2019-2020年高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲义教案
(完整word版)2019-2020年高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案
2019-2020年高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案、平面1. 平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2. 平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3•空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形付号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：.如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别•通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性•在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得，推论2经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交一一有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等5空间两条异面直线的画法6. 异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：A , B ,l ,B l 与是异面直线7. 异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：&异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直.两条异面直线垂直，记作. 9.求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式10 两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直．相．交．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“ 相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为: ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: ．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l ,m? ,l //m l // ．3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l // ,l ? , I m l//m ．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：，，，，．7 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：alb P,a 刎，b ,a I b P,a 刎V ,b ,a//a,b//b // .8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：// , I a, I b a//b．9 面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直1 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a丄a2 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面, 那麽这两条直线平行4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直, 垂直5.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直， 那麽它也和这条斜线的射影垂直PO ,0推理模式：PAI A a AO .a , a AP注意：⑴三垂线指 PA PQ AO 都垂直a 内的直线 a 其实质是：斜线和平面内一条直 线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用6两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7.两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：，.&两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：① 证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行; ② 证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直五、空间向量及其运算1空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2.空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算： 运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律： ⑶数乘分配律：3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做 平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一 条直线上，所以平行向量也叫做 共线向量.向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个 实数入，使=入4 共线向量那么它说明：(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线 的垂直天系；P Q,0 (2)推理模式： PAI A a PAa,a 0AP/-” Q .//推理模式:Il,a? ,aAa如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或// ）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5.共线向量定理：空间任意两个向量、（工）,//的充要条件是存在实数入，使=入推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点Q点P在直线上的充要条件是存在实数t 满足等式.其中向量叫做直线的方向向量6 空间直线的向量参数表示式：或，中点公式 .7. 向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8. 共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使①或对空间任一点，有②uuur uuur uuur uuuur或QP xQA yQB zQM,（ x y z 1）③上面①式叫做平面的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：11. 向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：12. 向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫uuuur uuurr r r r做向量在轴上或在上的正射影的长度|AB | | AB |cos a r,e r |a r e r |.13. 空间向量数量积的性质：（1 ）.（2）.（3）.14. 空间向量数量积运算律：r r r（1）（ a） b （a b） a （ b）.（2）（交换律）.（3 ）（分配律）六、空间向量的坐标运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2. 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向 量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标.3. 空间向量的直角坐标运算律：(1) 若，，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标4模长公式：若，，6•两点间的距离公式：若，，、(X 2 xj 2 (y 2 y i )2 (Z 2 z), 或 d A,B(X 2 X i )2 (y 2 y i )2 亿 乙)2 七、空间角i •异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角) 取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围:2.求异面直线所成的角的方法： (i )几何法；(2)向量法3•直线和平面所成角(i )定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0角直线和平面所成角范围：0,(2) 定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜 线所成的一切角中最小的角4.公式：平面 的斜线a 与 内一直线b 相交成B 角，且 成i 角，a 在上的射影c 与b 相交成2角，则有k3 a >a2bn3 a bb 2 aRR3 aaa,aa,/V raaabbaar b〃odaab 22 a■QZ2yy >y2X1,X2B A 贝a b r洛| |b|UUU ;uuu 2则|AB| .AB.为了简便，点通常5.夹角公式:a ib i a ?b 2 a s b ?5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；6.二面角的平面角：(1)过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角(2)一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角说明：①二面角的平面角范围是；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7.二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：，其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小9•三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线所成的角：；⑵直线与平面(法向量)所成的角：；⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量八、空间距离1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线.3.公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4•两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5 •公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6•两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)&两个平行平面的公垂线、公垂线段：(1)两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线(2)两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段(3)两个平行平面的公垂线段都相等(4)公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9 •两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10.七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，其中⑵直线与平面之间的距离:，其中是平面的法向量⑶两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量 ⑷点A 到平面的距离： ，其中，是平面的法向量 另法：点平面⑸点A 到直线的距离：LUU r 2 UUU AB a |AB|2A B a ，其中，是直线的方向向量 |a|⑹两平行直线之间的距离：UUU r 2 AB a—B r — ，其中，是的方向向量|a|九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的 面，两个面的公共边叫多面体的 棱，棱和棱的公共点叫多面体的 顶点，连结不在同一面上的两个顶 点的线段叫多面体的对角线2 •凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这 样的多面体叫凸多面体•如图的多面体则不是凸多面体3.凸多面体的分类： 多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体 等4•棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫 棱柱两个互相平行的面叫棱柱的 底面(简称底)；其余各面叫棱柱的 侧面；两侧面的公共边 叫棱柱的侧 棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)5. 棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫 斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫 直棱柱 底面的 是正多边形的直棱柱叫 正棱柱棱柱的底面可以是三角形、 四边形、五边形……这样的棱柱分 别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6. 棱柱的性质(1 )棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等 的矩形；(2) 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形； (3) 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体•侧棱与底面垂 直的平行六面体叫 直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体 长方体，棱长都相等的长方体 叫正方体.&平行六面体、长方体的性质(1) 平行六面体的对角线交于一点且互相平分.(2) 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的倍。
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
D
C
显然 , MD 为 EN 的中垂线 . 有 EM ＝ MN .
