第2章第3讲 二次函数与幂函数(习思用.数学文)
二次函数与幂函数知识点总结
二次函数与幂函数知识点总结在数学课程中，二次函数和幂函数是一个经常被学习的知识点，在实际问题中也有着重要的应用。
因此，了解两者的特点及其之间的关系有助于学生更好的学习和掌握这两方面的知识，着重加强自己的数学基础知识。
本文针对二次函数和幂函数的概念、特点、关系及应用进行简单的介绍，以期对大家的理解有所帮助。
二次函数是指一类具有如下形式的函数：y = ax2 + bx + c,a≠0。
其中，a是二次项系数，b、c是常数项系数。
二次函数反映的是一定范围内物体经过某一特定点位于一定距离处的路径，它体现出了物体上升或下降的趋势。
二次函数的形状取决于a的正负，当a>0时，函数在原点处取得最大值，因此函数曲线为一个凹曲线；当a< 0时，函数在原点处取得最小值，曲线为凸曲线。
另一方面，幂函数的形式为：y=x^n,n为正整数。
它体现的是一种物体在相同路径上，所经过的距离随次数的增加而不断增加，曲线越向右，陡度越大。
如果n>1，则函数为凹曲线；如果n<1，则函数为凸曲线。
二次函数与幂函数之间还存在一定的联系，即可以将二次函数改写为幂函数的形式：y = ax2 + bx + c = a(x^2 + 2bx^(1/2) + c/a)。
在实际应用中，二次函数和幂函数都有其独特的应用，二次函数可以用来描述抛物线的运动轨迹。
另外，当a=－1时，二次函数可以用来计算球的落点位置、反弹高度等，在高尔夫球中得到广泛应用。
此外，幂函数也在实际中得到广泛应用，比如在经济学和财经学中，金融工具的收益率可以用幂函数来描述；另外，还可以用来概括基于时间的变化，比如种植植物的高度、排水的时间等。
从上面可以看出，二次函数和幂函数在实际应用中具有重要的意义。
通过认真研究，我们可以更好的理解这两类函数，从而更好地掌握两者之间的内在联系，以便在实践中更好地应用。
本文分析了二次函数和幂函数的概念、特点、关系及应用，并对实际应用中的重要性进行了阐述。
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 第三讲 二次函数与幂函数
的选择规律如下:
(1)若已知函数图象上任意三个点的坐标,宜选用一般式; (2)若已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值,宜选用顶点式; (3)若已知函数图象与x轴两交点的坐标,宜选用两根式.
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考点全通关 6
二次函数与幂函数 考点二 幂函数
1.幂函数的概念 一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数. 【注意】 幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.
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3年10考
4分或5分
命题趋势
高考复习讲义
考情精解读 3
二次函数与幂函数
考纲解读
预计本部分高考命题的热点仍然有三个:
(1)与其他函数相结合考查幂函数的单调性与奇偶性的判 断; (2)考查二次函数的图象以及单调性、最值;
命题规律
(3)与其他知识相结合考查含参数的二次函数的有关性质.
命题趋势
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二次函数与幂函数
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二次函数与幂函数
【通关秘籍】 幂函数的指数对图象有什么影响? 由以上5个幂函数的图象,可以看出: (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”);
(2)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.
考点全通关 1
二次函数与幂函数 考点一 二次函数
1.定义
函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数. 2.表示形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
第二章 第三节 二次函数与幂函数 (2)
为增函数．由函数 f(x)＝x2－4ax＋3 在区间[2，＋∞)上为增函数，
可得 2a≤2，解得 a≤1.所以“a＝1”是“函数 f(x)＝x2－4ax＋3
在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选 A.
