第一章 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与 、 存在量词
第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 (1)短语“ 所有的 ”、“ 任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称 量词，并用符号“ ∀ ”表示. (2)含有 全称量词 的命题，叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记
为： ∀x∈M，p(x) ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
(3)∀θ ∈R，函数y＝sin(2x＋θ )都不是偶函数.
(4)∂x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题这一部分 内容往往能够和其他的知识联系起来，通过这两类量词的理 解与运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容是高考命
题的热点内容.2009年宁夏、海南卷就考查了这一内容.
2.判断下列命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)存在x∈R，x3≤0；
解：(1)指数函数的形式为y＝ax(其中a＞0且a≠1)，定义
域{x|x∈R}，对每一个符合题意的a，函数y＝ax都是单调
的，当a＞1时，函数y＝ax在R上为增函数.当0＜a＜1时， 函数y＝ax在R上为减函数，所以，全称命题“每个指数函 数都是单调函数”是真命题. (2)－1是实数，但x2＝－1无解，也就是 无意义，
一、简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题p和命题q，记作 p∧q，
读作“ p且q”. 2.用联结词“或”联结命题p和命题q，记作 p∨q，
读作“ p或q ”.
3.对一个命题p全盘否定记作 “p的否定”. ，读作“非p”或
4.命题p∧q，p∨q， p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词
第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。
2021年高考数学大一轮复习 第一章 第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词自主学习
2021年高考数学大一轮复习第一章第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词自主学习1. 全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫作全称命题.“对任意实数x∈M,都有p(x)成立”简记成“x∈M,p(x)”.2. 存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫作存在性命题.“存在实数x0∈M,使p(x)成立”简记成“x0∈M,p(x)”.3. 简单逻辑联结词有或(符号为∨),且(符号为∧),非(符号为¬).4. 命题的否定:“x∈M,p(x)”与“x0∈M,¬p(x)”互为否定.5. 复合命题的真假:对p且q而言,当p,q均为真时,其为真;当p,q中至少有一个为假时,其为假.对p或q而言,当p,q均为假时,其为假;当p,q中有一个为真时,其为真;当p为真时,¬p为假;当p为假时, ¬p为真.6. 常见词语的否定如下表所示:词语是一定是都是大于小于词语的否定不是不一定是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立1. (选修1-1P15例1(4)改编)若命题p:x∈R,x2+x+1=0,则¬p 为.[答案]x∈R,x2+x+1≠02. (选修1-1P17习题2(1)改编)“x∈R,2x2-3x+4>0”的否定为.[答案]x∈R,2x2-3x+4≤03. (选修1-1P17习题2(4)改编)命题“对于函数f(x)=x2+(a∈R),对任意的a∈R,使得f(x)是偶函数”是命题.(填“真”或“假”)[答案]假4. (选修1-1P17习题2(4)改编)命题“对于函数f(x)=x2+(a∈R),存在a∈R,使得f(x)是偶函数”是命题.(填“真”或“假”)[答案]真[解析]当a=0时,函数f(x)是偶函数.5. (选修1-1P20习题3改编)已知命题p“x∈R,sinx+cosx>m”是真命题,那么实数m的取值范围是.[答案](-∞,-)[解析]x∈R,sinx+cosx=sin∈[-,],所以m<-.35302 89E6 触137981 945D 鑝35025 88D1 裑26372 6704 朄29497 7339 猹36726 8F76 轶=/21630 547E 呾35471 8A8F 誏-23862 5D36 崶L。
第一章 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单命题和逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题． 命题；由_________________________
2．命题 p∧q，p∨q 真假的判断
p
真
真 假 假
q
真
假 真 假
p∧q 真
假 假 假
p∨q 真
真 真 假
3.命题 p 真假的判断
p
真 假
p
假 真
4.全称量词与存在量词 (1) 常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一 切”“每一个”“任给”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有 些”“有一个”“对某个”“有的”等．
D．以上全不对
5．命题“存在 x0∈R，使 2 x0 ≤0”的否定是( D A．不存在 x0∈R, 2 x0 >0 )
B．存在 x0∈R, 2 x0 ≥0
C．对任意的 x∈R,2x≤0
D．对任意的 x∈R,2x>0
易错、易混、易漏 3．求参数取值范围时，区间端点值的取舍错误 例题：已知 P ：关于 x 的不等式 ax>1(a>0 ，a≠1) 的解集为 {x|x<0}，Q：函数 f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为 R.如果 P 和 Q 有
A．②③
C．①③④
B．①②④ D．①②③④
4．设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a
＋c＝b＋d”，则它的逆否命题是Ｂ ( )
A．已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d B．已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d C．若a＋c≠b＋d，则a，b，c，d不是实数，且a≠b，c≠d
C． p：存在 x0∈R，使 cosx0>1
03简易逻辑--简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
x 特称命题“存在M中的一个 特称命题“存在M中的一个 0 , 使p
∃ 可用符号确记为： 可用符号确记为：x0 ∈ M , p( x0 )
(x0 )成立”。 成立”
读作： 成立” 读作：“存在x 0 ∈ M , 使p ( x 0 ) 成立”
5.含有一个量词的否定 含有一个量词的否定 命题 命题的否定
一、逻辑联结词： 逻辑联结词：
1. “或”、“且”、“非”这些词叫做基本逻辑联 或 结词 ”与集合运算中的“并”相当，表示两个简单 “或 与集合运算中的“ 相当， 或 命题至少有一个成立。 命题至少有一个成立。 “且”与集合运算中的“交”相当，表示两个简单 相当， 且 与集合运算中的“ 命题同时成立。 命题同时成立。 “非”可联想集合中的“补集”，表示对一个命题 非 可联想集合中的“补集” 的否定。 的否定。 2.简单命题、复合命题 简单命题、 简单命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 由简单命题和逻辑联结词“ 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非 构成的命题是复合命题。 构成的命题是复合命题。 复合命题有三种形式： 或 记作 记作“ ∨ 复合命题有三种形式：p或q(记作“p∨q” )； ； p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑p” ) 。 记作“ ∧ 记作“ 且 记作 ； 记作
