数学归纳法课时作业

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课时作业5：一数学归纳法

第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法一、选择题1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确2．在数列{a n }中，a 1＝2－1，前n 项和S n ＝n ＋1－1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )A ．a n ＝n ＋1－1B ．a n ＝n n ＋1－1C ．a n ＝2n －nD ．a n ＝n ＋1－n3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋25．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，则a ，b 的值可以等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝36．某个命题与正整数n 有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立二、填空题7．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________________．8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________________．9．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.10．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…，照此规律，第n 个等式可为____________________．三、解答题11．用数学归纳法证明：(3n ＋1)7n －1(n ∈N ＋)能被9整除．12．求证：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1(n ∈N ＋)．13.请观察以下三个式子：(1)1×3＝1×2×96； (2)1×3＋2×4＝2×3×116； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．四、探究与拓展14．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．15．已知数列11×4，14×7，17×10，110×13，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算数列和S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．答案精析1．B 2.D 3.B4．D [因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.] 5．D [令n ＝1,2得到关于a ，b 的方程组，解得即可．]6．C [由已知得当n ＝k 时成立⇒n ＝k ＋1时成立．∴当n ＝k ＋1时不成立⇒当n ＝k 时不成立．∴由当n ＝5时不成立知，当n ＝4时不成立．]7．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2 9．π解析由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析由已知，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，右边为2n ×1×3×…×(2n －1)．所以第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．11．证明 (1)当n ＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除．当n ＝k ＋1时，[(3k ＋3)＋1]·7k ＋1－1＝(3k ＋1＋3)·7·7k －1＝7·(3k ＋1)·7k －1＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k ＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由归纳假设(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为18k ·7k ＋27·7k 也能被9整除，所以[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1能被9整除，即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对所有正整数n 命题成立．12．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，所以左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＝2k k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝2k k ＋1＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝2k k ＋1＋2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何x ∈N ＋等式都成立．13．解结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6，当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．14．(k ＋1)2＋k 2解析当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.15．解 S 1＝11×4＝14， S 2＝14＋14×7＝27， S 3＝27＋17×10＝310， S 4＝310＋110×13＝413. 上面四个结果中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1，于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1.其证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝13×1＋1＝14，猜想成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时猜想成立，即11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时， 11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，猜想成立．由(1)(2)知，猜想对任意n ∈N ＋，S n ＝n 3n ＋1都成立．。

课时作业1:一数学归纳法

一数学归纳法一、基础达标1．用数学归纳法证明“n 2＋n ＜n ＋1 (n ∈N ＋)”．第二步证n ＝k ＋1时(n ＝1已验证，n ＝k 已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题正确．此种证法( ) A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1推理过程未使用归纳假设答案 D2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )中共有几项( )A. n B ．n ＋1 C. n 2－n D. n 2－n ＋1 答案 D解析因为f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，我们观察f (n )解析式的组成特点，是由1n ，1n ＋1，1n ＋2，…，1n 2组成，其中每一项的分母n ，n ＋1，n ＋2，…，n 2组成等差数列，且首项为n ，公差为1，最后一项为n 2；所以，它的项数为n 2－n ＋1，即为f (n )的项数．则f (n )中共有n 2－n ＋1项．3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( ) A ．P (n )对n ∈N ＋成立 B ．P (n )对n ＞4且n ∈N ＋成立C ．P (n )对n ＜4且n ∈N ＋成立D ．P (n )对n ≤4且n ∈N ＋不成立答案 D解析由题意可知，P (n )对n ＝3不成立(否则P (n )对n ＝4也成立)．同理可推P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立． 4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 ∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 5．n 条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．nB ．n ＋1 C.12n (n －1) D.12n (n ＋1) 答案 A解析对于n 条共面直线，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他n 条直线的交点的个数为f (n )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n 条直线都相交(有n 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (n )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (n )＋n ＝f (n ＋1)．则f (n ＋1)－f (n )等于n .6．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析当n＝k时，左边等于(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)…(2k)，当n＝k＋1时，左边等于(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，故从“k”到“k＋1”的证明，左边需增乘的代数式是(2k＋1)(2k＋2)k＋1＝2(2k＋1)．7．求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除，即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．根据(1)(2)可知对于n∈N＋，二项式x2n－y2n能被x＋y整除．二、能力提升8．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k (k∈N＋且k≥1)时该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时该命题不成立，那么应有()A．当n＝4时该命题成立B．当n＝6时该命题成立C．n为大于5的某个自然数时命题成立D．以上均不对答案D解析由题意可知，对于A，当n＝5时命题不成立，当n＝4时该命题不成立，故A错误；对于B，当n＝5时命题不成立，则当n＝6时该命题可能成立，也可能不成立，故B错误；对于C，“n为大于5的某个自然数时”中的“某个”并不正确，从某自然数k0开始，以后所有的自然数都使得命题成立，故C错误．故选D.9．已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是()A．若f(3)≥9成立，则对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)＜k2成立C．若f(7)≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立答案D解析对A，当k＝1或2时，不一定有f(k)≥k2成立；对B，应有f(k)≥k2成立；对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f(k)≥k2成立，不能得出：任意的k＜7，均有f(k)＜k2成立；对D，∵f(4)＝25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．故选D.10．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．答案2k＋1解析∵当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，∴从n＝k到n＝k＋1时，应添加的代数式为(k＋1)＋k＝2k＋1.11．求证：11×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立．12．平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f (n )＝n 2＋n ＋22个部分．证明 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，而f (1)＝12＋1＋22＝2，∴命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋22个部分．则当n ＝k ＋1时，即增加一条直线l ，因为任何两条直线不平行，所以l 与k 条直线都相交，有k 个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l 分成k ＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k ＋1个平面部分．∵f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋22＋k ＋1＝k 2＋k ＋2＋2k ＋22＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22，∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，当n ∈N ＋时，命题成立．三、探究与创新13．是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋…＋n ·(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？解假设存在a 、b 、c 使等式成立，令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧1×22＝16(a ＋b ＋c ).1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解之得a ＝3，b ＝11，c ＝10，故对n ＝1,2,3等式，1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)成立．用数学归纳法证明：①当n ＝1时等式成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k＋10)成立．当n ＝k ＋1时，左边＝[1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2]＋(k ＋1)·(k ＋2)2 ＝112k (k ＋1)(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝112(k ＋1)(k ＋2)[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)] ＝112(k ＋1)·[(k ＋1)＋1]·(3k 2＋17k ＋24)＝ 112(k ＋1)[(k ＋1)＋1]·[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]，∴n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对n∈N＋等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c ＝10，题设等式对一切n∈N＋都成立．。

