，AD⊥EF，∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴===，∴EF是△ABC的中位线，故①正确；∵EF是△ABC的中位线，∴△AEF的周长是△ABC的一半，根据折叠可得△AEF≌△DEF，∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，故②正确；∵EF是△ABC的中位线，∴AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形，则AE=AF，∴AB=AC，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；故选：A．点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=．考点：反比例函数综合题．专题：规律型．分析：由OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n 的值，故可得出结论．解答：解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴y1=1，y2=，y3=…y n=，∴S1=×1×（y1﹣y2）=×1×（1﹣）=（1﹣）；S2=×1×（y2﹣y3）=×（﹣）；S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）；…S n=（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．故答案为：．点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：规律型．分析：过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．解答：解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长为：．故答案为：．点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=18，S△AEG=18．考点：正方形的性质．分析：求出BC，CG，根据三角形面积公式和矩形的面积公式求出即可．解答：解：∵BG=10，BC：CG=2：3，∴BC=4，CG=6，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴BC=AB=4，FG=EF=CG=6，延长FE和BA交于N，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴∠NED=∠EDA=∠DAN=90°，∴四边形BNFG是矩形，∴EN=BC=4，NF=BG=10，BN=CF=6，∴S△ECG=×CG×FG=×6×6=18，S△AEG=S矩形NBGF﹣S△ABG﹣S△EFG﹣S△ANE=10×6﹣×4×10﹣×6×6﹣×（6﹣4）×4=18，故答案为：18，18．点评：本题考查了正方形性质，矩形性质，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．考点：四边形综合题．分析：（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形；（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．解答：解：（1）∵直线PD⊥AC，∴BC∥PD，∴四边形BQPD的面积为：（BQ+DP）×PC=（8﹣2t+t）×（6﹣t）△ABC面积为：×AC×BC=×6×8=24，∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时：×24=（8﹣t）×（6﹣t），解得：t1=9+3，t2=9﹣3，∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，∴t≤4，∴t1=9+3不合题意舍去，∴当t为9﹣3时，四边形BQPD的面积为△ABC 面积的；（2）存在，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴=，即=，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．存在t=时，使四边形PDBQ为平行四边形；（3）不存在，理由：当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即t=8﹣v，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是2阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．考点：四边形综合题．分析：（1）通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论2阶矩形；（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．∴共操作2次．∴这个矩形是2阶矩形．故答案为：2；（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，∠BFE=∠A．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABF=90°，∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE为矩形．∵AE=FE，∴矩形ABFE为正方形；（3）①由题意，得如图1，∴a的值=8，∴a的值=5，同理可得出：a=或，∴a的值为8或5或或；②由题意，得∵a=5b+m，b=4m，∴a=21m，如图∴是8阶矩形．点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．13．（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN 的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．②本题分两种情况进行讨论：1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．解答：解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点，∴BE=AB=2在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．∴BG=BE=1，EG=即点E 到BC的距离为（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为矩形，∴EP=GM，PM=EG=同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，∴∠PMH=∠PMC﹣∠NMC=30°．∴PH=PM=∴MH=PM•cos30°=则NH=MN﹣MH=4﹣在Rt△PNH中，PN=∴△PMN的周长=PM+PN+MN=②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，PM=，∠PMR=30°，MR=PMcos30°=×=，∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC﹣BG﹣MC=6﹣1﹣3=2．当MP=MN时，∵EG=，∴MP=MN=，∵∠B=∠C=60°，∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP=（如图4），此时，x=EP=GM=6﹣1﹣，当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6﹣1﹣1=4．综上所述，当x=2或4或（5﹣）时，△PMN为等腰三角形．点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．14．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF 和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．解答：解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，AB⊥CB，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，∴CM=BC﹣BM=14﹣8=6cm，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，CD=CM=6cm，∠DCB=45°；（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF=EH，∠FEH=90°，∴∠AEF+∠BEH=90°，∵AB⊥CB，∴∠BEH+∠BHE=90°，∴∠AEF=∠BHE，在△AEF和△BHE中，，∴△AEF≌△BHE（AAS），∴BE=AF=x，∵AB=AE+BE=6cm，∴2+x=6，解得x=4cm；（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠PGH，在△AEF和△PGH中，，∴△AEF≌△PGH（AAS），∴PG=AE=2，HP=AF=x，∵∠C=45°，∴CP=PG=2，BH=14﹣x﹣2=12﹣x，在Rt△AEF 中，EF2=AE2+AF2=22+x2，在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，∵EF=EH，∴22+x2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，解得x=6.5．点评：本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．。