E
由 BM 2＋BE2＝BM 2＋NC 2＝ MD 2＋ DN 2＝ MN 2＝ EM 2, 可知△ BEM 为直角图三６角
形, ∠ MBE ＝90°. 有∠ ABC ＋∠ ACB ＝∠ ABC ＋∠ EBC＝90°. 于是 , ∠ BAC ＝90°．
∠ MDN ＝90°. 如果 BM 2＋CN 2＝DM 2＋ DN 2, 求证： AD 2＝ 1 ( AB 2＋ AC 2). 4
证明： 如图 6, 过点 B 作 AC的平行线交 ND延长线于 E. 连 ME.
M
A N
由 BD ＝ DC , 可知 ED＝ DN . 有△ BED≌△ CND . 于是 , BE＝ NCB .
2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条
加平行线 , 将某些线段“送”到恰当位置 , 以证题 .
, 常可通过添
例 3、在△ ABC 中 , BD 、CE 为角平分线 , P 为 ED 上任意一点 . 过 P 分别作 AC 、 AB 、BC
的垂线 , M 、 N 、 Q 为垂足 . 求证： PM ＋PN ＝PQ . 证明： 如图 3, 过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F, 过点 F 作 BC 的
DB . 过 D 作 AB 的垂线 , 交半圆于 C. 求证： CD 平分 EF.
CF E
证明： 如图 7, 分别过点 E、 F 作 AB的垂线 , G、H 为垂足 , 连 FA、EB.
易知 DB 2＝FB2＝ AB · HB, AD 2＝ AE2＝ AG ·AB .
A G DOH
B
二式相减 , 得 DB 2－ AD 2＝ AB · ( HB －AG ), 或 ( DB －AD ) · AB ＝ AB ·( H图B７－ AG ).
2019-2020年高中数学 2.1.1平面精品教案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学 2.1.1平面精品教案新人教A版必修2（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识4．注意事项课后作业2.1第一课时 习案学生独立完成备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a α． 同理可证b α，c α．∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c α． 同理可证d α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C 确定平面A 1C A 1C 平面A 1CO ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D C BAαb adcG F EA a bcd αH K图1图2又O∈A1C平面BC1D∩直线A1C = OO∈平面BC1DO在平面A1C与平面BC1D的交线上.AC∩BD = MM∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C = C1MO∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上..。
2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义数列教案
一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n,….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列｛a n｝的一般形式通常记作a i, a2, a3,…，a n或a i, a2, a3,…,a n….其中a i叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项.定理1 若S表示｛a n｝的前n项和，贝U S i=a i,当n>1时，a n=S-S n-i.定义2等差数列，如果对任意的正整数n,都有a n+i-a n=d (常数)，则｛a n｝称为等差数列，d叫做公差.若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d, c=b+d.定理2等差数列的性质：1 )通项公式a n=a i+(n-1)d ；2)前n项和公式：S= ——= na t n(n_。
d ；3) a n-an=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4)若n+m=p+q,2 2则a n+a m=a p+a q；5)对任意正整数p, q,恒有a p- a q=( p- q)( a2- a i) ；6)若A, B至少有一个不为零，则｛a n｝是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n,都有，则｛a n｝称为等比数列，q叫做公比.定理3等比数列的性质：1) a n=a i q n-i; 2)前n项和S n,当q i时，S n=；当q=1时，S n=na i；3) 如果a, b, c成等比数列，即b2=ac( b0)，则b叫做a, c的等比中项；4)若m+n=p+q,则ana n=apa q. 定义4极限，给定数列｛a n｝和实数A若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n€ N,都有| a n- A|< ,则称A 为n f+8时数列｛a n｝的极限，记作定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛a n｝的公比q满足| q|<1 ,则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)定理3第一数学归纳法：给定命题p(n),若：(1) p(n。
2019-2020学年高中数学 第2章平面解析几何初步复习与小结教案 苏教版必修2.doc
2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案
苏教版必修2
教学目标：
1．复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用；
2．掌握典型题型及其处理方法．
教材分析及教材内容的定位：
本章研究平面直角坐标系中直线与圆的有关知识以及空间直角坐标系，是高中知识的重点内容，也是高考的高频考点；充分体现了高中数学的坐标法方程法的解题思想．
教学重点：
《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类．
教学难点：
《平面解析几何初步》的重点题型的处理方法．
教学方法：
导学点拨法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境；
2．问题：本章我们学了哪些内容？
二、学生活动
1．回顾本章所学内容；
2．在教师引导下归纳本章知识结构；
3．在教师引导下做例题和习题．
三、建构数学
1．知识分析；
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．全章知识总结；
2．题型与方法总结；
3．数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想总结．。
高中数学竞赛平面几何讲义
高中平面几何(叶中豪话题几何问题的联系和转化解题和编题的一些规律调和点列,反演与配极,调和四边形完全四边形及其 Miquel 点例题和习题1. △ ABC 中, AB =AC , BD ⊥ AC 于 D , E 在 AC 延长线上,且 CE =CD , F 在CA 延长线上,且 AF = 12CD 。
求证:BE ⊥ BF 。
2. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点,由 C 引 AB 的垂线, D 为垂足。
分别在半圆上截取 AE =AD , BF =BD 。
求证:CD 平分 EF 。
3. 已知半圆的直径 AB 的长为 2r ,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为T ,AT =2a (2a <2r , 半圆上有相异两点 M 、 N , 它们与直线 l 的距离 MP 、 NQ 满足 MP AM=NQAN=1。
求证:AM +AN =AB 。
l PQ T4. 在△ ABC 的边 BC 的延长线上取一点 D ,使 CD =AC ,△ ACD 的外接圆与以BC边为直径的圆交于 C 、 G 两点,直线 BG 、 AC 交于 E ,直线 CG 、 AB 交于F 。