课时作业10：2.3 数学归纳法

§2.3 数学归纳法一、选择题1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋14．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( ) A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确 5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋146．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出a n的通项表达式为()A.24n－3B.2 6n－5C.24n＋3D.2 2n－17．某同学回答“用数学归纳法证明n2＋n<n＋1(n∈N*)”的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；(2)假设当n＝k时，有k(k＋1)<k＋1，那么当n ＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋4k＋4＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的，由(1)(2)可知对于任意n∈N*命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于()A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设B．归纳假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．当n＝1时，验证过程不具体二、填空题8．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，第一步应验证的等式是________．9．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为______________________________________________．10．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，n∈N*，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2n＋1)－f(2n)＝________________________________________________________________________.11．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋...＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋ (2)＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为____________．三、解答题12．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116) (1)1n2)＝n＋12n(n≥2，n∈N*)．13．设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．答案精析1．B2．B [由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．]3．C [S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2.] 4．C5．D [观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1，∴项数为n 2－n ＋1.]6．B [a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.] 7．A8．1－12＝129．1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)210.12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 11．缺少步骤归纳奠基12．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以n ＝2时等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，即n ＝k ＋1时等式成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．13．解 (1)因为a 1＝1，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a. 猜想a n ＝a (n －1)＋a(n ∈N *)． (2)①易知，n ＝1时，由猜想知正确．②假设n ＝k 时正确，即a k ＝a (k －1)＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1 ＝a [(k ＋1)－1]＋a. 这说明，n ＝k ＋1时也正确．由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝a (n －1)＋a .。

课时作业17：2.3 数学归纳法

2.3 数学归纳法A 级基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n 的命题时，在由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中 ( ) A ．必须运用假设 B ．n 可以部分地运用假设 C ．可不用假设D ．应视情况灵活处理，A ，B ，C 均可2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，不等式左边增加的项为 ( ) A ．(2k )2 B ．(2k ＋3)2 C ．(2k ＋2)2D ．(2k ＋1)23．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法 ( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确4．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是 ( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立C ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋2时命题也成立D ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N )时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为 ( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －26．观察下列各式：已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则归纳猜测a 7＋b 7＝ ( )A．26B．27C．28D．29二、填空题7．一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：_________(填上所有正确命题的序号)①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．8．观察下列等式，照此规律，第n个等式为________________________________.1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…三、解答题9．在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列(n∈N*).求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论．10．已知{f n(x)}满足f1(x)＝x1＋x2(x>0)，f n＋1(x)＝f1(f n(x)).(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想f n(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn (x )的猜想．B 级素养提升一、选择题1．当n ＝1,2,3,4,5,6时，比较2n 和n 2的大小并猜想 ( ) A ．n ≥1时，2n >n 2 B ．n ≥3时，2n >n 2 C ．n ≥4时，2n >n 2D ．n ≥5时，2n >n 22．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开 ( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3 D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3二、填空题3．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为_______________________. 4．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝_________.三、解答题5．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点. 求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．6．(1)用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．C级能力拔高已知等差数列{a n}中，a2＝8，前10项的和S10＝185，(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若从数列{a n}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和A n；(3)设B n＝n(5＋3a n)，试比较A n和B n的大小，并说明理由．参考答案A级基础巩固一、选择题1．【答案】A【解析】由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设． 2．【答案】 D【解析】用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)的过程中，第二步，假设n ＝k 时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，那么，当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2，等式左边增加的项是(2k ＋1)2，故选D ． 3．【答案】 D【解析】 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D ． 4．【答案】 C【解析】 ∵n 为正奇数，当n ＝k 时，k 下面第一个正奇数应为k ＋2，而非k ＋1.故应选C ． 5．【答案】 C【解析】增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C ． 6．【答案】 D【解析】观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29. 二、填空题 7．【答案】 ③【解析】由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P (n )对n ＝10时该命题不成立，(否则n ＝11也成立)．同理可推得P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立．所以③正确．故答案为③.8．【答案】 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 【解析】将原等式变形如下：1＝1＝12 2＋3＋4＝9＝32 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n 个等式的左边有2n －1项，第一个数是n ，是2n －1个连续整数的和，则最后一个数为n ＋(2n －1)－1＝3n －2，右边是左边项数2n －1的平方，故有n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.三、解答题9．解：由已知得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2.∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立． 10．解：(1)f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝f 1(x )1＋f 21(x )＝x1＋2x 2，f 3(x )＝f 1[f 2(x )]＝f 2(x )1＋f 22(x )＝x 1＋3x 2猜想：f n (x )＝x1＋nx2，(n ∈N *) (2)下面用数学归纳法证明，f n (x )＝x1＋nx2(n ∈N *) ①当n ＝1时，f 1(x )＝x1＋x 2，显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即f k (x )＝x1＋kx 2，则当n ＝k ＋1时，f k ＋1＝f 1[f k (x )]＝x 1＋kx 21＋(x 1＋kx2)2＝x1＋(k ＋1)x2，即对n ＝k ＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想f n (x )＝x1＋nx2对一切n ∈N *都成立． B 级素养提升一、选择题 1．【答案】 D【解析】当n ＝1时，21>12，即2n >n 2；当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2；当n ＝3时，23<32，即2n <n 2；当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2；当n ＝5时，25>52，即2n >n 2；当n ＝6时，26>62，即2n >n 2； …猜想当n ≥5时，2n >n 2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立， (1)当n ＝5时，由以上可知猜想成立， (2)设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k >k 2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n ≥5时，2n >n 2；故当n ＝2或4时，2n ＝n 2；n ＝3时，2n <n 2；n ＝1及n 取大于4的正整数时，都有2n >n 2.故选D ． 2．【答案】 A【解析】因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题3．【答案】当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立【解析】当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形． 4．【答案】 5【解析】当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5. 三、解答题5．证明：(1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．6．证明：(1)①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×1＋12＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)－k2 ＝(－1)k ·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n ∈N *等式成立．(2)①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．C 级能力拔高解：(1)设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8－d 185＝10a 1＋45d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴a n ＝5＋3×(n －1)＝3n ＋2.(2)设新数列为{b n }，∴b n ＝a 2n ＝3×2n ＋2. ∴A n ＝3×(2＋22＋23＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.(3)∵B n ＝n (9n ＋11)＝9n 2＋11n ，∴A 1＝3×4－4－8，A 2＝3×8－2＝22，A 3＝3×16＝48，A4＝3×32＋2＝98，A5＝3×64＋4＝196，A6＝3×128＋6＝390，A7＝3×256＋8＝776，……而B1＝20，B2＝58，B3＝114，B4＝188，B5＝280，B6＝390，B7＝518，……①当n＝1,2,3,4,5时，B n>A n；②当n＝6时，B6＝A6；③当n≥7，且n∈N*时，猜想A n>B n，用数学归纳法证明：当n＝7时，A7＝776>518＝B7，结论正确；假设当n＝k(k≥7)时，A k>B k，即3×2k＋1＋2k－6>9k2＋11k⇒2k＋1>3k2＋3k＋2，∴n＝k＋1时，A k＋1－B k＋1＝[3×2k＋2＋2(k＋1)－6]－[9(k＋1)2＋11(k＋1)]＝6×2k＋1－9k2－27k－24＝6×[2k＋1－(3k2＋3k＋2)]＋6×(3k2＋3k＋2)－9k2－27k－24＝6×[2k＋1－(3k2＋3k＋2)]＋9k2－9k－12>9k2－9k－12＝9k(k－1)－12≥9×7×(7－1)－12>0，∴A k＋1>B k＋1，即n＝k＋1时，结论也正确．综上知，当n≥7，且n∈N*时，有A n>B n.。