特殊平行四边形典型例题解析题

一、参考例题［例1］如下图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：EO =FO(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE =OF ，可借助第三条线段OC ，即证：OE =OC ，OF =OC ，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC 、△OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ECF =90°，由(1)可证得OE =OF ，所以要使四边形AECF 是矩形,只需OA =OC .证明：(1)∵CE 、CF 分别是∠ACB 、∠ACD 的平分线. ∴∠ACE =∠BCE ，∠ACF =∠DCF∵MN ∥BC ∴∠OEC =∠ECB ，∠OFC =∠FCD ∴∠ACE =∠OEC ，∠ACF =∠OFC ∴OE =OC ，OF =OC ∴OE =OF(2)当点O 运动到AC 的中点时，即OA =OC 又由(1)证得OE =OF∴四边形AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA +∠ACF =21∠ACB +21∠ACD =21 (∠ACB +∠ACD )=90° 即∠ECF =90° ∴四边形AECF 是矩形.因此：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形.［例2］如下图，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AD 于F ，OF =3 cm ，AE ⊥BD 于E ，且BE ∶ED =1∶3，求AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD 的长，即AC的长.解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC又∵BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO又∵AE⊥BO∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB∴∠BAE=∠EAO=30°，∠F AO=30°∴△ABE≌△AOF∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.∴BE=ED,BF=FD∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC∴∠EDO=∠FBO∵点B和D重合∴BO=DO，∠BOF=∠DOE∴△BOF≌△DOE∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE∴四边形BFDE是菱形S菱形=21×BD×EF=BF×CD∵BF=DF，∴可设BF=DF=x则FC=8－x在Rt△FCD中，根据勾股定理得：x2=(8－x)2+62x =425 ∴6425682122⨯=⨯+⨯EF EF =7.5因此，折痕EF 的长为7.5 cm.2.当平行四边形ABCD 满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：∠BAC =90°或AC =BD 或OA =OB 或∠ABC +∠ADC =180°或∠BAD +∠BCD = 180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．分析（1）由E 为AB 的中点，，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解（1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴是AB 的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．求证：分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形，∴，.∴与为等边三角形. ∴∵，∴∴∴∵，∴为等边三角形. ∴∵，∴∴说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证.例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．求证：垂直平分．分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是矩形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中∴△≌△∴，∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形∴平分∴平分∵∴垂直平分．例5 如图，中，，、在直线上，且．求证：．分析要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形是平行四边形∴，，，∴∵，∴在△和△中∴△≌△∴∵∴同理：∴∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形∴．典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．解∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴∴答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．分析观察图形，，从而可说明证明在中，交于O，∴，∴，∴，∴例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。

特殊四边形的经典题型

特殊四边形的经典题型特殊四边形的经典题型是“四边形概念，包括特殊四边形”。

这类问题主要考核学生对特殊四边形的概念、特征、种类、构图方法、性质等的认知能力和依据这些概念分析处理问题的能力。

首先，考生需要理解四边形的特性。

四边形是由四条直线组成的闭合多边形，一般来说，有四个内角，它们两两相等，这使得四个内角总和为360°。

此外，四边形也可以分为等边四边形和不等边四边形。

对于等边四边形，每条边相等，而不等边四边形的每条边的长度是不同的。

其次，考生还需要熟悉特殊四边形的概念。

特殊四边形是指具有特殊属性的四边形，这些特殊的四边形通常具有特殊的角度、边长或两者特性结合在一起。

其中，最常见的是正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形、直角三角形、等腰三角形、梯形和矩形。

此外，考生还应熟悉不同特殊四边形的性质。

例如，正方形和长方形的内角相等，每个角都是90°，而菱形的内角都是相等的，每个角都是60°；梯形的两个角是相反的，即有两个内角为90°，另两个为120°。

另外，平行四边形的内角分别是两个相等的角和两个相反的角，其中两个角都是90°；直角三角形的内角分别是一个90°，其余两个都是60°；等腰三角形的内角分别是60°，其余两个都是60°。

最后，考生根据这些概念，可以灵活处理类似问题，如根据特殊四边形的特性，求外角之和，求泰勒斯边长，求内角之和，求特殊四边形的外接圆等。

熟练处理这些题型，可以帮助学生更好地掌握特殊四边形的概念，并加深对此的理解和掌握。

特殊四边形典型题演练及答案

1、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点. （1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当时，求四边形EGFH的面积.2、在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，•用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图所示1．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示． .（1）在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置上． .（2）在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置上． .（3）在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置上． .（4）在△ABC中（AB≠AC），一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，•其操作过程（剪切线的作法）是：___________，然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置上．（10分）3、如图，已知正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由.4、如图，在△中，∠，的垂直平分线交于，交于，在上，且． .⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． .5、已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.（1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=CH.6、如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．7、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。

