01-13年 江苏专转本 数学 真题与答案

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试一、选择题 （本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx xx22),( 9、函数y x z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=x x y ，求dy . 12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x x x x f 的间断点，并说明其类型. 14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dx dy .15、计算dx ee x x⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2yx x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

22、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)()(x ax xx f x g ，其中)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f .（1）求a ，使得)(x g 在0=x 处连续； （2）求)('x g .23、设)(x f 在[]c ,0上具有严格单调递减的导数)('x f 且0)0(=f ；试证明：对于满足不等式c b a b a <+<<<0的a 、b 有)()()(b a f b f a f +>+.24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。

问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？1、C2、D3、B4、D5、A6、27、)2sin 2cos (213x C x C e y x+=，其中1C 、2C 为任意实数 8、dx y x f dy dx y x f dy y y y ⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(9、xdy x dx yxy y ln 1+- 10、564 11、dx x x x dy x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅+=21ln 2211112、31-13、1-=x 是第二类无穷间断点；0=x 是第一类跳跃间断点；1=x 是第一类可去间断点.14、1 15、C e e dx ee e e dx e e xx x x x x x x ++-=+-+=+⎰⎰)1ln(1122 16、π1 17、[]C dx ex e C dx e x e y xx xdx xdx +⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰⎰----cos ln cos ln tan tan sec sec xCx cos +=，x x y C C yx cos 00cos 000=⇒=⇒+⇒==. 18、解：原式24cos 1sin 20112-==⎰⎰+y dx dy y19、解：“在原点的切线平行于直线032=-+y x ”⇒2)(0'-==x x f 即2-=b又由)(x f 在1=x 处取得极值，得0)1('=f ，即03=+b a ，得323=-=b a 故22)(2'-=x x f ，两边积分得c x x x f +-=232)(3，又因曲线)(x f y =过原点， 所以0=c ，所以x x x f y 232)(3-== 20、y f x f x z 122'1'⋅+⋅=∂∂， 2'222''312''22212f yf y x f y x y x z ---=∂∂∂21、（1）012=+-x y ；（2）31；（3）6π=x V ，π56=y V 22、2'0'0)()()(lim1)()(lim x x f x x f x f x x f x x ∆∆-∆⋅∆=∆-∆⋅∆=→∆→∆ )0(212)(lim 2)()()(lim ''''0''''0f x x x f x x f x f x x f x x =∆∆⋅∆=∆∆-∆+∆⋅∆=→∆→∆. 23、由拉格朗日定理知：)()()(1'ξf a b f b a f =-+ )(1b a b +<<ξ，)()0()(2'ξf af a f =- )(2a b <<ξ由于)('x f 在),0(c 上严格单调递减，知)()(2'1'ξξf f <，因0)0(=f ，故)()()(b a f b f a f +>+.24、解：设每月每套租金为x 10200+，则租出设备的总数为x -40，每月的毛收入为：)40)(10200(x x -+，维护成本为：)40(20x -.于是利润为：2102207200)40)(10180()(x x x x x L -+=-+= )400(≤≤x 110)('=⇒=x x L比较0=x 、11=x 、40=x 处的利润值，可得)40()0()11(L L L >>，故租金为310)1110200(=⨯+元时利润最大.2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、下列极限中，正确的是 （ ）A 、 e x xx =+→cot 0)tan 1(lim B 、 11sinlim 0=→xx x C 、 e x x x =+→sec 0)cos 1(lim D 、 e n n n =+∞→1)1(lim2、已知)(x f 是可导的函数，则=--→hh f h f h )()(lim0 （ ） A 、)(x f ' B 、)0(f ' C 、)0(2f ' D 、)(2x f '3、设)(x f 有连续的导函数，且0≠a 、1，则下列命题正确的是 （ ） A 、C ax f adx ax f +='⎰)(1)( B 、C ax f dx ax f +='⎰)()( C 、)())(ax af dx ax f =''⎰D 、C x f dx ax f +='⎰)()(4、若x e y arctan =，则=dy （ ）A 、dx e x211+ B 、dx e e xx21+ C 、dx ex211+ D 、dx ee xx 21+5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是 （ ） A 、x y =2B 、⎩⎨⎧=++=++120z y x z y x C 、22+x =74+y =3-zD 、043=+z x6、微分方程02=+'+''y y y 的通解是 （ ） A 、x c x c y sin cos 21+= B 、xxe c e c y 221+= C 、()xex c c y -+=21 D 、xx e c e c y -+=217、已知)(x f 在()+∞∞-,内是可导函数，则))()(('--x f x f 一定是 （ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、不能确定奇偶性 8、设dx xx I ⎰+=141，则I 的范围是 （ ）A 、220≤≤I B 、1≥I C 、0≤I D 、122≤≤I 9、若广义积分dx xp ⎰∞+11收敛，则p 应满足 （ ） A 、10<<pB 、1>pC 、1-<pD 、0<p10、若xxee xf 11121)(+-=，则0=x 是()x f 的 （ ）A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、无穷间断点D 、连续点二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11、设函数)(x y y =是由方程)sin(xy e e y x =-确定，则='=0x y12、函数x exx f =)(的单调增加区间为 13、⎰-=+11221ta dx x x n x 14、设)(x y 满足微分方程1='y y e x ，且1)0(=y ，则=y 15、交换积分次序()=⎰⎰dx y x f dy eey 10,三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32 分）16、求极限()⎰+→xx dtt t t xx 020sin tan lim17、已知()()⎩⎨⎧-=+=t t t a y t t t a x cos sin sin cos ，求4π=t dx dy18、已知()22ln y x x z ++=，求x z ∂∂，x y z∂∂∂219、设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x x x f x，求()dx x f ⎰-20120、计算⎰⎰⎰⎰-+++2201221022222x x dy y x dx dy y x dx 21、求()x e y x y sin cos =-'满足1)0(=y 的解.22、求积分dx xx x ⎰-421arcsin23、设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,,11x k x x x f x ，且()x f 在0=x 点连续，求：（1）k 的值（2）()x f '四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分）24、从原点作抛物线42)(2+-=x x x f 的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S ， 求：（1）S 的面积； （2）图形S 绕X 轴旋转一周所得的立体体积. 