[答案] A
返回
[方法技巧] 解决二次函数图象与性质问题的 2 个注意点
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约， 常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
返回
法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8， 即4a－2a4－a 1－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
奇偶性 b＝0 时为偶函数，b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数
返回
a>0
a<0
单调 在_－ ___∞__，__－__2b_a_ 上单调递减， 在_－__∞__，__－__2_ba_上单调
性
在_[_－__2_ba_，__＋__∞___) 上单调递增
递增，在_[ _－__2b_a_，__＋__∞__) 上单调递减
考向一 二次函数的图象识别
[例 2] (2019·甘肃武威模拟)如图是二次函数
y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，
对称轴为直线 x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a<b.
其中正确的结论是
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
第2章 第3节 二次函数与幂函数-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
6.幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)·x m2－6m+8在(0，＋∞)上为 增函数，则 m 的值为______1__.
解析 由题意知mm22－ －46mm＋ ＋48＝ ＞10， ，解得 m＝1.
核心考点·讲练互动
►考向一 幂函数的图象和性质[自主练透] [例 1] (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的大致图象是( C )
[自主解答] 解法一 (利用二次函数的一般式) 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得44aaa－c＋4－ba2＋bb2＋c＝＝c8＝－，－1，1，解得abc＝＝＝7－4.，4， 故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二 (利用二次函数的顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12. ∴m＝12，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
函数
y＝x y＝x2
y＝x3
1
y＝x2 y＝x－1
图象
定义域
R
R
R {_x_|x_≥_0_}__ {_x_|x_≠__0_}__
值域
R
_{_y_|y_≥_0_}___
R {_y_|y_≥_0_}__ {_y_|y_≠_0_}___
奇偶性 奇__函数
_偶__函数
奇__函数 非__奇__非_偶___ 函数
4ac－b2 4a .(
×
)
1
解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)＝xa，故 y＝2x3 不是幂函数，(1)错.
二次函数与幂函数
幂函数的性质
1
单调性
幂函数的单调性取决于指数n的奇偶性，当n为偶数时，幂函数是非负的。
2
零点
幂函数的零点是函数图像与x轴相交的点，通过求解方程kx^n=0可以找到幂函数 的解。
3
增长趋势
幂函数在大多数情况下，随着x的增加而增加，但增速逐渐减慢。
二次函数与幂函数的相似性
二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型，二者都具有图像特征、性质和 变形，但在具体形式和曲线特点上存在明显的差异。
二次函数与幂函数在几何上的 解释
二次函数的图像可以解释为抛物线，幂函数的图像可以解释为曲线。这些曲 线在几何学中具有特定的形状和性质，有助于解释和分析各种问题。
二次函数与幂函数的应用
工程设计
二次函数和幂函数经常用于模拟 或优化工程设计中的各种曲线和 问题。
金融分析
二次函数和幂函数可以用来分析 股票走势、财务数据和经济指标 等。
顶点
二次函数的抛物线图像的顶 点是形状的最高点或最低点， 代表函数的最值。
轴对称，这种对称性质 有助于分析函数的性质。
零点
二次函数的零点是函数图像 与x轴相交的点，对于方程 y=0，求解零点可以找到函数 的解。
幂函数概述
幂函数是指数和常数的乘积，具有形如y=kx^n的基本形式。幂函数的图像可能会出现上升或下降的曲线，取决 于指数n的值。
二次函数与幂函数
了解二次函数与幂函数的概念和基本形式，探索二次函数和幂函数在图像、 性质和变形方面的特点，以及它们在各个领域的实际应用和几何解释。
二次函数概述
二次函数是一个数学函数的类型，具有形如y=ax^2+bx+c的基本形式。它们的图像通常呈现出一个开口朝上或 开口朝下的抛物线形状。
§2.3 二次函数与幂函数(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
-
3 2
=-
21 4
,
f(x)max=f(3)=15,所以所求函数的值域为
-
21 4
,15
.
(2)易知f(x)图象的对称轴为直线x=- 2a-1.