特殊四边形练习题及答案

特殊四边形练习题及答案一、填空题1、已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与BD相交于点F，则的值为1 2 32、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号).3、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 .4、我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。

则矩形的中点四边形是 .5、如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，，，则正方形的面积等于．5 6 7 86、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．7、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．8、如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是．二、简答题9、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE=CE.10、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE=5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长.11、如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.12、如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.(1)求证：BE=CD；(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.13、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.14、如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（4分）（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（4分）（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．不要写理由。

特殊四边形培优及答案

特殊四边形练习题及答案1.如图所示，将一张边长为8的正方形纸片A3CQ折叠，使点。

落在8C的中点E处,点A落在点尸处，折痕为奶，则线段的长为（）A.10B.4a/5C.789D.2^212.如图2,在一张矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC±,将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，下列结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分ZDCH；③线段BF的取值范围为3WBFW4；④当点H与点A重合时，EF=2、低.其中结论正确的个数是（）.（A）l个（B）2个（C）3个（D）4个3.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将ZkADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则下列结论：①△ABGM/kAFG；②BG=CG；③AG〃CF；④S aegc=S aaf E；⑤ZAGB+ZAED=145°.其中正确的个数是（）4.如图，正方形ABCD的面积为4,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）』------DB-----------CC.2右A.2B.3 D.y/35.如图，ABCD为正方形，0为AC、BD的交点，ADCE^RtA,ZCED=90°-ZDCE=30°,若0E=£戒，则正方形的面积为（）6.如图，ZM0N=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中，点D到点0的最大距离为A.^2+1B.加C.近运D.-527.如图，正方形ABCD的边长是4cm,点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE,连接AE、AC、CE,则的面积是cm2…8.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是.学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m,则这个花园的面积为.9.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF,则ZEBF=.10.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF±AC于点F,连接EC, AF=3,AEFC的周长为12,则EC的长为.A D11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,若点P在AD边上，连接BP、PC,ABPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为.12.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是.13.在ABCD中，S ABCD=24,AE平分ZBAC,交BC于E.沿AE将AABE折叠，点B的对应点为F,连结EF并延长交AD于G,EG将ABCD分为面积相等的两部分.则S aabe=-------14.如图，矩形ABCD中，AD=10,AB=8,点P在边CD±,且BP=BC,点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN,连接MN交BP于点F,过点M作ME±CP于E,15.如图，已知菱形AMNP内接于ZkABC,M、N、P分别在AB、BC、AC±,如果AB=21cm, CA=15cm,求菱形AMNP的周长.（6分）A16.(本题8分)如图，四边形ABCD是正方形，BE±BF,BE=BF,EF与BC交于点G.FC l)求证：△ABE丝△CBF；(2)若ZABE=50°,求/EGO的大小.17.如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD,CD上的两个动点(不与菱形的顶点重合),且满足CF=DE,ZA=60°.(1)写出图中一对全等三角形：____________________.(2)求证：ABEF是等边三角形；(3)若菱形ABCD的边长为2,设ADEF的周长为m,则m的取值范围为(直接写出答案)；(4)连接AC分别与边BE、BF交于点M、N,且ZCBF=15°,试说明：MN2+CN2=AM2 18.如图所示，点0是菱形ABCD对角线的交点，CE〃BD,EB〃AC,连接0E,交BC于F.(1)求证：OE=CB；B19.已知：如图，在OABCD中，。

特殊四边形的证明经典必考题

H GFEDC BA图1-1特殊的平行四边形复习探究一：中点四边形1、探究证明：（1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明；（2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明；探究二、矩形的折叠问题一、求角度例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则（A ）34（B ）33（C ）24 （D ）８三、求图形面积例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ A ．234cm B ．236cm C ．38cm D ．240cm【折叠问题练习】1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。

