学案10 函数模型及其应用
函数模型及其应用
函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。
二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。
题型1：一次函数模型因一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当0k >时，函数值的增长特点是直线上升；当0k <时，函数值则是直线下降。
例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。
现销售给A 地10台，B 地8台。
已知从甲地到A 地、B 地的运费分别是400元和800元，从乙地到A 地、B 地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数解析式； （2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的方案和最低运费。
题型2：二次函数模型二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k >。
（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围。
函数模型及其应用(第1课时)
目 录
• 引言 • 函数模型的基本概念 • 常见函数模型及其应用 • 函数模型的建立与求解 • 函数模型的应用实例
01 引言
课程简介
本课程将介绍函数模型的基本概 念、类型和特点，以及在实际问
题中的应用。
通过本课程的学习，学生将掌握 如何建立函数模型，分析模型的 性质，以及解决与函数模型相关
斜率
表示函数图像的倾斜程度，影 响函数的增减性。
截距
表示函数图像与y轴的交点。
应用
描述和分析现实生活中的线性 关系，如速度与时间的关系、
成本与数量的关系等。
指数函数模型
01
02
03
定义
$y = a^x$ 或 $y = a cdot x^n$，其中 $a > 0$ 且 $n neq 0$。
底数
决定函数增长或减少的速 度。
函数将一个输入值映射到一个 输出值，即对于给定的输入， 函数有一个唯一的输出与之对 应。
函数的定义域是输入值的集合， 而值域是输出值的集合。
函数的分类
二元函数
有两个输入变量的 函数。
离散函数
函数的定义域和值 域都是离散的点集。
一元函数
只有一个输入变量 的函数。
高维函数
有多个输入变量的 函数。
连续函数
应用
描述和预测指数增长或衰 减的情况，如人口增长、 复利计算等。
对数函数模型
定义
$y = log_a x$ 或 $y = x^n$，其中 $a > 0$ 且 $n neq 0$。
底数
决定对数函数图像的弯曲 程度。
应用
描述和预测两个量之间的 对数关系，如音量的分贝 数与距离的关系、放射性 衰变等。
高中函数模型的应用教案
高中函数模型的应用教案我们要明确函数模型教学的目标。
这不仅仅是让学生掌握函数的定义和性质，更重要的是让他们能够将函数模型应用于解决实际问题。
因此，我们的教案需要围绕这一核心展开，引导学生从具体问题出发，逐步抽象出函数模型，再应用到其他类似情境中去。
我们来看一个具体的教学案例。
假设我们要教授的是线性函数模型。
我们可以从学生们熟悉的生活实例入手，比如手机套餐的选择。
我们可以通过设计一个活动，让学生们根据不同的通话时长和流量需求，选择最合适的手机套餐。
在这个过程中，学生们需要分析数据，建立成本与服务之间的线性关系，从而抽象出线性函数的模型。
在这个活动中，教师的角色是引导者和协助者。
我们需要提供必要的数据信息，帮助学生们理解如何从表格中提取关键信息，如何将这些信息转化为图表，并最终建立起函数模型。
同时，我们还要鼓励学生们进行小组讨论，通过交流思考，共同解决问题。
为了让学生们更好地掌握函数模型的应用，我们还可以在课堂上引入更多的实践活动。
例如，我们可以让学生们调查学校周边的房价，然后利用他们收集到的数据，建立一个描述房价与房屋面积、地理位置等因素之间关系的函数模型。
这样的活动不仅能够提高学生们的实践能力，还能让他们体会到数学在实际生活中的广泛应用。
在教学过程中，我们还要注意培养学生们的批判性思维。
当学生们建立了函数模型之后，我们应该引导他们思考这个模型的局限性和适用范围。
比如，在房价的例子中，我们可以让学生们讨论还有哪些其他因素可能影响房价，以及他们的模型是否能够涵盖这些因素。
我们要确保学生们能够将所学的知识内化为自己的东西。
这意味着他们不仅要会建立和应用函数模型，还要能够在遇到新问题时，独立地思考和使用这些模型。
为此，我们可以设计一些开放性的问题，让学生们自己探索和解决。
这样不仅能够巩固他们的知识，还能激发他们的创造力和解决问题的能力。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
函数模型及其应用教案
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
生：仿照例题的探究方法||，选用具体函数进行研究、论证||，并进行交流总结||，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析||，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
1）教材P116练习1、2||；
2）教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义||，认识数学的价值||，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系||，从而体会数学的实用价值||，享受数学的应用美．
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据||，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响||，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用||，体会它们的增长差异．
(1)求出a、b的值||；
(2)若这种鸟类为赶路程||，飞行的速度不能低于2 m/s||，则其耗氧量至少要多少个单位？
答案与解析
(1)由题意可知||，当这种鸟类静止时||，它的速度为0 m/s||，此时耗氧量为30个单位||，故有 ＝0||，
即a＋b＝0||；当耗氧量为90个单位时||，速度为1 m/s||，故 ＝1||，整理得a＋2b＝1.