“∀”
可用符号确记为： 可用符号确记为： x ∈ M , ∀
全称命题“对M中任意一个 , 有p x 全称命题“ 中任意一个
p( x ) x 读作： 成立” 读作：“对任意 ∈ M , 有p( x ) 成立”。
(x )
成立”， 成立”
3.存在量词： 存在量词： 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个” ”“至少有一个 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词， 叫做存在量词，并用符号 ”表示 “∃ 4.特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题：含有存在量词的命题， 特称命题
3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ，p (x )典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．Øp ：任意x ∈A,2x ∉B B ．Øp ：任意x ∉A,2x ∉BC ．Øp ：存在x ∉A,2x ∈BD ．Øp ：存在x ∈A,2x ∉B题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，sin x ＝52B ．存在x ∈R ，log 2x ＝1C ．任意x ∈R ，(12)x >0 D ．任意x ∈R ，x 2≥0 变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．Øp ∧ØqC ．Øp ∧qD ．p ∧Øq题型三 由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 变式训练 已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ,使得20x <B ．不存在x ∈R ,使得20x <C ．存在0x ∈R ,都有200x ≥D ．存在0x ∈R ,都有200x <2．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有()A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．￢p或q B．p且q C．￢p且￢q D．￢p或￢q4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“￢q”为假B．“p或q”为真，“￢q”为假C．“p且q”为假，“￢p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>05．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2 7．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)8．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是()A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“∃x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是_____________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．。
第一章第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)1．若p∧q为真，则p，q同为真；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假；若p∨q为假，则p，q同为假；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真．2．“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”；“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”．1．(选修2－1 P22例1改编)下列命题是真命题的是()A．所有素数都是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥0C．对于每一个无理数x，x2是有理数D．∀x∈Z，1x∉Z解析：选B.对于A,2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D,1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.2．(选修2－1 P16例3(1)改编)有下列两命题：①2≥2；②2≥1，则下列正确的为()A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假解析：选A.∵命题“2≥2”由命题p：2＝2，q：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p真q假，∴p∨q为真，即①真，同理②也真，故选A.3．(选修2－1 P27 A组T3(3)改编)命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是()A．∃x0∈R，x20－x0＋1＞0B．∀x∈R，x2－x＋1＞0C．∃x0∈R，x20－x0＋1≥0D．∀x∈R，x2－x＋1≤0解析：选B.∵命题∃x0∈M，p(x0)的否定是∀x∈M，﹁p(x)，故选B.4．(选修2－1 P27 A组T3(1)改编)命题p：∀x∈N，x2＞x3的否定是()A．∃x0∈N，x20＞x30B．∀x∈N，x2≤x3C．∃x0∈N，x20≤x30D．∀x∈N，x2＜x3解析：选C.∵命题∀x∈M，p(x)的否定是∃x0∈M，﹁p(x0)，故选C.5．(选修2－1 P18 B组T(3)(4)改编)命题p：2＞3，q：8＋7≠15，则“p∧q”的否定是() A．2≤3且8＋7＝15 B．2≤3或8＋7＝15C．2＞3或8＋7≠15 D．2≤3且8＋7≠15解析：选B.因为“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”，故选B.含有一个逻辑联结词的命题的真假性已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)[解析]当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，∴p：∀x∈R,2x<3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：∃x0∈R，x30＝1－x20是真命题．∴p∧q为假命题，排除A.∵﹁p为真命题，∴(﹁p)∧q为真命题，故选B.[答案] B判断复合命题的真假性，先判断p，q与﹁p，﹁q的真假性．1．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(﹁p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵﹁p ：∃x ∈R,2x ≥3x ，要使(﹁p )∧q 为真，∴﹁p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0， ∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0， ∴x ＝－2. 2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(﹁p )∧(﹁q )C ．(﹁p )∧qD ．p ∧(﹁q ) 解析：选D.因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、﹁p 为假命题，﹁q 为真命题，(﹁p )∧(﹁q )、(﹁p )∧q 为假命题，p ∧(﹁q )为真命题，故选D.3．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选C.由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题，故选C.含有一个量词的命题的否定与真假性判断(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则p 为( ) A.∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C.∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n[解析] 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.[答案] C(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．1．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>a ，若﹁p 是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．a <1 B ．a ≤1C ．a ＞1D ．a ≥1解析：选D.依题意得，∀x ∈R ，sin x ≤a 恒成立，于是有a ≥1，故选D.2．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．﹁p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．﹁p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．﹁p ：∃x 0∉A,2x 0∈BD ．﹁p ：∃x 0∈A,2x 0∉B解析：选D.命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定﹁p 应为∃x 0∈A,2x 0∉B ，故选D.全称命题与特称命题真假性的应用已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] [解析] 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”的真假性得出命题p ，q 的真假性．列出相关式子．1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．(－2,2)D ．[2，＋∞)解析：选 B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2,2]．2．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值范围为________．解析：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0＜c ＜1.即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴﹁p ：c ＞1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12，∵c ＞0且c ≠1，∴﹁q ：c ＞12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真． ①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫cc ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 12＜c ＜1.②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 0＜c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 12＜c ＜1.答案：12＜c ＜1一、选择题1．(选修2－1 P 17例4改编)设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∨qD ．p ∧(﹁q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题， ∴(﹁p )∨q 为假命题，故选C.2．(选修2－1 P 25例4(1)改编)命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( ) A ．﹁p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0 B ．﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 C ．﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 D ．﹁p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.3．(选修2－1 P 27A 组T 3(3)改编)已知∀x ∈R ，不等式ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．(0,4]D ．(－4,0)解析：选A.因为不等式ax 2＋ax ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立，当a ＝0时，不等式1＞0，显然满足对一切x ∈R 恒成立；当a ＞0时，应有Δ＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.综上，0≤a ＜4.即实数a 的取值范围是[0,4)．二、填空题4．(选修2－1 P 23练习T 2(1)改编)命题∀x ∈R ，|x |<0的否定是________． 解析：命题∀x ∈R ，|x |<0的否定为∃x 0∈R ，|x 0|≥0. 答案：∃x 0∈R ，|x 0|≥05．(选修2－1 P 23练习T 2改编)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(﹁q )”是假命题；③命题“(﹁p )∨q ”是真命题；④命题“(﹁p )∨(﹁q )”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x 0＝52＞1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＜0， 所以q 为真．因而②③正确． 答案：②③ 三、解答题6．(选修2－1 P 27 B 组T (2)改编)已知：a ＞0且a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．解：p 真⇔0＜a ＜1，p 假⇔a ＞1；q 真⇔a ＞52或0＜a ＜12，q 假⇔12≤a ＜1或1＜a ≤52；∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 中一个真一个假，即p ，q 有且仅有一个是真的．若p 真q 假，则12≤a ＜1，若p 假q 真，则a ＞52，综上，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 12≤a ＜1或a ＞52.一、选择题1．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0＞0 B ．存在x 0∈R,2x 0＞0 C ．对任意x ∈R,2x ≤0 D ．对任意x ∈R,2x ＞0[导学号03350033] 解析：选D.由题意知，原命题的否定为“对任意x ∈R,2x ＞0”，故选D.2．已知命题p ：∀x ＞0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x ∈(0，＋∞)，2x ＝12.则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(﹁q )是真命题D ．(﹁p )∧q 是真命题[导学号03350034] 解析：选C.因为当x ＞0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，所以p 是真命题，当x ＞0时，2x ＞1， 所以q 是假命题，所以p ∧(﹁q )是真命题，(﹁p )∧q 是假命题．3．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0[导学号03350035] 解析：选D.全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0”，故选D.4．已知命题p ：“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0≠12，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧(﹁q ) B ．(﹁p )∧q C ．(﹁p )∨(﹁q )D ．p ∧q[导学号03350036] 解析：选D.