平面向量线性运算的坐标表示
平面向量的线性运算知识点总结
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
高考数学 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 高考真题
专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。
8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算
第八讲 平面向量的坐标表示与线性运算一、引言本节主要内容：平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示等内容．通过本节学习，进一步加深对平面向量的认识，掌握通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决的方法，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想．本节学习要求：了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件，灵活运用平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示解决相关问题，发展运算能力和数形结合解决问题的能力．本节高考的热点是向量的概念、加法、减法，平面向量的坐标运算，两个非零向量平行的充要条件；试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算．在解答题中，一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中．在高考试题中，对平面向量的考查主要有：1．主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义；2．考查向量坐标表示，向量的线性运算；3．和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力；4．考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，侧重体现向量的工具性作用．二、考点梳理1．平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e λλ+=． 我们把不共线向量1e 、2e 做表示这一平面内所有向量的一组基底．注意：（1）基底不惟一，关键是不共线；（2）由定理可将平面内的任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式惟一，1λ、2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定的数．2．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=叫做向量a 和b 的夹角． 说明：（1）向量a 和b 的夹角的范围是0180θ≤≤︒．当0θ=︒时，a 和b 同向；当180θ=︒时，a 和b 反向；（2）当90θ=︒时，我们说向量a 和b 垂直，记作a b ⊥．3．平面向量的正交分解和坐标表示（1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．（2）在直角坐标系内，如图，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作：(,)a x y =．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为),(y x ．特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=．如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =，则点A 的位置由a 唯一确定． 设OA xi yj =+，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一有序实数对唯一表示．4．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则1122()()a b x i y j x i y j +=+++，由向量线性运算的结合律和分配律，可得：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++，即1212(,)a b x x y y +=++，同理可得b a -),(2121y y x x --=．即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．a λ11()x i y j λ=+11x i y j λλ=+，即11(,)a x y λλλ=即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则①()22112121(,)(,),AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．②若P 是线段AB 的中点，则由向量的线性运算可知：12121()(,)222x x y y OP A OB ++=+=，即点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 5．平面向量共线的坐标表示设11(,)a x y =，22(,)b x y =，其中0b ≠．我们知道，a 、b 共线当且仅当存在实数λ，使a b λ=．如果用坐标表示，可以写为1122(,)(,)x y x y λ=，即1212,.x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ后得12210x y x y -=．这就是说，当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、(0)b b ≠共线．注意：（1）消去λ时不能两式相除，因为1y ，2y 有可能为0．∵0b ≠，∴2x ，2y 中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成2211x y x y =，因为1x ，2x 有可能为0； 三、典型例题选讲例1 已知a 是以点(3,1)A -为起点，且与向量(3,4)b =-平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 ．解：方法一：设向量a 的终点坐标是(,)x y ，则(3,1)a x y =-+，则题意可知224(3)3(1)0311x y x y -++=⎧⎨+=⎩（－）（＋），解得：12,515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或18,595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故填121,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方法二：与向量(3,4)b =-平行的单位向量是1(3,4)5±-，故可得34,55a ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，从而向量a 的终点坐标是(,)(3,1)x y a =+-，便可得结果．归纳小结：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；②与a 平行的单位向量||a e a =． 例2 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a =b ，b =c ，则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ，其中正确的序号是 ．解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB DC =，∴||||AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC =，因此，AB DC =． ③正确．∵a =b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．④不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆．例3（08海南宁夏卷）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈， b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+= 解析：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ．归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质．