浙江省临海市新概念教育咨询有限公司八年级数学竞赛讲座第三十三讲代数式的化简与求值

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第3讲代数式与整式的化简

一.知识要点
3.同类项及其化简： ①同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.几个常数项也是同类项. ②合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 ③合并同类项的法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. A.若同类项合并后系数和为0，则结果为0；合并后系数为1或–1，则要将1省略不写. B.合并同类项实质上是逆用分配率. C.合并同类项的步骤：第一步，找出同类项；第二步，合并同类项；第三部，写出合并后的结果.
4 4
4
A. 5 b a 元 B. 5 b a 元 C. 3 b a 元
D.
4 b a元 3
则a-b的值为（） A.2 B.0 C. –2 D.1 3.（2004· 山西）如图3，为做一个试管架，在acm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm，则x等于（） A. a 8 cm B. a 16
售价 - 进价，所以进价
，售价进价进价利润率
二.典型例题例2 （2005· 广东茂名）用同样大小的两种颜色的棋子
摆设如图1所示的正方形图案，则第n个图案需用白色棋子_________枚（用含n的代数式表示） . 思路分析：由已知的前3个图案可知：分别有白色棋子枚数为8、12、16. 其中 8 4 1 1， 4 1 2， 4 1 3 ， 12 16 则第n个图案需白色棋子 4n 4 枚. 知识考查：列代数式与探索数学规律，明确处理数学问题的思想方法. 解：4n 4 .
三.能力训练
（三）解答题 8.先化简，再求值：
1 3a ab 7 5ab 4a 7 其中 a 2，b . 3

初二数学教案代数式的化简与计算

初二数学教案代数式的化简与计算初二数学教案代数式的化简与计算一、引言代数是数学中的一个重要分支，它研究数与运算法则之间的关系。

代数式是代数运算的基本表达形式，对于初中学生来说，掌握代数式的化简与计算是非常重要的基础知识。

本教案将重点介绍代数式的化简与计算方法，帮助学生提高代数运算能力。

二、知识讲解1. 代数式的化简代数式的化简指通过运用代数运算性质，将一个复杂的代数式变为简洁明了的形式。

常见的代数式化简方法有合并同类项、因式分解和配方法等。

2. 合并同类项合并同类项是将具有相同字母和相同指数的代数项进行合并，合并过程中要保持字母和指数不变。

例如：化简代数式3x + 2y - 5x + 4y，首先将含有x的项3x和-5x合并得到-2x，再将含有y的项2y和4y合并得到6y，因此化简后的代数式为-2x + 6y。

