2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
2020-2021学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x≤3}D．R2．已知a∈R，若（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．4．若a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna﹣b＞lnb﹣a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝（﹣1）cos x（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）A．B．C．D．6．已知随机变量ξ满足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E（ξ）＝，则D（ξ）＝（）A．B．C．D．7．已知（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），则a1＝（）A．﹣30B．30C．﹣40D．408．已知实数a，b满足|b|≤2﹣a，且a≥﹣1，则2a+b的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣19．设函数f（x）＝lnx﹣﹣2mx+n，若不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则的最大值为（）A．B．C．e D．2e10．设数列{a n}满足a1＝3，a2＝6，a n+2＝（n∈N*），（）A．存在n∈N*，a n∉QB．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等差数列C．存在n∈N*，a n＝D．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．计算lg2﹣lg＝；4＝．12．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝，△ABC的面积等于．13．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a2+b2的最小值等于，+的最大值等于．14．已知tanα＝cosα，则cos2α+cos4α＝，＝．15．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是．16．平面向量，的夹角为60°，且|﹣|＝1，则•（+2）的最大值为．17．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，若sin A sin C﹣sin2C＝sin2A﹣sin2B，求f（B）的值．19．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣|ax﹣2|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝2，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）设x1，x2，x3，x4是函数y＝f（x）+1的四个不同的零点，且x1＜x2＜x3＜x4．问是否存在实数a，使得x2，x3，x4成等差数列？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．20．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且BF＝2FA．若AD＝1，AB＝，CB＝CD＝．（Ⅰ）求证：AG∥平面CEF；（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成的角．21．在数列{a n}中，a1＝1，a2k﹣1，a2k，a2k+1（k∈N*）成等比数列，公比为q k＞0．（Ⅰ）若q k＝2，求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（Ⅱ）若a2k，a2k+1，a2k+2（k∈N*）成等差数列，公差为d k，设b k＝．①求证：{b n}为等差数列；②若d1＝2，求数列{d k}的前k项和D k．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x+1）2，a∈R恰好有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求证：存在实数m∈（），使0＜a＜m；（Ⅱ）求证：﹣＜f（x1）＜﹣．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x≤3}D．R解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≤1或x≥2}，∴A∪B＝R．故选：D．2．已知a∈R，若（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，则有4a＝0，a2﹣4＝﹣4，解得a＝0．故选：B．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选：B．4．若a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna﹣b＞lnb﹣a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当a＞0，b＞0时，若a＞b，则lna＞lnb，此时a+lna＞b+lnb成立，即充分性成立，设f（x）＝x+lnx，当x＞0时，f（x）为增函数，则由a+lna＞b+lnb得f（a）＞f（b），即a＞b，即必要性成立，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C．5．函数f（x）＝（﹣1）cos x（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）A．B．C．D．解：f（x）＝•cos x＝•cos x，则f（﹣x）＝•cos x＝•cos x＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，排除A，C，当0＜x＜时，f（x）＜0，排除B，故选：D．6．已知随机变量ξ满足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E（ξ）＝，则D（ξ）＝（）A．B．C．D．解：由已知可得：P（ξ＝﹣1）＝﹣a+b，P（ξ＝0）＝b，P（ξ＝1）＝a+b，则﹣a+b+b+a+b＝1，即b＝，又E（ξ）＝﹣1×（﹣a+b）+0×b+1×（a+b）＝，所以a＝，所以ξ的分布列如下：ξ﹣101P所以D（ξ）＝，故选：B．7．已知（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），则a1＝（）A．﹣30B．30C．﹣40D．40解：∵（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），令f（x）＝（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），则f′（x）＝2x＝a1+a2（x﹣1）1+…+a9（x﹣1）8，f′（x）＝2x•（2x﹣1）7+（x2+1）•14（2x﹣1）6，∴a1＝f′（1）＝2×1+2×14×（2﹣1）6＝30故选：B．8．已知实数a，b满足|b|≤2﹣a，且a≥﹣1，则2a+b的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣1解：不等式|b|≤2﹣a可化为﹣2+a≤b≤2﹣a，且a≥﹣1，所以约束条件为，画出约束条件表示的平面区域，如阴影部分所示：设z＝2a+b，平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值；由，求得A（﹣1，﹣3），所以z＝2a+b的最小值为z min＝2×（﹣1）+（﹣3）＝﹣5．故选：B．9．设函数f（x）＝lnx﹣﹣2mx+n，若不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则的最大值为（）A．B．C．e D．2e解：不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即为lnx﹣﹣2mx+n≤0，即lnx﹣≤2m（x﹣）对x＞0恒成立，设g（x）＝lnx﹣，由g′（x）＝+＞0，可得g（x）在（0，+∞）递增，且g（e）＝0，当x→0时，g（x）→﹣∞；x→+∞，g（x）→+∞，作出y＝g（x）的图象，再设h（x）＝2m（x﹣），x＞0，可得h（x）表示过（，0），斜率为2m的一条射线（不含端点），要求的最大值，且满足不等式恒成立，可求的最大值，由于点（，0）在x轴上移动，只需找到合适的m＞0，且与g（x）＝lnx﹣切于点（，0），如图所示：此时＝e，即有的最大值为2e，故选：D．10．设数列{a n}满足a1＝3，a2＝6，a n+2＝（n∈N*），（）A．存在n∈N*，a n∉QB．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等差数列C．存在n∈N*，a n＝D．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列解：由a n+2＝（n∈N*），可得①，则②①﹣②可得，a n+2a n﹣a n+1a n﹣1＝a n+12﹣a n2，所以a n（a n+2+a n）＝a n+1（a n+1+a n﹣1），则，由此可得，，所以，则a n+2＝3a n+1﹣a n且a1＝3∈Z，a2＝6∈Z，所以a n∈Z，故选项A，C错误；由a n+3＝3a n+2﹣a n+1，可得a n+3﹣a n+2＝5a n+1﹣2a n不是常数，所以不存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等差数列，故选项B错误；假设存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列，公比为q，则有a n+1﹣pa n＝q（a n﹣pa n﹣1），所以a n+1＝（p+q）a n﹣pqa n﹣1，由a n+2＝3a n+1﹣a n，则，解得，所以存在，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列，故选项D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．计算lg2﹣lg＝1；4＝9．解：lg2﹣lg＝lg2+lg5＝lg10＝1；4＝＝9．故答案为：1；9．12．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝，△ABC的面积等于2．解：因为在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，由正弦定理，可得＝，可得sin B＝1，因为B∈（0，π），则B＝，所以c＝＝＝2，所以S△ABC＝ac＝＝2．故答案为：，2．13．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a2+b2的最小值等于，+的最大值等于．解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴，，∴，∴a2+b2的最小值等于；∵，∴，∴的最大值等于．故答案为：．14．已知tanα＝cosα，则cos2α+cos4α＝1，＝1．解：因为tanα＝＝cosα，可得sinα＝cos2α，则cos2α+cos4α＝cos2α+sin2α＝1，＝＝＝＝＝1．故答案为：1，1．15．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是44．解：根据题意，分2种情况讨论，①两个都在左边的4个座位或右边的4个座位就坐，有2×A22×3＝12种排法，②两个人一人在左边4个座位，一个在右边4个座位就坐，有2×CA41×C41＝32种排法，则一共有12+32＝44种不同的排法，故答案为：4416．平面向量，的夹角为60°，且|﹣|＝1，则•（+2）的最大值为．解：设||＝a，||＝b，则由|﹣|＝1，平方得||2+||2﹣2•＝1，即a2+b2﹣2ab×＝1，即a2+b2﹣ab＝1，则•（+2）＝||2+2•＝a2+ab，∵a2+ab＝＝＝，令m＝，则m＞0，则原式＝＝，再设t＝1+m，则t＞1，则m＝t﹣1．则＝＝＝≤＝＝＝，当且仅当t＝，即t＝时，取等号，即•（+2）的最大值为，故答案为：．17．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于．解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又，所以，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，若sin A sin C﹣sin2C＝sin2A﹣sin2B，求f（B）的值．解：（I）函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx+）＝（sinωx+cosωx）（cosωx﹣sinωx）＝cos2ωx﹣sin2ωx＝×﹣×＝cos2ωx﹣，因为函数f（x）最小正周期为π，由T＝＝π，且ω＞0，解得ω＝1，所以f（x）＝cos2x﹣，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ]，k∈Z．（II）由sin A sin C﹣sin2C＝sin2A﹣sin2B得：ac﹣c2＝a2﹣b2，即a2+c2﹣b2＝ac，∴cos B＝＝＝，又B为锐角，可得B＝，∴f（B）＝cos﹣＝﹣＝．19．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣|ax﹣2|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝2，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）设x1，x2，x3，x4是函数y＝f（x）+1的四个不同的零点，且x1＜x2＜x3＜x4．问是否存在实数a，使得x2，x3，x4成等差数列？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）当a＝2时，不等式f（x）＜0，即x2﹣2x﹣|2x﹣2|＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣1＜0，所以0≤|x﹣1|＜，解得，故不等式f（x）＜0的解集为{x|}；（Ⅱ）因为f（x）＝x2﹣ax﹣|ax﹣2|（a＞0），则，又y＝f（x）+1有四个不同的零点，所以△＝4a2﹣12＞0且，解得，因为x1＜x2＜x3＜x4，当时，f（x）+1＝x2﹣1＝0，可得x1＝﹣1，x2＝1，所以x3，x4是x2﹣2ax+3＝0的两个根，若x2，x3，x4成等差数列，则，所以，代入方程x2﹣2ax+3＝0可得，，解得或﹣2（舍），综上可知，存在使得x2，x3，x4成等差数列．20．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且BF＝2FA．若AD＝1，AB＝，CB＝CD＝．（Ⅰ）求证：AG∥平面CEF；（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：连接BG交EC于H，连接FH，则点H为△BCD的重心，有，∵，∴FH∥AG，且FH⊂平面CEF，AG⊄平面CEF，则AG∥平面CEF；（Ⅱ）解：∵BF＝，BE＝1，∠ABD＝30°，∴EF2＝BF2+BE2﹣2BE•BF•cos∠ABD＝＝，故BF2＝BE2+EF2，∴BE⊥EF，又由已知，CE⊥BD，CE∩EF＝E，则BD⊥平面CEF，过F作AD的平行线FP，交BD于P，则PE⊥CEF，故∠PFE为直线AD与平面CEF所成的角，且FP＝，EP＝，∠FEP＝90°，∴sin，得直线AD与平面CEF所成的角为．21．在数列{a n}中，a1＝1，a2k﹣1，a2k，a2k+1（k∈N*）成等比数列，公比为q k＞0．（Ⅰ）若q k＝2，求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（Ⅱ）若a2k，a2k+1，a2k+2（k∈N*）成等差数列，公差为d k，设b k＝．①求证：{b n}为等差数列；②若d1＝2，求数列{d k}的前k项和D k．【解答】（Ⅰ）解：因为a1＝1，a2k﹣1，a2k，a2k+1（k∈N*）成等比数列，公比为q k＞0，所以，则a1+a3+a5+…+a2k﹣1＝＝；（Ⅱ）①证明：因为a2k，a2k+1，a2k+2（k∈N*）成等差数列，所以2a2k+1＝a2k+a2k+2，即，则，即b k+1﹣b k＝1，所以数列{b n}为等差数列，公差为1；②解：若d1＝2，所以a3＝a2+2，则有，所以a2＝2或a2＝﹣1；当a2＝2时，q1＝2，所以b1＝1，则b k＝1+（k﹣1）×1＝k，即，解得，所以，则＝，所以，则d k＝a2k+1﹣a2k＝k+1，故；若a2＝﹣1时，q1＝﹣1，所以，则，即，解得，则＝，则，所以d k＝a2k+1﹣a2k＝4k﹣2，故．综上所述，或．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x+1）2，a∈R恰好有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求证：存在实数m∈（），使0＜a＜m；（Ⅱ）求证：﹣＜f（x1）＜﹣．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）＝lnx+1﹣a（x+1），x＞0，结合题意，lnx+1﹣a（x+1）＝0，即lnx+1＝a（x+1）存在2个不同正根，先考虑y＝a（x+1）与y＝lnx+1相切，记切点横坐标为x0，则，解得：，记g（x）＝xlnx﹣1，x＞0，则g′（x）＝1+lnx，令g′（x）＝0，解得：x＝，故y＝g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，且g（1）＝﹣1＜0，g（2）＝ln4﹣1＞0，故存在唯一x0∈（1，2），使得x0lnx0＝1成立，取m＝∈（，1），则0＜a＜m时，f（x）恰有2个极值点，得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x1）＝lnx1+1﹣a（x1+1），且＜x1＜x0＜2，故a＝，代入f（x1），得f（x1）＝（x1lnx1﹣x1﹣lnx1﹣1），设h（x）＝（xlnx﹣x﹣lnx﹣1），h′（x）＝（lnx﹣），＜x＜2，由h′（x0）＝0，得lnx0＝，即x0lnx0＝1，则x∈（，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，2），h′（x）＞0，故h（x）在（，x0）递减，在（x0，2）递增，h（x）＞h（x0）＝（x0lnx0﹣lnx0﹣x0﹣1）＝（1﹣﹣x0﹣1）＝﹣（x0+），∵x0∈（1，2），∴x0+∈（2，），∴h（x0）∈（﹣，﹣1），故h（x）＞﹣，即f（x1）＞﹣，而h（x）＜h（）＝﹣＞h（2）＝（ln2﹣3），故：﹣＜f（x1）＜﹣．。
2021-2022学年高三理科数学期末试题及答案
2021 — 2022学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D）y =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1 （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-FD P C B第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)f x x x x=，x∈R.（Ⅰ）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f xα=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，135BCD∠=，侧面PAB⊥底面ABCD，90BAP∠=,2AB AC PA===, ,E F分别为,BC AD的中点，点M在线段PD上.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：//ME平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x=-，函数()2lng x t x=，其中1t≤．FCA DPMB E（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 2 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =+-1sin 22x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面 所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|λ-=， 解得λ=λ=. ………………14分 D18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min()h x h =． ………………11分因为(1)0h =1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
