家家学网络名师小班辅导教案-因式分解拓展篇
因式分解教案：用实例让学生深入理解因式分解
因式分解教案：用实例让学生深入理解因式分解一、教学目标通过本节课的学习，学生将实现以下学习目标：1. 理解什么是因式分解，以及为什么要进行因式分解；2. 学习因式分解的基本步骤；3. 掌握因式分解的方法和技巧；4. 学会运用因式分解解决实际问题；5. 培养学生的思维能力、分析能力和解决问题的能力。
二、教学重点1. 因式分解的基本概念和步骤；2. 因式分解的常用方法和技巧；3. 因式分解在实际问题中的应用。
三、教学难点1. 学生对于因式分解的基本概念的理解；2. 因式分解在实际问题中的运用。
四、教学方法1. 演示法：通过教师讲解及具体实例演示的形式，使学生掌握因式分解的基本概念和方法；2. 讨论法：通过师生讨论的形式，培养学生的思维能力和分析能力；3. 练习法：通过练习的形式巩固学生的知识，并加深对知识的理解。
五、教学过程1. 导入教师引入因式分解的话题，并举例说明。
如：今天我们要学习的是因式分解。
在生活中，我们经常会遇到需要把一个复杂的式子拆分成简单的式子的情况。
比如，我们要计算三个数的积，如果这三个数已经被拆分成为更加简单的形式，我们就可以更加轻松地进行计算。
因式分解就是将一个式子拆分成为简单形式的过程。
下面举一个例子，看看它是如何进行因式分解的：2. 解释因式分解的定义和基本步骤教师解释因式分解的定义和基本步骤。
如下：因式分解是将一个多项式式子分解成若干个因式的乘积的过程。
一般而言，我们需要按照以下步骤进行因式分解：1. 将式子进行化简2. 将系数大的项提取出来3. 找到公因数4. 应用因式公式5. 按照分解公式进行分解3. 常用的因式分解方法和技巧教师讲解因式分解的常用方法和技巧。
如下：1. 因式公式的运用因式公式是指一些特定的公式，它们可以帮助我们更加轻松地进行因式分解。
比如：a. 一次项差的平方公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$b. 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$c. 完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$d. 奇偶异同公式：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$2. 审视题目中的特殊格式有时候，我们可以根据题目中的特殊格式来进行因式分解。
因式分解的教案
因式分解的教案一、教学目标：1. 理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法。
2. 能够应用因式分解的方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：因式分解的基本方法和应用。
2. 教学难点：在实际问题中灵活应用因式分解方法。
三、教学准备：1. 教师准备：掌握因式分解的基本方法和技巧，准备相关教学素材和题目。
2. 学生准备：复习和掌握基础的代数知识，准备纸笔等学习工具。
四、教学过程：第一步：导入教师可以通过提出一个引人入胜的问题或例子，引起学生的兴趣和思考，如下所示：假如你有一个表达式 a^2 + 5a + 6，能否将它写成两个因式的乘积呢？通过这样的引入，激发学生对因式分解的兴趣和好奇心。
第二步：概念讲解与示例演示1. 因式分解的概念因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式的乘积的过程。
例如，将 a^2 + 5a + 6 分解为 (a + 2)(a + 3)。
2. 基本方法及示例演示（1）比较法当多项式中出现两项之和或差的形式时，我们可以采用比较法进行因式分解。
例如，要分解 x^2 + 5x + 6，我们可以通过比较得出 (x + 2)(x + 3)。
（2）分组法当多项式中出现两项之积的形式时，我们可以采用分组法进行因式分解。
例如，要分解 x^3 - 2x^2 + x - 2，我们可以通过分组得出 x^2(x - 2) + 1(x - 2)。
第三步：综合练习让学生在课堂上进行因式分解的练习，以巩固和运用所学的知识。
教师可以准备一些适合不同难度层次的题目，并带领学生一同解答。
第四步：拓展延伸教师可以通过提供一些实际问题，让学生运用所学的因式分解方法解决问题。
例如：小明在一个矩形花坛中种了 24 株花，他按照一排排列，每排都只有一种花。
他发现最后一排只有 1 株花，而且每排的花树的数量都是前一排的两倍。
问花坛中一共有几排花树？学生需要将这个问题转化为一个代数表达式，然后进行因式分解和求解。
因式分解教案设计
因式分解教案设计一、教学目标1. 让学生理解因式分解的概念和意义。
2. 培养学生运用提公因式法、公式法等多种方法进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容1. 因式分解的定义和意义。
2. 提公因式法：找出多项式中的公因式，将多项式分解为公因式与剩余部分相乘的形式。
3. 公式法：运用平方差公式、完全平方公式等对多项式进行因式分解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：因式分解的概念、提公因式法和公式法的运用。
2. 教学难点：如何灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究因式分解的方法。
2. 运用案例分析法，通过具体例子讲解因式分解的步骤和技巧。
3. 采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
五、教学步骤1. 导入新课：通过复习整式的乘法，引导学生思考如何将多项式分解为几个整式的乘积。
2. 讲解因式分解的概念和意义，让学生理解因式分解的目的和作用。
3. 讲解提公因式法：找出多项式中的公因式，并进行分解。
4. 讲解公式法：介绍平方差公式、完全平方公式，并讲解如何运用公式进行因式分解。
5. 练习巩固：布置适量练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答。
6. 总结提高：对本节课的因式分解方法进行总结，引导学生学会灵活运用各种方法进行因式分解。
六、教学活动1. 设计课堂游戏：通过游戏让学生巩固因式分解的方法，提高学生的学习兴趣。
2. 开展小组竞赛：分组进行因式分解竞赛，激发学生的学习热情，培养学生的团队协作能力。
3. 举办因式分解讲座：邀请数学专家或学习成绩优秀的同学进行讲座，分享因式分解的心得和方法。
七、课后作业1. 布置适量课后练习题，让学生巩固所学因式分解方法。
2. 设计拓展题目，引导学生运用因式分解解决实际问题。
3. 鼓励学生进行自主学习，探索其他因式分解方法。
八、评价方式1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
因式分解教案四篇
因式分解教案四篇因式分解教案篇1一、运用平方差公式分解因式教学目标1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点;使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。
3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式(直接用公式不超过两次)重点运用平方差公式分解因式难点灵活运用平方差公式分解因式教学方法比照发现法课型新授课教具投影仪教师活动学生活动情景设置：同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗?你是怎么想出来的?(学生或许还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定) 新课讲解：从上面992-1=(99+1)(99-1)，我们容易看出,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式?首先我们来做下面两题：(投影)1.计算以下各式:(1)(a+2)(a-2)=;(2)(a+b)(a-b)=;(3)(3a+2b)(3a-2b)=.2.下面请你根据上面的算式填空:(1)a2-4=;(2)a2-b2=;(3)9a2-4b2=;请同学们比照以上两题，你发现什么呢?事实上，像上面第2题那样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。
