10转动学

l
2 2 1 l 2 l l 2 J2 = m2( ) + m2( + ) 12 2 2 4 7 1 3 2 2 2 m 2l m2l + m2 ( l) = = 12 48 4 2 l J = J1 + J2 = (m1 + 7 m 2 ) 12
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1 l 2 J1 = m1( ) 3 2
13 L= MR υ MRu 8 dL 由角动量定理 M = dt 1 d 13 MgR = ( MR υ MRu ) 2 dt 8 13 dυ MR = 8 dt dυ 4 a= g = dt 13
也可由牛顿定律 和转动定律求之
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1 J 1 = ml 3
2
l
o
2
R
J 2 = J C + Md
m
M
1 = MR 2 + M ( l + R ) 2 2 1 1 2 J = J 1 + J 2 = ml + MR 2 + M ( l + R ) 2 3 2
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(2)、直棒长 l ，两部分组成如图 、
m1
o
l
m2
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1
小 一、刚体定轴转动的描述
结
★刚体的定义和特点 大小和形状始终保持不变，刚体 大小和形状始终保持不变， 始终保持不变 内质点间的相对位置保持不变 ★刚体的定轴转动 各点都作圆周运动， 角量（θ， 各点都作圆周运动， 角量（θ，ω，β）都一样 ★刚体定轴转动的角量描述
θ= θ (t )
1
θ2
1 2 1 2 A = Jω 2 Jω 1 2 2
3
5.6 角动量守恒定律 动量矩） 一、角动量（=动量矩） 角动量（ 动量矩 1.质点的角动量 质点的角动量
若质点作圆周运动
o r r θ r r r r r L r m L = r × p = r × mv 大小： 大小： L = mvr sin θ r o ' Lo' = 0 v 方向： 沿通过O点的轴线 方向： 沿通过O点的轴线 r r r rrm r× 其指向与 r v方向一致 r r
= mr ω = Jω r r r L = Jω 方向： 方向： ω方向相同 与
大小： = mvr 大小： L
2
4
r r r v p = mv
L = r × mv
or L
ω
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2.刚体的角动量 刚体的角动量
r r r L = ∑ Li = (∑Ji )ω
r r Li = Ji ω
r z ω
例3
匀质细杆长 l ，质量 M， ，
其一端挂在光滑水平轴上静止 一子弹质量 m ，从杆中点穿过 速度由
υ 0 变为 υ
υ0
υ
(1)、求：杆开始转动时角速度 、
ω
解：以子弹、杆为研究对象， 以子弹、杆为研究对象， 作用时间很短，重力可以忽略， 作用时间很短，重力可以忽略， 系统相对于转轴外力矩为零，角动量守恒。 系统相对于转轴外力矩为零，角动量守恒。
v = ω× r
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v = ωr r r r
dθ ω= = dt
dω d θ = β= dt dt
2
at = rβ 2 an = rω
2
二、 转动定律 ★力矩
r r r M oz = r × F
标量写法
★转动定律
JC = mR 2 三、转动的动能定理
★均匀圆盘 ★力矩的功 ★转动的动能定理
θ= θ (t )
v = ω× r
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v = ωr r r r
dθ ω= = dt
dω d θ = β= 2 dt dt
at = rβ 2 an = rω
9
二、 转动定律 ★力矩
r r r M oz = r × F
标量写法
★转动定律
三、转动的动能定理 ★力矩的功 A= ★转动的动能定理
2
(2) A 外力矩 =
ω 3Rω t= = 4g β
Jω' Jω 2 2
2
2
也可用下式求
A = M θ
1 2 2 = mR ω 4 12
例2： ：
轴的转动惯量(O 轴垂直纸面) 写出下列刚体对 O 轴的转动惯量 轴垂直纸面
(1)、半径 R，质量 M 的均匀圆盘，长为 l ，质量 m 的均匀直棒 、 的均匀圆盘， ， （横板乒乓球拍） 横板乒乓球拍） 解：直棒绕一端 圆盘绕 O 轴
dM ' = rdf ' = rdm' g m dM = rσdsg = r 2 2πrdrg R πR r ω R 2mg o dr 2 2 gR M=∫ r dr = m 2 0 3 R dm' 1 M = J β J = mR2 1 1
解: (1)
df ' = dm' g
0 = ω β t
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2 1
