山东省济宁市高考数学一轮复习25平面向量的基本概念及线性运算限时检测新人教A版

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高考数学一轮复习定时检测 4.1平面向量的概念及线性运算(带详细解析)文新人教A版

高考数学一轮复习定时检测 4.1平面向量的概念及线性运算（带详细解析）文新人教A 版一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·苏州模拟)如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是________．①AB →=DC →②AD →＋AB →＝AC →③AB →－AD →＝BD →④AD →＋CB →＝0解析 ①显然正确；由平行四边形法则知②正确；AB →－AD →＝DB →故③不正确；④中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0答案 ①②④2.（2010·徐州模拟）设四边形ABCD 中，有，AB DC 21=且|,|||BC AD =则这个四边形是 .解析由AB 21DC =知四边形ABCD 是梯形，又|,|||BC AD =所以四边形ABCD 是等腰梯形. 答案等腰梯形3.（2008·全国Ⅰ理）在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则A D →＝ ____________(用b ，c 表示)．解析如图所示，在△ABC 中，A D →=AB →＋BD →. 又.32,2=∴=,c b -=-=∴+=∴23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c . 答案 23b ＋13c4.（2010·泰州模拟）如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若,21OP b a +=且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ______0，b ______0(用“>”，“<”或“＝”填空)．解析由于点P 落在第Ⅲ部分，且,21OP b a +=则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a >0，b <0.第四编平面向量§4.1 平面向量的概念及线性运算答案 > <5.（2009·江苏南京二模）设OB →＝xOA →＋yOC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过端点O )，则x ＋y ＝________.解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在一个实数λ，AB →=λAC →，即OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)．OB →＝(1－λ)OA →＋λOC →.又∵OB →＝xOA →＝xOA →＋yOC →，∴x ＋y ＝(1－λ)＋λ＝1.答案 16.（2009·广东茂名一模）在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若,2=,31λ=则λ＝________. 解析由图知+=+= 且A D →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 答案 237．(2009·浙江改编)设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．解析由|a |=3，|b |=4及a ·b =0知a ⊥b ，故a ，b ，a -b 构成直角三角形，且|a -b |=5.又其内切圆半径为.12543=-+如图所示．将内切圆向上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有4个交点．答案 48．(2009·北京改编)设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心．若集合S ＝{P |P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i ＝1,2,3}，则集合S 表示的平面区域是________．解析如图所示，AB 、CD 、EF 分别为P 0P 1、P 0P 2、P 0P 3的垂直平分线，且AB 、CD 、EF 分别交P 1P 2、P 2P 3、P 3P 1于点A 、C 、D 、E 、F 、B .若|PP 0|=|PP 1|，则点P 在线段AB 上，若|PP 0|≤|PP 1|，则点P 在梯形ABP 3P 2中．同理，若|PP 0|≤|PP 2|，则点P 在梯形CDP 3P 1中．若|PP 0|≤|PP 3|，则点P 在梯形EFP 1P 2中．综上可知，若|PP 0|≤|PP i |，i =1,2,3，则点P 在六边形ABFEDC 中．答案六边形区域9.（2009·山东改编）设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________.解析因为BC →＋BA →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，即PC →＋P A →＝0.答案 0二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2010·南京调研）在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA → ① ②在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →.DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB → ＝2a －b －23b ＝2a －53b . 11.（16分）（2010·江苏苏州调研）已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：).(21DC AB EF += 证明方法一如图，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0，又∵BF →＋BF →＋FE →＋EA →＝0，∴EF →=A B →＋BF →＋EA → ①同理EF →=ED →+DC →＋CF → ②由①＋②得，2EF →=AB →+DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)=AB →+DC →.).(21DC AB EF +=∴ 方法二连结,, 则,DC ED EC +=)(21)(21+++=+=∴).(21+= 12.（16分）（2009·上海宝山模拟）已知点G 为△ABC 的重心，过点G 作直线与AB 、AC两边分别交于M 、N 两点，且,,y x ==求1x ＋1y的值．解根据题意G 为三角形的重心，AG →＝13(AB →＋AC →)， MG →=AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →,31)31()(31,31)31(y AC AB AC y y x --=+-=-=-=+-= 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得 ,λ=即⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →,31)31(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y λ即⎩⎨⎧ 13－x ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫y －13，因此13－x－13＝13y －13即x ＋y －3xy ＝0两边同除以xy 整理得1x ＋1y ＝3.。

