灰色预测模型-GM

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基于GM_(0,n)灰色预测模型的构造预测及定量评价

的预测评价结果,基于对井田构造发育规律的充分
分析,选取最优评价指标,结合灰色模糊综合评价
和灰色系统建模的方法对井田未采区域地质构造的
复杂程度进行了量化研究和综合评价.
１井田概况
芦岭井田位于宿东向斜西南翼的东南段,含煤
地层为石炭、二叠系,主采８＃、９＃、１０＃煤层.斜
切断层在井田内较为发育,走向以 NNE、NE 向为
度.
(
３)
(
２)断层强度 (
F).它反映断裂构造的发育程
t
２定量评价指标的确定
作为定量评价地质构造复杂程度的基础,评价
指标的确定直接关系到评价结果的准确性.鉴于不
同区域不同井田多样化的构造条件以及开采方式、
生产机械化程度的差异,统一的指标体系套用是不
可取的,必须与矿井实际情况紧密结合.在此基础
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GM(1_1)模型,灰色预测

小额贷款远程智能预警系统人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。

目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。

灰色模型的优点（一）不需要大量的样本。

（二）样本不需要有规律性分布。

（三）计算工作量小。

（四）定量分析结果与定性分析结果不会不一致。

（五）可用于近期、短期，和中长期预测。

（六）灰色预测精准度高。

二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。

灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。

同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。

因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。

GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。

文天灰色预测模型-GM

常用的灰色预测有五种：
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
x (0)(N ) ax (1)(N ) u.
把ax(1) (i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
x(0) (2)
[
x(1)
(2),
1]
a u
x
(
0)
(3)
[
x(1)
(3),
1]
a u
(5)
x(0)
(
N
)
[
x(1)
(
N
),
1]
a u
由于x (1)
t
涉及到累加列 x(1)
当k 1, 2, , N 1时，由(8)式算得的
(8) xˆ(1) (k 1) 是拟合值；
当k N时，xˆ(1) (k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列
x(1) 的拟合值，用后减运算还原，当k 1, 2, , N 1时，
就可得原始序列 x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
【例2】表2列出了某公司1999—2003年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。
【例2】表2列出了某公司1999—2003年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。
表2 逐年销售额（百万元）
年份序号

灰色预测模型

灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题（所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。

二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即：由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。

一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。

软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。

(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。

我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。

一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。

灰色系统预测GM(1,m)

灰色GM （1,1）模型及其原理1灰色GM （1,1）模型的构建GM （1,1）模型是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。

设所要预测的某项指标的原始数据序列为：()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,,3,2,1 =对原始数据序列作一次累加生成处理，获得新的数据序列： ()()()()()()(){}n X X X X1111,,2,1 = 式中：()()()()∑==i k k X i X 101 n i 3,2,1=经过累加处理，新生成的数据序列与原始的数据序列相比，具有平稳性增强而波动性减弱的特点。

对生成数列建立GM （1，1）白化形式的微式方程[4]：()()()u aX dt t dX =+11式中：a 称为发展系数，u 称为内控发展灰数。

利用最小二乘法拟合求得估计参数：()n TT X B BB u a 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 式中：()()()()[]()()()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=1121121211111n X n X X X B()()()()()()[]n X X X X n 000,,3,2 =将B 带入公式，最终确定GM （1,1）预测模型()()()()a e a X t X at μμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∧∧100 n t 2,1,0= 将值代入离散模型公式求()()t X ∧1，预测的累加值还原为预测值：()()()()()()1110--=∧∧∧t X t X t X2模型精度的检验2.1残差检验计算残差()()t 0ε及其相对残差()()t q 0，即：()()()()()()1000--=∧t x t x t ε，()()()()()()%100000⨯=t x t t q ε n t ,,2,1 =相对残差()0q 越小，表示模型精度越高。

灰色预测GM(1,1)模型分析

SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型灰色预测GM(1,1)模型分析Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。

但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。

灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。

特别提示：GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。

灰色预测模型案例Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)1背景当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。