2
①当- 2a-1≤1,即a≥- 1 时,
2
2
f(x)max=f(3)=6a+3,
所以6a+3=1,即a=-1 ,满足题意;
3
②当-
2a-1 2
≥3,即a≤-
答案 D
方法技巧
方法1 求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法
求二次函数最值问题,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式,得其 图象的顶点坐标为(m,n),对称轴为直线x=m,再结合二次函数的图象求解,常 见的有三种类型: (1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变 动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合求解,三点指的是区 间的两个端点及区间的中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单 调性及分类讨论的思想求解. 对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进 行讨论. 简单地讲:轴在区间外,端点处取最值,轴在区间内,顶点或端点处取最值.
高考文数
专题二 函 数
§2.3 二次函数与幂函数
考点清单
考点一 二次函数
考向基础 1.二次函数的三种表示形式 (1)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.二次函数的图象和性质
答案 C
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数介绍：二次函数与幂函数是数学中重要的函数类型，它们在各个领域具有广泛的应用。
本文将从定义、图像、性质等方面介绍二次函数与幂函数，帮助读者全面了解这两种函数。
一、二次函数二次函数是指函数表达式中含有$x^2$项的函数，其一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a \neq 0$，$a$、$b$、$c$为常数。
1. 定义二次函数可以通过改变系数$a$、$b$、$c$的值来改变函数的形状和特点。
其中，系数$a$决定二次函数的开口方向，若$a>0$，二次函数开口向上；若$a<0$，二次函数开口向下。
2. 图像二次函数的图像呈现抛物线的形状，称为二次曲线。
图像在平面$x$轴上对称，其中顶点为$(h, k)$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$。
根据顶点的坐标，可以确定二次函数的平移和缩放变换。
3. 性质二次函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。
其定义域为实数集，值域的范围取决于二次函数开口的方向。
奇偶性与二次函数的对称性相关，若$f(x)=-f(-x)$，则为奇函数；若$f(x)=f(-x)$，则为偶函数。
二次函数在开区间上可以是增函数或减函数。
二、幂函数幂函数是指函数表达式形式为$f(x)=ax^k$的函数，其中$a$和$k$为常数，$a \neq 0$，$k$为实数。
1. 定义幂函数以$x$的幂次为变量，其图像形状随参数$a$和$k$的取值而变化。
常见的幂函数有正幂函数($a>0$)、负幂函数($a<0$)和倒数函数($k=-1$)。
2. 图像幂函数的图像可以是直线、曲线或者曲线段。
具体的形状取决于参数$a$和$k$的取值。
幂函数的图像可在平面上进行平移、压缩和扭曲操作。
3. 性质幂函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。
其定义域为正实数集或者整个实数集，取决于指数$k$的值。
值域的范围取决于参数$a$和$k$的正负。
二次函数与幂函数的关系与性质
二次函数与幂函数的关系与性质二次函数和幂函数是高中数学中重要的概念，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数与幂函数之间的关系与性质。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一条U形曲线，被称为抛物线。
1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数值等于零的x值，即f(x) = 0的解。
二次函数的求解可以使用配方法、因式分解或求根公式来进行。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的对称轴线，它与抛物线的顶点重合。
二次函数的对称轴的方程为x = -b/2a，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数的增减性当a > 0时，二次函数是开口向上的，即函数的图像在对称轴的两侧递增；当a < 0时，二次函数是开口向下的，即函数的图像在对称轴的两侧递减。
4. 函数的最值当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