若CD=6A ． B ．C ．D ．8题1题2 2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，cm AF 425=，则若AD 的长为（）．ODCBAE FDC BA A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm3．如图，矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是__________．题3题 4 题54．如图，矩形纸片ABCD ，AB=8，BC=12，点M 在BC 边上，且CM=4，将矩形纸片折叠使点D 落在点M 处，折痕为EF ，则AE 的长为__________． 5．在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE= ________.【经典练习】1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AB=6，BC=8，P 是AD 上一点，且PH ⊥AC ，PK ⊥BD ，求PH+PK 的值；2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD 与点O ，∠BAC=60°，若，求此梯形的面积；3、如图，平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 与点E ，AB=8，BC=10，则ED= ；4、如图，菱形对角线AC 、BD 交于点O ，且AC=8，BD=6，过O 做OH ⊥AB 与点H ，则OH= ；5、如图，在ABCD 中，AE 、DF 分别为∠BAD 和∠ADC 的平分线，AE 、DF 相交于点G ；（1）求证：AE ⊥DF（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF 的长； 6、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 的中点；求证：四边形BCDE 是菱形7、在正方形ABCD 中，E 为对角线上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：∠CDE=∠CBE（2）延长BE 交AD 与点F ，若∠DEB=140°，求∠AFE 的度数；8、已知等腰梯形的底边长分别为2㎝和8㎝，高为4㎝，则一腰长为㎝。

特殊的平行四边形专项练习(含答案)

特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。

初二数学特殊四边形练习题(含答案)

