曲线箱梁静动力特性的有限段元分析

文章编号:100128360(2001)0520081204曲线箱梁静动力特性的有限段元分析吴亚平1,2,　赖远明2,　张学富2,　朱元林2(1兰州铁道学院土木建筑学院,甘肃兰州730070;　2中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室,甘肃兰州　730000)摘　要:以能量原理为基础,考虑剪力滞后效应和翘曲扭转(包括二次翘曲剪切)的影响及转动惯量对质量矩阵的贡献,提出了一种用于分析单室或多室曲线薄壁箱梁桥静力及动力学特性的曲梁单元法,推导了单元刚度矩阵、质量矩阵和节点荷载列阵。

作为验证,在算例中对一曲线薄壁箱梁模型的静力及动力特性(包括正应力、竖向位移、自由振动特性、结构对移动荷载及地震荷载的响应)进行了分析,并将本文数值结果与试验结果和板壳有限元方法所得结果进行比较,证明了本文方法是有效的。

关键词:薄壁箱梁;剪力滞后;翘曲扭转;曲梁单元;静力及动力学特性中图分类号:U448.213 文献标识码:AAnalysis of f i n ite beam elem en t for static and dynam iccharacter istics of curved box beam sW U Ya2p ing1,2,　LA I Yuan2m ing2,　ZHAN G Xue2fu1,　ZHU Yuan2lin2(1Schoo l of C ivil Engineering and A rch itecture,L anzhou R ail w ay U niversity,L anzhou730070,Ch ina;　2State Key L abo rato ry of F rozen So il Engineering,Co ld and A rid R egi ons Environm ental and EngineeringR esearch Institute,Ch inese A cadem y of Sciences,L anzhou730000,Ch ina)Abstract:B ased on the energy p rinci p le,th is p ap er p resen ts a fin ite cu rved beam elem en t m ethod fo r analyzing the static and dynam ic behavi o rs of cu rved th in2w alled box beam b ridge.In the p rocedu re to fo rm u late the stiff2 ness m atrix and m ass m atrix,the shear lag,w arp ing to rsi on and ro tati onal inertia effects are taken in to ac2 coun t.F inally,fo r an app licati on exam p le,the free vib rati on characteristics and respon ses of the no rm al stress and the vertical disp lacem en t to static load,m oving load and earthquake load are analyzed.T he com p arison of num erical resu lts am ong th is p ap er,fin ite shell elem en t m ethod and m odel test p rove the validity of p resen t ap2 p roach.Keywords:th in2w alled box beam;shear lag;w arp ing to rsi on;cu rved box beam elem en t;static and dynam ic characteristics 具有开口和闭口薄壁曲线梁被广泛应用在桥梁工程中,尽管用于分析这种结构的方法很多,如有限板壳元法、有限条法、折板法等,但由于众所周知的原因,有限梁单元法在经济和分析方面有许多的优点。

对于曲线薄壁梁静力问题的解析分析,V lasov[1]奠定了基础,给出该问题的一般解法,随后D ab row ak i[2]对其作了一些改进工作,钱寅权[3]、罗旗帜[4]等引入了剪力滞后收稿日期:2000209208;修回日期:2001204230基金项目:铁道部专项基金资助项目(J99Z097),甘肃省自然科学基金资助项目(ZS9912A2220212G),中科院百人计划项目(赖远明)作者简介:吴亚平(1958—),男,浙江吴兴人,教授,硕士。

效应的影响,进一步发展了上述理论。

但在他们的工作中没有考虑由翘曲扭转产生的二次翘曲剪切变形。

至于利用有限元方法的研究,在过去数十年中,国内外学者已发表了一些有关曲线箱梁静力和动力分析的论文[4～8]。

但总的来说,利用曲线梁段单元并考虑剪力滞后和翘曲扭效应及转动惯量对质量矩阵的贡献来分析曲线薄壁箱梁,特别是动力问题的论述还未见报道。

本研究以能量原理为基础,发展了一种新的曲线薄壁箱型梁段单元分析方法,这种方法在分析曲线箱梁的静力及动力问题时,考虑了剪力滞后和翘曲扭转(包括二次翘曲剪切变形)的影响及转动惯量对质量矩第23卷第5期铁 道 学 报V o l.23　N o.5 2001年10月JOU RNAL O F TH E CH I NA RA I LW A Y SOC IET Y O ctober　2001阵的贡献。

在算例中分析了曲线薄壁箱梁的自由振动特性,以及对移动荷载和地震荷载的响应,得出一些有意义的结论,可供工程设计参考。

1　曲线箱梁单元的静力学基础对于图1所示的曲线箱梁单元,o 、c 分别为截面的形心和剪切中心,建立自然轴系oxy z ,则截面上o 点沿x 、y 、z 方向的位移分别为u 、v 、w ,此外设截面绕x 、y 轴和剪切中心的转角分别为Ηx 、Ηy 、Ηz。