若y ＝sin(x ＋φ)为偶函数，则有φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以“φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，所以命题p 为真命题；根据全称命题的否定的概念，可知﹁q 为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0≠12， 所以命题q 为真命题，故选D.5．已知命题p ：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在R 上是增函数，命题q ：log a 2＋log 2a ≥2(a ＞0且a ≠1)，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(﹁p )∧qD ．p ∨(﹁q )[导学号03350037] 解析：选D.因为当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上是减函数， 所以命题p ：“函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在R 上是增函数”是假命题，所以﹁p 是真命题．因为当a ＝12时，log a 2＋log 2a ＜2，所以命题q ：“log a 2＋log 2a ≥2(a ＞0且a ≠1)”是假命题， 所以﹁q 是真命题，所以p ∨q 是假命题；p ∧q 是假命题；(﹁p )∧q 是假命题；p ∨(﹁q )是真命题，故选D. 6．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“∃x 0∈R ，f (x 0)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [导学号03350038] 解析：选A.若c ＜0，则Δ＝b 2－4c ＞0，所以“∃x 0∈R ，f (x 0)＜0”成立．若∃x 0∈R ，f (x 0)＜0，则有Δ＝b 2－4c ＞0，当c ＝1，b ＝3时，满足Δ＝b 2－4c ＞0，所以“c ＜0”是“∃x 0∈R ，f (x 0)＜0”的充分不必要条件，故选A.7．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝43；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋3x ＋4＞0，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(﹁q )”是假命题；③命题“(﹁p )∨q ”是真命题；④命题“(﹁p )∨(﹁q )”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③④[导学号03350039] 解析：选D.因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以sin x ＋cos x 的最大值是2，最小值是－2，又因为0＜43＜2，所以命题p 是真命题；又因为x 2＋3x ＋4＝(x ＋32)2＋74＞0恒成立，所以命题q 是真命题．综上所述，命题p 、q 都是真命题，则﹁p 和﹁q 都是假命题，结合含有逻辑联结词“或”“且”的命题真假判断法则，可得①②③④都正确．8．下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞log 12x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜log 13x . 其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 4 D ．p 2，p 3[导学号03350040] 解析：选C.当x ＞0时，2－x 3－x ＝⎝⎛⎭⎫32x ＞1，即有2－x ＞3－x ，因此命题p 1是假命题；当x ＝12∈(0,1)时，log 1212＝1＞log 1312＝log 32，因此命题p 2是真命题；当x ＝12时，⎝⎛⎭⎫12x ＝22＜log 1212＝1，因此命题p 3是假命题；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫120＝1＝log 1313＜log 13x ，即⎝⎛⎭⎫12x ＜log 13x ，因此p 4是真命题，故选C.9．若命题“p 且q ”是假命题，“﹁p ”也是假命题，则( ) A ．命题“﹁p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“﹁p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且﹁q ”是假命题[导学号03350041] 解析：选A.由“﹁p ”是假命题，可得p 为真命题．因为“p 且q ”是假命题，所以q 为假命题，所以命题“﹁p 或q ”是假命题，即选项A 正确；“p 或q ”是真命题，即选项B 错误；“﹁p 且q ”是假命题，即选项C 错误；“p 且﹁q ”是真命题，即选项D 错误，故选A. 10．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x 1＋x是奇函数，则下列命题为假命题的是( )A ．p 1∧p 2B ．p 1∨(﹁p 2)C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(﹁p 2)[导学号03350042] 解析：选D.函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]的定义域是(－1，1)且是偶函数，命题p 1为真命题；函数y ＝ln 1－x1＋x的定义域是(－1，1)且是奇函数，命题p 2是真命题．故命题p 1∧p 2、p 1∨(﹁p 2)、p 1∨p 2均为真命题，只有命题p 1∧(﹁p 2)为假命题．11．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实数根．命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．当a ∈[0,3]时，则( )A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真[导学号03350043] 解析：选D.若命题p 为真，则有Δ＝a 2－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4，故命题p 为真时，a 的取值集合为P ＝{a |a ≤－4或a ≥4}；若命题q 为真，则二次函数图象的对称轴在区间[3，＋∞)的左侧，即－a4≤3，解得a ≥－12，所以命题q 为真时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥－12}，显然[0,3]P ，且[0,3] Q ， 所以命题p 为假，命题q 为真，故选D.12．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3[导学号03350044] 解析：选C.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的可行域D ，如图阴影部分，两直线交点A (2，－1)，设直线l 0的方程为x ＋2y ＝0.由图象可知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0.故p 1为真命题，p 2为真命题，p 3，p 4为假命题．二、填空题13．命题“∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0－2≤0”的否定是__________________________． [导学号03350045] 解析：“存在”的否定是“任意”，特指的数“x 0”对应改为“x ”，“≤”的否定是“＞”．答案：∀x ∈R ，sin x ＋cos x －2＞014．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．[导学号03350046] 解析：∵p ∨q 为假，∴p ，q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题，得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0， ∴m ≥0.由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0.∴Δ＝(－2m )2－4≥0，得m 2≥1， ∴m ≤－1或m ≥1， ∴m ≥1. 