求证:D 、 E 、 F 三点共线。
B5. △ ABC 内心为 I ,内切圆切 AB 、 AC 边于 E 、 F ,延长 BI 、 CI 分别交直线EF 于 M 、N 。
求证:S 四边形 AMIN =S △ IBC 。
B6. AC 是与 BD 垂直于 E 的直径, G 是 BA 延长线上一点,过 B 作 BF ∥ DG 交DA 延长线于 F ,作 CH ⊥ GF 于 H 。
求证:B 、 E 、 F 、 H 四点共圆。
7. 如图,圆 O 1和圆 O 2相交于 E 、 F ,过 E 作割线 AB ,使 AE =EB ,过 F 作割线CD , 联 AD 、 BC ,并过 A 作 AD 的垂线、过 B 作 BC 的垂线,设两条垂线相交于 P 点。
2019-2020年高中数学必修二教案：2-1《平面》
2019-2020年高中数学必修二教案：2-1《平面》教学目的1、正确理解平面的几何概念，掌握平面的基本性质；2、熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，熟练点线面关系符号语言的书写，会解决一些简单的几何问题.3、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质.教学重难点重点：1．掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性．2．平面基本性质的三条公理及其作用．难点：1．理解平面的无限延展性；2．集合概念的符号语言的正确使用教学过程一、复习引入高中新课程立体几何课程是在初中平面几何学习的基础上开设的，它以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用在初中，我们主要学习了平面图形的性质．平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形．平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形．因此，“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等．有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？在上一个章节，我们主要认识了几何体的外部结构特征，侧重研究几何的三视图与平面直观图，以及几何体的表面积与体积，这样的研究尚无法深入认识一个几何体的几何性质，要更好地认识一个几何体的性质，必须深入到几何体的内部，这就好比认识一个人，仅仅看到一个人的外表，是不能看到一个人的真正内涵，要认清一个人，必须观察他的思想行为．二、讲解新课1．平面的两个特征：①无限延展；②平的(没有厚度)平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1(1)．(2)直线与平面相交，如图1(2)、(3)； (3)两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画(如图2)．3平面的画法及其表示方法：(1)在立体几何中，常用平行四边形表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．(2)一般用一个希腊字母α、β、γ、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等．4．空间图形是由点、线、面组成的：空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示．图1lAα（1） （2） laβα（3）a βαB AβBAαβBA ααβa图 2点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =α⊂α=∅ A α=l β= 注意：集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言．(平面α外的直线a )表示α⊄a (平面α外的直线a )表示aα=∅或a A α=．5、平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．逻辑的三个规律以及公理化思想最初是由著名的博学家亚里士多德提出的，介绍1苏格拉底2柏拉图3亚里士多德4欧几里德5几何原本6徐光启7李善兰等.公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A aαα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．指出:今后所说的两个平面(或两条直线)，如无特殊说明，均指不同的平面(直线)． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合．或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．实例:(1)门:两个合页，一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚．公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．三、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”(1)可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． ( ) (2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．( ) (3)一个平面的面积为20 cm 2． ( )(4)经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面． ( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．如图所示，用符号表示以下各概念： ①点A 、B 在直线a 上；②直线a 在平面内；点C 在平面内； ③点O 不在平面内；直线b 不在平面内．答案：①,A a B a ∈∈ ②,a C αα⊂∈ ③,O b αα∉⊄ 3．①一条直线与一个平面会有几种位置关系． ②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图所示)，问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？答案：①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根 4．点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P (这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形)求证：P 在直线BD 上 证明：∵EHFG P =，∴P EH ∈，P FG ∈，∵,E H 分别属于直线,AB AD ， ∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ， 同理：P ∈平面CBD ， 又∵平面ABD平面CBD BD =，所以，P 在直线BD 上． 四、课堂小结： 1．平面的概念；2．平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；3．点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换 4．平面的基本性质三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、课后作业：教材第51页习题2.1A组第1、2、5题；。
高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)
HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE
AB
A'
F
=
1 2
s
in
A
EF
A
C
A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
高中奥赛数学竞赛专题讲座-平面几何
（一）、平面几何的几个重要的定理 1、梅涅劳斯定理及其逆定理
若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 P、Q、R，
(3)∠BIC=90º+ 1 ∠A，∠CIA=90º + 1 ∠B，∠AIB=90º+ 1 ∠C.