初二数学特殊四边形练习题一．选择题（共5小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB ACAB=，12AC=，则BD的长是()⊥，若8A．22B．16C．18D．202．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，FPC∠的度数是()A．135︒B．120︒C．112.5︒D．67.5︒3．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是()A．当AB BD⊥时，它是菱形B．当AC BD=时，它是正方形C．当90=时，它是矩形∠=︒时，它是矩形D．当AB BCABC4．如图，在ABCBC=，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE AC⊥于AC=，8C∠=︒，6∆中，90点E，PF BC⊥于点F，连结EF，则线段EF的最小值为()A．1.2B．2.4C．2.5D．4.85．如图，在ABC∠=︒，BD为AC的中线，过点C作ABC∆中，90⊥于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点CE BDF，在AF的延长线上截取FG BD=，连接BG、DF．若AC AF=+，则四边形BDFG的周长为()CF=，26A．9.5B．10C．12.5D．20二．填空题（共5小题）6．已知平行四边形ABCD 中，50A B ∠-∠=︒，则C ∠= ．7．已知：如图，平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ，若3AB =，5BC =，则EF = ．8．如图，菱形ABCD 的边长是4cm ，E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，则菱形ABCD 的面积为 2cm ．9．如图，矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为．10．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，1AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为．三．解答题（共4小题）11．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．求证：四边形ADCE 为矩形；12．如图，在四边形ABCD中，//cm s的速度BC cm=，点P自点A向D以1/AD BC，12AD cm=，15运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2/cm s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为()t s．（1）用含t的代数式表示：AP=；DP=；BQ=．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？13．如图，菱形ABCD对角线交于点O，//AE BD，EO与AB交于点F．BE AC，//（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO DC=．14．如图，四边形ABCD为正方形，点G是BC上的任意一点，分别过点B，D作BF AG⊥于点F，⊥于点E于点E，猜想DE，EF，BF三条线段存在怎样的数最关系，并证明你的结论．DE AG答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，若8AB =，12AC =，则BD 的长是( )A ．22B ．16C ．18D ．20【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA 的长，然后由AB AC ⊥，8AB =，12AC =，根据勾股定理可求得OB 的长，继而求得答案．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，12AC =， 162OA AC ∴==，2BD OB =， AB AC ⊥，8AB =，228610OB ∴=+=，220BD OB ∴==．故选：D ．2．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线交正方形ABCD 的一边CD 于点P ，FPC ∠的度数是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．67.5︒【分析】先根据正方形的性质求出45DBC ∠=︒，再根据角平分线的定义得出EBF ∠，然后由外角的性质即可得出结果．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90ABC BCD ∴∠=∠=︒，45DBC ABD ∠=∠=︒，四边形BEFD 是菱形， 122.52EBF DBC ∴∠=∠=︒，9022.5112.5FPC BCD EBF ∴∠=∠+∠=︒+∠︒=︒；故选：C ．3．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列结论中正确的是( )A ．当AB BD ⊥时，它是菱形 B ．当AC BD =时，它是正方形 C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形 D ．当AB BC =时，它是矩形【分析】依据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A 、当AB BD ⊥时，90ABD ∠=︒，则90ABC ∠>︒，当AC BD ⊥，四边形ABCD 是菱形，故A 错误；B 、由四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，则四边形ABCD 为矩形，故B 错误；C 、当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形，故C 正确；D 、由四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，则四边形ABCD 为菱形，故D 错误．故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为( )A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.8 【分析】连接PC ，当CP AB ⊥时，PC 最小，利用三角形面积解答即可．【解答】解：连接PC ， PE AC ⊥，PF BC ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒， ∴四边形ECFP 是矩形， EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小，根据垂线段最短，当CP AB ⊥时，PC 最小， 6AC =，8BC =， 10AB ∴=，PC ∴的最小值为：684.810AC BC AB ⨯==． ∴线段EF 长的最小值为4.8．故选：D ．5．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．若6CF =，2AC AF =+，则四边形BDFG 的周长为( )A ．9.5B ．10C ．12.5D ．20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =，则可判断四边形BGFD 是菱形，设AF x =，则2AC x =+，6FC =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值，进而得出答案．【解答】解：//AG BD ，BD FG =， ∴四边形BGFD 是平行四边形， CF BD ⊥， CF AG ∴⊥，又点D 是AC 中点，12BD DF AC ∴==， ∴四边形BGFD 是菱形，设AF x =，则2AC x =+，6FC =，在Rt ACF ∆中，90CFA ∠=︒， 222AF CF AC ∴+=，即2226(2)x x +=+，解得：8x =，故10AC =，故四边形BDFG 的周长421020BD ==⨯=．故选：D ．二．填空题（共5小题）6．已知平行四边形ABCD 中，50A B ∠-∠=︒，则C ∠= 115︒ ．【分析】利用平行四边形的邻角互补，和50A B ∠-∠=︒，就可建立方程求出两角．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，180A B ∠+∠=︒，又有50A B ∠-∠=︒，把这两个式子相加即可求出2∠A=230°，∴115A C ∠=∠=︒，故答案为：115︒． 7．已知：如图，平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ，若3AB =，5BC =，则EF = 1 ．【分析】先证明3AB AE ==，3DC DF ==，再根据EF AE DF AD =+-即可计算．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， 3AB CD ∴==，5BC AD ==，//AD BC ，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ， ABF CBE AEB ∴∠=∠=∠，BCF DCF CFD ∠=∠=∠， 3AB AE ∴==，3DC DF ==，3351EF AE DF AD ∴=+-=+-=．故答案为1．8．如图，菱形ABCD 的边长是4cm ，E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，则菱形ABCD 的面积为 83 2cm ．【分析】利用勾股定理求出DE ，根据菱形ABCD 的面积AB DE =计算即可．【解答】解：四边形ABCD 是菱形， 4AD AB ∴==， ∵E 是AB 的中点， 2AE EB ∴==， DE AB ⊥， ∴在Rt ADE ∆中，2223DE AD AE -∴菱形ABCD 的面积42383AB DE ===，故答案为839．如图，矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为12017．【分析】连接PO ，由勾股定理求出AC ，得出OA 、OD 的长，根据三角形面积和矩形面积关系求出PE PF +即可．【解答】解：连接PO ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，8AB CD ==，15AD BC ==，OA OC =，OB OD =，AC BD =， OA OD ∴=，由勾股定理得：222281517AC AB BC =+=+=， 11722OA OD AC ∴===， 111158224AOD S OA PE OD PF ∆=⨯+⨯=⨯⨯，∴1171()158224PE PF ⨯⨯+=⨯⨯， 12017PE PF ∴+=；故答案为：12017． 10．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，1AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为52．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB AD =，每一个角都是直角可得90BAE D ∠=∠=︒，然后利用“边角边”证明ABE DAF ∆≅∆得ABE DAF ∠=∠，进一步得90AGE BGF ∠=∠=︒，从而知12GH BF =，利用勾股定理求出BF 的长即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 为正方形， 90BAE D ∴∠=∠=︒，AB AD =，在ABE ∆和DAF ∆中，AB AD BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DAF SAS ∴∆≅∆，ABE DAF ∴∠=∠，90ABE BEA ∠+∠=︒， 90DAF BEA ∴∠+∠=︒， 90AGE BGF ∴∠=∠=︒，点H 为BF 的中点，12GH BF ∴=，4BC =，413CF CD DF =-=-=，225BF BC CF ∴=+=， 1522GH BF ∴==，故答案为：52．三．解答题（共4小题）11．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．求证：四边形ADCE 为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线， AD BC ∴⊥，BAD CAD ∠=∠． 90ADC ∴∠=︒，AN 为ABC ∆的外角CAM ∠的平分线， MAN CAN ∴∠=∠． 90DAE ∴∠=︒， CE AN ⊥， 90AEC ∴∠=︒．∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE 为矩形．12．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，12AD cm =，15BC cm =，点P 自点A 向D 以1/cm s 的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2/cm s 的速度运动，到B 点即停止，点P ，Q 同时出发，设运动时间为()t s ．（1）用含t 的代数式表示：AP = t ；DP = ；BQ = ．（2）当t 为何值时，四边形APQB 是平行四边形？【分析】（1）直接利用P ，Q 点的运动速度和运动方法进而表示出各部分的长；（2）利用平行四边形的判定方法得出t 的值．【解答】解：（1）由题意可得：AP t =，CQ=2t ，故12DP t =-，152BQ t =-，故答案为：t ，12t -，152t -；（2）//AD BC ，∴当AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形， 152t t ∴=-，解得：5t =．13．如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，EO 与AB 交于点F ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO DC =．【分析】（1）由菱形的性质可证明90BOA ∠=︒，然后证明四边形AEBO 为平行四边形，从而可证明四边形AEBO 是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO BA =，然后依据菱形的性质可得到AB CD =．【解答】解：（1）四边形AEBO 是矩形．证明：//BE AC ，//AE BD ∴四边形AEBO 是平行四边形．又菱形ABCD 对角线交于点O AC BD ∴⊥，即90AOB ∠=︒． ∴四边形AEBO 是矩形．（2）四边形AEBO 是矩形 EO AB ∴=，∵在菱形ABCD 中，AB DC =． EO DC ∴=．14．如图，四边形ABCD 为正方形，点G 是BC 上的任意一点，分别过点B ，D 作BF AG ⊥于点F ，DE AG ⊥于点E 于点E ，猜想DE ，EF ，BF 三条线段存在怎样的数最关系，并证明你的结论．【分析】通过证明ABF ADE ∆≅∆得到BF AE =，AF DE =，从而得到DE EF BF =+．【解答】解：DE EF BF =+．理由如下：四边形ABCD 为正方形， AB AD ∴=，90ABG DAB ∠=∠=︒， BF AG ⊥，DE AG ⊥， 90AED BFA ∴∠=∠=︒，90DAE BAF ∠+∠=︒，90ABF BAF ∠+∠=︒， DAE ABF ∴∠=∠，在ABF ∆和ADE ∆中，AFB DEA ABF DAE AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ADE AAS ∴∆≅∆，BF AE ∴=，AF DE =，又∵AF AE EF =+， DE BF EF ∴=+．。

