中考名家讲座(第11讲中考数学热点备考策略1)

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线段最值问题总结

数学历史名题与中考数学命题（一）——线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。

但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。

在此特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。

我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。

数学文化现在越来越受到大家的重视，2017年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。

本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。

中考数学总复习第1编知识梳理篇第3章函数及其图象第11讲二次函数及其应用(精练)试题(new)

第十一讲二次函数及其应用第1课时二次函数1．(2017随州中考）对于二次函数y＝x2－2mx－3,下列结论错误的是( C)A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是( A）A．y＝(x＋2)2B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图,点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( A）A．ac＋1＝b B．ab＋1＝cC．bc＋1＝a D．以上都不是,（第3题图））,（第4题图)）4．（2017齐齐哈尔中考)如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0）和(－4，0)之间，其部分图象如图所示,则下列结论：①4a－b＝0;②c＜0；③－3a＋c＞0;④4a－2b＞at2＋bt(t为实数);⑤点错误!，错误!，错误!是该抛物线上的点,则y1＜y2＜y3,正确的个数有( B）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2017安顺中考）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m（am＋b）＋b＜a（m≠1)，其中结论正确的个数是（C）A．1 B．2 C．3 D．4，(第5题图)）,(第6题图)) 6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，则下列说法:①a＞0;②2a＋b＝0;③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( C）A．1 B．2 C．3 D．47．若抛物线y＝（x－m）2＋（m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为（B) A．m＞1 B．m＞0C．m＞－1 D．－1＜m＜08．（2017扬州中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0)，C(2,1),若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分（含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（C)A．b≤－2 B．b＜－2C．b≥－2 D．b＞－29．(2017枣庄中考）已知函数y＝ax2－2ax－1（a是常数，a≠0)，下列结论正确的是（D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大10．(2017鄂州中考)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A（－2,0)和点B,交y 轴负半轴于点C,且OB ＝OC. 下列结论:①2b－c＝2；②a＝错误!;③ac＝b－1；④错误!＞0.其中正确的个数有（C)A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2017陕西中考)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( C)A．(1，－5) B．（3，－13)C．(2，－8）D．(4，－20）12．抛物线y＝x2＋2x＋3的顶点坐标是__(－1，2）__．13．二次函数y＝3x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上,点B，C在二次函数y＝错误!x2的图象上,四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°,则菱形OBAC的面积为__2错误!__．，(第13题图）) ,（第14题图)) 14．(2017乌鲁木齐中考）如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（－1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a＋3b＋c＞0；③抛物线经过点（4，y1)与点(－3，y2)，则y1＞y2；④无论a，b,c取何值，抛物线都经过同一个点错误!；⑤am2＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．15．(2017鹤岗中考）如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A,B两点，与y 轴交于C点，点B的坐标为(3,0），抛物线与直线y＝－错误!x＋3交于C，D两点．连结BD，AD.（1)求m的值；(2）抛物线上有一点P,满足S△ABP＝4S△ABD,求点P的坐标．解：（1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过(3，0），∴0＝－9＋3m＋3,∴m＝2；(2）由错误!得错误!错误!∴D错误!.∵S△ABP＝4S△ABD，∴错误!AB×|y P|＝4×错误!AB×错误!，∴｜y P|＝9,y P＝±9，当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9,无实数解，当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，x1＝1＋13，x2＝1－错误!,∴P(1＋错误!，－9)或(1－错误!,－9)．16．（2017随州中考)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b,c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形"．备用图已知抛物线y＝－错误!x2－错误!x＋2错误!与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1）填空：该抛物线的“梦想直线”的表达式为________,点A的坐标为________,点B 的坐标为________；（2)如图，点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A,C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．解:（1）y＝－错误!x＋错误!；（－2，2错误!）；（1,0）；（2)如答图①，过A作AD⊥y轴于点D。

《中考数学专题讲座》课件

PART 02
代数部分
代数基础知识梳理
代数基础知识
包括代数式、方程、不等式、函数等基本概念和性质。
代数式化简
掌握代数式的化简方法，如合并同类项、提取公因式等。
方程与不等式解法
理解方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式等。
代数解题方法与技巧
代数恒等变换
中考数学复习计划与时间安排
制定复习计划
根据中考数学的考试大纲和考试时间，制定详细的复习计划，合理分配时间，把握重点和难点。
注重基础知识
在复习过程中，要注重基础知识的学习和掌握，不要忽视课本上的例题和练习题，因为这些是最基本的题目，能够帮你理解概念和方法。
练习历年真题
多做中考数学真题，熟悉考试形式和题型，有助于提高应试能力和自信心。
考试内容
包括数与式、方程与不等式、函数、几何、概率与统计等部分。
考试形式
闭卷、笔试，时间为120 分钟。
中考数学考试形式与试卷结构
试卷结构
满分120分，包括选择题、填空题和解答题三种题型。
分值分布
选择题40分，填空题30分，解答题50分。
考试时间分配
选择题每题2分，共20题，用时30 分钟；填空题每题3分，共10题，用时15分钟；解答题每题8分，共5 题，用时65分钟。
中考数学答题技巧与注意事项
仔细审题
在答题前，要认真审题，理解题意，避免因误解题目而失分。
表达清晰
在答题时，要思路清晰，表达准确，注意解题步骤和细节。
检查答案
在答完题后，要仔细检查答案，确保没有遗漏或错误。
注意时间分配
在考试过程中，要合理分配时间，不要在某一道题目上花费太多时间而影响其他题目的完成。

(沪科版)中考数学总复习课件【第11讲】一次函数及其应用

00，小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地 .2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y(千米)与小聪行驶的时间x(时)之间的函数关系如图11 2 4 －11所示，小明父亲出发________小时时，行进中的两车相距或 3 3 8千米．
图11－11 第11讲┃一次函数及其应用
第11讲┃一次函数及其应用
经典示例
例5 [2013·淮北五校联考一模 ] 某水产经销商从养殖
场批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)，共75千克，且乌鱼的进货
量不低于20千克．已知草鱼的批发价为8元/千克，乌鱼的批发价与进货量的函数关系如图11－10所示．
(1)请写出批发购进乌鱼所需的总金额y(元)与进货量x(千
第11讲┃一次函数及其应用
[解析] 根据题意得整理得
25x （0≤x≤20）， y ＝ 25× 20＋0.8×25（x－20）（x>20）.