2020-2021学年山东省济宁市高三(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．若tanα＝2，则＝（）A．B．C．D．14．“a＝1”是“直线ax+（2a﹣1）y+3＝0与直线（a﹣2）x+ay﹣1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（）A．36种B．48种C．72种D．144种6．函数f（x）＝x﹣ln|e2x﹣1|的部分图象可能是（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（）A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．已知函数f（x）（x∈R）的导函数是f′（x），且满足∀x∈R，f（1+x）＝﹣f（1﹣x），当x＞1时，f（x）+ln（x﹣1）•f′（x）＞0，则使得（x﹣2）f（x）＞0成立的x 的取值范围是（）A．（0，1）⋃（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）⋃（2，+∞）C．（﹣2，﹣1）⋃（1，2）D．（﹣∞，1）⋃（2，+∞）二、选择题（共4小题）.9．已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则＞B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a+b＝1，则4a+4b≥410．直线l过点P（1，2）且与直线x+ay﹣3＝0平行，若直线l被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值可以是（）A．0B．C．D．﹣11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（）A．AM⊥B1CB．CN的长为定值C．AB1与CN的夹角为D．当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是8π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2020-2021学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）A．{3，4}B．{﹣1，3，4}C．{0，1，2}D．{﹣1，4}2．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，4），且⊥，则||＝（）A．B．C．D．83．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．44．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝（）A．B．C．10D．155．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点．若|PF|＝4，则|PM|＝（）A．B．5C．D．6．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是周期为π的偶函数；②函数f（x）在区间上单调递减；③函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）＝sin2x的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x．设a＝f（5），，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x+y+t＝0，则“l与C相交”是“|t|＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足．若|DF|＝|DA|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．二、填空题（共5小题）.11．设a∈R．若复数z＝i（1+ai）为纯虚数，则a＝，z2＝．12．在（x2+）6的展开式中，常数项是．（用数字作答）13．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像（3，4，5）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20）这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为．14．若函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则常数φ的一个取值为．15．设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意x1∈D，存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M，给出下列四个结论：①函数y＝x3﹣x不具有性质M；②函数具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t＝510；④若函数具有性质M，则a＝5．其中，正确结论的序号是．三、解答题（共6小题）.16．在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：sin B＝2sin A；条件②：sin A+sin B＝2sin C．17．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．（结论不要求证明）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，，E是线段AD的中点，连结BE．（Ⅰ）求证：BE⊥PA；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知椭圆（a＞b＞0）过点，且C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．20．已知函数f（x）＝lnx﹣（a+2）x+ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围．21．已知无穷数列{a n}满足：a1＝0，a n+1＝a n2+c（n∈N*，c∈R）．对任意正整数n≥2，记M n＝{c|对任意i∈{1，2，3，…n}，|a i|≤2}，M＝{c|对任意i∈N*，|a i|≤2}．（Ⅰ）写出M2，M3；（Ⅱ）当c＞时，求证：数列{a n}是递增数列，且存在正整数k，使得c∉M k；（Ⅲ）求集合M．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）A．{3，4}B．{﹣1，3，4}C．{0，1，2}D．{﹣1，4}解：∵U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，3，4}．故选：B．2．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，4），且⊥，则||＝（）A．B．C．D．8解：根据题意，向量＝（﹣1，2），＝（x，4），若⊥，则•＝﹣x+8＝0，则x＝8，故＝（8，4），则||＝＝4，故选：C．3．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．4解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，三棱锥的高为PO＝2．∴该三棱锥的体积为V＝．故选：A．4．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝（）A．B．C．10D．15解：log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝log3（a1a2a3a4a5）＝log3a35＝log395＝10，故选：C．5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点．若|PF|＝4，则|PM|＝（）A．B．5C．D．解：∵P是C上一点．且|PF|＝4，∴PD＝4＝x+1⇒x P＝3代入y2＝4x得y P2＝12，∴PM＝＝＝2，故选：C．6．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是周期为π的偶函数；②函数f（x）在区间上单调递减；③函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）＝sin2x的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④解：由f（﹣x）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（2x+）≠f（x），所以f（x）不是偶函数，故①错误；因x，所以2x﹣∈[0，π]，而余弦函数在[0，π]上单调递减，故②正确；因x，所以2x﹣∈[﹣，]，所以f（x）的最小值为﹣，故③错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，y＝cos[2（x﹣）﹣]＝cos（﹣2x）＝sin2x，故④正确；故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x．设a＝f（5），，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：因为当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x，又f（x+2）＝f（x），且f（x）为奇函数，所以f（5）＝f（3）＝f（1）＝0，即a＝0，＝，故b＞0，＝，故c＜0，所以b＞a＞c．故选：A．8．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x+y+t＝0，则“l与C相交”是“|t|＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：圆心C（0，0），半径为2，则圆心到直线l的距离为，因为l与C相交，则有d＜r，所以，即，所以“l与C相交”是“|t|＜2”的必要而不充分条件．故选：B．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足．若|DF|＝|DA|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．解：过点D作DC⊥AF于点C，∵|DF|＝|DA|，∴点C为AF的中点，∴|CF|＝|AF|＝，而点F（﹣c，0）到渐近线y＝﹣x的距离为|DF|＝＝b，∴cos∠AFD＝＝，即＝，∴c（a+c）＝2b2＝2（c2﹣a2），即c2﹣ac﹣2a2＝0，∴c＝2a或c＝﹣a（舍），∴离心率e＝＝2．故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．解：∵f（x）＝x3和y＝mx都是奇函数，∴B为原点，且A，C两点关于原点对称．故原点O为线段AC的中点．∴|+|＝|2|＝2||＝2，∴|PB|＝1．即P为单位圆x2+y2＝1上的点．∴直线l：y＝kx+3与单位圆有交点，∴≤1，解得k≥2或k≤﹣2．故选：D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年北京市通州区高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷1.（单选题，4分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，4}，则∁U A=（）A.{2，5}B.{3，5}C.{4，5}D.{1，2，3，4，5}2.（单选题，4分）抛物线y2=4x的准线方程是（）A.x=-2B.x=-1C.x=1D.x=23.（单选题，4分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则￢p是（）A.∀x∈R，x2＜0B.∀x∉R，x2≥0C.∃x0∈R，x02≥0D.∃x0∈R，x02＜04.（单选题，4分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=1，a5=9，则数列{a n}的前5项和是（）A.15B.20C.25D.355.（单选题，4分）从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A.20B.25C.30D.556.（单选题，4分）已知a＞b，且ab≠0，则下列不等式中一定成立的是（）A. 1a ＞1bB. (12)a＞(12)bC.a3＞b3D.log2|a|＞log2|b|7.（单选题，4分）已知角α的终边与单位圆交于点 P (45，−35) ，则cos2α=（ ） A. −2425B. −725C. 725D. 16258.（单选题，4分）在△ABC 中，AB=2，AC=3，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−3√3 ，则 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ | （λ∈R ）的最小值是（ ）A. 32B. √3C. 3√32D. 2√39.（单选题，4分）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽AB=30m ．若水面下降5m ，则水面宽是 （ ）（结果精确到0.1m ）（参考数值： √2 ≈1.41， √5 ≈2.24， √7 ≈2.65）A.43.8mB.44.8mC.52.3mD.53.0m10.（单选题，4分）如图，等腰直角△ABC 中，AC=BC=2，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB=AB ， ∠PBA =π2 ，给出下列四个结论：① 存在点P ，使得平面PAC⊥平面PBC ；② 存在点P ，使得平面PAC⊥平面PAB ；③ 设△PAC 的面积为S ，则S 的取值范围是（0，4]；④ 设二面角A-PB-C 的大小为α，则α的取值范围是 (0，π4] ．其中正确结论是（ ）A. ① ③B. ① ④C. ② ③D. ② ④11.（填空题，5分）复数 1−i i （i 是虚数单位）的虚部是___ ．12.（填空题，5分）在（x-2）6的展开式中，x 3的系数是___ ．13.（填空题，5分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（4，0），若以线段OA 为直径的圆与直线y=2x 在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是___ ．14.（填空题，5分）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温G （n ）可近似地用函数G （n ）=Acos （ωn+φ）+k 来刻画，其中正整数n 表示月份且n∈[1，12]，例如n=1表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0，φ∈（0，π）． 统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：① 该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；② 1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；③ 每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．根据已知信息，得到G （n ）的表达式是___ ．15.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x +4e ，x ≤0e x x，x ＞0 ，若存在x 1≤0，x 2＞0，使得f （x 1）=f （x 2），则x 1f （x 2）的取值范围是___ ．16.（问答题，13分）如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为矩形，DD 1⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BB 1，DC 1的中点，DA=1，DC=DD 1=2．（Ⅰ）求证：EF || 平面ABCD ；（Ⅱ）求直线DC 1与平面EAD 所成角的正弦值．17.（问答题，13分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S △ABC ，已知 c =√7 ，再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 这三个条件中选择两个作为已知，求a 与sinC 的值．条件 ① ：b=3；条件 ② ： S △ABC =3√32 ；条件 ③ ： cosB =√714 ．18.（问答题，14分）某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如表：男职工 女职工（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%．试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符．19.（问答题，15分）已知函数f(x)=1x−1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+tlnx，当t≤1时，求g（x）零点的个数．20.（问答题，15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为点A，B，且|AB|=4，椭圆C离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的交于点Q，求证：点Q在直线x=4上．21.（问答题，15分）已知数列A n：a1，a2，⋅⋅⋅，a n（n≥2）满足：① |a1|=1；② |a k+1||a k|=2（k=1，2，⋅⋅⋅，n-1）．记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）直接写出S（A3）的所有可能值；（Ⅱ）证明：S（A n）＞0的充要条件是a n＞0；（Ⅲ）若S（A n）＞0，求S（A n）的所有可能值的和．。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
高三数学期末试卷带答案