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-平面向量的概念及线性运算含答案解析

第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的□01大小，也就是表示向量a的有向线段AB→的□02长度(或称模)□03|a|或□04|AB→| 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作□050单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为±a|a|平行向量方向□06相同或□07相反的非零向量0与任一向量□08平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度□09相等且方向□10相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度□11相等且方向□12相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝□01b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝□02a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝□03|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向□04相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向□05相反；当λ＝0时，λa＝□060λ(μa)＝□07λμa；(λ＋μ)a＝□08λa＋μa；λ(a＋b)＝□09λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b＝λa.1．概念辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．() (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析因为BA→＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(3)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC→＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC→＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ，所以DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC→＝OC →－OB →＝－a －b .题型一平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向与向量a 的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB→＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ②③④⑤解析对于①，当a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；当a 和b 方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA→相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( ) A.①④ B ．③④ C ．②③ D ．①②答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2.下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A.0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①错误，如在▱ABCD 中，AD→＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线.题型二向量的线性运算1.下列四个结论： ①AB→＋BC →＋CA →＝0； ②AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确；②错误，AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0；④正确，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0. 2.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3.在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝________(用A B →，C D →表示)．答案 23 AB →－23 CD →解析因为D 为AB 的中点，所以CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋12AB →，所以AC →＝12AB →－CD →. 又因为2CE→＋BE →＝0，所以2(AE→－AC →)＋(AE →－AB →)＝0，所以3AE→＝2AC →＋AB →，所以AE→＝23AC →＋13AB → ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2.向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AD→＝12(AC →＋AB →)，如举例说明2. (2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0.1.在△ABC 中，若点D 满足CD →＝2DB →，点M 为AC 的中点，则MD →＝( )A.23AB →－16AC →B.13AB →－16AC →C.23AB →－13AC →D.23AB →＋16AC →答案 A解析 MD→＝MC →＋CD →＝12AC →＋23CB →＝12AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →－16AC →. 2．(2019·衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE→＝2EO →，则ED →＝( )A.13AD →－23AB →B.23AD →＋13AB →C.23AD →－13AB →D.13AD →＋23AB →答案 C解析因为AE→＝2EO →，所以AE →＝23AO →，又因为AO →＝12AC →，所以EA →＝－13AC →，所以ED→＝EA →＋AD →＝－13AC →＋AD →＝－13(AD →＋AB →)＋AD →＝23AD →－13AB →.题型三共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A.点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C 三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A ).角度2 由向量共线求参数的值2．(2019·安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 在AD 上的位置为( )A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点答案 B解析设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)＝411⎝ ⎛⎭⎪⎫54AM →＋λAN →＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN →＝23AD →，所以点N 在AD 上靠近点D 的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A.矩形 B ．平行四边形 C.梯形 D ．以上都不对答案 C解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形.2.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又A B →与B D →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF→＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， ∴⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.组基础关1.设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B ．a ∥b C.a ＝－13b D ．a ·b ＝0答案 C解析使a |a |＋b|b |＝0成立，需向量a 与b 反向．故选C.2.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A.1 B ．－12 C.1或－12D ．－1或－12答案 B解析由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.3.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA→，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上答案 B解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →＝( )A.λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B.λ(AB→＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1)D.λ(AB→－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 答案 A解析根据向量的平行四边形法则，得AC→＝AB →＋AD →.因为点P 在对角线AC上(不包括端点A ，C )，所以AP →与AC →共线，所以AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)，故选A.5.(2019·湖北省“四地七市”联考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C.1 D ．2答案 D解析由图可知2a ＋b ＝c ，若向量λa ＋b 与c 共线，则λ＝2.故选D. 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC的外接圆于点D .设AB→＝a ，AC →＝b ，则向量AD →＝( )A.a ＋bB.12a ＋b C.a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析由题意知，AC 为△ABC 的外接圆的直径．设△ABC 的外接圆圆心为O ，如图，连接OD ，BD ，则AB ＝OA ＝OD .又易得AB ∥OD ，所以四边形ABDO 是平行四边形，所以AD→＝AB →＋AO →＝AB →＋12AC →＝a ＋12b .故选C.7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC→，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C.－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →. 8.(2019·河南三市联考)若AP→＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________.答案－52解析 ∵AP→＝12PB →，∴AP →＋PB →＝AB →＝32PB →＝－32BP →.∴λ＋1＝－32，λ＝－52.9.给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量；④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线．其中是真命题的有________(填上序号)．答案 ①②③解析 ①由向量的平行四边形法则可知，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量，所以①是真命题；②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量，或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；④当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题.10.(2019·青岛质检)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD→＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 其中正确命题的序号为________．答案 ②③④解析 AD→＝CD →－CA →＝－12BC →－CA →＝－12a －b ，所以①错误；BE →＝BC →＋CE →＝BC→＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CA →＋CB →)＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故③正确；综上知AD→＋BE →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＝0，故④正确. 组能力关1.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →－OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A.30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 A解析因为OA→＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝OA →＋OB →.所以四边形OACB 是平行四边形，又因为|OA→|＝|OB →|＝|OC →|，所以四边形OACB 是菱形，△OAC 是等边三角形．所以∠BAC ＝12∠OAC ＝30°.2.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD上(与点C ，D 不重合)，若AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.3.点O 是△ABC 内一点，满足条件OA →＝2BO →＋3CO →，延长BO 交AC 于点D ，则S △CODS △AOD的值为( ) A.23 B.13 C.12 D.34答案 B解析解法一：如图(1)，分别取BC ，AC 的中点为E ，F ，连接EF .∵OA →＝2BO→＋3CO →，∴OA →－CO →＝2(BO →＋CO →)，即OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，∴2OF →＝－2·2OE→，∴OF →＝－2OE →.故O 在△ABC 的中位线EF 上，且OF ＝2OE .过点E 作EH ∥CD ，交BD 于点H ，则H 为BD 的中点，EH ＝12CD ＝12DF ，因此CD ＝DF ，CD ∶AD ＝1∶3，∴S △COD S △AOD＝CD AD ＝13.故选B.解法二：∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，令2OB →＝OB ′→，3OC →＝OC ′→，∴OA →＋OB ′→＋OC ′→＝0，∴O 是△AB ′C ′的重心，如图(2)，延长B ′O 交AC ′于点F ，则AF ＝FC ′.过点C 作CE ∥AC ′，交BF 于点E ，∴CD AD ＝CE AF ＝CE C ′F ＝OC OC ′＝13，∴S △COD S △AOD ＝CD AD ＝13.故选B.4．在平面向量中有如下定理：设点O ，P ，Q ，R 为同一平面内的点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使OP→＝(1－t )OQ →＋tOR →.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且CF ＝2F A ，BF 交CE 于点M ，设AM →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y ＝________.答案 75解析因为B ，M ，F 三点共线，所以存在实数t ，使得AM →＝(1－t )·AB →＋tAF →，又AB→＝2AE →，AF →＝13AC →，所以AM →＝2(1－t )AE →＋13tAC →.又E ，M ，C 三点共线，所以2(1－t )＋13t ＝1，得t ＝35.所以AM→＝2(1－t )AE →＋tAF →＝45AE →＋35AF →，所以x ＝45，y ＝35，所以x ＋y ＝75.。

2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】

的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ；结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

