棱柱、棱锥的概念和性质
高三数学棱柱棱锥有关概念性质
4.正三棱锥V—ABC中，AB=1，侧棱VA、VB、 VC两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为 ( C )
2 (A) 2
2 (B) 2
2 (C) 2
2 (D) 2
5.长方体三边之和为 +b+ c=6 ，总面积为 11 ， 则其对角线长为 5 ；若一条对角线与二个面所 成的角为 30 °或 45 °，则与另一个面所成的 角为 30 °；若一条对角线与各条棱所成的角为 α，β，γ，则罪α，罪β,犯γ的关系为_____ ___________________________.
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延伸·拓展
5.已知直三棱柱美国广播公司— A1B1C1 ， AB 西元前 =AC ， F 为 BB1 上一点， BF==2 ， FB1=一。 (1) 若 D 西元前为中点， E 西元为上不同于 A,D 的任意一点，求证： EF ⊥ FC1 ； (2)若 A1B1=3 ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角 的大小。 【说明】本例 (1) 中，由于 E 西元在上的任意 性，给证题带来些迷惑，但若认真分析题意， 将会发现 EF ⊥ FC1 与 E 点位置是无关的。 返回
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雾再次笼罩,到时候,绝对死路一条. "啊！" "有人被魔化了！" "救命啊,谁来救救俺?" 突然四周开始传来,无数の惨叫声和救命声,显然那些神力低,速度慢,来不及逃跑の练家子已经开始纷纷被杀,或者被魔化了. 逃！逃！逃！ 白重炙此刻眼睛都开始充血了,全身の血液开始沸腾起来, 死亡の威胁之下,他全身肌肉都微微颤抖,神晶内白色の神力狂涌而出,让他の速度再一次微微提升. 本书来自 聘熟 当前 第伍壹壹章 俺想和你呀们合作 文章阅读 五百米,四百米,三百米！ 白重炙此刻看到前方
棱柱棱台棱锥知识点总结
棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。
2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。
（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。
（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。
二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。
2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。
（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。
三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。
2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。
（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。
（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。
四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。
2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。
3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。
以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形的形状、大小、相对位置等性质。
在三年级数学学习中，我们开始接触了几何中的一些基本概念，比如点、线、面等。
今天，我们要进一步认识几何，探讨一下棱柱与棱锥这两个重要的几何概念。
一、棱柱的认识及性质1. 棱柱的定义棱柱是一种由两个平行多边形底面围成的立体图形。
棱柱的侧面是由棱连接两个底面的对应顶点所形成的，每条连接两个底面对应顶点的线段被称为棱。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是相似的多边形。
（2）棱柱的侧面是矩形。
（3）棱柱的棱和底面垂直。
（4）棱柱的高是连接两个底面的垂直线段。
二、棱锥的认识及性质1. 棱锥的定义棱锥是一种由一个多边形底面和每个底面顶点到一个点（顶点）的直线段所围成的立体图形。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形。
（2）棱锥的侧面是由棱和顶点连接而成的三角形。
（3）棱锥的高是连接底面重心与顶点的直线段。
三、棱柱与棱锥的区别1. 形状区别棱柱的底面和顶面都是多边形，而棱锥的底面是一个多边形，顶面是一个点。
2. 侧面区别棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
3. 应用区别棱柱的应用场景较多，比如圆柱、立方体等都属于棱柱的特例。
棱锥的应用场景相对较少，比如一些塔楼的形状就类似于棱锥。
四、实例分析案例一：儿童玩具积木儿童玩具积木常使用棱柱形的积木块，因为棱柱的底面具有平稳的性质，利于稳定玩具结构。
案例二：蛋糕结构蛋糕通常采用棱锥形的结构设计，底面是一个圆形或者椭圆形的多边形，顶部是尖锐的顶点，能够很好地装饰和制作成各种形状。
五、总结通过对棱柱与棱锥的认识，我们了解到它们是几何学中的两个重要概念。
棱柱的底面与顶面都是多边形，而棱锥的顶面是一点。
此外，棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