高三数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.若是等差数列，首项，，则使前n 项和成立的最大正整数n 是（ ） A ．2011 B ．2012 C ．4022 D ．4023 3.已知复数（为虚数单位），则复数（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知M ＝{a||a|≥2}，A ＝{a|(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M}，则集合A 的子集共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．4个 D ．8个5.设函数的导函数为，若为偶函数，且在（0,1）上存在极大值，则的图象可能为A ．B ．C ．D ．6.设，，，则( ) A ．B ．C ．D ．7.设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为（）A． B． C． D．18.若复数，则该复数的实部和虚部分别为（）A． B．2，3 C．-3，2 D．2，-39.已知向量（1，），（，1），若与的夹角为，则实数的值为A． B． C． D．10.已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．11.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A．B．C．D．12.函数的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．13.定义在区间（1，+∞）内的函数f（x）满足下列两个条件：①对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x.已知函数y=f（x）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m的取值范围是A．[1，2）B．（1，2]C．D．14.设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2 个杯盖与茶杯编号相同的盖法有A．24种 B．135种 C．9种 D．360种15.设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合，则( )A．B．C．D．16.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．[17.若函数在区间内单调递增，则可以是（）A． B． C． D．18.已知命题，命题，则是的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件19.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A． B． C． D．20.已知正方体的棱长为1，求异面直线BD与的距离( )A．1 B． C． D．二、填空题21.平面向量与的夹角为，，，则▲。
2020-2021学年辽宁省营口市高三(上)期末数学试题(原卷+答案)_
2020-2021学年辽宁省营口市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合M＝{x|﹣x2+2x＞0}，，则M∩N＝（）A．（0，2）B．[0，2）C．（2，+∞）D．[1，2）2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，3），则iz＝（）A．2+3i B．2﹣3i C．﹣3+2i D．﹣3﹣2i3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为2，则勒洛三角形面积为（）A．B．C．D．4π5．（5分）某射击运动员进行射击训练，若他连续射击7次，其中射中5发，2发未中，则他前4发均射中的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，若数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n﹣1+2n （n∈N*），则d﹣q的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣27．（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于20mg且小于80mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.5mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．3B．4C．5D．68．（5分）已知圆C的半径为3，AB是圆C的一条直径，M，N为圆上动点，且MN＝4，点E在线段MN上，则的最小值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列四个函数中，以π为周期的偶函数为（）A．f（x）＝sin2x B．f（x）＝cos2xC．D．f（x）＝|tan x|10．（5分）若a，b，c满足a＞b＞c，且ac＜0，则下列选项正确的是（）A．B．ac＜bcC．a5＞b5D．11．（5分）曲线G是平面内到直线l1：x＝2和直线l2：y＝3的距离之积等于常数t（t＞0）的点的轨迹，动点M在曲线G上，以下结论正确的有（）A．曲线G关于点（2，3）对称B．曲线G共有2条对称轴C．若点A，B分别在直线l1，l2上，则|MA|+|MB|不小于D．点M关于l1，l2的对称点分别为P，Q，则△MPQ的面积为4t12．（5分）函数，则（）A．f（x）存在对称中心B．f（x）存在对称轴C．D．|f（x）|≤2|x|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若a＞0，b＞0，且a，4，b成等差数列，则ab的最大值是．14．（5分）若直线l1：y＝kx+4与直线l2关于点M（1，2）对称，则当l2经过点N（0，﹣1）时，点M到直线l2的距离为．15．（5分）定义在R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（3）＝0，则不等式（m+1）f（m﹣2）≤0的解集是．16．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为，M为AB的中点，过点M的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，则所得的截面面积的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2B﹣sin2A＝sin2C﹣sin A sin C．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的周长为9，且b＝4，求△ABC的面积．18．设正项等比数列{a n}中，a1＝1，前n项和为S n，且____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{a n b n}的前n项和T n．在①；②；③S3＝13．这三个条件中，请选择一个满足题意的正确的条件将上面的题目补充完整，并解答本题．19．三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别为PC和PB的中点，平面ABC∩平面AEF＝l．（1）证明：直线l∥BC；（2）设直线PM与直线EF所成的角为α，直线PM与平面AEF所成的角为β，则在直线l上是否存在一点M，使得．若存在，求出|AM|的值；若不存在，说明理由．20．某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病．院方设计了两种化验方案：方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止；方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验．（1）求方案甲化验次数X的分布列；（2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率．21．已知椭圆过点P（0，﹣1），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆x2+y2＝a2于A，B两点，l2交椭圆C于另一个点Q，求△QAB面积取得最大值时直线l1的方程．22．已知函数f（x）＝e x﹣a（lnx+1）（a＞0）（1）若f（x）在区间上存在极值，求实数a的范围；（2）若f（x）在区间上的极小值等于0，求实数a的值；（3）令g（x）＝x2﹣ax+a2，h（x）＝a（f（x）﹣e x）+g（x）．曲线y＝h（x）与直线y＝m交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：．2020-2021学年辽宁省营口市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合M＝{x|﹣x2+2x＞0}，，则M∩N＝（）A．（0，2）B．[0，2）C．（2，+∞）D．[1，2）【解答】解：∵集合M＝{x|﹣x2+2x＞0}＝{x|0＜x＜2}，＝{y|≥0}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}＝（0，2）．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，3），则iz＝（）A．2+3i B．2﹣3i C．﹣3+2i D．﹣3﹣2i【解答】解：复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，3），则z＝2+3i，所以iz＝i（2+3i）＝2i﹣3＝﹣3+2i．故选：C．3．（5分）已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．而若“m，n，l两两相交”，则“m，n，l在同一平面”成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为2，则勒洛三角形面积为（）A．B．C．D．4π【解答】解：如图：BC＝2，以B为圆心的扇形面积是＝，△ABC的面积是×2×2×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即×3﹣2＝2π﹣2．故选：A．5．（5分）某射击运动员进行射击训练，若他连续射击7次，其中射中5发，2发未中，则他前4发均射中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：某射击运动员进行射击训练，若他连续射击7次，其中射中5发，2发未中，基本事件总数n＝＝21，他前4发均射中包含的基本事件个数m＝＝3，∴他前4发均射中的概率是P＝＝＝．故选：D．6．（5分）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，若数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n﹣1+2n （n∈N*），则d﹣q的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【解答】解：设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，若数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n﹣1+2n（n∈N*），则a1+b1＝2，a2+b2＝a1+d+b1q＝3，a3+b3＝a1+2d+b1q2＝5，a4+b4＝a1+3d+b1q3＝9，解得a1＝1，d＝0，b1＝1，q＝2，则d﹣q＝﹣2，故选：D．7．（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于20mg且小于80mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.5mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．3B．4C．5D．6【解答】解：设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则150（1﹣36%）x＜20，∴0.64x＜，∴x＞＝＝≈≈4.51，∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车，故选：C．8．（5分）已知圆C的半径为3，AB是圆C的一条直径，M，N为圆上动点，且MN＝4，点E在线段MN上，则的最小值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6【解答】解：由题意得，，＝（）•（）＝++，＝++，＝，当时，||取最小值，此时||min＝＝．故的最小值为﹣9+5＝4．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列四个函数中，以π为周期的偶函数为（）A．f（x）＝sin2x B．f（x）＝cos2xC．D．f（x）＝|tan x|【解答】解：因为f（x）＝sin2x，所以周期为，又f（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故选项A错误；因为f（x）＝cos2x，所以周期为，又f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），所以函数为偶函数，故选项B正确；因为＝cos x，所以周期为2π，故选项C错误；因为f（x）＝|tan x|，所以周期为π，又f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tan x|＝f（x），所以函数为偶函数，故选项D正确．故选：BD．10．（5分）若a，b，c满足a＞b＞c，且ac＜0，则下列选项正确的是（）A．B．ac＜bcC．a5＞b5D．【解答】解：a＞b＞c，且ac＜0，则a＞0，c＜0，由于＜，故A错误；∵a＞b，∴ac＜bc，a5＞b5，故B，C正确；由于y＝（）x为减函数，故D错误．故选：BC．11．（5分）曲线G是平面内到直线l1：x＝2和直线l2：y＝3的距离之积等于常数t（t＞0）的点的轨迹，动点M在曲线G上，以下结论正确的有（）A．曲线G关于点（2，3）对称B．曲线G共有2条对称轴C．若点A，B分别在直线l1，l2上，则|MA|+|MB|不小于D．点M关于l1，l2的对称点分别为P，Q，则△MPQ的面积为4t【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线的距离公式可得曲线G的方程为|x﹣2||y﹣3|＝t，对比曲线方程|xy|＝t，可知曲线G是由|xy|＝t向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，平移只改变位置，不改变曲线的性质，对于A，因为|xy|＝t关于原点（0，0）对称，可得曲线G：|x﹣2||y﹣3|＝t关于点（2，3）对称，故A正确；对于B，因为|xy|＝t有4条对称轴，x＝0，y＝0，y＝±x，可得曲线G有四条对称轴，故B错误；对于C，设点M到直线l1的距离为d1，点M到直线l2的距离为d2，则|MA|+|MB|≥d1+d2≥2＝2，故C 正确；对于D，点M关于l1，l2的对称点分别为P，Q，则|PM|＝2d1，|QM|＝2d2，S△MPQ＝|PM||QM|＝2d1d2＝2t，故D错误．故选：AC．12．（5分）函数，则（）A．f（x）存在对称中心B．f（x）存在对称轴C．D．|f（x）|≤2|x|【解答】解：因为函数y＝sinπx的值域为[﹣1，1]，对称轴为x＝+k（k∈Z），对称中心为（k，0）（k∈Z），而函数y＝x2+3x+4＝（x+）2+≥，对称轴为x＝﹣，没有对称中心，故函数f（x）存在对称轴x＝﹣，没有对称中心，且f（x）≤，因为函数y＝x﹣sin x，y′＝1﹣cos x，在[0，+∞）上，y′＝1﹣cos x≥0，所以y＝x﹣sin x递增，所以x≥sin x，因为函数y＝|x|和y＝|sin x|都为偶函数，所以总有|x|≥|sin x|．即|πx|≥|sinπx|．故|f（x）|≤≤π|x≤2|x|，结合选项可知BCD正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若a＞0，b＞0，且a，4，b成等差数列，则ab的最大值是16．【解答】解：若a＞0，b＞0，且a，4，b成等差数列，则a+b＝8，则ab≤（）2＝16，当且仅当a＝b＝4时取等号，故答案为：16．14．（5分）若直线l1：y＝kx+4与直线l2关于点M（1，2）对称，则当l2经过点N（0，﹣1）时，点M到直线l2的距离为．【解答】解：因为直线l1：y＝kx+4恒过定点P（0，4），所以P（0，4）关于点M（1，2）对称，所以P（0，4）关于点M（1，2）的对称点为（2，0），此时（2，0）和N（0，﹣1）都在直线l2上，由直线方程的两点式可得，即x﹣2y﹣2＝0，所以点M到直线l2的距离为．故答案为：．15．（5分）定义在R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（3）＝0，则不等式（m+1）f（m﹣2）≤0的解集是{m|m＝﹣1或m≥5}．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（3）＝0，∴f（x）的图象如图：当m﹣2＝3时，即m＝5，则不等式等价为6f（3）≤0成立，当m﹣2＝﹣3时，即m＝﹣1，则不等式等价为0f（﹣3）≤0成立，当m≠﹣1且m≠5时，不等式等价为或，得或，即或，得m＞5或是空集，综上m≥5或m＝﹣1，即不等式的解集为{m|m＝﹣1或m≥5}，故答案为：{m|m＝﹣1或m≥5}．16．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为，M为AB的中点，过点M的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，则所得的截面面积的取值范围为[3π，7π]．【解答】解：依题意可知，三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球球心O为上下底面的外接圆的圆心的连线的中点，如图所示：即可知当过点M的平面为平面ABC时，截得的截面圆最小，圆的半径为，当过点M的平面与上下底面垂直且过球心时，截得的截面圆最大，圆的半径即为球的半径．设上底面的外接圆半径为r，则2r＝，所以r＝2，设三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，则R2＝r2+＝7，即R＝．所以截面圆最大为πR2＝7π，截面圆最小为π＝3π．所以所得的截面面积的取值范围为[3π，7π]．故答案为：[3π，7π]．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2B﹣sin2A＝sin2C﹣sin A sin C．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的周长为9，且b＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意可得：sin2C+sin2A﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得c2+a2﹣b2＝ac，∴，∵0＜B＜π，∴．（2）∵△ABC周长a+b+c＝9，且b＝4，∴a+c＝5，由已知，16＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，可得：ac＝3，∴．18．设正项等比数列{a n}中，a1＝1，前n项和为S n，且____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{a n b n}的前n项和T n．在①；②；③S3＝13．这三个条件中，请选择一个满足题意的正确的条件将上面的题目补充完整，并解答本题．【解答】解：（Ⅰ）若选①，∵，∴a2＝9又∵S3＝28＝1+9+a3∴a3＝18，，所以不满足{a n}是等比数列（或a1≠1）．若选②，因为，所以a2＝3，，．若选③，因为a1＝1，S3＝13，所以，q2+q﹣12＝（q+4）（q﹣3）＝0，解得q＝3或q＝﹣4，因为a n＞0，所以q＝3，则：．（Ⅱ）．令，前n项和为T n，①，②，①﹣②得：＝，所以．19．三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别为PC和PB的中点，平面ABC∩平面AEF＝l．（1）证明：直线l∥BC；（2）设直线PM与直线EF所成的角为α，直线PM与平面AEF所成的角为β，则在直线l上是否存在一点M，使得．若存在，求出|AM|的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵E、F分别为PB、PC的中点，∴BC∥EF，又∵EF⊂面EFA，BC⊄面EFA，∴BC∥面EFA，又∵BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC＝1，∴BC∥l（Ⅱ）解：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），B（4，0，0），，，，设M（m，2，0），则，，＝，，可求得面AEF法向量，设PM与面AEF所成角为β，则，∵，∴cosα＝sinβ，即，∴m±1，即存在M满足题意，此时|AM|＝1．20．某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病．院方设计了两种化验方案：方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止；方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验．（1）求方案甲化验次数X的分布列；（2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率．【解答】解：（1）依题知X的可能取值为1，2，3，4，，，故方案甲化验次数X的分布列为：X1234P （2）若乙验两次时，有两种可能：①验3人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中，②先验3人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性，故乙用两次的概率为，若乙验三次时，只有一种可能：先验3人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为，故甲方案的次数不少于乙次数的概率为．21．已知椭圆过点P （0，﹣1），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆x 2+y 2＝a 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 于另一个点Q ，求△QAB 面积取得最大值时直线l 1的方程．【解答】解：（1）由题意得，解得，所以椭圆C 的方程为．（2）由题知，直线l 1的斜率存在，不妨设为k ，则l 1：y ＝kx ﹣1．若k ＝0时，直线l 1的方程为y ＝﹣1，l 2的方程为x ＝0，易求得，|PQ |＝2，此时．若k ≠0时，则直线l 2：．圆心（0，0）到直线l 1的距离为．直线l1被圆x2+y2＝4截得的弦长为|AB|＝，联立，得（k2+4）x2+8kx＝0，则，所以|PQ|＝．所以＝＝＝．当且仅当即时，等号成立．因为，所以△ABQ面积取得最大值时，直线l1的方程应该是．22．已知函数f（x）＝e x﹣a（lnx+1）（a＞0）（1）若f（x）在区间上存在极值，求实数a的范围；（2）若f（x）在区间上的极小值等于0，求实数a的值；（3）令g（x）＝x2﹣ax+a2，h（x）＝a（f（x）﹣e x）+g（x）．曲线y＝h（x）与直线y＝m交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：．【解答】解：（1）由f（x）＝e x﹣a（lnx+1）（a＞0），得，∴，∴f'（x）在上为增函数，∵f（x）在区间上存在极值，∴且f'（2）＞0，解得，∴a的取值范围为．（2）由（1）知，设x0为f（x）在区间上的极小值点，故，∴．设，，则，∴g'（x）＜0，即g（x）在上单调递减，易得出g（1）＝0，故f（x0）＝0，∴x0＝1，代入，可得a＝e，满足，故a＝e．（3）证明：∵g（x）＝x2﹣ax+a2，h（x）＝a（f（x）﹣e x）+g（x），∴h（x）＝﹣a2lnx+x2﹣ax，则，由题意，知h（x）＝m有两解x1，x2，不妨设x1＜x2，要证，即证，只需证（*），又，，∴两式相减，并整理，得．把代入（*）式，得，即．令，则．令，则，∴φ（t）在其定义域上为增函数，∴φ（t）＜φ（1）＝0，∴成立．。