特殊四边形(含解析)

特殊四边形一、选择题1、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为( ).A .115°B .120°C .130°D .140°2、如图，以矩形ABCD的A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点；再以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点．若AD=5，CD=，则EF的长度为何？( )A .2B .3C .D .3、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④︰＝2︰3.其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个4、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4B．3C．2+D．二、填空题5、如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于__________（第五题图）（第四题图）三、解答题6、如图，抛物线y=-mx-3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．（1）用含m的代数式表示BE的长．（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由。

（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是__________．特殊四边形的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可.解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'-∠CFB'=180°，即∠1+∠1-50°=180°，解得：∠1=115°，故选：A.2、答案：A试题分析：连接CE，可得出CE=CD，由矩形的性质得到BC=AD，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出BE的长，由AB-AF求出BF的长，由BE-BF求出EF的长即可。

中考数学专题训练：特殊平行四边形(附参考答案)

中考数学专题训练：特殊平行四边形（附参考答案）1．如图，在矩形ABCD和△BDE中，点A在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为( )A．10 B．12C．14 D．162．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为点N，则OM＋MN的值为( )A．245B．165C．125D．653．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，E是AC 的中点，则BE的长为( )A．2 B．52C．√5D．34．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形5．下列选项中能使□ABCD成为菱形的是( )A．AB＝CD B．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD6．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形7．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )A．2 B．52C．3 D．48．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( )A．2 B．3C．4 D．59．如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( )A．2 B．4C．5 D．610．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角．顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c，则正确的是( )A．仅①B．仅③C．①②D．②③11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是( )A．2 B．√5C．3√22D．12512．如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是( )A．BE＝12AE B．PC＝PDC．∠EAF＋∠AFD＝90°D．PE＝EC13．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是( )A．1 B．√2C．√3D．214．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( )A．√6B．√62C．2√2D．2√315．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC和AC的中点，请添加一个条件________________________，使四边形BEFD为矩形．(填一个即可)16．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC＝12，BD＝16，则OE的长为______．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，点FAC，连接EF.若AC＝10，则EF＝______．在对角线AC上，且AF＝1418．如图，E是矩形ABCD边AD上一点，F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为_____．19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为______．20．如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2√3 cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为_____cm.21．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE 的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于______．22．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则阴影部分的面积是_________．23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于______．24．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是_______.参考答案1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C 11．D 12．C 13．C 14．B15．AB⊥BC(答案不唯一) 16．10 17．52 18.3 19．12520．221．√19422．2－2√3323．2α 24．8√5。

