第八章非线性控制系统B68页PPT

t
4
0 2 y t sin
td
t
4 k
2 X sin t sin td t
t1
图8-12死区非线性和非线性特性曲线
10
其中
X
sint1,t1
arcsin X
代入上式得,
A1
2k X
2
arcsin X
X
1
2
X
NX A1 k 2k arcsin
图8-5
4
第二节 非线性元件的描述函数
一、描述函数
图8-6 非线性控制系统
图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加 一幅值为X频率为ω的正弦信号,即 e=Xsinωt，则其输出为：
y A 0 A 1 st i B 1 n ct o A 2 s s 2 i t B n 2 c 2 t o s
它的数学表达式为
k
θi
b
2
;
θ0
k
θi
b
2
;
θ
m
sgn
θ0
;
θ＞ 0 θ＜ 0 θ 0
b 齿轮间隙
1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究
竟取那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。
2）系统中若有回环非线性元件存在，通常会使系统的输
出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动
假设:
1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=0 2）r(t)=0
3）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中各项高次
谐波滤掉，只剩一次谐波项。
5
则 y 1 A 1 st i B 1 c n t o Y 1 s s t i 1 n
其中
Y1
A12 B12
,1 arctan
设非线性系统的微分方程为 x 1xx0
当初始偏差 x0<1时,1-x0>0,方程具有负实根,相应的系统是稳定的 当x0>1时,1-x0<0,方程具有一个正的实根,系统为不稳定
非线性系统常会产生自持振荡
研究非线性系统的方法:
1）描述函数法---用于研究系统的稳定性和 自持振荡问题。
2）相平面法---只适用于一阶和二阶系统。 3）李雅普诺夫第二法。
态性能的恶化，甚至使系统产生自持振荡。
（3）死区特性
0
x＜Δ
y kx-Δsgnx x＞Δ
图8-3
2
死区非线性特性对系统的主要影响 1）使系统的稳态误差增大。 2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系 统抗扰动的能力。
3）使系统的输出在时间上滞后。
（4）继电器特性
0 ; -ma＜x＜a , x＞0
6
4）系统的线性部分具有良好低通滤波器的性能 ，经过 线性化后，非线性元件的输出与输入的关系为 ：
NXYX11
A12B12 arctBa1nN(X):非线性特性的描述函数
X
A1
图8-7 用描述函数表示非线性特性的系统
二、非线性元件描述函数的举例
（1）饱和非线性 由图8-8可知，输出y(t)是一个周期性的奇函数，因而它的傅氏
B1 A1
A1
1
2 0
y sin td t
B1
1
2 0
y cos td t
经过线性化处理后，非线性元件的输出是一个与其输入信号
同频率的正弦函数，仅在幅值和相位上与输入信号有差异。
非线性特性线性化的条件：
1）假设系统的输入r(t)=0 2）非线性元件的静特性不是时间t的函数
3）非线性元件的特性是奇对称的，即有 f1ef1e
y1
4M
sin
t
N X A1 4M
X X
图 8-10
图8-11 理想继电器型
9
（3）死区非线性
0
y t
k
X
sin
t
0
0 t t1
t1
t
t1
t1 t
A 0 0, B 1 0,1 0
y 1 t A 1 sin t
式中
A1
1
2
0
y t sin
td
1
2
X
X X X 图8-13 死区非线性的描述函数
如果在系统中有两个非线性元件相串联，处理的方法为 图8-14(b)所示：
图8-14 二个非线性元件相串联的系统
11
三、描述函数的负倒特性曲线
在分析非线性系统稳定性时，常用描述函数的负倒
特性曲线，或者称为负倒描述函数。饱和特性的
负倒特性为
级数展开式中没有直流项，也没有余弦项。即 A0=0，B1=0，
φ1=0
y1tYsint A1sint
式 中 4 A10 k 4s 0X 2yistin s ntidtn td t 2ksSitn dt
7
由于Xs2inkβXS ,故ssiinn βcoSs,β arcsinS 代入上式
X
X
A1
2k X arcsinS
π
X
S X
1
S
2
X
NX A1 2k arcsinS S
1
S2Biblioteka X π X X X
图 8-8
图8-9 饱和非线性的描述函数 8
（2）理想继电器型非线性
由图8-10可知
A0 0, B1 0,1 0,于是得
A1
2M
0 sin
td t 4 M
第一节 非线性系统的概述
一、典型的非线性特性
（1）饱和特性
ykx; ymsgnx;
x＜0x x＞0x
图8-1
系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大
幅度地减小，从而导致系统的过滤过程时间增
加和稳态误差变大。
（2） 回环特性 图(a)为齿轮传动中间 隙，图(b)为齿轮传动 的输入、输出特性。
图8-2 1
y0bsgnx;;
-a＜x＜ma , x＜0 x ma
b ;
xma , x＜0
-b ; xma , x＞0
继电器非线性特性一般会使系统产生 自持振荡，甚至系统不稳定，并且使 稳态误差增大 。
图8-4
3
二、非线性系统的特点
1）非线性系统的输出与输入间不存在着比例关系,且不适 用叠加原理。
2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而 且也与初始条件和输入信号的大小有关。 下面举例说明初始偏差对系统稳定性影响
（1）理想继电器特性(m=0) 理想继电特性的描述函数： N(X) 4M
X
它是一个实函数，其负倒特性为
1 X
N(X) 4M
负倒特性曲线如图8-16所示
x(t) M
1
1
N(X) 2k[s i1n (X S)S A1(X S)2]
可内见绘，出当饱X为和定特值性时的，负 N倒(1X )特为性一曲负线实如数图。8在-1复5平所面示，
图中箭头表 示X增大时，负倒特性曲线的变化方
向。
Im
1
X
N (X)
X S
Re
1
0
k
图8-15 饱和特性负倒特性
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下面进一步讨论继电特性的几种特殊情况