2
2
2
例题：如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内切于 △ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求证：
线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.
分析：设小圆圆心为 O1 ，⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D，连 AO1 ， 显然 A O1 ⊥PQ，且△ABC 为等腰三角形， 所以 A O1 过△ABC 的外接圆，D 在 A O1 的延 长线上，从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的 平分线的点，下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此，连接 OB、PD、QD，由对称性易知， OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC， 故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
ABCD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD,ABE和ACD相似
AB BE AB CD AC BE又 Q AB AE
AC CD
AC AD
且BAC EAD ABC和AED相似
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC (BE ED)
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(16)平面几何
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（16）平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。
塞瓦定理 设分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有AP 2=AB 2•+AC 2•-BP •PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。
（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且二、方法与例题1．同一法。
即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。
例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。
2019-2020年高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲义教案
2019-2020年高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲义教案一. 基本图形与基本结论用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！） 发现了什么基本图形?有什么基本结论可以利用么? 从（几十个）基本图形、基本结论入手:1. (三角形的内切圆、旁切圆的性质)基本图形：三角形的内切圆、旁切圆，及其在边上的切点.基本结论一: 三角形内切圆的性质（可用a 、b 、c 表出与切点有关的诸线段.） 2AM ＝AB ＋AC ＋BC ＝2p ；2AG ＝AB ＋AC －BC ；GM ＝BC 等. [参练习1图] 基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D 为内切圆的切点，F 为旁切圆的切点，则有BD ＝CF ＝CM ＝p －b ；S ＝p r ； S ＝（AB ＋AC －BC ）A r ÷2等. [参练习1图]2.(圆与弧、角，三角形五心的性质)基本图形：三角形及其外接圆，外心，内心.基本结论三: 三角形角B 平分线与其外接圆的交点G 有性质: GI ＝GA ＝GC ； ∠BIC ＝90°＋21∠A ；∠BOC ＝2∠A ；abc ＝4RS 等．A基本结论四:顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等．顺向全等的三角形（如△ADE 与△GOI ）的定义: 两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同. 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各对应边的夹角同为锐角或钝角.3. (圆与幂，证两线垂直的新法)与圆的幂，与证线段垂直有关的 问题！基本结论五: 一点关于一圆的幂： PR ·PC ＝PO 2－r 2.基本结论六: 两线垂直的条件 AO ⊥AQ 2－AP 2＝OQ 2－OP 2.4.(圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸)基本结论七: 一角为直角、锐角、钝角的条件当CH ⊥AB 时，∠BCA CH 2＝AH ·BH ； ∠BCA CH 2＞AH ·BH ； ∠BCA CH 2＜AH ·BH. 要证∠RIS 是锐角,只要证:BI ⊥SR ，BI 2＞BS ·BR.证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．A※5.（多圆与等幂轴，即根轴的性质）一个与圆的根轴有关的问题．根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．基本结论八: 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上．