课时作业22：§2.3 数学归纳法

§2.3 数学归纳法基础过关1.某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立.现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )A.当n ＝4时命题不成立B.当n ＝6时命题不成立C.当n ＝4时命题成立D.当n ＝6时命题成立解析因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立，所以假设当n ＝4时命题成立，那么n ＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n ＝4时命题不成立.答案 A2.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数n 等于( )A.1B.1或2C.1，2，3D.1，2，3，4解析当n ＝1，2，3时满足，当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38.所以左边＞右边，即n ＝4不满足.答案 C3.记凸k 边形的内角和为f (k )，则f (k ＋1)－f (k )＝( )A.π2B.πC.3π2D.2π解析由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)－f (k )＝π. 答案 B4.用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_____________________________ 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)25.用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________.解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋66.用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以n ＝2时等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116 ·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·k （k ＋2）（k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）＝（k ＋1）＋12（k ＋1），即n ＝k ＋1时等式成立.综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立.7.平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n （n －1）2. 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.能力提升8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.22n －1D.22n －1 解析 a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n （n ＋1）. 答案 B9.用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A.(k ＋3)3B.(k ＋2)3C.(k ＋1)3D.(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除.当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可.答案 A10.用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________.答案 511.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立.由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立.上述证明的错误是________. 解析本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.答案未用归纳假设12.设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *). (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳数列{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明.解 (1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25.(2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1. 证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立. ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1，那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2 ＝42k ＋4＝2（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时，公式也成立.由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1. 创新突破13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N *.(1)解设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2.从而a n ＝2n －2，n ∈N *.所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n ).解得b n ＝1d (S 2n ＋1－S n S n ＋2).所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明 c n ＝a n2b n ＝2n －22n （n ＋1）＝n －1n （n ＋1），n ∈N *. 我们用数学归纳法证明.①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k . 那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋k （k ＋1）（k ＋2） <2k ＋1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k ＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N *成立.。

(完整版)数学归纳法练习题

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)，由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)．答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。

课时作业3：§5.5　数学归纳法

§5.5 数学归纳法1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( )A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝4答案 C解析由题意知，n 的最小值为3，所以第一步应验证n ＝3是否成立．2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 B解析因为已知n 为正偶数，故当n ＝k 时，下一个偶数为k ＋2.3．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立答案 B4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324(n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12k ＋2，减少1k ＋1D ．增加12k ＋1，减少1k ＋1答案 C5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N ＋)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出数列{a n }的通项公式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5. 6．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝__________________. 答案 13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 解析注意末项与首项，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2. 7．证明：假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N ＋等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N ＋)”的过程中的错误为__________．答案缺少步骤归纳奠基8．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，n ∈N ＋，则S 1＝________，S 2＝________，S 3＝________，S 4＝________，猜想S n ＝________.答案 13 25 37 49 n 2n ＋1解析当n ＝1时，S 1＝13；当n ＝2时，S 2＝25；当n ＝3时，S 3＝37；当n ＝4时，S 4＝49. 观察猜想得S n ＝n 2n ＋1. 9．证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 ＞56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 ＞56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋都成立．11．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，不是数学归纳法．12．用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________．答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.13．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝___. 答案 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1解析 f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＝f (2k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1， ∴f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 14．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π解析由凸k 边形变为凸(k ＋1)边形时，增加了一个三角形图形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.15．在平面内有n (n ≥2且n ∈N ＋)条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．则这n 条直线将它们所在的平面分成________________块区域．答案 n 2＋n ＋22解析 (1)当n ＝2时，两条直线相交把平面分成4块区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立，即n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22块区域． 16．试比较2n ＋2与n 2(n ∈N ＋)的大小，并用数学归纳法证明你的结论．解当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边，所以原不等式成立．(2)假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2.那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2·k 2－2.又∵2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0，即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n ∈N ＋都成立．。

课时作业10：§13.3　数学归纳法

§13.3 数学归纳法1．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对所有正奇数n 都成立D ．p (n )对所有自然数n 都成立2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题成立3．(2017·淄博质检)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立4．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)5．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝_______________.7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ＝n (2n ＋1)3时，第二步从“k ”到“k ＋1”应添加的项为________．8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．9.(2016·北京东城区质检)在数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3(n ∈N *)．求b 2，b 3，试判定b n 与2的大小，并加以证明.10.数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *).(1)证明：{x n }是递减数列的充要条件是c <0；(2)若0<c ≤14，证明：数列{x n }是递增数列.11.已知函数f 0(x )＝sin x x(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求2f 1(π2)＋π2f 2(π2)的值； (2)证明：对任意的n ∈N *，等式|nf n －1(π4)＋π4f n (π4)|＝22都成立.12.设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明.答案精析1．B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.n n ＋17．(k ＋1)2＋k 2 8.5 12(n ＋1)(n －2) 9．解由b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3，得b 2＝3×2＋42×2＋3＝107，b 3＝5841. 经比较有b 1>2，b 2>2，b 3> 2.猜想b n >2(n ∈N *)．下面利用数学归纳法证明．①当n ＝1时，∵b 1＝2，∴ 2 <b 1.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即 2 <b k ，∴b k － 2 >0.当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2 ＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3 ＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3>0. ∴b k ＋1> 2，也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②知b n >2(n ∈N *)．10．证明 (1)充分性：若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，所以数列{x n }是递减数列．必要性：若{x n }是递减数列，则x 2<x 1，且x 1＝0.又x 2＝－x 21＋x 1＋c ＝c ，所以c <0.故{x n }是递减数列的充要条件是c <0.(2)若0<c ≤14，要证{x n }是递增数列．即x n ＋1>x n ，即x x ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，也就是证明x n < c .下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n < c 对任意n ≥1，n ∈N *都成立． ①当n ＝1时，x 1＝0< c ≤12，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k < c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n < c 对任意n ≥1，n ∈N *都成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n}是递增数列． 11．(1)解由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x x )′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x x )′－(sin x x 2)′ ＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1(π2)＝－4π2， f 2(π2)＝－2π＋16π3，故2f 1(π2)＋π2f 2(π2)＝－1. (2)证明由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x＝sin(x ＋π2)，类似可得 2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x＝sin(x ＋3π2)， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin(x ＋n π2)对所有的x ∈N *都成立． ①当n ＝1时，由上可知等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin(x ＋k π2)．因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，[sin(x ＋k π2)]′＝cos(x ＋k π2)·(x ＋k π2)′＝sin[x ＋(k ＋1)π2]，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin[x ＋(k ＋1)π2]．因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin(x ＋n π2)对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1(π4)＋π4f n (π4) ＝sin(π4＋n π2)(n ∈N *)，所以|nf n －1(π4)＋π4f n (π4)| ＝22(n ∈N *)． 12．解由题设得，g (x )＝x 1＋x(x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可猜想g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x 1＋kx. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋(k ＋1)x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x(x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，∴ln(1＋x )≥ax 1＋x不恒成立，综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n . 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．。

