高等数学中求极限的方法小结

“ ”型： 例15 求 lim sec x tan x .
x

2
解 sec x tan x 故原式 lim
x
1 sin x 1 sin x ， cos x cos x cos x

2
1 sin x cos x lim 0. cos x x sin x
x 0 x 0
2.3 泰勒公式 （含有 e 的 x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）
20
宁波大红鹰学院学生数学课程论文 泰勒中值定理定理：如果函数 f ( x) 在含有 n 的某个开区间 (a, b) 内具有直到
(n 1)
阶的导数，则对任一 x (a, b) ，有
利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 lim
sin x x cos x . x 0 sin 3 x
由于公式的分母 sin 3 x ~ x 3 ( x 0) ，我们只需将分子中的
x3 x3 0( x 3 ), x cos x x 0( x 3 ) 代入计算， 3! 2!
x e
x
解
“ 0 ”型： 例18 解
1 ( ) tan x . 求 lim x 0 x
e 原式 lim
x 0 1 ln( ) tan x x
lim e
x 0
tan x ln x
e
x0
lim e tan x ln x
，
( tan x ln x) lim ( x ln x) 0 ，因此：原式=1. 而 lim tan x ~ x
解
1 x 1 1 3 3 ． x 0时, 1 x 1 ~ x, tan x ~ x ，故:原式= lim x 0 x 3 3
求 lim
x 0
例4
e
x
1
2
2 x ln(1 x)
．
解 x 0时, e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x ,故: 原式 lim 例5 试确定常数 a 与 n ，使得当 x 0 时， ax n 与 ln(1 x 3 ) x 3 为等价无穷小．
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解
lim(
x 0
1 cos 2 x x 2 sin 2 x cos 2 x ( x sin x cos x)( x sin x cos x) ) lim lim 2 2 2 2 x 0 x 0 sin x x x sin x x4
lim
x 0
x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x lim 2 lim ， 3 x 0 x 0 x x x3
3 3
x2 1 ． 2 x 0 2 x 2
解 故
2.2 利用洛必达法则求极限 利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者
. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无 穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之 后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数, 幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了.
例1 求 lim
x 0
1 cos x ． x arctan x
1 2 x , arctan x ~ x ， 2
解 x 0时,1 cos x ~
1 2 x 1 故，原式 lim 2 2 x 0 x 2
例2 求 lim
x 0
(1 x ) 1 ． cos x 1
1
18
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x3 3x 2 求 lim 3 . x 1 x x 2 x 1
例8
解
原式 lim
3x 2 3 6x 3 lim .（二次使用洛必达法则）. x 1 3 x 2 2 x 1 x 1 6 x 2 2
例9
求 lim
e x e x 2 x . x 0 x sin x
3 x 2 3x 2 3 3 x 5 ln(1 x ) x 1 x lim lim 而左 边 ， lim 1 x 0 x 0 nax n 1 x 0 nax n 1 ax n 3 3 1 1 1 a ． n 1 5 即 n 6 lim x 0 6a 6a 2
1 0
2