(投影)比方：a2–16=a2–42=(a+4)(a–4)例题1：把以下各式分解因式;(投影)(1)36–25x2;(2)16a2–9b2;(3)9(a+b)2–4(a–b)2.(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)例题2：如图，求圆环形绿化区的面积练习：第87页练一练第1、2、3题小结：这节课你学到了什么知识，掌握什么方法?教学素材：A组题：1.填空：81x2-=(9x+y)(9x-y);=利用因式分解计算：=。
2、以下多项式中能用平方差公式分解因式的是()(A)(B)(C)(D)3.把以下各式分解因式(1)1-16a2(2)9a2x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2B组题：1分解因式81a4-b4=2假设a+b=1,a2+b2=1,那么ab=;3假设26+28+2n是一个完全平方数，那么n=.由学生自己先做(或互相讨论)，然后答复，假设有答不全的，教师(或其他学生)补充.学生答复1：992-1=99某99-1=9801-1=9800学生答复2：992-1就是(99+1)(99-1)即100某98学生答复:平方差公式学生答复:(1):a2-4(2):a2-b2(3):9a2-4b2学生轻松口答(a+2)(a-2)(a+b)(a-b)(3a+2b)(3a-2b)学生答复:把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)学生上台板演：36–25x2=62–(5x)2=(6+5x)(6–5x)16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=(4a+3b)(4a–3b)9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=(5a+b)(a+5b)解：352π–152π=π(352–152)=(35+15)(35–15)π=50某20π=1000π(m2)这个绿化区的面积是1000πm2学生归纳总结因式分解教案篇2教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。
因式分解教案
因式分解教案标题：因式分解教案一、教学目标：1. 理解因式分解的概念及其应用；2. 能够因式分解简单的代数表达式；3. 能够运用因式分解解决实际问题。
二、教学准备：1. 教案投影或白板；2. 活动所需的教具、教材和练习题；3. 清晰的示范因式分解的步骤和策略；4. 知识点总结和复习的资料。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）引导学生回顾代数表达式的基础知识，例如常数项、变量项和系数等，然后提出以下问题：“你对因式分解有什么了解？你能给我举一个例子吗？”2. 知识讲解（15分钟）解释因式分解的概念，并用简单的实例进行示范。
重点讲解因式分解的原则和步骤，例如先找出公因式，然后运用配方法则等。
解释不同情况下的分解策略，例如差的平方公式、和差的立方公式等。
3. 集体合作（20分钟）将学生分成小组，发放练习题，要求他们在小组内合作进行因式分解。
教师可以在此阶段提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能理解并掌握因式分解的基本方法。
4. 主题拓展（15分钟）向学生介绍实际问题，例如多项式函数的图像分析、面积和体积的计算等，并让学生应用所学的因式分解方法解决这些问题。
引导学生思考因式分解在解决实际问题中的作用和意义。
5. 总结与评价（5分钟）总结本节课的重点和难点，并与学生一起回顾教学目标是否达到。
鼓励学生提出问题和困惑，并进行解答和评价。
四、作业布置：布置一些练习题，要求学生独立完成。
作业的重点可以放在更复杂的因式分解和实际问题的应用上。
五、教学反思：教师应及时对学生的掌握情况进行反馈和评估，并针对性地调整教学策略。
同时，教师也应注意与学生的互动和沟通，鼓励学生提问、发表观点，以促进学生的参与和主动学习。
因式分解教案及反思
因式分解教案及反思一、教学目标1. 让学生掌握因式分解的定义和基本方法。
2. 培养学生运用因式分解解决问题的能力。
3. 提高学生对数学学科的兴趣和自信心。
二、教学内容1. 因式分解的定义及意义。
2. 常用的因式分解方法：提公因式法、十字相乘法、分组分解法、公式法等。
3. 因式分解在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：因式分解的方法和技巧。
2. 教学难点：因式分解在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等相结合的方法进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 创设情境，引导学生主动探究，培养学生的创新能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习相关知识，引出因式分解的概念。
2. 讲解因式分解的定义和意义，让学生明确学习目标。
3. 演示几种常用的因式分解方法，并进行示例讲解。
4. 让学生进行分组讨论，互相交流学习心得，巩固所学知识。
5. 布置练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
7. 布置课后作业，鼓励学生深入思考，提高解题能力。
六、教学反思1. 反思教学内容：是否全面、系统地讲解了因式分解的知识点。
2. 反思教学方法：是否激发了学生的学习兴趣，培养了学生的创新能力。
3. 反思教学过程：是否关注了学生的个体差异，让每个学生都得到了锻炼。
4. 反思教学效果：学生对因式分解的掌握程度如何，是否达到了预期的教学目标。
5. 针对反思结果，调整教学策略，为后续教学做好准备。
六、教学评价1. 采用课堂问答、练习反馈、课后作业等方式进行评价。
2. 关注学生在因式分解过程中的思维品质、解题策略和合作能力。
3. 及时发现学生存在的问题，给予针对性的指导和帮助。
七、教学拓展1. 结合教材内容，介绍因式分解在数学竞赛中的应用。
2. 引导学生关注因式分解在其他学科领域的作用，如物理学、化学等。
3. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解决问题的能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、适合学生水平的教材。
因式分解教案
因式分解教案因式分解教案篇1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解2、.规律总结(教师讲解): 分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点: (1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念;公因式的求法公式法: 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练试一试把下列各式因式分解:(1).1-x2=(1+x)(1-x) (2).4a2+4a+1=(2a+1)2(3).4x2-8x=4x(x-2) (4).2x2y-6xy2 =2xy(x-3y)三、例题讲解例1、分解因式(1)-x3y3+x2y+xy (2)6(x-2)+2x(2-x)(3) (4)y2+y+例2、分解因式1、a3-ab2=2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=3、(a+b)2+2(a+b)-15=4、-1-2a-a2=5、x2-6x+9-y26、x2-4y2+x+2y=例3、分解因式1、72-2(13x-7) 22、8a2b2-2a4b-8b3三、知识应用1、(4x2-9y2)÷(2x+3y)2、(a2b-ab2)÷(b-a)3、解方程：(1)x2=5x (2) (x-2)2=(2x+1)24、.若x=-3,求20x2-60x的值.5、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?四、拓展应用1.计算:7652×17-2352×17 解:7652×17-2352×17=17(7652-2352)=17(765+235)(765-235)2、20042+20xx被20xx整除吗?3、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.五、课堂小结：今天你对因式分解又有哪些新的认识?因式分解教案篇2（一）学习目标1、会用因式分解进行简单的多项式除法2、会用因式分解解简单的方程（二）学习重难点重点：因式分解在多项式除法和解方程中两方面的应用。