课时作业13：§13.3 数学归纳法

§13.3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( )A ．n ＝4B ．n ＝5C ．n ＝6D ．n ＝72．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 3．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)34．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．65．用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k6．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为 ( )A ．n ＋1B ．2n C. n 2＋n ＋22 D ．n 2＋n ＋17．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ；正方形数N (n,4)＝n 2；五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ；六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( )A ．500B ．1000C ．1500D ．20008．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( )A ．3n ＋1B ．4nC ．5n －1D ．6n －2二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______. 10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.12．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．三、解答题13．设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1. (1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ；(2)用数学归纳法证明你的猜想．14．在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)． (1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式；(2)若数列{b n}满足b n＝1－2n·n！(n∈N*)，猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．15．已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{b n}的前n项和为T n且T n＝1－1 2b n.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，试比较1b n与S n＋1的大小，并说明理由．16．函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过两点P(4,5)，Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n<x n＋1<3；(2)求数列{x n}的通项公式．参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步证n＝5.故选B.2．【答案】 B【解析】由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B.3．【答案】 A【解析】假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故选A.4．【答案】 C【解析】 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)都能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明如下：当n ＝1,2时，由以上得证．假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)，∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.5．【答案】 C【解析】因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋(3k )＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .故选C.6．【答案】 C【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C. 7．【答案】 B【解析】由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故【答案】为1000.选B.8．【答案】 D【解析】由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D.二、填空题9．【答案】 12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n 【解析】 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1 S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n. 10．【答案】 3n 2－3n ＋1【解析】由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．【答案】 n n ＋1【解析】由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34. 猜想S n ＝n n ＋1. 12．【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22【解析】由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.三、解答题13．(1)解：T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )； T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )； T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 4＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )；由此可猜想T n ＝n a 1(a 1＋nd ). (2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立， ②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立，即T k ＝k a 1(a 1＋kd )，则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2 ＝k a 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ]. 即n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立． 14．解：(1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝⎛⎭⎫cos π3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝± a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ，下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立．②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立，即a k <1－2k ·k ！，则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12< 2－2k ·k ！2 ＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！，要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝⎛⎭⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2，即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎡⎦⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2，即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎡⎦⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎡⎦⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立． ∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2；当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．解：(1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23. n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②， ①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列． ∴b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n . (2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1.综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1. 16．(1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3.①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)解：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎫1b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1. 故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。

苏教版高二数学选修2-2 第2章第3节数学归纳法课时作业

年级高二学数学版本苏教版（理）课程标题选修2-2第2章第3节数学归纳法（答题时间：60分钟）一、选择题1. 用数学归纳法证明等式)12(312)()2()1(-⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅+⋅+n n n n n n，从k 到k ＋1左端需增乘的代数式为（）A. 2k ＋1B. 2（2k ＋1）C. 2k ＋1k ＋1D. 2k ＋3k ＋12. 用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n （n ∈N ，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（）A. 2k －1 B. 2k －1 C. 2k D. 2k ＋13. 对于不等式n 2＋n ＜n ＋1（n ∈N ），某同学的证明过程如下：（1）当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立。

（2）假设当n ＝k （k ∈N ）时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝（k ＋1）＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立。

则上述证法（） A. 过程全部正确 B. n ＝1验得不正确 C. 归纳假设不正确D. 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确4. 下列代数式（其中k ∈N ）能被9整除的是（） A. 6＋6·7k B. 2＋7k－1C. 2（2＋7k ＋1） D. 3（2＋7k ）5. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n （na －b ）＋c 对一切n ∈N 都成立，则a 、b 、c 的值为（）A. a ＝12，b ＝c ＝14B. a ＝b ＝c ＝14C. a ＝0，b ＝c ＝14 D. 不存在这样的a 、b 、c6. 在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n （2n －1）a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是（）A. 1(n －1)(n ＋1)B. 12n (2n ＋1)C. 1(2n －1)(2n ＋1)D. 1(2n ＋1)(2n ＋2)二、填空题7. 猜想1＝1,1－4＝－（1＋2）,1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为。

课时作业9：13.3 数学归纳法

§13.3 数学归纳法A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明2n >2n ＋1，n 的第一个取值应是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．103．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －34．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确5．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝___________________________.7．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．8．(2015·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为______________________． 9．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *，λ>0)．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明．B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立12．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n ∈N *)13．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．14．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．15．(2015·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝a 3＝k ，a n ＋1＝k ＋a n a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其中k >0，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ＝1,2,3,4，…) (1)求b 1，b 2，b 3，b 4；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)是否存在正数k ，使得数列{a n }的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k .答案解析1．C [∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立；n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立．∴n 的第一个取值应是3.]2．B [左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.] 3．B [计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2，故应选B.]4．D [在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．]5．B [当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．] 6.n n ＋1解析由(S 1－1)2＝S 1·S 1，得S 1＝12，由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23，依次得S 3＝34，S 4＝45，猜想S n ＝n n ＋1. 7．2k解析当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1. 左边增加了2k 项．8．f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22. 故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)． 9．(1)解由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13， ∴P 2⎝⎛⎭⎫13，13.∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k·(2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 都在直线l 上．10．解 (1)a 2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：a n ＝(n －1)λn ＋2n .下面用数学归纳法证明：①当n ＝1,2,3,4时，等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时等式成立，即a k ＝(k －1)λk ＋2k ，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k＝λ(k －1)λk ＋λ2k ＋λk ＋1＋2k ＋1－λ2k＝(k －1)λk ＋1＋λk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，猜想成立，由①②知数列的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n (n ∈N *，λ>0)．11．D [∵f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，∴f (4)≥16时，有f (5)≥52，f (6)≥62，…，f (k )≥k 2成立．]12．4 n 2－n ＋2解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.13．5 12(n ＋1)(n －2) (n ≥3) 解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2) (n ≥3)． 14．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3] ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0，所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．15．解 (1)经过计算可知：a 4＝k ＋1，a 5＝k ＋2，a 6＝k ＋4＋2k. 求得b 1＝b 3＝2，b 2＝b 4＝2k ＋1k. (2)由条件可知：a n ＋1a n －2＝k ＋a n a n －1.①类似地有：a n ＋2a n －1＝k ＋a n ＋1a n .②①－②有：a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －2＋a n a n －1，即b n ＝b n －2. 所以b 2n －1＝b 2n －3＝…＝b 1＝a 1＋a 3a 2＝2， b 2n ＝b 2n －2＝…＝b 2＝a 2＋a 4a 3＝2k ＋1k，所以b n ＝4k ＋12k ＋(－1)n2k(n ∈N *，k >0)． (3)假设存在正数k ，使得数列{a n }的每一项均为整数，则由(2)可知：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2n ＋1＝2a 2n －a 2n －1，a 2n ＋2＝2k ＋1k a 2n ＋1－a 2n ，③ 由a 1＝k ∈Z ，a 6＝k ＋4＋2k∈Z 可知k ＝1,2. 当k ＝1时，2k ＋1k＝3为整数，利用a 1，a 2，a 3∈Z ，结合③式，反复递推，可知{a n }的每一项均为整数，当k ＝2时， ③变为⎩⎪⎨⎪⎧ a 2n ＋1＝2a 2n －a 2n －1，a 2n ＋2＝52a 2n ＋1－a 2n .④ 我们用数学归纳法证明a 2n －1为偶数，a 2n 为整数，n ＝1时，结论显然成立，假设n ＝k 时结论成立，这时a 2k －1为偶数，a 2k 为整数，故a 2k ＋1＝2a 2k －a 2k －1为偶数，a 2k －2为整数，所以n ＝k ＋1时，命题成立，故数列{a n }是整数列，综上所述，k 的取值集合是{1,2}．。