25x （0≤x≤20）， y＝ 20x ＋100（x>20）.
第11讲┃一次函数及其应用
13．[2013·随州] 甲、乙两地相距50千米．星期天上午8：
y＝－x＋b，把点(－1，2)的坐标代入y＝－x＋b，2＝－(－1)
＋b，b＝1，所以y＝－x＋1.
第11讲┃一次函数及其应用
核心考点三
相关知识
一次函数与一次方程、一次不等式
一次函数与一一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值为0时，相应的自变量的值次方程一次函数与一元一次不等式为方程kx＋b＝0的根一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值大于(或小于)0，相应的自变量的值为不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集
集就是函数y＝kx＋b的图象在直线y＝m下方的部分对应的自变

中考数学复习课件：第1轮第3章第11讲反比例函数

(2) 反比例函数的图象是双曲
线，它有两个分支，可用描点
法画出反比例函数的图象.
2.待定系数法：先设反比例函数 2.若反比例函数 y＝的解析式为 y＝kx，再根据条件 kx的图象经过点(4，代入已知点，从而求出未知数，3)，则 k＝__1_2_____. 写出反比例函数的解析式.
B．难题突破 6．(2020·株洲)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为矩形，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数 y1＝kx(x＞0，k 为常数且 k＞2)的图象上，边 AB 与函数 y2＝2x(x＞0)的图象交于点 D，则阴影部分 ODBC 的面积为___k_－__1__．(结果用含 k 的式子表示)
A(6，1)，B(a，－3)两点，连接 OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
解：把A(6，1)代入y2＝mx 中，解得m＝6，所以反比例函数的解析式为y2＝6x；把B(a，－3)代入y2＝6x，解得a＝－2，
则B(－2，－3)，把A(6，1)和B(－2，－3)代入y1＝kx＋b，可得6－k＋2kb＋＝b1＝，－3，解得bk＝＝－12，2，所以一次函数解析式为y1＝12x－2；
又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF∽△ BDF，
∴OBFF＝DBFF，∴84＝D4F，∴DF＝2， ∴OD＝OF＋DF＝8＋2＝10，∴D(10，0)．
设BD所在直线解析式为y＝k′x＋b(k≠0)，把B(8，4)，D(10，0)分别代入，可得810k′k＋′＋b＝ b＝4， 0，解得kb′＝＝2－0，2，故直线BD的解析式为y＝－2x＋20.
(2)求△AOB 的面积．
解：将x＝0代入y＝x＋1，解得y＝1，则点A的坐标为(0，1)，

2013届中考数学考前热点冲刺《第11讲一次函数的图象与性质》课件新人教版

教材母题
人教版八上 P120T8
一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点 (2，－3a)与点(a，－6)，求这个函数的解析式．
第11讲┃ 回归教材
解：根据题目条件，可设这个函数的解析式为
2k＝－3a， ak＝－6， a＝2，解得 k＝－3， a＝－2，或 k＝3.
一、二、三象限 ________________
y随x增大而增大
________________ 一、三、四象限
y＝kx＋ b(k≠0)
一、二、四象限 _______________
y随x增大而减小
二、三、四象限 _______________
第11讲┃ 考点聚焦考点3 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1和l2： y＝k2x＋b2的位置关系
第11讲┃ 考点聚焦
(2)正比例函数与一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限 k>0 y＝kx (k≠0)
一、三象限 _______
函数性质 y随x增大而增大 y随x增大而减小
k<0
二、四象限 _______
第11讲┃ 考点聚焦
k>0 b>0 k>0 b<0 k<0 b>0 k<0 b<0
第11讲┃ 回归教材
中考变式
[2012· 聊城] A(1，0)，与 y 轴交于点 B(0，－2)． (1)求直线 AB 的关系式； (2)若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△ BOC＝2，求点 C 的坐标．
图 11－4
第11讲┃ 回归教材
b ＝a k＋b， 1 1 b2＝a2k＋b，

中考数学复习专题知识讲座PPT省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题旳基本原则是：充分利用选择题旳特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题旳基本思想是既要看到各类常规题旳解题思想，但更应看到选择题旳特殊性，数学选择题旳四个选择支中有且仅有一种是正确旳，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一种“选”字，尽量降低书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供旳信息，根据题目旳详细特点，灵活、巧妙、迅速地选择解法，以便迅速智取，这是解选择题旳基本策略. 详细求解时，一是从题干出发考虑，探求成果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 实际上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
• 例3 下列四个点中，在反百分比函数y＝− 旳图象上旳是（）
• A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
• 思绪分析：根据反百分比函数中k=xy旳特点进行解答即可．
• 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反百分比函数旳图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误．故选A．
• 思绪分析：反百分比函数旳图象是中心对称图形， • 则与经过原点旳直线旳两个交点一定有关原点对称． • 解：因为直线y=mx过原点，双曲线旳两个分支有关原点对称，
所以其交点坐标有关原点对称，一种交点坐标为（3，4），另一种交点旳坐标为（-3，-4）．故选：C． • 点评：此题考察了函数交点旳对称性，经过数形结合和中心对称旳定义很轻易处理．
• 一. 一次函数、反百分比函数和二次函数图象旳分析问题

中考总复习数学11- 第一部分第11讲一次函数的图象和性质(精练册)

关系式 y=-x+1(答案不唯一) .
11.(2022·江苏泰州)一次函数y=ax+2的图象经过点(1,0).当y>0时,x的取值
范围是 x<1
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第11讲
一次函数的图象和性质
挑战高分
基础全练
中考创新练
12.(2022·辽宁盘锦)点A(x1,y1),B(x2,y2)在一次函数y=(a-2)x+1的图象上,当
x1>x2时,y1<y2,则a的取值范围是
a<2
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13.(2022·江苏扬州)如图,函数y=kx+b(k<0)的图
象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集
为
x<-1 .
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第11讲
一次函数的图象和性质
挑战高分
基础全练
中考创新练
14.(2022·陕西)如图,是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下
所在象限为( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.(2022·湖南永州)已知一次函数y=x+1的图象经过点(m,2),则m=
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第11讲

