34.正弦、余弦函数的性质1

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

∴f(x)为奇函数．
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探究三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
[答案] D
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23.
∴f53π＝
3 2.
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方法技巧三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使更全面的研究函数图象特征．
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
而 z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函
数值才能重复取得，所以函数 f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2．将本例(2)改为：求函数 y＝|1＋sin x|的最小正周期．解析：∵y＝|1＋sin x|＝1＋sin x，∴T＝2π.
f(5)＝cos53π＝12，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为 0，
即周期为 6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝12－12－1＝－1. [答案] －1
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正弦函数和余弦函数的图像与性质

x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)，使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的最小正周期。
解：偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；

2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x

，但 x 可以取，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2

f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)，减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2

3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6

正弦函数、余弦函数的性质(一).doc

高一必修4：第一章三角函数1.4三角函数的图像和性质第2课时：正弦函数、余弦函数的性质（一）编写：皮旭光目标导航|课时目标呈现【学习目标】1. 学习周期性的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期两数的定义进行简单的拓展运用。

2. 会判断正弦、余弦函数的奇偶性；探讨归纳正弦、余弦函数的对称性（对称轴，对称屮心）。

【知识线索】正弦函数、余弦函数的性质1. ______________________________________ 定义域：正弦函数y = sin x 的定义域是______________________________________________________ ；余弦函数y = cos 兀的定义域是 ____________ 02. 值域： ___________________________________ 正弦函数、余弦函数的值域都是。

3. 周期性：（1）周期函数的定义:一般地，对于函数/（%）,如果存在一个非零常数使得当尢取定义域内的每一个值时，都有 ___________________ ，那么函数/（兀）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

（2）最小正周期的定义：对于一个周期函数/（x ）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/（劝的最小正周期.说明：研究三角函数的周期时，如未特别说明，一般是指它的最小正周期。

（3）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k7i （yiez 且斤HO ）都是它的周期，最小正周期是2/r o（4）一般地，函数 /（X ）= Asin （69X + （p ）及函数 /（兀）二 Acos@x + 炉），（其中 A 、co 、（p 为常数,A#）,coHO,xWR ）的周期为 T= _____ o4. __________________________ 对称性：正弦函数是余弦函数是 _________________正弦曲线关于 _________ 对称，对称中心是 ______________ 对称轴是 ______________ ；余弦曲线关于 _________ 对称，对称中心是 ______________ 对称轴是 ______________ o【知识建构】四环节导思教学导学案新知导学课前自主预习疑难导思1.通常我们从哪些方面研究函数的性质？（如：定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等等）2.(1)对于函数y = sinx,xe R有sin(兰+空)=sin兰，能否说也是它的周期？为什么？6 3 6 3(2) /(x) = %2是周期函数吗？为什么？3.回答35页“思考”。

正弦、余弦函数的性质1

什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是比别人学得慢
一看就懂一做就错
看得懂，但不会做
总是比别人学得差不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力（利用现有知识解决问题）
学习知识的能力（学习新知识速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
正弦、余弦函数的性质
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的性质
三、正弦、余弦函数的奇偶性
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步获取并理解你要学习的内容
（一）理解并获取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。想要理解，建议至少把书翻三遍。

正弦函数、余弦函数的性质(1)

三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质（第一课时）
正弦、余弦曲线复习： y = sin x, x∈R y 1
x
-2 -
o -1

2
3
4
y = cos x, x∈R
一、周期性：
（1）图象特征：图象从Ｘ轴看等距离重复出现；（2）数值特征：当自变量x每增加 2 的整数倍时，函数值重复出现。（3）定义：若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称函数f(x) 为周期函数；非零常数 T叫做这个函数的周期．
周期。 3、周期函数不一定存在最小正周期。例如f(x)=c 如正弦函数的和余弦函数的的最小正周期为 2 4.如果不加特别说明，教科书提到的周期一般都是最小正周期
最小正周期的定义：对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
4
例2：求下列函数的周期
(1) y 3cos x, x R (2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6
你能从例2的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ P40 练习 1 2 3
例3：已知函数 y f ( x )的周期是3，且当x [0,3] 2 f ( x ) x 1 ，求 f (1), f (5), f (16). 时，
性质2(周期性）：正弦函数y=sinx，余弦函数 y=cosx都是周期函数，且它们的周期为
2k (k z, k 0)
最小正周期是
2
例1、求下列函数的周期: (1) y 3 cos x, x R; ( 2) y sin 2 x, x R; 1 (3) y 2 sin( x ), x R; 2 6 ( 4) y A sin( x ), x R.( A 0) 形如y A sin( x ), x R.( A 0) 总结： y A cos(x ), x R.( A 0) 2 k 的函数的周期为：T