我们可以通过实际生活中的例子来更好地理解和应用这些几何概念，比如儿童玩具积木和蛋糕的结构设计等。
因此，在三年级数学学习中，我们需要进一步掌握棱柱与棱锥的形状特征及其性质，通过实际问题的应用，培养我们的几何思维能力。
七年级上册棱柱棱锥知识点
七年级上册棱柱棱锥知识点作为初中数学的一部分，七年级上册涉及到许多和几何图形相关的知识，其中包括棱柱和棱锥。
本文将深入探讨七年级上册所需掌握的棱柱和棱锥的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这些重要的几何概念。
一、棱柱的定义及性质棱柱是指有若干条棱的多面体，在棱柱中，所有的棱都是相等的，所有的侧面都是相等的并且平行于基面。
棱柱最基本的性质是它们有两个底面，这些底面是相同且平行的正多边形。
在棱柱中，侧面都是以棱为边，在棱柱的两个底面之间排列成平行面。
棱柱的高度由两个底面之间的距离确定。
棱柱有许多重要的性质。
首先，棱柱的侧面可以是任意形状的平面。
其次，在一个棱柱中，如果所有棱的长度都相等，则这是一个“正棱柱”。
正棱柱有许多有用的性质，例如，它的两个底面之间的距离是长度相等的所有棱所形成的正多边形的高度。
此外，正棱柱的侧面相等且平行于两个底面。
最后，正棱柱的所有顶点都位于一个共同平面中。
二、棱锥的定义及性质棱锥是具有一个底面和一个顶点的几何图形，由直线段(棱)连接底面上任意两个点并到顶点的几何图形。
棱锥有两个最重要的性质：它们必须有一个底面和一个顶点，并且连接底面和顶点的直线位于棱锥的侧面上。
在棱锥中，底面可以是任何形状的，但是当底面是正多边形时，我们称之为“正棱锥”。
正棱锥有许多有用的性质，例如，它的高度是底面到顶点的距离，这可以通过使用勾股定理来计算。
与正棱柱类似，正棱锥的侧面也是相等的并且平行于底面。
此外，正棱锥的每一个侧面都是一个顶角，并且位于一个共同的平面中。
三、棱柱和棱锥的表面积与体积图形的表面积和体积是数学中非常重要的概念，棱柱和棱锥也不例外。
棱柱的表面积是所有侧面和底面的面积之和，而棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = Bh，其中V表示棱柱的体积，B表示底面的面积，h表示棱柱的高度。
类似地，棱锥的表面积也是所有侧面和底面的面积之和，并且它的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3Bh，其中V表示棱锥的体积，B表示底面的面积，h表示棱锥的高度。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
高三数学棱柱、棱锥的概念和性质1
沙城中学补习班数学第一轮复习学案 编录：刘世亮第64讲：棱柱、棱锥的概念和性质一、棱柱(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:Sh V =柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，则截面和底面相似，且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=13Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高. 三、求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②利用体积比：（ⅰ）底面积相同积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的体积之比等于其底面积的比；③分割法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是 （B ） A .棱柱有一条侧棱与底面垂直 B .棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C .棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直D .棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直2.（2009·开封模拟）已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（C ） A .23 B .14 C .5 D .63.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分，则棱锥的侧棱分成两部分长度比（从上到下）为 （ A ） A .1∶1 B .1∶3 C .1∶2 D .1∶54.已知正四棱柱的对角线的长为6，则该正四棱柱的体积等于 2 .典例剖析例1 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是AC 中点. （1）求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；（2）求证：AB 1∥平面BEC 1； （3）若221=AB A A ，求二面角E —BC 1—C 的大小.（1）证明 ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴A 1A ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又∵BE ⊂平面BEC 1， ∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1.（2）证明 连结B 1C ，设BC 1∩B 1C =D ，连结DE .∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点.∵E 是AC 的中点，∴AB 1∥DE .∵DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1.