答案：m ≥115．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．[导学号03350047] 解析：由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫56，＋∞ 16．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) [导学号03350048] 解析：①因为f (x )∈A ， 所以函数f (x )的值域是R ，所以满足∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，同时若∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，则说明函数f (x )的值域是R ，则f (x )∈A ，所以正确；②因为令f (x )＝1x，x ∈(1,2]，取M ＝1，则f (x )⊆[－1，1]，但是f (x )没有最大值，所以错误；③因为f (x )∈A ，g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ，n ])，所以存在区间[a ，b ]⊆[m ，n ]，使得f (x )在区间[a ，b ]上的值域与g (x )的值域相同，所以存在x ∉[a ，b ]，使得f (x )的值接近无穷， 所以f (x )＋g (x )∉B ， 所以正确． 答案：①③。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 理
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词错误!知识梳理一、简单的逻辑联结词常用的逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”． 二、含有逻辑联结词的命题1．“且”命题：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，构成一个新命题，记作p ∧q ，可理解为命题p 和命题q 同时满足．当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题．记忆口诀为“一假必假”．2．“或”命题：用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，构成一个新命题，记作p ∨q ，可理解为命题p 和命题q 至少满足其中一个．当p ，q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；当p ，q 都是假命题时，p ∨q 是假命题．记忆口诀为“一真必真”．3．“非”命题：对一个命题p 全盘否定，构成一个新命题，记作，可理解为不满足命题p .若p 是真命题，则必是假命题；若p 是假命题，则必是真命题．记忆口诀为“真假相对”．命题及其否定形式见下表：命题p ，q ，p ∧q ，q ∨q ，的真假关系：4.“补”．5．命题与电路的关系：命题p ∧q 对应着“串联”电路，命题p ∨q 对应着“并联”电1. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 理解全称量词与存在量词的意义.3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定路，命题对应着线路的“断开与闭合”．三、常见词语的否定四、全称命题与全称量词、特称命题与存在量词1．全称量词：短语“________”、“________”、“_____”、“任何”、“任意”、“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式为“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记为“∀x∈M，p(x)”．2．存在量词：短语“________”、“_______”、“______”、“某个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“________”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式为“存在一个x∈M，有p(x)成立”，记为“∃x∈M，p(x)”．3．含有一个量词的命题的否定．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：______________________________________________________；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定：______________________________________________________.全称命题的否定是_______命题，特称命题的否定是______命题．基础自测1．(2013·东莞二模)命题“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是( )A．∀x∈R，x2＋1＜1B．∃x∈R，x2＋1≤1C．∃x∈R，x2＋1＜1D．∃x∈R，x2＋1≥1解析：∵原命题“∀x∈R，有x2＋1≥1”，∴命题“∀x∈R，有x2＋1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2＋1＜1.答案：C2．(2013·大同模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：注意当b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．故选D. 答案：D3．(2013·江南十校联考)命题p ：若a ·b > 0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A ．“p ∨q ”是真命题 B ．“p ∨q ”是假命题 C. 为假命题 D. 为假命题解析：当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，所以“p ∨q ”是假命题，故选B.答案：B4. (2012·北京海淀区模拟)已知命题，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．答案：(0,1)1．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．()∨()B ．p ∨()C ．()∧() D ．p ∨q解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．故选A.答案：A2.(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则 ( )A ．：∃x ∈A,2x ∉BB ．：∀x ∉A, 2x ∉B C.：∃x ∉A,2x ∈BD ．：∃x ∈A,2x ∈B解析：命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定￢P 应为∃x ∈A ,2x ∉B ，故选A.答案：A1．(2013·江门调研)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝2x＋12x 是偶函数．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．为真C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为真解析：命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．故选D. 答案：D2．(2013·江西省九校第二次联考)命题p ：∀x ∈[0，＋∞) (log 32)x≤1，则( ) A ．p 是假命题，：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0＞1 B ．p 是假命题，： ∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x≥1 C ．p 是真命题，：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0＞1 D ．p 是真命题，：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1解析：因为x ≥0时，(log 32)x ≤1 ，所以命题p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0＞1.故选C.答案：C。