3. 因式分解因式分解是将代数式中的公因式提取出来，写成因式的乘积形式。

通过因式分解，可以简化复杂的代数式计算，方便后续的运算。

例如：因式分解代数式x^2 + 3x，首先找出公因式x，然后将代数式进行拆分，得到x(x + 3)，这就是代数式的因式分解形式。

4. 配方法配方法适用于二次三项式的因式分解，通过将二次三项式进行适当的配方操作，将其转化为因式的乘积形式。

例如：对于二次三项式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行因式分解。

首先计算出该二次三项式的平方项x^2的平方根为x，然后将中间项5x拆分为2x + 3x，将原二次三项式变形为(x + 2)(x + 3)。

三、教学活动1. 案例演示在开始本节课的数学教学活动前，老师可以先给学生演示一个代数式的化简与计算的案例，通过实际例子引起学生的兴趣。

例如：演示案例为化简代数式(2x^2 + 3x - 6) + (x^2 - 4x + 8)，先合并同类项，得到3x^2 - x + 2。

然后对于化简后的代数式，可以进行进一步的计算，例如代入具体数值计算等。

初中数学教案：代数式的化简与计算

初中数学教案：代数式的化简与计算代数式的化简与计算一、引言数学作为一门理论和应用广泛的学科，对于学生的思维发展和逻辑推理能力有着重要的影响。

而其中一个重要的概念便是代数式。

在初中数学教学中，代数式的化简与计算是一个基础性且关键的内容。

本篇教案将围绕着如何正确地进行代数式的化简与计算展开讨论。

二、代数式及其运算规则1. 代数式定义代数式是由数字、字母和运算符号组成，并遵循一定运算规则的表达式。

常见的代数式包括多项式、分式等。

2. 运算符号和运算法则(1) 加法和减法：按照数字相加减法规则进行操作即可。

(2) 乘法：将各项内相同指数幂次字母相乘，并遵循字母幂次相加规则。

(3) 除法：将被除项与除项都按照乘法公式表示后进行化简。

(4) 括号：使用括号可以改变计算优先级或者表示某些特殊情况下运算顺序。

三、化简与计算步骤1. 化简步骤(1) 同类项合并：将包含相同字母的代数式进行合并，系数相加。

(2) 括号展开：根据运算法则将括号内的代数式进行展开。

(3) 提取公因式：将各项公共的因式提取出来。

(4) 分离分式：将一个复杂的代数式化成两个或多个较简单的分数形式。

2. 计算步骤(1) 计算正负号：注意符号规则，对于每一项都要进行正负号计算。

(2) 计算乘法和除法：按照乘法和除法规则进行计算。

(3) 计算加法和减法：按照加法和减法规则进行计算。

四、示例教学案例为了更好地理解代数式的化简与计算，我们选取一个具体例子进行详细讲解。

例题1: 化简代数式 (a + b)^2 - (a - b)^2解析：首先使用拓展公式展开：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2然后，将第一个表达式减去第二个表达式得到：(a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^b - a^2 + 2ab - b^2合并同类项可以得到最简形式：4ab因此，化简后的代数式为 4ab。

初二下册数学第四课优质课代数式的化简

初二下册数学第四课优质课代数式的化简代数式的化简是数学中非常重要和基础的一部分。

在数学的学习中，我们经常会遇到各种复杂的代数式，而化简代数式可以帮助我们更好地理解代数式的性质和规律。

本文将从几个方面探讨代数式的化简，并通过具体的例子来说明。

一、代数式的基本性质在进行代数式化简之前，我们需要掌握一些代数式的基本性质。

首先，加法和乘法的结合律和交换律对代数式的化简非常重要。

根据这些性质，我们可以灵活地调整代数式的顺序，进而使其更加简洁。

此外，我们还需要掌握一些特殊符号的含义，如指数和系数等。

二、化简代数式的方法化简代数式的方法有很多，我们可以根据具体的情况选择合适的方法。

在这里，我将为大家介绍几种常见且实用的方法。

1. 合并同类项合并同类项是化简代数式的常用方法，它可以将具有相同变量部分的项合并为一个项。

例如，考虑以下代数式：3x + 2x + 5y + 4x + 7y我们可以将其中的同类项合并，得到：(3 + 2 + 4)x + (5 + 7)y进一步计算得到：9x + 12y通过合并同类项，我们使代数式更加简洁，便于计算和分析。

2. 提取公因式提取公因式是化简代数式的另一种重要方法。

通过提取公因式，我们可以将代数式中的公共部分提取出来，使其更易于计算。

例如，考虑以下代数式：6x^2 + 9xy我们可以将其中的公因式3x提取出来，得到：3x(2x + 3y)通过提取公因式，我们再次使代数式更加简洁，并且可以更好地理解代数式的结构。

3. 分配律的运用分配律是化简代数式时常用到的方法。

分配律是指乘法对于加法的分配规则。

例如，考虑以下代数式：2(x + 3)我们可以使用分配律，将2分别乘以(x)和(3)，得到：2x + 6通过运用分配律，我们将代数式进行了化简，使其更加直观和易于计算。