（3）解 作CF ⊥EC 1于F ， FG ⊥BC 1于G ，连结CG . ∵平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1，∴CF ⊥平面BEC 1. ∴FG 是CG 在平面BEC 1上的射影.根据三垂线定理得，CG ⊥BC 1.∴∠CGF 是二面角E —BC 1—C 的平面角. 设AB =a ，∵221=AB A A ，则AA 1=22a . 在Rt △ECC 1中，CF =.6611a EC CC EC =⋅ 在Rt △BCC 1中，CG =.3311a BC CC BC =⋅ 在Rt △CFG 中， ∵sin ∠CGF =22=CG CF ，∴∠CGF =45°. ∴二面角E —BC 1—C 的大小为45°. 例2 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 是矩形且AB =2BC =2，侧面△ADE 是正三角形且垂直于底面ABCD ，F 是AB 的中点，AD 的中点为O .求：（1）异面直线AE 与CF 所成的角；（2）点O 到平面EFC 的距离；（3）二面角E —FC —D 的大小.解 （1）取EB 的中点G ，连结FG ，则FG ∥AE ，∴∠GFC 为AE 与CF 所成的角，∵平面AED ⊥平面ABCD ，∴底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面EAD ，∴AB ⊥EA ， ∴EB =522=+AB EA 同理，EC =5.∴在△EBC 中，由余弦定理得CG =27. 又∵FG =21EA =21，CF =222=+BF BC . ∴△CFG 是直角三角形， ∴cos ∠CFG =42=CF FG ，∴异面直线AE 与CF 所成的角为arccos 42. （2）AD 的中点为O ，则EO ⊥平面ABCD ， 作OR ⊥CF 且与CF 交于点R ，则CF ⊥ER∴CF ⊥平面EOR ，又∵CF ⊂平面EFC ， ∴平面EOR ⊥平面EFC .过O 作OH ⊥ER 且与ER 交于H , 则OH ⊥平面EFC ，∴OH 的长即为点O 到平面EFC 的距离. 由S △CFO =S 矩形ABCD —S △AOF -S △CBF -S △COD ，∴OR =423. 在Rt △EOR 中，OH =1053·=ER OR EO .∴所求距离为1053.（3）∠ERO 即为二面角E —FC —D 的平面角， an ∠ERO =EO OR arctan 36. 例3在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =2a ，BC =CA =AA 1=a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上.（1）求AB 与侧面A 1ACC 1所成的角； （2）若O 恰为AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.解 （1）∵A 1O ⊥平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC =AC =a ， AB =2a ，得∠ACB =90°，∠CAB =45°,∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1， AB 与侧面A 1ACC 1所成的角为∠CAB =45°. （2）O 是AC 中点， 在Rt △AA 1O 中， AA 1=a ，AO =21a ， ∴∠A 1AC =60°， 过C 作CD ⊥CC 1交AA 1于D ，连结BD ，由（1）知BC ⊥平面A 1ACC 1，∴BC ⊥CC 1，又BC ⊂平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，BC ∩CD =C ，∴CC 1⊥截面BCD ，∴CC 1⊥BD ，∴AA 1⊥BD ， 在Rt △ACD 中，CD =23a ，在Rt △BCD 中，BD =,274322a a a =+ 则S 三棱柱侧=111111C CB B A A CC A A B B S S S ++ =AA 1·BD +AA 1·DC +CC 1·BC =.)732(212a ++ 例4.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°,PA =PD =DC =CB =21AB ,E 是BP 的中点. （1）求证：EC ∥面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值. （3）求二面角P —AB —D 的大小. （1）证明 如图，取PA 中点F ，连结EF 、FD ， ∵E 是BP 的中点，∴EF ∥AB 且EF =21AB . 又∵DC ∥AB ，DC =21AB ， ∴EF ∥CD 且EF =CD . ∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD .又∵EC ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴EC ∥平面ADP .（2）解 取AD 的中点H ，连结PH ，BH ， ∵PA =PD ，∴PH ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD .∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影. ∴∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成的角.由已知∠ABC =∠BCD =90°, ∴四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =21AB . 设AB =2a ，则BD =2a ， 在△ADB 中，易得∠DBA =45°,∴AD =2a .PH =a a a DH PD 22212222=-=-.