因式分解教案设计
因式分解教案设计一、教学目标1. 让学生理解因式分解的概念和意义。
2. 培养学生运用提公因式法和公式法进行因式分解的能力。
3. 通过对因式分解的学习，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 因式分解的定义和意义。
2. 提公因式法：找出多项式中的公因式，将其提出，对剩余部分进行分解。
3. 公式法：运用已知的平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：因式分解的概念、提公因式法和公式法。
2. 教学难点：如何灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究因式分解的方法。
2. 通过示例讲解，让学生清晰地理解因式分解的步骤。
3. 利用练习题，让学生在实践中掌握因式分解技巧。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解因式分解的定义、提公因式法和公式法。
3. 示例讲解：运用提公因式法和公式法进行因式分解的示例。
4. 课堂练习：让学生运用所学知识进行因式分解练习，巩固所学内容。
6. 布置作业：设计一些有关因式分解的练习题，让学生课后巩固。
六、教学评估1. 课堂练习环节，观察学生对因式分解的掌握程度。
2. 通过课后作业，评估学生对因式分解的熟练程度。
3. 针对学生的学习情况，及时调整教学方法和策略。
七、教学反馈与改进1. 课后收集学生作业，了解学生对因式分解的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，进行针对性的讲解和辅导。
3. 及时调整教学进度，确保学生能够扎实掌握因式分解。
八、教学拓展1. 引导学生思考：如何将因式分解应用于实际问题中？2. 介绍因式分解在数学其他领域的应用，如数论、代数等。
3. 鼓励学生参加数学竞赛，提高因式分解的实际应用能力。
九、教学资源1. PPT课件：因式分解的定义、示例和练习题。
2. 练习册：包含各种难度的因式分解题目。
3. 网络资源：相关因式分解的教学视频和文章。
因式分解教案
因式分解教案一、教学目标1. 理解因式分解的概念和方法。
2. 掌握因式分解的常用技巧。
3. 能够运用因式分解解决实际问题。
二、教学准备1. 教师：掌握因式分解知识、准备教案、教学素材。
2. 学生：提前预习相关知识。
三、教学过程Step 1 引入1. 向学生介绍因式分解的概念：因式分解是将一个多项式拆解成多个乘积的形式，其中每个乘积被称为因式。
2. 提出问题，激发学生思考：你能否举出几个因式分解的例子？Step 2 知识讲解1. 通过示例引导学生理解因式分解的基本概念和步骤。
2. 介绍常见因式分解的技巧，如公因式提取、差平方公式等。
Step 3 练习演练1. 分小组进行练习，由学生互相出题给对方进行因式分解。
2. 教师巡回辅导，解答学生的问题。
Step 4 拓展应用1. 引导学生应用因式分解解决实际问题，如求面积、长度等。
2. 让学生思考如何利用因式分解简化计算，提高效率。
Step 5 总结回顾1. 总结因式分解的基本概念和方法。
2. 强调因式分解的重要性和应用价值。
四、教学延伸1. 学生自主探究因式分解的更多应用。
2. 鼓励学生进一步研究因式分解的相关知识，拓宽思维。
五、教学反思1. 教师根据学生的实际情况和反馈进行调整教学策略。
2. 学生对因式分解的理解程度和应用能力需要逐步提高。
六、课堂作业1. 完成课堂练习题，巩固因式分解的知识。
2. 要求学生写一篇作文，介绍因式分解在实际生活中的应用。
对于高年级的学生，可以增加以下内容：- 探讨二次因式分解的方法和应用。
- 引导学生学习多项式的因式定理和余式定理。
注意事项：- 教师应灵活运用教学方法，根据学生的实际情况进行调整。
- 确保教学内容的准确性和深入性，避免误导学生。
- 关注学生的学习效果和兴趣，激发他们的学习动力。
因式分解教案【优秀5篇】
因式分解教案【优秀5篇】在教学工作者开展教学活动前，时常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情况对教学进程做适当的必要的调整。
那么问题来了，教案应该怎么写？下面是小编辛苦为大家带来的因式分解教案【优秀5篇】，在大家参照的同时，也可以分享一下给您最好的朋友。
因式分解教案篇一15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示ⅠABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示ⅠABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示ⅠABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么ⅠABC的周长可以表示为a+b+c；ⅠABC的面积可以表示为？c?h．2．小王的平均速度是．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅰ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x．（2）汽车走过的路程：vt．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．（4）n的相反数是－n．分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单项式；a3是三次单项式．问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.12r2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．我们可以观察下列代数式：a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c的项分别是a、b、c．t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．ab-3.12r2的项分别是ab、-3.12r2．x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．Ⅰ．随堂练习1．课本P162练习Ⅰ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．Ⅰ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．2．预习“整式的加减”．课后作业：《课堂感悟与探究》15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
因式分解教案小班
因式分解教案小班教案标题：因式分解教案（小班）教案目标：1. 学生能够理解因式分解的基本概念和方法。
2. 学生能够应用因式分解解决实际问题。
3. 学生能够独立完成因式分解的练习。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾乘法的概念和运算规则。
2. 引发学生对因式分解的兴趣，例如通过实际生活中的例子说明因式分解的应用。
教学内容：1. 回顾乘法的基本概念和运算规则，强调乘法的可逆性。
2. 介绍因式分解的概念，即将一个多项式表示为几个乘积的形式。
3. 通过具体的例子，引导学生发现因式分解的方法和规律，例如提取公因式、分解差平方等。
4. 给予学生一些简单的因式分解练习，帮助他们巩固所学的方法和规律。
实践应用：1. 提供一些实际问题，引导学生运用因式分解解决问题，例如找出一个长方形的面积、周长和宽度之间的关系。
2. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用因式分解的方法和规律。
巩固练习：1. 提供一些练习题，包括简单的因式分解和应用题。
2. 检查学生的答案，及时给予反馈和指导。
总结：1. 回顾因式分解的基本概念和方法。
2. 强调因式分解在解决实际问题中的应用价值。
3. 鼓励学生继续练习和探索因式分解的更多应用。
教学资源：1. 教材：根据学校教学大纲选择适当的教材和课本。
2. 板书：绘制乘法和因式分解的相关公式和例子。
3. 实物或图片：用于引发学生对因式分解的兴趣和理解。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度。
2. 练习和作业：检查学生完成的练习和作业，评估他们对因式分解的掌握程度。
