空间直线方程
空间直线及其方程
M( x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0 o
M
y
即 x x0 y y0 z z0 x
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
说明:
在直线方程中某些分母为零时, 其分子也
理解为零.
例如
x2 y z5 002
再求已知直线与该平面的交点N, L
过M,N的直线L即为所求直线.
M
求交点：
L1
N
把已知直线化为参数方程
n1
x 3t 1
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例4 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂直的直线方程.
解 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
(1,－2 , 4)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
s1 s2 s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 , p2
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 :
A2 x B2 y C2z D2
0
z
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间中直线的标准方程
空间中直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常基础且重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
而直线的标准方程是描述直线性质的一种重要方式，它可以帮助我们更好地理解直线的特性和性质。
在本文中，我们将详细介绍空间中直线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下空间中直线的一般方程。
对于空间中的直线来说，一般可以用两点确定，假设直线上有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么直线AB的一般方程可以表示为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
这就是空间中直线的一般方程，它可以帮助我们确定直线在空间中的位置和方向。
但是，这种形式并不够简洁和直观，因此我们需要将其转化为标准方程的形式。
下面我们将介绍如何将直线的一般方程转化为标准方程。
首先，我们可以将直线的一般方程化简为参数方程的形式。
假设直线上的任意一点为P(x, y, z)，那么P点到A、B两点的距离分别为t和1-t（0≤t≤1），则P点的坐标可以表示为：x = x1 + (x2 x1)t。
y = y1 + (y2 y1)t。
z = z1 + (z2 z1)t。
这就是直线的参数方程形式，通过参数t的取值，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。
接下来，我们将利用参数方程来推导直线的标准方程。
我们知道，直线上的任意一点P都满足直线的参数方程，即P(x, y, z) = (x1 + (x2 x1)t, y1 + (y2 y1)t, z1 + (z2 z1)t)。
我们可以将参数t表示为直线的标准方程的形式，即：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
通过对比参数方程和标准方程的形式，我们可以得到直线的标准方程为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
空间直线与平面的方程与计算
空间直线与平面的方程与计算空间几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中各种几何对象的性质与关系。
其中，空间直线与平面是最基本的几何对象之一。
本文将介绍空间直线和平面的方程以及相关计算方法。
一、空间直线的方程空间直线可以通过一点和一个方向来确定。
假设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，且方向向量为d(a, b, c)，则空间直线的方程可以表示为：x = x₁ + at (1)y = y₁ + bt (2)z = z₁ + ct (3)其中t为参数。
根据参数t的取值不同，可以得到直线上的不同点。
例子：已知空间直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(1, -1, 2)，求直线L的方程。
解：直线L的方程可以表示为：x = 1 + ty = 2 - tz = 3 + 2t二、空间平面的方程空间平面可以通过三个不共线的点来确定。
假设平面上的三个点分别为A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，则空间平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C、D为常数，可以通过已知点A、B、C来确定。
将A、B、C带入方程(4)中，可求解出常数A、B、C、D的值，进而确定平面的方程。
例子：已知空间平面P过点A(1, 2, 3)，B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)，求平面P的方程。
解：将点A(1, 2, 3)、B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)带入方程(4)，得到方程为：x + y + z + D = 0再将点A(1, 2, 3)代入方程，可得：1 +2 +3 + D = 0D = -6因此，平面P的方程为：x + y + z - 6 = 0三、空间直线与平面的关系空间直线与平面可以相互交叉、平行或重合。
下面分别介绍这三种情况的判断方法。
1. 相交情况：若空间直线的方向向量与平面的法向量（平面的法向量可以通过方程(4)中的系数A、B、C确定）不平行，则直线与平面必相交。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用不同的形式来表示。
本文将介绍空间直线的几种常见的表示方法。
1. 参数式表示法在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
因此，我们可以用参数式表示法来表示空间直线。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的参数式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。