新人教A版版高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的概念及其线性运算教案理解析版

基础知识整合１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有错误!方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的错误!模．（２）零向量：长度为错误!0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于错误!１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或错误!相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向错误!相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向错误!相反的向量．２．向量的线性运算３．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λＡ．１．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋An—１An＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．２．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．３．错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝１．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析当a＋b＝0时，a＝—b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝—b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选Ａ．２．（２0１9·嘉兴学科基础测试）在△ABC中，已知M是BC中点，设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!a—b Ｂ．错误!a＋bＣ．a—错误!b Ｄ．a＋错误!b答案A解析错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—错误!＝错误!a—Ｂ．故选Ａ．３．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是（）Ａ．a＋b＝0 Ｂ．a＝bＣ．a与b共线反向Ｄ．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．４．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋mj，错误!＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是（）Ａ．m＋n＝１Ｂ．m＋n＝—１Ｃ．mn＝１Ｄ．mn＝—１答案C解析由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋mj＝λ（ni＋j）＝λni＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．５．（２0１9·大同模拟）△ABC所在的平面内有一点P，满足错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则△PBC与△ABC的面积之比是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析因为错误!＋错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝—２错误!＝２错误!，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝错误!AC，由三角形的面积公式可知，错误!＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一平面向量的概念１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；３若A，B，C，D是不共线的四点，则错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案３解析１错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２错误，若b＝0，则a与c不一定共线．３正确，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填３.触类旁通平面向量有关概念的四个关注点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．错误!３向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.错误!即时训练１．设a0为单位向量，下列命题中：１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0．假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．故选Ｄ．考向二平面向量的线性运算角度错误!向量加减法的几何意义例２（１）在四边形ABCD中，错误!＝a＋２b，错误!＝—４a—b，错误!＝—５a—３b，则四边形ABCD的形状是（）Ａ．矩形Ｂ．平行四边形Ｃ．梯形Ｄ．以上都不对答案C解析由已知得，错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋２b—４a—b—５a—３b＝—8a—２b＝２（—４a—b）＝２错误!，故错误!∥错误!.又因为错误!与错误!不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选Ｃ．（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a—b|，则（）Ａ．a⊥b Ｂ．|a|＝|b|Ｃ．a∥b Ｄ．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a—b|，∴|a＋b|２＝|a—b|２．∴a２＋b２＋２a·b＝a２＋b２—２a·Ｂ．∴a·b＝0．∴a⊥Ｂ．故选Ａ．解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，由|a＋b|＝|a—b|知|错误!|＝|错误!|，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥Ｂ．故选Ａ．角度错误!平面向量线性运算例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案A解析根据向量的运算法则，可得错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）（２0１9·唐山统考）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案B解析因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｂ．角度错误!利用线性运算求参数例４（１）在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且错误!＝４错误!＝r错误!—s错误!，则s＋r等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３答案C解析因为错误!＝４错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以r＝s＝错误!，s＋r＝错误!.（２）（２0１9·河南中原联考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），则λ２＋μ２＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!答案A解析错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以λ＝错误!，μ＝—错误!，故λ２＋μ２＝错误!.故选Ａ．触类旁通平面向量线性运算的一般规律（１）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．（２）在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．即时训练２．已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，则（）Ａ．a＋b＋c＋d＝0 Ｂ．a—b＋c—d＝0Ｃ．a＋b—c—d＝0 Ｄ．a—b—c＋d＝0答案B解析如图所示，a—b＝错误!，c—d＝错误!，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且错误!与错误!反向，即错误!＋错误!＝0，也就是a—b＋c—d＝0．３．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝３错误!，则（）Ａ．错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!答案A解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ａ．４．（２0１9·唐山模拟）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝３0°，AB＝２错误!，BC＝２，点E在线段CD上，若错误!＝错误!＋μ错误!，则μ的取值范围是________．答案0≤μ≤错误!解析由题意可求得AD＝１，CD＝错误!，所以错误!＝２错误!.∵点E在线段CD上，∴错误!＝λ错误!（0≤λ≤１）．∵错误!＝错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋μ错误!＝错误!＋２μ错误!＝错误!＋错误!错误!，∴错误!＝１，即μ＝错误!.∵0≤λ≤１，∴0≤μ≤错误!.考向三共线向量定理的应用例５（１）（２0１9·朔州模拟）设e１与e２是两个不共线向量，错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，若A，B，D三点共线，则k的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．—错误!Ｄ．不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得错误!＝λ错误!.又错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，所以错误!＝错误!—错误!＝３e１—２ke２—（ke１＋e２）＝（３—k）e１—（２k＋１）e２，所以３e１＋２e２＝λ（３—k）e１—λ（２k＋１）e２，所以错误!解得k＝—错误!.故选Ａ．（２）（２0１9·河北衡水调研）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若错误!＝２错误!，错误!＝３错误!，错误!＝λ错误!—μ错误!（λ，μ∈R），则错误!μ—λ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．—３答案A解析错误!＝λ错误!—μ错误!＝λ错误!—μ（错误!＋错误!）＝（λ—μ）错误!—μ错误!＝２（λ—μ）错误!—３μ错误!，因为E，M，F三点共线，所以２（λ—μ）＋（—３μ）＝１，即２λ—５μ＝１，所以错误!μ—λ＝—错误!.故选Ａ．触类旁通１三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.错误!２三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O O不在直线BC上满足即时训练５．（２0１9·济南模拟）已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c 与d共线反向，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—２答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k<0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]，整理得λa＋b＝ka＋（２λk—k）Ｂ．由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝—错误!.故选Ｂ．6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则m＋n的值为________．答案２解析解法一：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.∵M，O，N三点共线，∴错误!＋错误!＝１．∴m＋n＝２．解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时m＝n＝１，∴m＋n＝２．。