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型的概念，并掌握基本函数模型的构成和性质；2.掌握函数模型在实际问题中的应用方法；3.学会使用函数模型解决实际问题。
二、教学重点1.函数模型的构成和性质；2.函数模型在实际问题中的应用方法；3.使用函数模型解决实际问题的能力。
三、教学难点1.函数模型的抽象概念；2.函数模型在实际问题中的应用方法的理解和掌握；3.解决实际问题的能力培养。
四、教学内容和教学方法1. 教学内容本节课的教学内容是函数模型及其应用，其具体包括如下几个方面。
(1) 函数模型的概念•函数的定义；•函数的性质；•基本函数模型的构成和性质。
(2) 函数模型在实际问题中的应用•通过实际问题建立函数模型；•利用函数模型解决实际问题；•利用函数模型进行分析和预测。
2. 教学方法本节课的教学方法包括如下几种。
(1) 导入新知识引入新知识需要考虑让学生能够以不同的方式理解和掌握知识点。
推荐以下两种方式：•讲授法：通过讲解、演示、PPT等方式，向学生介绍函数模型及其应用的基本概念；•互动式教学法：引导学生进行讨论和思考，提高学生对知识的探究和理解能力。
(2) 训练实际应用能力针对练习实际应用能力的训练，可以采用以下方式：•例题讲解法：通过讲解一些有代表性的例题，引导学生了解函数模型的实用性；•自主创作法：鼓励学生尝试自行分析实际问题，创作并解决问题。
(3) 评估学习效果通过考试和检测学生的作品，了解学生掌握知识和应用能力的程度，为后续教学打好基础。
五、教学步骤1. 教师引入通过PPT、讲课、互动等方式，向学生介绍函数模型和应用的基本概念，引导学生开始对新知识感兴趣并逐渐理解。
2. 学生探究将学生分为小组，给每个小组分配一组实际问题，让他们分析并在小组内讨论问题的解决办法，然后将结果展示给全班。
3. 老师讲解针对学生提出的问题和讨论，教师进行针对性的讲解，帮助学生掌握和理解函数模型的应用方法。
《2.10第十节 函数模型及其应用》 学案
学习过程一、复习预习1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？3.涵数与方程的关系二、知识讲解考点1 几种常见的函数模型3 / 23考点2 三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．三、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③5 / 23【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.7 / 23【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．9 / 23【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．11 / 23【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.13 / 23【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝c －r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分) 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费最小时r＝320c－2.⇨(12分)15 / 23四、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m217 / 233．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，将三角形APM 的面积y 看作路程x 的函数，则其函数图象大致是()【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．19 / 23【拔高】6．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．21 / 238．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．课程小结23 / 23。
高三数学高考考前复习：函数模型及其应用教案
第十节函数模型及其应用一、复习目标：1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
二、重难点：重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。
难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。
新课标要求及考纲要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
高考命题考查情况及预测：函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考查。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2010年的高考，将再现其独特的考查作用，而函数类应用题，是考查的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
函数模型及其应用教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校Modeling and Problem Solving——函数模型及其应用教案中澳课程部王晓叶学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。
这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。
MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。
所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。
但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。
教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。
2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。
3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。
教学重难点：1.建立合适的函数模型2.利用得到的函数模型解决实际问题教学过程一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟）案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。
”目前，他正在接受警方调查。
警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。
Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and theafter it braking.b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way?（设计意图：从生活案例引入新知，激发学生的学习兴趣。
函数模型及其应用
函数模型及其应用[考纲传真]1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．【知识通关】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[常用结论]形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0]和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.【基础自测】1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是()x 0.500.992.013.98y －0.990.010.982.00C．y＝2x－2 D．y＝log2xD3．一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是()A．70台B．75台C．80台D．85台B4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5% D ．不增不减A5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/k m ，如果超过100 k m ，超过100 k m 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0＜x ≤1000.4x ＋10，x ＞100【题型突破】用函数图象刻画变化过程1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )A B C DD2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )A B C DB3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D[方法总结]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.