不等式推理证明专题能力训练题

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高三数学考前基础知识专练：不等式推理与证明

高三数学基础知识专练不等式推理与证明一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中“( )”内. 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(mmHg) 110 115 120 125 130 135 ( ) 145 舒张压(mmHg)707375788083( )882、一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为__________________.3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2)1(1-+=成立.类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 22)(221x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=x ax a x xx f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且ca mc b b a -≥-+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1)(1(bb a a ++的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0，则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”或“负数).13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2008项为__________.14、下面使用类比推理正确的序号是__________.(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是全等的平行四边形”；(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题15. 已知f (x )=a 2x －12x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。

不等式的试题及答案

不等式的试题及答案不等式是数学中一种重要的表示方式，它可以描述数值之间的关系。

在数学学习中，掌握不等式的解法和理解不等式的性质对于解决实际问题和推理证明都有着重要的意义。

本文将为读者提供一些不等式的试题及答案，帮助读者巩固不等式的知识和解题技巧。

试题一：解不等式将不等式3x + 5 ≤ 2x - 4 转化为不等式的解集形式。

答案一：首先，我们将这个不等式进行简化：3x + 5 ≤ 2x - 4然后，将变量移到一侧，常数移到另一侧，得到：3x - 2x ≤ -4 - 5化简得：x ≤ -9所以，不等式3x + 5 ≤ 2x - 4 的解集形式为x ≤ -9。

试题二：解不等式组解不等式组：{2x + 1 > 5, x - 3 ≤ 7}答案二：我们分别解这两个不等式：2x + 1 > 52x > 5 - 12x > 4x > 2x - 3 ≤ 7x ≤ 7 + 3x ≤ 10所以，不等式组 {2x + 1 > 5, x - 3 ≤ 7} 的解为 x > 2 且x ≤ 10。

试题三：证明不等式证明不等式：若 a > b，则 a + c > b + c，其中 a、b、c 为实数。

答案三：首先，假设 a > b 成立，我们需要证明 a + c > b + c。

由 a > b，我们可以得到 a - b > 0。

然后，将 a + c 和 b + c 相减，得到：(a + c) - (b + c) = a - b由于 a - b > 0，所以 (a + c) - (b + c) > 0，即 a + c > b + c。

所以，若 a > b 成立，则 a + c > b + c。

通过以上试题及答案，我们可以看到不等式的解法及性质运用在各种情况下的灵活性。

细致观察和分析不等式的条件和限制，能够帮助我们准确地找出不等式的解集，解决实际问题以及进行推理证明。

高考数学(理)三年真题专题演练—不等式、推理与证明

高考数学三年真题专题演练—不等式、推理与证明
1．【2021·浙江高考真题】若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.
【详解】
画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
故选：B
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．
C． D．
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时 .
若，则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

全国版高考数学第六章不等式推理与证明6.3基本不等式课时提升作业

基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·郑州模拟)设a>0,b>0.若a+b=1,则+的最小值是( )A.2B.C.4D.8【解析】选C.由题意+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.2.(2015·马鞍山模拟)设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有( )A.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】选D.因为x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y≥2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.3.(2014·重庆高考)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4【解析】选D.log4(3a+4b)=log2,可得3a+4b=ab,且a>0,b>0,=1,即+=1,所以a+b=(a+b)=7++≥7+2=7+4.4.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【解析】选C.x+=(x-1)++1≥2+1=2+1≥5.所以2≥4,≥2,a≥4.5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是( )A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-4,1)D.(-∞,0)∪(3,+∞)【解析】选B.由题可知,1=+≥2=,即≥4,于是有m2-3m>x+≥≥4,故m2-3m>4,化简得(m+1)(m-4)>0,即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(4,+∞).6.设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b= a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( )A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2【解析】选C.根据题意知:a∧b表示a,b中较小的,a∨b表示a,b中较大的.因为≥ab≥4,所以a+b≥4.又因为a,b为正数,所以a,b中至少有一个大于或等于2,所以a∨b≥2.因为c+d≤4,c,d为正数,所以c,d中至少有一个小于或等于2,所以c∧d≤2.7.(2016·黄冈模拟)已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值等于( )A.1B.2C.2D.2【解题提示】由题意可知直线的斜率存在,利用直线的垂直关系,求出a,b关系,然后利用基本不等式求出ab的最小值.【解析】选 B.b>0,两条直线的斜率存在,因为直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,所以(b2+1)-ab2=0,ab=b+≥2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=2x图象上两个不同的点,若x1+2x2=4,则y1+的最小值为.【解析】y1+=+≥2=8(当且仅当x1=2x2=2时等号成立).答案:89.(2014·福建高考)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).【解析】由容器体积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面长为x,则宽为,总造价为W.由题意,W=·10+4×20=20+80≥20×2+80=160,当且仅当x=,即x=2时取“=”.答案:16010.已知函数y=a2x-4+1(a>0且a≠1)的图象过定点A,且点A在直线+=1(m,n>0)上,则m+n的最小值为.【解析】由已知,函数y=a2x-4+1的图象过定点A(2,2),且点A在直线+=1上,所以+=1,所以m+n=(m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当即m=n=4时取等号,所以m+n的最小值为8.答案:8(20分钟35分)1.(5分)(2015·四川高考)设实数x,y满足则xy的最大值为( )A. B. C.12 D.14【解析】选A.由条件得:y≤2.于是,xy≤2x≤=.xy当且仅当x=,y=5时取到最大值.经验证,x=,y=5在可行域内.【加固训练】圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是( )A. B.C. D.【解题提示】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab≤=.2.(5分)(2016·江门模拟)y=(x>1)的最小值为( )A.2+2B.2-2C.2D.2【解析】选A.因为x>1,所以x-1>0,y===(x-1)+2+≥2+2=2+2,当且仅当x-1=时取等号.3.(12分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数.(2)该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?【解析】(1)由题意有1=4-,得k=3,故x=4-.故y=1.5××x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6-t=27--t(t≥0).(2)由(1)知:y=27--t=27.5-.因为+≥2×=6,当且仅当=t+,即t=2.5时等号成立.故y=27--t=27.5-≤27.5-6=21.5.所以当年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大.【加固训练】某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品件.【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x),则f(x)==+≥2=20,当且仅当=,即x=80(x>0)时,等号成立.故每批应生产产品80件,可使f(x)最小.答案:804.(13分)已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.(1)求实数a,b的值.(2)若0<x<1,f(x)=+,求f(x)的最小值.【解题提示】(1)由三个二次的关系可得解方程组可得.(2)由(1)知f(x)=+=[x+(1-x)]=5++,由基本不等式可得. 【解析】(1)由题意可得解得所以实数a,b的值分别为1,4.(2)由(1)知f(x)=+,因为0<x<1,所以0<1-x<1,所以>0,>0,所以f(x)=+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.。