1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)

2) y = sin 2 x 1
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结：课堂小结：
1. 定义法公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地，一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，为常数，的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值、
利用正弦函数和余弦函数的图象，例2.利用正弦函数和余弦函数的图象，利用正弦函数和余弦函数的图象求满足下列条件的x的集合的集合：求满足下列条件的的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点：最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点：与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点：在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点：最高点：最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点：与x轴的交点： ( 轴的交点最低点：最低点：

正弦函数、余弦函数的性质(一)

(2) 令 z 2x，x R，则 y sin z，z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x，x R
y sin 2x 的周期是；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
26
解：令 z 1 x ，x R，则 y 2sin z，z R
有界性的条件．
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解：由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2， sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[－__1_，__1_]__.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
y
y sin x , x R

正弦函数、余弦函数的图象与性质1

正弦函数、余弦函数的图象与性质➢教学重点：1．正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）．2．充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质．➢教学难点：1．利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象．2．利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线．3．周期函数与（最小正）周期的意义．➢教学方法：多媒体教学．➢教学过程：第一课时正弦函数、余弦函数的图象与性质一、引入课题电脑演示一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数的图象，并指出研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具就是——函数图象．那么，三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容．二、新课讲授1．正弦函数的图象下面我们一起来画正弦函数的图象．说明：（1）这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；（2）描点；（3）作图．提问：我们作出了正弦函数在区间[)π2,0上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R ）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间[)ππ4,2上其函数图象与在[)π2,0上是一样的，在[)0,2π-上也一样，在其他区间上也是一样．每隔2π正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴．可以想象，正弦函数的图象是怎样的？（电脑演示完整的正弦函数图象）说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线．2．五点法作正弦函数图象可以看出这种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为：几何法．虽然几何法作图精确，但太麻烦，不容易操作．有没有简单点的方法作三角函数的图象呢？请同学们观察在[0，2π]上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）[电脑显示这五个点，以示突出]所以我们只要画出这五个点，这个图形就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。

正弦函数余弦函数的性质(单调性)

正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。

单调性是其中之一。

本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。

我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。

正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。

余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。

这两个函数都是周期函数，其周期为2π。

下面我们分别来介绍它们的单调性。

正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。

具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。

从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。

我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。

正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。

正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。

这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。

通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。

除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。

这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。

希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。

高一七班1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

单调性
一.利用正余弦函数性质求最值： • 例1：求使得下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别求出最大值、最小值：
3 1 例题： y cos( x ) 2 2 6
x 练习: y 2 cos 3 当x x x 6k 3 , k z时，函数取最大值3
§1.4.3正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦函数在每一个闭区间_______ 上都是增函数，其值从-1增加到1；在每一个闭区间 ______上都是减函数，其值从1减少到-1；
2.余弦函数在每一个闭区间_____上都是增函数，在每一个闭区间_______上都是减函数; 3.正弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当且仅当x=_____时取得最小值。 4.余弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当且仅当x=_____时取得最小值。
正弦函数定义域值域 [-1,1] 周期奇偶性 R
余弦函数
R
[-1,1]
2π
奇函数
单调递增区间： π π [ 2kπ, 2kπ](k Z) 2 2 单调递减区间： π 3π [ 2kπ, 2k [2kπ, π 2kπ](k Z) 单调递增区间： [2kπ π, 2kπ 2π](k Z)
1 练习求函数y sin( x)的单调递增区间 1: 3 2