三、实例分析下面，我们通过具体的例子来进一步说明代数式的化简。

例1：对于代数式2x + 3(x + 1)进行化简。

解析：根据分配律，我们可以将代数式展开，得到：2x + 3x + 3然后，我们将同类项合并，得到：5x + 3通过化简，我们得到了原代数式的简洁形式。

教学备课如何教学初中数学的代数式化简

教学备课如何教学初中数学的代数式化简在初中数学教学中，代数式化简是一个基础而重要的知识点。

学生掌握了代数式化简的方法和技巧，可以帮助他们更好地理解数学概念，提高解题能力。

本文将介绍教学备课时如何有效地教授初中数学的代数式化简。

一、课前准备在备课过程中，教师首先需要明确教学目标。

针对代数式化简这一知识点，教师可以设定以下目标：学生能够掌握基本的代数式化简方法、运用这些方法简化代数式，并能够应用代数式化简解决实际问题。

同时，教师还需充分了解学生的先前知识水平和掌握情况，以便有针对性地设计教学内容和教学方法。

二、教学内容的组织1. 引入在引入部分，教师可以通过提问或给学生展示一些代数式的例子，激发学生的兴趣，并引导学生思考和发现其中的规律。

例如，给学生展示一个代数式，如：3x + 2x + 5x + 4，教师可以问学生如何将这个代数式进行简化。

2. 基本方法的讲解接下来，教师可以系统地讲解代数式化简的基本方法。

教师可以辅以示意图或实例，通过具体案例的解析，帮助学生理解代数式化简的过程和规则。

例如，教师可以介绍合并同类项的概念和方法，以及如何根据运算顺序进行合理的计算。

3. 实践演练为了巩固学生对代数式化简方法的理解和运用能力，教师可以设计一些实践演练的活动。

这些活动可以包括个人练习、小组合作、课堂竞赛等形式，让学生积极参与其中，尝试运用掌握的知识和技巧进行代数式化简。

在这个阶段，教师可以进行适时的点拨和引导，帮助学生纠正错误，提高解题能力。

4. 实际应用代数式化简是数学知识在实际问题中的应用之一。

为了使学生能够将所学知识应用到实际情境中，教师可以设计一些相关的实际问题，引导学生将其转化为代数式，并运用代数式化简的方法解决问题。

例如，教师可以给学生提供一个与代数式化简相关的生活场景，让学生思考如何运用所学的方法简化代数式，进而解决问题。

三、教学方法和策略1. 案例分析法教师可以通过分析具体的代数式例子，引导学生理解代数式化简的方法和过程。

-初中数学竞赛专题培训(4)：代数式的化简与求值

初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w，则分式变为u 2+v 2+w 2+2(uv+vw+wu)=0．由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2+v 2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。

数学代数式化简技巧

数学代数式化简技巧一、课程目标知识目标：1. 学生能理解代数式化简的基本原则和方法。

2. 学生掌握运用分配律、结合律、交换律等基本律进行代数式的化简。

3. 学生能够识别并运用不同的化简技巧，如因式分解、提取公因数等，解决实际问题。

技能目标：1. 学生能够独立完成代数式的化简，提高解题效率。

2. 学生通过练习，培养观察、分析、解决问题的逻辑思维能力。

3. 学生学会运用化简技巧解决数学问题，提升数学应用能力。

情感态度价值观目标：1. 学生在代数式化简过程中，培养细心、耐心和专注的学习态度。

2. 学生通过小组讨论、合作解决问题，增强团队协作能力，树立合作共赢的观念。

3. 学生在探索化简技巧的过程中，体验数学学习的乐趣，提高对数学学科的兴趣。

本课程针对初中年级学生的特点，结合数学学科性质，注重培养学生的逻辑思维能力和实际应用能力。

课程目标具体、可衡量，旨在帮助学生掌握代数式化简技巧，为后续学习打下坚实基础。

在教学过程中，教师需关注学生的学习进度，适时调整教学策略，确保学生达到预期学习成果。

二、教学内容本课程以人教版初中数学教材为依据，教学内容主要包括以下方面：1. 代数式化简的基本原则和方法：- 分配律、结合律、交换律等基本律的应用。

- 代数式的展开与合并。

2. 常见化简技巧：- 因式分解。

- 提取公因数。

- 运用公式进行化简。

3. 实际问题中的应用：- 利用化简技巧解决几何问题。

- 利用化简技巧解决实际生活问题。

教学大纲安排如下：第一课时：代数式化简的基本原则和方法。

- 引导学生回顾分配律、结合律、交换律等基本律。

- 通过实例，讲解代数式的展开与合并。

第二课时：因式分解和提取公因数。

- 介绍因式分解和提取公因数的方法。

- 练习相关题目，巩固所学技巧。

第三课时：运用公式进行化简。

- 引导学生掌握常见公式的运用。

- 通过实际例题，展示如何运用公式进行化简。

第四课时：实际问题中的应用。

- 结合几何问题，让学生学会运用化简技巧。

(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题

代数式的化简求值问题初中数学中，全面实现了用字母代数。

这实现了学生对数认识的又一次飞跃。

这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。

体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 【答案】-4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

【答案】-202008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 【解析】分析：因为8635=-++cx bx ax当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.【答案】4【解析】分析：观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

