az31镁合金

2.2 刚粘塑性有限元法基本力学方程

刚粘塑性有限元法一般是从刚粘塑性材料的变分原理或上限定理出发，按有限元模式把能耗率泛函表示为节点速度的非线性函数，利用数学上的最优化理论获得满足极值条件的最优解，即总能耗率取最小值的动可容速度场，进一步利用塑性力学的基本方程求出变形速度场、应力场、应变场以及其他变形参数。与弹塑性/弹粘塑性方法相比，这类有限元法在求解过程没有应力的累积误差，也不存在单元的逐步屈服问题，因而具有计算工作量小、精度高的优点，是求解超塑成形等大变形问题进而实现数值模拟的一种有效方法[42-44]。金属塑性变形过程复杂，在对成形过程进行有限元数值模拟时必须做出必要的假设和近似，以便于简化数学处理过程，提高计算效率[45]。采用刚塑性/刚粘塑性有限元法分析大变形问题时，通常对材料的变形特点和物理性能作如下假设：

(1)材料弹性变形可忽略不计；

(2) 材料体积不可压缩，变形过程体积不变；

(3) 材料均质且各向同性；

(4) 不计体积力和惯性力；

(5) 材料变形流动符合 Levy-Mises 屈服条件。

所以可近似认 n=0，则流动状态方程为：

εκ

σm

= (2-1)

式中：K 为与材料有关的常数；m 为应变速率敏感性指数。本构方程中系数由单向拉伸实验得到。

刚粘塑性材料发生塑性变形时，必须满足以下塑性力学的基本方程:

(1) 平衡方程

0,=σj ij (2-2)

几何方程

()u u i j j i ij ,,21

+=ε (2-3)

（3） 体积不可压缩方程

0==δεενij ij (2-4)

(4) 屈服准则

23'

'=σσσij

ij (2-5)

式中：σ 为等效应力。对于刚塑性材料有：

）（εσσ= (2-6)

对于刚粘塑性材料有：

),(εεσσ= (2-7)

（5）Levy-Mises 关系

'=σε

λij ij (2-8) σελ 23= (2-9) 式中：ε 为等效应变速率，且 εεε ij ij 3

2=

(6) 边界条件 边界条件为力边界条件和速度边界条件，在力面S F 上的应力边界条件为：

F n i j ij =σ (2-10)

在速度面上的速度边界条件为：

u u i i = (2-11)