第四章(2)

(二)低阶位系数的物理意义
k 从(4-1-7)知，位系数An 和Bn 取决于质体的形状、大小及密度 分布，但从该式还看不出它们具体的物理意义.现在我们来计算直 k An和Bnk 的具体表达式，将它们与吸引质体的力学 至二阶的位系数 参数联系起来.
k
Pnk (cos ) 的具体表达式代人(4-1-7)，然后将球 根据(3-3-32)把
质体绕x, y,z轴的转动惯量分别为
A ( y z )d , 2 2 B ( z x )d , 2 2 C ( x y ) d ;
2 2
(4-1-12）
质体的惯性积分别为
D xyd E yzd F zxd
2 (n k )! n V ( ) 1 (n k )! M ( a ) P n (cos ) n 0 k 0 k fM

以M表示质体的质量，则我们可将(4-1-5)改写成
a
n n
Pnk (cos )(cosk cosk sin k sin k)d ,

，
(4-1-2)
将球函数的加法公式写成
1 (n k )! k Pn (cos ) Pn (cos ). k 0 1 k (n k )!
n
P (cos )(cosk cosk sin k sin k),
k n
(4-1-3)
然后代入(4一1一2)，得
在直角坐标系Oxyz中，取另外一个轴u，它与x,y,z轴的 夹角分别是 , , ，如图4-2所示。用r表示空间任意一 点M(x, y,z)到u轴的距离，则质体绕u轴的转动惯量是
下面我们首先将J u 。表示成A,B,C,D,E,F和, , 的函数式， 然后研究J u 的性质，找出使D=E=F=0的坐标方向。
第四章 球函数的应用
4. 1引力位展开成球函数的级数和位系 数及其物理意义
为了说明球函数在位理论中的重要性，我 们首先将引力位表示成球函数级数的形式。
(一)质体引力位展开成球函数的级数
图4-1
如图4-1所示，质体r在P点的引力位是
V f d ， (4-1-1） r 其中，f是万有引力常数，是密度，r是体积元到P点 的距离。

(4 1 9a)
1 2 A ( ) (3 sin cos ) cos d 3 M a 1 xzd Ma 2 1 2 1 B2 ( ) (3 sin cos ) sin d 3 M a 1 yzd 2 Ma 1 2 2 A2 ( ) (3 sin 2 ) cos 2 d 12 M a 1 2 2 2 2 sin (cos sin ) 2 4 Ma 1 2 2 ( x y ) d 2 4 Ma 1 2 2 2 B2 M ( a ) (3 sin ) sin 2 d 12 1 2 sin 2 sin cos d 2 Ma 2 1 xyd 2 Ma 2
(4-2-12)
其中，一阶位系数已消失，二阶位系数为
(4-2-13)
要注意,(4-2-12)和(4-1-8)的不同只是由于选择了特别的坐标 系而得到了一些简化，并不改变其收敛性及有效区域。
由推导过程可以看出， 的取法有一定的随意性，改变 k 的值会引起Ank 和Bn 的值改变，但并不影响级数的值及收 敛性，甚至 的值可以不满足 >max ( )。一般地，我们用 一个旋转椭球体作为实际地球的初级近似，对称轴为短轴， 与地球自转轴同向，长半轴即为赤道半径。在用球函数级 数(4-2-12)表示地球的引力位时，我们就取为上述旋转 椭球体的长半轴。
注意到积分变量是 ， 和 ，引入位系数
k n
(4-1-6)
2 (n k )! n k ) cos k d A M ( a ) Pn (cos 1 k (n k )! , 2 (n k )! n k k Bn ( ) Pn (cos ) sin k d (4-1-7) 1 k (n k )! M a
(4-2-11)
这三条轴叫质体的主惯轴，若选取主惯轴为坐标轴， 则比较(4-2-10)和(4-2-11)知，D=E=F=0，再根据(41 1 2 A2 B2 B2 0 1-14)便知，此时 综合以上讨论知，如果选取质心为坐标原点，主惯 轴为坐标轴，我们可以将质体引力位的球函数级数展开 式写成
J 将(4-2-8)两端同除以 u，然后再将上式代入，得K点的轨迹方程
(4-2-10)
J 由于 u 既不等于零也不趋于无穷大，所以上述曲面上任意一点 到坐标原点的跳离都不等于零而且有限，就是说，该曲面是封 闭的。 另一方面，因为它是个二次曲面，所以必然是一个椭球面。 椭球面有三条互相垂直的轴，如果选择这三条轴为坐标轴， 则椭球面的方程中没有坐标的互乘项，它简化成
(一)球面函数的球函数级数展开式
上的正交函数系，我们定义任意球面函数f ( , )的球函数级 数展开式为
(4-3-4)
k An 和Bnk按如下方法定义:将上式中的求和指 其中的球函数系数
Pnk (cos ) cosk和Pnk (cos ) sin k 构成球面 类似地，面球函数
1 2
(4 1 9b)
上列式中的每一个积分都有特定的物理意义。质体的质 量为 (4-1-10）
M d