1 练习2: 求函数y sin( x), x [2 , 2 ]的递增区间 3 2
例：根据正余弦函数的图像，写出使下列不等式成立的x的取值集合：
(1)sin x 0
1 (2)sin x 2
当x x x 6k , k z},函数取得最小值1
二.利用正、余弦函数的单调性比较大小：

高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)

∴函数f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数．
③f(x)＝
（1－cos2x）＋sin 1＋sin x
x
＝
sin2x＋sin 1＋sin x
x
＝sin
x，但函数应满足1＋sin
x≠
0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考题3 (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin
x－tan x
x；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1－cossi2nx
； x
④f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
【答案】 ①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶函数
(2)函数f(x)＝7sin(23x＋152π)是( A )
(2)若本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“
11π 12
”，其他
条件不变，结果如何？
【解析】 f5π 3 ＝f5π 3 －111π2 ×2＝f－π6 ＝－fπ6 ＝－sin π6 ＝－12.
(3)若本例(1)中的条件不变，求当x∈[－π，0]时函数的解析式．
【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为x∈0，π2 时，f(x)＝sin x，所以当x∈－π2 ，0时，－x∈0，π2 ，所以 f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝f(x)，即当x∈－π2 ，0时，f(x)＝－sin x，
π (2)已知函数f(x)＝ 2sin(x＋ 4 ＋φ)是奇函数，则φ的值可以是( B )
A．0
B．－π4

正弦、余弦函数的性质高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ,(2k + 1)π](k ∈ Z)上都单调递减，其值
从1减小到-1.
二新知教学——性质3单调性与最值
正弦函数、余弦函数单调性巩固提高
1
2
求函数 = , ∈ [−2, ]的单调增区间
解题锦囊：
1
令z= ,
2
∈ [−2, ], 当自变量增大时，

6
代数变形
化为周期函数形式
1
2
1
2

6

6
1
2
1
2

6

6
二新知教学——性质1周期性
探究周期公式
从前面的例子中可以看出，函数 = ( + )， ∈ ℛ
及函数 = ( + )， ∈ ℛ
（其中，，为常数，且 ≠ 0， > 0）的周期只与自变量的系
数有关。

当且仅当x=− +2k,( ∈ )时取得最小值-1。

余弦函数当且仅当 x=2k,( ∈ )时取得最大值1，
当且仅当 x=(2k+1),( ∈ )时取得最小值-1。
二新知教学——性质3单调性与最值
正弦函数、余弦函数最值巩固提高
求函数 = + 1, ∈ 的最大值，最小值。并写出取最
刚才的解答过程，你能发现
2 （ + 2） = 2
于是
2 （ − + 2） = 2 （ − ）
这些函数的周期与解析式中
所以
2 [ ( + 4) − ] = 2 （Байду номын сангаас − ）
由周期函数定义可得，原函数的周期为 4

高中数学弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)课件新人教A版必修第一册

[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数周期最小正周期奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．

正弦函数、余弦函数的性质(经典)

倍角恒等式用于计算一个角的两倍角的三角函数值，例如
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分，可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系，复数可以用三角函数的形式表示，而三角函数也可以用复数进行计算和分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的定义非常相似，因此可以将复数的运算转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$，即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性质和应用，例如：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等。这些变换在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的性质【知识点分析】一、周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.知识点分析：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．三、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．知识点分析：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()x k k z πωϕπ+=±∈解出．知识点分析：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心．【例题及练习】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =例2.求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域例3．求下列函数的值域：（1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）cos 2cos 1x y x -=-．例4.求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例5．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．例6。

高一数学正弦函数、余弦函数的性质1

周期函数？
例6. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2] 时，f(x)=x－2，求f(10)的值. 几个周期函数定义的等价式：
f ( x a) f ( x), f ( x a) f ( x a)，a 0 1 1 f ( x a) , f ( x a) T 2a f ( x) f ( x)
-1
2
探求新知
余弦函数的定义域为R.
余弦函数的值域为 [-1 ， 1].
当且仅当
x 2 k , k Z
ymax 1
当且仅当 x 2 k , k Z ymin 1
余弦函数是偶函数. 余弦函数是周期函数.
2
2
2 2
拓展延伸
例7. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x) 的最小正周期为 , 当x [0, 5 f(x)=sinx,求f( )的值. 3