特殊四边形经典例题(有详细讲解)

特殊四边形经典例题1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2012•）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上．若已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，且B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．下列命题中正确的是（）A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的梯形是等腰梯形D．对角线相等的四边形是平行四边形5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．11．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是_________阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．12．（2009•）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC 交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．13．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．答案详解1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解答：故选C．2．（2012•）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解答：解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B．3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上．若已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，且B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．解答：解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∴OC1=×1=，C1E1=×1=，E1E2=×1=，E2C2=×=，C2E3=E2B2=，E3E4=×=，E4C3=×=，∴B3C3=2E4C3=2×=，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，则A3M=+×=，A3N=×=，C3M=×=，∴C3N=（××2）﹣=，ON=+++++++，=+，∵点A3在第一象限，∴点A3的坐标是（+，）．故选C．点评：本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A3作辅助线构造出含60°角的直角三角形．4．下列命题中正确的是（）A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的梯形是等腰梯形D．对角线相等的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，故本选项正确；D、对角线相等的四边形形状不确定，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF 于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S ．平行四边形ABCD其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，易证得S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，在△ABM≌△CDN，，∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正确；∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，∴NF∥BM，∵F为BC的中点，∴NF为三角形BCM的中位线，∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，∴AM=AC，DN=2NF，故②③正确；∵S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，∴S=S平行四边形ABCD．故④正确；综上所述，正确的结论是：①②③④，共四边形BFNM有4个．故选D．点评：本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意，三角形中位线定理的应用．6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系为（）A．m1＞m2B．m1＜m2C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定考点：正方形的性质；等腰直角三角形；矩形的性质．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，然后求出MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，再设正方形的边长为a，然后用a表示出m1，m2，进行判断即可．解答：解：∵点E、N是正方形ABCD对角线BD上两动点，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，∵四边形EFCH和四边形MNQP是矩形，∴△BMN，△PQD，△BEF，△DEH是等腰直角三角形，∴MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，设正方形的边长为a，则BD=a，所以m1=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a，m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=a+PM，∵PM的长度无法确定，∴2a 与a+PM的大小无法确定，∴m1，m2的大小不确定．故选D．点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，用正方形ABCD的边长表示出m1，m2是解题的关键．7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②④D．①③④考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定．分析：根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得到===，进而得到EF是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．解答：解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=AD，AD⊥EF，∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴===，∴EF是△ABC的中位线，故①正确；∵EF是△ABC 的中位线，∴△AEF的周长是△ABC的一半，根据折叠可得△AEF≌△DEF，∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，故②正确；∵EF是△ABC的中位线，∴AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形，则AE=AF，∴AB=AC，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；故选：A．点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=．考点：反比例函数综合题．专题：规律型．分析：由OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n 的值，故可得出结论．解答：解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴y1=1，y2=，y3=…y n=，∴S1=×1×（y1﹣y2）=×1×（1﹣）=（1﹣）；S2=×1×（y2﹣y3）=×（﹣）；S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）；…S n=（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．故答案为：．点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：规律型．分析：过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．解答：解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长为：．故答案为：．点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=18，S△AEG=18．考点：正方形的性质．分析：求出BC，CG，根据三角形面积公式和矩形的面积公式求出即可．解答：解：∵BG=10，BC：CG=2：3，∴BC=4，CG=6，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴BC=AB=4，FG=EF=CG=6，延长FE和BA交于N，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，∴∠NED=∠EDA=∠DAN=90°，∴四边形BNFG是矩形，∴EN=BC=4，NF=BG=10，BN=CF=6，∴S△ECG=×CG×FG=×6×6=18，S△AEG=S矩形NBGF﹣S△ABG﹣S△EFG﹣S△ANE=10×6﹣×4×10﹣×6×6﹣×（6﹣4）×4=18，故答案为：18，18．点评：本题考查了正方形性质，矩形性质，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．考点：四边形综合题．分析：（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形；（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．解答：解：（1）∵直线PD⊥AC，∴BC∥PD，∴四边形BQPD的面积为：（BQ+DP）×PC=（8﹣2t+t）×（6﹣t）△ABC面积为：×AC×BC=×6×8=24，∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时：×24=（8﹣t）×（6﹣t），解得：t1=9+3，t2=9﹣3，∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，∴t≤4，∴t1=9+3不合题意舍去，∴当t为9﹣3时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的；（2）存在，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴=，即=，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．存在t=时，使四边形PDBQ为平行四边形；（3）不存在，理由：当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即t=8﹣v，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．探究：（1）两边分别是2和3的矩形是2阶矩形；（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．（3）操作、计算：①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．考点：四边形综合题．分析：（1）通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论2阶矩形；（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．∴共操作2次．∴这个矩形是2阶矩形．故答案为：2；（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，∠BFE=∠A．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABF=90°，∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE为矩形．∵AE=FE，∴矩形ABFE为正方形；（3）①由题意，得如图1，∴a的值=8，∴a的值=5，同理可得出：a=或，∴a的值为8或5或或；②由题意，得∵a=5b+m，b=4m，∴a=21m，如图∴是8阶矩形．点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．13．（2009•）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．②本题分两种情况进行讨论：1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点，∴BE=AB=2在Rt△EBG 解答：解：中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．∴BG=BE=1，EG=即点E到BC的距离为（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为矩形，∴EP=GM，PM=EG=同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，∴∠PMH=∠PMC﹣∠NMC=30°．∴PH=PM=∴MH=PM•cos30°=则NH=MN﹣MH=4﹣在Rt△PNH中，PN=∴△PMN的周长=PM+PN+MN=②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，PM=，∠PMR=30°，MR=PMcos30°=×=，∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC﹣BG﹣MC=6﹣1﹣3=2．当MP=MN时，∵EG=，∴MP=MN=，∵∠B=∠C=60°，∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP=（如图4），此时，x=EP=GM=6﹣1﹣，当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6﹣1﹣1=4．综上所述，当x=2或4或（5﹣）时，△PMN为等腰三角形．点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．14．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的部或边CD上，设AF=x（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF 和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．解答：解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，AB⊥CB，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，∴CM=BC﹣BM=14﹣8=6cm，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，CD=CM=6cm，∠DCB=45°；（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF=EH，∠FEH=90°，∴∠AEF+∠BEH=90°，∵AB⊥CB，∴∠BEH+∠BHE=90°，∴∠AEF=∠BHE，在△AEF和△BHE中，，∴△AEF≌△BHE （AAS），∴BE=AF=x，∵AB=AE+BE=6cm，∴2+x=6，解得x=4cm；（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠PGH，在△AEF和△PGH中，，∴△AEF≌△PGH（AAS），∴PG=AE=2，HP=AF=x，∵∠C=45°，∴CP=PG=2，BH=14﹣x﹣2=12﹣x，在Rt△AEF 中，EF2=AE2+AF2=22+x2，在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，∵EF=EH，∴22+x2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，解得x=6.5．点评：本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．。