【人教B版】选修2-2：2.3《数学归纳法》课时作业及答案.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章2. 3数学归纳法课时作业新人教B 版选修2-2一、选择题n+2 ］1. --------------------------------------------- 用数学归纳法证明1 + Q +扌 Q 11=~ gHl ）,在验证刀=1等式成q_\立时，等式左边的式子是（）A. 1B. 1 + qC. 1 + g+ qD. 1 + g+ q + q［答案］C［解析］左边=1 + ^+<7* = 1 + g+J 故选C.2. ....................................................................................................... 用数学归纳法证明（/?+1）（卄2）（卄3）…（/?+/?） =2"・1・3 ........................................... （2/7—1）（刀WN"）,从n=k 到刀=&+1,左边的式子Z 比是（）& 2 2A+13. 用数学归纳法证明詁T+册+•••+£；彩（/总2,圧NJ 的过程中，由n=k 递推到 n=k+\时不等式左边（）A. 增加了一项2B. 增加了两项眩+］+2«+21A ------- 2A+1 C. 2A+1 k+1D.2A+3 k+1［答案］B ［解析］A+l k+2 A+3 - k+k A+l + 1 &+1+2 …W+l + W+l £+1 k+2 £+3 …2k 7+2 &+3 …2k 2A+12k+21.故选B.C.增加了B中两项但减少了一项汁YD.以上各种情况均不对［答案］C［解析］/?=&时，左边=计y+计？—右，刀=&+1时，左边=计计^—丄+丄+丄2A- 2A-+1 2A+2••.增加了2«+1+2«+2'减少「叭+1，故选C.4.设平面内有〃条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设&条直线的交点个数为,则/U+1)与f@的关系是()A.f(k+l)=f(/d+k-lB./U+D=/U)+A4-lC.f(W+l)=f(£)+«+2D.f(k+l)=f(/d+k［答案］D［解析］因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k 个交点，故交点个数为/U) +k.5.某个与正整数刀有关的命题，如果当n=kgN\时该命题成立，则可推得n=k+\时该命题也成立，现已知77=5时命题不成立，那么可推得( )A.当/?=4时该命题不成立B.当77=6吋该命题不成立C.当77=4时该命题成立D.当77=6时该命题成立［答案］A［解析］rtl命题及其逆否命题的等价性知选A.6.等式12+22+32+- + /?2=|(5/?2~7/7+4)( )A.刀为任何正整数都成立B.仅当/7=1,2,3时成立C.当/7=4时成立，刃=5吋不成立D.仅当刀=4时不成立［答案］B［解析］经验证，刀=1,2,3时成立，刀=4, 5,…不成立.故选B.4 I 27.(2015 •枣庄一模)用数学归纳法证明1 +2 + 3 +・・・+ /=仝于，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.牙+1B. a+i)2亠k+\4+ A+lD.（#+1） + （护+2） + （#+3）+・・・+（&+1）2［答案］D［解析］•・•当n=k时，左边=1+2 + 3 +・・・+尸.当n=k+l吋，左边=1+2 + 3 +・・・+斥+（护+1）+…+（&+1尸，・••当n=k+\时，左端应在n=k的基础上加上（#+1）+ （#+2）+ （#+3）+・••+（&+ I）2.8.用数学归纳法证明“/+5+1）'+（〃+2）'（用2）能被9整除”，要利用归纳假设证/7=«+1时的情况，只需展开（）A. （£+3尸B. （£+2尸C.（斤+1尸D.（斤+1）3+（斤+2）‘［答案］A［解析］因为从n=k到心&+1的过渡，增加了（&+3几减少了护，故利用归纳假设，只需将（A+3）3展开，证明余下的项9#+27彳+27能被9整除.二、填空题9.（2015 •辽宁师大附中高二检测）用数学归纳法证明“1+2 + 22+・・・+ 2”7 = 2〃一1（刀WN+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当/7=斤+1时应得到 ___________ .［答案］1+2 + 2'+…+21+2"=2*+| — 110.用数学归纳法证明当用N+时,l+2+22+23+- + 25fl~1是31的倍数时,当刀=1时原式为_________ ,从kf k+1时需增添的项是___________l+2 + 22+23+2* 25X+25A+1 + 25A+2+25糾'+25A+4［答案］11.________________________________________________________ 使不等式2“>d+l对任意n^k的自然数都成立的最小殳值为_____________________________ ［答案］5［解析］2—32,52+1=26，对心5的所有自然数〃,2”>/+1都成立，自己用数学归纳法证明之.三、解答题12.已知f(刀)=1+£+**・・・+*,用N+,求证：刀+厂⑴+…+心―1）=刀心）（处2且用N+).［证明］⑴当n=2时，左边=2 + f(l)=3,右边=2/(2) =3,等式成立.(2)假设n=k时，k+ /'(I) H -------- f(k_V) = kf© .当n=k+l时，&+i+f(i)+・・・+/U-i)+/W=i+/w +MA )= a+i )/U )+1 =(«+i )・(Hw)+^y )=(&+i)f(w+i ).即n=k+1时，命题成立.根据（1）和（2）,可知结论正确.能力提升二一、选择题1. 用数学归纳法证明“S+1）S+2）・・・S+/2）=2”X1X3・・・（2/2-1）5W N+）”，则“从斤到£+1”左端需乘的代数式为（）A. 2&+1B. 2（2&+1）2A+1 2&+3 r -------- n ----------------------------------------------------- ° k+\ k+\［答案］B［解析］n=k 时左式=(斤+1)(&+2)(&+3)n= k~\~ I 时左式=(£+2) (£+3)…(2&+1) (2A+2)故"从 k 到 &+1"左端需乘2. 已知数列｛弘｝, $1 = 1,日2 = 2, /+i = 2/+/_i （&GN"）,用数学归纳法证明釦能被4 整除时，假设釦能被4整除，应证（）A. a u+i 能被4整除B.弘+2能被4整除C.刘+3能被4整除D.创&+4能被4整除［答案］D［解析］在数列仙”｝中，相邻两项下标差为4,所以纵后一项为去+4.故选D.3. （2015 •锦州期中）在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（） A.刀=1成立 B.刀=2成立 C. 〃=3成立D. 〃=4成立［答案］C［解析］多边形的边数最少是3,即三角形，・•・第一步验证刀等于3.4. 用数学归纳法证明3"2/?（刀$3,刀WN ）,第一步应验证（）A.刀=1B. n=2C. 〃=3D. 〃=42A+1 2k+2k+\=2(2&+1).故选 B.［答案］C［解析］・・・〃23, /7WN,・・・第一步应验证/?=3时，命题成立.二、填空题5. 用数学归纳法证明关于刀的恒等式时，当n=k 时，表达式为1X4 + 2X7 +…+斤(3& + 1)=A(A4-1)2,则当n=k+1时，待证表达式应为 _____________ .［答案］lX4 + 2X7 + ・・・ + £(3斤+1) +(斤+1) (3£+4) = (£+1) U+2)26. 用数学归纳法证明:l+2 + 22+- + 2/?-, = 2fl -l(/?GN*)的过程如下：① 当77=1时，左边=2°=1,右边=21—1 = 1,不等式成立； ② 假设n=k 时，等式成立，即 1+2+2'+…+ 2^ = 2 j 则当n=k+l 时，1 +2 + 労 +…+=2好】一1,所以n= k+1时等式成立.由此可知对任意正整数77,等式都成立. 以上证明错在何处？ ___________ • ［答案］没有用上归纳假设［解析］由数学归纳法证明步骤易知其错误所在.7. 设 5 = 12, &=12+22+12,…，5；=12+22+32+- + /?2+-+22+12.用数学归纳法证明S* 时，第二步从“n=k 到刀=&+1”右边应添加的项为A+2 >2A +1 三、解答题8. 在数列｛禺｝中，曰1 =及=1,当时，满足亦2=亦1 +孙且设b n = a.\,｝,求证：｛加的各项均为3的倍数.［证明］(1) V ^1 = 52=1,故念=臼1 + 观=2, <21 — ^3 4~ 4^2 = 3.5 =越=3,当n — 1时，5能被3整除. (2)假设n= k 时，即反=业是3的倍数.贝9 刀=«+ 1 时 9 bk+\ = &1伙+1)=臼仏+4)= &1&+3+ H\k+2 =&仏+2+十日4«+1 + a“=3日必+1十2&以・［答案］斤+2・2*+12［解析］ S"小广+1k 2*+1rh归纳假设，购是3的倍数，故可知力屮是3的倍数..\n=k+l时命题正确.综合（1）、（2）可知，对于任意正整数/?,数列｛加的各项都是3的倍数.9.若不等式士T+治+治+…+石吕＞法对一切正整数〃都成立，求止整数自的最大值，并证明你的结论.〔解析］取门=1，I + I + I+2+3X 1 + 1=24，26 a令刃〉訂，得日〈26,且日WN十.・・・取日=25.下面用数学归纳法证明: 士+忌+…+爲①77=1时，结论己证.②假设刀=«（心+）时，击+占+•••+侖＞务则当宀+1时，有J +1小+2 + T3A+l+3A+2 + 3A+3 + 3 A+1 +1k+1 +7+2 +，，> + 3A+T) + (3A+2 + 3A+3 + 3A+4 W 24 ■+・・•+! ________ 总•* † £+1 +1 十k+\+2十十3 k+\+1 24' 即n=k+ 1吋，结论也成立.由①②可知，对一切/7WN+,都有占+忌+•••+為＞|为故臼的最大值为25.3 k+l」•1 . 1 6 k+l 2† 3斤+2 3«+4一9F+18W+8 3 k+\.25 「］丿"十L3斤+2十3&+42TT>0.。