2020-2021学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设集合A={x|-x2+5x+6≥0}，B={x|x-2＜0}，则A∩B=（）A.[-1，2）B.[-3，2）C.[-2，2）D.（2，6]2.（单选题，5分）若复数z满足2z- z =1+3i，则z =（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.（单选题，5分）已知a＞0，b＞0，且1a +2b=4，4a+6b的最小值是（）A.4+ √3B.4+2 √3C.8+2 √3D.4+ √334.（单选题，5分）函数f(x)=2sinx+3xcosx+x2在[-π，π]的图象大致为（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）已知直线l：ax+y-2=0与⊙C：（x-1）2+（y-a）2=4相交于A、B两点，则△ABC为钝角三角形的充要条件是（）A.a∈（1，3）B.a∈（2- √3，2+ √3）C.a∈（2- √3，1）∪（1，2+ √3）D. a∈(−∞，2−√3)∪(2+√3，+∞)6.（单选题，5分）“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（）A. 12B. 25C. 35D. 457.（单选题，5分）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为（）A.8πB.4πC. 83πD. 8√23π8.（单选题，5分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线x−2y+√5=0过点F且与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，|OP|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C.2D. √59.（多选题，5分）已知向量a⃗ =（2，1），b⃗⃗ =（-3，1），则（）A.（a⃗ + b⃗⃗）⊥ a⃗B.| a⃗ +2 b⃗⃗ |=5C.向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影是√22D.向量a⃗的单位向量是(2√55，√55)10.（多选题，5分）为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为认知程度较高），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）A.成绩是50分或100分的职工人数是0B.对“一带一路”认知程度较高的人数是35人C.中位数是74.5D.平均分是75.511.（多选题，5分）若（1-2x）2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021（x∈R），则（）A.a0=1B. a1+a3+a5+⋯+a2021=32021+12C. a0+a2+a4+⋯+a2020=32021−12D. a12+a222+a323+⋯+a202122021=−112.（多选题，5分）关于函数f（x）= √3 |sinx|-|cosx|有下述四个结论正确的有（）A.f（x）的最小正周期为πB.f（x）在(−π2，π2)上单调递增C.f（x）在[-π，π]上有四个零点D.f（x）的值域为[-1，2]13.（填空题，5分）已知直线y=2x+b是曲线y=lnx+3的一条切线，则b=___ ．14.（填空题，5分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD=2，∠APD=∠BAD=π3，则三棱锥P-AOD的外接球表面积为___ ．15.（填空题，5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=√1 4[c2a2−(c2+a2−b22)2]，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有△ABC满足sinA：sinB：sinC= 3：2√2：√5且S△ABC=12．则△ABC的外接圆的半径为___ ．16.（填空题，5分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为k的直线l与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点M，且|PQ|=6，则|MF|=___ ．17.（问答题，10分）① a2+a4=6，S9=45；② S n= n22+n2；③ a na n−1=nn−1(n≥2)，a1 =1这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n}的前n项和为S n，_____，数列{b n}为等比数列，b1=2a1，b2=2a2，求数列{a n b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosBb +cosCc=1a且a=4，b＞a＞c．（1）求bc的值；（2）若△ABC的面积S=2√7，求cosB．19.（问答题，12分）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2，1.3]，（1.3，1.4]，…（1.7，1.8]这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m ，n ，t 的值； （2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在（1.4，1.6]的人数，求X 的分布列和数学期望．20.（问答题，12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAB 为直角三角形，∠APB=90°且 PA =12AB =CD ，四边形ABCD 为直角梯形，AB || CD 且∠DAB 为直角，E 为AB的中点，F 为PE 的四等分点且 EF =14EP ，M 为AC 中点且MF⊥PE ． （1）证明：AD⊥平面ABP ；（2）设二面角A-PC-E 的大小为α，求α的取值范围．21.（问答题，12分）已知点F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为 √22 ，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线MF1与NF1的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=alnx+x+2x+2a(a∈R)．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜e4，求证f(x)＜x+e x+2x．2020-2021学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设集合A={x|-x2+5x+6≥0}，B={x|x-2＜0}，则A∩B=（）A.[-1，2）B.[-3，2）C.[-2，2）D.（2，6]【正确答案】：A【解析】：求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|-x2+5x+6≥0}={x|-1≤x≤6}，B={x|x-2＜0}={x|x＜2}，∴A∩B={x|-1≤x＜2}=[-1，2）．故选：A．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，5分）若复数z满足2z- z =1+3i，则z =（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【正确答案】：B【解析】：设z=a+bi（a，b∈R），代入2z−z=1+3i，整理后利用复数相等，求得a与b 的值，再得到z．【解答】：解：设z=a+bi（a，b∈R），则z=a−bi，代入2z- z =1+3i，得2（a+bi）-（a-bi）=a+3bi=1+3i，∴a=b=1，则z=1−i．故选：B．【点评】：本题考查复数的基本概念和复数相等，是基础题．3.（单选题，5分）已知a＞0，b＞0，且1a +2b=4，4a+6b的最小值是（）A.4+ √3B.4+2 √3C.8+2 √3D.4+ √33【正确答案】：B【解析】：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：已知a＞0，b＞0，且1a +2b=4，则有14a+ 12b=1，所以4a+6b=（4a+6b）（14a + 12b）=1+ 2ab+ 3b2a+3≥4+2 √2ab•3b2a=4+2 √3，当且仅当2ab = 3b2a且14a+ 12b=1时取等号，则4a+6b的最小值是4+2 √3．故选：B．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4.（单选题，5分）函数f(x)=2sinx+3xcosx+x2在[-π，π]的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的范围，结合排除法进行判断即可．【解答】：解：f（-x）= −2sinx−3xcosx+x2=-f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D，f（π）= 3ππ2−1＞0，排除B，故选：C．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.（单选题，5分）已知直线l：ax+y-2=0与⊙C：（x-1）2+（y-a）2=4相交于A、B两点，则△ABC为钝角三角形的充要条件是（）A.a∈（1，3）B.a∈（2- √3，2+ √3）C.a∈（2- √3，1）∪（1，2+ √3）D. a∈(−∞，2−√3)∪(2+√3，+∞)【正确答案】：C【解析】：利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出d，再利用弦长公式求出AB，然后结合△ABC为钝角三角形，列出关于a的不等式求解即可．【解答】：解：⊙C：（x-1）2+（y-a）2=4的圆心为C（1，a），半径r=2，故点C到直线l：ax+y-2=0的距离为d=√a2+1=√a2+1故AB= 2√4−d2=4√2aa2+1，又CA=CB=2，因为△ABC为钝角三角形，故AC2+BC2＜AB2，即4+4 ＜16•2aa2+1，化简可得a 2-4a+1＜0， 解得 2−√3＜a ＜2+√3 ，当三点A ，B ，C 共线时，有a+a-2=0，即a=1，此时△ABC 不存在， 所以△ABC 为钝角三角形的充要条件是a∈（2- √3 ，1）∪（1，2+ √3 ）． 故选：C ．【点评】：本题考查了直线与圆位置关系的应用，涉及了点到直线距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为AC 2+BC 2＜AB 2，属于中档题．6.（单选题，5分）“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（ ） A. 12 B. 25 C. 35 D. 45【正确答案】：B【解析】：考虑甲、乙二人抢到的金额之和，基本事件总数n= C 52=10，利用列举法求出甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元包含的基本事件有4个，由此能求出甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率．【解答】：解：若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，考虑甲、乙二人抢到的金额之和，基本事件总数n= C 52=10，甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元包含的基本事件有：（1.36，3.22），（1.59，3.22），（2.31，3.22），（3.22，1.52），共4个， ∴甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是P= 410= 25． 故选：B ．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为（）A.8πB.4πC. 83πD. 8√23π【正确答案】：D【解析】：法一、由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R，进而求出圆柱的体积，即可求出球的体积．法二、由已知求得球的表面积后得球的半径，从而可得体积．【解答】：解：法一、设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R则圆柱的表面积S=S底+S侧=2×πR2+2•π•R•2R=12π，解得R2=2，即R= √2．∴圆柱的体积为：V=πR2×2R= 4√2π，∴该圆柱的内切球体积为：23 × 4√2π= 8√23π．故选：D．法二、由题意球的表面积为12π×23=8π，即4πr2=8π，得r= √2，∴球的体积为V= 43πr3=43π×(√2)3=8√23π．故选：D．【点评】：本题考查圆柱的结构特征以及球的体积计算，根据已知条件计算出圆柱的底面半径是解答本题的关键，是中档题．8.（单选题，5分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线x−2y+√5=0过点F且与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，|OP|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C.2D. √5【正确答案】：D【解析】：由已知即可求出c的值，过原点作OH垂直直线l，垂足为H，设双曲线的右焦点为M，连接PM，由|OP|=|OF|=|PM|可得三角形PMF为直角三角形，进而可得H为PF的中点，利用点到直线的距离求出OH，进而可知|PM|，再利用勾股定理以及双曲线的定义建立等式即可求解．【解答】：解：由已知直线过点F，则令y=0，所以x=- √5，所以c= √5，如图所示：过原点作OH垂直直线l，垂足为H，设双曲线的右焦点为M，连接PM，因为|OP|=|OF|=|OM|，所以由直角三角形的性质可得PF⊥PM，所以OH || PM，又O为FM的中点，所以H是PF的中点，所以|PM|=2|OH|，而|OH|= |√5|√12+22=1，所以|PM|=2，由双曲线的定义可得：|PF|-|PM|=2a，即|PF|=2+2a，在直角三角形PFM中，由勾股定理可得：|PF|2+|PM|2=|FM|2，即（2+2a）2+4=4×5=20，解得a=1或-3（舍去），所以双曲线的离心率为e= ca =√51=√5，故选：D．【点评】：本题考查了椭圆的性质以及直角三角形的性质，涉及到双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．9.（多选题，5分）已知向量a⃗ =（2，1），b⃗⃗ =（-3，1），则（）A.（a⃗ + b⃗⃗）⊥ a⃗B.| a⃗ +2 b⃗⃗ |=5C.向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影是√22D.向量a⃗的单位向量是(2√55，√55)【正确答案】：AB【解析】：可求出(a⃗+b⃗⃗)•a⃗=0，从而得出选项A正确；可得出a⃗+2b⃗⃗=(−4，3)，进而判断选项B正确；可求出a⃗在b⃗⃗上的投影是−√102，从而判断选项C错误；根据向量a⃗可求出向量a⃗的单位向量，从而判断选项D错误．【解答】：解：∵ a⃗+b⃗⃗=(−1，2)，a⃗=(2，1)，∴ (a⃗+b⃗⃗)•a⃗=−2+2=0，∴ (a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，即A正确；a⃗+2b⃗⃗=(−4，3)，∴ |a⃗+2b⃗⃗|=5，即B正确；a⃗在b⃗⃗上的投影是a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|=−5√10=−√102，即C错误；向量a⃗的单位向量为：a⃗⃗|a⃗⃗|=(2√55，√55)，或−a⃗⃗|a⃗⃗|=(−2√55，−√55)，即D错误．故选：AB．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，单位向量的求法，考查了计算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为认知程度较高），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）A.成绩是50分或100分的职工人数是0B.对“一带一路”认知程度较高的人数是35人C.中位数是74.5D.平均分是75.5【正确答案】：BD【解析】：估计频率分布折线图对应各个选项逐个求解即可．【解答】：解：选项A：50分或100分不能判断有多少人，A错误，选项B：a=1-（0.04+0.015+0.005+0.01）×10=0.3，所以成绩大于80分的有100×（0.3+0.05）=35人，B正确，选项C：设中位数与70的距离为x，则（0.01+0.015）×10+0.04×x=0.5，解得x=6.25，所以中位数为70+6.25=76.25，C错误，选项D：平均分为55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.04×10+85×0.03×10+95×0.005×10=75.5，D正确，故选：BD．【点评】：本题考查了频率分布折线图的性质，考查了中位数以及估计平均分等的问题，属于中档题．11.