应用所给函数模型解决实际问题【例1】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解](1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． [方法总结] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.易错警示：(1)解决实际问题时要注意自变量的取值范围.(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟D ．4.25分钟(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． (1)B (2)16构建函数模型解决实际问题【例2】 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115. 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤6，x ∈N *. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N *，∴6＜x ≤20(x ∈N *)，故y ＝⎩⎨⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈N *). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185. 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *)， 当x ＝11时，y max ＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． [方法总结] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋ax (a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年B函数模型的选择【例3】 (2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋7；③f (x )＝log q (x ＋p )．其中p ，q 均为常数且q ＞1.(注：x 表示上市时间，f (x )表示价格，记x ＝0表示4月1号，x ＝1表示5月1号，…，以此类推x ∈[0,5])(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f (x )，若f (2)＝11，f (3)＝10，记g (x )＝f (x )－2x －13x ＋1，经过多年的统计发现，当函数g (x )取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？[解] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势， 故应该选择②f (x )＝px 2＋qx ＋7.(2)由f (2)＝11，f (3)＝10解得f (x )＝－x 2＋4x ＋7. g (x )＝f (x )－2x －13x ＋1＝－x 2－2x ＋6x ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋(x ＋1)－4.因为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋(x ＋1)－4≤－2，当且仅当x ＋1＝3，即x ＝2时等号成立． 所以明年拓展外销的时间应为6月1号．[方法总结] 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择. (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a＜0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a＞0).(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快.列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为()A．f(x)＝20×⎝⎛⎭⎪⎫12xB．f(x)＝－6log3x＋8C．f(x)＝x2－12x＋19D．f(x)＝x2－7x＋14D。
函数模型及其应用教案
本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华•本课内容是课本必修1中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。
通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题，函数模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成【知识导图】教学过程」、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节, 是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状^态。
导入的方法很多，仅举两种方法：①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
二、知识讲解（考点对实解决题进行抽象题的解题过程际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用X、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3 ）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解这些步骤用框图表示：间的关系，数据的单位等等；(2 )建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
类型一、用函精图象刻画变化过程例题1(1) 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()(2) 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案与解析解析(1) y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A, C;又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B,故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.【总结与反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2) 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.例题2 I某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中(2)的抛物线表示.图2—10(1)写出图中(1 )表示的市场售价与时间的函数关系式P= f (t);写出图中(2 )表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102, kg ,时间单位：天)答案与解析f ( t )=严-兰200，、2t —300,200 ct 兰 300;(t - 150) 2+ 100, 0W W00.200(2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t ) = f (t ) - g (t ),—- t^-^175,^^<200,即 h ( t )“2002 2Lt 27t-1025,20^J< 300..200 2 2得区间［0, 200］上的最大值 100;1 2当 200v t<300 时，配方整理得 h (t )=—(t — 350) 2+ 100，所以，当 t = 300 时，h200(t )取得区间(200, 300］ 上的最大值 87.5.综上，由100> 87. 5可知，h (t )在区间］0, 300］ 上可以取得最大值 100,此时t = 50 , 即从二月一日开始的第 50天时，上市的西红柿纯收益最大.类型二已知函数模型的实际问题候鸟例题年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v = a • blog 3Q(其中a 、b 是实数).据10统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1) 求出a 、b 的值；⑵若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？