高考一轮复习理科数学分层练：第七单元不等式与推理证明第43讲不等关系与不等式的性质

第43讲不等关系与不等式的性质1．(2018·广西玉林质检)下列四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要条件是(D)A ．|a |>|b | B.1a >1bC ．a 2>b 2D ．lg a >lg b首先要弄清题意，所选出的选项能推出a >b ，但a >b 不能推出该选项，故选D.2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)．若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则(A)A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定要比较两个量的大小，只要作差、变形、判断就可以了，事实上：f (x 1)－f (x 2)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)[(x 1＋x 2)＋2]＝a (3－a )(x 1－x 2)．因为x 1－x 2<0,0＜a ＜3，所以f (x 1)<f (x 2)．3．(2017·山东东营一模)已知x ，y ∈R ，且2x ＋3y >2－y ＋3－x ，则下列各式中正确的是(D)A ．x －y >0B ．x ＋y <0C ．x －y <0D ．x ＋y >0因为2x ＋3y >2－y ＋3－x ，所以2x －3－x >2－y －3y ，令f (x )＝2x －3－x ，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，因为f (x )>f (－y )，所以x >－y ，即x ＋y >0，选D.4．(2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则(C)A.1x －1y＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C ．(12)x －(12)y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0对于A ，因为f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，又x ＞y ＞0，所以1x －1y<0，所以A 错误．对于B ，因为f (x )＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误．对于C ，因为f (x )＝(12)x 在(0，＋∞)上单调递减，又x ＞y ＞0，所以有(12)x <(12)y ，即(12)x －(12)y <0，所以C 正确．对于D ，设f (x )＝ln x ，因为ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．5．给出下列命题：① a <b <0⇒1a <1b ； ② a >b 且1a >1b⇒a >0，b >0； ③ a >|b |⇒a 2>b 2； ④ a >b ⇒a n >b n (n ∈N *)．其中真命题的序号是 ③ .由不等式的性质可知，只有③成立，故填③.6．已知π2<α<β<π，则α＋β的取值范围是 (π，2π) ，α－β的取值范围是 (－π2，0) ；αβ的取值范围是 (12，1) . 7．已知a ，b ∈R ，求证a 2＋b 2≥ab ＋a －b －1.2(a 2＋b 2)－2(ab ＋a －b －1)＝(a 2＋b 2－2ab )＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －b )2＋(a －1)2＋(b ＋1)2≥0.所以a 2＋b 2≥ab ＋a －b －1.8．(2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是(B)A ．a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a(方法1)因为a ＞b ＞0，ab ＝1，所以log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1.因为b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又因为b ＝1a ，a ＞b ＞0，所以a ＞1a，解得a ＞1. 所以f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)＜0，所以f (a )在(1，＋∞)上单调递减．所以f (a )＜f (1)，即b 2a ＜12. 因为a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，所以b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. (方法2)因为a ＞b ＞0，ab ＝1，所以取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，所以b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b.故选B. 9．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是 z >y >x .(用“>”连接)(方法1)因为y 2－x 2＝2c (a －b )>0，所以y >x ，同理，z >y ，所以z >y >x .(方法2)令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26.故z >y >x .10．(2016·河南郑州一模)(1)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，求z ＝2x －3y 的取值范围；(2)已知－2≤a ≤4,3≤b ≤6，求ab 的取值范围．(答案用区间表示)(1)设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎨⎧ m ＝－12，n ＝52. 所以－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8. 所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)．(2)因为－2≤a ≤4,3≤b ≤6，所以当－2≤a ≤0时，0≤－a ≤2，所以0≤－ab ≤12，所以－12≤ab ≤0.当0<a ≤4时，0<ab ≤24，所以ab 的取值范围为[－12,24]．。