二、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a为非零实数，b为实数。
幂函数的特点是具有不同的增长速度和变化趋势。
1. 底数和指数幂函数中的x称为底数，b称为指数。
不同的底数和指数会导致幂函数的图像形状和性质的差异。
2. 增减性与奇偶性当b > 0时，幂函数是递增的；当b < 0时，幂函数是递减的。
当b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当b为奇数时，幂函数的图像不对称。
3. 渐近线和极限当b > 1时，幂函数的图像会趋近于x轴正半轴；当b < 1时，幂函数的图像会趋近于x轴负半轴。
幂函数在x = 0处的极限取决于指数b的正负性。
三、二次函数与幂函数的关系二次函数其实可以看作是幂函数的一种特殊情况，即当指数b为2时。
因此，二次函数可以被视为幂函数的一种扩展形式，二次函数的性质也可以通过幂函数的性质进行类比和推导。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0，a、b和c为常数，x为自变量。
2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项的系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
•二次函数的对称轴是一个直线，其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
•二次函数的顶点是对称轴上的点，坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。
•当a>0时，二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$；当a<0时，二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到不同形状的图像。
•平移：设二次函数为f(x)=x2，当向右平移ℎ个单位，得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2；当向上平移k个单位，得到f(x)+k=x2+k。
•伸缩：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标伸缩为原来的m倍，纵坐标伸缩为原来的n倍，得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。
•翻转：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标翻转，得到f(−x)= (−x)2=x2；当纵坐标翻转，得到−f(x)=−x2。
二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数，其中a eq0，a和b为常数，x为自变量。
2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。
当b>0且a>0时，幂函数图像在第一象限上递增；当b>0且a<0时，幂函数图像在第一象限上递减；当b<0时，幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。
2024届高考数学一轮复习第二章《函数》第三节+二次函数与幂函数
D
3. （2023吉林长春高三模拟）设 ，使函数 的定义域是 ，且为偶函数的所有 的值是( )
A. B. ， C. ， D. ， ，
A
[解析] 当 时， ，定义域为 ，不合题意；当 时， ，定义域为 ，为奇函数，不合题意；当 时， ，定义域为 ，为偶函数，符合题意.故 .
4. 易错题 若函数 在 上有最大值4，则 的值为( )
A. B. C. 或 D.
C
[解析] .①当 时，函数 在 上的值为常数1，不符合题意；②当 时，函数 在 上是增函数，最大值为 ，解得 ；③当 时，函数 在 上是减函数，最大值为 ，解得 .综上可知， 的值为 或 .
第二章 函数
第三节 二次函数与幂函数
必备知识·整合
关键能力·突破
拓展视野 “对勾”函数与分式一次型函数
课标要求
1.通过具体实例,结合 ， ， ， ， 的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
必备知识·整合
定义域
值域
_ ____________
对称轴
顶点坐标
奇偶性
续表
单调性
最值
提 醒注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
单调递增
续表
2.幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.幂函数的特征：①自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常数；② 的系数为1；③只有一项.
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
（1） 函数 是幂函数.( )
§ 2.3 二次函数与幂函数
函数的是
ｙ
＝
ｘ，ｙ
＝
ｘ２ ，ｙ
＝
ｘ３ ，ｙ