这个参数式表示法比较容易理解，也比较方便使用。
2. 点向式表示法点向式表示法是一种简单的直线表示方法，它只需要知道直线上的两个点和一个方向向量。
假设直线上有两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的点向式表示为：r = P1 + t(P2 - P1)其中r为直线上的任意一点，t为参数，可以取任意实数。
这个表示法比较简洁，但是需要知道直线上的两个点。
3. 一般式表示法一般式表示法是一种比较复杂的直线表示方法，它可以表示任意一条直线。
假设直线的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，则该直线的一般式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。
这个表示法比较复杂，但是可以表示任意一条直线。
4. 交点式表示法交点式表示法是一种比较特殊的直线表示方法，它适用于两条直线的交点。
假设两条直线分别为L1和L2，它们的参数式方程分别为： L1: x = x1 + a1t1, y = y1 + b1t1, z = z1 + c1t1L2: x = x2 + a2t2, y = y2 + b2t2, z = z2 + c2t2 则L1和L2的交点可以用交点式表示为：x = x1 + a1t1 = x2 + a2t2y = y1 + b1t1 = y2 + b2t2z = z1 + c1t1 = z2 + c2t2这个表示法只适用于两条直线的交点，但是在实际问题中也比较常见。
空间直线方程和平面方程
空间平面方程的参数形式
总结词
参数形式的空间平面方程可以表示为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、 c是常数，t是参数。
详细描述
参数形式的空间平面方程可以用来表示平面上的一条直线，其中x0、y0、z0是直 线上的一个点，a、b、c是直线的方向向量，t是参数。通过改变参数t的值，可 以得到直线上的其他点。
该方程表示通过点 (P(x_0, y_0, z_0)) 且沿着方向向量 (langle d_x, d_y, d_z rangle) 的直线。
空间直线方程的向量形式
空间直线方程的向量形式为 (vec{r} = vec{r}_0 + t*vec{d}) ， 其中 (vec{r}) 是空间向量，(vec{r}_0) 是直线上的一个点， (vec{d}) 是直线的方向向量。
航空航天
在航空航天领域，空间直线和平面 方程被用于描述飞行器的运动轨迹、 导航和控制等，例如飞机和火箭的 发射和回收等。
05
空间直线和平面方程的扩展知识
空间曲线和曲面
空间曲线
空间曲线是由三维空间中的点按 照某种规律形成的几何图形。常 见的空间曲线包括平面曲线和立 体曲线。
曲面
曲面是三维空间中由点按照一定 规律形成的二维图形。常见的曲 面包括平面、球面、旋转曲面等 。
该方程表示通过平面上的两点 (P_1(x_1, y_1, z_1)) 和 (P_2(x_2, y_2, z_2)) 的直线，其中 (D = -A*x_1 B*y_1 - C*z_1) 。
空间直线方程的参数形式
空间直线方程的参数形式为 ({begin{matrix} x = x_0 + t*d_x y = y_0 + t*d_y z = z_0 + t*d_z end{matrix}) ，其中 (t) 是参数，(d_x, d_y, d_z) 是直线的方向向量，(x_0, y_0, z_0) 是直线上的一个点。
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
空间直线方程
(1) (2)
A1x + B1 y + C1z + D1 + λ( A x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0,(3) 2
(A1 + λA )x + (B1 + λB2 ) y + (C1 + λC2 )z + (D + λD2 ) = 0, (4) 2 1
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例5.求直线
将 x0 = 2y0, z0 = −y0 代入上式 , 得
9 − 6 15 3 ∴ AB = ( , , − ) = (3, − 2, −5) 7 7 7 7 A(1 2,1) , 由点法式得所求直线方程 L2 x −1 y − 2 z −1 = = B(x0, y0, z0 ) 3 −2 −5
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第六节 空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
第七章 七
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一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
z
(不唯一)
Π1
L
y
x
o
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Π2
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2. 对称式方程 已知直线上一点 M0 (x0, y0, z0 )和它的方向向量 设直线上的动点为 M(x, y, z) 则 故有
在平面
上的投影直线方程. x + y + z +1= 0 的平面束方程为 解:过直线 x − y + z +1= 0
高等数学下第八章8.6 空间直线及其方程
垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n (2, 3, 1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x 1 y 2 z 4 2 3 1
3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1 y C1z D1) 2 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
ns L
平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
︿
sin cos( s , n )
sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
s // n
(2) L //
sn
ABC mn p Am BnC p 0
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
例6.