由任意点P 到两圆O 、O 1的切线PE 、PF ，有PE 2－PF 2=2PH ×OO 1. （PH 垂直于根轴，H 为垂足.PE ＞PF.）※6．（三角形诸要素间的关系）基本结论九：三角形的内半与外半 r ＝4R sin2A sin 2B sin 2C； 2r ≤R ； 基本结论十： 三角形的角 sin 2A＝()()bcc p b p --；三角形的角平分线a t ＝()a p bcp c b -+2＝2cos 2Ac b bc +．二. 常用的辅助线添法用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！这样添辅助线，你是怎么想到的? 是从什么情境 中想出来的?想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法．7.(对称添线，从结论想到的)考虑到∠ADE ＝∠ADF ，为了把DE 与DF 拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系作出E 点关于BC 的对称点E 1，使新四线段CE 1、CF 、DE 1、DF 大致能形成一个三角形.． 可能还要利用塞瓦图景！8.(平移添线，使分散的线段BE 、CF 、AD 集中到一处)C把线段EB 、FC 平移到DI 、DJ 处，与AD 集中在一个四边形AIDJ 中！于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式的方向相同，可能用四边形的托勒密定理证线段的不等关系么？．9.(旋转添线，构造全等形)两个结论，证明了一个，另一个即“同理可证”．考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件BC ＝CD ！绕着C 点旋转图形的一部分：把△CDF 转到△CBH 处！这就增多了CHBA相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！※ 10.(距离比,三角法)先证A 、C 、U 共线（余仿此！）.考察相交线形成的角的图景：即APUS 与CRUQ 两个四边形形成的图景．利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到AP ＝AS ；CR ＝CQ 等．※ 11．(由要用的证法想到了辅助线)有多种证法！一种想法是：欲利用三圆的等幂轴共点的性质来证．这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角线恰好为每两个圆的一条等幂轴．——想法引导出辅助线的一例．三. 常用方法平几题有多种非纯几何证法！这也反映 了平几与数学各科的紧密联系与优势． 三角法,向量法,代数法, 解析法，面 积法等12.(三角法, 充要条件)三角法的要点是；设定能确定本问题情境的几个基本量后，使重要的相关量都能用基本量表示出来．基本量:R 、α（∠ACD ）、β（∠BCE ），再BP令∠DCE ＝γ.以R 、α、β（γ）为基本量,如何表出PQ,AP,BQ?13.(向量法，比例关系)向量法的要点是：选定几个向量为基向量后.重要的相关向量均能用基向量表示出来. 取任一点为原O 点，以OP 、OQ 、OA 、OB 为基向量．14. (代数法,几何最值)只要证什么？可归结为证什么？；先把问题三角化，转化为证一个与半角相关的不等式； 再令x A2sin，化为证一个代数不等式——代数化.15.( 对称法,三角法)中垂线，角平分线作为图形的对称轴！ 只要去证相关的面积比为1.用什么面积公式比较合适?把各个比集中到一直线上，以便化简.YB※ 16.( 分析法)圆的角；共圆点．多处梅涅劳斯图景． 要证这个，可化归为证什么？ 一步步倒推分析！※17．(同一法)CD ⊥AB 与 CH ⊥AB 且DH ⊥AB 同一．因为过一点只能作某直线的一条垂线.四. 思路的方向思路的方向与选择合适的方法，这两者都很重要: 你自以为，解题要点、思路方向选准了么? 从题情出发，试选择一种合适的方法!BCB18.(代数法，几何计算)求三角形的面积的公式： S ＝p r ＝()()()c p b p a p p ---＝22R sin A sin B sin C ＝Rabc4. 猜想的作用: 可能有: △BGF ∽△CGE. 如果相似的话…，怎样证明它们相似? 地位对等的利用.比如，对于△BGF 与△CGE ，同理可证!!19.（同一法，利用同理可证！！）证三点共线的方法： 综合法，同一法，向量法.P 点关于△ADC ，与Q 点关于△ABC 地位对等.DDB20.(多个托勒密定理的图景)条件利用于添辅助线；托勒密定理的图景. 要求最小值的结论的启示: 最小值与不等式；要求f （P ）的最小值,就是要证f （P ）不小于某一个值.※21.（四边形各边中点图景，辅助线）三角形各边中点与中位线定理．y ＝EG ＋FH ，x ＝AC ＋BD. 于是,目标是推出: y ≤?x .因此,可以归结为推证:EG ≤?,FH ≤?.直线段不大于同端点的曲线段之和.BDSS※22.(阿氏圆)阿氏圆:到两定点的距离比为定值的点的轨迹.当AB∶AC为定值时，A点的轨迹为∠BAC的内、外角的平分线与BC的交点连线为直径的圆.此圆即称为阿氏圆.又有性质：∠CAP－∠BAP＝2∠FAP.F1。
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(8)平面向量
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（8）平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。
画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。