（多选题，5分）若（1-2x）2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021（x∈R），则（）A.a0=1B. a1+a3+a5+⋯+a2021=32021+12C. a0+a2+a4+⋯+a2020=32021−12D. a12+a222+a323+⋯+a202122021=−1【正确答案】：ACD【解析】：分别令x=0和x=±1，x= 12，即可解出所求．【解答】：解：当x=0时，a0=1，当a=1时，a0+a1+a2+a3+…+a2021=-1，① ，当a=-1时，a0-a1+a2-a3+…-a2021=32021，② ，由① + ② 可得，a0+a2+…+a2020= 32021−12，由① - ② 可得，a1+a3+…+a2021= 32021+12，令x= 12，可得a0+ a12+ a222+ a323+…+ a202122021=0，则a12+ a222+ a323+…+ a202122021=-1，故选：ACD．【点评】：本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．12.（多选题，5分）关于函数f（x）= √3 |sinx|-|cosx|有下述四个结论正确的有（）A.f（x）的最小正周期为πB.f（x）在(−π2，π2)上单调递增C.f（x）在[-π，π]上有四个零点D.f（x）的值域为[-1，2]【正确答案】：AC【解析】：直接利用三角函数中正弦型函数的性质的应用和函数的关系式的变换判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：根据函数数f(x)=√3|sinx|−|cosx|，对于A：f（x+kπ）= √3|sin(x+kπ)|−|cos(x+kπ)| =f（x）所以函数的周期为kπ，最小值正周期为π，故A正确；对于B：对于函数f(x)=√3|sinx|−|cosx|，由于函数g（x）= √3|sinx|在区间x∈ (−π2，π2)上有增有减，故B错误；对于C：由于函数满足f(−x)=√3|sin(−x)|−|cos(−x)| =f（x），所以函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，当x= ±π6或±5π6时函数的值为0，故函数在[-π，π]上有四个零点，故C正确；对于D：函数当满足x ∈[2kπ，2kπ+π2]（k∈Z）时，函数的值域为[-1，√3 ]，根本取不到最大值2，故D错误；故选：AC．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.（填空题，5分）已知直线y=2x+b是曲线y=lnx+3的一条切线，则b=___ ．【正确答案】：[1]2-ln2【解析】：求出函数的导数，利用导数为2，求出切点坐标，然后求出b的值．【解答】：解：函数y=lnx+3（x＞0）的导数为：y′= 1x，由题意直线y=2x+b是曲线y=lnx+3（x＞0）的一条切线，可知1x=2，所以x= 12，所以切点坐标为（12，ln 12+3），切点在直线上，所以b=y-2x=ln 12+3-1=2-ln2．故答案为：2-ln2．【点评】：本题是中档题，考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力，是中档题．14.（填空题，5分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD=2，∠APD=∠BAD=π3，则三棱锥P-AOD的外接球表面积为___ ．【正确答案】：[1]16π【解析】：取PA中点M，AD中点N，连接OM，ON，MN，求解三角形证明OM=MA=MD=MP，可得M为三棱锥P-AOD的外接球的球心，外接球的半径为2，代入球的表面积公式得答案．【解答】：解：如图，取PA中点M，AD中点N，连接OM，ON，MN，∴MN || PD，MN= 12 PD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥ON，在Rt△PDA中，PD=2，∠APD= π3，∴PM=MN= 12PA=2，MD= 12PA=2．∵MN || PD，∴MN⊥ON，在菱形ABCD中，∠BAD=π3，则AB=AD= √42−22=2√3，∴ON= 12 AB= √3，MN= 12PD=1．∴OM= √ON2+MN2=2，∵OM=MA=MD=MP，∴M为三棱锥P-AOD的外接球的球心，外接球的半径为2．∴三棱锥P-AOD的外接球表面积为4π×22=16π，【点评】：本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.（填空题，5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=√1 4[c2a2−(c2+a2−b22)2]，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有△ABC满足sinA：sinB：sinC= 3：2√2：√5且S△ABC=12．则△ABC的外接圆的半径为___ ．【正确答案】：[1] √10【解析】：根据正弦定理可知，a：b：c=sinA：sinB：sinC= 3：2√2：√5，利用余弦定理求出cosC，再结合三角形面积公式即可求出c的值，利用正弦定理即可求解．【解答】：解：由正弦定理可得，sinA：sinB：sinC=a：b：c= 3：2√2：√5，设a=3k（k＞0），则b=2 √2 k，c= √5 k，由余弦定理可得，cosC= a 2+b2−c22ab= 2222×3k×2√2k= √22，因为C∈（0，π），可得C= π4，由S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2] =12，将a=3k，b=2 √2 k，c= √5 k代入，解得k=2，所以可得c=2 √5，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知，2R= csinC =√5√22=2 √10，即△ABC的外接圆的半径为√10．【点评】：本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.（填空题，5分）F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，且|PQ|=6，则|MF|=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：先根据抛物线方程求出p 的值，然后再由抛物线的性质求出PQ 的垂直平分线方程，求出点M ，从而可求出所求．【解答】：解：因为F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，则F （1，0），p=2， 则直线l 的方程为y=k （x-1），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立 {y =k (x −1)y 2=4x ，消去y 并整理得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0，则 x 1+x 2=2+4k 2 ，利用抛物线得定义可知：|PQ|=x 1+x 2+p=x 1+x 2+2=6， 则 x 1+x 2=2+4k 2 =4，解得k= ±√2 ， 而线段PQ 中点的横坐标为x 1+x 22=2 ，则纵坐标为k ，所求线段PQ 的垂直平分线的方程为 y −k =−1k(x −2) ， 令y=0，可得x=4，即M （4，0）， 所以|MF|=3． 故答案为：3．【点评】：本题主要考查了抛物线的性质，解题时要注意等价思想的合理运用，确定线段PQ 的垂直平分线时关键，属于中档题． 17.（问答题，10分） ① a 2+a 4=6，S 9=45； ② S n = n 22+n2 ； ③ a nan−1=nn−1(n ≥2)，a 1 =1这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，_____，数列{b n }为等比数列 ，b 1=2a 1，b 2=2a 2 ，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．【解答】：解：选 ① 时， 由于a 2+a 4=6，S 9=45； 所以 {a 2+a 4=6S 9=45 ，整理得 {a 3=3a 5=5，故d=a 5−a 32=1 ，所以a n =a 3+（n-3）=n ，数列{b n }为等比数列 ，b 1=2a 1，b 2=2a 2 ， 整理得 q =b2b 1=2 ，所以 b n =b 1•q n−1=2n ， 所以 c n =a n b n =n •2n ，故 T n =1×21+2×22+⋯+n •2n ① ， 2 T n =1×22+2×23+⋯+n •2n+1 ② ， ① - ② 得： −T n =2+22+23+⋯+2n −n •2n= 2(2n −1)2−1−n •2n ，整理得 T n =(n −1)•2n+1+2 ． 选 ② 时，当n=1时，a 1=S 1=1，当n≥2时，a n =S n -S n-1=n ，（首项符合通项）， 故a n =n ．数列{b n }为等比数列 ，b 1=2a 1，b 2=2a 2 ， 整理得 q =b2b 1=2 ，所以 b n =b 1•q n−1=2n ， 所以 c n =a n b n =n •2n ，故 T n =1×21+2×22+⋯+n •2n ① ， 2 T n =1×22+2×23+⋯+n •2n+1 ② ， ① - ② 得： −T n =2+22+23+⋯+2n −n •2n= 2(2n −1)2−1−n •2n ，整理得 T n =(n −1)•2n+1+2 ． 选 ③ 时， a nan−1=nn−1(n ≥2)，a 1 =1，利用叠乘法，a na1=nn−1•n−1n−2…21=n，故a n=n．数列{b n}为等比数列，b1=2a1，b2=2a2，整理得q=b2b1=2，所以b n=b1•q n−1=2n，所以c n=a n b n=n•2n，故T n=1×21+2×22+⋯+n•2n① ，2 T n=1×22+2×23+⋯+n•2n+1② ，① - ② 得：−T n=2+22+23+⋯+2n−n•2n = 2(2n−1)2−1−n•2n，整理得T n=(n−1)•2n+1+2．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosBb +cosCc=1a且a=4，b＞a＞c．（1）求bc的值；（2）若△ABC的面积S=2√7，求cosB．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sinBsinC=sin2A，由正弦定理即可求解bc的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，由余弦定理解得b2+c2=40，又bc=16，解得b，c的值，进而可求cosB的值．【解答】：解：（1）因为cosBb +cosCc=1a，由正弦定理可得cosBsinB+cosCsinC= 1sinA，可得 sinCcosB+cosCsinBsinBsinC = sin(B+C)sinBsinC= sinAsinBsinC= 1sinA，所以sinBsinC=sin2A，由正弦定理可得bc=a2=16；（2）因为S△ABC= 12bcsinA=8sinA=2 √7，解得sinA= √74，又b＞a＞c，所以cosA= √1−sin2A = 34，在△ABC中，由余弦定理cosA= b 2+c2−a22bc= b2+c2−1632= 34，解得b2+c2=40，又bc=16，解得b=4 √2，c=2 √2，所以cosB= a 2+c2−b22ac= 42+(2√2)2−(4√2)22×4×2√2=- √24．【点评】：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.（问答题，12分）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2，1.3]，（1.3，1.4]，…（1.7，1.8]这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在（1.4，1.6]的人数，求X的分布列和数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）120名学生中身高大于1.6米的有18人，从而该校学生身高大于1.6米的频率为0.15，设a为学生的身高，分别滶出P（1.2≤a≤1.3）=P（ 1.7＜a≤1.8）=0.025，P（1.3＜a≤1.4）=P（1.6＜a≤1.7）=0.125，P （1.4＜a≤1.5）=P（1.5＜a≤1.6）=0.35，由此能求出m，n，t．（2）学生身高在[1.4，1.6]的概率为0.7，随机变量X服从二项分布X～B（3，0.7），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】：解：（1）由题意知，120名学生中身高大于1.6米的有18人， ∴该校学生身高大于1.6米的频率为 18120 =0.15， 设a 为学生的身高，则P （1.2≤a≤1.3）=P （ 1.7＜a≤1.8）= 3120 =0.025， P （1.3＜a≤1.4）=P （1.6＜a≤1.7）= 15120 =0.125，P （1.4＜a≤1.5）=P （1.5＜a≤1.6）= 12 （1-2×0.025-2×0.125）=0.35， ∴m=0.0250.1 =0.25，n= 0.1250.1 =1.25，t= 0.350.1=3.5． （2）由（1）知学生身高在[1.4，1.6]的概率为p=2×0.35=0.7， 随机变量X 服从二项分布X ～B （3，0.7），则P （X=0）= C 30×0．33 =0.027， P （X=1）= C 31×0.7×0．32 =0.189， P （X=2）= C 32×0．72×0.3 =0.441， P （X=3）= C 33×0．73 =0.343，∴X 的分布列为： X1 2 3 P0.027 0.189 0.441 0.343∴EX=3×0.7=2.1．【点评】：本题考查频率=离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAB 为直角三角形，∠APB=90°且 PA =12AB =CD ，四边形ABCD 为直角梯形，AB || CD 且∠DAB 为直角，E 为AB 的中点，F 为PE 的四等分点且 EF =14EP ，M 为AC 中点且MF⊥PE ． （1）证明：AD⊥平面ABP ；（2）设二面角A-PC-E 的大小为α，求α的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）取PE 的中点N ，连结DN ，AN ，利用平面几何知识证明得到AN⊥PE ，DN⊥PE ，然后再利用线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，然后求出两个平面的法向量，利用二面角的计算公式表示出cosα，利用cosα的取值范围求解α的范围即可．【解答】：（1）证明：取PE 的中点N ，连结DN ，AN ， 在直角梯形ABCD 中，CD || AB 且 CD =12AB ， 又E 为AB 的中点，所以四边形AECD 为矩形， 所以M 为DE 的中点， 所以MF 为△DEN 的中位线， 又MF⊥PE ，所以DN⊥PE ， 在直角△ABP 中， AP =12AB ， 所以△AEP 为等边三角形，所以AN⊥PE ，又DN∩AN=N ，DN ，AN⊂平面AND ， 所以PE⊥平面AND ，又AD⊂平面AND ，所以PE⊥AD ，又因为AD⊥AB ，AB∩PE=E ，AB ，PE⊂平面ABP ， 所以AD⊥平面ABP ；（2）解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ， 不妨设AB=2PA=2，AD=h ＞0，则A （0，0，0）， P (√32，12，0)，E(0，1，0)，C(0，1，ℎ) ， 所以 PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√32，12，ℎ)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32，12，0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32，−12，0) ， 设平面EPC 的一个法向量为 m ⃗⃗⃗=(a ，b ，c) ， 则有 {m ⃗⃗⃗•PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗•EP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {−√32a +12b +ℎ•c =0√32a −12b =0，取a=1，则 b =√3，c =0 ， 故 m ⃗⃗⃗=(1，√3，0) ，同理可得平面PAC 的一个法向量 n ⃗⃗=(1，−√3，√3ℎ) ， 由图可知，二面角α为锐二面角， 所以 cosα=|m ⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=|1−3|√1+3×√1+3+3ℎ2=1√4+3ℎ2∈(0，12) ，又0＜α＜ π2 ， 所以 α∈(π3，π2) ．【点评】：本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用、利用向量法求解二面角的应用，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，得到所需的向量，将问题转化为空间向量之间的关系进行研究，属于中档题．21.（问答题，12分）已知点F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为 √22，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线MF 1与NF 1的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由已知建立等式关系即可求解；（2）设出直线l 的方程y=kx+m 以及M ，N 的坐标，利用已知可得x 轴为直线MF 1与NF 1的夹角的角平分线，所以k MF 1+k NF 1=0 ，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及斜率关系化简可得m=2k ，进而可以求解．【解答】：解：（1）设椭圆的方程为：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则由已知可得：{ca =√22(x−c，y)•(x+c，y)=0 x2+y2=1a2=b2+c2，即{ca=√22x2+y2−c2=0x2+y2=1a2=b2+c2，解得a= √2，b=c=1，故椭圆的方程为：x 22+y2=1；（2）证明：设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），则k MF1=y1x1+1=kx1+mx1+1，k NF1=y2x2+1=kx2+mx2+1，若x轴上任意一点到直线MF1与NF1的距离均相等，则x轴为直线MF1与NF1的夹角的角平分线，所以k MF1+k NF1=0，即kx1+mx1+1+kx2+mx2+1=0，整理可得：2kx1x2+（m+k）（x1+x2）+2m=0… ①联立方程{y=kx+mx22+y2=1，消去y整理可得：（1+2k2）x2+4mkx+2m2-2=0，则Δ=16m2k2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0，解得m2＜1+2k2，且x 1+x2=−4mk1+2k2，x 1x2=2m2−21+2k2，代入① 整理可得：m=2k，即直线l的方程为：y=kx+2k=k（x+2），故直线l恒过定点（-2，0）．【点评】：本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到向量的坐标运算以及角平分线的性质，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=alnx+x+2x+2a(a∈R)．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜e4，求证f(x)＜x+e x+2x．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证e xx2＞a(lnx+2)x，设g（x）= e xx2（x＞0），h（x）= a(lnx+2)x（x＞0），根据函数的单调性分别求出函数g（x）的最小值和h（x）的最大值，从而证明结论成立．【解答】：解：（1）f(x)=alnx+x+2x+2a(a∈R)，定义域是（0，+∞），则f′（x）= ax +1- 2x2= x2+ax−2x2，设t=x2+ax-2（x＞0），其中Δ=a2+8＞0，故令x2+ax-2=0，解得：x= −a±√a 2+82又x＞0，故x= −a+√a2+82，令f′（x）＞0，解得：x＞−a+√a 2+82，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜−a+√a 2+82，故f（x）在（0，−a+√a 2+82）递减，在（−a+√a2+82，+∞）递增；（2）证明：要证f（x）＜x+ e x+2x，即证e xx＞a（lnx+2），即证e xx2＞a(lnx+2)x，设g（x）= e xx2（x＞0），则g′（x）= (x−2)e xx3，令g′（x）≤0，得0＜x＜2，令g′（x）＞0，解得：x＞2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g（x）min=g（2）= e24，即g（x）≥ e24，令h（x）= a(lnx+2)x （x＞0），则h′（x）=- a(lnx+1)x2，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1e ，令h′（x）＜0，解得：x＞1e，故h（x）在（0，1e ）递增，在（1e，+∞）递减，故h（x）max=h（1e）=ae，又∵0＜a＜e4，∴h（x）≤ae＜e4•e= e24，故h（x）＜g（x），故f（x）＜x+ e 2+2x成立．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．。