02 02 (0 0)(0 0) 0 0 0 0 （此为强行代入以定型）. 3 04 04 0 0
0 0 可能是比 0 0 高阶的无穷小，倘若不这样，或
(0 0)(0 0) 0 0 0 0 (0 0)(0 0) 0 0 0 0 2 或 . 4 2 0 0 0 04 0 03
3 2
3
例20
lim
(2) n 3n x ( 2) n 3n 1
2 1 1 3 lim . n x 3 2 2 3 3
n
2.4 无穷小与有界函数的处理方法
21
宁波大红鹰学院学生数学课程论文 面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要 注意这个方法.[3]
sin x x
于是
x3 x3 1 3 sin x x cos x x 0( x ) x 0( x 3 ) x 3 0( x 3 ) ，对上式做运算时，把两 3! 2! 3
个 x 3 高阶的无穷小的代数和还是记作 0( x 3 ) .
1 4 3 3x x 4 x x lim 3 lim 3， x x 2 x 2 x 1 x 2 1 1 1 2 3 x x x 1 1 2 n2 1 n lim lim 1， x ( n 1) 2 x 2 1 1 2 n n
解
原式 lim
x 0
sin 2 x cos 2 x 1 x lim . 2 x 0 2sin x cos x sin x
例13
求 lim(
x 0
1 cos 2 x ). sin 2 x x2
解
x 2 sin 2 x cos 2 x ( x sin x cos x)( x sin x cos x) 原式 lim lim 2 2 x 0 x 0 sin xx x4 x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x 1 cos 2 x sin 2 x 4 lim 2 lim 2 lim x 0 x 0 x 0 x3 x x3 3x 2 3
sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x, e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 2 x , 2
lim ；则： 与 是等价无穷小的充分必要条
1 x 1 x ~ x, (1 x) 1 ~ x ．
解
原式 lim
e x e x 2 e x e x e x e x lim lim 2. x 0 1 cos x x 0 sin x x 0 cos x
x2 4x 3 . x2 2x 1
例10 解
求 lim
x 1
2x 4 x2 x2 lim lim 0 原式= . x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 tan x x 例11 求 lim . x 0 x sin x arcsin x
f ( x) f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x - x0 )+
其中 Rn ( x) 例19 解
f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) ( x - x0 ) 2 +……+ ( x - x0 ) n + Rn ( x ) n! 2!
[1]
f ( n 1) n 1 x x0 ，这里 是 x 与 x0 之间的某个值. n 1!
1 2 3
解 x 0时, (1 x 2 ) 3 1 ~
1 2 1 x ,1 cos x ~ x 2 ,因此: 3 2
16
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1 2 x 2 原式 lim 3 ． x 0 1 2 3 x 2
3
例3
求 lim
x 0
1 3 1 ． tan x
原式 lim
解
1 1 1 (1 cos) x 2 2 2 tan x x 1 cos x 2 1. lim cos x lim 2 lim 原式 lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 3 x cos x x 0 3 x cos 2 x xxx 3x 3 cot x 例12 求 lim . x 0 ln x
型等未定式类型
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洛必达法则中还有一个定理：当 x a 时，函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于0；在点 a 的某 去心邻域内， f ( x) ﹑ F ( x) 的导数都存在且 F ( x) 的导数不等于0； lim
xa
f ( x) 存在，那么 F ( x)
x sin x . x x sin x 1 ) lim(1 sin x) 1 . 解 原式 lim(1 x x x x
2
“ 00 ”型： 例16 解
xx . 求 lim
x 0
原式 lim eln x lim e x ln x e x0
x 0 x 0
x
lim e x ln x
1.
“ 1 ”型： 例17
e 求 lim 1 . x x
e e 原式 lim 1 ee . x x
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高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法 2.1 利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.( 2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等 价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代 替).[3] 设 ~ 、 ~ 且 lim 件为： 0( ) ． 常用等价无穷小：当变量 x 0 时，
lim
xa
f ( x) f ( x) . lim x a F ( x) F ( x)
[1]
求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入， 先定型后定法. 例6 分析
1 0
2
[3]
1 cos 2 x 求 lim( 2 ). x 0 sin x x2
秘诀强行代入，先定型后定法.
1 cos 2 x sin 2 x 4 sin 2 x 4 由洛必达法则的 2, 有：上式= 2 lim lim 2 . x 0 3x 2 3 x 0 x 3
例7
求 lim
x 0
ex 1 . x2 x
解
lim
(e x 1) ex ex 1 lim 1 lim 1 . x 0 ( x 2 x ) x 0 2 x 1 x 0 x 2 x
lim
x 0
“ 0 ”型：
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宁波大红鹰学院学生数学课程论文 例14 求 lim x( arctan x) . x 2


解 原式 lim 2
x
arctan x 1 x
1 2 1 lim 1 x lim 1. x x 1 1 1 x2 x2