3. 口头回答问题：提出一些问题，让学生口头回答，评估他们对因式分解的理解和运用能力。
教学扩展：1. 鼓励学生自主学习更复杂的因式分解方法和规律。
2. 提供更多的实际问题，让学生进一步应用因式分解解决问题。
3. 引导学生进行因式分解的拓展研究，例如探索更高阶的多项式因式分解方法。
以上教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际情况进行调整和修改。
【精华】因式分解教案（通用10篇）
因式分解教案【精华】因式分解教案（通用10篇）在教学工作者实际的教学活动中，时常需要用到教案，借助教案可以让教学工作更科学化。
快来参考教案是怎么写的吧！下面是小编为大家整理的因式分解教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
因式分解教案篇1学习目标1、学会用公式法因式法分解2、综合运用提取公式法、公式法分解因式学习重难点重点：完全平方公式分解因式.难点：综合运用两种公式法因式分解自学过程设计完全平方公式：完全平方公式的逆运用：做一做：1.(1)16x2-8x+_______=(4x-1)2;(2)_______+6x+9=(x+3)2;(3)16x2+_______+9y2=(4x+3y)2;(4)(a-b)2-2(a-b)+1=(______-1)2.2.在代数式(1)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+1;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中，•可用完全平方公式因式分解的是_________(填序号)3.下列因式分解正确的是( )A.x2+y2=(x+y)2B.x2-xy+x2=(x-y)2C.1+4x-4x2=(1-2x)2D.4-4x+x2=(x-2)24.分解因式：(1)x2-22x+121 (2)-y2-14y-49 (3)(a+b)2+2(a+b)+15.计算：20062-40102006+20052=___________________.6.若x+y=1，则 x2+xy+ y2的值是_________________.想一想你还有哪些地方不是很懂?请写出来。
________________________________________________________________ ____________________预习展示一：1.判别下列各式是不是完全平方式.2、把下列各式因式分解：(1)-x2+4xy-4y2(2)3ax2+6axy+3ay2(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9应用探究：1、用简便方法计算49.92+9.98 +0.12拓展提高：(1)( a2+b2)( a2+b2 10)+25=0 求a2+b2(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0求x、y关系(3)分解因式：m4+4教后反思考察利用公式法因式分解的题目不会很难，但是需要学生记住公式的形式，之后利用公式把式子进行变形，从而达到进行因式分解的目的，但是这里有用到实际中去的例子，对学生来说会难一些。
因式分解完整教案
因式分解完整教案教案标题：因式分解完整教案教学目标：1. 理解因式分解的概念和目的。
2. 掌握因式分解的基本方法和技巧。
3. 能够运用因式分解解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教师需要准备相关的教学资料、课件和练习题。
2. 学生准备：学生需要准备纸笔、教科书和课前预习。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问和回顾上一节课的内容，引导学生回忆因式分解的基本概念和目的。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师简要介绍因式分解的定义和作用，解释为什么要进行因式分解。
2. 教师通过示例展示因式分解的基本方法和技巧，并解释每一步的原理和目的。
三、练习与讨论（15分钟）1. 教师提供一些简单的代数表达式，要求学生进行因式分解，并与同桌讨论解题思路和答案。
2. 教师引导学生思考如何判断一个代数表达式是否可以进行因式分解，并解释判断的依据。
四、拓展与应用（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生通过因式分解解决问题，并讨论解题思路和答案。
2. 教师引导学生思考如何将实际问题转化为代数表达式，以便进行因式分解。
五、总结与归纳（5分钟）1. 教师与学生一起总结因式分解的基本方法和技巧，并强调重点和难点。
2. 教师提醒学生在课后复习并做相关的练习题，以巩固所学知识。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的作业，要求学生练习因式分解的题目，并解答一些应用问题。
2. 教师提醒学生按时完成作业，并提供必要的辅导和指导。
教学反思：在教学过程中，教师要注重启发学生的思维，引导学生主动思考和解决问题。
同时，教师还应提供足够的练习机会，帮助学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。
此外，教师还应关注学生的学习情况，及时调整教学策略，确保教学效果的提高。
因式分解教学设计教案
因式分解教学设计教案一、教学目标：1. 知识目标：掌握因式分解的基本概念和方法；2. 能力目标：能够应用因式分解的方法解决实际问题；3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高自信心。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：因式分解的方法与应用；2. 教学难点：因式分解的运用题。
三、教学资源：1. 教学用具：黑板、彩色粉笔、教材、练习册等；2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
四、教学过程：(一) 导入与承前启后1. 利用课前预习作业引入新课，复习相关知识点，激发学生学习兴趣。
2. 通过展示一个实际问题，引导学生思考如何利用因式分解解决这个问题。
(二) 概念讲解1. 通过教材内容，讲解因式分解的基本概念和运算规则。
2. 通过多媒体展示，演示因式分解的步骤和思路。
3. 举例说明因式分解的实际应用，并引导学生进行思考与讨论。
(三) 方法指导1. 分组讨论练习：将学生分成小组，每组选择一个因式分解的问题，并自主解答。
鼓励学生通过讨论、合作和互相辅导来解决问题。
2. 教师巡回指导：教师在小组讨论时巡回辅导，及时解答学生的疑问，并提供必要的帮助和指导。
(四) 运用练习1. 基础练习：通过练习册上的基础题目，巩固因式分解的基本方法。
2. 拓展练习：给予学生多样化的因式分解题目，培养解决问题的能力。
(五) 小结与展望1. 对本节课内容进行小结，强调重点和难点，提醒学生需要持续努力。
2. 展望下节课内容，预告即将进行的学习任务和要求。
五、教学反思：本节课采用了既有理论讲解，又有实例引导和练习的教学方法，能够全面提高学生的因式分解能力。
同时，通过小组合作讨论，可以培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
下一步，需要加强与学生的互动交流，通过实际操作和演练来提高他们的运用能力。
拓展课：因式分解中的拆项、添项法
拓展课：因式分解中的拆项、添项法教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。
2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想.3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力.教学重点：拆项和添项的技巧。
教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。