定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2 λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx 1y 2=x 2y 1, abx1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P 分所成的比，若O 为平面内任意一点，则。
高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲义教案
平面几何图形集 2010 • 07浙江奥数网专家过伯祥一.基本图形与基本结论用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！ ）发现了什么基本图形？有什么基本结论可以利用么 ？ 从（几十个）基本图形、基本结论入手 ：1.（三角形的内切圆、旁切圆的性形: 内切在占八、、- 切圆的性质（可用 a 、b 、c 表出与切点有关 质）基本图 三角形的 切圆、旁 圆，及其 边上的切 基本结论 三角形内 的诸线段.） 2AM = AB + AC + BC = 2 p ; 2AG = AB + AC — BC ; GM = BC 等.［参练习 1 图］ 基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D 为内切圆的切点，F 为旁切圆的切点，则有 BD= CF = CM=p — b ； S = p r ; S =( AB + AC — BC ) r A - 2 等.［参练习 1 图］b5E2RGbCAP 2.（圆与弧、角，三角形五心的性质）基本图形：三角形及其外接圆， 外心，内心. 基本结论三:三角形角B 平分线与其外接圆的交点 G 有性质：GI = GA = GC ;1/ BIC = 90 ° +/ A ;/ BOC = 2 / A ; abc = 4RS 等.2基本结论四：顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等顺向全等的三角形（如 △ ADE 与厶GOI ）的 两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各 夹角同为锐角或钝角.3.（圆与幕，证两线垂直的新法）与圆的幕，与证线段垂直有关的 问题！ 基本结论五：一点关于一圆的幕：PR • PC = PO 2 — r 2.基本结论六：两线垂直的条件AO 丄 PQ .二~~r.AQ 2 — AP 2 = OQ 2— OP 2.4.（圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸）基本结论七：一角为直角、锐 角、钝角的条件 当CH 丄AB 时， / BCA 为直角CH 2 = AH • BH ；/ BCA 为锐角 <——?■CH 2 >AH • BH ；/ BCA 为钝角CH 2V AH • BH. BI 2> BS- BR.探5.（多圆与等幕轴，即根轴的性质）一个与圆的根轴有关的问题.根轴，是对两圆有等幕的点的轨迹 基本结论八：两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上.定义:对应边的要证/ RIS 是锐角，只要证:BI 丄SR证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆.是一条垂直于连心线的直线.AQPRMCOSBKMICL由任意点 P 到两圆0、O 1的切线 PE 、PF ,有ph — PF 2=2PH X 00 1 （PH 垂直于根轴，H 为垂足PE > PF.）4 R sin — sin B sin C ;22 2 2.常用的辅助线添法用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线! 这样添辅助线，你是怎么想到的 ？是从什么情境 中想出来的？ 想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法.7. （对称添线，从结论想到的）考虑到/BDC\ \ fE 1ADF,为了把DE 与DF 拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系作出E 点关于BC 的对称点E 1，使新四线段CE 、CF 、DE 、DF 大致能形成一个三角形 可能还要利用塞瓦图景！6.（三角形诸要 素间的 关系）基本 结论九： 三角形的 内半与外 半r =基本结论十：三角形的角.Asin -2p -b p -c .be三角形的角平分线a _b +c2 -----------------,bep p -a =A cos — • b e 22bc相等线段、相等角，与比例线段、平行线等.可以一试！ plEanqFDPw8. （平移添线，使分散的线段 BE CF AD 集中到一处）把线段EB FC 平移到DI 、DJ 处，与AD 集 边形AIDJ 中！于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式 同，可能用四边形的托勒密定理证 线段的不等关系么？.9. （旋转添线，构造全等 形）两个结论，证明了一个，另一 个即 “同理可证”.考虑到圆内接四边形的外角的 性质及条件BC -CD绕着C 点旋转图形的一部分: 把△ CDF 转到△ CBH处！这就增多了中在一个四的方向相ACI探10.（距离比,三角法）先证AC U 共线（余 仿此！）.考察 相交线形成的 角的图景：即APUS 与 CRUQ两个四边形形 成的图景.利用锐=AS; CR= CQ等.探11.（由要用的证法想到了辅助线）有多种证法！一种想法是：欲利用 三圆的等幕轴共点 的性质 构造出三个适当的圆，使三条对角线恰好为每两个 轴.——想法引导出辅助线的一例.DXDiTa9E3d角三角函数，比例线段与相似形.注意到APBTPA SQUIS三.常用方法平几题有多种非纯几何证法！这也反映了平几与数学各科的紧密联系与优势.