2
]时,
拓展延伸
例8. 求下列函数的值域.
(1) y cos x 2 sin x 2;
2
2 cos x (2) y . 2 cos x
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
余弦曲线关于点
p (k p + , 0) 2
对称.
余弦曲线关于直线x=kπ 对称.
函数
sinx
cosx
对称轴 x k 2
对称中心
(k , 0)
( k , 0) 2
x k

课时1 正弦函数、余弦函数的性质(一)

利用周期性、奇偶性求函数值利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正整数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性等性质求解．
设函数 f(x)＝3sinωx＋π6，ω＞0，x∈R，且以π2为最小正周期．若 α 为第四象限的角，且 fα4＋1π2＝59，则 sin α 的值为－45 .
解析：因为 f(x)的最小正周期为π2，ω＞0，所以 ω＝2ππ＝4.所以 f(x) 2
5．4 三角函数的图象与性质
5．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
课时1 正弦函数、余弦函数的性质(一)
函数的周期性是函数性质的一个重要方面，而三角函数恰好是周期函数的典型代表，由正弦函数、余弦函数的图象的对称性，联想到正弦函数、余弦函数的奇偶性，正弦函数、余弦函数周期性和奇偶性的研究为进一步研究 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换打下基础．
本节课从正弦函数、余弦函数的图象出发，引入函数周期性的概念，并介绍了 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)型函数周期的计算方法，根据正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y 轴对称及诱导公式三得出正弦函数和余弦函数的奇偶性．
教学时，建议教师让学生从图象出发，自主分析图象特征，自主归纳周期性、周期公式；在自主归纳奇偶性的基础上进一步归纳对称中心、对称轴的表达式．体会观察、分析、归纳、应用的数学学习和研究过程．
解：(1)f(x)的定义域为 R.因为 f(x)＝－xcos x，所以 f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcos x＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为 R.因为 f(－x)＋f(x)＝lg[sin(－x)＋ sin2－x＋1]＋ lg(sin x＋ sin2x＋1)＝lg(sin2x＋1－sin2x)＝0，即 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x) 为奇函数．

正弦函数和余弦函数的性质

正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。

正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。

正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。

2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。

3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。

2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。

正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。

2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。

3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。

就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。

正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。

正弦函数余弦函数的性质

正弦函数余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质(1)知识点包括周期性、正、余弦函数的奇偶性、求函数周期的三种方法、利用定义判断函数奇偶性的三个步骤、三角函数周期性与奇偶性的解题策略、探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式、函数的奇偶性与对称性的拓展等部分，有关正弦函数、余弦函数的性质(1)的详情如下：周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋t)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．(3)正弦函数y＝sin x(x∈r)和余弦函数y＝cos x(x∈r)都是周期函数，最小正周期为2π,2kπ(k∈z且k≠0)是它们的周期．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sin x(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈r)是偶函数，图象关于y轴对称．求函数周期的三种方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋t)＝f(x)的非零常数t.该方法主要适用于抽象函数．(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．(3)公式法：利用定义判断函数奇偶性的三个步骤三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．还可以用求周期．(2)判断函数y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝a sin ωx或y＝a cos ωx其中的一个．即y＝a sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ时为奇函数，当φ＝时，为偶函数．y＝a cos(ωx＋φ)，当φ＝时为奇函数，当φ＝kπ时为偶函数．探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈r得z∈r，且函数y＝a sin z，z∈r及函数y＝a cos z，z∈r的周期都是2π.因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝，所以，自变量x增加函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会重复出现．即t＝是使等式a sin[ω(x＋t)＋φ]＝a sin(ωx＋φ)，a cos[ω(x＋t)＋φ]＝a cos(ωx＋φ)成立的最小正数，从而，函数y＝a sin(ωx＋φ)，x∈r及函数y＝a cos(ωx＋φ)，x∈r的周期t＝函数的奇偶性与对称性的拓展y＝sin x，(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(kπ，0)(k∈z)，也是轴对称图形，其对称轴为x＝kπ＋(k∈z)．y＝cos x也是如此，总结如下。