数学归纳法--课时作业

能力提升 1 1 1 10．当 n≥2，n∈N*时，求证：1＋＋＋…＋＞ n. 2一项为 1，并且对所有的自然数 n≥2，数列的前 n 项之积为 n2. (1)写出这个数列的前 5 项； (2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
数学归纳法
A 组基础巩固 1．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn＋yn 能被 x＋y 整除”的第二步是( A．假使 n＝2k＋1 时正确，再推 n＝2k＋3 时正确 B．假设 n＝2k－1 时正确，再推 n＝2k＋1 时正确 C．假设 n＝k 时正确，再推 n＝k＋1 时正确 D．假使 n≤k(k≥1)时正确，再推 n＝k＋2 时正确 (以上 k∈N*) )
2．某同学回答“用数学归纳法证明 n(n＋1)<n＋1(n∈N*)”的过程如下：证明：①当 n＝1 时，显然命题是正确的；②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*) 时，有 k(k＋1) <k ＋ 1 ，那么当 n ＝ k ＋ 1 时， (k＋1)2＋(k＋1) ＝ k2＋3k＋2 < k2＋4k＋4＝(k＋1)＋1，∴当 n＝k＋1 时命题是正确的．由①②可知对于 n∈ N*，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( ) A．从 k 到 k＋1 的推理过程没有使用假设 B．假设的写法不正确 C．从 k 到 k＋1 的推理不严密 D．当 n＝1 时，验证过程不具体 1 1 1 3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋ n <n(n∈N*，且 n>1)，第二步证 2 3 2 －1 明由“k 到 k＋1”时，左端增加的项数是( ) － A．2k 1 B．2k C．2k－1 D．2k＋1 1 1 1 1 4．用数学归纳法证明＋＋＋…＋ <1(n∈N*，n≥2)，由“k 到 k＋ n n＋1 n＋2 2n 1”时，不等式左端的变化是( ) 1 1 1 A．增加一项 B．增加和两项 2(k＋1) 2k＋1 2(k＋1) 1 1 1 C．增加和两项，同时减少一项 D．以上都不对 k 2k＋1 2(k＋1) (－1) 1 1 1 1 5．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－＋－＋…＋＝2( 2 3 4 n n ＋2 1 1 ＋＋…＋ )时，若已知假设 n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳 2n n ＋4 假设再证( ) A．n＝k ＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立 C．n＝2k＋2 时等式成立 D ．n＝2(k＋2)时等式成立 6．平面原有 k 个圆，它们相交所成圆弧共有 f(k) 段，若增加第 k＋1 个圆与前 k 个圆均有两个交点，且不过前 k 个圆的交点，试问前 k 个圆的圆弧增加 _段． 7．对于不等式 n2＋4n<n＋2(n∈N*)，某学生的证明过程如下： (1)当 n＝1 时， 12＋4<1＋2，不等式成立． (2) 假设 n＝k(k ∈N* ) 时，不等式成立，即 k2＋4k<k＋2，则 n＝ k＋1 时， (k＋1)2＋4(k＋1)＝ k2＋6k＋5< (k2＋6k＋5)＋4＝ (k＋3)2 ＝(k＋1)＋2.