25、证明：当22ππ<<-x 时，211cos x x π-≤成立.26、已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000)(x x x C ++=（元），产品产量x 与价格P 之间的关系为：x x P 201440)(-=（元） 求：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ (2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润.01－05、ACABD 06－10、CBABB 11、1 12、-∞(，]1 13、0 14、32+--x e15、⎰⎰xedy y x f dx ln 01),( 16、23 17、1 18、221yx xz+=∂∂，4222)(y x yx y z +-=∂∂∂ 19、解：令1-=x t ，则2=x 时1=t ，0=x 时，1-=t ，所以())1ln()1ln(1111111100120+=++=+++=---⎰⎰⎰e e dx x dx e dx xf x 20、原式=12401221222πθπ=⋅=+⎰⎰⎰⎰-rdr r d dx y x dy y y21、)1(cos +=x e y x22、C x +22arcsin 41 23、（1）e k = （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=0 (2)0.......)1ln()1(1)1()(21'x e x x x x x x x f x24、（1）31642224260222=+=⎰⎰⎰⎰+-+---x x xx x xdy dx dy dx S （2）ππππ15512)2()6()42(2020222222=---+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x V 25、证明：x x x F cos 1)(2--=π，因为)()(x F x F =-，所以)(x F 是偶函数，我们只需要考虑区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π，则x xx F sin 2)('+-=π，x x F cos 2)(''+-=π.在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈π2arccos ,0x 时，0)(''>x F ，即表明)('x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2arccos ,0内单调递增，所以函数)(x F⎪⎭⎫⎢⎣⎡π2arccos ,0内严格单调递在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,2arccos ππx 时，0)(''<x F ，即表明)('x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2arccos ππ内单调递减，又因为0)2('=πF ，说明)(x F 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2arccos ππ内单调递增. 综上所述，)(x F 的最小值是当0=x 时，因为0)0(=F ，所以)(x F 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内满足0)(≥x F . 26、（1）设生产x 件产品时，平均成本最小，则平均成本x x x x C x C 40120025000)()(++==， 10000)('=⇒=x x C （件） （2）设生产x 件产品时，企业可获最大利润，则最大利润⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-240120025000201440)()(x x x x x C x xP ，()16000)()('=⇒=-x x C x xP . 此时利润167000)()(=-x C x xP （元）.2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、已知2)(0'=x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000（ ）A 、2B 、4C 、0D 、2-2、若已知)()('x f x F =，且)(x f 连续，则下列表达式正确的是 （ ） A 、c x f dx x F +=⎰)()( B 、c x f dx x F dx d+=⎰)()( C 、c x F dx x f +=⎰)()(D 、)()(x f dx x F dxd=⎰ 3、下列极限中，正确的是 （ ）A 、22sin lim=∞→xxx B 、1arctan lim=∞→xxx C 、∞=--→24lim22x x x D 、1lim 0=+→xx x 4、已知)1ln(2x x y ++=，则下列正确的是 （ ） A 、dx xx dy 211++=B 、dx x y 21'+=C 、dx xdy 211+=D 、211'xx y ++=5、在空间直角坐标系下，与平面1=++z y x 垂直的直线方程为 （ ）A 、⎩⎨⎧=++=++021z y x z y xB 、31422-=+=+zy x C 、5222=++z y x D 、321-=-=-z y x6、下列说法正确的是 （ ）A 、级数∑∞=11n n收敛B 、级数∑∞=+121n n n 收敛 C 、级数∑∞=-1)1(n nn 绝对收敛 D 、级数∑∞=1!n n 收敛7、微分方程0''=+y y 满足00==x y，1'==x y 的解是A 、x c x c y sin cos 21+=B 、x y sin =C 、x y cos =D 、x c y cos =8、若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则a 、b 满足 A 、2=a 、b 为任何实数 B 、21=+b a C 、2=a 、23-=bD 、1==b a二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）9、设函数)(x y y =由方程xye y x =+)ln(所确定，则==0'x y10、曲线93)(23++-==x x x x f y 的凹区间为 11、=+⎰-dx x x x )sin (113212、交换积分次序=+⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),(三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13、求极限xx x cos 1120)1(lim -→+ 14、求函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x z tan 的全微分 15、求不定积分dx x x ⎰ln 16、计算θθθππd ⎰-+222cos 1sin17、求微分方程xe x y xy 2'=-的通解. 18、已知⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求dx dy 、22dx yd . 19、求函数1)1sin()(--=x x x f 的间断点并判断其类型.20、计算二重积分⎰⎰+-Ddxdy y x )1(22，其中D 是第一象限内由圆x y x 222=+及直线0=y 所围成的区域. 四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分） 21、设有抛物线24x x y -=，求：（i ）、抛物线上哪一点处的切线平行于X 轴？写出该切线方程； （ii ）、求由抛物线与其水平切线及Y 轴所围平面图形的面积；（iii ）、求该平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.22、证明方程2=xxe 在区间()1,0内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为V 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做） 24、将函数xx f +=41)(展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。