合理、有效的选择因式分 解的方法.教学过程：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例1 分解因式：)22)(22()22)(22(4)2(4444)1(22222222244+-++=-+++=-+=-++=+x x x x x x x x x x x x x x 试一试：4441y x + 例2 分解因式：x 3-9x+8．分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)．解法2 添加两项-x 2+x 2．原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9．原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)． 解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3．原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)．注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．练习：1、1724+-x x2、 343+-a a自主评价和小结：分解因式3、4224b b a a ++4、12234++++x x x x；、；、作业：132412444+-+x x y x。
因式分解教案及反思
因式分解教案及反思一、教学目标：1. 让学生理解因式分解的概念和意义。
2. 培养学生运用提公因式法和公式法进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容：1. 因式分解的定义和分类。
2. 提公因式法因式分解。
3. 公式法因式分解。
4. 因式分解在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：因式分解的概念、提公因式法和公式法。
2. 教学难点：提公因式法和公式法的灵活运用，以及因式分解在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究因式分解的方法。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际例子理解因式分解的意义。
3. 利用小组讨论法，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题引入因式分解的概念。
2. 讲解因式分解的定义和分类。
3. 讲解提公因式法因式分解：以具体例子引导学生掌握提公因式法。
4. 讲解公式法因式分解：引导学生发现公式，并运用公式进行因式分解。
5. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用提公因式法和公式法进行因式分解。
6. 拓展与应用：让学生尝试解决一些实际问题，运用因式分解的方法。
8. 布置作业：布置一些有关因式分解的练习题，巩固所学知识。
六、教学反思：1. 反思教学目标：是否达到预期效果，学生是否掌握了因式分解的概念和方法。
2. 反思教学内容：是否全面讲解了因式分解的分类和应用。
3. 反思教学方法：是否激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手能力和解决问题的能力。
4. 反思教学过程：是否注重了学生的个体差异，给予了每个学生充分的关注和指导。
5. 反思作业布置：是否合理，能否巩固学生所学知识。
6. 对后续教学的建议：针对学生的掌握情况，调整教学计划和方法，以提高教学效果。
六、教学评价：1. 采用课堂问答法，了解学生对因式分解概念的理解程度。
2. 通过练习题，评估学生运用提公因式法和公式法进行因式分解的能力。
因式分解教案
因式分解教案教学目标：1.学生能够理解因式分解的概念和方法。
2.学生能够独立完成简单的因式分解计算。
3.学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
教学重点：1.因式分解的基本概念和方法。
2.因式分解的应用。
教学难点：1.灵活运用因式分解解决实际问题。
教学准备：1.教师准备教材《数学7年级上册》、小黑板、彩色粉笔等。
2.学生准备教材、作业本。
教学过程：一、导入（5分钟）教师出示一个算式：2x+4，引导学生寻找其中的规律。
让学生发现“2”既是2x的系数，又是4的因数。
提问：“观察发现，4除以2等于2，2乘以2等于4，那么2x+4可以化简成什么样的式子呢？”让学生用自己的话进行回答。
1.引入因式分解的概念，解释因式、分解的概念。
板书公式“a(b+c)=ab+ac”并解释。
然后通过例题进行解释说明。
2.讲解因式分解的方法：提取公因式、分解差、分解和。
三、讲解并练习（20分钟）1.板书例题：12x+15、提问：“这里有没有可以提取的公因式呢？”学生回答后，引导学生进行计算，并给予表扬。
2.板书例题：16x-8、提问：“这里有没有可以提取的公因式呢？”学生回答后，引导学生进行计算，并给予表扬。
3.板书例题：5a+10b。
提问：“这里有没有可以提取的公因式呢？”学生回答后，引导学生进行计算，并给予表扬。
四、归纳总结（10分钟）让学生通过练习题进行总结，并列出因式分解的基本方法。
最后，教师给予肯定和鼓励。
五、巩固练习（15分钟）教师出示练习题，让学生独立完成并相互核对。
六、拓展延伸（10分钟）举一些实际问题，让学生用因式分解的方法解决。
七、课堂小结（5分钟）教师进行课堂小结，并与学生互动，检查学生的学习情况。
布置课后作业，要求学生完成相关作业题，并预告下一节课内容。
九、教学反思（2分钟）教师进行教学反思，总结本节课的教学过程，回顾教学的亮点和不足之处。
因式分解教案
因式分解教案一、教学目标1. 让学生理解因式分解的概念和意义。
2. 培养学生运用提公因式法和公式法进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力，感受数学与生活的联系。
二、教学内容1. 因式分解的定义和分类2. 提公因式法3. 公式法4. 因式分解的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：因式分解的概念、提公因式法和公式法的运用。
2. 教学难点：灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究因式分解的方法。
2. 运用案例教学法，分析实际问题，让学生感受数学与生活的联系。
3. 采用小组合作学习法，培养学生团队合作精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过实例引入因式分解的概念，让学生初步认识因式分解。
2. 讲解与演示：讲解提公因式法和公式法的原理，并通过例题演示解题过程。
4. 应用拓展：结合实际问题，让学生运用因式分解的方法解决问题。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作表现，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估其对因式分解概念和方法的理解程度。
3. 应用问题评价：评估学生在解决实际问题中的应用能力，以及对因式分解意义的把握。
七、教学资源1. PPT课件：制作含有丰富实例和动画的PPT课件，帮助学生直观理解因式分解。
2. 练习题库：准备一定量的因式分解练习题，包括不同难度的题目，以便进行课堂练习和课后巩固。
3. 实际问题案例：收集一些与生活实际相关的问题，供学生应用因式分解解决。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍因式分解的概念和分类。
2. 第二课时：讲解提公因式法，并进行练习。
3. 第三课时：讲解公式法，并进行练习。
4. 第四课时：应用因式分解解决实际问题。
九、课后作业1. 巩固因式分解的基本概念和方法。
2. 练习提公因式法和公式法的应用。
3. 尝试解决一些实际问题，运用因式分解方法。
通过因式分解教案掌握知识点
通过因式分解教案掌握知识点一、教学目标：1. 让学生理解因式分解的概念和意义。
2. 培养学生运用因式分解解决问题的能力。
3. 帮助学生掌握因式分解的方法和技巧。
二、教学内容：1. 因式分解的定义和性质2. 提公因式法3. 公式法4. 交叉相乘法5. 分组分解法三、教学重点与难点：1. 教学重点：因式分解的概念、方法及运用。
2. 教学难点：因式分解的技巧和策略。
四、教学方法：1. 实例讲解法：通过具体例子讲解因式分解的方法和技巧。
2. 练习法：让学生通过大量练习，巩固所学知识。
3. 小组讨论法：引导学生分组讨论，共同解决问题。
五、教学过程：1. 引入：通过一个实际问题，引发学生对因式分解的兴趣。
2. 讲解：讲解因式分解的定义、性质和各种方法。
3. 练习：让学生进行因式分解的练习，巩固所学知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
6. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固知识。