高中不等式证明练习题及参考答案

高中不等式证明练习题及参考答案高中不等式证明练习题及参考答案不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。

不等式证明练习题解答(1/a+2/b+4/c)*1=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)展开，得=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b基本不等式，得>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2=11+6√2≥18楼上的，用基本不等式要考虑等号时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z则原不等式等价于：x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0含有绝对值的不等式练习。

1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是(0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

不等式、推理与证明专题

不等式、推理与证明专题1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm2．【2019年高考全国III 卷文数】记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.14．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．65．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 127．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．【2018年高考北京卷文数】设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，（2，1）A ∉C ．当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 9．【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．【2018年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．4511．【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<13．【2017年高考全国I 卷文数】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．314．【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞15．【2017年高考全国II 卷文数】设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．916．【2017年高考全国II 卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩a b c17．【2017年高考北京卷文数】若,x y 满足2,,x y y x ⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．918．【2017年高考山东卷文数】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．319．【2017年高考山东卷文数】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝20．【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是____________.21．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）22．【2019年高考北京卷文数】若x ，y 满足1,4310,y x y ⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________．23．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．25．【2018年高考浙江卷】若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________．26．【2018年高考北京卷文数】若x ,y 满足12x y x +≤≤，则2y −x的最小值是_________.27．【2018年高考全国I 卷文数】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．28．【2018年高考全国III 卷文数】（2018新课标Ⅲ文科）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________． 29．【2018年高考全国II 卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为__________．30．【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 .31．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 32．【2017年高考上海卷】不等式11x x->的解集为________ 33．【2017年高考北京卷文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________.34．【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_________． ②该小组人数的最小值为_________．35．【2017年高考天津卷文数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________．36．【2017年高考山东卷文数】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________． 37．【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 38．【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（Ⅰ）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？答案1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知：11,22AC AB CD BC -==， ① 腿长为105 cm 得，即>105CD ，164.892AC CD =>， 64.89105169.89AD AC CD =+>+=，所以AD >169.89.②头顶至脖子下端长度为26 cm ，即AB <26，42.07BC =<，=+<68.07 AC AB BC，110.15CD=<，+<68.07+110.15=178.22AC CD，所以<178.22AD.综上，169.89<<178.22AD.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则2626105xx y+==+42.07cm, 5.15cmx y≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．2．【2019年高考全国III卷文数】记不等式组6,20x yx y+≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D．命题:(,),29p x y D x y∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y∀∈+≤．下面给出了四个命题①p q∨②p q⌝∨③p q∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，记直线1: 2+9,l y x =-2: =2+12l y x -，由图可知，(,),29,(,),212x y D x y x y D x y ∃∈+∃∈+>…，所以p 为真命题，q 为假命题，所以p ⌝为假命题，q ⌝为真命题，所以p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ∧⌝为真命题，p q ⌝∧⌝为假命题，所以所有真命题的编号是①③.故选A.【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.4．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距，故目标函数在点A 处取得最大值. 由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．5．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件. 故选B.【名师点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 因为32z x y =+，所以3122y x z =-+. 平移直线3122y x z =-+可知，当该直线经过点A 时，z 取得最大值. 联立两直线方程可得340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩.即点A 坐标为(2,2)A ，所以max 322210z =⨯+⨯=.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 7．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥当且仅当a b =时取等号，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8．【2018年高考北京卷文数】设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，（2，1）A ∉C ．当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 【答案】D【解析】点（2，1）在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点（0，4），斜率为a -的直线，当0a ≠ 时，2x ay -=表示过定点（2，0），斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直.显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点（2，1），故排除A ；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点（2，1），此时2x ay -<表示的区域也包含点（2，1），故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点（2，1），故排除C ，故选D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算. 9．【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式x 3>8可得x >2，求解绝对值不等式|x |>2可得x >2或x <−2，据此可知：“x 3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．45【答案】C【解析】绘制不等式组52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程得51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若,/p q q p ⇒⇒，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若p q ⇔，那么p 是q 的充要条件，若,//p q q p ⇒⇒，那那么p 是q 的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若:p x A ∈，:q x B ∈，若A 是B 的真子集，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若A B =，那么p 是q 的充要条件，若没有包含关系，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断． 12．【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性，可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．13．【2017年高考全国I 卷文数】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．a b c【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．14．【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．15．【2017年高考全国II 卷文数】设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．【2017年高考全国II 卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D ．【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．17．【2017年高考北京卷文数】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a zy x b b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. 18．【2017年高考山东卷文数】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是z bA ．-3B ．-1C ．1D ．3 【答案】D【解析】画出约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线250x y -+=与2y =的交点(1,2)-时,2z x y =+取得最大值，为max 1223z =-+⨯=,故选D.【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．19．【2017年高考山东卷文数】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．20．【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是____________.【答案】9【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．21．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】261【解析】【答案】261【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==，1．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．22．【2019年高考北京卷文数】若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________．【答案】3-；1【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.设z y x -=，则=+y x z ，求出满足在可行域范围内z 的最大值、最小值即可，即在可行域内，当直线=+y x z 的纵截距最大时，z 有最大值，当直线=+y x z 的纵截距最小时，z 有最小值.由图可知，当直线=+y x z 过点A 时,z 有最大值，联立24310x x y =⎧⎨-+=⎩，可得23x y =⎧⎨=⎩ ，即(2,3)A ，所以max 321z =-=；当直线=+y x z 过点(2,1)B -时，z 有最小值，所以min 123z =--=-.【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.23．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+.因为0,0,24x y x y >>+=，所以24x y +=≥，2,02xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立. 又因为192255=22xy +≥+⨯，所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】①10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.25．【2018年高考浙江卷】若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________．【答案】−2 8【解析】作0,26,2x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点A (2,2)时z 取最大值8，过点B (4,−2)时z 取最小值−2.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.26．【2018年高考北京卷文数】若x ,y 满足12x y x +≤≤，则2y −x的最小值是_________.【答案】3【解析】作出可行域，如图，则直线2z y x =-过点A (1,2)时，z 取最小值3.。