高三数学期末试卷带答案
高三数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ． 2.三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( ) A ．B ．C ．D ．3.已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<e x 的解集为( ) A ．(-2,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞) D ．(4,+∞)4.函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D．5.已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A．607 B．328 C．253 D．0077.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．8.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A． B． C． D．9.要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位10.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75° B．60° C．45° D．30°11.程序框图如图，若，则输出的值为A．30 B．50 C．62 D．6612.公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于 ( )A．1 B．2 C．3 D．413.函数的定义域是()A． B． C． D．14.已知、分别为椭圆的两个焦点,点为其短轴的一个端点,若为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )A． B． C． D．15.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” （）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.已知直线⊥平面，直线m，给出下列命题：①∥②∥m; ③∥m④∥其中正确的命题是（）A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③17.函数的定义域为A．B．C．D．18.在等比数列中，，，，则项数为（）A．3 B．4 C．5 D．619.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（）A． B． C． D．20.已知且与垂直，则实数的值为（ ）二、填空题21.已知等比数列，则使不等式（）+（）+（）+……+（）≤0成立的最大自然数n 是____________。
2020-2021学年北京市人大附中高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市人大附中高三（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={x∈R|-1≤x≤3}，B={x∈N|2x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.42.（单选题，4分）若z（1-i）=2i，则z的虚部为（）A.1B.-1C.iD.-i3.（单选题，4分）在(√x2−√x)6的二项展开式中，x2的系数为（）A. 1516B. −1516C. 316D. −3164.（单选题，4分）已知平面向量a⃗=(√3，−1)，|b⃗⃗|=4，且(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，则|a⃗−b⃗⃗| =（）A.2B.3C.4D.55.（单选题，4分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A-BC-P的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.（单选题，4分）已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω＞0)，则下列说法错误的是（）A.若f（x）在（0，π）内单调，则0＜ω≤23B.若f（x）在（0，π）内无零点，则0＜ω≤16C.若y=|f（x）|的最小正周期为π，则ω=2D.若ω=2时，直线x=−2π3是函数f（x）图象的一条对称轴7.（单选题，4分）数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，4分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|= 174，若以线段PF为直径的圆过点（1，0），则C的方程为（）A.x2=y或x2=8yB.x2=2y或x2=8yC.x2=y或x2=16yD.x2=2y或x2=16y9.（单选题，4分）在△ABC中，a=2 √3，√7 bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是（）A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√710.（单选题，4分）已知函数f（x）=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f（x）有下述四个结论：① f（x）的一个周期是2π；② f（x）是偶函数；③ f（x）的最大值大于√2；④ f（x）在（0，π）单调递减．其中所有正确结论编号是（）A. ① ②B. ① ③C. ① ④D. ② ④11.（填空题，5分）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为___ ．12.（填空题，5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2•a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为___ ．13.（填空题，5分）已知F是双曲线C：x2- y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0，6√2)．① 若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ；② 若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ．14.（填空题，5分）已知函数f(x)={3x−1+kx−1，x≤0|lnx|+kx−2，x＞0，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 ___ ．15.（填空题，5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如下所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为___ ．乙2．每张选票“〇”的个数不超过2时才为有效票．丙16.（问答题，13分）已知△ABC中，bcosA-c＞0．（Ⅰ）△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．（Ⅱ）若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：① sinA=√22；② sinC=√32；③ a=2；④ c=√2．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．17.（问答题，13分）如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD=∠BCD=90°，EC=√2，AB=BD=2．（Ⅰ）证明：EM || 平面BCD；（Ⅱ）证明：EF⊥平面BCD；（Ⅲ）若直线EC与平面ABC所成的角等于30°，求二面角A-CE-B的余弦值．18.（问答题，14分）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m（m∈[70，100]），其质量指标等级如表：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（Ⅱ）若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90，95）的件数X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m 与利润y （单位：元）的关系如表（1＜t ＜4）：均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．19.（问答题，15分）已知函数f （x ）= 12 x 2-alnx- 12 （a∈R ，a≠0）． （Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．20.（问答题，15分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √32 ，且经过点 (1，√32) ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，且 |AB||OA|=32 ，求△OAB的面积．21.（问答题，15分）已知项数为m （m∈N*，m≥2）的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N*，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． （Ⅲ）已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．2020-2021学年北京市人大附中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={x∈R|-1≤x≤3}，B={x∈N|2x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．【解答】：解：∵A={x∈R|-1≤x≤3}，B={x∈N|2x＜4}={x∈N|x＜2}={0，1}，∴A∩B={x∈R|-1≤x≤3}∩{0，1}={0，1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．【点评】：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．2.（单选题，4分）若z（1-i）=2i，则z的虚部为（）A.1B.-1C.iD.-i【正确答案】：B【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】：解：由z（1-i）=2i，得z= 2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12= −2+2i2=−1+i，∴ z=−1−i，则z的虚部为-1．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.（单选题，4分）在(√x2−√x)6的二项展开式中，x2的系数为（）A. 1516B. −1516C. 316D. −316【正确答案】：D【解析】：求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．【解答】：解：(√x2−√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1= C6r•（-1）r•2r-6•x3-r，令3-r=2，求得r=1，故x2的系数为- C61•2-5=- 316．故选：D．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.（单选题，4分）已知平面向量a⃗=(√3，−1)，|b⃗⃗|=4，且(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，则|a⃗−b⃗⃗| =（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a⃗• b⃗⃗，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【解答】：解：由平面向量a⃗=(√3，−1)，可得| a⃗ |= √3+1 =2，由(a⃗−2b⃗⃗)⊥a⃗，可得a⃗•（a⃗ -2 b⃗⃗）=0，即a⃗2=2 a⃗• b⃗⃗ =4，则a⃗• b⃗⃗ =2，|a ⃗−b ⃗⃗| = √(a ⃗−b ⃗⃗)2= √a ⃗2−2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 = √4−2×2+16 =4， 故选：C ．【点评】：本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 5.（单选题，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB=2， PA =BC =√3 ，则二面角A-BC-P 的大小为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°【正确答案】：C【解析】：以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-P 的大小．【解答】：解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB=2， PA =BC =√3 ，∴AC⊥BC ，AC= √AB 2−BC 2 = √4−3 =1，以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P （0，0， √3 ），B （ √3 ，1，0），C （0，1，0）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1 ，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，- √3 ）， 设平面PBC 的法向量 n ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗⃗•PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3x +y −√3z =0n ⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y −√3z =0 ，取z=1，得 n ⃗⃗ =（0， √3 ，1），平面ABC 的法向量 m ⃗⃗⃗ =（0，0，1）， 设二面角A-BC-P 的平面角为θ， 则cosθ= |m ⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|•|n ⃗⃗| = 12 ，∴θ=60°， ∴二面角A-BC-P 的大小为60°， 故选：C ．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 6.（单选题，4分）已知 f (x )=√32sinωx +sin 2ωx2−12(ω＞0) ，则下列说法错误的是（ ）A.若f （x ）在（0，π）内单调，则 0＜ω≤23 B.若f （x ）在（0，π）内无零点，则 0＜ω≤16 C.若y=|f （x ）|的最小正周期为π，则ω=2 D.若ω=2时，直线 x =−2π3是函数f （x ）图象的一条对称轴【正确答案】：C【解析】：根据题意，将函数的解析式变形可得f （x ）=sin （ωx - π6 ），据此依次分析选项，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，f （x ）= √32 sinωx+sin 2 ωx 2 - 12 = √32 sinωx - 12 cosωx=sin （ωx - π6）， 由此依次分析选项：对于A ，若f （x ）在（0，π）内单调，则有ωπ- π6 ≤ π2 ，解可得ω≤ 23 ，A 正确，对于B，当x∈（0，π）时，则ωx- π6∈（- π6，ωπ- π6）若f（x）在（0，π）上无零点，则ωπ- π6≤0，解可得0＜ω≤ 16，B正确，对于C，若y=|f（x）|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f（x）=sin（2x- π6），当x=- 2π3时，2x- π6=- 3π2，则直线x=−2π3是函数f（x）图象的一条对称轴，D正确，故选：C．【点评】：本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．7.（单选题，4分）数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．【解答】：解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1-S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+（n-1）d，于是a1=S1，a n+1=S n+1-S n=（S1+nd）-（S1+（n-1）d）=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．8.（单选题，4分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点P在C上，|PF|= 174，若以线段PF为直径的圆过点（1，0），则C的方程为（）A.x2=y或x2=8yB.x2=2y或x2=8yC.x2=y或x2=16yD.x2=2y或x2=16y【正确答案】：C【解析】：设出点P坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P坐标代入即可解出．【解答】：解：由题意可知F（0，p2），准线方程为y=- p2，设点P（m．n），|PF|=n+ p2 = 174，又线段PF为直径的圆过点（1，0），∴圆的半径为178，圆心坐标为（m2，178），√(m2−1)2+(178−0)2=178，∴m=2，即P（2，174−p2）代入抛物线方程得，4=2p×（174−p2），解得p=8或12，故选：C．【点评】：本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．9.（单选题，4分）在△ABC中，a=2 √3，√7 bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是（）A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√7【正确答案】：A【解析】：由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sinA，cosA，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，进而可求．