又∵BD 2+AD 2=4a 2=AB 2， ∴△ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90°.∴HB =a a a DB DH 2102212222=+=+. ∴在Rt △PHB 中，tan ∠PBH=PH HB =（3）解 在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 内的射影， 故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D 的平面角，由AB =2a ，HA =22a ，又∠HAB =45°,∴HG =21a . 在Rt △PHG 中，tan ∠PGH=PH HG =∴二面角P —AB —D 的大小为arctan 2.例5如图所示，三棱锥P ABC -中，PA a =，2AB AC a ==，PAB PAC ∠=∠60BAC =∠=︒，求三棱锥P ABC -的体积.(要求用四种不同的方法)PA B C。
棱柱与棱锥的概念与性质
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
立体几何中的棱柱与棱锥的性质
立体几何中的棱柱与棱锥的性质在立体几何中，棱柱与棱锥是两种常见的立体图形。
它们具有一些特定的性质和特征，下面将对这两种几何图形进行详细介绍。
一、棱柱的性质棱柱是由两个平行相等的多边形底面及连接底面上相对顶点的若干条棱构成的立体图形。
在棱柱中，可以明显地看出以下几个性质：1. 底面：棱柱的底面是相等且平行的多边形。
常见的棱柱底面有三角形、四边形、五边形等各种形状。
底面的形状决定了整个棱柱的特征。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部平行于棱柱的轴线，并且相互之间平行。
3. 棱：棱柱的棱是指连接棱柱底面上对应顶点的线段。
共有n条棱，其中n为底面的边数。
4. 高度：棱柱的高度是指两个底面之间的垂直距离。
5. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积与高度的乘积来计算，即V = 底面积 ×高度。
6. 表面积：棱柱的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
二、棱锥的性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点到一个中心点的直线段（称为棱锥的轴）所构成的立体图形。
棱锥具有以下几个主要的性质：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等不同形状。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部汇集于锥的顶点，并与底面上的顶点相交。
3. 棱：棱锥的棱是指连接底面顶点和顶点的线段。
4. 底面角：棱锥的底面角是指底面上相邻两边之间的夹角。
5. 高度：棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，与底面垂直。
6. 体积：棱锥的体积可以通过底面面积与高度的乘积再除以3来计算，即V = (底面积 ×高度) / 3。
7. 表面积：棱锥的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
总结：棱柱和棱锥是立体几何中常见的两种图形，它们有着各自独特的性质。
棱柱由两个平行的底面和连接底面的棱构成，而棱锥由一个底面和连接底面顶点到一个中心点的棱构成。
棱柱和棱锥知识点归纳总结
棱柱和棱锥知识点归纳总结棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们都具有特定的几何属性和计算方法。
本文将对棱柱和棱锥的定义、性质和计算方法进行归纳总结。
一、棱柱的定义与性质棱柱是指具有两个平行的底面，并且侧面由若干个连接两个底面相对点的四边形构成的立体图形。
棱柱的侧面都是平行四边形，而底面则可以是任意形状的多边形。
棱柱的性质包括：1. 底面：棱柱有两个相同形状的底面，且底面之间平行。
2. 侧面：棱柱的侧面是若干个平行四边形，且平行四边形两对边相互平行。
3. 高度：棱柱的高度是两个底面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积等于底面面积乘以高度，即V = 底面积 ×高度。
5. 表面积：棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
二、棱锥的定义与性质棱锥是指具有一个底面和一个顶点，并且侧面由底面上的点与顶点相连而成的三角形构成的立体图形。
棱锥的底面可以是任意形状的多边形，而侧面都是三角形。
棱锥的性质包括：1. 底面：棱锥有一个底面，可以是任意形状的多边形。
2. 顶点：棱锥有一个顶点，位于侧面的同一平面上。
3. 侧面：棱锥的侧面是若干个三角形，每个三角形的一个顶点是棱锥的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是从顶点向底面垂直引出的线段。
5. 体积：棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3，即V = (底面积×高度) / 3。
6. 表面积：棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
三、棱柱和棱锥的计算方法1. 底面积的计算：棱柱和棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算，比如矩形的底面积等于长乘以宽，三角形的底面积等于底边乘以高再除以2。
2. 侧面积的计算：棱柱和棱锥的侧面积可以根据其侧面的形状来计算，比如平行四边形的侧面积等于底边乘以高，三角形的侧面积等于底边乘以高再除以2。