(江苏专用)高考数学一轮复习加练半小时专题7 不等式、推理与证明、数学归纳法第52练二元一次

第52练二元一次不等式（组）与简单的线性规划[基础保分练]1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值X 围为________．2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，2x ＋y ≤6，则z ＝x ＋y 的取值X 围为________．3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值X 围为________． 4．(2019·某某模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值X 围是________．5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值为________．6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值X 围是________．7．(2018·某某调研)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值X 围为________．9．若点P (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，3y ≥x ，y ≤3表示平面区域内一动点，且不等式2x －y ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值X 围是______________．10．记命题p 为“点M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a (a >0)”，记命题q 为“M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤4，x ＋y ≤4，4x －3y ＋4≥0，”若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为________．[能力提升练]1．已知实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，若目标函数z ＝kx ＋y 当且仅当x＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值X 围是________．2．若关于x ，y 的混合组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，y ＝a xa >0，a ≠1有解，则a 的取值X 围为________．3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则9x 2＋4y2xy的最小值为________．4．已知点A (2,1)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，y ≥0，设z ＝OP →·OA →，则z 的最大值是________．5．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2yx ＋3y ≥0，x ≥0表示的平面区域为D ，则圆x 2＋y 2＝1在区域D内的弧长为________．6．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是______．答案精析基础保分练1．(2，＋∞) 2.[2,5] 3.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 4.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示：由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3，解得x ＝y ＝34，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，则a <34＋34＝32. 实数a 的取值X 围是a <32.5．1解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，作直线x ＋2y ＝0，平移直线x ＋2y ＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时x ＋2y 取得最小值，3x ＋2y 取得最小值，则z ＝3x ＋2y 的最小值是30＋2×0＝1.6．[0,5)解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0⇒A (2，－1)，⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＋y －1＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 令u ＝2x －2y －1，变形可得y ＝x －u ＋12，平移目标函数线y ＝x －u ＋12使之经过可行域，当目标函数线过点A (2，－1)时，其在y 轴上的截距最小，此时u 取得最大值，即u max ＝2×2－2×(－1)－1＝5.当目标函数线过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，其在y 轴上的截距最大，此时u 取得最小值，即u min ＝2×13－2×23－1＝－53.因为点A (2，－1)不在可行域内，所以－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)．7．1解析直线kx －y ＋2＝0过定点A (0,2)，作可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18＝0，2x －y ＝0得B (2,4)．当定点A (0,2)和B 点连结时，斜率最大，此时k ＝4－22－0＝1，则k 的最大值为1.8．(0，5)∪(13，＋∞) 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，其中M (1,1)，N (2,2)，P (1,3)，∵圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)表示以C (－1，0)为圆心，半径为r 的圆，∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点， ∵CM ＝1＋12＋12＝5，CP ＝1＋12＋32＝13，∴当0<r <5或r >13时，圆C 不经过区域D 上的点． 9．[3，＋∞)解析若2x －y ＋a ≥0总成立⇔a ≥y －2x 总成立，设z ＝y －2x ，即求出z 的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z ，平移直线y ＝2x ＋z ，由图象可知当直线经过点C (0,3)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大，z max ＝3－0＝3，∴a ≥3.10.1625解析依题意可知，以原点为圆心，a 为半径的圆完全在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤4，x ＋y ≤4，4x －3y ＋4≥0所围成的区域内，由于原点到直线4x －3y ＋4＝0的距离为45，所以实数a 的最大值为1625.能力提升练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，122.[2,9]3.124.45.π46．2或12解析作出平面区域如图中阴影部分(含边界)所示：可行域是等腰三角形，平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是B 到AC 的距离，它们的斜率是2，A (2,1)，B (1,2)，A 到BC 的距离为|2－2＋3|5＝35，B 到AC 的距离为|2－2－3|5＝35，所以A 到BC 的距离也是最小值，平行线的斜率为12.。