六、因式分解在实际问题中的应用1. 通过实际问题，让学生了解因式分解在数学和其他领域的应用。
2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。
七、因式分解的拓展与提高1. 引导学生思考因式分解的拓展问题，提高学生的思维能力。
2. 介绍因式分解在高等数学中的应用，激发学生的学习兴趣。
八、因式分解在考试中的策略1. 分析考试中因式分解题型的特点和规律。
2. 引导学生掌握解题策略，提高解题效率。
九、因式分解的错误分析与避免1. 分析学生常见的因式分解错误，引导学生避免犯错。
2. 培养学生严谨的数学思维，提高解题质量。
2. 鼓励学生反思自己的学习过程，提出问题并解决。
六、因式分解在实际问题中的应用1. 案例分析：通过具体的生活实例，展示因式分解在实际问题中的应用。
2. 问题解决：引导学生运用因式分解解决实际问题，培养学生的应用能力。
七、因式分解的拓展与提高1. 知识拓展：介绍因式分解在其他数学领域的应用，如数论、代数方程等。
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板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）能运用因式分解的方法进行代数式的变型，解决有关问题板块一：换元【例1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
重、难点中考要求例题精讲第四讲因式分解拓展篇【例2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22++++-x x x x(52)(53)12【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15+++++x x x x【巩固】分解因式：22++++-x x x x(1)(2)12【例3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4+++++是一个完全平方数.234x y x y x y x y y【例4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2+---a a a(25)(9)(27)91【巩固】分解因式22++++-(32)(384)90x x x x【例5】分解因式：2222--+--+-4(31)(23)(44)x x x x x x【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【例6】 (重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272x x +-+-【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++-板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根pc q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.【例7】 分解因式：32252x x x ---【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例8】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++L L 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.【例9】 用待定系数法分解因式：51x x ++【巩固】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【巩固】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?【例10】 分解因式：43223x x x x ++-+板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++， 222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z、、轮换(即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变．这样的多项式称为x y z、、的轮换式．、、的轮换式．显然，关于x y z、、的对称式一定是x y z 但是，关于x y、，z的轮换式不一定是对称式．例如，222++就不是对称式．x y y z z x次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例11】分解因式：222x y z y z x z x y-+-+-()()()【例12】分解因式：222222-+-+-xy x y yz y z zx z x()()()家庭作业练习 1．分解因式：2++++-x x x x x4(5)(6)(10)(12)3练习 2．要使()()()()-+--+为完全平方式，则常数m的值为________1348x x x x m练习 3．分解因式：22+++++(68)(1448)12x x x x练习 4．分解因式：22222++-+()4()x xy y xy x y练习 5．分解因式：32252---x x x练习 6．分解因式：32+++6116x x x练习 7．用待定系数法分解：541++x x练习 8．分解因式：333-+-+-()()()a b c b c a c a b板块一：换元【例13】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++【例14】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++-方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【解析】 2(2)(6)(810)x x x x ++++【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】 2(1)(2)(5)x x x x -+++【例15】 证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】 设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x +(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++24652u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=例题精讲∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++【例16】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【解析】 原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=-----设2215a a x --=，原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =---- 2(4)(27)(28)a a a a =-+--【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【解析】 原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-225y x x =+原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-【例17】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【解析】 咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+. 故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--22222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦.【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【解析】 由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--【例18】 (重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272x x +-+-【解析】 设1322x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++-422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+22(5)(1)(419)x x x x =+-++【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++-【解析】 为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根pc q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.【例19】 分解因式：32252x x x ---【解析】 02a =-的因数是1±，2±，2n a =的因数是1±，2±．因此，原式的有理根只可能是1±，2±(分母为1)，12±．因为(1)21526f =---=-，(1)21520f -=--+-=，于是1-是()f x 的一个根，从而1x +是()f x 的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列， 没有的补0：可得原式2(232)(1)x x x =--+(2)(21)(1)x x x =-++【点评】 观察，如果多项式()f x 的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明(1)0f =；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f -=.【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【解析】 本题有理根只可能为1±.1+当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1-是根，所以原式有因式1x +，原式5432(1)(221)x x x x x x =++++++&容易验证1-也是5432221x x x x x +++++的根，5432221x x x x x +++++42(1)(21)x x x =+++22(1)(1)x x =++，所以65432234321x x x x x x ++++++222(1)(1)x x =++【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+- 【解析】 322392624x x y xy y -+-(2)(3)(4)x y x y x y =---【例20】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【解析】 常数项abc -的因数为a ±，b ±，c ±，ab ±，bc ±，ca ±，abc ±把x a =代入原式，得32()()a a b c a ab bc ca a abc -+++++-332222a a ba ca a b abc a c abc =---+++-0=所以a 是原式的根，x a -是原式的因式，并且 32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++- 322()[()()]()x ax b c x a b c x bcx abc =--+-++-2()[()]x a x b c x bc =--++()()().x a x b x c =---2323222232125222 35 33 22 22 0x x x x x x x x x x x x x x --+---+--------【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【解析】 如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么1-一定是它的根．现在正是这样：()(32)(23)2()0l n l m n l m n m n -+++-----+= 所以1x +是原式的因式，并且32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+322[()()][(2)(2)][2()2()]l m x l m x l m n x l m n x m n x m n =+++++-++--+++ 2(1)[()(2)2()]x l m x l m n x m n =++++--+(1)(2)()x x lx mx m n =+++--板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++L L 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.【例21】 用待定系数法分解因式：51x x ++【解析】 原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-523254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故010101a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以52321(1)(1)x x x x x x ++=++-+ 事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积? 【解析】 我们知道42221(1)(1)x x x x x x ++=++-+.421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果421x x -+能够分解，那么一定分解为22(1)(1)x ax x bx ++++或22(1)(1)x ax x bx +-+- 比较3x 与2x 的系数可得:021a b ab +=⎧⎨±=-⎩(1)(2)由(1)得b a =-，代入(2)得221a =±+，即23a =或21a =-，没有整数a 能满足这两个方程． 所以，421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的积 (从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?【解析】 设6332321(1)(1)x x x ax bx x cx dx +-=+++++-，比较5x ，3x 及x 的系数，得010a c ad bc b d +=⎧⎪+=+⎨⎪-=⎩由第一个方程与第三个方程可得c a =-，d b =,再把它们代入第二个方程中，得1ab ab -=矛盾! 所以，631x x +-不可能分解为两个整系数的三次因式的积．【例22】 分解因式：43223x x x x ++-+【解析】 原式的有理根只可能为1±，3±，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想43223x x x x ++-+可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设43223x x x x ++-+22()()x ax b x cx d =++++ ⑴其中整系数a b c d 、、、有待我们去确定．比较⑴式两边3x ，2x ，x 的系数及常数项，得1213a c b d ac bc ad bd += ⎧⎪++= ⎪⎨+=- ⎪⎪= ⎩ (2)(3)(4)(5)这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了b d 、是整数!根据这一点，从(5)可以得出13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩，当然也可能是31b d =⎧⎨=⎩或31b d =-⎧⎨=-⎩ 在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩这两种情况． 将1b =，3d =，代入(4)，得31c a +=- ⑹将⑹与⑵相减得22a =-，于是1a =-，再由⑵得2c =这一组数(1a =-，1b =，2c =，3d =)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此43223x x x x ++-+22(1)(23)x x x x =-+++ ⑺将1b =-，3d =-，代人⑷，得31c a --=- ⑻将⑻与 ⑵相加得20a -=.