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练平面向量的概

考点：平面向量的基本概念1．下列命题中，正确的是( )． A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b B ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 C ．若k a ＝0，则k ＝0或a ＝0D ．若a ，b 都是非零向量，则|a ＋b |＞|a －b |解析对于A ，显然不能得知a ＝b 或a ＝－b ，因此选项A 不正确；对于B ，易知不正确；对于C ，易知正确；对于D ，注意到(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，显然a ·b 与零的大小关系不确定，因此选项D 不正确．综上所述，选C. 答案 C2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________．解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误． ③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确． ④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案 ②④⑤考点：平面向量的线性运算1、如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ， OB →＝b ，B M →＝13BC →， CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →， O N→及MN →.解由题意知，在平行四边形OADB 中， BM →＝13B C →＝16 BA →＝16( OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .2、(1) (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λ AO →，则λ＝________.(2)已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有 ( )． A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB → D.PB →＝2AP → 解析 (1)∵AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. (2)∵PA →＋PB →＋PC →＝AC →＝PC →－PA →，∴PB →＝－2PA →＝2AP →. 答案 (1)2 (2)D3、在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝ ( )． A.a ·a －b |a －b | B.a ·b －a |a －b | C.a ·a －b|a －b |2D.a ·b －a|a －b |2解析由AD →＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|.又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·a －b |a ||b －a |＝a ·a －b |b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·a －b |b －a |2＝a ·a －b|a －b |2.故选C. 答案 C4．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 解析由图可知EF →＝OF →－OE →.答案 B5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C6．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案－14a ＋14b7．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 8．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛ 12OA →＋12OB →＋⎭⎫2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案 B 9.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →. 解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .考点：向量共线定理及其应用1、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.2、已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为_____．解析由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案 13．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案 A4．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案－1。

高三数学一轮复习教案全套人教A版平面向量的概念与线性运算

高三一轮复习第四章平面向量与复数
4.1平面向量的概念与线性运算
【教学目标】
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点难点】
1.教学重点理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、向量数乘的运算；
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
平行四边形法则
，得BA →＝PC →.又AP →＝
＋AB →)＝12·2AD →＝AD →
.。

2019-2020年高考数学一轮复习 25平面向量的基本概念及线性运算限时检测新人教A版

2019-2020年高考数学一轮复习 25平面向量的基本概念及线性运算限时检测新人教A 版4．(xx·青岛模拟)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b【解析】由a |a |＋b|b |＝0可知a 与b 必共线且反向，结合四个选项可知A 正确．【答案】 A5．(xx·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |【解析】由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2， ∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．【答案】 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0易得M 是△ABC 的重心，且重心M 分中线AE 的比为AM ∶ME ＝2∶1，∴AB →＋AC →＝2AE →＝mAM →＝2m 3·AE →，∴2m 3＝2.∴m ＝3.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)图4－1－37．如图4－1－3所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．【解析】由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 28．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．【解析】 ∵BC →＝AC →－AB →，当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3，当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13，当AB →、AC →不共线时，3＜|BC →|＜13，综上可知3≤|BC →|≤13.【答案】 [3,13]9．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0； ③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)．【解析】由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③，当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．【答案】 ①②三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值．(3)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ， AC →＝OC →－OA →＝－a －2b .所以AC →＝－AB →，又因为A 为公共点，所以A 、B 、C 三点共线． (2)设8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8＝λk ，k ＝2λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4，λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，λ＝－2，所以实数k 的值为±4.(3)AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.图4－1－411．(12分)如图4－1－4所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB→＋211AC →，求实数m 的值．【解】如题图所示，AP →＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP →＝kBN →， ∴AP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →，因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，则m ＝1－k ＝311.12．(13分)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心； ④△ABC 的垂心．【解】如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ→＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC ，∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →，∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．.。

(山东专用)高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算教学案理新人教A版

第五章平面向量5.1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1三角形法则平行四边形法则三角形法则(1)|λa|＝______.(2)当λ＞0时，λa的方向____；当3．平面向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：__________.1．给出下列命题：①向量AB 与向量BA 的长度相等，方向相反； ②AB ＋BA ＝0；③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，则OC 等于( )．A ．2OA －OBB ．OA ＋2OBC ．23OA －13OB D ．－13OA ＋23OB3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )． A ．a ，b 方向相同B ．a 与b 中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝04．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，共线的三点是__________．5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝__________(用a ，b 表示)．一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确． (1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(7)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝CD ，BC ＝DA ； (8)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 方法提炼1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关．请做演练巩固提升1二、向量的线性运算【例2－1】在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD ＝13AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为( )． A ．1 B ． 3 C ．2 3 D ．3【例2－2】如图所示，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF ＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD －AB ；(2)AB ＋CF . 方法提炼1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，则OP ＝12(OA ＋OB )．(2)向量加法的多边形法则12A A ＋23A A ＋34A A ＋…＋1n n A A ＝1n A A .提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．请做演练巩固提升2,3三、向量的共线问题【例3－1】设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【例3－2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．请做演练巩固提升5以向量为背景的新定义问题【典例】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A ＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：由13A A ＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC ＝c AB ，AD ＝d AB ，则1c ＋1d＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0＜c ＜1,0＜d ＜1，1c ＋1d＞2，也不正确，故选D ．答案：D答题指导：1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决． 3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．A ．aB ．bC ．cD ．0 3．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0，若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 4．(2012四川高考)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测知识梳理1．大小方向模长度 0 0 为1个单位方向相同或相反的非零平行相等相同相等相反2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|·|a | 相同相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa 基础自测1．B 解析：②中AB ＋BA ＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB 与CD 所在直线还可能平行，故②③⑤错．2．A 解析：依题意得2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0，所以OC ＝2OA －OB . 3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向． B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．排除A ，B ，C ，故选D.4．A ，B ，D 解析：AB ＋BC ＋CD ＝AD ＝3a ＋6b ，∵AD ＝3AB ，∴A ，B ，D 三点共线．5．b －12a 解析：BE ＝BC ＋CE ＝AD ＋12BA ＝b －12a .考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的； (2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同； (3)不正确；要看向量方向是否相同； (4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同．【例2－1】C 解析：如图所示，因为B ，D ，C 三点共线，所以λ＋13＝1，即λ＝23.在AB 上取一点E 使AE ＝23AB ，在AC 上取一点F 使AF ＝13AC ，由AD ＝13AC ＋23AB ＝AF ＋AE ，可知四边形AEDF 为平行四边形，又∠BAD ＝∠CAD ＝30°，所以AEDF 为菱形．因为AE ＝23AB ，AB ＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF 中，AD sin 120°＝DFsin 30°，所以AD ＝sin 120°·DFsin 30°＝2 3.故选C.【例2－2】解：(1)AD －AB ＝BD ＝OD －OB ＝d －b . (2)AB ＋CF ＝OB －OA ＋CO ＋OF ＝b －a －c ＋f . 【例3－1】解：(1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，且BF ＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF ＝λBD ，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12. 【例3－2】(1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB 与BD 共线． ∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝(λk －1)＝0. ∴k ＝±1. 演练巩固提升1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线， ∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴存在实数λ2，使得b ＋c ＝λ2a .② 由①得，b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1. ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.3．B 解析：由已知条件可得M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB ＋AC ＝2AD ，又AM ＝23AD ，故m ＝3.4．D 解析：若a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b|b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线同向，故选D.5．解：设OA ＝a ，OB ＝t b ，OC ＝13(a ＋b )，∴AC ＝OC －OA ＝－23a ＋13b ，AB ＝OB －OA ＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AC ＝λAB ，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．。