例4 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α，R β∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．32110x y +-=B ．22(1)(2)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-=解析：解法1：设(,)C x y ，则(,)(3,)(,3)(3,3)x y ααββαβαβ=+-=-+. ∴3,3.x y αβαβ=-⎧⎨=+⎩ 又1αβ+=．∴41x α=-，23y α=-+．消去参数α，得点C 的轨迹方程为250x y +-=．解法2：利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程250x y +-=，故本题应选D ．归纳小结：本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富．例5 如图，在ABC △中，C 、D 是AB 的三等分点，1OA e =，2OB e =，则OC = ，OD = ．分析：以OA ，OB 为基底，借助C 、D 是AB 的三等分点，由平面向量的基本定理可以将OC 、OD 线性表出．解：因为C 、D 是AB 的三等分点，所以13AC AB =，13BD AB =-． 12112121()333333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB e e =+=+=+-=+=+． 12111212()333333OD OB BD OB AB OB OB OA OA OB e e =+=-=--=+=+． 归纳小结：若C 是AB 的中点，则121122OC e e =+的结论是显然的，这里给出了AB 的三等分点C 、D ，向量OC 、OD 与OA 、OB 的关系，从中我们不难猜想AB 的四等分点、五等分点，……时的情况，这些规律可以作为结论记下来．例6（2009北京卷理）已知向量a 、b 不共线，()c ka b k R =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向解析：解法一：取(1,0)a =，(0,1)b =．若1k =，则(1,1)c a b =+=，(1,1)d a b =-=-，显然，c 与d 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则(1,1)c a b =-+=-，(1,1)d a b =-=-，即c d ∥且c 与d 反向，排除C ，故选D ．解法二：若c d ∥，则存在R λ∈，使得c d λ=，即ka b a b λλ+=-，从而有()(1)0k a b λλ-++=，因为向量a 、b 不共线，由平面向量基本定理可得，0k λ-=，10λ+=，即1k λ==-，且c 与d 反向．故选D ．归纳小结：本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法属于基础知识、平面向量基本定理等基础知识，侧重基本方法、基本运算的考查．例7 已知平面上三点(2,1)A -、(1,3)B -、(3,4)C ，求点D 的坐标，使得这四点能够成平行四边形的四个顶点．分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情况分别求解．解：（1）当平行四边形为ABCD 时，因为AD BC =，所以(4,1)(2,1)x y =+-．所以2,2x y ==，即(2,2)D ；（2）当平行四边形为ACDB 时，因为BA DC =，所以(1,2)(3,4)x y --=--．所以4,6x y ==，即(4,6)D ；（3）当平行四边形为DACB 时，因为DA BC =，所以(4,1)(2,1)x y =---．所以6,0x y =-=，即(6,0)D -．归纳小结：没有指明平行四边形顶点顺序时，要分情况讨论．例8 设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，(0,2)A ，(0,2)B -且()GH AB R λλ=∈．（1）求点(,)C x y 的轨迹E 的方程；（2）过点(2,0)作直线l 与曲线E 交于点M 、N 两点，设OP OM ON =+，是否存在这样的直线l ，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由．分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系；（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k 的值．解：（１）由已知得(,)33x y G ,又GH AB λ=，∴(,0)3xH ．∵CH HA =，∴222()()433x x x y -+=+，即221(124x y x +=≠±． （2）设l 方程为(2)y k x =-，代入曲线E 得：2222(31)1212(1)0k x k x k +-+-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则x 1+x 2=221231k k +，x 1x 2=2212(1)31k k -+． ∵OP ON OM =+，∴四边形OMPN 是平行四边形．若四边形OMPN 是矩形，则ON OM ⊥．∴12120x x y y +=，∴222222212(1)12(1)24(4)0313131k k k k k k k --+-+=+++，得k =∴直线l 为：2)y x =-．归纳小结：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题，注重数学知识之间联系的考查，解题时应充分考虑基础知识的结合点，灵活应用基本方法解决问题．四、本专题总结向量有了运算，变得威力无限．今后高考的考查会逐渐加大，综合性会更强．向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁．因此，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势，以后必须非常重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理解、运用熟练的程度．。
平面向量的坐标表示和向量方程
平面向量的坐标表示和向量方程平面向量是在平面上可平移的有向线段，用来表示平面上的大小和方向。
在解决平面向量问题时，我们常常需要使用坐标来表示向量和向量方程。
一、平面向量的坐标表示一般情况下，我们使用平面直角坐标系来表示平面向量。
在二维平面直角坐标系中，一个平面向量可以由其水平和垂直方向的分量表示。
假设有一个向量AB，它的起点为A(x1, y1)、终点为B(x2, y2)，则向量AB的表示形式为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，x2 - x1表示水平方向的分量，y2 - y1表示垂直方向的分量。
这种表示方式也被称为坐标表示。
二、向量方程向量方程是通过向量的起点和终点表示的方程，通常用于描述平面上的直线、曲线等几何问题。
对于平面向量的方程，一般形式如下：r = a + λb其中，r是位于平面上的任意一点的位置向量，a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
解析上述向量方程，可以得到点P(x, y)的坐标表示：OP = a + λb这里，P(x, y)是位于平面上的任意一点，O是坐标系的原点。
a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
通过这种向量方程的表示方法，我们可以方便地描述平面上的直线、曲线以及其他几何形状。
三、平面向量的基本运算1. 向量加法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的和记作a + b，其坐标表示为(x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量减法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的差记作a - b，其坐标表示为(x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘运算：对于平面上的一个向量a(x, y)和一个实数k，它们的数乘记作k * a，其坐标表示为(kx, ky)。
通过以上基本运算，我们可以对平面向量进行加法、减法和数乘运算，从而解决各种与平面向量相关的问题。
四、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是在力学、动力学和几何形状的描述中。
2.4.2向量线性运算的坐标表示(中职)
= ( + (−）, − + )
= (, −)
（2） − = (, −) + (−, )
= ( − (−）, − − )
= (, −)
() − = (, −) − (−, )
= (, −) − (−, )
= (, −)
例5.如图,正六边形的中心在坐标原点,边长为2,CF,在轴上.
