22.3.3实际问题与一元二次方程(第3课时)

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22.3实际问题与一元二次方程(面积问题)沈贵芬

分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米， 32x 米2 则横向的路面面积为纵向的路面面积为所列的方程是不是 20x 米2 。
(2)
，
32 20 (32 x 20 x ) 540
？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是
b 2 4 ac ( 10 ) 2 4 1 30 20 0
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
小结
•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、找、列、解、检、答．
• 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
问题（1）本题中有哪些等量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
27
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
( 32 2 x )( 20 2 x ) 540 化简得，

人教版-数学-九年级上册 22.3 实际问题与一元二次方程课时3

《九年级上第二十二章第三节实际问题与一元二次方程》教案第3课时 22.3实际问题与一元二次方程(3)【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．【教学重点】：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．【教学难点】：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．【教学工具】：多媒体课件◆教学情景导入用大屏幕展示一幅铁路路基的截面图。

我们在日常生活中经常会见到给条幅、字画相边衬的问题，并计算与之相关的面积，边衬的宽度问题，这一节我们就来讲这些问题．◆教学过程设计一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某车站为停靠车辆要修一条长1000m的铁路，铁路的路基的黄断面是一个等腰梯形，已知梯形的面积为3.5m2，梯形的上底比高多1.5m，下底比上底多2 m．（1）铁路路基的上底和下底各是多少？（2）如果每天修50 m3，那么几天修完？分析：因为路基的高最小，为了便于计算，不妨设路基高为xm，则上底宽为x＋1.5，•下底宽为x＋3.5，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为(x＋1.5)m，上口宽为(x＋3.5)m依题意，得：12( x＋1.5＋x＋3.5)x=3.5整理，得：2x2＋5x－7=0解得：x1=－72=－3.5(不符合题意，舍去)x2=1∴上底宽为2.5m，下底为4.5m．（2）3.5100050⨯=70天答：路基的上底为m，下底为4.5m；需要70天才能修完．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9:7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以(27－18x) (21－14x)=34×27×21整理，得：16x2－48x＋9=0解方程，得：x=633±，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长7尺，宽4尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．我们知道在word中编辑图片时，把鼠标放在对角处拉时会按比例放大或缩小的，也就是说长和宽的始终保持不变，如图一副北京2008奥运会主场馆的夜景的图片，长32cm，宽24cm，把鼠标放在一个顶点处沿对角线以1cm/s的速度向内拉使图片缩小．（1）缩小的图片的长和宽各是多少时，它的面积为原来的面积的9 16？（2）把鼠标向内拉多少s后使它的面积为原来的面积的9 16？分析：（1）原来的图形的长与宽的比是32:24=4:3，根据题意知：缩小的图片的长与宽的比也是4:3，设缩小后的图片的长为4x cm，则宽为3x cm，根据面积就可以列方程．（2）由于是按比例缩小的，因此，对应点的连线应交于中心处，利用勾股定理可以求得鼠标拉的距离，从而求得时间．解：（1）缩小后的图片的长为4x cm，则宽为3x cm，依题意得：4x·3x=32×24×9 1612x 2=432x =±6所以x =6 或x =－6（不符合题，舍去）所以长为4x =24(cm ) 所以宽为3x =18(cm )（2）依题意画图得，由条件知AB=32 BD=24所以所以OD=12AD=20 由（1）得EN=24 MN=18所以=30 所以OM=12EM=15 所以MD=OD －OM=20－15=5(cm ) 鼠标拉动时间为：51=5（s ）答：缩小后图片的长为24cm ，宽为18cm ，鼠标拉动5s 后，面积缩小到原来的916．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． ◆课堂板书设计◆练习作业设计（课堂作业设计）一、选择题1．有两块木板，第一块长是宽的3倍，第二块的长比第一块的长少3m ，宽是第一块宽的4倍，已知第二块木板的面积比第一块大165m 2，这两块木板的长和宽分别是（）．A ．第一块木板长18m ，宽6m ，第二块木板长15m ，宽24m;B ．第一块木板长15m ，宽5m ，第二块木板长12m ，宽20m;C ．第一块木板长6m ，宽2m ，第二块木板长3m ，宽8m;D ．以上都不对2．从正方形铁片，截去3cm 宽的一条长方形，余下的面积是88cm 2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A ．81cmB ．100cmC ．9cm 2D ．121cm 2二、填空题3．长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．N E F M O DC B A三、解答题5．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多参考答案一、选择题：1．B 2．D二、填空题：3．32cm4．20m和7.5m或15m和10m三、解答题5．设宽为x，则12×8－8=2×8x＋2（12－2x）x整理，得：x2－10x＋22=0解得：x1=5（舍去），x2=5。