特殊的四边形练习题

特殊的四边形练习题1．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．42．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．B．C．D．4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8B．9C．10D．125．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3D．46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜4B．6≤AM＜8C．≤AM＜8D．3≤AM＜47．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）cm．A．2B．3C．4D．58．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°9．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．511．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm12．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EF A．则正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④13．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③④14．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC ＝120°；②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．115．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．316．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④17．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE ＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④18．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON 分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CF2＝2OE2，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④19．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为．21．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．22．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，点P为线段AC上的一个动点．（1）填空：AD＝CD＝．（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．连接PB，在点P运动过程中，PM+PH+PB的最小值为．23．如图，∠EOD＝90°，点A、B分别在OE，OD上，∠EAB与∠ABD的角平分线交于点P，PC⊥AB于C，若PC＝2，则OP＝．24．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝．25．如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝18，DC＝6，则△ABC的面积是．26．如图，以△ABC的两边AB，AC为边向形外作正方形ABEF，ACGH，则称这两个正方形为外展双叶正方形．有以下5个结论：①△ABC面积与△AFH面积相等．②过点A作边BC的垂线交FH于点D，则FD＝HD．③O为边BC的中点，OA延长线与HF交于点P，则AP⊥HF且HF＝2AO．④连接FC、HB相交于点R，则FC＝HB且FC⊥HB．⑤连结EG，S为EG的中点，则SB＝SC且SB⊥SC．其中正确的结论是（填序号）．27．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．28．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：BD＝DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．29．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．30．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．31．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝°时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．。