3. 体积的计算：棱柱的体积等于底面积乘以高度，棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。
通过了解棱柱和棱锥的定义、性质以及计算方法，我们可以更好地理解和运用这两个几何图形。
棱柱与棱锥了解棱柱与棱锥的特性与计算方法
棱柱与棱锥了解棱柱与棱锥的特性与计算方法棱柱与棱锥：了解其特性与计算方法一、引言棱柱与棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在日常生活和工程应用中起到重要作用。
本文将介绍棱柱和棱锥的特性，并讲解它们的计算方法。
二、棱柱的特性与计算方法2.1 棱柱的定义与性质棱柱是由两个平行多边形底面和连接底面对应点的若干个侧面构成的立体图形。
它的特点如下：- 底面：棱柱的底面是多边形，可以是三角形、四边形或更多边形。
- 侧面：侧面是由底面的顶点和相对底面上连接的边构成。
- 棱：棱是棱柱的侧面的边。
- 高度：棱柱的高度是连接两个底面的垂直距离。
2.2 棱柱的计算方法根据棱柱的特性，我们可以计算以下参数：- 周长：棱柱的周长可以通过底面的边长和侧面的数量来计算。
若底面为正多边形，周长等于边长乘以边数。
- 面积：棱柱的表面积可分为底面积和侧面积两部分。
底面积为底面的面积，而侧面积为侧面的面积之和。
- 体积：棱柱的体积可以通过底面积与高度的乘积来计算。
三、棱锥的特性与计算方法3.1 棱锥的定义与性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与底面上各个点的直线段所构成的立体图形。
以下是棱锥的特性：- 底面：棱锥的底面是一个多边形。
- 侧面：棱锥的侧面是由底面顶点和底面上各个点连接而成的直线段。
- 棱：棱是棱锥的侧面的边。
- 高度：棱锥的高度是从顶点到底面的垂直距离。
3.2 棱锥的计算方法对于棱锥，我们可以计算以下参数：- 周长：棱锥的周长可通过底面的边长和侧面的数量来计算。
若底面为正多边形，周长等于边长乘以边数。
- 面积：棱锥的表面积可分为底面积和侧面积两部分。
底面积即底面的面积，而侧面积可以通过侧面的面积之和来计算。
- 体积：棱锥的体积可以通过底面积与高度的乘积再除以3来计算。
四、应用举例4.1 棱柱应用举例棱柱的特性与计算方法在实际应用中具有广泛的应用。
举例而言，建筑工程中的柱子、铅笔等均可视为棱柱。
4.2 棱锥应用举例棱锥的特性与计算方法也在多个领域中得到应用。
掌握初中数学立体几何中的棱柱和棱锥
掌握初中数学立体几何中的棱柱和棱锥立体几何是数学中的一个重要分支，它研究空间中的图形、体积和表面积等属性。
而在初中数学中，棱柱和棱锥是我们学习的两个重要概念。
本文将重点介绍棱柱和棱锥的定义、特征、性质以及与日常生活中的应用。
一、棱柱的定义和特征棱柱是一个有两个平行且相等的底面，并由连接两个底面相对顶点的直线段所围成的多面体。
其特征如下：1. 底面：棱柱有两个平行的底面，两个底面之间的距离称为棱柱的高。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面上的顶点与顶面上的对应顶点以及底面上的边所组成的多边形。
3. 边：棱柱的边连接底面上对应的顶点，并与侧面构成棱柱的侧棱。
4. 顶点：棱柱有两个底面上的顶点，以及与顶线相交的顶点，共有多个顶点。
二、棱柱的性质棱柱有一些重要的性质，对于学习与应用立体几何来说是非常有用的。
1. 底面积：棱柱的底面积等于底面图形的面积。
2. 侧面积：棱柱的侧面积等于侧面的周长乘以棱柱的高。
3. 总表面积：棱柱的总表面积等于底面积与侧面积之和。
4. 体积：棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高。
三、棱锥的定义和特征棱锥是一个有一个底面和以底面上的一个顶点为顶的棱柱。
其特征如下：1. 底面：棱锥的底面是一个封闭的图形，可以是任何多边形，最常见的是三角形。
2. 侧面：棱锥的侧面由底面上的顶点和棱锥的顶点连接所形成。
3. 锥顶角：连接底面与顶点的线段的夹角称为锥顶角。
4. 边：棱锥的边连接底面的顶点和棱锥的顶点。
四、棱锥的性质棱锥也有一些重要的性质，值得我们深入了解和掌握。
1. 底面积：棱锥的底面积等于底面图形的面积。
2. 侧面积（斜面积）：棱锥的斜面积等于侧面的周长乘以棱锥的高再除以2。
3. 总表面积：棱锥的总表面积等于底面积与侧面积之和。
4. 体积：棱锥的体积等于底面积乘以棱锥的高再除以3。
五、数学立体几何在日常生活中的应用掌握了棱柱和棱锥的定义、特征和性质，我们可以将这些知识应用到日常生活中。
例如，在建筑设计中，我们需要了解建筑物的体积和表面积，通过对棱柱和棱锥的计算，可以帮助我们确定建筑物的尺寸和材料的用量。
高三数学棱柱和棱锥的概念和性质
• ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二 面角都相等或互补； • ③底面四边形存在外接圆的四棱锥是 等腰四棱锥； • ④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱 锥； • ⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面 上． • 其中真命题为________(写出所有真 命题的序号)．
• 【思路点拨】 根据定义进行判断 • 【自主解答】 ①真．因为“等腰四 棱锥”四条侧棱长都相等，故在底面 上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心， 所以腰与底面所成的角都相等； • ②假．如当底面是矩形(不是正方形) 时，且顶点在底面上的射影是底面中 心时，这个四棱锥是“等腰四棱锥”， 但它的侧面与底面所成的二面角显然 不都相等或互补．故是假命题．
同理可证 FD∥平面 AB1C1.因为 EF∩FD＝F， 所以平面 EFD∥平面 AB1C1. 因为 DE⊂平面 FED， 所以 DE∥平面 AB1C1.