课时作业14：§13.3 数学归纳法

§13.3 数学归纳法A 级基础达标1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．102．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) A ．一切正整数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k－1项D ．2k 项4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)25．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N )能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1) B ．34·34k ＋1＋52·52k C ．34k ＋1＋52k ＋1 D ．25(34k ＋1＋52k ＋1) 6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．7．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记c n ＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝________.8．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是________．9．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，记其前n 项和为S n ，试用a 1，d ，n 表示S n ，并用数学归纳法证明．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＋S n ＝(n ＋1)a n ＋1－12a n －1，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设a 2＝6，求证：数列{a n }是等差数列．B 级知能提升1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C. n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)33．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．4．已知f (x )＝x －32x 2，设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，证明：a n <1n ＋1.5．数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．参考答案A级基础达标1．【答案】 B【解析】左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B. 2．【答案】 B【解析】本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．【答案】 D【解析】 ∵f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1.∴增加了2k 项． 4．【答案】 D【解析】当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2；当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，所以当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 故选D. 5．【答案】 A【解析】因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)． 6．【答案】1(2k ＋1)(2k ＋2)【解析】不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2).7．【答案】n ＋2n ＋1【解析】 c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14＝32， c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝43， c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19×⎝⎛⎭⎫1－116＝54，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1.8．【答案】 4k ＋2【解析】用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．故答案为4k ＋2.9．解：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，n ∈N *.下面用数学归纳法证明：①n ＝1时，左边＝S 1＝a 1，右边＝a 1＋1×02d ＝a 1，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝ka 1＋k (k －1)2d ＋a 1＋kd＝(k ＋1)a 1＋k (k －1)＋2k2d＝(k ＋1)a 1＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]2d ，即n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②知，对于任意的正整数n ，都有S n ＝na 1＋n (n －1)2d 成立．10．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∵S n ＋1＋S n ＝(n ＋1)a n ＋1－12a n －1，∴(n ＋1)a 1＋n (n ＋1)2d ＋na 1＋n (n －1)2d ＝(n ＋1)(a 1＋nd )－12[a 1＋(n －1)d ]－1，化简，得：⎝⎛⎭⎫n ＋12a 1－12(n ＋1)d ＋1＝0，即n ⎝⎛⎭⎫a 1－12d ＋⎝⎛⎭⎫12a 1－12d ＋1＝0对任意n ∈N *都成立， ∴⎩⎨⎧a 1＝12d ，12a 1－12d ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4，∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：∵a 2＝6，∴S 2＋S 1＝2a 2－12a 1－1＝a 1＋a 2＋a 1，化简得a 2＝52a 1＋1＝6，所以a 1＝2，当n ＝2时，则a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝3a 3－12a 2－1，∴2a 3＝52a 2＋2a 1＋1＝52×6＋2×2＋1＝20，∴a 3＝10，∴a 1，a 2，a 3成等差数列，首项为2，公差为4，故猜想：a n ＝4n －2(n ∈N *)．下面利用数学归纳法来证明数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列：显然当n ＝1,2,3时，命题成立；假设当n ＝k 时成立，即a k ＝4k －2， ∴S k ＝a 1＋a k2×k ＝2k 2，∴S k ＋1＋S k ＝(k ＋1)a k ＋1－12a k －1，即2S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)a k ＋1－12a k －1，∴ka k ＋1＝2S k ＋12a k ＋1＝4k 2＋12(4k －2)＋1＝4k 2＋2k ，∴a k ＋1＝4k ＋2＝4(k ＋1)－2， ∴当n ＝k ＋1时也成立，综上所述，数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列．B 级知能提升1．【答案】 C【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．2．【答案】 A【解析】假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 3．【答案】 (5,7)【解析】本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n2＝60.∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)．4．证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，不等式a n <1n ＋1成立；因a 2＝f (a 1)＝－32⎝⎛⎭⎫a 1－132＋16≤16<13，故n ＝2时不等式也成立． ②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式a k <1k ＋1成立，因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为x ＝13，知f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，13上为增函数，所以由a k <1k ＋1≤13，得f (a k )<f ⎝⎛⎭⎫1k ＋1.于是有a k ＋1<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对任何n ∈N ＋，不等式a n <1n ＋1成立．5．(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ，这表明n ＝k ＋1时，结论成立，由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立．。

课时作业3：一数学归纳法

一数学归纳法一、选择题1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.13n ＋2 B ．13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D ．13n ＋13n ＋1＋13n ＋22．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．03．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，猜想a n 等于( ) A.3n ＋2 B ．3n ＋3 C.3n ＋4 D ．3n ＋54．记凸k 边形的内角和为f (k ),则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)等于f (k )加上( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．32π二、填空题5．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．6．用数学归纳法证明“n ∈N *，n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n ＝1时1×2×3＝6能被6整除，∴n ＝1时命题成立．(2)假设n ＝k 时成立，即k (k ＋1)(2k ＋1)能被6整除，那么n ＝k ＋1时， (k +1)(k +2)(2k +3)＝(k +1)(k +2)[k +(k +3)]＝k (k ＋1)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． ∵k 、k ＋1、k ＋2和k ＋1、k ＋2、k ＋3分别是三个连续自然数．∴其积能被6整除．故n ＝k ＋1时命题成立．综合(1)、(2)，对一切n ∈N *，n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除．这种证明不是数学归纳法，主要原因是________．三、解答题7．用数学归纳法证明：(1－14)(1－19)(1－116) (1)1n2)＝n＋12n(n≥2，n∈N*)．8．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式a n－b n都能被a－b整除．9．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．参考答案一、选择题1.【解析】因为f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D. 【答案】D2．【解析】边数最少的凸n 边形是三角形．【答案】C3.【解析】a 2＝3a 1a 1＋3＝37，a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝3a 3a 3＋3＝13＝39，猜想a n ＝3n ＋5. 【答案】D4.【解析】n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.【答案】B二、填空题5．【解析】∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ，又考虑到目的，最终应为2k ＋1－1.【答案】1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－16．【答案】没用上归纳假设三、解答题7.【证明】(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1k 2)＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N *)．当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·(k ＋1)2－1(k ＋1)2＝(k ＋1) ·k ·(k ＋2)2k ·(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝k ＋1＋12(k ＋1)， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n ≥2，n ∈N *时，等式成立．8．【证明】(1)当n ＝1时，a n －b n ＝a －b 能被a －b 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k －b k 能被a －b 整除，那么当n ＝k +1时，a k ＋1－b k ＋1＝a k ＋1－a k b ＋a k b －b k ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k )．因为(a －b )和a k －b k 都能被a －b 整除，所以上面的和a k (a －b )＋b (a k －b k )也能被a －b 整除．这也就是说当n ＝k ＋1时，a k ＋1－b k ＋1能被a －b 整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n ，a n －b n 都能被a －b 整除．9．【解】存在．分别用n ＝1,2,3代入,解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝381a ＋9b ＋c ＝18得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－14，c ＝0，故原等式右边＝n 44－n 24.下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 4－14k 2.则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，故n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)得等式对一切的n ∈N ＋均成立．。

课时作业15：2.3.1 数学归纳法~2.3.2　数学归纳法应用举例(二)

2.3.1 数学归纳法~2.3.2 数学归纳法应用举例(二)1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对 4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．6．k (k ≥3，k ∈N ＋)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)与f (k )的递推关系式为________．7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式成立时，左边增加的项数为________．8．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)．9．已知数列{a n}中，a1＝－23，其前n项和S n满足a n＝S n＋1S n＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想S n的表达式，并用数学归纳法加以证明．参考答案1.【答案】B【解析】∵n >1且n ∈N ＋，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证：1＋12＋13<2，选B. 2.【答案】C【解析】当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3.【答案】C【解析】观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k. 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4.【答案】C【解析】当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5.【答案】S n ＝2n n ＋1【解析】S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 6.【答案】f (k ＋1)＝f (k )＋k －1【解析】三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．7.【答案】2k【解析】左边增加的项数为2k ＋1－2k ＝2k .8.证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立．9.解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．。