答案与解析(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a bg 30 = 0,10解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为当0W€00时，配方整理得h (t )=-1 200(t — 50) 2+ 100,所以，当 t = 50 时，h (t )取90即a+ b= 0;当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故a ■ blog3= 1,整理得a+ 2b10=1.3+ b= 0, a=—1,解方程组彳得*3+ 2b= 1, b= 1.Q 一、Q⑵ 由(1)知，v=—1 + log 3yo・所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则有v>2,即一1 + log 3和》2,Q 即log 3^>3,解得Q>270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.【总结与反思】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.⑶利用该模型求解实际问题.类型三构造函数模型的实际问题A B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y12=4.1 x —0.1 x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2= 2x,其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A. 10.5万元B. 11万元C. 43万元D. 43.025万元答案与解析解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16 —x)辆，所以22 2 21 2 21 可得利润y= 4.1 x —0.1 x + 2(16 —x) =—0.1 x + 2.1 x + 32=—0.1( x —-^) + 0.1 X —+ 32.因为x€ [0,16]，且x€ N,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值43万元.例题2(1) 世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2 : 0.3010,100.0075 : 1.017 )( )A. 1.5% B . 1.6% C . 1.7% D . 1.8%(2) 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A. 略有盈利B. 略有亏损C. 没有盈利也没有亏损D. 无法判断盈亏情况答案与解析答案⑴C (2)B40解析(1)设每年人口平均增长率为x，则(1 + X)= 2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1+ x) = lg 2，所以lg(1 + x) ~0.007 5，所以100'007 5= 1 + X,得1 + x~ 1.017，所以x~ 1.7%.C⑵设该股民购进这支股票的价格为a元，贝U经历n次涨停后的价格为a(1 + 10%)n= a x 1.1 n元，经历n 次跌停后的价格为a x 1.1 n x(1 —10%)n= a x 1.1 n x0.9 n= a x(1.1 x0.9) n=0.99 n• a<a，故该股民这支股票略有亏损. B例题3某帀出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案与解析答案9解析设出租车行驶x km时，付费y元，9, 0<x<3,则y= 8 + 丄丨；〕x —v + 1, 3<x W8,v_8 + 2.15 x 5+ 2、号J x —8 + 1, x>8,由y= 22.6，解得x= 9.【总结与反思】构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.四、课堂运用1. 已基础方形ABCD勺边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x, △ ABP的面积为S,则函数S= f(x)的图象是()2. 某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.3. 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过 _______________ 小时才能开车.(精确到1小时)4. 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5万元，此外每年都要花 费一定的维护费，第一年的维护费为 2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年 增加2万元•为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 ()A. 10 B • 11 C • 13 D • 21答案与解析1. 【答案】D【解析】依题意知当 0W x W4 时，f (x ) = 2x ；当 4<x W8 时，f (x ) = 8;当 8<x W 12 时，f (x ) = 24 — 2x , 观察四个选项知，选 D.2. 【答案】19【解析】由图象可求得一次函数的解析式为y = 30x — 570，令30x — 570= 0,解得x = 19.3. 【答案】(1)5【解析】设经过x 小时才能开车.x由题意得 0.3(1 — 25%) < 0.09 ,0.75 x < 0.3 , x > log 0.75 0.3 〜4.19.二 x 最小为 5. 4. 【答案】A【解析】设该企业需要更新设备的年数为 x ,设备年平均费用为y ,则x 年后的设备维护费用为 2 + 4 +…+ 2x = x (x + 1), 所以x 年的平均费用为100 + 0.5 x + x x + J. y = x100=x +v +1.5,A.巩固1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为0.3 mg/mL ,在停止喝酒后，血液中 由基本不等式得y =x + 型 + 1.5 >2x • ---- + 1.5V X=21.5，当且仅当 100即x = 10时取等号，所以选"400— 6x , 0<x w 40,(1) 写出年利润 W 万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.答案与解析__ 2—6x + 384x — 40, 0<x w 40, 1 答案(1) W= 40 000——16x + 7 360 , x >40.解析(1)当 0<x w 40 时，W xR (x ) — (16 x + 40)2=—6x + 384X — 40, [2 分]当 x >40 时，W xR (x ) — (16 x + 40)40 000 =— —16x + 7 360.x__ 2—6x + 384x — 40 , 0<x w 40,所以W 40 000J — x — 16x + 7 360 , x >40.2⑵①当 0<x w 40 时，W=— 6(x — 32) + 6 104 , 所以 Wax = W (32) = 6 104 ; [6 分] ②当 x >40 时，Wl=—40 000— 16x + 7 360 ,即x = 50€ (40,+^)时，取等号 所以W 取最大值为5 760.［10分］ 综合①②知，当x = 32时，W 取得最大值6 104万元.拔高］1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药. 对用一定量的水清洗一次 的效果作如下假定：用1个单1位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残2留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次 以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农Rx)万美兀，且 Rx) = * 7 400 x40 000，x >4°.(2) W 取得最大值6 104万元.由于40 000x+ 16x >240 000 .xx 16x = 1 600当且仅当40 000x16x ,药量之比为函数f (x).(1)试规定f ( 0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f (x)应该满足的条件和具有的性质；1(3)设f (x)= -，现有a (a> 0)单位量的水，可以清洗一次，也1 +x2可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由2. 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。
高一数学《函数模型及其应用》教案-教育文档
高一数学《函数模型及其应用》教案
函数模型及其应用(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解解实际应用题的一般步骤;
2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;
3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.