初中数学教案代数式的化简

初中数学教案代数式的化简初中数学教案代数式的化简一、引言代数式作为数学中的重要内容，既是理论学科的基础，也是应用学科的基础。

在初中数学中，化简代数式是一个重要的数学技能，它能够帮助学生简化繁琐的式子，更好地理解代数运算的规律与性质。

本教案将围绕代数式的化简展开教学。

二、教学目标1. 理解代数式的概念与运算规则；2. 学会应用基本的化简法则简化代数式；3. 能够运用化简技巧解决实际问题。

三、教学过程1. 知识讲解代数式是由字母和数字通过运算符号相连接的一串符号，我们可以进行代数运算来化简代数式。

化简代数式的目的是使其更简洁、易读，同时保持等价关系。

2. 化简法则化简代数式的基本法则有以下几个方面：（1）合并同类项。

合并同类项是指将具有相同字母指数的项合并为一个项。

例如，3x + 2x可以合并为5x，2y^2 + y^2可以合并为3y^2。

（2）分配率法则。

分配率法则是指将一个括号内的项与括号外的项依次相乘，然后将结果相加（或相减）。

例如，3(x + 2)可以展开为3x + 6。

（3）因式分解法则。

因式分解法则是指将代数式中的公因式提取出来，同时将代数式分解为多个较简单的乘法关系。

例如，4x + 2y可以因式分解为2(2x + y)。

（4）指数法则。

指数法则是指根据指数的性质简化代数式。

例如，x^2 * x^3可以化简为x^(2+3)=x^5。

（5）其他技巧。

此外，根据具体的问题，还可以灵活运用其他技巧来化简代数式，如提取公因式、合并分数等。

3. 案例演示通过一些具体的案例演示，让学生更好地理解和掌握化简代数式的过程。

例如：案例一：化简代数式 2x^2 + 3x^2 + 5x^2。

解：根据合并同类项的法则，相同指数的项可以合并为一个项，因此 2x^2 + 3x^2 + 5x^2 = 10x^2。

案例二：化简代数式 (x + 5) + (2x - 3)。

解：根据分配率法则，将括号内的项与括号外的项依次相乘，再将结果相加（或相减）。

七年级上册数学教案：代数式的化简与因式分解

数学是一门既古老又现代的学科，无论你走到哪里，都会发现数学的影子，这门学科的思维方式深入人心。

在数学的领域里，代数式的化简和因式分解是数学的基础，也是数学学习的重点之一。

在七年级上册的教学中，代数式的化简与因式分解是重要的考核内容，需要我们认真地学习和掌握。

一、代数式的化简在数学学科中，代数式与代数式的运算是学习数学知识的基础。

代数式可以表达出数学中的规律、关系、模型等内容，同时代数式的化简也是十分重要的。

化简代数式可以让式子更加简单，更加容易从中发现规律和结论。

让我们一起了解一下化简代数式的基本方法。

1、将同类项合并将同类项合并是我们化简代数式的第一步。

同类项，就是具有相同的代数符号和幂次的项。

在合并同类项的过程中，我们只需要将它们的系数相加即可。

例如：化简3x + 5x - 2x，我们可以将同类项3x，5x，2x合并，得到6x - 2x = 4x。

2、去括号代数式中经常出现的括号，通常是小括号，中括号或大括号。

在化简代数式的过程中，去括号是很关键的一步。

我们可以运用分配律或者因式分解来去括号。

例如：化简x(2y + 3)，我们可以使用分配律，将x分别与括号中的2y和3相乘，得到2xy + 3x。

或者还可以将代数式中的括号因式分解，再将同类项合并进行化简。

例如：化简3x(2x + 4y) - 5y(2x + 4y)，我们可以先将括号中的2x和4y提出来，得到3x(2x + 4y) - 5y(2x + 4y) = (6x + 12xy) - (10xy + 20y^2)，将同类项合并，得到-4xy + 6x - 20y^2。