质体的质心坐标为
1 X0 xd , M 1 Y0 yd , M 1 Z0 zd ; M
(4-1-11）
但是，我们前面只是证明，该级数在以坐标原点为球心，将 地球完全包含在其内部的球面上及外部收敛，而对在地面与 上述球面之间的区域内是否收敛还没有作出说明。此后，除 特别说明之外，我们总是假设上述级数在我们考虑的区域内 收敛。另外，与(3-4-6)比较知，(4-1-8)表示的引力位是一个 调和函数，在地球外部才有意义，不能用它表示地球内部的 引力位，哪怕它在地球内部收敛。
2 (n k )! n k V f P (cos ) n 1 n n 0 k 0 1 k (n k )!
n
P (cos )(cosk cosk sin k sin k)d ,
k n
(4-1-5)
其中积分变量为 和 ，该式在 a>max ( )时成 、 立。
1 n 2 (n k )! n k P (cos ) n 1 n r n0 k 0 1 k (n k )! k Pn (cos )(cosk cosk sin k sin k),
（4-1-4）
这里，我们将， ， 理解为固定点P的坐标，将 ， ， 理解为积分流动元d 的坐标。将(4-1-4)代入(4-1-1)， 得
J u r d .
2
(4-2-1)

表示M点到坐标原点的距离， 表示M点的位置矢量， 用
则
xi y j zk,
(4-2-2)
由定义，沿u轴方向的单位矢量是
u cos i cos j cos k ,
所以，P在u轴上投影的长度是
(4-2-3)
我们可以将质体引力位的球函数级数展开式简单地写成
fM a n n k V ( ) ( An cosk Bnk sin k )Pnk (cos ). k 0 n 0
质点和质面引力位的球函数展开式相似。
(4-1-Байду номын сангаас)
最后，我们对(4-1-8)的收敛性作些说明。质体的引 力位是有限的，把它展开成级数时，只有级数收敛时才 有意义。当用(4-1-8)表示地球外部的引力位时，也只是 在该级数收敛的区域内有意义。
(4-1-13）
将这些定义式代入(4-1-9)，得
A0 1 Z0 X0 Y0 1 1 A1 , A1 , B1 a a a 1 ( A B) C F E 1 1 A2 2 , A2 , B2 Ma 2 Ma 2 Ma 2 B A D 2 2 A2 , B2 2 2 4 Ma 2 Ma (4-1-14)
u x cos y cos z cos ,
由此可以将r 2换算成x,y,z和 , 和 的函数，
(4-2-4)
由于 我们可将r 进一步化算成
2
最后，将上式代代入(4-2-1)，并利用(4-1-12)和(4-1-13), 得
可见，J由u轴的方向决定。 u 为了研究J u 随u轴方向的变化规律，我们在u轴上取一点 K，使OK =1/ J u ，则由于 J u 随u轴方向的不同而不同，当u轴 的方向变化时，K点的位置也在空间变化，K点的轨迹完全描述 了J u 对u轴方向的依赖关系。下面我们就来研究K点的轨迹曲 面，并以此为出发点找出适当的坐标系，使D=E=F=0.
4.3 球面函数展开成球函数级数
我们知道，正弦和余弦函数coskx和sinkx构成0,2 上的正交 函数系，若f(x)是以2 为周期函数并且在0,2 上是逐段光滑的， 则其付立叶级数展开式
(4-3-1)
处处收敛，并且
(4-3-2)
其中， k和 bk叫付立叶系数，定义为 a
(4-3-3) f(x+)和f(x-)表示分别由大于和小于x的两侧趋近时得到的极 限值。

以坐标原点为球心作一半径为a的球，将质体 完全包含在球内，则d 的矢径 总小于a，若P点 的矢径 不小于a，利用pn (cos ) 的母函数关系式 1 可将 展开成 r

1 1 2 [1 ( ) 2 cos ] r