• 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面 面的平行与垂直的证明，除了要正确 使用判定定理与性质定理外，对几何 体本身所具有的性质也要正确把 握．如正棱锥、正棱柱的特性，特殊 三角形、特殊梯形的使用等，其次还 要注意各种平行与垂直之间的相互转 化，如将线线平行转化为线面平行或 面面平行来解决．
【解析】 (1)证明：连结 AE. ∵AB＝AC，且 E 为 BC 的中点， ∴AE⊥BC， ∵BB1⊥平面 ABC， ∴AE⊥BB1， ∵BC∩BB1＝B， ∴AE⊥平面 BCC1B1， ∵AE⊂平面 DB1E， ∴平面 DB1E⊥平面 BCC1B1.
(2)取 AE 中点 F，连结 DF、BF. ∵D 是 AB1 的中点 ∴DF∥B1E ∴∠BDF 是 A1B 和 B1E 所成角． 在△BDF 中 BF＝ BE2＋EF2＝ 10 1 DB＝ A1B＝2 2 2 DF＝ 22＋( 2)2＝ 6 (2 2)2＋( 6)2－( 10)2 ∴cos∠BDF＝ 2×2 2× 6 1 3 ＝ ＝ 12 6
空间中的棱柱与棱锥
空间中的棱柱与棱锥在数学几何学中，棱柱和棱锥是两个常见的立体几何形体。
它们都属于空间几何体，具有一定的形态特征和性质。
本文将就空间中的棱柱与棱锥展开讨论。
一、棱柱棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面，并由这些底面的边通过直线段连接而组成的几何体。
棱柱的名字通常以底面的形状命名，例如三角棱柱、四边形棱柱等。
1. 基本性质首先，我们来讨论一下棱柱的基本性质。
由于棱柱的底面是多边形，因此它具有与底面多边形相关的性质。
比如，底面的边数决定了棱柱的称呼，三角棱柱就是底面为三角形的棱柱，四边形棱柱就是底面为四边形的棱柱。
其次，棱柱的侧面是由底面对应的边和顶面的相对点连接而成的直线段，因此棱柱的侧面形状与底面相同。
此外，棱柱的顶面与底面平行，并且与底面的边一一对应。
2. 常见的棱柱基于底面的形状，棱柱可以分为不同的类型。
(1) 正棱柱：底面为正多边形的棱柱称为正棱柱。
正棱柱的侧面是等腰三角形，顶面和底面平行。
(2) 直棱柱：顶面与底面的对应点通过棱直线相连接的棱柱称为直棱柱。
直棱柱的侧面是矩形，其中棱直线垂直于底面。
(3) 斜棱柱：顶面与底面的对应点通过棱斜线相连接的棱柱称为斜棱柱。
斜棱柱的侧面是平行四边形，其中棱斜线不垂直于底面。
二、棱锥棱锥是由一个多边形底面和与底面顶点相连的直线段所组成的几何体。
与棱柱类似，棱锥的命名也是根据底面的形状来的，例如三角棱锥、四边形棱锥等。
1. 基本性质棱锥的基本性质与棱柱有些相似，底面、侧面和顶面都与棱柱类似。
棱锥的底面为多边形，侧面是由底面的边和顶点之间的直线段连接而成。
不同于棱柱的是，棱锥的侧面都是三角形，且这些三角形的一个顶点都是锥的顶点。
此外，棱锥的顶面是一个单独的平面，与底面的边一一对应。
2. 常见的棱锥与棱柱一样，棱锥也可以按照底面的形状进行分类。
(1) 正棱锥：底面为正多边形且顶点在底面中心的棱锥称为正棱锥。
正棱锥的侧面是等腰三角形。
(2) 直棱锥：顶点在底面中心，并且与底面的边垂直相交的棱锥称为直棱锥。
棱柱棱锥棱台的定义与性质
侧面
平行四边形
侧棱
互相平行 且相等
棱柱
侧面 底面 侧棱
棱锥
侧面 底面
底面是多边形,
有一个公共顶 交于一点 点的三角形
棱台
上底面 侧棱 侧面 下底面
两个底面是相 似的多边形
梯形
延长线 交于一 点
练习五
1.如图,四棱柱
的六个面都是 平行四边形, 这个四棱柱可 以由哪几个平 面图形按怎样 的方向平移得 到？
2.如图为楔形的几何体，其中AB∥CD∥EF，将其分割 为
1. 一个四棱锥和一个三棱锥 2. 一个四棱锥和一个三棱柱 3. 一个三棱柱挖去一个三棱锥
回顾小结 •
•
（1）棱柱、棱锥、棱台的定义和性质
（2）运动变化、类比联想的观点
•
（3）将空间问题转化成平面问题的转
化思想
课外作业
请同学们课后找一找生活中具有棱柱、 棱锥和棱台几何结构特征的实物.