3、利用公式在化简代数式的过程中，还可以利用一些代数式的公式。

例如：平方差公式将一个二次式分解为两个一次式的积、完全平方公式将一个一次式的平方分解为二次式与某个常数的和、差化积公式将两个式子之差表示为两个式子之积等等。

这些公式可以在代数式的化简过程中起到很好的帮助作用。

代数式的化简涉及很多方法和技巧，需要我们灵活运用。

人教版数学八年级培优竞赛分式化简与求值专题课件

b
c
a
（1）因 a a1= 3 ，所以
a a1
2
9,
a2 1 7 ，再次两边平方得 a4 1 47 ；
a2
a4
（2）
a4
a2 a2
1
a2
1
1
1 a2
1.
8
12．已知下面一列等式：1× 1 ＝1－ 1 ；1 × 1 ＝ 1 － 1 ；1 × 1 ＝ 1 － 1 ；1 × 1 ＝
ab3
ba
A． 1
3
B．－ 1
3
C．3 D．－3
2．已知： 1 － 1 ＝3，则 2x 3xy 2y 的值是( D )
xy
x xy y
A．－ 7
2
B．－ 11
2
C． 9
2
D． 3
4
3．当 x 分别取－2018、－2017、－2016、……、－2、－1、0、1、1 、1 、……、
23
1 、 1 、 1 时，计算分式 x2 1 的值，再将所得结果相加，其和等于( C )
14．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是 1 ；第二个数是 1 ；第三个数是 1 ；…对任何正整数 n，第(n
1 2
23
3 4
＋1)个数
的和等于 2 ． nn 2
(1)经过探究，我们发现： 1 ＝1－ 1 ； 1 ＝ 1 － 1 ； 1 ＝ 1 － 1 ；请直接写出
1 2
2 23 2 3 34 3 4
2
22 3 2 33 4 3 44 5
1 － 1 ；……
45
(1)请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立； (3)利用等式计算: 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 的值．

代数式化简求值教学设计精品

代数式 3a2 2a =________
题组二
1、已知 a b 0 ，求代数 23
式 5a 2b a2 4b2
(a 2b) 的值
2、当 y x 1时，求代数式
x2 1 y2 x y 2xy 的
对于题组二的处理方式采用同桌先交流在讲解的方式，给学生们充分思考的空间，然后利用实物投影展示解题过程，学生讲解的方式。对于不同的解法的展示学生会体会到对代数式先化简是十分必要的，更便于已知条件的利用。
教学过程设计
师生行为
教师利用操作课件，学生提供数据，帮助学生分析自己的健康指数。
身高体重指数的计算方式为 w h2
设计意图
激发学生的学习兴趣，理解代数式求值的意义，引出本节课的课题
w代表体重（kg）
h代表身高(m)
[活动二]
题组一
1、当 x 2 时，求代数式
由学生陈述解题思路和运算结果
说明： 1、整体代入不一定能实现消元得到唯一值，只有
当代数式与已知等式存在某种关系时，代入的值才唯一； 2、对于已知条件的利用要充分，对于高次代数式实现消元要重复代入。 3、将字母的值代入代数式中是解决代数式求值问题的通法。
学生对求代数式的值方法的深化
[活动五]
能力提升
1、已知 x1 、 x2 是一元二次方
y x 1 y x 1 x y 1
x2 2xy y2 x y 1 (x y)2 (x y) 1
代数式构建已知的结构
让学生观察题组二的特点，思考解题过程，发现已知中的变量无法求出值，思考解题的方法是代入字母之间的关系。
值。 [活动三]
反思： 1、再观察题组一和题组二，

给学生提供一些实际问题让他们进行代数式的化简

给学生提供一些实际问题让他们进行代数式的化简化简代数式是数学学习中的重要部分，它不仅能够帮助学生更好地理解代数运算规律，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

然而，有些学生在遇到复杂的代数式时往往感到困惑，不知道如何下手进行化简。

为了帮助学生更好地掌握代数式的化简方法，我将提供一些实际问题，供学生进行代数式的化简练习。

第一组问题：速度与时间1. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶了4小时，求行驶的距离。

2. 一辆火车以每小时80公里的速度行驶了3小时，求行驶的距离。

3. 一辆自行车以每小时15公里的速度行驶了6小时，求行驶的距离。

解答：1. 行驶的距离 = 速度 ×时间 = 60 × 4 = 240（公里）2. 行驶的距离 = 80 × 3 = 240（公里）3. 行驶的距离 = 15 × 6 = 90（公里）第二组问题：购物打折1. 商品原价为500元，现在打7折，求打折后的价格。

2. 商品原价为800元，现在打9折，求打折后的价格。

3. 商品原价为1200元，现在打6折，求打折后的价格。

解答：1. 打折后的价格 = 原价 ×折扣 = 500 × 0.7 = 350（元）2. 打折后的价格 = 800 × 0.9 = 720（元）3. 打折后的价格 = 1200 × 0.6 = 720（元）第三组问题：面积计算1. 一个边长为5米的正方形的面积是多少？2. 一个半径为3米的圆的面积是多少？3. 一个长为8米、宽为6米的矩形的面积是多少？解答：1. 正方形的面积 = 边长 ×边长 = 5 × 5 = 25（平方米）2. 圆的面积= π × 半径的平方 =3.14 × 3 × 3 = 28.26（平方米）3. 矩形的面积 = 长 ×宽 = 8 × 6 = 48（平方米）通过以上实际问题的练习，学生可以将实际问题转化为代数式，然后根据代数式进行化简。