＝
ｘ
１ ２
，是减函数的是ｙ
＝
ｘ－１ ．
２．幂函数的图象及性质 （１） 一般地，当 α＞０ 时，幂函数 ｙ ＝ ｘα 有下列性质：
ａ．图象都通过点（０，０） 、（１，１） ；
ｂ．在第一象限内，函数值随 ｘ 的增大而增大；
ｃ．在第一象限内，α＞１ 时，图象是向下凸的，０＜α＜ １ 时，图象
（１）
→
不等式 ｆ（ ｘ） ≤０ 解集的子集
ａ，ｂ 的不等式
→ 分离变量得结论
（ ２ ） 考虑命题的否定，把存在性转化为任意性 →
分区间讨论去掉绝对值，利用 → 求补集得结论
函数的最值解决恒成立问题
解析 （１） 易知 Δ ＝ ａ２ －４ｂ＞０，由 ｘ２ ＋ａｘ＋ｂ≤０，
得－ａ－
ａ２ ２
－
４ｂ
≤ｘ≤
－
２ｂｘ
≤
３，
即
ｘ２ ２－ｘ
≤
２ｂ
≤
ｘ２２－＋ｘ３在 ｘ∈［ －１，１］ 上有解．令 ｔ ＝ ２－ｘ，则 ｔ∈［１，３］ ．
ｘ０
＝
－
ｂ ２ａ
｛ｘ ｜ ｘ≠ｘ０ ｝
⌀
ｋ＜ｘ１ ＜ｘ２
无解 Ｒ ⌀
ｘ１ ＜ｋ＜ｘ２
图象
充要条件 根的分布
ìîíïïïïｆΔ－（＞２ｋｂａ０）
＞０， ＜ｋ，
ｋ１ ＜ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｋ２
ìîíïïïïｆΔ－（＞２ｋｂａ０）
＞０， ＞ｋ，
ｋ１ ＜ｘ１ ＜ｋ２ ＜ｘ２ ＜ｋ３
ｆ（ｋ） ＜０ 在（ ｋ１ ，ｋ２ ） 内有且仅有一个根
无限地接近； ｄ．在第一象限内，过（１，１） 点后， ｜ α ｜ 越大，图象下降的速度
第二章 第三节二次函数与幂函数
解析 (1) x2＋ax＋b＝0 的两根为 1，3，函数 f(x)解析式为 f(x) ＝(x－1)( x－3)＝x2－4x＋3. f（0）＞0， 2 (2) 令 f(x)＝x ＋ax＋2b.由题意得 f（1）＜0， f（2）＞0. b＞0， 即a＋2b＜－1， a＋b＞－2.
高考AB卷
学法大视野
二次函数最值问题的解题方略
不等式恒成立问题
对于 f(x)≥0 在区间[a，b]上恒成立的问题，一般等价转化为 f(x)min≥0，x∈[a，b]. 对于 f(x)≤0 在区间[a，b]上恒成立的问题，一般等价转化为 f(x)max≤0，x∈[a，b]. 若 f(x)含有参数，则要对参数进行讨论或分离参数. 特别地： ①ax ＋bx＋c>0， a≠0 ②ax ＋bx＋c<0，a≠0
高考AB卷
学法大视野
2.二次函数的图象及其性质
a>0 图象 定义域 值域 R
4ac－b2 ，＋∞ 4a
a<0
R
2 4 ac － b －∞， 4a
对称轴
x＝
b 2a
高考AB卷
学法大视野
顶点 坐标 奇偶性
2 4 ac － b b － ， 2a 4a
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
b 在－∞，－2a上是 减 b 在－∞，－2a上是 增 b 函数；在 －2a，＋∞
单调性
b 函数；在 －2a，＋∞
上是增函数 最值 b 当 x＝－2a时， 4ac－b2 ymin ＝ 4a
1 1
答案
1 2
高考AB卷
学法大视野
第二章§2.3 二次函数与幂函数
( ] １－３
答案
１ ０，
２
解析 存在 ｘ１ ∈［０，３］，使得对任意的 ｘ２ ∈［０，３］，都有 ｆ（ ｘ１ ） ＝ ｇ（ ｘ２ ） ⇔｛ ｇ（ ｘ） ｜ ｘ∈［０，３］ ｝ ⊆｛ ｆ（ ｘ） ｜ ｘ∈［０，３］ ｝ ．
∵ ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ －４ｘ＋３ ＝ （ ｘ－２） ２ －１，ｘ∈［０，３］ ，
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ ａ＞０）
ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ ａ＜０）
对应学生用书起始页码 Ｐ２３
考点二 幂函数
１．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，五个常见的幂函数：ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，
１
ｙ ＝ ｘ３ ，ｙ ＝ ｘ ２ ，ｙ ＝ ｘ－１ 的图象如图所示．
图象
定义域 值域
（－∞ ，＋∞ ）
各有一个零点，
{ { ｆ（０）＝ ２ｂ＞０，
ｂ＞０，
∴ ｆ（１）＝ １＋ａ＋２ｂ＜０， 即 ａ＋２ｂ＋１＜０，
ｆ（２）＝ ４＋２ａ＋２ｂ＞０， ａ＋ｂ＋２＞０，
１－ ７
所以
Ｆ（
－１）
解得 ≥０，
３
≤ａ＜０．
综上可知，ａ
的取值范围为
éëêê
１－ ３
７
ö
，０ ÷
ø
．
（ ２） 根据题意知，ａ＞
１ ４
，且
｜
ｆ（１）
－ｇ（１）
｜
≤４ａ，
可得
１ ４
＜ａ≤
２ ３
，
所以 Ｆ（ｘ）＝ ｘ２ －（２ａ＋１）ｘ－３ａ２ 的图象的对称轴为直线 ｘ ＝ ａ
( ] ＋
１ ２
，且
ａ＋
１ ２
[ ] － ２５，－４ ４
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第三讲二次函数与幂函数
考点1二次函数
1.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()