2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括
建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键.
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义
域 .
【精典范例】
例1.写出等腰三角形顶角 (单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本 (万元)、销售收入 (万元)以及利润 (万元)关于总产量 (台)的函数关系
式.
分析：销售利润销售收入成本 ,其中成本 (固定成本可变成本).
【解】总成本与总产量的关系为
单位成本与总产量的关系为
销售收入与总产量的关系为
利润与总产量的关系为。
高一数学必修教案《函数模型及其应用》
高一数学必修教案《函数模型及其应用》自己整理的高一数学必修教案《函数模型及其应用》相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！[第1条]【内容】建立描述现实问题的功能模型【内容分析】功能模型本身来源于现实，用于解决实际问题。
因此，这一节的内容是让学生有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，实现数学在实际问题中的应用价值。
同时，本课题是学生在学习初中函数的形象和性质的基础上，刚刚进入高中的探究式课堂教学。
学生在解决某一具体问题的过程中，可以从理解知识升华到熟练应用知识，从而辩证地看待知识理解与知识应用的关系，这种关系与所学的功能知识是紧密联系、相辅相成的。
另一方面，函数模型本身是与实际问题相结合的，空谈理论只能导致学生无法真正理解函数模型的应用以及在应用过程中建立和解决问题的过程，而从简单、典型、熟悉的函数模型中提取的思想和方法更容易被学生接受。
同时，学生要从简单的例子中学习，感受函数模型的选择和建立。
由于函数模型的建立离不开函数图像和数据表，会有一定量的原始数据处理，可能会用到计算机、计算器和图形工具，我们的教学更应该注重通过对实际问题的分析过程来选择合适的函数模型和函数模型的构建过程。
在这一过程中，学生应注重模型的建立，同时体验模型建立的可操作性和有效性，学习模型建立解决实际问题，培养和发展组织思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
[教学目标](1)反映建立功能模型描述实际问题的基本过程。
(2)了解功能模型的广泛应用(3)通过学生的操作和探究，提高学生发现、分析和解决实际问题的能力(4)提高学生探索和学习新知识的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度【重点】了解并建立一个功能模型来描述现实问题的基本过程，了解功能模型的广泛应用【难点】建立函数模型描述实际问题中的数据处理【教学目标分析】通过对整堂课抽样样本的分析和处理，学生认识到这门课的重点是用函数建模来刻画实际问题的基本过程，提高解决实际问题的能力。
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收费标准不同,甲 【分析】用水量的不同,收费标准不同 甲、乙两户 分析】用水量的不同 收费标准不同
名师伴你行
的用水量分别为5x,3x，需分段列函数式，根据所列的 ，需分段列函数式， 的用水量分别为 分段函数分析判断共交水费26.4元，甲、乙应分别为 元 分段函数分析判断共交水费 多少. 多少 解析】 当甲的用水量不超过 吨时,即 当甲的用水量不超过4吨时 【解析】 (1)当甲的用水量不超过 吨时 即5x≤4,乙 乙 的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x; 的用水量也不超过 吨 当甲的用水量超过4吨 乙的用水量不超过 乙的用水量不超过4吨 当甲的用水量超过 吨,乙的用水量不超过 吨, 即3x≤4,且5x>4时, 且 时 y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4) × × =20.4x-4.8.当乙的用水量超过 吨,即3x>4时, 当乙的用水量超过4吨 即 当乙的用水量超过 时 y=2×4×1.8+3×［(3x-4)+(5x-4)］=24x-9.6. × × × ］ 返回目录
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(1)求证 四边形 求证:四边形 是正方形; 求证 四边形EFGH是正方形 是正方形 (2)E,F在什么位置时 定制这批地砖所需的材料的费用最省 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料的费用最省 在什么位置时 定制这批地砖所需的材料的费用最省?