∴ 与是否共线
变式：已知 = (, ), = (, ), 且 //, 求实数
1.已知向量 、的坐标,分别求 + 、5 − 的坐标.
（） = (−, ), = (, )
解：（1） + = (−, ) + (, )
= (, )
为轴、轴正方向上的单位向量).
则： + = ( Ԧ + Ԧ) + ( Ԧ + Ԧ)
= ( + )Ԧ + ( + )Ԧ
即 + = ( + , + )
同理可得 , − = ( − , − )
. 已知 = (, −), = (, ), 且 //, 求 −
. 已知 = (, ), = (, −), 且（ + ）//, 求实数
= ( , )
这说明,两个向量和（差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差）.
实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积.
例4.设 = (, −), = (−, ),求: () + ; () − ; () − .
解：（1） + = (, −) + (−, )
= Biblioteka + = (, ) + (, )
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
平面向量的坐标表示与线性运算
平面向量的坐标表示与线性运算平面向量是平面上一个有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。
在数学中，可以通过坐标表示来描述平面向量，这种表示方法可使计算和运算更加方便。
一、平面向量的坐标表示平面中的向量可以由两个有序实数对表示，根据坐标轴的方向，通常用(x, y)表示平面向量。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
这种表示方法类似于笛卡尔坐标系中的点的表示方法。
例如，有一个向量a，它的起点在原点(0, 0)，终点在点A(x1, y1)上。
那么这个向量的坐标表示就是(a1, a2) = (x1, y1)。
其中，a1 = x1，a2 =y1。
同样地，对于任意两个平面向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2)和(b1, b2)。
二、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量相加得到一个新的向量。
加法的运算规则如下：(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)通过向量的加法，可以得到一个新的向量，它的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
这个新的向量叫做"和向量"。
2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘的运算规则如下：k(a1, a2) = (ka1, ka2)通过向量的数乘，可以得到一个新的向量，它的起点与原向量相同，终点在与原向量方向相同（若k>0）或相反（若k<0）的位置。
这个新的向量也叫做"倍数向量"。
三、例题解析假设有向量a = (3, -2)和向量b = (1, 4)，我们来进行一些常见的线性运算。
1. 向量的加法a +b = (3, -2) + (1, 4) = (3 + 1, -2 + 4) = (4, 2)2. 向量的数乘2a = 2(3, -2) = (2 * 3, 2 * -2) = (6, -4)-3b = -3(1, 4) = (-3 * 1, -3 * 4) = (-3, -12)通过以上例题可以看出，平面向量的坐标表示和线性运算在数学中有着广泛的应用。
1-4-2 向量线性运算的坐标表示(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）推导过程：＝（ + ）＝ + ＝（，）.
例 3 已知＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），若＝ + ，则 + ＝
解析
由题意知，＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），
则＝ + ＝(−1，3) + （5，2）＝（ − + 5，3 + 2）＝ 3，2 ，
又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线.
（2）解：若A，B，C三点共线，则， 共线.
∵＝- ＝（4 − ， − 7），＝- ＝（10 − ， − 12），
∴ （4 − ）（ − 12） + 7（10 − ）＝0.解得＝ − 2或＝11.
故当＝ − 2或＝11时，A，B，C三点共线.
（2）若向量起点和终点的坐标未知，则可利用向量的线性运算，转化为已知坐标的向量，通过运算求向
量坐标.
2.平面向量坐标运算的技巧
（1）已知向量的坐标，则直接利用向量加、减及向量数乘运算的坐标运算法则求解.
（2）解题过程中，常利用相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，要重视方程思
想的应用.
8
A. 1, 3
B.
13 8
,
3 3
C.
13 4
,
3 3
D. −
13
4
,
−
3
3
（2）已知 + ＝（2，-8）， − ＝（-8，16），则＝（-3，4） ，＝ （5，-12） .