A. B. C. D.
2.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a满足的条件是()
a.a≥8 B.a≤8 C.a≥4 D.a≥-4
3.[2018辽宁模拟]对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是()
A.{x|1<x<3}
B.{x|x<1或x>3}
C.{x|1<x<2}
D.{x|x<1或x>2}
4.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:
①当c=0时,f(x)是奇函数;②当b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根;③f(x)的图象关于点(0,c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实根.
其中正确的命题是()
A.①④
B.①③
C.①②③
D.②④
考点2幂函数
5.[2018包头市铁一中期末]若幂函数y=f(x)的图象过点(5,),则f(-)为()
A. B. C. D.-1
6.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是()
A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
7.若f (x )是幂函数,且满足 f 2,则f ( )=
( ) A. B. C.2 D.4
8.[2018福建模拟]若幂函数f (x )=x k 在(0,+∞)上是减函数,则k 可能是
( )
A.1
B.2
C.
D.-1
9.若四个幂函数y =x a ,y =x b ,y =x c ,y =x d 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a ,b,c,d 的大小关系是 ( )
A.d >c >b >a
B.a >b >c >d
C.d >c >a >b
D.a >b >d >c
答案
1.D 若a <0,则bc <0,由选项A 知c <0,此时b >0,二次函数的对称轴方程x =- >0,排除A.由选项B 知c >0,此时b <0,二次函数的对称轴方程x =- <0,排除B.若a >0,则bc >0,由选项C,D 知c <0,此时b <0,二次函数的对称轴方程x =- >0,排除C.选D.
2.A 函数图象的对称轴为x =2a ,由题意得2
a ≥4,解得a ≥8.故选A. 3.B 原题可转化为关于a 的一次函数y =a (x -2)+x 2-4x +4>0在a ∈[-1,1]上恒成立,
只需()()()⇒⎩⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-+-⨯+-+-1＜或2＞,2＜或3＞0＞4421
,0＞442-122x x x x x x x x x x x <1或x >3.故选B. 4.x 当c =0时,f (-x )=--x |-x |+b (-x )=-x |x |-bx = -f (x ),故f (x )是奇函数,①正确,排除D;当b =0,c >0时,令f (x )=x |x |+c =0,则当x ≥0时,x 2+c =0无解,当x <0时,f (x )= -x 2+c =0,x =- 只有一个实数根,②正确,排除A,B,选
C.
5.C ∵幂函数y =f (x )的图象过点(5, ),∴可设 f (x )=x α,∴5α=
,解得α=-1,∴f (x )=x -1. ∴f ( - )=f ( )=f ( )=( )-1= ,故选C.
6.D 设幂函数的解析式为f (x )=x α,将(3, )代入解析式得3α= ,解得α= ,所以f (x )=
x 21,故选
D. 7. B 设f (x )=x α,∵)
3()9(f f = =3α=2,∴f ( )=( )α=( )2α= = = .故选B. 8.D 由幂函数f (x )=x k 在(0,+∞)上是减函数及A,B,C,D 选项知D 符合.故选D.
9.B 由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x 轴,由题图知a >b >c >d ,故选B.。