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(1)证明 图(2)是由四块图 所示地砖绕点 按顺时 证明:图 是由四块图 所示地砖绕点C按顺时 是由四块图(1)所示地砖绕点 证明 针旋转90°后得到的 △ 为等腰直角三角形,∴ 针旋转 °后得到的,△CFE为等腰直角三角形 ∴四边 为等腰直角三角形 是正方形. 形EFGH是正方形 是正方形 (2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为 制成 设 每块地砖的费用为W,制成 则 每块地砖的费用为 和四边形AEFD三种材料的每平方米价格 △CFE,△ABE和四边形 △ 和四边形 三种材料的每平方米价格 依次为3a,2a,a(元), 元 依次为 1 1 2 W= x ·3a+ ×0.43;〔 0.16- x2- ×0.4×(0.4-x) 〕a 〔 × 2 2 =a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.3］(0<x<0.4). ［ ］ 有最小值,即总费用最省 由a>0,当x=0.1时,W有最小值 即总费用最省 当 时 有最小值 即总费用最省. 米时,总费用最省 答:当CE=CF=0.1米时 总费用最省 当 米时 总费用最省. 返回目录
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（3）求模：求解数学模型，得出数学结论； ）求模：求解数学模型，得出数学结论；
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（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还 ）还原：将利用数学知识和方法得出的结论， 原为实际问题的意义. 原为实际问题的意义 2.常见的几种函数模型 常见的几种函数模型 (1)一次函数型 一次函数型y=kx+b; 一次函数型 k (2)反比例函数型 反比例函数型y= (k≠0); 反比例函数型 x (3)二次函数型 二次函数型y=ax2+bx+c(a≠0); 二次函数型 (4)指数函数型 指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题 增长率问题)(x>0); 指数函数型 增长率问题 (5)对数函数型 对数函数型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0); 对数函数型 且 (6)分段函数型 分段函数型. 分段函数型 返回目录
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考向预测
1.新课标下 重视了应用问题的探究 因而本部分内容 新课标下,重视了应用问题的探究 新课标下 重视了应用问题的探究,因而本部分内容 将是高考的重点内容. 将是高考的重点内容 2.以解答题为主 考查数学建模能力以及分析问题、 以解答题为主,考查数学建模能力以及分析问题 以解答题为主 考查数学建模能力以及分析问题、 解决问题的能力，属于中、高档题，偶尔也会在选择、 解决问题的能力，属于中、高档题，偶尔也会在选择、 填空题中考查. 填空题中考查 3.几种增长型的函数模型的应用可能会成为高考的 几种增长型的函数模型的应用可能会成为高考的 又一生长点. 又一生长点
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某人定制了一批地砖,每块地砖 如图中 所示)是边长 某人定制了一批地砖 每块地砖(如图中 所示 是边长 每块地砖 如图中(1)所示 米的正方形ABCD,点E,F分别在边 和CD 分别在边BC和 为0.4米的正方形 米的正方形 点 分别在边 和四边形AEFD均由单一材料制成 制 均由单一材料制成,制 上,△CFE,△ABE和四边形 △ △ 和四边形 均由单一材料制成 成△CFE,△ABE和四边形 和四边形AEFD的三种材料的每平方 △ 和四边形 的三种材料的每平方 米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中 所示的 若将此种地砖按图中(2)所示的 米价格之比依次为 若将此种地砖按图中 形式铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形 形式铺设 能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH. 能使中间的深色阴影部分组成四边形
所以甲户用水量为5x=7.5吨, 吨 所以甲户用水量为 付费S 付费 1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); × × 元 乙户用水量为3x=4.5吨, 吨 乙户用水量为 付费S 付费 2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). × × 元 返回目录
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本题主要考查运用函数知识解决实际问题的能力, 本题主要考查运用函数知识解决实际问题的能力 考查分析问题能力和数学思维能力.本题充分体现了数 考查分析问题能力和数学思维能力 本题充分体现了数 学建模思想,在解题思维中蕴含着分类讨论思想 学建模思想 在解题思维中蕴含着分类讨论思想. 在解题思维中蕴含着分类讨论思想
若