22.3实际问题与一元二次方程(3)

即:
2
x 6x 8 0 解得：x1 2, x2 4
∴ x1 2, x2 4 均符合题意答：2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2. ∵0 x 6
A P
Q
B
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿 AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2? A
解：设AP=xcm，则PR=xcm， PB=(8-x)cm，由已知得：
R P
x (8 x) 16
x 8x 16 0 解得： x1 x2 4
即:
2
C
Q
B
答：当AP=4cm时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2.
1、在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点 Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于450cm2? Ｃ
B Q C P A
Ａ
F角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于 BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
例3：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB于D,CD=2,P是 AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线l与 AB垂直. (1)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;
例题讲解
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以 1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s 的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 C 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？ D 解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2，则

22.3.3实际问题与二次函数③

x(元) 15 20 30 …
y(件)
25
20
10
…
观察表格，
（1）根据学过的函数有关知识求日销售量 y 与销售价 x 的函数关系式。（6分）（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（ 6分）
解:(1)根据表格可知，日销售量 y 与销售价 x 的一次函数，设这个一次函数解析式为 y kx 时每日获得最大销售利润为225元。 12分
3、有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）. ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
B
C
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). (1)求A、B两点的坐标； (2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒 (0<t<6)，试求S 与t的函数表达式； (3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
即：Q= -10x2+900x+30000
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x 即：W= -10(x-25)2+6250 ∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。
4.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB 应该是多长？ D A

21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时) 人教版数学九年级上册同步习题(含答案)

.
答：2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价元.
则依题意，得：（40- ）（20+2 ）=1200，
整理，得
，解得:
.
∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元．（2）设每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多为 y，
则 y=（40- ）（20+2 ）=
◆典例分析
一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度
∴ （20-4 ）=15,整理得：
,
解方程：得 =
,∴ ≈4.08（不合题意，舍去）， ≈0.9（s）.
∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s.
◆课下作业
●拓展提高
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的
人均约为
提高到
若每年的年增长率相同，则年增长率为（）
Q
AP
B
3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢
利
40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发
现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件．
（1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第3课时) 课件

① 能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法
课后作业
作业内容
22.3 实际问题与二次函数/
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面
的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式
为y
1 8
x2
1 2
x
32，那么铅球运动过程中y
最高点离地面的距离为 2 米.
O
x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成
的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢
的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护
栏需要不锈钢00m
C.160m
D.200m
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
能力提升题
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
81.5=a•4502+0.5.
y
解得
a
81 4502
1. 2500
故所求表达式为 y
1
x2 0.5(450 x 450).
2500
-450
O
450 x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y 1 3502 0.5 49.5(m).
2500
y
当x=450﹣50=400（m）时，得

22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册

距离x(米)的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米2.
y
O
x
课堂
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏
练的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长
习度至少为(
)C
轴为y轴，建立直角坐标系．
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
索
y
求
知由于顶点坐标是(0，0)，因此这
个二次函数的形式为y＝ax2.
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探问题3 如何确定a是多少？索解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
精状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
析
y(米)
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. O 解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
x(米)
变某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰式在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方训向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离练 OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的
y
-450
O
450 x
能力
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；

《实际问题与一元二次方程》教学设计(第3课时)