高三第一轮复习03----不等式、推理与证明训练题

不等式、推理与证明训练题一、选择题：1．若直线bya x +＝1与图122=+y x 有公共点，则 (A)122≤+b a (B) 122≥+b a (C)11122≤+ba(D)11122≥+b a 2．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（）A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞3．已知函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是（A ）[1,1]- （B ）[2,2]- （C ）[2,1]- （D ）[1,2]- 4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( )A ．3B ．51C ．4D ．5 6．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，21318．下列表述正确的是（）。

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。

9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖( )块.A.4n+2B.3n+2C.4n+1D.3n+110．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <11．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,312．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m 13．不等式112x x ->+的解集是． 14．不等式22lg lg x x <的解集是 ( )A ．1(,1)100 B ．(100,)+∞ C ．1(,1)100(100,)+∞ D ．(0,1)(100,)+∞ 15．若不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立,则a 的取值范围是 ( )A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a << 16．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 17．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12 B ．32C ．52D ．1 18．可行域（如图）为四边形ABCD 的内部（包括边界），其中 A （2，1），B （4，1），C （3，3），D （0，3），目标函数y ax z +=取最大值的最优解是无穷多个时，实数a 的值为（） A. 0 B. 2C. 1或2D. 0或2二、填空题：19．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是。

2018届数学复习第六章不等式、推理与证明课时作业36不等关系与不等式(含解析)文

课时作业36 不等关系与不等式一、选择题1．若a〈0，ay〉0且x＋y〉0，则x与y之间的不等关系是(）A．x＝y B．x>yC．x〈y D．x≥y解析:由a〈0，ay>0知y〈0，又由x＋y〉0知x>0,所以x〉y。

答案:B2．若1a〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（)A．a2<b2B．ab〈b2C．a＋b〈0 D．｜a｜＋｜b|>|a＋b|解析：∵错误!<错误!<0，∴b〈a〈0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a｜＋｜b｜＝|a＋b｜.答案：D3．设a，b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是（ )A ．a 2〈b 2B ．ab 2〈a 2b C.1ab 2〈错误! D.错误!<错误!解析：当a <0时,a 2〈b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab （b －a )．b －a 〉0，ab 符号不确定．所以ab 2与a 2b 的大小不能确定,故B 错．因为错误!－错误!＝错误!<0.所以错误!〈错误!，故C 正确．D 项中b a 与错误!的大小不能确定．答案：C4．设α∈（0，π2)，β∈[0，错误!］，那么2α－错误!的取值范围是（ )A ．（0，5π6)B ．(－错误!，错误!)C ．（0,π）D ．(－错误!，π）解析：由题设得0<2α<π，0≤错误!≤错误!.∴－π6≤－错误!≤0，∴－错误!<2α－错误!〈π.答案:D5．已知a＝log23＋log2错误!,b＝log29－log2错误!，c ＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a〉b>c解析：a＝log23＋log23＝log23错误!。

b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!。

∴a＝b＝log23错误!〉log22＝1。

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时分层作业四十6.6数学归纳法理

课时分层作业四十数学归纳法一、选择题(每小题5分,共35分)1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=4<22+1=5,当n=3时,23=8<32+1=10,当n=4时,24=16<42+1=17,当n=5时,25=32>52+1=26,当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.2.(2018·淄博模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是( )A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立【解析】选D.当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )A. B.-C.-D.+【解析】选C.因为当n=k时,左端=1-+-+…+-,当n=k+1时,左端=1-+-+…+-+-.所以,左端应在n=k的基础上加上-.4.观察下列各等式:+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,归纳出一般性的等式为( )A.+=2B.+=2C.+=2D.+=2【解析】选A.各等式可化为:+=2,+=2,+=2,+=2,可归纳得一般等式:+=2.5.(2018·沈阳模拟)设n为正整数,f(n)=1+++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f(2n)> B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对【解析】选C.f(2)=f(21)==,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>,由此可推知f(2n)≥.6.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D. 运用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)当n=k时,则有1+2+3+…+2k=2k-1+22k-1(k∈N*)左边表示的为2k项的和.当n=k+1时,则左边=1+2+3+…+2k+(2k+1)+…+2k+1,表示的为2k+1项的和,因此,增加了2k+1-2k=2k项.7.(2018·商丘模拟)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为( )A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c【解题指南】根据数学归纳法的要求,只需代入前三个数即可.【解析】选A.因为等式对一切n∈N*均成立,所以n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·洛阳模拟)用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是________.解析】由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2.答案:1++<2.9.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有(S n-1)2=a n S n,通过计算S1,S2,S3,猜想S n=______. 【解析】由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,依次得S3=,猜想S n=.答案:10.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.导学号12560630【解析】不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案:.1.(5分)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2(++…+)时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B. k为偶数,则k+2为偶数.2.(5分)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n≥2)”时,由n=k的假设证明n=k+1时,不等式左边需增加的项数为( )A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1【解析】选C.当n=k时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…+,所以左边增加的项数为2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.3.(5分)(2018·武汉模拟)已知数列{a n}满足条件a n=,设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-a n),计算f(1),f(2),f(3),f(4)的值,由此猜想f(n)的通项公式为________.【解析】f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(4)=.由此可猜想f(n)=.答案:f(n)=4.(12分)(2018·东莞模拟)已知S n=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:>1+(n≥2,n∈N*).【证明】(1)当n=2时,=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即=1+++…+>1+,则当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式>1+都成立.5.(13分)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想{a n}的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:a n=(n-1)λn+2n.下面用数学归纳法证明:①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,即a k=(k-1)λk+2k,那么当n=k+1时,a k+1=λa k+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=(k-1)λk+1+λk+1+2k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,所以当n=k+1时,a k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,猜想成立,由①②知数列的通项公式为a n=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0).。