图1　曲线梁单元设由剪滞效应引起的翼板翘曲位移为Ws=Rf (x ,y )<=R[ws 0-yw s (x )]<(z )(1)式中,f (x ,y )为由剪滞效应产生的翘曲形函数;w s 0为常量;w s (x )为沿翼板的不均匀分布函数。

对于单室或多室箱梁均可采用三次抛物线函数[9]。

考虑曲率的影响,由剪滞效应产生的正应力及剪应力分别为Ρs =E9W s z =E Rf (x ,y )<′(z )=ERΘ[w s 0-yw s (x )]<′(z )(2)Σs =G 9W s 9x =-G R Θd w sd xy <(z )(3)式中,“′”为对z 坐标求导;w s 0由∫AΡsd A =0确定。

另外,很明显,式(3)满足截面平衡条件∫AΣsd A =0。

剪滞效应产生的竖直弯矩M sx 为Msx=∫AΡsy d A =-E I sx <′(4)式中,I sx =-∫ARΘy f (x ,y )d A 。

考虑式(2)、式(4),总的竖直弯矩及对应的正应力分别为M x =-E I x (v ″+ΗzR2)-E I sx <′(5)Ρb =[-E y (v ″+ΗzR2)+E (ws 0-yw s (x ))<′]RΘ=R Θ(Mx-MsxI xy -(ws 0-yw s )M sxI sx)(6)式中,M x 和M sx 由M xB 、B 和M <决定,见式(9)、式(10)。

忽略由弯曲剪力产生的应变能,单元中的应变能为U 1=12∫lN2EAd z +12∫l0M 2yE I yd z +12∫lT 2svGK td z -12∫lT 2ΞδG (K t-I c)d z +12∫lB 2E I Ξδd z +12∫∫(Ρ2bE +Σ2sG)d A d z (7)式中第四项是由二次翘曲剪切产生的应变能,N 、M y 、T sv 、T Ξδ、B 分别为轴力、横向弯矩、自由扭矩、翘曲扭矩和双力矩。

外荷载产生的势能U 2为U 2=-∫l(q xu +q y v +q z w +m z Ηz )d z -(Q x u +Q y v +N w +MxBΗx +M y Ηy +B Β+M <<) l(8)式中,q x 、q y 、q z 为沿x 、y 和z 轴方向的分布荷载;m z 为对剪切中心的分布扭矩。

系统的总势能为0=U 1+U 2,由文献[6]中的内力表达式,及式(2)、式(3)、式(7)、式(8),根据最小势能原理∆0=0可得到单元的平衡微分方程组和自然边界条件,这里只列出了Ηx 与<及对应的内力表达式M xB=M x+BR ∆Ηx ≠0(9)M<=(I sxI x-I sI sx)M sx-I sxI xM x(10)式中,I s =-∫A[RΘ(ws 0-yw s )]2d A对于梁单元,设m z =m ′z =0,忽略高阶微量项,可得到满足平衡微分方程组的双力矩B 修正后的表达式(考虑剪力滞后效应的影响)为B =E I ΞδΛ[Β′+(1-2Λ-E I x G I c )v ″R-E I sx G I c <R](11)式中,Λ=1-K t I c K t =E I ΞδG Λ2I c2　曲线箱梁单元的动力学方程对于曲梁单元,忽略剪切中心和形心之间的区别,忽略偶合因素,根据动力学原理,由线速度和角速度产生的动能为T =12∫l 0ΧA [(u α)2+(v α)2+(w α)2]d z +12ΧI x ∫l 0(Η x )2d z +12ΧI y ∫l 0(Η y )2d z +12ΧI c ∫l 0(Ηz )2d z +28　铁 道 学 报第23卷12ΧI Ξδ∫l 0(Βα)2d z +12ΧI s ∫l(<)2d z(12)式中,第5及第6项分别为由扭转翘曲和剪力滞后效应产生的动能;Χ为质量密度;“・”为对时间求导。

利用多项式插值函数可将单元内部位移Γ用与对应的单元节点位移{∆Γ}表示,即Γ=[N Γ]{∆Γ} (Γ=u ,v ,w ,Υ,<)(13)式中,[N Γ]为与位移Γ对应的插值形函数{∆u }=[u i Ηy i u j Ηy j ]T {∆v }=[V i Ηx i V j Ηx j ]T{∆Υ}=[Ηz i Βi Ηz j Βj ]T {∆<}=[<i <j ]T{∆w }=[w i w j ]T 与位移Γ对应的等效节点荷载向量{R Γ}可被表示为{R Γ}=∫l[N Γ]T p Γd z (14)(Γ=u ,v ,w ,Υ及p Γ=q x ,q y ,q z ,m z )把式(13)代入式(7)、式(8)、式(12)中,注意式(8)中的边界力应转化成节点力,及关系式Ηy =u ′,Ηx =-v ′,由拉格朗日方程,可得曲线箱梁单元的动力学方程为d d t (9T9{∆αΓ})-9T 9{∆Γ}+909{∆Γ}=-[C Γ]{∆αΓ}(Γ=u ,v ,w ,Υ,<)(15)式中,[C Γ]为与位移Γ对应的阻尼矩阵。