2012中考数学复习精讲--第三单元函数与其图象(一)

第11讲平面直角坐标系与函数考点1 平面直角坐标系1.[2011·山西]点(－2,1)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第二象限 C ．第四象限 2．若a<0，则点(1－2a ，－4)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．如果点P(m ，n)是第三象限内的点，则点Q(－n,0)在( )A ．x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ．y 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上 4．如图11－1，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(2,1)．如果将矩形OABC 绕点O 旋转180°，旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为( ) A ．(2,1) B ．(－2,1) C ．(－2，－1) D ．(2，－1) 考点2 函数的概念及其表示方法5.[2010·凉山州]在函数y ＝x ＋12x －1中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥－1 B ．x>－1且x ≠12 C ．x ≥－1且x ≠12D ．x ≥－16．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，下列图象11－2中，可以近似地刻画蜡烛燃烧时剩下的高度与燃烧时间之间的关系是( ).图11则x 、y 之间用关系式表示为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－3C ．y ＝－x D ．y ＝38．[2011·大连]在平面直角坐标系中，将点(－2，－3)向上平移3个单位，则平移后的点的坐标为________．9．一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9升，行驶了1小时后发现已耗油1.5升． (1)求油箱中的剩余油量Q(升)与行驶的时间t(小时)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)画出这个函数的图象； (3)如果摩托车以60千米/小时的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3升时，老王行驶了多少千米？10.某商店出售商品时，在进价的基础上又加了一定的利润，其数量x 与售价y 量是2.5千克时的售价．考点3函数的图象及其应用11.如图11－3是某市一天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下列说法错误的是()A．这天15点时温度最高B．这天3点时温度最低C．这天最高温度与最低温度的差是13 ℃D．这天21点时温度是30 ℃12．[2010·眉山]打开某洗衣机开关(洗衣机内无水)，在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满()13．张华上午8点骑自行车外出办事，如图11距离s(千米)与所用时间t(小时)之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题(1)张华何时休息？休息了多少时间？这时离家多远？(2)他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？(3)他何时返回？何时到家？返回的平均速度是多少？归类示例类型之一坐标平面内点的坐标特征例1、[2011·桂林]若点P(a，a－2)在第四象限，则a的取值范围是()A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0类型之二关于x轴、y轴及原点对称点的坐标例2、[2011·永州] 在如图11－1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A、C的坐标分别为(－4,5)、(－1,3)．(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；(3)写出点B′的坐标．图11－1类型之三坐标系中图象的平移与旋转例3、[2011·安顺]一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着按图11－2中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是()A．(4,0)B．(5,0)C．(0,5) D．(5,5)类型之四函数的概念及函数自变量的取值范围例4、下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是( )A．y＝11－xB．y＝1－1xC．y＝1－x D．y＝11－x类型之五函数图象例5、[2011·泉州]小吴今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是( )第12讲函数的概念及其表示法考点1一次函数的定义1.已知函数y＝(m－1)x||m＋3m表示一次函数，则m等于()A．1 B．－1C．－1或1D．0或－12．已知y＋2与x成正比例，且x＝1时，y＝6. (1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点(a,2)在(1)中求得的函数图象上，求a的值．考点2一次函数的图象与性质3.一次函数y＝2x－1的图象大致是()4．将直线y y＝3x 向右平移2个单位得直线________________．5．已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)．(1)当m，n为何值时，y随x的增大而减小？(2)当m，n为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？(3)当m，n为何值时，函数图象经过原点？考点3待定系数法求一次函数解析式6.直线y＝kx＋b经过点(0,1)和(2,0)，则k，b的值分别为()A．k＝12，b＝1 B．k＝12，b＝－1 C．k＝－12，b＝1 D．k＝－12，b＝－1 7．两个一次函数y＝x＋3k与y＝2x－6的图象交点在y轴上，则k的值为() A．3 B．1 C．2 D．－28．已知正比例函数y＝kx经过点P(1,2)，如图12－2所示．(1)求这个正比例函数的解析式；(2)将这个正比例函数的图象向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P，原点O平移后的对应点P′，O′的坐标，并求出平移后的直线的解析式．归类示例类型之一一次函数的图象与性质例1、[2011·泰安]已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图12－1所示，则m、n的取值范围是() A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2类型之二一次函数图象的平移例2、[2010·肇庆]已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3.(1)求一次函数的解析式；(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．类型之三一次函数的解析式例3、已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点．(1)求k、b的值；(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值．类型之四一次函数与一次方程(组)，一元一次不等式(组)例4、[2010·武汉]如图12－2，直线y1＝kx＋b过点A(0,2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是________．第13讲一次函数的应用考点1一次函数性质的应用1.某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系式是____________，某居民某月的电话费是38.7元，则通话时间是______分钟．2．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．(1)试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；(2)如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本．考点2一次函数的图象与性质3.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数图象如图13－1所示．(1)若月用电量为100度时，则应交电费_____元；(2)当x≥100时，则y与x之间的函数关系式____________；(3)月用电量为260度时，应交电费______元．考点3一次函数与二元一次方程和不等式的综合应用4.[2011·乐山]某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y((1)若(2)现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费，则乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)的函数关系为_________；(3)在给出的坐标系内画出(1)(2)中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？归类示例类型之一利用一次函数进行方案选择例1、[2011·凉山州] 我州特产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会．现有A 型、B 型、C 型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．(1)设A 型汽车安排x 辆，B 型汽车安排y 辆，求y 与x 之间的函数关系式； (2)如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案；(3)为节约运费，应采用(2)中哪种方案？并求出最少运费．类型之二利用一次函数解决资源收费问题例2、 [2011·黄石] 今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：(2)设该户六月份用水量为x吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式； (3)若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围．类型之三利用一次函数解决其他生活实际问题例3、[2011·泰州] 小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400 m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为s 1 m ，小明爸爸与家之间的距离为s 2 m ，图13－1中折线OABD 、线段EF 分别是表示s 1、s 2与t 之间函数关系的图象． (1)求s 2与t 之间的函数关系式；(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？第14讲反比例函数考点1 反比例函数的定义1.下列关系中的两个量，成反比例的是( )A ．面积一定时，矩形周长与一边长B ．压力一定时，压强与受力面积C ．读一本书，已读的页数与余下的页数D ．某人年龄与体重则这个函数的关系式为( ) A ．y ＝x B ．y ＝6 C ．y ＝－x D ．y ＝53．某厂有煤1500吨，求得这些煤能用的天数y 与每天用煤的吨数x 之间的函数关系式为__________．4．当m 取什么值时，函数y ＝(m －2)x3－m 2是反比例函数？考点2 反比例函数的图象与性质5.[2011·黄石] 若双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞12 B．k ＜12C．k＝12D ．不存在6．[2011·怀化]函数y ＝2x 与函数y ＝－1x在同一坐标系中的大致图象是( )图14－17．如图14－2，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2x的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．[2010·孝感]如图14－3，点A 在双曲线y ＝1x B 在双曲线y ＝3x上，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为图14－3 图14－29.一次函数与反比例函数的图象交于点P(－2,1)和Q(1，m). (1)求反比例函数的关系式； (2)求Q 点的坐标；(3)在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，观察图象并回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？考点3 反比例函数的应用10.某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象如图14－4所示，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为( )A ．I ＝6RB ．I ＝－6RC ．I ＝3RD ．I ＝2R11．某村的粮食总产量为a(a 为常数)吨，设该村的人均粮食产量为y 吨，人口数为x ，则y 与x ( )－512．设函数y ＝2x 与y ＝x －1的图象的交点坐标为(a ，b)，则1a －1b的值为______．13．[2011·襄阳] 已知直线y ＝－3x 与双曲线y ＝m －5x交于点P(－1，n)．(1)求m 的值； (2)若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线y ＝m －5x上，且x 1<x 2<0，试比较y 1，y 2的大小．14．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m 2)的反比例函数，其图象如图14－6所示．(1)请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；(2)当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过6000 Pa ，木板的面积至少要多大？图14－6归类示例类型之一反比例函数的概念例1、已知点P(－1,4)在反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．－14 B.14C ．4D ．－4类型之二反比例函数的图象与性质例2、已知反比例函数y ＝－7x A(－2，y 1)、B(－1，y 2)、C(2，y 3)，能正确反映y 1、y 2、y 3的大小关系的是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 2>y 3>y 1 例3、如图14－2，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3x 上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为________．类型之三反比例函数的应用例4、 [2011·綦江] 如图14－3，已知A(4，a)，B(－2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．例5、 [2011·济宁] 如图14－4，正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式； (2)如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点B 与点A 不重合)，且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．。