数据如下：年份城市交通噪声/dB(A)198671.10198772.40198872.40198972.10199071.40199172.00199271.602理论灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。

在进行模型构建时，通常包括以下步骤：第一步：级比值检验；此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。

级比值=当期值/上一期值。

一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。

第二步：后验差比检验；在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。

灰色预测与GM(1,1)

(k )
ˆ 0 k X 0 k max max X ˆ 0 k X 0 k min min X ˆ 0 k X 0 k max max X ˆ 0 k X 0 k X
1 1 X X k z 1 X k 1 k 1 2

从而有：
1 1 X X 0 k 1 k X k 1 a 2
0 令： y X
X k11 X k1 ，x ，利用最小二乘拟合直线： 2
联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一
部分信息是未知的，系统内各因素间有不
确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定
信息的系统进行预测，就是对在一定范围内
变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数
据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列
的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作
为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可
得到生成列。
记原始时间序列为：
X 0 X 0 1, X 0 2, X 0 3,... X 0 n
1,1.063,1.1227,1.1483 X2
1,.097,1.0294,1.0294 X3
1,1.0149,0.805,0.7 X4
第二步：求序列差。
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
3 0,0.0225,0.1059,0.1146

灰色预测模型GM

灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识平面上有数据序列 nn y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y ，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和ni iib ax y J 12最小。

J 是关于a, b 的二元函数。

由120211n i i i i n i i i i i b x a y b J x b x a y a J0112n i i i ni ii i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：ii ii ni i i y nb x a y x x b x a 12 （*）22222ii i i i i i ii i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1)以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。

下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据ix 、iy 去表示a 与b，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程b b b x x x a y y y n n 2121 中形式上解出a 与b。

把上式写成矩阵方程。

令 n y y y Y21，b a x x x Y n11121 yix xiiy x , jjyx ,令11121nx x x B ，则b a B Y 左乘T B 得b a B B Y B T T 注意到B T B 是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(B T B)-1存在，所以上式左乘1BB T得 Y BB B b a TT 1（2）可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一一下：由最小二乘得结果：方程（*） ii i i ni i i y nb x a y x x b x a 12 方程组改写为：n n iii y y y x xx b a nxxx21212111 令：11121nx x x B ，n y y y Y 21， b a a ˆ （*）化为 Y B aB B TTˆ所以Y BB B a TT1ˆ以后，只要数据列n j yx jj,,2,1, 大致成直线，既有近似表达式 n i bax y ii,,2,1当令： n y y y Y21，11121nx x x B ，b a a ˆ 则有 a B Y ˆy BBB a TT1ˆ（2）（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线b ax y 的回归系数a 与b。

灰色预测模型

灰色预测模型的建立1.GM 模型的建立灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算等等。

灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。

特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。

所以本文给出灰色预测模型如下：.1,,2,1,))1(()1()0()1(-=+-=+-n k ab e a b F k F ak 其中，a 表示发展灰数，b 表示内生控制灰数。

)1(F 是)0(F 经过累加后生成的序列，即)()1()1()1()0()1(k F k F k F ++=+,其中))1()1(()0()1(F F =。

为了更加合理的预测三个指标的参数，在利用上式模型进行预测之前，要先对数据进行检验和处理。

设指标数据))(,),2(),1(()0()0()0()0(n F F F F =，检验数列的级比：n k k F k F k ,,3,2,)()1()()0()0( =-=λ 若)0(F 的所有级比),()(2212++-∈n n e ek λ，则数列)0(F 可以作为模型)1,1(GM 的数据进行预测。

若存在),()(2212++-∉n n e e k λ，则需要对原始数据进行必要变换处理，使其全部满足条件。

具体处理如下：1）取合适的参数c 。

2）令c k F k x +=)()()0()0(，则有))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =。

3）计算n k k x k x k x ,,3,2,)()1()()0()0( =-=λ，调整参数c ，使得),()(2212++-∈n n x e e k λ满足条件。