1
3
2
3
解析 （1）由题意，得＝ （2 − ）＝ −
1
，∴
3
2
3
_新教材高中数学第9章平面向量3
方法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形， 所以A→B ＝D→C ，即O→B －O→A ＝O→C －O→D ， 所以O→D ＝O→A ＋O→C －O→B ＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)， 即D点的坐标为(0，－2). 答案：(0，－2)
三、解答题 6.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象 限，D为AC的中点，分别求向量A→B ，A→C ，B→C ，B→D 的坐标．
4．在下列各题中，已知向量a，b的坐标，分别求b＋a，b－a的坐标： (1)a＝(3，5)，b＝(－2，1)； (2)a＝(1，－6)，b＝(－6，5). 【解析】(1)b＋a＝(－2，1)＋(3，5)＝(－2＋3，1＋5)＝(1，6).b－a＝(－2，1)－ (3，5)＝(－2－3，1－5)＝(－5，－4). (2)b＋a＝(－6，5)＋(1，－6)＝(－6＋1，5－6)＝(－5, －1).b－a＝(－6，5)－(1， －6)＝(－6－1，5－(－6))＝(－7，11).
2．已知M(2，－1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为
()
A．(－2，11)
B．43，3
C．32，3
D．(－2，12)
【解析】选A.因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，所以M→P ＝2N→P ，
则O→P －O→M ＝2(O→P －O→N )，
所以O→P ＝2O→N －O→M ＝2(0，5)－(2，－1)，
特例 i＝__1_，__0___，j＝__0_，__1___，0＝__(0_，__0_)___
2.向量线性运算的坐标表示
条件 结论
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a＋b＝(_x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_)； a－b＝(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2_)；λa＝(λx1，λy1)
认识简单的平面向量向量的线性运算与位置关系
认识简单的平面向量向量的线性运算与位置关系平面向量是数学中的重要概念，它在几何学、物理学等多个领域中都有广泛应用。
本文将着重介绍平面向量的线性运算和位置关系，帮助读者更好地理解和运用向量的相关知识。
一、平面向量的定义和表示方法在平面上，向量可以用有序数对表示。
设有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，向量AB可以表示成(a, b)，其中a = x₂ - x₁，b = y₂ - y₁。
这里(a, b)称为向量的坐标表示。
二、向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数乘两种运算。
1. 向量的加法设有两个向量A(a₁, a₂)和B(b₁, b₂)，则它们的和可以表示为C(a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的数乘设有一个向量A(a₁, a₂)和一个数k，向量A的数乘可以表示为kA(ka₁, ka₂)。
向量的数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k +l)A = kA + lA，k(lA) = (kl)A。
三、向量的位置关系向量的位置关系包括共线、平行和垂直三种情况。
1. 共线向量若两个非零向量A和B在同一直线上或反向同一直线上，则称它们为共线向量。
共线向量具有如下性质：- 若A和B共线，则存在一个实数k，使得A = kB。
- 若A和B同向共线，则k为正数；若A和B反向共线，则k为负数。
2. 平行向量若两个非零向量A和B的方向相同或相反，则称它们为平行向量。
平行向量具有如下性质：- 若A和B平行，则存在一个实数k，使得A = kB。
- 若A和B同向平行，则k为正数；若A和B反向平行，则k为负数。
3. 垂直向量若两个非零向量A和B的数量积为0，则称它们为垂直向量。
即A·B = 0。
垂直向量具有如下性质：- 若A和B垂直，则它们不共线。
- 若A和B分别是x轴和y轴的单位向量，则A和B垂直。
向量线性运算的坐标表示PPT课件
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算
二．考点梳理 1．平面向量基本定理：如果 e 1 、e 2 是同一 平面内的两个不共线向量，那么对这一平
面内的任一向量 a ，有且只有一对实
数 1 、 2 ，使 a1e12e2 ．我们把不
共线向量 e 1 、e 2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底．
注意:
（1）基底不唯一，关键是不共线；
， O，D OD
OO
==
．．
A A C CD D B B
分析：以 OA ，OB 为基底，借助 C 、D 是 AB
的三等分点，由平面向量的基本定理可以将 OC 、 OD 线性表出．
解：因为 C 、 D 是 AB 的三等分点，所以
AC 1 AB ， BD 1 AB ,
3
3
OC OA AC OA 1 AB OA 1 (OB OA)
② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若 a b ， b = c ，则 a = c ；
④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ；
⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a // c ，其中正确的序 号是
4．平面向量的坐标运算 （1）若 a(x1,y1)，b(x2,y2) ， 则 a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ，由向量线性 运算的结合律和分配律，可得
a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j
这样，平面内的任一向量 a 都可以由 x 、y
唯一确定，我们把有序数对( x , y ) 叫做向量
a 的（直角）坐标，记作：a(x,y).