中考数学一轮综合复习同步讲义(第11课勾股定理)

第11课勾股定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧勾股定理逆定理：，，，，，勾股组数：勾股定理：勾股定理中考真题练习 1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A 、B 都是格点,则线段AB 长度为（）A.5B.6C.7D.25第1题图第2题图第3题图2.如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB=900,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 延长线于E,则CE 长为（）A.32B.76C.256D.23.如图,在正三角形ABC 中,D,E,F 分别是BC,AC,AB 上的点,DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC,则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（）A.1:3B.2:3C.3:2D.3:34.下列各三角形中，面积为无理数的是（）5.如图,△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D.则BD 的长为（）A.532B.543C.554D.553 第5题图第6题图第7题图6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 中点,且CD=25,若Rt △ABC 面积为1,则它的周长为（） A.215+ B.15+ C.25+ D.35+ 7.如图,O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P,且P 是半径OB 的中点,CD=6cm,则直径AB 的长是（）A.3cmB.32cmC.42cmD.43cmADB E C8.如图,已知△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高AD=8,则边BC 的长为（）A.21B.15C.6D.以上答案都不对第8题图第9题图第10题图9.如图,点A 的坐标是(2,2),若点P 在x 轴上,且△APO 是等腰三角形,则点P 的坐标不可能．．．是（） A.(4，0) B.(1,0） C.)0,22(- D.(2,0）10.如图,已知△ABC 中,∠ABC=900,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上,且l 1，l 2之间的距离为2,l 2，l 3之间的距离为3,则AC 的长是（）A.172B.52C.24D.711.在△ABC 中,若AB=AC=15,BC=24,若P 是△ABC 所在平面内的点,且PB=PC=20，则AP 长为（）A.7B.5C.7或25D.5或14 12.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a 和b,那么2)(b a +的值为（）A.49B.25C.13D.1第12题图第13题图第14题图13.将一个有450角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成300角,如图,则三角板的最大边的长为（）A.3cmB.6cmC.23cmD.26cm14.一渔船在海岛A 南偏东200方向的B 处遇险,测得海岛A 与B 的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西800方向向海岛C 靠近.同时,从A 处出发的救援船沿南偏西100方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C 处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为（）A.310海里/小时B.30海里/小时C.320海里/小时D.330海里/小时15.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=900，∠ABC=600，BC=2cm,D 为BC 的中点,若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →A 的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（）A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5第15题图第16题图16.如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=900,O 是斜边AB 的中点,点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上,且∠DOE=900，DE 交OC 于点P.则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 面积的2倍；（3）2CD CE OA +=；（4）222AD BE OP OC +=⋅．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个17.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为18.若直角三角形两直角边长为a 、b,且满足04962=-++-b a a ,则该直角三角形斜边长为．19.如图,△ABC 中,CD ⊥AB 于D,E 是AC 的中点.若AD=6,DE=5,则CD 的长等于．第19题图第20题图第21题图20.如图,D 是△ABC 内一点,BD ⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点,则四边形EFGH 的周长是．21.如图,在边长为1的等边△ABC 中,中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为．22.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为4cm,则其腰上的高为 cm ．23.等腰△ABC 中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC 边上的高是 cm ．24.在△ABC 中，AB=AC=12cm ，BC=6cm,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动.设运动时间为t ，那么当t= 秒时，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．25.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=900，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB= cm．第25题图第26题图第27题图26.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F.若BC=2,则DE+DF=_____________．27.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是．28.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=900，AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为29.种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做 cm.第29题图第30题图第31题图第32题图30.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________米.31.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若EF=5,则CE2+CF2=＿＿＿32.如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为______33.在平面直角坐标系中，已知点)0,5( A ，)0,5(A ，点C 在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C 的坐标．34.如图,水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.35.如图,△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一点,且AD ⊥AC,求BD 的长．36.如图,△ABC 的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．37.如图,已知四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3.求四边形ABCD 的面积．38.如图,△ABC 中,∠B=450,∠C=300,AB=2.求AC 的长．39.在450的Rt △ABC 中,∠A=900，DE ⊥BC,BD 是∠ABC 的平分线,且BD=13,AB=12.求△DEC 的周长.40.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=900．在AB 的同侧分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆.图中阴影部分的面积分别记作为S 1和S 2．（1）求证：S 1+S 2=S △ABC ；（2）若Rt △ABC 的周长是62 ，斜边长为2,求图中阴影部分面积的和．41.已知a,b,c 为△ABC 三边,且满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状．42.在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时 (即350米/秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点 A.在如图所示的直角坐标系中,点A 位于y 轴上,测速路段BC 在x 轴上,点B 在A 的北偏西600方向上,点C 在A 的北偏东450方向上,另外一条高等级公路在y 轴上,AO 为其中的一段． (1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?第11课勾股定理测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，32.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.165°B.120°C.150°D.135°第2题图第3题图第4题图3.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行（）A.8米B.10米C.12米D.14米4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，BD平分∠ABC.若CD=3,BC+AB=16,则△ABC的面积为（）A.16B.18C.24D.325.如图,AC=AD,BC=BD,则有（）A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB第5题图第6题图第7题图第8题图6.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,则⊙O的半径为（）A.5B.4C.3D.27.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）,则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是( )A.12B.14C.15D.1108.如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分么BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连结DE,则△BDE的周长是( )A.7+5B.10C.4+25D.129.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD 是底边上的高,若AB=5,BC=6,则AD= cm ．第9题图第10题图第11题图第12题图10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B 的坐标分别为（-6,0）、（0,8）.以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,交x 正半轴于点C,则点C 的坐标为 .11.长为4m 的梯子搭在墙上与地面成450角,作业时调整为600角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．12.如图,直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积分别为5和11,则b 的面积为．13.如图,OP=1,过P 作PP 1⊥OP,得OP 1=2;再过P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1,得OP 2=3;又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1,得OP 3=2；…依此法继续作下去,得OP 2015= ．14.如图，Rt △ABC 中,∠C=900，AD 平分∠CAB,DE ⊥AB 于E,若AC=6,BC=8,CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．15.如图,AB 为一棵大树,在树上距地面10m 的D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果,一只猴子从D 处上爬到树顶A 处,利用拉在A 处的滑绳AC,滑到C 处,另一只猴子从D 处滑到地面B,再由B 跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.16.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=900,D 为AB 边上一点.求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．。

中考数学专题训练第11讲勾股定理与锐角三角函数1(解析版)

勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图1.有一张矩形纸条ABCD .边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >.E 为CD 上一点.1CE =．（1）连接AE .BE .试说明90AEB =︒∠．（2）如图2.M 为边AB 上一个动点.将四边形BCEM 沿ME 折叠.使点B .C 分别落在点B ′.C '上.边MB '与边CD 交于点N ．①如图3.当点M 与点A 重合时.求N 到ME 的距离．②在点M 从点A 运动到点B 的过程中.求点N 相应运动的路径长（路程）．【答案】（1）见解析.（2）①52.②352-【详解】解：（1）证明：如图1.解方程27100x x -+=得5x =或2x =.5AB ∴=.2BC =.四边形ABCD 是矩形.90C D ∴∠=∠=︒.2AD BC ==.5CD AB ==.514DE CD CE ∴=-=-=.222222420AE AD DE ∴=+=+=.22222215BE BC CE =+=+=.222AE BE AB ∴+=.ABE ∴∆是直角三角形.90AEB =︒∠.（2）解：①四边形ABCD 是矩形.//AB CD ∴.NEM BAE ∴∠=∠.由折叠的性质得：BAE B AE '∠=∠.NEA B AE '∴∠=∠.AN EN ∴=.设AN EN x ==.则4DN DE EN x =-=-.在Rt ADN ∆中.由勾股定理得：222AD DN AN +=. 即2222(4)x x +-=. 解得：52x =. 52EN ∴=. 在Rt ADE ∆中.由勾股定理得：22222425AE AD DE =+=+=. 设N 到ME 的距离为h . 则1122ANE S AE h EN AD ∆=⋅=⨯.5252225EN AD h AE ⨯⨯∴===. 即N 到ME 的距离为52.②当M 与点A 重合时.如图3所示：此时52EN =. 当MB AB '⊥时.如图4所示.此时2EN AD ==.当B '在CD 上.N 与B '重合.如图5所示：此时2222125EN C E B C ''=+=+=.∴点N 相应运动的路径长为：53(1)(52)522-+-=-．2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图.在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4.AD 是BC 边上的高.点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点.且∠EDF ＝90°．（1）（图1）求DE ：DF 的值.（2）（图2）连结EF .射线DF 与射线BA 相交于点G .当△EFG 是等腰三角形时.求CF 的长度.（3）（图3）连结EF .设点B 与点E 间的距离为x .△DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式.并写出x 的取值范围．【答案】（1）34.（2）165.（3）()2236540332525y x x x =-+≤≤【详解】解：（1）∵在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4. ∴225BC AB AC =+=. ∵AD 是BC 边上的高.∴11=22ABC S AB AC AD BC ⋅=⋅△.∠ADC =∠ADB =90°.∴125AB AC AD BC ⋅==. ∴22165CD AC AD =-. ∵∠EDF =∠ADC =90°.∴∠EDF -∠ADF =∠ADC -∠ADF 即∠ADE =∠CDF . ∵∠B +∠C =180°-∠BAC =90°.∠B +∠EAD =180°-∠ADB =90°.∴∠EAD =∠C . ∴△EAD ∽△FCD .∴12351645DE AD DF CD ===. （2）如图所示.∵∠EFG =∠FDE +∠FED ＞90°. ∴当△EFG 是等腰三角形的时候.只存在EF =GF 这种情况. ∵EF =GF .F A ⊥EG . ∴A 为EG 的中点.∵在直角三角形EDG 中.A 为EG 的中点.∴11225AE AD AG EG ====.∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD CF CD ==. ∴41635CF AE ==.（3）∵BE x =.AB =3. ∴3AE AB BE x =-=-. ∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD DE CF CD DF ===. ∴()44333CF AE x ==-.34DE DF =. ∴()444333AF AC CF x x =-=--=.在直角三角形AEF 中.222EF AE AF =+.∴()222242536939EF x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭在直角三角形DEF 中.222EF DE DF =+.∴22234EF DF DF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴45DF EF =. ∴35DE EF =.∴()2216236540322532525DEF S DE DF EF x x x =⋅==-+≤≤△．∴()2236540332525y x x x =-+≤≤3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系xoy 中.⊙O 的半径为1.给出如下定义：记线段AB 的中点为M .当点M 不在⊙O 上时.平移线段AB .使点M 落在⊙O 上.得到线段''A B （''A B 分别为点,A B 的对应点）．线段'A A 长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”．（1）已知点A 的坐标为（－1.0）.点B 在x 轴上．①若点B 与原点O 重合.则线段AB 到⊙O 的“平移距离”为________. ②若线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2.则点B 的坐标为________.（2）若点,A B 都在直线334y x =-+上.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d .求1d 的最小值.（3）若点A 的坐标为（－4.－2）.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d .直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）①12.②(-5.0)或(7.0).（2）75.（3）225225d -≤≤ 【详解】（1）①当B 与原点O 重合时.AB 中点为1(,0)2-.移动最小距离为向左平移12到⊙O 上．故答案为：12．②当“平移距离”为2时.如图：有12,M M 两种情况：①当1M 为3,0时.12AM =.AB =4.B ∴ 为()5,0-．②当2M 为3,0时.24AM =.AB =8.B 为()7,0．故答案为：()5,0- 或()7,0．（2）如图：直线334y x =-+如图l .当l 平移到m 位置时.1d 最小.即平移到直线m 与⊙O 相切时.1d 最小．过点O 作OE l ⊥于E . 则1d OE R =-，设直线OE 为y =kx.OE l ⊥.∴413k ⨯=-.即43k =. ∴43y x =．联立方程组33434y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 解得：3648,2525x y ==. ∴E 为3648(,)2525. ∴125OE =. ∴1127155d =-=．（3）∵2AB =. ∴AM =1.即M 点在以A 为圆心.半径为1的圆上.如图所示：连接OA 交⊙A 于E 、F .可知：当M 在点F 时.2d 最小.在点E 时.2d 最大．当M 在F 时.222(4)(2)11252d OA AF R =--=-+---=-.当M 在E 时.222(4)(2)11251125d OE R OA AE R =-=+-=-+-+-=+-=. ∴225225d -≤≤．4．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）在△ABC 中.AB ＝BC ＝5.AD ⊥BC 于D .AD ＝4．动点P 从点B 出发.沿折线BA →AC 运动（点P 不与B 、C 重合）.