观察下图，如何将棱锥变换成下方的几何体?
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间 的部分叫做棱台。
2.棱台的元素与性质
元 素
上底 面 侧面 侧棱 下底 面 ①两个底面多边形间的关系？ ②上下底面对应边间的关系？ ③侧面是什么平面图形？ ④侧棱之间的关系？
性 质
平行且相似 平行不相等
梯形
延长后交于一点
棱锥的性质：①底面是 多边形(如三角形、四边形、五边形等） ②侧面是 有一个公共顶点的 三角形 思考: 能否类比棱柱的表示法与分类，给出棱锥的表示法与分类?
练习三：
1. 各面都是三角形的几何体一定 是三棱锥吗？ 2. 用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱， 截面和底面什么关系？ 截棱锥呢？
棱锥和棱柱的认识
棱锥和棱柱的认识棱柱和棱锥是几何学里的常见多面体。
它们的形状和性质有何不同，是每个有兴趣的学生都需要了解的知识之一。
本文将讨论棱柱和棱锥的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和认识它们。
一、棱柱的定义和性质1. 定义棱柱是一个由一个矩形（底）和以该矩形的边为母线的等高梯形（侧）组成的多面体。
棱柱的底可以是任何形状，但矩形较为常见。
2. 性质（1）棱柱的侧面是由若干个平行四边形组成的，且对面两个平行四边形相等。
（2）棱柱的底面是一个矩形，它的对角线相等。
（3）棱柱的所有顶点以及边界上的点都在一个平面上。
（4）棱柱的表面积等于2倍的底面积加上侧面积。
（5）棱柱的体积等于底面积乘以高。
二、棱锥的定义和性质1. 定义棱锥是一个由一个多边形底和以该多边形的边为母线的三角形（侧）所组成的多面体。
2. 性质（1）棱锥的底面是一个多边形，它的对角线相等。
（2）棱锥的侧面是由一个三角形或多边形和若干个三角形组成的。
（3）棱锥的顶点在一个点上。
（4）棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。
（5）棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱和棱锥在建筑和数学等领域都有广泛的应用。
2. 在建筑中，棱柱和棱锥的形状被用于制作大多数建筑物的立面和结构。
3. 在数学中，学生们学习如何计算棱柱和棱锥的表面积和体积，以及掌握各种几何公式。
4. 棱柱和棱锥也被广泛应用于各种工程和物理学中的计算和建模。
结论：通过对本文的阅读，读者可以更好地理解和认识棱柱和棱锥的定义、性质和应用。
它们的形状和性质有一些差异，但都是几何学中重要的多面体。
希望本文可以帮助读者更好地掌握这一知识点。
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性棱柱和棱锥是几何学中常见的立体形体，它们具有各自独特的特性和性质。
本文将介绍棱柱和棱锥的定义、特征，以及它们在实际生活中的应用。
一、棱柱的定义及特性棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面的立体形体。
在棱柱中，底面的边与顶面的对应边垂直，并且所有相连的顶点通过垂线连接。
棱柱的侧面由这些垂线与底面边组成，形成了一系列平行四边形或矩形。
棱柱的特性如下：1. 底面：棱柱的底面是一个多边形，可以是三边形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱柱的类型。
2. 侧面：棱柱的侧面由底面的边和顶面的对应边连接而成。
侧面的形状是平行四边形或矩形，并且对应边相等。
3. 高度：棱柱的高度是指底面与顶面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积乘以高度来计算。
5. 表面积：棱柱的表面积由底面的面积、顶面的面积和侧面的面积之和组成。
棱柱在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑物中的柱子、筒形容器等都属于棱柱的范畴。
二、棱锥的定义及特性棱锥是一种具有一个多边形底面和一个顶点的立体形体。
与棱柱类似，棱锥的底面的边也与顶面的对应边垂直。
棱锥的侧面由底面边与顶点相连而成，形成了一系列三角形。
棱锥的特性如下：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱锥的类型。
2. 侧面：棱锥的侧面由底面的边和顶点连接而成。
侧面的形状是一系列的三角形。
3. 顶点：棱锥的顶点是连接侧面的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是指底面与顶点之间的垂直距离。
5. 体积：棱锥的体积可以通过底面的面积乘以高度再除以3来计算。
6. 表面积：棱锥的表面积由底面的面积、侧面的面积之和组成。
棱锥也广泛应用于现实生活中，例如圆锥形的麦克风、冰淇淋的锥形外形等都是棱锥的例子。
总结：本文介绍了棱柱和棱锥的定义、特性以及在实际生活中的应用。
棱柱具有两个平行且相等的底面，侧面由垂线连接形成平行四边形或矩形；棱锥具有一个底面和一个顶点，侧面由底面边与顶点相连形成三角形。
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知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
多边形
两个侧面的公共边 侧面与底面的公共 顶点 两个底面所在平面 的公垂线段 各侧面的公共顶点
顶点到底面所在平面的
垂线段
2.棱柱、棱锥的性质 棱柱 侧面 平行四边形 棱锥 三角形
侧棱 平行于底面 的截面
纵截面
平行且相等
与底面全等的 多边形 平行四边形
交于一点
与底面相似的多边形 三角形
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 1 ； 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2 .
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ；
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上. 其中真命题为 （写出所有真命题的序号）.
思维启迪 判断. 解析
结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行
①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相
等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面
所成的角都相等；
②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰
形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
题型二
棱柱、棱锥中的平行与垂直
【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1,
AA1= 3 . （1）证明：A1C⊥平面AB1C1；
（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点
②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等