三角法，向量法，代数法，解析法，面积法等12.（三角法，充要条件）三角法的要点是；设定能确定本问题情境的个基本量后，使重要的相关量都能用基本量表示来.基本量:R、a （/ ACD、B （/ BCE,再/ DCE= 丫.以R、a、B（Y）为基本量，如何表出PQ,AP,BQ?13.（向量法，比例关系）向量法的要点是：选定几个向量为 基向量后•重要的相关向量均能 用基向量表示出来. 取任一点为原 0点，以OR OQ OA 0B 为基向量.As ix ，化为证一个代数不等式——代数化.2中垂线，角平分线作为图形的对称轴！ 只要去证相关的 面积比为1.用什么面 较合适?把各个比集中到一直线上，以便化简•探16.（分析法）圆的角；共圆点.多处 梅涅劳斯图景 要证这个，可化归为证什么？Y14.（代数法,几何最值）只要证什 么？可归结 为证什么？； 先把问题三角 化，转化为证 一个与半角相 关的不等式； 再令15.（对称法,三角法）积公式比RQ步步倒推分析！滋17.（同一法）BCD± AB与CH L AB且DH L AB同一.因为过一点只能作某直线的一条垂线四•思路的方向思路的方向与选择合适的方法，这两者都很重要：你自以为，解题要点、思路方向选准了么？从题情出发，试选择一种合适的方法18. （代数法，几何计算）求三角形的面积的公式：S=p r =pp-a p-b p-c2 R2 sin A sinB si n C=abc4R .猜想的作用：可能有：△ BGF^A CGE.如果相似的话…，怎样证明它们相似地位对等的利用.比如，对于△ BGF与△ CGE同理可证!!19. （同一法，利用同理可证！ !）证三点共线的方法：综合法，同一法，向量法P点关于△ ADC与Q点关于△ ABC地位对等.20. （多个托勒密定理的图景）CDB0’条件利用于添辅助线； 托勒密定理的图景• 要求最小值的结论的启示：最小值与不等式;探21.(四边形各边中点图景，辅助线)三角形各边 中点与中位线定理.y = EG+ FH, x = AC + BD. 于是,目标是推出：y <?x .因此,可以归结为推证：EG W ?,FH < ?.直线段不大于同端点的曲线段之和为定值时，A 点的轨迹为/ BAC 的内、线与BC 的交点连线为直径的圆.此圆即称为阿氏圆. 又有性质：/ CAP-/ BAP= 2/ FAP要求f (P )的最小值，就是要证(P )不小于某一个值22. (阿氏 圆)阿氏圆：到 两定点 的距离 比为定 值的点 的轨迹.当AB ： AC的平分外角SRTCrpUDGiTC F1F。
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8. ( 平移添线，使分散的线段 BE、 CF、AD集中到一处 )
A
A
G
D
B E
C
F P
I
B E
把线段 EB、 FC平移到 DI、 DJ 处，与 AD集
中在一个四边形 AIDJ 中！
于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式
的方向相同，可能用 四边形的托勒
密定理 证线段的不等关系么？．
C
O
I
E
B
基本图形： 三角形及其外接圆， 外心， 内心 .
基本结论三 : 三角形角 B 平分线与其外接圆的交点 G 有性质 : GI ＝GA ＝ GC；
1 ∠ BIC＝ 90 °＋ ∠ A ；∠ BOC＝ 2 ∠ A； abc ＝4RS 等 ．
2
基本结论四 :顺向全等的三角形保角 ，即对应边的夹角保持相等 ．
顺向全等的三角形（如 △ ADE 与△ GOI）的
定义 :
A
两三角形全等； 且对应顶点的排列顺序相同 .
顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各
对应边的夹角同为锐角或钝角 .
3. ( 圆与幂，证两线垂直的新法 )
与圆的幂，与证线段垂直有关的
P RN
M
问题！ 基本结论五 : 一点关于一圆的幂： PR· PC＝ PO2 － r2.
※ 10. ( 距离比 , 三角法 )
B Q
T P
A
S U
ZQ
P A
X
U WS
D
C R
R
C
Y
先证 A、 C、 U 共线（余仿此！ ） . 考察 相交线形成的角的图景 ：即 APUS与 CRUQ两个四
边形形成的图景．
利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到
AP＝ AS；CR＝CQ等．
※ 11．( 由要用的证法想到了辅助线 )
CH 2＝ AH · BH ；
∠ BCA 为锐角
CH 2＞ AH · BH ；
∠ BCA 为钝角
CH 2＜ AH · BH.
要证 ∠ RIS 是锐角 , 只要证 :BI ⊥ SR，BI 2＞ BS·BR.
证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．
※ 5. （多圆与等幂轴， 即 根轴的性质）
向量法的要点是： 选定几个向量为 基向量 后 . 重要的相关向量均能 取任一点为原 O点，以 OP、 OQ、 OA、OB为基向量．
用基向量表示 出来 .
Y X
T
C
D
N A
P
M
B Q
X
C T1
A N1
T N D1 B1
Y D B
M
P
Q
14. ( 代数法 , 几何最值 )
C
只要证什么？可 归结为证什么 ？；
一个与圆的根轴有关的问题． 根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹 ，是一条垂直于连心线 的直线．
基本结论八 : 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在 根轴上．
由任意点 P 到两圆 O、 O 1的切线 PE、 PF，有 PE2 － PF2=2PH × OO 1. （ PH垂直于根轴， H为垂足 .PE＞ PF. ）
质)
B
B
基
本
K
K
图
形：
J
P
三
J
P
角
C
C
DL
A
形
MT D
L
A
的
内切圆、 旁切圆，及其在边上的切点 .