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.在边AC 上的运动速度为52个单位长度.过P 作PQ ⊥BC 于点Q .以PQ 为边向右作矩形PQFE .使PQ ＝2PE .点F 在线段BC 上.设点P 运动的时间为t ．（1）点P 在BA 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（2）点P 在AC 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（3）连结DE .当△DEF 与△ADC 相似时.求t 的值．（4）设矩形PQFE 的对角线相交于点O .当点O 在△ACD 边上时.直接写出t 的取值范围．【答案】（1）2t .（2）6﹣t .（3）67或613或2或5.（4）t ＝32或2≤t ＜6 【详解】解：（1）点P 在BA 上时.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.BP =2.5t , ∵四边形PQFE 是矩形. ∴PQ ⊥QF .∵点F 在线段BC 上. ∴PQ ⊥BC . ∵AD ⊥BC . ∴PQ ∥AD . ∴∠BPQ ＝∠BAD . ∵∠B ＝∠B . ∴△BPQ ∽△BAD . ∴BP PQAB AD=. ∵BP ＝2.5t .AB ＝5.AD ＝4. ∴2.554t PQ=. ∴PQ ＝2t . 故答案为：2t .（2）如图2.点P 在AC 5个单位长度.由题意得：AP 5（t ﹣2）.∵AD ⊥BC .AB ＝5.AD ＝4. ∴BD 2222543AB AD -=-. ∴CD ＝BC ﹣BD ＝5﹣3＝2.∴AC 22224225AD CD +=+∴CP ＝AC ﹣AP ＝)555235t -=. ∵PQ ∥AD .∴∠QPC =∠DAC .∠PQC =∠ADC .∴△CPQ∽△CAD.∴PQ CPAD AC=.即5352425tPQ-=.∴PQ＝6﹣t.故答案为：6﹣t.（3）分两种情况：①如图3.当点P在边BA上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝2t.在Rt△BPQ中.BQ＝BP•cos∠B＝BP×32.5 1.55BDt t AB=⨯=.∴DF＝3﹣2.5t.当△EFD∽△ADC时.DF CD EF DA=∴3 2.52 24tt-=.∴t＝6 7 .经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时. DF AD EF CD=.∴3 2.54 22tt-=.∴t＝6 13.经检验符合题意.②如图4.当点P在边AC上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝6﹣t.∴DF＝DC＝2.当△EFD∽△ADC时.则DF DC EF AD=.即22 64t=-.∴t＝2.经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时.DF AD EF CD=.∴24 62t=-.∴t＝5.经检验符合题意.综上所述.t的值为67或613或2或5.（4）分三种情况讨论：①当矩形PQFE的对角线交点O在AD上时.如图5.∴QD＝12QF＝0.5t.∵BQ＝1.5t.BQ+QD＝BD＝3. ∴1.5t+0.5t＝3.∴t＝3 2 .②当矩形PQFE的对角线交点O在AC上时.∵点F始终与点C重合.点P从点A运动到点C.55254AC==∴点P在AC上运动时间为2≤t＜6.∴当2≤t＜6时.矩形PQFE的对角线交点O在AC上.③由题意知.矩形PQFE的对角线交点O不可能在CD上.综上所述.t的取值范围t＝32或2≤t＜6．5．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）综合与实践动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1.△ACB是等腰直角三角形.AC＝BC＝4.∠ACB＝90°.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．思考探索：（1）在图1中：①CD＝.②△A′BC的面积为.拓展延伸：（2）如图2.若△ACB为任意直角三角形.∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系.并证明．（3）如图3.在△ACB中.AB＝AC＝5.BC＝6.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C．①△A′BC的面积为．②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点.连接A′D、DB.则A′D+DB的最小值是．【答案】（1）①8.②8.（2）CD AC A D '=+.证明见解析.（3）①9.109【详解】解：（1）①∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∵AC =BC =4.90ACB ∠=︒.∴45CAB CBA ∠=∠=︒．∴18045DBA CBA ABA ''∠=︒-∠-∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA '∠=︒．∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴BD =AC =4．∴CD =BC +BD =8．故答案为：8．②∵BDA ACB '△≌△.∴4A D BC '==． ∴182A BC S BC A D ''=⋅=△．故答案为：8．（2）CD AC A D '=+.证明如下：∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∴90CBA DBA '∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒.∴90CAB CBA ∠+∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴A D BC '=.BD =AC ．∴CD BD BC AC A D '=+=+．（3）如下图所示.过点A '作A F CB '⊥交CB 延长线于点F .过点A 作AE CB ⊥交CB 于点E .交线段A C '于点M .再连接DC ．①∵AB =AC =5.BC =6.且AE CB ⊥. ∴132BE CE BC ===.90AEB =︒∠．∴90EAB EBA ∠+∠=︒．∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴5BA AB '==.90ABA '∠=︒．∴90EBA FBA '∠+∠=︒．∴FBA EAB '∠=∠．∵A F CB '⊥.∴90BFA '∠=︒．∴90BFA AEB '∠=∠=︒．∴()BFA AEB AAS '△≌△．∴3A F BE '==． ∴192A BC S BC A F ''=⋅=△．故答案为：9．②∵AE CB ⊥.且BE =CE .∴AE 垂直平分CB ．∴DC =DB ．∴A D DB A D DC ''+=+．∵点D 在AE 上.∴当点D 与点M 重合时.A D DB '+有最小值.此时最小值为A C '．∵5BA '=.3A F '=. ∴224BF BA A F ''=-=．∵BC =6.∴CF =BC +BF =10． ∴22109A C CF A F ''=+=．∴A D DB '+的最小值为109．故答案为：109．6．如图.在平面直角坐标系xOy 中.点A 与点B 的坐标分别是（1.0）.（7.0）．（1）对于坐标平面内的一点P .给出如下定义：如果∠APB ＝45°.则称点P 为线段AB 的“等角点”．显然.线段AB 的“等角点”有无数个.且A 、B 、P 三点共圆．①设A 、B 、P 三点所在圆的圆心为C .直接写出点C 的坐标和⊙C 的半径.②y 轴正半轴上是否有线段AB 的“等角点”？如果有.求出“等角点”的坐标.如果没有.请说明理由.（2）当点P 在y 轴正半轴上运动时.∠APB 是否有最大值？如果有.说明此时∠APB 最大的理由.并求出点P 的坐标.如果没有请说明理由．【答案】（1）①(4.3)或(4,−3).半径为2.②存在2或(0.2).见解析.（2）有.见解析7【详解】（1）①如图1中.在x 轴的上方.作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB .易知A .B .P 三点在⊙C 上. 圆心C 的坐标为(4,3).半径为32.根据对称性可知点C (4,−3)也满足条件.②y 轴的正半轴上存在线段AB 的“等角点“。