【解答】：解：由正弦定理及√7 bcosA=3asinB，得√7 sinBcosA=3sinAsinB，因为sinB＞0，所以√7 cosA=3sinA，A为锐角，结合sin2A+cos2A=1，所以sinA= √74，cosA= 34，由余弦定理得，cosA= 34 = b2+c2−122bc，整理得，24=2b2+2c2-3bc≥4bc-3bc=bc，当且仅当b=c时取等号，即bc≤24，则△ABC面积S= 12bcsinA≤12×24×√74=3 √7，故选：A．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．10.（单选题，4分）已知函数f（x）=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f（x）有下述四个结论：① f（x）的一个周期是2π；② f（x）是偶函数；③ f（x）的最大值大于√2；④ f（x）在（0，π）单调递减．其中所有正确结论编号是（）A. ① ②B. ① ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：B【解析】：① ，利用周期定义判断；② ，利用f（π4）和f（- π4）的值判断；③ 利用f（0）的值判断；④ 判断函数f（x）在（0，π2）的函数值判断即可．【解答】：解：① ：因为f（x+2π）=sin[cos（x+2π）]+cos[sin （x+2π）]=sin[cosx]+sin[cosx]=f（x），所以函数的一个周期为2π，故① 正确；② ：因为f（π4）=sin[cos π4]+cos[sin π4]=sin0+cos0=1，f（- π4）=sin[cos（- π4）]+cos[sin（- π4）]=sin0+cos（-1）=cos1，所以f（π4）≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故② 错误；③ 因为f（0）=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1 ＞√22+1＞√2，故③ 正确；④ ：当x∈（0，π2）时，0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f（x）=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x ∈(0，π2)时，f（x）=1为定值，故④ 错误； 故选：B ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，5分）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为___ ． 【正确答案】：[1]36【解析】：设老年职工有x 人，列方程求出x 的值，再设该样本中的老年职工人数为y 人，列方程求出y 的值即可．【解答】：解：设老年职工有x 人，则中年职工有2x 人，所以x+2x+160=430， x=90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y 人，则 y90 = 64160 ， 解得y=36，所以该样本中的老年职工人数为36人．【点评】：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 12.（填空题，5分）在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2•a 4=16，a 6=32，记b n =a n +a n+1，则数列{b n }的前六项和S 6为___ ． 【正确答案】：[1]189【解析】：先由题设求得a 3，进而求得公比q 与a n ，再求得b n ，然后利用等比数列的前n 项和公式求得结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2•a 4=16=a 32，a n ＞0，∴a 3=4， 又∵a 6=32，∴ a 6a 3=q 3=8，解得：q=2， ∴a n =a 6q n-6=2n-1， ∴b n =2n-1+2n =3×2n-1， ∴S 6=3(1−26)1−2=189，故答案为：189．【点评】：本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．=1的右焦点，P是双曲线C上的点，13.（填空题，5分）已知F是双曲线C：x2- y28A(0，6√2)．① 若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ；② 若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]9; [2]11【解析】：由题意知，F（3，0），① 当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；② 设双曲线的左焦点为F'，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF'|+2，当A，P，F'按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．【解答】：解：由题意知，F（3，0），① |AP|+|PF|≥|AF|= √(0−3)2+(6√2−0)2 =9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；② 设双曲线的左焦点为F'（-3，0），由双曲线的定义知，|PF|-|PF'|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF'|+2≥|AF'|+2= √(0+3)2+(6√2−0)2 +2=11，当且仅当A，P，F'按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．【点评】：本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数f(x)={3x−1+kx−1，x≤0|lnx|+kx−2，x＞0，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（-e-3，0）【解析】：首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．【解答】：解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=-kx存在4个不同的交点．绘制函数g（x）的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k＜0时，两函数在区间（-∞，0）和区间（0，1）上必然各存在一个交点，则函数g（x）与函数y=-kx在区间（1，+∞）上存在两个交点，临界条件为函数y=-kx与函数h（x）=lnx-2相切，考查函数h（x）=lnx-2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为（x0，lnx0-2），则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x0(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x0(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是（-e-3，0）．故答案为：（-e-3，0）．【点评】：本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．15.（填空题，5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如下所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为___ ．【解析】：假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x，y，z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．【解答】：解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x，y，z∈N，整理可得z-x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．【点评】：本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．16.（问答题，13分）已知△ABC中，bcosA-c＞0．（Ⅰ）△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．（Ⅱ）若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：① sinA=√22；② sinC=√32；③ a=2；④ c=√2．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得sinAcosB＜0，再由A，B的范围可得cosB＜0，求出B为钝角；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得B为钝角，当① ② 条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B为钝角的条件，所以① ② 不能同时成立；当① ③ ④ 时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当② ③ ④ 时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B 为钝角的条件故舍弃．【解答】：解：（Ⅰ）因为bcosA-c＞0，由正弦定理可得sinBcosA-sinC＞0，在△ABC中，C=π-A-B，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以不等式整理为sinAcosB+cosAsinB＜sinBcosA，即sinAcosB＜0，因为A∈（0，π），sinA＞0，所以cosB＜0，所以B为钝角；（Ⅱ）（i）若满足① ③ ④ ，则正弦定理可得asinA = csinC，即√22 = √2sinC，所以sinC= 12，又a＞c，所以A＞C，在三角形中，sinA= √22，所以A= π4或A= 34π，而由（Ⅰ）可得A= π4，所以可得C= π6，B=π-A-C=π- π4- π6= 712π；所以b= √a2+c2−2accosB = √4+2−2×2×√2(−√6−√24) = √3 +1；（ii）若满足① ② ，由（Ⅰ）B为钝角，A，C为锐角，及sinA= √22，sinC= √32，可得A= π4，C= π3，所以B= 512π 不符合B为钝角，故① ② 不同时成立；（iii）若满足② ③ ④ ，由B为钝角，sinC= √32，所以C= π3，而a＞c，所以A＞C，这时B ＜π3，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足① ③ ④ 时b= √3 +1．【点评】：本题考查三角形的性质大边对大角及三角形正余弦定理的应用，属于中档题．17.（问答题，13分）如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD=∠BCD=90°，EC=√2，AB=BD=2．（Ⅰ）证明：EM || 平面BCD；（Ⅱ）证明：EF⊥平面BCD；（Ⅲ）若直线EC与平面ABC所成的角等于30°，求二面角A-CE-B的余弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由中位线的性质知EM || CD，再由线面平行的判定定理，得证；（Ⅱ）由中位线的性质知EF || AB，EF=1，从而有EF⊥BD，再结合直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可得EF⊥CF，然后由线面垂直的判定定理，得证；（Ⅲ）由（Ⅱ）中的EF⊥平面BCD，推出AB⊥CD，再利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，从而有EM⊥平面ABC，于是∠ACE=30°，然后可证明△BCD是等腰直角三角形，故以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE和平面BCE的法向量m⃗⃗⃗与n⃗⃗，由cos＜m⃗⃗⃗，n⃗⃗＞，得解．= m⃗⃗⃗⃗•n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|•|n⃗⃗|【解答】：（Ⅰ）证明：∵E，M分别是线段AD，AC的中点，∴EM || CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM || 平面BCD．AB=1，（Ⅱ）证明：∵E，F分别是线段AD，BD的中点，∴EF || AB，EF= 12∵∠ABD=90°，即AB⊥BD，∴EF⊥BD，BD=1，∵∠BCD=90°，F为BD的中点，∴CF= 12∵ EC=√2，∴EC2=EF2+CF2，即EF⊥CF，又BD∩CF=F，BD、CF⊂平面BCD，∴EF⊥平面BCD．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，EF⊥平面BCD ， ∵EF || AB ，∴AB⊥平面BCD ，∴AB⊥CD ，∵∠BCD=90°，即BC⊥CD ，且AB∩BC=B ，AB 、BC⊂平面ABC ， ∴CD⊥平面ABC ，∵EM || CD ，∴EM⊥平面ABC ，∴∠ACE 为直线EC 与平面ABC 所成的角，即∠ACE=30°， ∵CD⊥平面ABC ，∴CD⊥AC ，∵E 为AD 的中点，∴CE= 12AD=AE ，即△ACE 是底角为30°的等腰三角形， ∵ EC =√2 ，∴AC= √6 ，BC= √AC 2−AB 2 = √6−4 = √2 ， ∵BD=2，∠BCD=90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CF⊥BD ，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为y ，z 轴，在平面BCD 内作Bx || CF ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），E （0，1，1），C （1，1，0）， ∴ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0，1）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，-2）， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， 设平面ACE 的法向量为 m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {m ⃗⃗⃗•CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {−x +z =0x +y −2z =0 ，令z=1，则x=1，y=1，∴ m ⃗⃗⃗ =（1，1，1）， 同理可得，平面BCE 的法向量为 n ⃗⃗ =（1，-1，1）， ∴cos ＜ m ⃗⃗⃗ ， n ⃗⃗ ＞= m⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|•|n ⃗⃗|= √3×√3 = 13 ， 由图可知，二面角A-CE-B 为锐角， 故二面角A-CE-B 的余弦值为 13 ．【点评】：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，理解线面角的定义，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.（问答题，14分）某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m（m∈[70，100]），其质量指标等级如表：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（Ⅱ）若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90，95）的件数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（1＜t＜4）：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]利润y（元）4t 9t 4t 2t −5e t3试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设事件A的合格率为P（A），则根据概率分布直方图求出一件产品为合格或合格以上等级的概率，由此能求出事件A发生的概率；（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的7件产品中，m∈[85，90）的有4件，m∈[90，95）的有2件，m∈[95，100）的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90，95）的件数X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）；（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值k与利润y（元）的关系，从而求出每件产品的利润y=-0.5e t+2.5t，（1＜t＜4），则y′=-0.5e t+2.5，利用导数性质能求出生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.5时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．【解答】：解：（Ⅰ）设事件A的概率为P（A），则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P=5（0.04+0.02）=0.3，则P（A）=1-0.32=1-0.09=0.91，（Ⅱ）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85，90）的频率为0.08×5=0.4，m∈[90，95）的频率为0.04×5=0.2，m∈[95，100]的频率为0.02×5=0.1，∴利用分层抽样抽取的7件产中，m∈[85，90）的有4件，m∈[90，95）的有2件，m∈[95，100）的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90，95）的件数X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）= C53C73 = 27，P（X=1）= C21C52C73 = 47，P（X=2）= C22C51C73 = 17，∴X的分布列为：E（X）=0×7 +1×7+2×7=7．（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系与表所示（1＜t ＜4），y=-0.5e t+0.8t+0.6t+0.9t+0.2t=-0.5e t+2.5t，（1＜t＜4），则y′=-0.5e t+2.5，令y′=-0.5e t+2.5=0，解得t=ln5，∴当t∈（1，ln5）时，y′＞0，函数y=-0.5e t+2.5单调递增，当t∈（ln5，4）时，y′＜0，函数y=-0.5e t+2.5t，单调递减，∴当t=ln5时，y取最大值，为-0.5e ln5+2.5×ln5=1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、利润最大值的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，15分）已知函数f（x）= 12 x2-alnx- 12（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；（Ⅱ）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅲ）由题意可知，对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f （x）min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；【解答】：解：（Ⅰ）a=2时，f(x)=12x2−2lnx−12，f(1)=0f′(x)=x−2x，f′(1)=−1曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x+y-1=0（Ⅱ）f′(x)=x−ax =x2−ax(x＞0)① 当a＜0时，f′(x)=x2−ax＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）② 当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=√a或x=−√a所以函数f （x ）的递增区间为 (√a ，+∞) ，递减区间为 (0，√a)（Ⅲ）对任意的x∈[1，+∞），使f （x ）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f （x ）min ≥0 ① 当a ＜0时，f （x ）在[1，+∞）上是增函数， 所以只需f （1）≥0 而 f (1)=12−aln1−12=0 所以a ＜0满足题意；② 当0＜a≤1时， 0＜√a ≤1 ，f （x ）在[1，+∞）上是增函数， 所以只需f （1）≥0 而 f (1)=12−aln1−12=0 所以0＜a≤1满足题意；③ 当a ＞1时， √a ＞1 ，f （x ）在 [1，√a] 上是减函数， [√a ，+∞) 上是增函数， 所以只需 f(√a)≥0 即可 而 f(√a)＜f (1)=0 从而a ＞1不满足题意；综合 ① ② ③ 实数a 的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．