2.检验预测值（1）残差检验：记残值为)(k β，则有：n k K F k F k F k ,,2,1,)()()()()0(^)0( =-=β 若2.0)(<k β，则可认为满足一般要求；若1.0)(<k β，则可认为达到更高要求。

灰色预测模型GM

灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i ib ax y J 12最小。

J 是关于a , b的二元函数。

由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni i i ini i i i ib x a ybJ x b x a ya J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112n i i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=ii iini i i y nb x ay xx b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i ii i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1)以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。

下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据i x 、i y 去表示a 与b ，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b x x x a y y y n n 2121 中形式上解出a 与b 。

把上式写成矩阵方程。

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《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言随着科技进步与现实问题复杂性提升，数据分析在各领域中的应用愈显重要。

而作为现代统计学的重要工具之一，灰色预测模型不仅可有效应对小样本、非线性、不完整数据的预测问题，而且其计算过程相对简便。

其中，灰色GM（1,1）模型作为最常用的灰色预测模型之一，具有广泛的应用前景。

然而，该模型在应用过程中仍存在一些不足，如模型参数的优化、预测精度的提升等。

本文旨在探讨灰色GM（1,1）模型的优化方法及其在各领域的应用。

二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是灰色预测模型的一种，具有小样本、不完整数据的预测优势。

该模型基于一次累加和累减生成的数据序列进行建模，通过微分方程来描述原始数据序列的变化趋势。

然而，由于原始数据序列的随机性和不完整性，灰色GM（1,1）模型在应用过程中可能存在预测精度不高的问题。

三、灰色GM（1,1）模型的优化为了提升灰色GM（1,1）模型的预测精度，本文提出以下优化方法：（一）引入新参数以改善模型精度。

新参数如平均增长趋势系数等可通过特定方法对数据进行计算后获得，这些参数能够更准确地反映数据的变化趋势。

（二）引入误差校正机制。

根据历史数据的误差进行实时调整，以提高模型的预测精度。

误差校正机制能够有效地纠正模型的预测误差，使模型更符合实际数据的趋势。

（三）使用其他算法进行辅助优化。

如使用神经网络算法、遗传算法等对灰色GM（1,1）模型的参数进行优化，以获得更优的预测结果。

四、灰色GM（1,1）模型的应用经过优化的灰色GM（1,1）模型在各领域具有广泛的应用价值。

例如：（一）在经济学领域，该模型可用于预测经济增长、股票价格等经济指标的变化趋势，为政策制定和投资决策提供参考依据。

（二）在农业领域，该模型可用于预测农作物产量、病虫害发生等农业信息，为农业生产提供科学指导。

（三）在医学领域，该模型可用于预测疾病发病率、死亡率等健康指标的变化趋势，为疾病防控和公共卫生政策制定提供支持。

灰色预测模型GM

灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。

J 是关于a , b的二元函数。

由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。

灰色预测法(GM(1-1)模型)

X 3 3.4,3.3,3.5,3.5
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
试求关联度。
回总目录回本章目录
. #;
解答：
以 X1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。得到：
X1 1,0.9475,0.9235,0.9138
回总目录回本章目录
. #;
10.2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
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10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
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10.1 灰色预测理论
一、灰色预测的概念（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：