于是0a =，再由 ⑵得1c =.这一组数(0a =，1b =-，1c =，3d =-)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而4322223(1)(3)x x x x x x x ++-+=-+-/.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++， 222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变． 这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式． 但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例23】 分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-【解析】 222()()()x y z y z x z x y -+-+-是关于x y z 、、的轮换式．如果把222()()()x y z y z x z x y -+-+-看作关于x 的多项式，那么在x y =时，它的值为222()()()0y y z y z y z y y -+-+-=.因此，x y -是222()()()x y z y z x z x y -+-+-的因式．由于222()()()x y z y z x z x y -+-+-是x y z 、、的轮换式，可知y z -与z x -也是它的因式．从而它们的积()()()x y y z z x --- ⑴是222()()()x y z y z x z x y -+-+- ⑵的因式．由于⑴ 、⑵都是x y z 、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有 222()(.)()()()()x y z y z x z x y k x y y z z x -+-+-=--- ⑶现在我们来确定常数k 的值．为此，比较⑶的两边2x y 的系数：左边系数为1，右边系数为k -．因此，1k =-．于是222()()()x y z y z x z x y -+-+-()()()x y y z z x =----【例24】 分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-【解析】 此式是关于x ，y ，z 的四次齐次轮换式，注意到x y =时，原式0=，故x y -是原式的一个因式.同理，y z -，z x -均是原式的因式，而()()()x y y z z x ---是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为()k x y z ++，故原式()()()()k x y z x y y z z x =++---，展开并比较系数可知，1k =-，故原式()()()()x y z x y y z z x =-++---.练习 9． 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【解析】 原式2224(1760)(1660)3x x x x x =++++-2224(1660)(1660)3x x x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦22224(1660)4(1660)3x x x x x x =+++++-22[2(1660)][2(1660)3]x x x x x x =++-+++ 22(231120)(235120)x x x x =++++2(215)(8)(235120)x x x x =++++练习 10． 要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________【解析】 ()()()()1348x x x x m -+--+22222(54)(524)(5)20(5)96x x x x m x x x x m =-+--+=----+则196m =练习 11． 分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【解析】 原式(2)(4)(6)(8)12x x x x =+++++22(2)(4)(6)(8)12(1016)(1024)12x x x x x x x x =+++++=+++++21016t x x =++原式(8)12(2)(6)t t t t =++=++22(1018)(1022)x x x x =++++练习 12． 分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【解析】 设22x y a +=，xy b =，则原式22222()4()()a b ab a b x y xy =+-=-=+-.练习 13． 分解因式：32252x x x ---【解析】32252(2)(21)(1)x x x x x x ---=-++练习 14． 分解因式：326116x x x +++【解析】3226116(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x x x x +++=+++=+++练习 15． 用待定系数法分解：541x x ++【解析】 原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-5423254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++ 故110100a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以54231(1)(1)x x x x x x ++=++-+家庭作业事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习 16． 分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【解析】 333()()()a b c b c a c a b -+-+-是关于a b c 、、的轮换式．它有三次因式()()()a b b c c a ---．由于原式是a b c 、、的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a b c 、、的四次齐次式，所以这个一次因式也是a b c 、、的一次齐次式，即它的常数项是0(否则，它的常数项与三次式()()()a b b c c a ---相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是a b c 、、的轮换式，形状应当是()k a b c ++k 是常数． 即有333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++--- ⑴ 比较两边3a b 的系数，得1k =-于是333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()a b c a b b c c a =-++--- 上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使()()()()0a b c a b b c c a ++---=/的数代替a b c 、、从而定出k ， 例如，令2a =,1b =,0c =,把它代入⑴，得8203(2)k -+=⋅⋅-,即1k =-, 以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解析】2(5)(510)a a a a --+ 【备选2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 【解析】 设xy u =，x y v +=,原式(1)(1)(1)(1)(1)(1)u v u v y x x y =+--+=++--【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--【解析】 原式的有理数根只可能为：1±，2±，12±，13±，23±，16± 经检验12-是一个根，所以21x +是原式的因式，进而可得： 43232265332(21)(32)(21)(32)(1)x x x x x x x x x x x x ++--=+++-=+-++月测备选。