高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及其线性运算学案文含解析新人教A版

第一节平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1．向量的有关概念向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。

1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)。

2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。

3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。

要特别注意零向量的特殊性。

一、走进教材1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________。

(用a ，b 表示)解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b 。

答案 b －a －a －b2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________。

解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|。

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形。

答案矩形二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC → 解析如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A 。

2020版高考数学一轮复习二十五5.1平面向量的概念及其线性运算理解析版新人教A版

核心素养提升练二十五平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则= ( )A. +B. +C. +D. +【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.【变式备选】如图,向量a-b等于( )A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.由题图可知a-b=e1-3e2.2.下列说法正确的是( )A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.3.在△ABC中,点D满足=3,则( )A. = -B. = +C. = -D. = +【解析】选D.因为点D满足=3,因为=+=+=+ (-)=+.【变式备选】已知向量a,b不共线, c=k a+b(k∈R), d =a-b,如果c∥d,那么( )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.由题意可设c=λd,即k a+b=λ(a-b),(λ-k)a=(λ+1)b.因为a,b不共线,所以所以k=λ=-1,所以c与d反向.4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是( )①=+;②= (+);③=-;④=.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为由向量加法的平行四边形法则,知①=+,②= (+)都是正确的,由向量减法的三角形法则,知③=-是正确的,因为,的大小相同,方向相反,所以④=是错误的.【变式备选】在四边形OABC中, =,若=a, =b,则= ( )A.a-bB. a-bC. a+bD.- a+b【解析】选D. = -, = + =b+a,所以=b+a-a=b-a.5.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由O是BC中点,可得=+,由题意知=m+n,因为O,M,N三点共线,所以m+n=1,则m+n=2.6.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是 ( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.由已知得,向量a与b为同向向量,即存在正实数λ,使a=λb.【变式备选】(2018·山师大附中模拟)已知平面内一点P及△ABC,若++=,则点P与△ABC的位置关系是( )A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上D.点P在△ABC外部【解析】选C.由++=得+=-=,即=-=2,所以点P在线段AC上.7.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积和△AOC的面积的比值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.因为D为AB的中点,则= (+),又++2=0,所以=-,所以O为CD的中点,又因为D为AB的中点,所以S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与x a+y b(x,y为非零实数)共线,则的值为________.【解析】设e1,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与x a+y b共线,得c=λ(x a+y b),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以所以则的值为.答案:【变式备选】在平行四边形ABCD中, =e1, =e2, =, =,则=________.(用e1,e2表示)【解析】如图所示,=-=+2=+=-+ (-)=-e2+ (e2-e1)=- e1+e2.答案:- e1+e29.直线l上有不同的三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-cos α) + sin α(α是锐角)总成立,则α=________.【解析】因为直线l上有不同的三点A,B,C,所以存在实数λ,使得=λ,所以-=λ(-),即=+λ,所以所以sin α=cos α,因为α是锐角,所以α=45°.答案:45°10.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=【解析】由=λ+μ,得=λ· (+)+μ· (+),则++=0,得++=0,得+=0.又因为,不共线,所以解得所以λ+μ=.【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决.连接MN并延长交AB的延长线于点T,由已知易得AB=AT,所以==λ+μ,即=λ+μ,因为T,M,N三点共线,所以λ+μ=1,所以λ+μ=.答案:(20分钟40分)1.(5分)在△ABC中,设三边AB,BC,CA的中点分别为E,F,D,则+= ( )A. B. C. D.【解析】选A.如图,= (+),= (+),所以+=.2.(5分)如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则( )A.m+n是定值,定值为2B.2m+n是定值,定值为3C. +是定值,定值为2D. +是定值,定值为3【解析】选D.如图,过点C作CE平行于MN交AB于点E.由=n可得=,所以==,由BD=DC可得=,所以==,因为=m,所以m=,整理可得+=3.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选D.因为M,D,N三点共线,所以=λ+(1-λ).又=m,=n,所以=λm+(1-λ)·n.又=,所以-=-,所以=+.比较系数知λm=,(1-λ)n=,所以+=3.3.(5分)若||=||=|-|=2,则|+|=________.【解析】因为||=||=|-|=2,所以△ABC是边长为2的正三角形,所以|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,所以|+|=2.答案:24.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2, =e1+3e2, =2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若=3e1-k e2,且B,D,F三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2.又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)可知=e1-4e2,因为=3e1-k e2,且B,D,F三点共线,所以=λ (λ∈R),即3e1-k e2=λe1-4λe2,得解得k=12.【变式备选】平行四边形OADB的对角线交点为C, =, =, =a, =b,用a,b表示, ,.【解析】=a-b, = = a-b, = + = a+b, =a+b,==a+b, = - = a-b.5.(13分)经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.【解析】设=a, =b,由题意知=× (+)= (a+b),=-=n b-m a,=-=a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即n b-m a=λa+λb,从而消去λ得+=3.于是m+n= (m+n)=≥ (2+2)=.当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.。

高考数学(理)一轮规范练【25】平面向量的概念及其线性运算(含答案)