2020年中考数学二轮核心考点讲解第11讲斜化直策略问题解析版

第11讲斜化直策略问题一次函数的“倾斜度”1.在平面直角坐标系中，当某条直线的解析式确定时，其与坐标轴围成的三角形也是确定的，不妨称为该直线对应的“坐标三角形”，即如图1，△AOB 即为直线:l y kx b =+的“坐标三角形”.2.当直线:l y kx b =+的解析式一旦确定，则其与x 轴所夹的锐角也是确定，如图1，因为,0b A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,B b ，故tan =b OBBAO k b OA k==-∠.3.事实上，在该直线上任取两点，过这两点任意作“横平竖直辅助线”，构成的直角三角形都与其“坐标三角形”相似，如图2，△P 1GP 2∽△BOA ，∠P 1P 2G=∠BAO=|k|，一般地，我们可以用tan ∠OAB=|k|来刻画一条直线的倾斜程度，这与“坡角”与“坡度”的关系本质相同.图1图2一次函数的k 值的魅力故当一次函数直线:l y kx b =+的k 值确定时，我们即可明白该直线与x 轴的夹角度数大小.如图3，当直线:l y kx b =+的33k =时，30BAO ∠=︒；如图4，当直线:l y kx b =+的1k =时，45BAO ∠=︒；如图5，当直线:l y kx b =+的k =60BAO ∠=︒；图3图4图5如何求一条定线段的垂直平分线的解析式？如图6，已知点A(2,5)，B(4,1)，求线段AB 的垂直平分线的解析式.图6图7解析：如图7，取线段AB 的中点M ，易知M(3,3)，过点M 作AB 的垂线l 即为所需垂直平分线，设其与y 轴的交点为N ，依托A 、B 、M 、N 作“横平竖直辅助线”，构造出Rt △ABG ∽Rt △NMH ，则有12MH BG NH AG ==，又3NH =，故3322MH ON ==，，即N 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因此所求垂直平分线l 的解析式为1322y x =+事实上，根据一次函数的性质可知：当两直线平行时，它们所在直线解析式的k 值相等，即12k k =；当两直线垂直时，它们所在直线解析式的k 值互为“负倒数”，即121k k =- ；因此，我们也可以通过这层关系可以轻易求出线段垂直平分线的解析式.斜化直的核心思想即利用所给的线段为斜边构造直角三角形模型进行解题，且化斜为直的思想在锐角三角函数这一章用得较为平常。