基本结论一 : 三角形内切圆的性质（可用 a 、 b 、 c 表出与切点有关的诸线段 .）
2AM ＝ AB＋ AC ＋ BC＝ 2 p ； 2AG ＝ AB＋ AC－ BC； GM ＝ BC 等 . [ 参练习 1 图 ]
A
A1
S O
T O1
D C
D1 B
B1
l
H
P
F
O
O1
E
※6．（三角形诸要素间的关系）
基本结论九：三角形的内半与外半
r ＝ 4 R sin A sin B sin C ； 2 r ≤ R ； 222
基本结论十： 三角形的角
sin A ＝ 2
p bp c
；
bc
三角形的角平分线 ta ＝ 2 bcp p a ＝ 2bc cos A ．
bc
bc 2
二. 常用的辅助线添法
用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！ 这样添辅助线，你是怎么想到的 ? 是从什么情境 中想出来的 ? 想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法．
7. ( 对称添线，从结论想到的 )
A
M
A
N
FP
E
F PE
B
D
C
B
C D
E1
考虑到∠ ADE＝∠ ADF，为了把 DE与 DF 拉直！用 三角形不等式 证明线段的不等关系 作出 E 点关于 BC的对称点 E1，使新四线段 CE1、 CF、 DE1、 DF 大致能形成一个三角形 . ．
可以 归结为推证 :EG≤ ?,FH≤ ?. 直线段不大于同端点的曲线段之和 .
P
F A Q B G
P
F
M
E
E
D
A
P1
D
N
S
S
Q
Q1
V
U S1
C
B
R1
C
H
G
H
R
R
※ 22. ( 阿氏圆 )
阿氏圆 : 到两定点的距离比为定值的点的轨迹 . 当 AB∶AC为定值时， A 点的轨迹为∠ BAC的内、 外角的平分线与
四. 思路的方向
思路的方向与选择合适的方法，这两者都很重要
:
你自以为，解题要点、思路方向选准了么 ?
从题情出发，试选择一种合适的方法 !
18. ( 代数法，几何计算 )
A I F
GH E
A
I F
GH E
B
D
CB
D
C
求三角形的面积的公式： S ＝ p r ＝
p p a p b p c ＝2 R2 sin Asin Bsin C＝ abc . 4R
A
9. ( 旋转添线，构造全等
形)
J D
C PF
A
E
G
B C
F D
E
G
F
BM
两个结论，证明了一个，另一
个即
“ 同理可证 ”．
考虑到圆内接四边形的外角的
性质及条件 BC＝ CD！ 绕着 C 点旋转图形的一部分：
H
把△ CDF转到 △ CBH处！这就增多了
C
D
相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！
L
K Q
O
P
A
B
R
※ 16. ( 分析法 )
圆的角；共圆点．多处 梅涅劳斯图景 ． 要证这个，可化归为证什么？ 一步步 倒推分析 ！
A
E
M
B
G
N
D
F
C
※17．( 同一法 )
C
D M
NQ PCD NhomakorabeaG
M
HN
A
A
O
B
OK
B
CD⊥ AB与 CH⊥ AB且 DH⊥ AB同一 ．因为过一点只能作某直线的一条垂线 .
的圆 . 此圆即称为阿氏圆 .
又有性质：
∠ CAP－∠ BAP＝2∠ FAP.
BC 的交点连线为直径
A
P
B
F
C
F1
12. ( 三角法 , 充要条件 )
三角法的要点是； 设定能确定本问题情境的 几个基本量 后，使重要的相关量都能 用基本量表 示出来．
基本量 :R 、α（∠ ACD）、β（∠ BCE），再
A
C P
D
Q
E
B
令∠ DCE＝ γ .
以 R、α、β（γ）为基本量 , 如何表出 PQ,AP,BQ?
13. ( 向量法，比例关系 )
基本结论二： 三角形 内切圆与 旁切圆性质： 若 D 为内切圆的切点， F 为旁切圆的切点，
则有 BD＝ CF＝CM ＝ p － b ； S＝ p r ； S＝（ AB＋ AC －BC） rA ÷ 2 等 . [参练习 1 图 ]
2. ( 圆与弧、角，三角形五心的性质 ) G
A D
C
O I
E
B
A D
先把问题 三角化 ，转化为证一个与半角相关的不等式；
A 再令 sin
x ，化为证一个代数不等式——
代数化 .
2
hc
B1 B
DA
15. ( 对称法 , 三角法 )
C
中垂线，角平分线作为 图形的对称轴 ！
只要去证相关的 面积比 为 1. 用什么面 积公式比较合适 ?
把各个比集中到一直线上，以便化简 .
l
B O
基本结论六 : 两线垂直的条件
AO ⊥ PQ AQ 2－ AP2＝ OQ 2－ OP 2.
Q C
4. ( 圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸 )
S
B
R
S
B
R
K
I C
L
M A
K I
C L
M A
基本结论七 : 一角为直角、锐角、钝角的条件
当 CH ⊥ AB 时，
∠ BCA 为直角
2019-2020 年高中奥数 《平面几何图形集》 竞赛辅导专家精品讲
义教案
一. 基本图形与基本结论
用综合法解平几题，一般可先问： （每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！ ）