第1章 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析
条件探究 将本例中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数 m 的 取值范围是___12_，__＋__∞__ ． 解析 当 x2∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m， 由 f(x)min≥g(x)max，得 0≥12－m，∴m≥12.
2.对全(特)称命题进行否定的方法 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词 的完整形式，再写出命题的否定．如举例说明 2(2)．
1．设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则綈 p 为( )
表示符号 01 ∀__ 02 _∃_
3．全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
形式
结构
对 M 中的任意一个 x，有 p(x) 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成
成立
立
简记 01 ∀__x_∈__M_，__p_(_x_)___________ 02 ∃__x_0_∈__M_，__p_(_x_0)__________
＞0)的圆心坐标为(1,0)，所以直线 l 恒过圆心，所以∀k∈R，l 与 C 相交，
∀r∈R，l 与 C 相交，所以 p1，p3 是真命题，p2，p4 是假命题．
解析 答案
题型 三 根据命题的真假求参数的取值范围
1．(2019·黄冈模拟)已知 a∈R，命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：
第一章 集合与常用逻辑用语
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q)B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q)B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q)D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，<0，2<m<2，可得－2<m<0.所以m的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q<0，≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q≥0，2<m<2，所以0≤m<2.所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.≥0，2≤m≤2，得0≤m≤2，所以m的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0≥0，x0x0－1≤0B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0,0≤x≤1解析：选B∵xx－1>0，∴x<0或x>1，∴xx－1>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．2．下列命题中，假命题的是()A．∀x∈R,21－x>0B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称C．函数y＝x a的图象经过第四象限D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切解析：选C对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧(非q)C．(非p)∧q D．p∧(非q)解析：选D由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R,2x>0，则非p：∃x0∈R,2x0<0C．命题“若a>b>0，则1a <1b”的逆命题是真命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析：选A对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是非p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若1a<1b，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(非p)∨q为真命题B．p∧(非q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题解析：选D由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p∨q为真命题．6．下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．若命题p：存在x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：选D由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(0,4]C．(－∞，4]D．[0,4)解析：选C当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.8．下列命题为假命题的是()A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0B．“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β解析：选C对于A选项，令x＝1，y＝1e，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n ⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.答案：－211．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p为真命题，非p为假命题．∵f(x)＝x2－x－1 4，∴函数f(x)在区间1 2，＋∴命题q为假命题，非q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题，(非p)∨q为假命题．答案：②③④13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，1x －x≤4t2－1.(1)当t＝1时，判断命题q的真假；(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．解：(1)当t＝1＝0，1x－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1<t<1；当q≤4t2－1，即4t2－1≥0，解得t≤－12或t≥12，∴当q为假命题时，－12<t<12，∴t －1 2，。
第1章 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词
第一章 集合与常用逻辑用语
对于含有逻辑联结词的命题真假的判定，应先判定p，q的真假，再利用下表加 以判定：
p
q
p∨q
p∧q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
从表中可以看出，对于命题p∨q，只有p，q都为假时，才会为假；对于命题p ∧q，只有p，q都为真时，才会为真；对于命题﹁p，真假性与p相反．
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第一章 集合与常用逻辑用语
3.(选修1－1P18习题1.3A组1改编)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正 数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( D )
A．(綈p)∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q)
D．(綈p)∨(綈q)
【解析】 命题p为真，命题q为假，从而綈p为假，綈q为真．因此(綈p)∨q为 假，p∧q为假，(綈p)∧(綈q)为假. (綈p)∨(綈q)为真．故选D.