实录：名师解读北京中考数学科考试说明及备考

实录：名师解读北京中考数学科考试说明及备考今年北京中考说明差不多出台，为了关心大伙儿更好地了解新出台的中考考试说明，中考频道与精华教育机构联合推出大型名师访谈活动。

3月14日晚，精华学校崔莉老师(blog)老师做客新浪，为北京中考生和家长做了中考数学科目考试说明的讲解，并给出备考建议。

以下为访谈实录。

崔莉，精华学校数学教师。

主持人：各位友大伙儿晚上好，欢迎大伙儿光临我们今天的新浪嘉宾谈天室，我是娄雷。

在昨天的时候我们和大伙儿共同来关注了2021年北京市中考语文科考试的一些内容，同时我们也对整个我们考试说明进行了点评。

今天我们将会连续进行我们这部分的谈天，我们为大伙儿也是请到了一个名师啊，刚才我们在谈天的时候也通过了专门多的交流，也明白您在讲坛上也是耕耘了专门长时刻了，在我们今天的谈天一开始，是不是先给大伙儿打个招呼？崔莉：好，主持人好，同学们好，大伙儿好！我叫崔莉，是精华学校的数学老师，专门快乐今天坐在那个地点为大伙儿解读中考，同时也为同学们的复习和应考当中做一个简单的指导。

主持人：说起中考的数学科，大伙儿事实上专门多一些我们的初中生朋友也是专门紧张，因为尽管我们今年的打算要比毕业的学生多，然而大伙儿依旧期望考出一个好成绩的。

您第一就2021年北京中考的考试说明简单点评一下，比现在年的考试说明显示出我们这次考试会变难依旧如何样？崔莉：我现在就先说一下我们那个考试说明，同学和家长确信都明白考试说明确实是我们手中的一个宝，那那个宝确实是我手里拿的那个，202 1年北京市高级中等学校招生统一考试考试说明，那今年有一个变化，确实是我们北京市用的差不多上课标卷，是统一的。

那个考试说明是由北京考试院召集的有关专家进行编写的，他是对中考命题的一个详尽说明的重要文件，是我们考试的依据。

数学的考试说明一共有六大部分，这六大部分包括第一，考试的性质，第二，考试的范畴，第三，考试的内容和目标，第四，考试的方式，第五，试卷的结构，第六是题型示例以及参考答案。

中考数学复习：专题3-11 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略

抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略【专题综述】动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系．本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究．【方法解读】一、探究等腰三角形的存在性例1 如图1，已知抛物线y＝ax2＋b x＋c经过A（－1，0）、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)易得y＝－x2＋2x－3；(2)分析由图知，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．易求得BC的函数关系式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝2，所以P(1，2)；评注例1(3)中，由于△MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论．可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再分别按三种情况列式求解．同学们可根据上述解题思路分析解决下题：如图2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒53个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0)．(1)当t＝3秒时，直接写出点Ⅳ的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？二、探究直角三角形的存在性例2 如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ＝34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．评注例2(3)②中直角三角形的存在性问题有三部曲：先罗列三边，再分类列方程，后解方程检验．罗列三边时，应将三边由同一变量的表达式进行表示，分类列方程的分类标准为直角顶点的不同，求解后注意取舍．三、探究相似三角形的存在性例3 如图4，已知二次函数y＝148(x＋2)（a x＋b）的图象过点A（－4，3），B(4，4)．(1)求二次函数的解析式：(2)求证：△ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直戈轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：①若两个三角形各边均未给出，则应先设所求点的坐标，进而用变量表达式来表示各边的长度，再利用相似关系列方程求解．②求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出其是否为特殊三角形，再根据未知三角形中，已知边与已知三角形中边的对应情形分类讨论．【强化训练】1.（2017辽宁省辽阳市）如图，抛物线223y x x =--与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A ．12+B ．12-C ． 21-D ．12-或12+2.（2017山东省莱芜市）二次函数2y ax bx c =++（a ＜0）图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论： ①16a ﹣4b +c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2；③a =﹣13c ；④若△ABC 是等腰三角形，则b =﹣273．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上） 3.如图，二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A ．2a ﹣b =0B ．a +b +c ＞0C ．3a ﹣c =0D ．当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形 4.已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线21(3)43y x =--+上，能使△ABP为等腰三角形的点P 的个数有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5. 如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为．6. 如图1，抛物线23[(2)]5y x n =--+与x 轴交于点A （m ﹣2，0）和B （2m +3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ．（1）求m 、n 的值；（2）如图2，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；（3）如图3，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 7.（2017辽宁省盘锦市）如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线212y x bx c =++ 于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．8.（2017四川省雅安市）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （l ，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE =PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．9.（2017四川省眉山市）如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A （3，0），且M （1，83-）是抛物线上另一点．（1）求a 、b 的值；（2）连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O 、A 重合），过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点．设ON =t ，△ONH 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．10.（2017内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y =﹣x +n 与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且BE =4EC ． ①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，△AGF 与△CGD 是否全等？请说明理由；（3）直线y =m （m ＞0）与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点 M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为（1，0）．若四边形OM 'NH 的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．。