棱柱、棱锥的概念和性质

3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为
A .2 3 B . 14 C .5
（C）
D .6
4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以 该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为
2 A. 6 2 B. 3 3 C. 3
（B）
2 D. 3
解析
由题意可知，此几何体是由同底面的两个
题型一
棱柱、棱锥的概念和性质
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它 为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5 个命题中： ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补； ③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；
④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
体是棱锥
Βιβλιοθήκη BaiduC.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.长方体一定是正四棱柱
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B ） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 探究提高
形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
题型二
棱柱、棱锥中的平行与垂直
【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1,
AA1= 3 . （1）证明：A1C⊥平面AB1C1；
（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
∵A1 C 平面ACC1A1，∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C.
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC= 3. ∵AA1= 3 ，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1.
的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确
把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊
梯形的使用等.
知能迁移2
如图所示，四棱锥P—
ABCD的底面是矩形，侧面PAD是 正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD， E为侧棱PD的中点. （1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD.
解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， ∵O,E分别为BD，PD的中点，
∴OE∥PB，且OE
（2）方法一
平面EAC，PB
平
面EAC，∴PB∥平面EAC. ∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，
平面ABCD⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴CD⊥AE. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 方法二 ∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD.
取AB的中点E，连结CE，由题意
可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.
1 AB 2, 2 1 所以CE AB. 2 则△ABC为等腰直角三角形， 又BE
所以AC⊥BC. 又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内 的射影，BC （2）解 PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC. 又因为PC是PB在平面PAC内的射影， 平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC. 由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，
（1）求PC与BD所成的角；
（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中
的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面
PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
解
（1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，
棱柱、棱锥的概念和性质
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义 棱柱 如果一个多面体有两 个面互相 平行 ，而其 定义 余每相邻两个面的交 线互相 平行 ，这样的 多面体叫做棱柱 棱锥 如果一个多面体有一 个面是 多边形，其余 各面是 有一个公共顶 点 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥
底面 侧面 侧棱 顶点 高
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上. 其中真命题为 （写出所有真命题的序号）.
思维启迪 判断. 解析
结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行
①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相
等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面
所成的角都相等；
②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰
又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC.
∴平面PAC⊥平面PMN.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，
则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离，
作AG⊥PQ于G.
在Rt△PAQ中，PA=a, AQ 3 AC 3 2 a, 4 4 34 PA AQ 3 17 PQ a. AG a. 4 PQ 17
1 2 2 2 ，所以 V 2 1 . 3 2 3 2
正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个 正四棱锥的高为
5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2 3 ，则一条侧 棱到与它相对的面之间的距离为 （ D）
A .1 B. 2 C. 3 D. 6
由体积公式V=Sh可得底面积为S V 2 3, h 若设底面三角形的边长为a，则有 3 a 2 2 3, 所 4 以a=2 2 ，故侧棱到相对面的距离为 3 a 6. 2 解析
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面 及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧
面与 底面 垂直；
（3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等
腰三角形 ；
④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面
外接圆半径、底面内切圆半径.
5.体积公式 （1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面 积， h 为高; 1 （2）锥体体积公式为V= 积， h 为高.
所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角.
又CB=2 2 ，PB2=PA2+AB2=20，
10 , 5 10 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 . 5 （3）解 由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC
∴PB=2 5 ，sin∠CPB=
平面
PBC, 所以平面PBC⊥平面PAC. 过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F， 所以AF⊥平面PBC.
3 Sh
，其中 S 为底面面
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面 面积之和，直棱柱的 侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各 侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜 高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积 与底面积 之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是 都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 （ C）
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 1 ； 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2 .
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ；
互相平行的面 其余各面
多边形
两个侧面的公共边 侧面与底面的公共 顶点 两个底面所在平面 的公垂线段 各侧面的公共顶点
顶点到底面所在平面的
垂线段
2.棱柱、棱锥的性质 棱柱 侧面 平行四边形 棱锥 三角形
侧棱 平行于底面 的截面
纵截面
平行且相等
与底面全等的 多边形 平行四边形
交于一点
与底面相似的多边形 三角形
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相
等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结
论.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边
且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC.
又BD⊥AC，∴BD⊥PC，
即PC与BD所成的角为90°. （2）∵PA⊥底面AC，
∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底
面AC所成的角. ∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC= 2 a， 2 得 tan PCA . 2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不
都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接
圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个
四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的
各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.
答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并