腰三角形 ；
④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面
外接圆半径、底面内切圆半径.
5.体积公式 （1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面 积， h 为高; 1 （2）锥体体积公式为V= 积， h 为高.
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.长方体一定是正四棱柱
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B ） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 探究提高
会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相
等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结
论.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边
取AB的中点E，连结CE，由题意
可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.
1 AB 2, 2 1 所以CE AB. 2 则△ABC为等腰直角三角形， 又BE
所以AC⊥BC. 又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内 的射影，BC （2）解 PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC. 又因为PC是PB在平面PAC内的射影， 平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC. 由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，
所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角.
又CB=2 2 ，PB2=PA2+AB2=20，
10 , 5 10 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 . 5 （3）解 由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC
∴PB=2 5 ，sin∠CPB=
平面
PBC, 所以平面PBC⊥平面PAC. 过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F， 所以AF⊥平面PBC.
3 Sh
，其中 S 为底面面
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面 面积之和，直棱柱的 侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各 侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜 高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积 与底面积 之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是 都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 （ C）
棱柱、棱锥的概念和性质
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义 棱柱 如果一个多面体有两 个面互相 平行 ，而其 定义 余每相邻两个面的交 线互相 平行 ，这样的 多面体叫做棱柱 棱锥 如果一个多面体有一 个面是 多边形，其余 各面是 有一个公共顶 点 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥
底面 侧面 侧棱 顶点 高
四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不
都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接
圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个
四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的
各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.
答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并
（1）求PC与BD所成的角；
（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中
的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面
PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
解
（1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，
且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC.
又BD⊥AC，∴BD⊥PC，
即PC与BD所成的角为90°. （2）∵PA⊥底面AC，
∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底
面AC所成的角. ∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC= 2 a， 2 得 tan PCA . 2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
（2）求证：AE⊥平面PCD.
解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， ∵O,E分别为BD，PD的中点，
∴OE∥PB，且OE
（2）方法一
平面EAC，PB
平
面EAC，∴PB∥平面EAC. ∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，
平面ABCD⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴CD⊥AE. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 方法二 ∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD.
∵A1 C 平面ACC1A1，∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C.
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC= 3. ∵AA1= 3 ，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1.