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二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函 二次函数是我们比较熟悉的基本函数 建立二次函 数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题 值 数模型可以求出函数的最值 解决实际中的最优化问题,值 解决实际中的最优化问题 得注意的是:一定要注意自变量的取值范围 根据图象的 得注意的是 一定要注意自变量的取值范围,根据图象的 一定要注意自变量的取值范围 对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨 论求解. 论求解
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考点2 考点2 分段函数型
某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 吨 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过4吨 每户每月用水不超过 每吨为1.80元,当用水超过 吨时 超过部分每吨 当用水超过4吨时 超过部分每吨3.00元. 时,每吨为 每吨为 元 当用水超过 吨时,超过部分每吨 元 某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用 某月甲、乙两户共交水费 元 已知甲、 水量分别为5x,3x（吨）. （ 水量分别为 (1)求y关于 的函数 求 关于 的函数; 关于x的函数 (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙 若甲、乙两户该月共交水费 若甲 元 分别求出甲、 两户该月的用水量和水费. 两户该月的用水量和水费 返回目录
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1.构建函数模型的基本步骤 1.构建函数模型的基本步骤 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律, 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律 生活、 函数模型可以处理生产 、生活、 科技中很多实际问 题. 解决应用问题的基本步骤: 解决应用问题的基本步骤 弄清题意,分析条件和结论 理顺数量关系, （1）审题 弄清题意 分析条件和结论 理顺数量关系 ）审题:弄清题意 分析条件和结论,理顺数量关系 恰当选择模型; 恰当选择模型 将文字语言、 （2）建模 将文字语言、图形（或数表）等转化为数 ）建模:将文字语言 图形（或数表） 学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
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即固定投入) 某工厂生产一种机器的固定成本 (即固定投入 为0.5万 即固定投入 万 但每生产100台,需要加可变成本 即另增加投 需要加可变成本(即另增加投 元,但每生产 但每生产 台 需要加可变成本 万元.市场对此产品的年需求量为 入)0.25万元 市场对此产品的年需求量为 万元 市场对此产品的年需求量为500台,销售的 台 销售的 出的数量(单位 百台 出的数量 单位:百台 单位 百台). (1)把利润表示为年产量的函数 把利润表示为年产量的函数; 把利润表示为年产量的函数 (2)年产量是多少时 工厂所得利润最大 年产量是多少时,工厂所得利润最大 年产量是多少时 工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时 工厂才不亏本 年产量是多少时,工厂才不亏本 年产量是多少时 工厂才不亏本?
所以y= 所以
{
14.4x,0≤x≤
4 20.4x-4.8, <x≤ 5 4 24x-9.6,x> . 3
4 5
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4 3
(2)由于 由于y=f(x)在各段区间上单调递增 在各段区间上单调递增, 由于 在各段区间上单调递增
4 4 当x∈[0, 5 ]时,y≤f( )<26.4; ∈ 时 5 4 4 当x∈( , ]时,y≤f( 4)<26.4; ∈ 时 5 3 3 4 解得x=1.5. 当x∈( ,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得 ∈ 时令 解得 3
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学案10 学案10 函数模型及其应用
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考纲解读 考向预测 考点1 考点1 填填知学情 课内考点突破 规律探究
考点2 考点2 考点3 考点3 考点4 考点4
名师伴你行
考纲解读
(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征， (1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征， 了解指数函数 函数 结合具体实例体会直线上升、指数增长、 结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增 模型 长等不同函数类型增长的含义. 长等不同函数类型增长的含义. 及其 (2)了解函数模型 如指数函数、对数函数、 了解函数模型（ 应用 (2)了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 的广泛应用. 型）的广泛应用.