不等式、推理与证明专题试卷

《金版新学案》高三一轮总复习[B 师大]数学文科高效测评卷(六)第六章不等式、推理与证明—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2．下列符合三段论推理的形式为( )A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒cC ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc 3．下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2 4．类比梯形的面积公式：S ＝12×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图扇环的面积公式S 扇环等于( )A.12(r 1＋r 2)·l B.π2(r 1＋r 2)·l C ．π(r 1＋r 2)·l D ．以上都不对5．已知c ＞1，x ＝c ＋1－c ，y ＝c －c －1，则x ，y 之间的大小关系是( )A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ，y 的关系随c 而定6．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．16 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．38．设D 是由⎩⎪⎨⎪⎧(x －y )(x ＋y )≥0，y ≥0所确定的平面区域，记D 被夹在直线x ＝－1和x ＝t (t ∈[－1,1])间的部分的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )9．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－∞－2)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)10．(2010·全国新课标卷)已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)11．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( ) A ．20B ．18C ．16D ．1912．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)第Ⅱ卷 (非选择题共90分))13．(2011·宁夏银川一模)已知M ＝{x |x 2＋x －6≤0}，N ＝{x ||2x ＋1|＞3}，则M ∩N 等于________．14．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________. 15．(2010·山东卷)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 16．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －x y的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a 、b 的值．18.(12分)已知函数f (x )＝k ＋1x(k ＜0)，求使得f (x ＋k )＞1成立的x 的集合．19．(12分)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．20．(12分)已知函数y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(m∈R)．(1)当m为何值时，函数图象与x轴有两个不同的交点？(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求实数m的取值范围．【解析方法代码108001084】21．(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？22．(14分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．【解析方法代码108001086】答案一、选择题1．C M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}．2．B 由三段论的推理规则可以得到B 为三段论．3．D 由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2.4．C 由类比推理的定义及步骤可以获得：梯形的上下底可与圆台的上下底面展开图类比；梯形的高可与圆台的母线类比．5．C x ＝1c ＋1＋c ，y ＝1c ＋c －1， ∴x ＜y ，故应选C.6．A 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18. 7．B 画出可行域后便知，当直线x －y －z ＝0通过直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13时，函数z ＝x －y 取得最小值．∴m ＋13－2m －13＝－1，m ＝5.故选B. 8．B 如图，由不等式组画出平面区域．根据题意，由函数S ＝f (t )的单调递增情况易选出答案B.9．A 据已知可得a ≥－|x |－1|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，据基本不等式|x |＋1|x |≥2⇒－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，故若使原不等式恒成立，只需a ≥－2即可．10．B 如图所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →.又AB →＝(4,2)，∴D (0，－4)．作初始直线l 0：2x －5y ＝0，平移直线l 0知，当直线过点D (0，－4)时z 取得最大值20，过点B (3,4)时z 取得最小值－14.11．B 由AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23得|AB →|·|AC →|＝4，S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin 30°＝1，由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12. 所以1x ＋4y＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ·(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋2×2)＝18.故选B.12．B 由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3；若不等式组的解集不是空集，则需不等式x 2＋4x －(1＋a )≤0在[－1,3]上有解，即a ≥x 2＋4x －1在[－1,3]上有解；令h (x )＝x 2＋4x －1，h (x )在[－1,3]上单调递增，所以h (x )min ＝h (－1)＝－4，h (x )max ＝h (3)＝20，则a ≥－4，故选B.二、填空题13．解析： M ＝{x |(x ＋3)(x －2)≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，N ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，故M ∩N ＝[－3，－2)∪(1,2]．答案： {x |－3≤x ＜－2或1＜x ≤2}14．解析：由于不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.答案：－215．解析： ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x＋3， ∴只需a ≥1u恒成立即可． ∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0＜1u ≤15，∴a ≥15. 答案： ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 16．解析：作出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，2，即y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2，故令t ＝y x，则u ＝t －1t ，根据函数u ＝t －1t在t ∈⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增得u ∈⎣⎡⎦⎤－83，32. 答案： ⎣⎡⎦⎤－83，32 三、解答题17．解析： A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 1＜4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋3＜0 ＝{x |－3＜x ＜1}．(1)A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ＝{x |－3＜x ＜1}，所以－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．故⎩⎨⎧ －a 2＝－3＋1，b 2＝－3×1，所以a ＝4，b ＝－6.18．解析：由f (x ＋k )＞1得k ＋1x ＋k＞1，移项、通分，整理得x －1x ＋k＜0，即x －1x －(－k )＜0，当k ＜－1时，－k ＞1，不等式的解集为{x |1＜x ＜－k }；当k ＝－1时，－k ＝1，不等式的解集为∅；当－1＜k ＜0时，0＜－k ＜1，不等式的解集为{x |－k ＜x ＜1}．19．解析： (1)由已知a 1＝5，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3.∴S n ＝12n (a 1＋a n )＝12n (5＋2n ＋3)＝n (n ＋4)． (2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]，∴T n ＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n ＜T n .归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n ＜T n .20．解析： (1)由题意可知m ≠1，且Δ＞0，即(m －2)2＋4(m －1)＞0，得m 2＞0，所以m ≠1且m ≠0.(2)由(1)知Δ＞0，所以设方程的两实根为x 1，x 2，由韦达定理可得：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝m －21－m x 1x 2＝11－m ，所以1x 1＋1x 2＝m －2，所以1x 12＋1x 22＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.又由(1)知m ≠1且m ≠0，所以m 的范围为0＜m ＜1或1＜m ≤2.21．解析： (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1. ∴y ＝1.5×6＋12x x×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝⎛⎭⎫4－32t ＋1－t＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12.由基本不等式9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12 ≥29t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12＝6，当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时，等号成立，故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5.当t ＝2.5时，y 有最大值21.5.所以2009年的年费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．22．解析： (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上述规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)，f (n －2)－f (n －3)＝4·(n －3)，…f (2)－f (1)＝4×1∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ， ∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.。