求过直线L:
x5y z 0 xz40
且与平面
x 4y
8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )
空间直线的方程与性质
空间直线的方程与性质一、空间直线的方程在三维空间中，要确定一条直线，我们需要知道直线上的一点和直线的方向。
因此，一般来说，表示空间直线的方程形式为：R: (x-x₁) / l₁ = (y-y₁) / l₂ = (z-z₁) / l₃其中，(x₁, y₁, z₁) 是直线上的一点，l₁, l₂, l₃是直线的方向比例。
二、空间直线的性质1. 直线的方向向量直线上的两个任意点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂) ，则直线的方向向量可以表示为：V = [x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁]2. 直线的平行与垂直若两个直线的方向向量分别是 V₁=[l₁₁, l₁₂, l₁₃] 和 V₂=[l₂₁,l₂₂, l₂₃]，则有以下条件：- 若 V₁∥ V₂，则直线平行。
- 若 V₁⊥ V₂，则直线垂直。
3. 直线与平面的关系直线与平面相交时，有以下几种情况：- 若直线和平面有且只有一个交点，则交点为直线上的一点。
- 若直线和平面无交点，且直线与平面平行，则直线在平面上。
- 若直线和平面无交点，且直线与平面垂直，则直线与平面互相平行。
4. 直线的距离直线与一点 P (x₀, y₀, z₀) 之间的距离可以通过点到直线的距离公式来计算：d = |(x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁) · V| / |V|其中 |·| 表示向量的模，"·" 表示向量的点积。
5. 直线的参数方程若直线的方向向量为 V=[l₁, l₂, l₃]，直线上的一点为 P(x₁, y₁, z₁)，则直线的参数方程形式为：x = x₁ + l₁ * ty = y₁ + l₂ * tz = z₁ + l₃ * t其中 t 为参数。
6. 直线的对称式方程直线的对称式方程形式是通过点和方向向量来表示的，如下：(x - x₁) / l₁ = (y - y₁) / l₂ = (z - z₁) / l₃ = t其中 (x, y, z) 为直线上的任意一点。
空间直线三种方程的转换
空间直线三种方程的转换
空间直线的三种方程分别为：一般式方程，标准式方程以及参数式方程。
它们之间的转换规则如下：
一般式方程转换为标准式方程：
如果空间直线的一般式方程为 Ax+By+Cz+D=0，那么就可以将它转换为标准式方程：
frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}
其中，a=frac{A}{D}, b=frac{B}{D}, c=frac{C}{D},
x_0=-frac{A}{D}, y_0=-frac{B}{D}, z_0=-frac{C}{D} 标准式方程转换为参数式方程：
如果空间直线的标准式方程为：
frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}，那么可以将它转换为参数式方程：
x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct
其中，t是方程的参数，它可正可负。
一般式方程转换为参数式方程：
如果空间直线的一般式方程为 Ax+By+Cz+D=0，那么就可以将它转换为参数式方程：
x=x_0+frac{A}{D}t, y=y_0+frac{B}{D}t, z=z_0+frac{C}{D}t 其中，x_0=-frac{A}{D}, y_0=-frac{B}{D}, z_0=-frac{C}{D}，t是方程的参数，它可正可负。
- 1 -。
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
空间直线的三种表示方法
空间直线的三种表示方法
空间直线是数学中常用的术语，在许多场景下，人们都需要用不同的方式来表示直线。
在本文中，我们将介绍三种表示空间直线的方法：直线方程，直线的倾斜角和直线的法线向量。
首先，我们介绍空间直线的直线方程。
一个直线可以用以下形式的线性方程表示：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c和d是实数，x、y和z是空间坐标中的变量。
以直线方程来表示空间直线既有助于理解它的定义，又能让我们方便地求出点到直线的距离。
其次，我们介绍空间直线的倾斜角。
每条直线都会有一个唯一的倾斜角，它是指沿着空间直线的方向，它所与x轴的夹角。
我们可以通过它来描述空间直线的方向，而且，它也有助于计算出其他参数，比如空间直线的斜率。
这种表示方式可以让我们更容易和精确地对直线进行描述，同时也可以帮助分析问题。
最后，我们介绍空间直线的法线向量。
法线向量是一个与空间直线垂直的向量，其中的每个分量都能告诉我们它的方向和大小。
在实际应用中，法线向量可以用来表示空间直线的法向量，从而可以帮助我们计算不同空间直线间的夹角等参数，同时也为空间几何问题中的各种计算提供可能性。
综上所述，本文介绍了三种表示空间直线的方法：直线方程，直线的倾斜角和直线的法线向量。
这三种表示方法都有一定的优势，可以用于不同场景下的计算和应用。
同时，这些方法也可以协同工作，帮助我们更好地解决空间几何中的问题。
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令上式的比值为t， 则参数方程为
x 1 2t y 1 t z 2
此外，空间直线还可以是由两平面相交而成， 如右图所示。 z 设平面П1的方程为
A1 x B1 y C1 z D1 0
L П2 П1 O
设平面П2的方程为
A2 x B2 y C2 z D2 0
第五节
空间直线方程
一、直线的方程 二、两直线的夹角 三、直线和平面的夹角
一、直线的方程
方向向量：与直线平行的非零向量，称为直线的 方向向量， 如右图。 基本结论：过空间一点，且与一
s L
个定向量平行的直线是唯一的。
问题： 若已知直线L通过点M0(x0,y0,z0)， 且与定向量s={m,n,p}平行，求直线L 的方程。 如右图，在直线L上任取一点 M（x,y,z)，则 M 0 M // s.