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。
它通常用有序数对表示，即(x,y)。
其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。
平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。
1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。
加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。
数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。
3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。
减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。
用符号表示为A·B。
数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。
【新高考数学】平面向量(含答案解析)
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若 a
，b
满足
a
b
且 a 与 b 同向，则 a
b
；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若 a ∥ b，b ∥ c ，则 a∥c ．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2.巩固提升综合练习 【练习 1】给出下列命题：
量线性运算求参数.解题过程中应注意：
1.例题
【例 1】在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB （ ）
A. 3 AB 1 AC 44
B. 1 AB 3 AC C. 3 AB 1 AC
44
44
【例 2】在梯形 ABCD 中，A→B＝3D→C，则B→C等于( )
B.1
3
2
C.2
D.3
3
4
【练习 2】设向量 a ， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _________．
【四】平面向量基本定理及应用
1如.平果面e1向，量e2基是本一定平理面: 内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 a ，有且只有一对实数 1，2 ，使 a 1e1 2e2 .其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
D. 1 AB 3 AC 44
A．－1A→B＋2A→D 33
B．－2A→B＋4A→D 33
C.2A→B－A→D 3
D．－2A→B＋A→D 3
2.巩固提升综合练习
【练习
1】在正方形
ABCD
中，
E
为
DC
的中点，若
2023年新高考数学大一轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示(解析版)
专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示【考点预测】 一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ． （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算①交换律b b a =+②结合律 )a b c ++=(a b c ++a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a b 的差 ()a b a b -=+-求实数λ与a 的积的运算（|||||a a λ=（0λ>时，a λ与a 的方向相同；当λ<a λ与a 的方向相同；时，0a λ=()()a a λμλμ=)a a a λμλμ+=+（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -=，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=．三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2．平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e eλλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． 3.线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．4.三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5.中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．四．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||(AB x = ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，21||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【方法技巧与总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++=．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+，当且仅当,b a 至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤±或||||||a a b b ±≤+当且仅当,b a 至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．【题型归纳目录】题型一：平面向量的基本概念 题型二：平面向量的线性表示 题型三：向量共线的运用 题型四：平面向量基本定理及应用 题型五：平面向量的直角坐标运算【典例例题】题型一：平面向量的基本概念例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（ ） A ．正方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明AB DC =，且//AB DC ，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD 中， AB DC =，所以AB DC =，且//AB DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可． 【详解】对于①，向量AB 与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b 为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD 是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B ．例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量； ④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB →，CD →为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，则（ ） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，c 方向相同 C ．b ，c 方向相同 D ．a ，b ，c 两两互不共线【答案】A 【解析】 【分析】根据230a b c ++=，得32c a b =--，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出a,b 0<>=，解得a ，b 方向相同.【详解】因为230a b c ++=， 所以32c a b =--， 所以22(3)(2)c a b =--， 所以222944?c a b a b =++， 所以9144cos ,a b a b =++<>， 所以4411cos ,a b =⨯⨯<>， 所以cos ,1a b <>= 所以a,b 0<>=， 所以a ，b 方向相同， 故选：A.例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量()4,3a =，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为（ ） A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得． 【详解】易知(3,4)b =-是与a 垂直的向量，5b =，所以与b 平行的单位向量为134(,)555b =-或134(,)555b -=-，故选：D ．例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．0BC BA DC AD ---=C ．若向量,a b 是非零向量，则a b a b a +=+⇔与b 方向相同D ．向量a 与()0b b ≠共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使λa b 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】向量不等比较大小，故A 选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B 选项错误. a b a b a +=+⇔与b 方向相同，C 选项正确.根据向量共线的知识可知D 选项正确. 故选：CD例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD 的形状，判断正确的有（ ） A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形 B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形C ．若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为菱形 D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【答案】AB 【解析】 【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A ；依据梯形判定定理判断选项B ；依据菱形判定定理判断选项C ；依据正方形判定定理判断选项D.【详解】选项A ：若AD BC =，则//AD BC ，=AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形.判断正确； 选项B ：若13AD BC =，则//AD BC ，AD BC ≠，则四边形ABCD 为梯形. 判断正确；选项C ：若AB AD AB AD +=-，则2240AB AD AB AD AB AD -=+⋅=-，则AB AD ⊥，即90BAD ∠=.仅由90BAD ∠=不能判定四边形ABCD 为菱形.判断错误；选项D ：若AB DC =，则//AB DC ，=AB DC ，则四边形ABCD 为平行四边形， 又由AC BD ⊥，可得对角线AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 为菱形. 判断错误. 故选：AB例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ） A ．若a b =，则a b =或a b =- B ．若ma mb =，m R ∈，则a b = C ．若//a b ， //c b ，则//a cD ．若0ma =，m R ∈，则0m =或0a = 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A ，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，无法推出这两点，故B 不正确；对于C ，当0b =时，选项不正确；对于D ，00ma m =⇒=或0a =，即可得到D 错误.【详解】对于A ，若a b =，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A 不正确； 对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，满足0ma mb ==， a 和b 的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B 不正确；对于C ，若//a b ， //c b ，当0b =时，满足//a b ， //c b ，但是不满足//a c ，故C 错误； 对于D ，00ma m =⇒=或者||0a =，即0m =或0a =，故D 错误； 故选：ABCD.