2020届高考数学总复习第七章不等式推理与证明7_3基本不等式课时作业文(含解析)新人教A版

7-3 基本不等式课时作业A 组——基础对点练1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( ) A ．3 B ．4C ．6D ．8【答案】B2．(2019·湖北稳派教育二联)若x ＞0，y ＞0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )A ．x ＝yB ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1【答案】C3．(2019·潍坊三模)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( ) A.53B ．3C ．5 D. 9【答案】D4．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．4【答案】A5．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6 ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．－2 3B ．－53 3C ．－3 3D ．－723 【答案】A6．(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( ) A ．1 B.32C ．2 D.92【答案】A7．若 {a n }为等比数列，a n ＞0 ，且a 2018＝22，则1a 2017＋2a 2019的最小值为__________．【答案】48．(2019·吉林模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为__________．【答案】49．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值．(2)求1x ＋1y的最小值． 10．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．B 组——能力提升练1．(2019·河南适应性考试)已知函数f (x )＝e x在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b 的最小值是( )A. 4 B ．2C ．2 2 D. 2【答案】D2．在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C的最小值为( ) A.32 B.334 C.32 D. 53【答案】C3．(2019·肇庆三模)已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________．【答案】 34．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】2 25．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．。

第六章不等式、推理与证明质量检测

第六章不等式、推理与证明(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0，B ＝{}x |0<x <3，则A ∩B ＝ ( )A.{}x |1<x <3B.{}x |0<x <3C.{}x |0<x <1 D ．∅解析：由xx －1<0⇒x (x －1)<0⇒0<x <1，∵B ＝{}x |0<x <3，∴A ∩B ＝{}x |0<x <1.答案：C2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2中正确的是 ( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由1a <1b <0可知b <a <0，所以ab >0，显然有a ＋b <ab ，|b |>|a |，且由基本不等式有b a ＋a b >2 b a ·ab＝2. 答案：C3．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝ ( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．11 111 110B ．11 111 111C ．11 111 112D ．11 111 113 解析：数塔的右侧的规律是，逐次加1. 答案：B4．(2010·诸城模拟)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是 ( )A ．2 2B ．2 3C ．2 D.52解析：∵log m n ＝－1， ∴m >0，m ≠1，n >0，mn ＝1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3 即3n ＋m 的最小值为2 3. 答案：B5．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件．答案：A6．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{}x |2<x <4，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <14 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <14 解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－b a＝6c a ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <0－b c ＝34，a c ＝18∴cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－34x ＋18>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <14.答案：D7．(2010·泉州模拟)设x ，y 是关于m 的方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两个实根，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是 ( ) A ．－1214 B ．18 C ．8 D.34解析：∵x ＋y ＝2a ，xy ＝a ＋6， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2－2(x ＋y )＋2 ＝(x ＋y )2－2(x ＋y )－2xy ＋2 ＝4a 2－4a －2(a ＋6)＋2 ＝4a 2－6a －10＝4(a －34)2－494.又∵x 、y 是方程m 2－2am ＋a ＋6＝0的两根， ∴Δ＝4a 2－4(a ＋6)≥0，即a ≥3或a ≤－2. ∴当a ＝3时，(x －1)2＋(y －1)2的最小值为8. 答案：C8．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤2y ≤kx －2是一个三角形，则k 的取值范围是 ( )A ．(0,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．[－2,2]解析：如图，只有直线y ＝kx －2与线段AB 相交(不包括点A ) 或与线段CD 相交(不包括点D )，可行域才能构成三角形，故k ∈[－2,0)∪(0,2]．答案：C9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为 ( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．不确定解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p . 答案：B10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n 均为正数，则1m ＋2n 的最小值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，令u ＝1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥8.答案：D11．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则tan ∠POQ 的最大值等于 ( )A.12 B ．1 C.32D ．0 解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ 最大， ∠POQ ＝∠POM －∠QOM ，tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM )＝tan ∠POM －tan ∠QOM 1＋tan ∠POM tan ∠QOM＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1. 答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4的解集是( )A.{}x |－2≤x <1B.{}x |x ≤1C.{}x |x <1D.{}x |x <－2解析：当x ＋2≥0即x ≥－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×1≤4，即x ≤1，故－2≤x ≤1；当x ＋2<0即x <－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{}x |x ≤1. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)．答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n214．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________．解析：由类比推理可知．答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题 15．