《实际问题与一元二次方程》教学设计（第3课时）一、内容和内容解析1.内容用一元二次方程解决“封面设计问题”.2.内容解析本节课是21.3 实际问题与一元二次方程的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处.在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型.探究3以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度.在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点.二、目标和目标解析1.教学目标(1)会用一元二次方程解决“封面设计问题”;(2)经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力.2.目标解析(1)能根据具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果;(2)完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”.三、教学问题诊断分析探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手.学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在.由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点.四、教学过程设计1.弄清题意问题1 怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句话?师生活动教师提问，学生思考、回答.根据学生的回答情况，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数?哪几个，为什么?”加以引导.一般情况下，学生都能根据“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数(上面的边衬宽度和左面的边衬宽度)”.【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系.问题2 题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系?师生活动学生读题，思考，可以适当讨论.根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导.如：如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话?“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么?学生经过思考、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7 ，长宽之积为.【设计意图】培养学生读题、审题能力.2.实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换问题3 如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言?师生活动学生思考并回答问题.这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系.设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm.把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：.教师追问：四个未知数、、、，它们之间还存在怎样的数量关系?这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么?把“图形语言”翻译成数学符号语言可得：.【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.3.解决问题问题4 怎么解决“封面设计问题”?师生活动教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论.前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：，.教师引导学生发现，这就是一个以、、、为未知数的四元方程组，找到这个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了.【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想.问题5 请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法.师生活动学生独立思考、解题，并与同学交流.教师请同学展示解法并进行点评.学生可能的解法：(1)，(2)，(3)，(4).方法一：由(1)、(2)求出x、y的值，分别代入(3)、(4)求出a、b的值.说明1：在由(1)、(2)求、的过程中，可以依据，设简化计算.说明2：实际解题时，可以简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度.方法二：由(3)、(4)变形得，把(5)、(6)分别代入(1)、(2)可得关于、的二元方程组，解这个方程组求出、的值.说明：把(5)、(6)代入(2)化简可得，可以依据，设，把代入(5)、(6)得到，再把(7)、(8)代入(1)求出值，进而求出、的值.【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式.问题6 你求出的、的值都是实际问题的解吗?师生活动教师提出问题，学生通过计算得出结论.【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解.4.回顾反思问题7 通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会?师生活动请学生回顾“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：(1)探究解题的过程大致包含哪几个步骤?(2)在“封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的?【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法.5.布置作业教科书习题21.3第5，8，9题.五、目标检测设计1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为( ).A.B.C.D.【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系.2.(2019年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.(1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能，请求出长方形花圃的长和宽;如果不能，请说明理由.【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题.。

九年级数学上册 22.3《实际问题与一元二次方程(第3课时)》教案新人教版

22.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）教学目标：1.通过学生自学探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2.在阅读的过程中，掌握实际问题的类型（经济利润问题）。

教学重点：一元二次方程解决经济利润问题.教学难点：如何将题目中“每…就…”的语句转化为方程中的数量关系.教学过程：一、出示学习目标：1.继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2.通过自学探究掌握经济利润问题。

二、自学指导：（阅读《感悟》 P32，思考下列问题）三、效果检测：1．例题点评：某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？设每千克应涨价x元,则：(=-6000x10+x))(20500由中下层学生口答书中填空，老师再给予补充。

2. P33课堂练习1、2，中下层学生在自学完之后先板演效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正注意点：单件商品利润=售价—进价总利润=每件商品的利润×销售数量（1）这类题目的规律是：①找出涨价（或降价）后每件的利润；②找出涨价（或降价）后的总件数；（2）涨价的结果是单件利润多了、件数少了；降价的结果是利单件润少了、件数多了。

四、当堂训练：1.某商场销售某种彩电，每台进价为2500元，市场调配表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，每台的售价应定为多少元？5000450290082500=⋅-+⋅-）（）（x x 2.某商场销售一批衬衫，当每件盈利40元时，平均每天可售出20件，为扩大盈利，商场决定采取降价促销，经调查发现，每降价1元，就能多卖出2件。

(1)若要每天盈利1200元，则应降价多少元？(2)降10元与降20元的盈利有差别吗？。

九年级数学上册 22.3《实际问题与一元二次方程(第3课时)》学案新人教版

《22.3 实际问题与一元二次方程》学习目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．一、自主学习列方程解应用题：有一张长方形的桌子，桌面长100cm，宽60cm，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?三、达标巩固1.如图所示，李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（）A．（90+x）（40+x）×54%=90×40B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40D．（90+2x）（40+x）×54%=90×402．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，•现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱？四、学后记五、课时训练基础过关1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（）A．8 B．4 C． D．2．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．3．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？4．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．5．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，•若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．6．如图，在Rt △ABC 中∠B=90°，AB=8m ，BC=6m ，点M 、点N 同时由A 、C•两点出发分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后，△MBN•的面积为Rt △ABC 的面积的13？聚焦中考7.如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB AD ，为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为268cm ，那么矩形ABCD 的面积是（） A ．221cm B ．216cmC ．224cmD ．29cm8.在长为a m ，宽为b m 的一块草坪上修了一条1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 2m ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 2m ．9.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m ？DC10.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．。