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第一章 集合与常用逻辑用语
(1)设命题p：∀n∈N，n2>2n，则綈p为( B )
A. ∀n∈N，n2>2n B. ∃n∈N，n2≤2n C. ∀n∈N，n2≤2n D. ∃n∈N，n2＝2n
【解析】 特称命题的否定是全称命题，故选B.
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∈Z，命题q是假命题．则所给的四个复合命题中，只有(綈p)∧(綈q)是真命题．故选
D.
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1-3简单逻辑连接词、全称量词和存在量词
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点三 含有量词的命题的真假判断 【例3】 下列四个命题
1 1 x p1：∃x∈(0，＋∞)，2 ＜3x；
p2：∃x∈(0,1)，log x＞log x；
1 p3：∀x∈(0，＋∞)，2x＞log 1 1x p4：∀x∈0，3，2 ＜log
诊断基础知识
突破高频考点
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解析
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围 ”包含以
下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围 ”“甲降落在
指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，
甲没有降落在指定范围 ”．或者，命题“至少有一位学员没 有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围” 的否命题，即“p∧q”的否定． 答案 ①
定是“所有的偶数都不能被3整除”．
p：∃n∈ N,2n≤1 000.
(√)
(4)(2013·东北联考改编)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则綈 (×) (5)(2013·四川卷改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是 偶数集，若命题 p ： ∀ x∈A,2x∈B ，则綈 p ： ∃ x∉A,2x∉B.
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考点二
含有一个量词的命题否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假： 1 (1)p：∀x∈R，x －x＋4≥0；
2
(2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x使x3＋1＝0.
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只有一个为真 ．
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第1章 第3讲简单的逻辑联结词、
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题．
(2) 全 ( 特) 称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区 别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存
在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即
可．
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1．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则¬p为( B )
∵“p且q”为真命题，
∴p、q均为真命题， ∴a≤－2或a＝1.
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2．命题“∃x0∈R,2x2 0－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为
－2 2≤a≤2 2 _______________________.
解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命 题，也就是常见的 “ 恒成立 ” 问题，因此只需 Δ ＝ 9a2 － 4×2×9≤0 ，即－ 2 2 ≤a≤2 2.