设x >0，则y ＝3－2x －1x的最大值等于________．解析：∵x >0，则2x ＋1x ≥22，所以－(2x ＋1x )≤－22，2x ＝1x 时，x ＝22时等号成立，则y ＝3－2x －1x ≤3－22，即y max ＝3－2 2.答案：3－2 216．(2010·宜昌模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．解析：由约束条件作出可行域(如图)，当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (b 3，2b 3)时，z 取得最小值，即2×b3＋2b 3＝3，解之得b ＝94. 答案：94三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 18．(本小题满分12分)解下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)已知x ＞2，求x ＋4x －2的最小值；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9y 的最小值．解：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为116.法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴ab ＝144a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab 的最大值为116.(2)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋24y x ·9xy＝25，当且仅当4y x ＝9xy时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4y x ＝9xy ，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝35，∴当x ＝25，y ＝35时取等号．所以4x ＋9y的最小值为25.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝()(0).()(0)f x x f x x >⎧⎨-<⎩(1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0⇒a ＝－1，∴F (x )＝24(0).24(0)x x x x -+>⎧⎨-<⎩ (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧m ·n <0m ＋n >0， ∴m ，n 一正一负．不妨设m >0且n <0，则m >－n >0，F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4) ＝a (m 2－n 2)，当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0，当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式(1－ax )2<1.解：由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解． (2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a)<0.∵2a <0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <0. (3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a >0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <2a . 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <0；当a >0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <2a .21．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为z ＝7x ＋12y ，作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A (20,24)时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元).22．(文)(本小题满分14分)如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？解：设每个鱼塘的宽为x 米，且x ＞0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x ＋6，则总面积y ＝(3x ＋8)(10 000x ＋6)＝30 048＋80 000x ＋18x≥30 048＋280 000x·18x ＝32 448，当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000x ＝150.即鱼塘的长为150米，宽为2003米时，占地面积最少为32448平方米．(理)(本小题满分14分)(2009·安徽高考)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N ＋.(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解：(1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ≥2，a n 都是奇数．(2)法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1>a n 当且仅当a n <1或a n >3.另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法得，0<a 1<1⇔0<a n <1，∀n ∈N ＋； a 1>3⇔a n >3，∀n ∈N ＋.综上所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3. 法二：由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0，于是0<a 1<1或a 1>3.a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，∀n ∈N ＋，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号．因此，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.。

高三数学一轮复习集合逻辑推理不等式专题练习(无答案)理试题

集合逻辑推理不等式专题一选择题1. 已知集合{}0,2|>==x y y M x，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则N M 为（） A.(1,2) B.),1(+∞ C.),2[+∞ D.),1[+∞ 2. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 3.1:1,:1,p x q p q x⌝≤<已知则是成立的( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既非充分也非必要4.下列四个命题：①11(0,),()()23x x x ∃∈+∞>； ②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2xx x ∀∈+∞>；④1311(0,),()log 32xx x ∀∈<．其中正确命题的个数（）A ．1 B.2 C. 3 D. 4 5. 下列推理是归纳推理的是（）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由1131n a a n ＝，＝－，求出123S S S ，，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222x y r ＋＝的面积2r π，猜想出椭圆2222=1x y a b+的面积S ab π＝D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 6. 下列命题中正确的是（）A .1y x x =+的最小值是2B .()4230y x x x=-->的最大值是2- C .224sin sin y x x =+的最小值是4 D .()4230y x x x=--<的最小值是2-7. 已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为( )A. 8B. 4C. 2D. 0 二、填空题8．曲线 sin y x =在点 (,),(,)2222A B ππππ-处的切线分别为 12,l l ,设 12,l l 及直线 x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x ，y)是区域D 内任意一点，则x+2y 的最大值为________.9. 在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________. 10. 111()1...()23f n n N n*=++++∈，计算35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f =>>>，7(32)2f >，推测当2n ≥时，有____________．三、解答题11.命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立；命题q ：函()(32)xf x a =-是增函数．若p 或q为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．12.近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．。