x 2 t y 1 2t z 3 2t 带入平面方程，有
2 t 2 1 2t 23 2t 11 0
解得 t 1, 从而得垂足为(1,1,5)。
垂直且相交的直线方程。
x 1 y 1 z 例6 求过点A(2,1,3)且与直线 3 2 1
因此这两直线的夹角公式为
cos m1m2 n1n2 p1 p2
2 2 2 2 2 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
可得如下结论：
L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2
L1 // L2 m1 n p 1 1 m2 n2 p2
x y2 z 2 2 1
化为直线的对称式方程。 解： 先找出这条直线上的一个点。 为此，不妨 令x=1， 代入方程组可得 y=0，z=-2，故（1,0,-2)是 s 直线上的一点。 n z n 再找出这条直线的一个方向 向量s，如图所示，s n1 n2 ,则
2 1
i
j
k
x
O
s n1 n2 1 1 1 4i j 3k 2 1 3
4
三、直线与平面的夹角 定义：直线与它在平面上的投影直线的夹角θ (0 ) 称为直线与平面的夹角，如图。
2
设直线L的方向向量为 s m, n, p, 平面П的法向量为n={A,B,C}， 那么
sin sin | cos | 2 | Am Bn Cp | m2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
例4
x 1 y z3 求直线L1： 1 4 1
和直线L2：
的夹角。
解：直线L1的方向向量为s1={1,-4,1}， 直线L2的 方向向量为s2={2,-2,-1}，则它们的夹角 满足 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2 cos 12 ( 4 )2 12 2 2 ( 2 )2 ( 1 )2 2 所以
解：先做一过点A且垂直于已知直线的平面， 这平面的方程为
3( x 2 ) 2( y 1 ) ( z 3 ) 0
再求已知直线与此平面的交点。 将已知直线的方程 化为参数方程
x 1 3t , y 1 2t , z t
3 并代入以上平面方程，解得 t , 7 2 13 3 从而得到交点B , , . 7 7 7
i j k s 3 1 5 7 i 14 j 7 k 1 2 3
故所求直线方程为
x y 1 z 3 1 2 1
二、两直线的夹角
定义：两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹 角。 设两直线L1和L2的方向向量分别为：
s1 m1 , n1 , p1, s2 m2 , n2 , p2
以点A为始点，B为终点的向量可作为所求直线 的一个方向向量，即
13 3 12 6 24 2 2 , 1, 3 , , 7 7 7 7 7 7
因而所求的直线方程为 x2 y 1 z 3 12 6 24 7 7 7 即
y
则直线L的方程为
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C1 z D2 0
x
这个方程称为直线的一般式方程。 直线的这三种形式的方程可以互化。
例2 把直线的一般方程
x y z 1 0 2 x y 3 z 4 0
L
θ П
这就是直线与平面的夹角公式。 可推知：
A B C L m n p
L // Am Bn Cp 0
例5 通过点A(2,-1,3)作平面x-2y-2z+11=0的垂线， 求平面上的垂足。
解：过点A且垂直于已知平面的直线方程为 化为参数方程
x2 y 1 z 3 1 2 2
x 2 y 1 z 3 2 1 4
y
因此，所求直线的对称式方程为
x 1 y z2 4 1 3
例3 一直线通过点A（0,-1,3)，且与平面П1： 3 x y 5 z 1 0 , 平面П2：x 2 y 3 z 5 0 都平行， 求此直线方程。 解：设直线的一个方向向量为s， 由已知可知
x x0 m t y y0 n t z z pt 0
例1 分别求通过两点A（1,-1,2)和B(-1,0,2)的对称 式方程和参数方程。 解：直线的方向向量s为
s AB 2,1,0
取点A， 则直线的对称式方程为
x 1 y 1 z
而 M 0 M x x0 , y y0 , z z0 所以有
x x0 y y0 z z0 m n p
这就是直线的点向式方程或对称式方程，又称标准式 方程。 m,n,p成为直线的方向数。
说明：若分母为零，则相应分子也为零
由以上方程还可以得到直线的参数方程：