课时规范练25平面向量的概念及其线性运算课时规范练第43页一、选择题1.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为( )A.3e2-e1B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案:C解析:如图所示,a-b==e1-3e2.2.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )A.=0B.=0C.=0D.=0答案:A解析:∵,∴,∴=0.3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案:C解析:∵=-8a-2b=2(-4a-b)=2.∴.又不平行,∴四边形ABCD是梯形.4.非零向量不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是( )A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0答案:A解析:由=λ,得=λ(),即=(1+λ)-λ.又∵2=x+y,∴消去λ得x+y=2.5.在△ABC所在平面上有一点P,满足,则△PAB与△ABC的面积之比是( )A. B. C. D.答案:A解析:∵,∴=2,∴A,P,C三点共线,且P为AC的三等分点,∴.6.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,C A,AB上的点,且=2=2=2,则向量( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直答案:A解析:由题意,得.又=2,所以=2().所以.同理,得.将以上三式相加,得=-.二、填空题7.若||=8,||=5,则||的取值范围为.答案:[3,13]解析:∵||=||,∴|||-|||≤||≤||+||.∴3≤||≤13.8.已知=a,=b,=λ,则=.答案:a+b解析:=)=a+(b-a)=a+b.9.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)答案:(b-a)解析:如图所示,连接BD,设BD与AC交于点O.由=3可知N为OC的中点.又∵M是BC的中点,∴,∴)=(b-a).三、解答题10.如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,求的值(用向量表示).解:在△CEF中,有,因为点E为DC的中点,所以.因为点F为BC的一个三等分点,所以.所以. 11.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,求△ABC的内角A.解:由=0得,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°.故∠BAC=∠CAO=30°.12.在△ABC中,E,F分别为AC,AB的中点,BE与CF相交于G点,设=a,=b,试用a,b表示.解:=+λ)=)=(1-λ)=(1-λ)a+b.又+m)=(1-m)a+(1-m)b,∴解得λ=m=,∴a+b.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

高三数学,一轮复习人教A版, 第四章第1讲,平面向量的概念,及线性运算课件

2．三点共线的等价关系 → → → → → A，P，B 三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)· OA＋tOB(O → → → 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
1.教材习题改编如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( D ) → → A．EF＝CD → → B．AB与DE共线 → → C．BD与CD是相反向量 → 1→ D．AE＝ |AC| 2
1 1 A． a＋ b 2 2
1 1 B． a－ b 2 2
1 1 1 1 C．－ a－ b D．－ a＋ b 2 2 2 2 1 1 → 1→ 1 [解析] MD＝ BD＝ (b－a)＝－ a＋ b，故选 D. 2 2 2 2
4.教材习题改编已知 a， b 是非零向量，命题 p： a＝b，命题 q： |a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3.两个向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， b＝λa 使得__________ ．
1．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能不存在，也可能有无数个．
[解析] 因为 e1 与 e2 不共线，且 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共线，所以存在 μ∈R，使 e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，
1＝－2μ 得，所以－1＝μλ

高考数学一轮复习第一节平面向量的概念及其线性运算课件理新人教A版

[ 解析 ] (1) 如图， ∵ 在正六边形 uuur uuur uuur uuur
ABCDEF 中，CD＝ AF ， BF ＝CE ， uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴ BA＋CD＋ EF ＝ BA＋ AF ＋ EF uuur uuur uuur uuur uuur ＝ BF ＋ EF ＝CE ＋ EF ＝CF .
答案：A
2．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a) 共线，则 λ＝________. 解析：由题意知 a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ1＝＝－3kk，，解得 k＝13， λ＝－13. 答案：－13
1.给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； uuur uuur ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB＝ DC 是四边形
③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，
又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同，
∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.
④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝
b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况．
＝3
uuur DC
，∴CuuDur ＝14CuuBur
＝14(a－b)，∴
uuur AD
＝ uAuCur ＋ CuuDur ＝b＋14(a－b)＝14a＋34b.
[课堂练通考点]
1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