22.3 实际问题与一元二次方程(3)

22.3 实际问题与一元二次方程（3）：（1）数字问题：有关数字的应用题，大致可以分为三种：即一般数字关系，连续数和数字排列等问题。

涉及和，差，倍，分，奇数，偶数。

（2）几何图形问题：解决此类问题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找到已知量与未知量的内在联系，根据面积（体积）公式列出方程。

（3）平均增长（降低）率问题，解决此问题通常是利用公式建立方程。

a（1±x）2=b a（1±x）n=b（4）利润问题：解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出数字问题：例1.有一个两位数，个位数字和十位数字的和是14，交换数字的位置之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。

1.两个连续的偶说的积是288，则这两个偶数的和等于2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调之后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。

利润问题：例1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。

市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？1.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？2.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？工程问题：3.甲。

22.3.3实际问题与二次函数(3)(拱桥问题)

A
B
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥顶离
水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽度为多少？水面宽度增加多少 ?
zxxkw
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点
O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
，
得 y ax2 (a 0)
所以 2.4 a 0.82
因此，函a数 1系45 式是
y 15 x2 4
22.3.3 二次函数与抛物线形问题
---------------拱桥问题
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1、如图，拱桥是抛物线形,其函数解析式为 y - 1 x2 ，当水位线在AB位置时，水面的宽度为302米5 ，这时水面离拱桥的高度是多少？
y
9米
x
A
B
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 1 ． 6m ，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
水面宽 2 6 4.9m.
增加（2 6 4）米
y
y
0
X
(1)
y
0
X
0 y
x
(2)
0
X
(3)
(4)
5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2 ． 8m ，装货宽度为 2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

22.3 实际问题与二次函数(第3课时) 人教版数学九年级上册练习(含答案)

22.3实际问题与二次函数（第3课时）一、选择题（共4小题）1．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；③当x＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．A．1B．2C．3D．42．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度y（m）与旋转时x（s）之间的关系可以近似地用y＝﹣x2+bx+c来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时x（s）和离地面高度y（m）的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）A．172s B．175s C．180s D．186s3．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）A．B．8C．D．7.54．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；④当x＝1时，函数的最大值是4．A．4B．3C．2D．1二、填空题（共2小题）5．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A，M，C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为米．6．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为．三、解答题（共1小题）7．某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，图1是种植树木的利润y 与投资量x成正比例关系，图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1.l2，求利润y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉，其中投入x（x＞0）万元种植花卉，那么他至少获得多少利润？（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上，该园林专业户应怎样投资？参考答案一、选择题（共4小题）1．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确．故选：B．2．解：把（160，60），（190，67.5）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+9x﹣700，∴该铅球飞行到最高点时，需要的时间为﹣＝180（s），故选：C．3．解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0），把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+，则C（0，）．∴这个门洞内部顶端离地面的距离为m，故选：A．4．解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故①正确；令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x＝1，∴当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故③正确；由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故④错误．综上，只有④错误．故选：B．二、填空题（共2小题）5．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2＝1.4，解得：a＝﹣0.05，则抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣6）2+3.2；当y＝0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝14，所以足球第一次落地点C距守门员14米．故答案为：14．6．解：∵水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．∴B（6，6），A（12，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，∴y＝a（12﹣6）2+6，∴0＝a•62+6，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6；故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+6．三、解答题（共1小题）7．解：（1）设l1：y＝kx，∵函数y＝kx的图象过（1，2），∴2＝k⋅1，k＝2，故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0），∵该抛物线的顶点是原点，∴设l2：y＝ax2，由图2，函数y＝ax2的图象过（2，2），∴2＝a⋅22，解得：a＝，故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉，则投入（10﹣x）万元种植树木，，∵a＝＞0，0＜x≤10，∴当x＝2时，w的最小值是18，他至少获得18万元的利润．（3）根据题意，当w＝20时，，解得：x＝0（不合题意舍），x＝4，∴至少获得20万元利润，则x＝4，∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大，∴w＞20，只需要x＞4，所以保证获利在20万元以上，该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．。