灰色预测模型

系统工程理论
西南民族大学管理学院汪虹
本讲介绍
灰色预测模型
灰色预测的基本思想 GM（1，1）模型的建立 GM（1，1）模型用于预测冲击扰动与缓冲算子灾变预测
系统工程理论
灰色预测模型
灰色预测的基本思想
当一时间序列无明显趋势时，采用累加方法可生成趋势明显的时间序列。
比如 X 0 32,38,36,35, 40, 42
n
x1 n x0 t t 1
系统工程理论
灰色数据序列的生成
可得到原始数据序列的一次累加生成数列(1-AGO)：
其中，
X 1 x1 1, x1 2,, x1 n
x1 t x0 1
x1
t
t
x0 i
i 1
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
类似可得原始数据序列的 r 次累加生成数列(r-AGO)：
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
1－AGO生成数据序列：
X 1 383.3775, 776.4179, 1175.7811, 1581.7882
X 1 的紧邻均值生成序列：
Z1 579.8977, 976.0995, 1378.7847
最小二乘参数估计：
a bT 0.016232, 383.591412T
系统工程理论
灰色预测的类型
按应用对象的不同，灰色预测可分为：
数列预测 —— 对表征系统行为的指标值的发展变化进行预测
灾变预测 —— 对表征系统行为的指标值超过阈值的异常值将于何时再现进行预测
……
系统工程理论
灰色模型机理
一般建模是利用数据序列建立差分方程，灰色建模是将原始数据进行生成处理后建立微分方程。

灰色预测GM模型的改进及应用

灰色预测GM模型的改进及应用一、本文概述灰色预测GM模型是一种基于灰色系统理论的预测方法，具有对样本数据量少、信息不完全的复杂系统进行有效预测的优势。

然而，传统的GM模型在处理某些实际问题时，可能会遇到预测精度不高、模型适应性不强等问题。

因此，本文旨在深入研究灰色预测GM模型的改进方法，以提高其预测精度和适应性，并探讨改进后的模型在各个领域的应用价值。

具体而言，本文首先将对灰色预测GM模型的基本原理和算法进行详细阐述，为后续研究提供理论基础。

然后，针对传统GM模型存在的问题，本文将从模型参数优化、数据预处理、模型结构改进等方面提出一系列改进措施，并通过实验验证其有效性。

在此基础上，本文将进一步探讨改进后的GM模型在经济管理、生态环境、社会发展等领域的实际应用，以展示其广泛的应用前景和实用价值。

本文旨在通过深入研究灰色预测GM模型的改进方法，提高其预测精度和适应性，推动灰色系统理论在实际问题中的应用，为相关领域的研究和实践提供有益参考。

二、灰色预测GM模型的基本理论灰色预测GM模型，简称GM模型，是灰色系统理论的重要组成部分。

灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年提出的，它主要用于解决信息不完全、数据不充分的“小样本”和“贫信息”问题。

GM模型以其独特的优势，在众多领域如经济预测、环境科学、工程技术等得到了广泛应用。

GM模型的基本思想是通过生成变换，将原始数据转化为规律性较强的生成数据，然后建立微分方程模型进行预测。

其核心步骤包括：数据累加生成：原始数据序列经过一次或多次累加生成，使原本杂乱无章的数据呈现出明显的规律性，这是灰色预测的关键步骤。

建立微分方程：基于累加生成的数据序列，建立一阶线性微分方程，该方程能够较好地描述数据序列的变化趋势。

还原预测值：通过还原操作，将微分方程求解得到的预测值还原为原始数据序列的预测值。

模型检验：对预测结果进行后验差检验或残差检验，以评估模型的预测精度和可靠性。

《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是研究信息不完全、不确定的系统的理论和方法。

其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为常用的一种预测模型。

该模型通过对原始数据进行累加生成和均值生成等处理，建立起一种微分方程模型，用于对系统的未来发展进行预测。

然而，在实际应用中，灰色GM（1,1）模型仍存在一些不足，如模型精度不高、对数据要求严格等。

因此，本文旨在探讨灰色GM（1,1）模型的优化方法及其应用，以提高模型的预测精度和适用性。

二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，其基本思想是将原始数据序列进行累加生成和均值生成等处理，建立起一种近似的微分方程模型。