高考数学一轮复习第四章第一讲平面向量的概念及其线性运算学案含解析新人教版

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理·双基自测知识梳理知识点一向量的有关概念(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)．(2)零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，其方向是__任意__的，零向量记作__0__.(3)单位向量：长度等于__1__个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共线__向量．规定：0与任一向量__平行__.(5)相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量．(6)相反向量：长度__相等__且方向__相反__的向量．知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算__三角形__法则__平行四边形__法则(1)交换律：a＋b＝__b＋a__；(2)结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__减法向量a加上向量b的__相反向量__叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b__三角形__法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个__向量__记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a| ；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向__相同__；当λ<0时，λa与a的方向__相反__；设λ，μ是实数．(1)__λ(μa)__＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__(3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__.向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__b ＝λa __.归纳拓展1．零向量与任何向量共线．2．与向量a (a ≠0)共线的单位向量±a|a |.3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线． 4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(3)若向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反．( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( × ) 题组二走进教材2．(必修4P 91A 组T4改编)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝( B ) A ．AD → B ．0 C ．BC →D ．DA →[解析] AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.3．(必修4P 84T4改编)向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，向量a －b 等于( C )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] 由图可知a ＝－4e 2，b ＝－(e 1＋e 2)，∴a －b ＝e 1－3e 2，故选C ．4．(必修4P 91A 组T3改编)如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( C )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0[解析] 由AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错误．题组三走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝( A ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA →D ．2CA →＋CD →[解析] ∵D 为△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴CB →＝2CD →－CA →.故选A ．6．(2015·新课标2)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝__12__.[解析] ∵a 、b 不平行，∴a ＋2b ≠0，由题意可知存在唯一实数m ，使得λa ＋b ＝m (a ＋2b )，即(λ－m )a ＝(2m －1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－m ＝02m －1＝0，解得λ＝12.考点突破·互动探究考点一向量的基本概念——自主练透例1 (1)给出下列命题，正确的是( B ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线(2)若a 0为单位向量，a 为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] (1)A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故选B ．(2)①②③均为假命题．名师点拨(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a 与a |a|的关系是：a|a|是a 方向上的单位向量．考点二向量的线性运算——师生共研例2 (1)(2021·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( D )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →(2)(2018·全国Ⅰ理，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] (1)如图，在△OAC 中，M 为AC 中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，在△OBD 中，OB →＋OD →＝2OM →，故选D ．(2)如图，由E 为AD 的中点，得AE →＝12AD →，∴EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →.又∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12AB →＋12AC →.∴EB →＝AB →－14AB →－14AC →＝34AB →－14AC →.故选A ．名师点拨平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义．(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．〔变式训练1〕(1)已知三角形ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝( A ) A ．23AB →－23CD →B ．23AB →＋23CD →C ．23AB →－13CD →D ．13AB →＋23CD →(2)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( D )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b[解析] (1)由2CE →＋BE →＝0知CE →＝13CB →，BE →＝23BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BD →＋DC →)＝AB →＋23⎝⎛⎭⎫－12AB →－CD →＝23AB →－23CD →.(2)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB ，且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC→＋CD →＝b ＋12a .考点三共线向量定理及其应用——师生共研例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[分析] (1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1. [引申] 本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝__－1__；若k a ＋b 与a ＋k b 同向，则k ＝__1__.[解析] 由本例可知k a ＋b 与a ＋k b 反向时λ<0，从而k ＝－1；k a ＋b 与a ＋k b 同向时λ>0，从而k ＝1.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．〔变式训练2〕(1)(2021·济南模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( B )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12(2)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( D )A ．aB ．bC ．cD ．0[解析] (1)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B ．(2)∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .② 由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.故选D ．名师讲坛·素养提升易错警示——都是零向量“惹的祸”例4 下列命题正确的是( D )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线 [解析] 易知ABC 错误．对于D ．∵向量a 与b 不共线， ∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线．故D 正确．名师点拨在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．〔变式训练3〕下列叙述正确的是( D )A ．若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 其中之一的方向相同B ．|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 的方向相同C ．AB →＋BA →＝0D ．若λ≠0，λa ＝λb ，则a ＝b[解析] 对于A ，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同；对于B ，当a ，b 中有一个为零向量时结论不成立；对于C ，因为两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0；对于D ，λ(a －b )＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a ＝b .故选D ．。

人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第01讲平面向量的概念及其线性运算知识点必背》

第01讲平面向量的概念及其线性运算知识点必背1、向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法:向量AB 或a ;模||AB 或||a .(2)零向量:长度等于0的向量,方向是任意的,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量,常用e 表示.特别的:非零向量a 的单位向量是||a a . (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,a 与b 共线可记为λ=a b ; 特别的:0与任一向量平行或共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作=a b .(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量,记作=-a b .2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a ,我们规定00a a a +=+=.②向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连)已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB a =,BC b =,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b AB BC AC +=+=.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则(作平移,共起点,四边形,对角线)已知两个不共线向量a ,b ,作OA a =,OB b =,以OA ,OB 为邻边作OACB ,则以O 为起点的向量OC (OC 是OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义:向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即()a b a b -=+-. ②向量减法的三角形法则(共起点,连终点,指向被减向量)已知向量a ,b ,在平面内任取一点O ,作OA a =,OB b =,则向量a b BA -=.如图所示如果把两个向量a ,b 的起点放在一起,则a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a λ.它的长度与方向规定如下:①||||||a a λλ=②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=.3、共线向量定理①定义:向量b 与非零向量a 共线,则存在唯一一个实数λ,b a λ=.②向量共线定理的注意问题:定理的运用过程中要特别注意0a ≠;特别地,若0a b ==,实数λ仍存在,但不唯一.4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量a ,b ,则||||||||||||a b a b a b -≤+≤+(当a 与b 反向共线时左边等号成立;当a 与b 同向共线时右边等号成立);②已知非零向量a ,b ,则||||||||||||a b a b a b -≤-≤+(当a 与b 同向共线时左边等号成立;当a 与b 反向共线时右边等号成立);记忆方式:(“符异”反向共线等号成立;“符同”同向共线等号成立)如||||||||||||a b a b a b -≤+≤+中,||||||||a b a b -≤+中间连接号一负一正“符异”,故反向共线时等号成立;右如:||||||||||||a b a b a b -≤+≤+中|||||||a b a b +≤+中间链接号都是正号“符同”,故同向共线时等号成立;4.2中点公式的向量形式: 若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任意一点,则2OP OA OB =+.4.3三点共线等价形式:OA OB OB λμ=+(λ,μ为实数),若A ,B ,C 三点共线⇔1λμ+=。