八年级数学二次根式的化简与计算浙江版知识精讲

初二数学二次根式的化简与计算某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次根式的化简与计算二. 重点、难点：1. 二次根式的两个重要性质是： ①a )a (2=（0a ≥）②⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a |a |a 2 2. 二次根式的运算与化简中，要注意乘法公式的运用，分母（子）有理化以及换元这些方法。

3. 在有条件限制下的根式化简，求值，一般应将已知条件化简或将所求的式子变形化简，再整体代入。

其中，分母（子）有理化，因式分解，换元法等方法的运用都是变形、化简的基础。

【典型例题】例1. 把式子xy 222y2x --中，根号外的因式移入根号内。

解：由二次根式的性质和运算法则可知：0a ≥时，x a x a 2=若a<0时，则x a x )a (x a 2-=--= 因此，求解本例先要讨论因式2y 2x -的符号即从0xy 22>-中找到y 2x -的符号 ∵0x y 20xy 22>-∴>- ∴x<2y ∴02y 2x <- 但02y 2x >-- ∴原式2x y 2]2)y 2x ([x y 22x y 22)2y 2x (2--=--⋅--=----= ∴原式化简，得x 2y 421--例2. 已知x,y 为实数，且1x 31x x 1y 22++---=，求x+y 的值。

解：由二次根式的定义，知0x 12≥-且01x 2≥-∴11x 0x 12或-=∴=- 但1x 1x =∴+为分母∴当x=1时，23y =∴25231y x =+=+ 例3. 已知321a +=，求a a 1a 2a 1a a a 21222-+---+-的值。

解：将321a +=直接代入所求的代数式计算是不现实的。

故只有将条件和所求的式子化简后再计算。

∵32)32)(32(32321a -=-+-=+= ∴)1a (a |1a |1a )1a (a )1a (1a )1a (22----=-----=原式注意到132a <-=，∴01a <-，a 1|1a |-=- ∴原式3132321)a 1a (a 11a =-++-=-+=+-=例4. 已知a>1，b>0，且22a1a b b =+，求b b a 1a -的值。