2.3数学归纳法课时作业5

2.3数学归纳法课时作业5A 级基础巩固一、单选题1．用数学归纳法证明1+a+a 2),1(1121*++∈≠--=++N n a aa a n n 在验证n=1成立时,左边计算所得结果为（）A ． 1B ． 1+aC ．1+a+a 2D ．1+a+a 32a +2．如果命题P(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P(n)对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( )A ．P(n)对n ∈N *成立B ．P(n)对n ＞4且n ∈N *成立C ．P(n)对n ＜4且n ∈N *成立D ．P(n)对n≤4且n ∈N *不成立3．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（）A ．增加了一项12(1)k + B ．增加了两项11212(1)k k +++ C ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k + D ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + 4．用数学归纳法证明“n 3+(n+1)3+(n+2)3(n ∈N *)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开( )A ．(k+3)3B ．(k+2)3C ．(k+1)3D ．(k+1)3+(k+2)35．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出2(1)(1)f k k +≥+成立”．那么，下列命题总成立的是（）A ．若(1)1f <成立，则(10)100f <成立B ．若(2)4f <成立，则(1)1f ≥成立C ．若(3)9f ≥成立，则当1k 时，均有2()f k k ≥成立D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立6．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是( )A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++ 7．已知一个命题P (k ),k =2n (n ∈N ),若n =1,2,…,1000时,P(k )成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是 ( )A ．P(k )对k =2013成立B ．P(k )对每一个自然数k 成立C ．P(k )对每一个正偶数k 成立D ．P(k )对某些偶数可能不成立8．用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n 时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A ．k 2B ．12-kC ．12-kD ．12+kB 级综合提升9．某个命题与自然数n 有关，若*()n k k N =∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知5n =时，该命题不成立，那么可以推得A ．6n =时该命题不成立B ．6n =时该命题成立C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立10．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立．现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 A ．当n=7时该命题不成立B ．当n=7时该命题成立C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立二、填空题11．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n k =时，表达式为()()21427311k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=+，则当1n k =+时，表达式为_______.12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．在Rt ABC 中，三边分别为,,a b c ，其中c 为斜边，利用数学归纳法证明：()*2,n n n n a b n N c ≥≤∈+，首先验证n =_________.14．用数学归纳法证明()3*33,n n n n N ∈，第一步可以取到的自然数0n =_______.C 级拓展探究三、解答题15．已知数列{}n a 满足123a =-，112n n a a -=-+()*2,n n ∈N . （1）求2a 、3a ；（2）猜想数列通项公式n a ，并用数学归纳法给出证明.参考答案1．C【解析】解：因为用数学归纳法证明1+a+a 2),1(1121*++∈≠--=++N n a aa a n n 在验证n=1成立时，左边表示前三项和即为1+a+a 2，选C2．D【解析】解：利用互为逆否命题真值相同可知，如果P(n)对n ＝4不成立，则P(n)对n≤4且n ∈N *不成立选D3．C【解析】n k =时，左边11112k k k k =++++++,1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)k k k k =++++++++++, 111111()1212122k k k k k k k =+++-++++++++ 所以C 选项是正确的本题考查的知识点是数学归纳法,解决本题的关键是看清项的变化，及项数的变化．观察不等式11113(2)12224n n n n +++>>++ “左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k + 时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.4．A【解析】假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5．D【解析】解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当2()f k k ≥成立时，总可以推出2(1)(1)f k k +≥+成立，则能推断若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立．其余不成立．6．D【解析】由数学归纳法的证明步骤可知：当1n =时，等式的左边是123131234++++=+++，应选答案D ．7．D【解析】试题分析：由已知中命题p （k ），这里k=2n （n ∈N *），当n=1，2，…，1000时，p （k ）成立，并且当n=1000+1时它也成立，可得p （k ）对于1～1000内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可. 解：由于命题p （k ），这里k=2n （n ∈N *），当n=1，2，…，1000时，p （k ）成立，而当n=1000+1时，故p （k ）对于1～1000内的偶数均成立,而对其它数却不一定成立,故p （k ）对于k=2002不一定成立，,p （k ）对于某些偶数可能成立,p （k ）对于每一个偶数k 不一定成立,p （k ）对于每一个自然数k 不一定成立,故选D考点：数学归纳法点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，注意n 只能取部分偶数．8．A【解析】解：因为左边的特点：分母逐渐增加1，末项为n 121-；由n=k ，末项为k 121-到n=k+1，末项为k 1k k 1121212+=--+，∴应增加的项数为k 2，选A ．9．C【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用5n =时命题不成立，得出4n =时命题不成立，而6n =无法判断.由此得出正确选项.【详解】假设4n =时该命题成立，由题意可得5n =时，该命题成立，而5n =时，该命题不成立，所以4n =时，该命题不成立.而5n =时，该命题不成立，不能推得6n =该命题是否成立．故选C ．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.10．A【分析】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当()n k k N *=∈时命题不成立，则1()n k k N *=-∈命题也不成立，所以选A.【详解】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当()n k k N *=∈时命题不成立，则1()n k k N *=-∈命题也不成立，所以当8n =时命题不成立，则7n =命题也不成立，故答案为A【点睛】(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.11．()()()()()214273113412k k k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+++++=++【分析】当1n k =+时可确定表达式左侧增加的项和右侧的形式，进而得到结果.【详解】当1n k =+时，表达式左侧为：()()()142731134k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+++++，表达式右侧为：()()212k k ++，则当1n k =+时，表达式为()()()()()214273113412k k k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+++++=++. 故答案为：()()()()()214273113412k k k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+++++=++.12．1112212342++++> 【分析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．2【分析】根据要证明的不等式，确定首先验证的n 的值.【详解】由于要证明的是()*2,n n n n a b n N c ≥≤∈+，所以首先验证2n =时，222a b c +≤. 另外，若1n =，则有a b c +>，不满足n n n a b c +≤.故答案为：2【点睛】本小题主要考查数学归纳法，属于基础题.14．3【分析】根据n 的取值范围，判断出0n .【详解】由于要证明的是()3*33,n n n n N ∈，所以第一步03n =，满足3333≥. 故答案为：3【点睛】本小题主要考查数学归纳法，属于基础题.15．（1）34-，45-；（2）()*12n n a n n +=-∈+N ,证明见解析. 【分析】（1）依据递推关系可求2a 、3a .（2）根据（1）可猜测12n n a n +=-+，按照数学归纳法的基本步骤证明即可. 【详解】（1）234a =-，345a =-；（2）猜想数列通项公式12n n a n +=-+，证明如下：当1n =时，123a =-，1223n n +-=-+，所以12n n a n +=-+成立；假设n k =时成立，即12k k a k +=-+ ，当1n k =+时，()()1111121231222n k k k a k a k k k ++++=-=-=-=-+++++-+ ， ∴1n k =+时，12n n a n +=-+成立，综上，由①②得：()*12n n a n n +=-∈+N . 【点睛】由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必须用到归纳假设.。

课时作业14：2.3.1 数学归纳法~2.3.2　数学归纳法应用举例(一)

2.3.1 数学归纳法~2.3.2 数学归纳法应用举例(一)一、选择题1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N ＋)，第一步验证( )A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝42．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋143．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A. k 2＋1B. (k ＋1)2C. (k ＋1)4＋(k ＋1)22D. (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)24．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确二、填空题6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________.7．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________．三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋)．10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)．参考答案一、选择题1．【答案】C【解析】由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．2．【答案】D【解析】结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14. 3．【答案】D【解析】当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.4．【答案】D【解析】对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立．”5．【答案】B【解析】推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.二、填空题6．【答案】f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2【解析】∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.7．【答案】122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3【解析】当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 8．【答案】(k ＋1)2＋k 2【解析】当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.三、解答题9．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立．10．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k 2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立．。