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考向一
全称命题、特称命题的真假判断
[例1] (2016·梅州模拟)下列命题中的假命题是( B ) A．∀x∈R,2x－1＞0 C．∃x0∈R，lg x0＜1 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 D．∃x0∈R，tan x0＝2
(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
第一章第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与、存在量词
碁tt 诊斷I巒I«堂总ftI存在量词放新考纲1•了解逻辑联结词“或” 含义；2•理解全称量词与存在量词的意义；3•能正确地 对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理 1 •简单的逻辑联结词(1) 命题中的」L 、兰_、非叫做逻辑联结词. (2) 命题P 且£/、P 或q 、非P 的真假判断第3讲 简单的逻辑联结词、 全称量词与“且” “非”的基础诊断檢理自测忆■斷I 专jg夹tt I 课堂总I2 •全称量词与存在量词(I) 全称量词：短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用"V ”表示；含冇全称量词的命题叫做全称命题.(2) 存在呈词；短•语“存在一个” “至少有一个”在逻辑屮通常叫做存在量词，用“3”表示；含有存在屋词的命题叫做特称命题.3•含有一个量词的命题的否定■斷I 专jg夹tt I 课堂总I»础诊斷I 考jg夹g I 豪畫总皓］诊断自测1. 判断正误(在插号内打“ 或“X”)⑴命题“5>6或5>2”是真命题(J )(2) 命题pAq为假命题，则命题P，4都是假命题•( X )(3) 若命题“，彳至少有一个是真命题，贝iJpV彳是真命题)(4) i2知命题小2«0> 1 OOG,则r P： 3必WN, 2”oW I 000. ( X )(5) 命题“bxeR,尤2豪0” 的否定是“yxeR, FVO” . ( X )»础诊斷I 考jg夹g I 豪畫总皓］2. （2015-湖北卷）命题7・切丘（（），+oo）, |nxo=xo-l"的否定是（A ）A-V X^CO T + 8), In xHx— IB"M((), +8), |nx=x-lC.3A;()^(0» +g). In S Q^X Q— IDmvoG(0, + 8), lnxo=Xo— I诊斷I 专戍夹g I *3t总I3. （2015'石家庄模拟）命题刀若sin x>sin y» !/!iJx>y：命题x-+y-^2xy.下列命题为假命题的是（B ）A・“V纟B・p/\q诊斷I 专戍夹g I *3t总I4. 若命题"VxeR.做2_处_2^0”是真命题，则实数。
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3.含有一个量词的命题的否定 命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 命题的否定
∃x0∈M，綈 p(x0)
∀x∈M，綈 p(x)
基础诊断
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课堂总结
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)命题“5＞6或5＞2”是真命题( √ ) (2)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题.( × )
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.(√ ) (4) 已知命题 p ： ∃n0 ∈ N ， 2n0 ＞ 1 000 ，则 綈 p ： ∃n0 ∈ N ，
2n0≤1 000. ( × ) (5)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”.( × )
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基础诊断 考点突破 课堂总结
)
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考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断 【例1】
(2)(2016· 济南模拟)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：
若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；
④(綈p)∨q中，真命题是( C ) A.①③ B.①④ C.②③
D.②④
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(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真真 假
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非p 假 假 真 真
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2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词，用“ ∀ ”表示；含有全称量词的命 题叫做全称命题. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻 辑中通常叫做存在量词，用“ ∃ ”表示；含有存在量词 的命题叫做特称命题.
2.(2015· 湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否 定是( A ) A.∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B.∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1 C.∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D.∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
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考点二
全(特)称命题的否定及其真假判定
【例 2】 (1)(2015· 浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且 f(n)≤n” 的否定形式是( D ) A.∀n∈N*，f(n)∉N*且 f(n)＞n B.∀n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)＞n C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且 f(n0)＞n0 D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或 f(n0)＞n0 (2)(2015· 太原二模)下列命题中的假命题是( A.∃x0∈R，lg x0＝1 C.∀x∈R，x3＞0 B.∃x0∈R，sin x0＝0 D.∀x∈R，2x＞0
课堂总结
【训练 1】 (1)若命题 p：函数 y＝x2－2x 的单调递增区间 1 是[1，＋∞)，命题 q：函数 y＝x－x 的单调递增区间 是[1，＋∞)，则( A.p∧q 是真命题 C. 非 p 是真命题 ) B.p∨q 是假命题 D.非 q 是真命题
(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的___ _____ 条件.
第3讲
简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词
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最新考纲
1. 了解逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的
含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地
对含有一个量词的命题进行否定.
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知识梳理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词.
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5.(人教 A 选修 1－1P26A3 改编)给出下列命题： ①∀x∈N，x3＞x2； ②所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0； ③∃x0∈R，x2 0－x0＋1≤0； ④存在一个四边形，它的对角线互相垂直. 则上述命题的否定中，真命题的序号为________.
答案 ①②③
3.(2015· 石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q： x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( B A.p∨q B.p∧q C.q ) D.綈p
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4.若命题“∀x ∈ R，ax2 － ax －2≤0”是真命题，则实数 a的 取值范围是____[－8，0]____.