此式对刚体系统仍然成立
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r r r r r ∫t Mdt = L2 L1 = Jω2 Jω1
t2
1
三、角动量守恒定律 几点说明： 几点说明：
r M =0
r r L = Jω = 恒矢量
ω 不变 ω 变化
（1）角动量守恒应是 的乘积守恒 ）角动量守恒应是Jω的乘积守恒
若 J 不变 若 J 变化
重物上升的速度 υ 取人、滑轮、 取人、滑轮、重物为研究对象
a=? u = 常量
R
M
4
υ
M
M 2
运用角动量定理
1 1 M ′ = MgR MgR = MgR 2 2
人相对地的速度 系统的角动量
υ 1 11 2 L = MυR + MR ω M ( u υ ) R
2 24
19
u υ
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2 2 1 1
r r dP =F dt
成立。 成立。
6
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2. 刚体的角动量定理
r r r r dL dω d r = ( Jω) = M = Jβ = J dt dt dt r
v dL M= dt
2 1
r r Mdt = dL
r r r r r r r t L r ∫t Mdt = ∫L dL = L2 L1 = Jω2 Jω1
Jω 2 cosθ = 1 Mgl 2 3m = 1 (υ 0 υ ) 2 2 4 M gl
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EP = 0
ω
ω =0
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例4
水平桌面上一均匀细棒， 水平桌面上一均匀细棒，长 l ，质量 M，可绕 O 点转动
与桌面滑动摩擦系数为
小滑块质量 m ，水平速度 υ 1 碰撞， 垂直棒的另一端 A 碰撞， 方向相反。 碰后速度 υ 2 ，与 υ 1 方向相反。 求：细棒开始转动至停止需要时间？ 细棒开始转动至停止需要时间？ 过程一： 解：过程一：滑块与棒碰撞 滑块与棒碰撞， 滑块与棒碰撞，角动量守恒 设：细棒碰后转动角动量 L 选正方向如图
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(mi ri2 ) J = r 2dm ∑ m 1 1 i =1 2 2 mL ★平行轴定理 ★均匀杆 J = mL JC = 12 3 1
★转动惯量 J =
2
M =n J β
r r M = Jβ
M = ±Fr sin
∫
J = JC + mh
2
d A = ∫ dA = ∫θ M θ
1
五、角动量定理
r r r r r ∫t Mdt = L2 L1 = Jω2 Jω1
t2
L = Jω
六、角动量守恒定律
r M =0
r r L = Jω = 恒矢量
11
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例1： 一质量为m，半径为R的圆盘放在水平桌面上，轴光 ： 的圆盘放在水平桌面上， 滑，撤消外力时其转动角速度为ω。若盘与桌的摩擦 盘停止的时间？ 合外力的功 合外力的功？ 系数为，求(1)盘停止的时间？(2)合外力的功？ 盘停止的时间
∫
d ∫ dA= ∫θ M θ
1
θ2
1 2 1 2 A = Jω 2 Jω 1 2 2
10
四、角动量 ★质点的角动量
r r r r r L = r × p= r × m v
大小： 大小：
L = mvr sin θ
★刚体的角动量
方向： 沿通过O点的轴线 方向： 沿通过 点的轴线
用标量
r r L = Jω
系统的角 动量可视 为守恒。 为守恒。
r r r (2) 若系统 外 ≠ 0, 但 内 >> M外 M M
（3）角动量定理、角动量守恒定律只适用于惯性系 ）角动量定理、
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第二章之刚体的转动小结 一、刚体定轴转动的描述 ★刚体的定义和特点 大小和形状始终保持不变，刚 大小和形状始终保持不变， 始终保持不变 体内质点间的相对位置保持不 ★刚体的定轴转动 变 各点都作圆周运动， 角量（θ， 各点都作圆周运动， 角量（θ，ω，β）都一样 ★刚体定轴转动的角量描述 2
ω
M
A
m
o
l
0 + mυ 1 l = L mυ 2 l
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L = ml (υ 1 + υ 2 )
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过程二：细棒在摩擦力矩的作用下， 过程二：细棒在摩擦力矩的作用下，减速转动
M dm = dx l f = dmg
l
x
dx
ω
1 M f = ∫ dmgx = Mgl 0 2 t 由角动量定理 ∫ M f dt = L2 L1 = 0 L