新课标八年级数学竞赛讲座：第三十三讲代数式的化简与求值

第三十三讲代数式的化简与求值1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．例题求解【例1】已知34-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值．思路点拨由已知得(x －4)2=3，即x 2－8x+13=0．所以原式=5．注本题使用了整体代换的作法．【例2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求：222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值．思路点拨由a z y x 3=++得：0)()()(=-+-+-a z a y a x 解设m a x =-，n a y =-，p a z =-，∴)(n m p +-= ∴原式=21（可将0=++p n m 两边平方的得到）【例3】已知a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abc a c c b b a ))()((+++的值．思路点拨设k acb a bc b a c c b a =++-=+-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=-+ak c b a bk c b a ckc b a ，然后对0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况进行讨论，原式=和1-．【例4】已知1=++c b a ，2222=++c b a ，3333=++c b a ，求（1）abc 的值：（2）444c b a ++的值．思路点拨先由条件求出21-=++ac bc ab ，可得61=abc ，625444=++c b a ．注这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ；乙商场：两次提价的百分率都是2ba +（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则提价最多的商场是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定思路点拨乙商场两次提价后，价格最高．选B【例6】已知非零实数 a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，求c b a ++的值．思路点拨原条件变形为：0))((=++++ac bc ab c b a∴ c b a ++为±1或0．【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式d n n na S ⨯-+=2)1(计算它们的和．(公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值．)那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=12022)110(10310=⨯-+⨯．用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200， 1997年减少了24000－22400=1600， …m 年减少了1200+400×(m —1996)．1200+1600+…+1200+400(m —1996)=25200．令n=m —1995，得 252004002)1(1200=⨯-+⨯n n n ，9=n 或14-=n （舍去） ∴ m =1995+n =2004．∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A ．1种B ． 2种C ．4种D ．0种思路点拨设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k+1，k+2，…，k+(n —1)，由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即n[2k+(n －1)]=200．因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n<2k+(n —1)，且n 与2k+(n —1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式：好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是．思路点拨从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为 2×11×(真×10+1)=2002+题×110，即真×10+1=91+题×5．上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91．由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002． (2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为 8×44×(真×10十4)=8008+题×110．即704+1760×真=4004十题×55．在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符．故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．【例9】设333199719961995z y x ==，，且3333199719961995219972199621995++=++z y x ．求zy x 111++的值．思路点拨设k z y x ===333199719961995，显然0≠k ，于是31995xk =，31996yk =，31997z k =，代入已知得3333333zky k x k z k y k x k ++=++，即)111(111333z y x k z y x k ++=++⋅，由0≠k ，0>xyz ，可知0>x ，0>y ，0>z ，∴ zy x z y x 1111113++=++，原式=1．学力训练 (A 级))1．当m 在可取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是( ) A ．0 B ．5 C ．33 D ．9 2．已知：a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab 的值为( ) A ．251+ B ．251- C ．251+- D ．251--3．如a 、b 、c 是三个任意整数，那么2b a +、2c b +、2ac + ( ) A ．都不是整数 B ．至少有两个整数 C ．至少有一个整数 D ．都是整数 4．如果4321-=x ，那么x x xx 2211-+-的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知：z y x a +=，x z y b +=，y x z c +=，且0≠++z y x ，试求111+++++c cb b a a 的值． 6．已知521332412---=----+c c b a b a ，那么c b a ++的值是多少？（B 级）1．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是( )A ．3B ．31C ．2D ．352．已知m>0， n>0，且)5(3)(n m n n m m +⋅=+⋅，求nmn m n mn m +++-3238的值．3．已知322-=x 2，试求x x xxS 2211-+-=的值． 4．已知322=+y x ，322=+x y 且x ≠y ，求yxx y +的值． 5．设a 、b 、c 均不为0，且1998=++c b a ，19981111=++c b a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1998．6．已知a 、b 、c 为整数，且满足c b ab c b a 233222++<+++，求abc cba)111(++的值．A 级1．B 2．C 3．C 4．D 5．1 6．20B 级 1．B ．2．3 3．4 4．322+ 5．提示：abcacbc ab c b a ++=++1，分解得0))()((=+++a c c b b a ，于是b a +，c b +，a c +中必有一个为0．6．425代数式的化简与求值。

数学人教版八年级上册代数式的化简与求值

代数式的化简与求值（教案）八年级林松教学内容代数式的化简与求值教学目标1、帮助学生系统的整理代数式的化简与求值的主要知识点以及一些常见方法2、进一步强化学生的代数变形能力；培养观察，类比的习惯与意识.教学过程一、知识要点1、整式变形的几个常用公式1）)b a )(b a (b a 22-+=-平方公式差：；2）222)b a (b b a 2a ±=+±完全平方公式：；2、分式相关知识1）通分约分，注意有时需要分布通分，2）拆分，3、根式相关知识利用配方法，公式法、换元法等处理；教学内容：同学们，今天我们复习的主题是有关代数式的化简与求值问题，下面我们以游戏的形式去探索如何进行求值，本次闯关共有5个关口，看看我们能不能闯到最后，那么我们进入第一关。

大家拿出闯关工具：笔、草稿纸、最重要的是脑袋。

二、例题讲解要求：学生个别回答，分析，总结达到数学思想及注意要数。

注意乘法分配律、符号变换、公式的应用。

好的，我们已经顺利闯关，让我们加点难度，进入第二关。

先观察、再思考，再运用解题。

3、4题由学生上台解题。

教师指出解题中的问题及不同解法的提示，解答。

本冲关中方法的不唯一性，在代数式中变形有不同的思考与方向，首先要细心观察特点，能化解的先化解，注重公式应用及符号变换，选取适合的方法进行化解。

并且要联想以前学过的知识及做过得题型相关结合思考。

获得解题的突破。

冲了第二关，我们也得到了一些新的思路与注意。

下面我们冲第三关，看看我们把X、Y赋予确定的数字，那么结果又会怎样呢？是直接代入还是先化解再求值？分析：x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．点评：在求代数式的值时，注意观察式子特点，将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．本题的变形方法不唯一，在代数变形之前，不能盲目，首先要细心观察，式子的特点，认真推敲题目的巧点，然后再联想所学知识或者做过的题目，进而获得解题突破。