该模型可以用于对系统的发展趋势进行预测，并具有简单易用、计算量小等优点。

三、灰色GM（1,1）模型的优化方法1. 数据预处理方法优化针对原始数据中可能存在的异常值、波动性等问题，可以采用数据预处理方法对数据进行处理。

如对数据进行平滑处理、去趋势化处理等，以提高数据的稳定性和可预测性。

2. 模型参数优化方法针对灰色GM（1,1）模型中参数的确定问题，可以采用一些优化算法对模型参数进行优化。

如采用最小二乘法、遗传算法等优化算法对模型参数进行求解，以提高模型的预测精度。

3. 模型改进方法针对灰色GM（1,1）模型的局限性，可以对其进行改进。

如引入其他变量、考虑多变量影响等，以提高模型的适用性和准确性。

四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。

如可以应用于经济预测、农业预测、医学预测等领域。

以经济预测为例，可以通过建立灰色GM（1,1）模型对经济指标进行预测，为政策制定提供参考依据。

同时，还可以将优化后的灰色GM（1,1）模型应用于其他领域，如环境保护、能源预测等。

五、案例分析以某地区的人口预测为例，采用优化后的灰色GM（1,1）模型对该地区的人口进行预测。

《2024年灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言随着科技的飞速发展，现代数据处理与分析逐渐变得尤为重要。

其中，灰色系统理论成为了一个引人注目的研究领域。

在众多灰色模型中，灰色GM（1,1）模型因其独特的预测能力和实际应用价值而备受关注。

本文将深入探讨灰色GM（1,1）模型的优化及其应用，旨在为相关研究与应用提供有价值的参考。

二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中的一种预测模型，主要用于处理不完全的数据序列。

该模型通过累加生成数据序列，使得原始数据序列从灰色状态转化为白色状态，从而实现对未来趋势的预测。

其基本思想是利用部分已知信息和生成数据序列来挖掘系统内在规律，进而进行预测。

三、灰色GM（1,1）模型的优化尽管灰色GM（1,1）模型具有一定的预测能力，但在实际应用中仍存在一些局限性。

为了进一步提高模型的预测精度和适用范围，本文提出以下优化措施：1. 数据预处理：在建模前，对原始数据进行预处理，如去除异常值、平滑处理等，以提高数据的质量。

2. 模型参数优化：通过引入遗传算法、粒子群优化算法等智能优化算法，对模型的参数进行优化，以提高模型的预测精度。

3. 模型检验与修正：对模型进行检验，如残差检验、后验差检验等，对不符合要求的模型进行修正，确保模型的可靠性。

四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在许多领域都有广泛的应用，如经济预测、农业预测、能源预测等。

下面以经济预测为例，探讨灰色GM（1,1）模型的应用：1. 经济预测背景：经济预测是一个复杂的系统过程，涉及众多因素。

利用灰色GM（1,1）模型可以有效地处理不完全的经济数据，实现对未来经济趋势的预测。

2. 模型应用：首先，收集相关的经济数据，如GDP、工业增加值等。

然后，对数据进行预处理，建立灰色GM（1,1）模型。

通过模型的运算，可以得到未来一段时间内的经济预测值。

最后，根据预测结果，制定相应的经济政策和发展策略。

灰色预测GM（1，1）方法

灰色预测法一、相关知识1、灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。

2、灰数简介：（1）灰数的定义：是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。

灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“⊗”表示灰数。

（2）灰数的分类：(Ⅰ)有下界而无上界的灰数[)∞∈⊗,a 或()a ⊗，如大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量,所以其重量为灰数[)∞∈⊗,0。

(Ⅱ)有上界而无下界的灰数(,]a ⊗∈-∞或()a ⊗，如一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。

(Ⅲ)既有下界a 又有上界a 的灰数称为区间灰数，记为[]a a ,∈⊗。

如海豹的重量在20--25公斤之间，某人的身高在1.8-1.9米之间，可分别记为[]25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗(Ⅳ)黑数：当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称⊗为黑数。

(Ⅴ)白数：当[,]a a ⊗∈且a a =时，称⊗为白数。

(3)本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。

非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。

我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。

如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。

例：（1）气温不超过36℃，[]36,0∈⊗。

（2）预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，[)∞∈⊗,100；（3）估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，[]9000,7000∈⊗；（4）如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，[)∞∈⊗,10000；（5）有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。