【方法技巧与总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.题型二：平面向量的线性表示例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（ ）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +【答案】B【解析】 【分析】设,AB m AD n ==，根据向量的线性运算，得到11()()22BD x y n x y m =+--，结合BD n m =-，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】如图所示，设,AB m AD n ==，且BD xa yb =+，则1111()()()()2222BD xa yb x n m y n m x y n x y m =+=⋅-+⋅-=+--，又因为BD n m =-，所以112112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22,33x y ==，所以2233BD a b =+.故选：B.例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD - B．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，ABCD 中，AB a =，AD b =，点E 是AC 的三等分点13⎛⎫=⎪⎝⎭EC AC ，则DE =（ ）A ．1233a b -B ．2133a b -C ．1233a b +D ．2133ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 2221()3333DE AE AD AC AD AB AD AD a b =-=-=⋅+-=- 故选：B.例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 ()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（ ）A ．AD DB OB OA +=-B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅【答案】C【解析】【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断【详解】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确，对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确，对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误， 对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确． 故选：C 例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AH AG +=D ．23BO BH BG += 【答案】D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误.【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误； ()112333AO AH AG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BH BG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b +-B ．23a b +-C ．23a b --D ．23a b -- 【答案】B【解析】【分析】 根据题意得()13AF AC AD =+，再分析求解即可. 【详解】如下图所示，连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点，因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心，所以()()112333a b AF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE =（ ）A ．1133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．2233AB AC + 【答案】C【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算，即可得出结论.【详解】解：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以13BE BC =， 所以1121()3333AE AB BE AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+； 故选：C.例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当2AB =时，1BD =，则下列结论正确的为（ ）A ．DE DH =B ．0AF BJ ⋅=C ．51AH AB +=D ．CB CD JC JH +=- 【答案】AB【分析】连接DH ，AF ，CH ，BH ，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A ，连接DH ，如图，由DF =FH ，108DFH ∠=得：36DHF E ∠==∠，DE DH =，A 正确；对于B ，连接AF ，由,AD AH FD FH ==得：AF 垂直平分DH ，而//BJ DH ，即AF BJ ⊥，则0AF BJ ⋅=，B 正确； 对于C ，AH 与AB 不共线，C 不正确；对于D ，连接CH ，BH ，由选项A 知，DH DE BC ==，而//BC DH ，则四边形BCDH 是平行四边形， CB CD CH JH JC +==-，D 不正确.故选：AB【方法技巧与总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b=成立的充分条件是（ ）A ．a b =且a b ∥B ．a b =-C ．a b ∥D ．2a b = 【答案】D【解析】根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出．【详解】对于A ，当a b =且a b ∥时，a a b b =或a b a b =-，A 错误； 对于B ，当a b =-时，a b a b =-，B 错误； 对于C ，当a b ∥时，a ab b =或a b a b =-，C 错误； 对于D ，当2a b =时，a a b b =，D 正确．故选：D ． 例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（ ）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】 【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确；对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确；对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确；对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ，又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选：D 例20．（2022·全国·高三专题练习）已知1e ，2e 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）①15a e =，17b e =；②121123a e e =-，1232b e e =-； ③12a e e =+，1233b e e =-．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】【分析】 根据平面向量共线定理得到，对于①57a b =，故两向量共线；对于②16a b =，故两向量共线；对于③不存在实数λ满足λa b ，故不共线.【详解】对于①15a e =，17b e =，57a b =，故两向量共线； 对于②121123a e e =-，1232b e e =-，16a b =，故两向量共线； 对于③12a e e =+，1233b e e =-，假设存在,a b λλ=⇒()121233e e e e λ=-+()()123131e e λλ⇒-=+，因为1e ，2e 是不共线向量，故得到3131λλ-=+无解.故选：A.例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解. 【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+， 因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-， 故选：C ．例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且23AM AB =，13AN AC =，D ，E 是线段BC 上的两个动点，且(,)AD AE x AM y AN x y +=+∈R ，则12x y+的的最小值是（ ）A ．4B ．43C ．94D ．2【答案】B【解析】【分析】 根据平面向量共线定理可设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，再结合AD AE x AM y AN +=+得26x y +=，最后运用基本不等式可求解.【详解】设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，则AD AE mAB nAC AB AC λμ+=+++=3()()()3()2m AB n AC m AM n AN λμλμ+++=+++x AM y AN =+，3()2m x λ+=，3()n y m μλ+=⇒+=23x ，13n y μ+=，21222633m n x y x y λμ+++=⇒+=⇒+=.所以12112(2)6x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭14142222663y x x y ⎛⎛⎫+++≥++= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当32x =，3y =时等号成立. 所以12x y +的的最小值是43. 故选：B例23．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据向量共线定理得推论得到21x y +=，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以21x y +=，故()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立， 故选：A例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ）A ．53-B ．53C ．35D ．35【答案】A【解析】【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理．【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =- 故选：A ．例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量a ，b ，且2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】【分析】 由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，选项A ，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B ，D 三点共线，则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确；选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得λ不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，C ，D 三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；选项D ，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，即48(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若||||a b =，则a b =；②若A B C D 、、、是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b =，b c =，则a c =；④a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ．其中正确命题的序号是________ ．【答案】②③##③②【解析】【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB DC = 等价于//AB DC 且AB DC =，即等价于四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；对于③，若a b =,b c =，则a c =，显然正确，故③正确；对于④，由a b =可以推出||||a b =且//a b ，但是由||||a b =且//a b 可能推出a b =-，故“||||a b =且//a b ”是“a b =”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当0b =时，//a b ，//b c ，但推不出//a c ，故⑤不正确.故答案为：②③例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1+【解析】【分析】 先利用条件找到12133λμ+=，则12()33λμλμλμ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =， ∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()113333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即λμ=∴λμ+的最小值为1故答案为：1例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3【解析】【分析】以,AN AM 为基底，由G 是ABC ∆的重心和M ，G ，N 三点共线，可得11=133x y+，即求. 【详解】 根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则9x yxy+的最小值为______．【答案】8 【解析】 【分析】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=， 再利用乘“1”法求解最值. 【详解】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >． ∴991191191()()(10)(10)8222x y y x y xx y xy x y x y x y x y+=+=++=+++= 则9x yxy+的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法.. 例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e ，2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d a b λμ=+与c 共线？【答案】存在 【解析】 【分析】由已知得12(22)(33)d e e λμλμ=++-+，所以要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，从而得222339k k λμλμ+=⎧⎨-+=-⎩，进而可求得结果【详解】因为向量1223a e e =-，1223b e e =+， 所以1212(23)(23)d a b e e e e λμλμ=+=-++12(22)(33)e e λμλμ=++-+要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =， 即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，即222339kkλμλμ+=⎧⎨-+=-⎩得2λμ=-. 故存在这样的实数λ，μ，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线.【方法技巧与总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC （R λ∈）.若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC .题型四：平面向量基本定理及应用例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．若2AD =，(32)7AO AD AB ⋅-=-，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】先以AB AD 、为基底表示AO ，再利用向量的数量积把(32)7AO AD AB ⋅-=-转化为关于AB 的方程，即可求得AB 的长【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ． 设(01)DO DE λλ=<<， (01)BO BF μμ=<<则11++122AD DO AD DE AD AB AD AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1)33AB BO AB BF AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭由AO AD DO AB BO =+=+，可得2(1)3AB AD μμ-+112AD AB λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则112213λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解之得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3142AO AD DO AD AB =+=+则22(32)(33194242)7AO AD AB AD AB AD A AD AB B ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⋅-=⎭-=-又2AD =，则279AB -=-，解之得4AB ，即AB 的长为4故选：C例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（ ） A ．AB AC + B．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答. 【详解】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点， 所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D例33．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD 上一点，14BM tBA BC =+，则t =（ ）A ．12 B ．23C ．34 D ．58【答案】D 【解析】 【分析】 求得1233AD AB AC =+，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出3144AM AB BM t AB AC ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，根据平面向量的基本定理可得出关于λ、t 的方程组，即可解得t 的值.【详解】因为2BD DC =，则()2AD AB AC AD -=-，所以，1233AD AB AC =+， ()131444AM AB BM AB t AB AC AB t AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭， 因为M 是线段AD 上一点，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，所以，13342134t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3858t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D.例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在ABCD 中，M 为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＋n ＝（ ）A ．1B ．43 C ．53D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求,m n 的值. 【详解】1122AM AB BC AB AD =+=+，而BD AD AB =-，故()12AC m AB AD n AD AB ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2m m n AB n AD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+且,AB AD 不共线，故4153{13123m n m m n m n n ⎧-==⎪⎪⇒⇒+=⎨+=⎪=⎪⎩， 故选：C.例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且均为靠近B 的四等分点，CD 与AE 交于点F ，若BF xAB yAC =+，则3x y +=（ ）A ．1-B ．34-C ．12-D ．14-【答案】A 【解析】 【分析】由题意推出DE AC ∥，可得14DF DE FC AC ==，推出15DF DC =，根据向量的加减运算，用基底,AB AC 表示出BF ，和BF xAB yAC =+比较，可得,x y ，即得答案.【详解】 连结DE ，由题意可知，14BD BE BA BC ==， 所以DE AC ∥，则14DE BD AC BA ==， 所以14DF DE FC AC ==，所以14BD AB =-，34DC AC AD AC AB =-=-， 则1135520DF DC AC AB ==-， 故11321452055BF BD DF AB AC AB AB AC =+=-+-=-+， 又BF xAB yAC =+，所以25x =-，15y =，则31x y +=-，故选：A例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.【解析】 【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.【详解】 因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上， 所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形， 所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP =例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB ACλμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．【答案】13-【解析】 【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD DC =，得()2233BD BC AC AB ==-， 所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++， 因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-【方法技巧与总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理： A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点.题型五：平面向量的直角坐标运算例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+。
2024年新高考版数学专题1_6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
零向量和共线向量不能作基底.