新教材高考数学一轮复习课时规范练25平面向量基本定理及坐标表示含解析新人教A版

课时规范练25 平面向量基本定理及坐标表示基础巩固组1.向量a ，b 满足a+b=(-1，5)，a-b=(5，-3)，则b 为( )A.(-3，4) B .(3，4) C.(3，-4)D .(-3，-4)2.(2020山东济南长清高三段考模拟)已知{e 1，e 2}是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A.{e 1，e 1+e 2} B.{e 1-2e 2，e 2-2e 1} C.{e 1+e 2，e 1-e 2} D.{e 1-2e 2，4e 2-2e 1}3.已知向量a =(1，x )，b =(-2，4)，a ∥(a -b )，则x=( )A.1B.2C.-1D.-24.(多选)(2020江苏海头高级中学高一月考)在平面上的点A (2，1)，B (0，2)，C (-2，1)，O (0，0)，下面结论正确的是 ( )A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ 5.(2020湖北襄阳五中高三模拟)已知向量a =(-1，2)，b =(3，m )，m ∈R ，则“m=-6”是“a ∥(a+b )”的( ) A.充要条件 B .充分不必要条件 C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6.在△ABC 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为BD 上一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( ) A.34B .320C .316D .387.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AM 与BN 相交于点P ，记a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用a ，b 表示AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的结果是( ) A.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15a +25b B .AP⃗⃗⃗⃗⃗ =25a +45b C .AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +25bD .AP⃗⃗⃗⃗⃗ =45a +25b 8.在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ，若p =t (a |a |+b |b |)，t ∈R ，则点P 在( ) A.∠AOB 平分线所在直线上B.线段AB 中垂线上C.AB 边所在直线上D.AB 边的中线上9.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知向量a =(2，-1)，b =(-3，2)，c =(1，1)，则( ) A.a ∥bB .(a +b )⊥cC.a +b =c D .c =5a +3b10.(2020河北石家庄二中开学预考)已知非零不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( ) A.x+y-2=0 B .2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D .2x+y-2=011.(2020陕西汉中高三模拟)已知平面向量a =(1，m )，b =(2，5)，c =(m ，3)，且(a+c )∥(a-b )，则m= .12.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC ，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1= ，λ2= .综合提升组13.(2020安徽六安一中高三期中)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =(a+b ，b+c )，n =(c-b ，a )，若m ∥n ，则C=( ) A.5π6B .2π3C .π3D .π614.已知对任意平面向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，y )，把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x cos θ-y sin θ，x sin θ+y cos θ)，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A (1，-√3)，点B (3，√3)，把点B 绕点A 顺时针方向旋转5π3后得到点P ，则点P 的坐标为( )A.(-2，2√3) B .(-1，√3)C .(4，0)D .(5，-√3)15.(多选)(2020辽宁盘锦高三期末)在直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0，n>0)，则下列结论正确的是( ) A.1m+2n 为常数B.m+2n 的最小值为3C.m+n 的最小值为169D.m ，n 的值可以为m=12，n=2创新应用组16.(2020江苏，13)在△ABC 中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32-m)PC⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是 .参考答案课时规范练25 平面向量基本定理及坐标表示1.A 由a+b=(-1，5)，a-b=(5，-3)，得2b=(-1，5)-(5，-3)=(-6，8)，∴b=12(-6，8)=(-3，4).2.D 因为{e 1，e 2}是平面向量的一组基底，故e 1和e 2不共线，所以e 1和e 1+e 2不共线，e 1-2e 2和e 2-2e 1不共线，e 1+e 2和e 1-e 2不共线.因为4e 2-2e 1=-2(e 1-2e 2)，所以e 1-2e 2和4e 2-2e 1共线.故选D .3.D a -b =(3，x-4)，因为a ∥(a -b )，所以3x=x-4，所以x=-2，故选D .4.BC 点A (2，1)，B (0，2)，C (-2，1)，O (0，0)，选项A 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，1)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，-1)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误; 选项B 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，故B 正确; 选项C 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，故C 正确;选项D 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，1)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 错误.故选BC . 5.A 由题意得a+b =(2，2+m )，由a ∥(a+b )，得-1×(2+m )=2×2，所以m=-6，则“m=-6”是“a ∥(a+b )”的充要条件. 6.C 由题知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于B ，P ，D 三点共线，所以4λ+14=1，∴λ=316.故选C .7.D 过点N 作BC 的平行线分别交AB ，AM 于点E ，F ，则EF=12BM.因为EN ∥BC ，所以BM NF=BP NP=23，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25-12a +b =-15a +25b ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +-15a +25b =45a +25b ，故选D .8.A ∵a|a |和b|b |是△OAB 中边OA ，OB 上的单位向量，∴(a|a |+b|b |)在∠AOB 平分线所在直线上，∴t (a|a |+b |b |)在∠AOB 平分线所在直线上，∴点P 在∠AOB 平分线所在直线上，故选A .9.BD 由题意2×2-(-3)×(-1)≠0，故A 错误;a +b =(-1，1)，(a +b )·c =-1+1=0，故(a +b )⊥c ，故B 正确，C 错误;5a +3b =5(2，-1)+3(-3，2)=(1，1)=c ，故D 正确.故选BD . 10.A 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ .又2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x =2+2λ,y =-2λ,消去λ得x+y-2=0，故选A .11.3±√172∵a =(1，m )，b =(2，5)，c =(m ，3)，∴a+c =(m+1，m+3)，a-b =(-1，m-5).又(a+c )∥(a-b )，∴(m+1)(m-5)+m+3=0，即m 2-3m-2=0，解得m=3±√172. 12.-16 23 由题意，作图象如图所示，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ1=-16，λ2=23. 13.B ∵m =(a+b ，b+c )，n =(c-b ，a )，且m ∥n ，∴(a+b )×a-(c-b )×(b+c )=0，整理得c 2=a 2+b 2+ab.又c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∴cos C=-12.∵C ∈(0，π)，∴C=2π3.故选B .14.B 设点P (m ，n )，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1，n+√3)，根据题意，若将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点逆时针旋转5π3，即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1)cos 5π3-(n+√3)sin 5π3，(m-1)sin 5π3+(n+√3)cos 5π3，整理得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m -12+√3(n+√3)2，-√3(m -1)2+n+√32.由A ，B 两点坐标可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2√3)，故{m +√3n =2,-√3m +n =2√3,解得{m =-1,n =√3,则点P 的坐标为(-1，√3).故选B .15.ABD 如图所示，由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0，n>0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m+23n=1，∴1m+2n=3.当m=12时，n=2，故A ，D 正确; m+2n=(m+2n )13m+23n=2n3m+2m 3n+53≥2√2n 3m·2m 3n+53=3，当且仅当m=n=1时，等号成立，故B 正确;m+n=(m+n )13m+23n =n3m +2m3n+1≥2√n 3m ·2m3n +1=2√23+1，当且仅当n=√2m 时，等号成立，故C 错误.故选ABD .16.185或0 如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则B (4，0)，C (0，3).由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32-m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32-m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理得PA⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m-3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m (4，0)+(2m-3)(0，3)=(-8m ，6m-9).又因为AP=9，所以64m 2+(6m-9)2=81，解得m=2725或m=0. 当m=0时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-9)，此时，C ，D 重合，CD=0; 当m=2725时，直线PA 的方程为y=9-6m 8mx ，直线BC 的方程为x 4+y3=1，联立两直线方程可得x=83m ，y=3-2m.即D (7225,2125)，∴CD=√(7225)2+(2125-3)2=185.∴CD 的长度是185或0.。

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