2.平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
3.向量的坐标表示
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB
=(x2-x1,y2-y1).
1 2
( BD
- BA )= BA +
1 4
BC
-
1 2
BA =
1 2
BA +
1 4
BC
,∴D
错误.故选AC.
答案 AC
考法二 向量共线问题的求解方法
1.两非零向量共线是指存在实数λ,使两向量可以相互表示,在应用时注意
待定系数法和方程思想的应用.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线和三点共
λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1、e2}叫做表示这个平 面内所有向量的一个基底.
答案 6
高考 数学
专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
考点一 平面向量的概念及线性运算 1.向量的线性运算
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所以
x=0 y=-4
顶点D的坐标为(0.-4)
1 已知点A、B的坐标分别为(-1,2),(2,8),AC 1 AB, DA 1 BA,
3
3
求向量 C D 的坐标.
解：依题意，得 AB(3,6)
C D A D A C
1 BA 1 AB 33
2 AB 3
2 (3,6) 3
(2, 4)
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (1,0),(0,2),(-1,-2),求顶点D的坐标.
解 设D点的坐标为(x,y).由图知AB=DC,所以
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y)
y
即 (-1,-2)=(-1-x,-2-y),
B
所以
-1-x=-1 -2-y=2
A (2 ,4 ),B ( 3 ,9 ), A B ( 3 2 ,9 4 ) , ( 5 ,5 )
3 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3)，以 A B ,A C 为 一 组 基 底 来 表 示 A DB D +C D
解： A B ( 1 , 3 ) , A C ( 2 , 4 ) , A D ( 3 , 5 ) , B D ( 4 ,2 ),C D ( 5 ,1 )
４.2 平面向量线性运算的 坐标表示
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得
a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标 的和与差。
这就是说，一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始 点的相应坐标。
例2 已知a＝(3,4)，b＝(-1,4)，求a+b，a-b， 2a-3b的坐标.
解：a+b= (3,4)+(-1,4)=(2,8)， a-b = (3,4)-(-1,4)=(4,0)， 2a-3b =2 (3,4)-3(-1,4)=(6,8)+(3,-12)=( 9,-4)
m2n12
所以
3m4n8
m 32
解得
n 22
A D B D + C D 3 2 A B 2 2 A C
（1）向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差。
（2）实数与向量的积的坐 标分别等于实数与向量的相应坐 标的乘积。 （3）一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相 应坐标。
设λ∈R，则 λa= λ(x1i+y1j)= λx1i+ λy1j
即
λa=(λx1 , λy1)
这就是说，实数与向量的积的坐 标分别等于实数与向量 的相应坐标的乘积。
y B(x2,y2) y1
A(x1,y1)
y2
x2 O
x1
x
如图,给定点A(x1,y1), B(x2,y2),则
AB O BO A(x1,y2)(x1,y1) (x2x1,y2y1)
A D B D + C D ( 3 , 5 ) ( 4 , 2 ) ( 5 , 1 ) (12,8)
根据平面向量基本定理，一定存在实数m,n,使得
A D B D + C D m • A B n • A C ( 1 2 ,8 ) m ( 1 ,3 ) n (2 ,4 )
即 ( 1 2 ,8 ) (m 2 n ,3 m 4 n )
2 若点 O(0,0),A(1,2),B(-1,3)，且 OA2OA, OB3OB,
求点A , B 的坐标，以及向量 AB 的坐标.
解： O (0 ,0 ),A (1 ,2 ),B ( 1 ,3 )
OA(1,2) OB(1,3) O A 2 (1 ,2 ) (2 ,4 ) O B 3 ( 1 ,3 ) ( 3 ,9 )