【点评】：考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值和单调性．恒成立的问题，一般都要求函数的最值，此题是一道中档题． 20.（问答题，15分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √32 ，且经过点 (1，√32) ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，且 |AB||OA|=32 ，求△OAB的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆离心率为 √32 ，且经过点 (1，√32) ，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4（kx+m ）2=4，由Δ＞0，得4k 2+1＞m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，推出OA⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y=- 1k x ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4) ，|OA|2= 4(k 2+1)k 2+4，进而可得 |AB|2|OA|2 = 36k 2(4k 2+1)2 = 94 ，解得k 2= 14 ，进而可得△OAB 的面积S= 12 |OA||AB|= 34 |OA|2，即可得出答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得 { c a =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a=2，b=1，c= √3 ，∴椭圆方程为 x 24 +y 2=1．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立y=kx+m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4（kx+m ）2=4， ∴（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2-4=0，∴Δ=（8km ）2-4（4k 2+1）（4m 2-4）=16（4k 2+1-m 2）＞0，即4k 2+1＞m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1 ，x 1x 2= 4m 2−44k 2+1， 因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，所以OA⊥AB ， 设直线OA 的方程为y=- 1k x ，联立直线AB 的方程得y 1= m k 2+1 ，x 1=-ky 1= −kmk 2+1 ， 代入x 12+4y 12=4，所以（ −km k 2+1 ）2+4（ mk 2+1 ）=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1-m 2=4k 2+1-4(k+1)2k 2+4 = (4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4， 所以|AB|= √1+k 2 √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √1+k 2 √(−8km 4k 2+1)2−4•4m 2−44k 2+1 = 4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1， 所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2 = 144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)， 所以|OA|2=（-ky 1）2+y 12=（k 2+1）（ mk 2+1 ）2= m 2k 2+1 =4(k 2+1)k 2+4，所以 |AB|2|OA|2 = 36k 2(4k 2+1)2 = 94 ，得16k 2=（4k 2+1）2，解得k 2= 14 ， 此时m 2= 4(k 2+1)2k 2+4= 2517 ＜4k 2+1，满足Δ＞0，由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4 = 2017 ，所以△OAB 的面积S= 12|OA||AB|= 12|OA|× 32|OA|= 34|OA|2= 1517．【点评】：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.（问答题，15分）已知项数为m （m∈N*，m≥2）的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N*，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． （Ⅲ）已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式求出a 1+a 2+a 3+a 4=22，再利用“关联数列”的定义进行分析求解即可；（Ⅱ）利用“关联数列”的定义结合数列单调性的判断方法，即作差法进行判断即可； （Ⅲ）利用已知条件分析得到a n+1-a n ≥m -1，然后表示出a m -1≥（m-1）2，从而得到m 的取值范围，再利用“关联数列”{b n }，得到 b 1−b m =2020m−1∈N ∗ ，利用m-1为2020的正约数分析求解即可．【解答】：解：（I ）1，4，7，10是项数为4的递增等差数列， 其中a 1=1，d=3，a n =1+（n-1）×3=3n-2，所以a 1+a 2+a 3+a 4=22， 则 b n =a 1+a 2+a 3+a 4−a n4−1=22−3n+23， 故b n =8-n ，1≤n≤4，n∈N*， 所以b 1=7，b 2=6，b 3=5，b 4=4，所以数列1，4，7，10存在“关联数列”为7，6，5，4；（Ⅱ）因为{a n}为递增数列，所以a n+1-a n＞0，则b n+1−b n=(a1+a2+⋯+a m)−a n+1m−1 - (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1= a n−a n+1m−1＜0，所以b n+1＜b n，故数列{b n}具有单调递减性；（Ⅲ）由于b n∈Z，则b n-b n+1≥1，故a n+1−a nm−1≥1，所以a n+1-a n≥m-1，又a m-1=（a m-a m-1）+（a m-1-a m-2）+…+（a2-a1）≥（m-1）+（m-1）+…+（m-1）=（m-1）2，所以（m-1）2≤2020，解得m≤45，所以{a n}存在“关联数列”{b n}，所以b1−b m=(a1+a2+⋯+a m)−a1m−1 - (a1+a2+⋯+a m)−a mm−1=a m−a1m−1= 2020m−1∈N∗，因为m-1为2020的正约数，且m≤45，故m-1的最大值为20，所以m的最大值为21．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．。
2020-2021学年安徽省皖西南联盟高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年安徽省皖西南联盟高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i2．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7} 3．函数f（x）＝sin4x cos4x的最小正周期与最小值分别为（）A．B．C．D．4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为（）A．B．C．D．5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）A．a＜b＜a+b B．a＜a+b＜b C．b＜a+b＜a D．a+b＜b＜a6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（）A．32名B．33名C．34名D．35名7．若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．已知一个扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2．若tanβ＝2，则tan（α+2β）＝（）A．B．7C．D．﹣79．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，C1四点共面；②平面ACE⊥平面BDD1B1；③FC1∥平面ADD1A1；④FC1与平面ABCD所成角为60°．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．设x，y满足约束条件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．64B．81C．100D．12111．设函数f（x）＝sin x﹣log3x，g（x）＝3x﹣log0.5x，h（x）＝sin x﹣log0.5x的零点分别为a，b，c，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c12．已知点P（m，n）是抛物线上一动点，则的最小值为（）A．4B．5C．D．6二、填空题（共4小题）.13．若从集合{1，2，3，5，7，8，10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为．14．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．15．已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为，四面体BCEF外接球的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：{a n}是等比数列．（2）求数列{log3a n}的前n项和．18．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5（m＝1，2，3，4，5），投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．19．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．（1）证明：BG∥平面ACE；（2）求三棱锥B﹣ACE的体积．20．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．21．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0．（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求|PA|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若f（x）的最小值为4，且，证明：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．2．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}解：∵A＝{x|﹣12＜x＜7}，B＝{x|x＞﹣6}，∴A∩B＝{x|﹣6＜x＜7}．故选：B．3．函数f（x）＝sin4x cos4x的最小正周期与最小值分别为（）A．B．C．D．解：，则，可得．故选：C．4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为（）A．B．C．D．解：因为正八边形的内角和为（8﹣2）π＝6π，所以与的夹角为，故选：B．5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）A．a＜b＜a+b B．a＜a+b＜b C．b＜a+b＜a D．a+b＜b＜a解：，当，f'（x）＞0，当或时，f'（x）＜0，故的极大值点与极小值点分别为，，则，，所以b＜a+b＜a，故选：C．6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（）A．32名B．33名C．34名D．35名解：由题意可知，第二天需要完成的订单数为800+1000＝1800，因为．所以至少需要志愿者35名．故选：D．7．若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的标准方程为，依题意可得，解得，则．故选：C．8．已知一个扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2．若tanβ＝2，则tan（α+2β）＝（）A．B．7C．D．﹣7解：因为tanβ＝2，所以，又扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2，可得：，所以．故选：A．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，C1四点共面；②平面ACE⊥平面BDD1B1；③FC1∥平面ADD1A1；④FC1与平面ABCD所成角为60°．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：如图，因为AF与EC1异面，所以A，E，F，C1四点不共面，故①错误．在正方体中，AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD、BB1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BDD1B1，故②正确．因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，且FC1⊂平面BCC1B1，所以FC1∥平面ADD1A1，故③正确．因为FC1与平面ABCD所成角为∠C1FC，且tan∠C1FC＝2，故④错误，所以正确的命题个数为2个，故选：B．10．设x，y满足约束条件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．64B．81C．100D．121解：作出约束条件表示的可行域如图，∵a＞0，b＞0，∴当直线z＝ax+by经过点（5，6）时，z取得最大值，则5a+6b＝1，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为121．故选：D．11．设函数f（x）＝sin x﹣log3x，g（x）＝3x﹣log0.5x，h（x）＝sin x﹣log0.5x的零点分别为a，b，c，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c解：设函数f1（x）＝sin x，f2（x）＝log3x，f3（x）＝log0.5x，，则a是f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标，b是f3（x）与f4（x）图象交点的横坐标，c是f1（x）与f3（x）图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的图象，如图所示．由图可知a＞c＞b．故选：A．12．已知点P（m，n）是抛物线上一动点，则的最小值为（）A．4B．5C．D．6解：由，得x2＝﹣4y．则的焦点为F（0，﹣1）．准线为l：y＝1．几何意义是：点P（m，n）到F（0，﹣1）与点A（4，﹣5）的距离之和，根据抛物线的定义点P（m，n）到F（0，﹣1）的距离等于点P（m，n）到l的距离，所以的最小值为1﹣（﹣5）＝6．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若从集合{1，2，3，5，7，8，10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为．解：题中的集合里共有7个元素，其中4个是奇数，故所求概率为．故答案为：．14．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．解：因为＝，可得cos C＝，又sin2C+cos2C＝1，所以，因为，AC＝2，由正弦定理得，可得．故答案为：．15．已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是．解：依题意可作出f（x）在[﹣4，5]上的图象，如图所示．因为a＜a+，由图可知，解得﹣≤a＜0，故a的取值范围是．故答案为：．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为，四面体BCEF外接球的表面积为14π．解：因为平面CEF与平面CDD1C1的交线为CD1，所以截面为四边形CEFD1，而四边形CEFD1为等腰梯形，且，，故其面积为．设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，则OG⊥平面BCE．设球O的半径为R，则R2＝OG2+EG2＝AG2+（OG﹣AF）2．因为，所以，从而，故球O的表面积为4πR2＝14π．故答案为：；14π．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：{a n}是等比数列．（2）求数列{log3a n}的前n项和．【解答】（1）证明：当n≥2时，，又a1＝S1＝9，所以{a n}的通项公式为．因为，所以{a n}是首项为9，公比为3的等比数列．（2）解：因为，所以log3a n＝n+1，所以数列{log3a n}的前n项T n＝2+3+…+n+1＝＝．18．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5（m＝1，2，3，4，5），投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．解：（1）由散点图可得，，，＝，，则y关于x的线性回归方程为；（2）当m＝6时，n＝1.7×6﹣0.5＝9.7（万元），当x＝6时，（万元）．∵9.7＞8，∴A项目收益更好．19．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．（1）证明：BG∥平面ACE；（2）求三棱锥B﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，BD1，则BD1∥OE．∵BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴BD1∥平面ACE．∵ED1∥CF，ED1＝CF，∴四边形D1ECF为平行四边形，∴D1F∥EC．又∵D1F⊄平面ACE，EC⊂平面ACE，∴D1F∥平面ACE．∵BD1∩D1F＝D1，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，∴平面BD1F∥平面ACE，∵BG⊂平面BD1F，∴BG∥平面ACE．（2）解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°，则AC边上的高为1，，∴．又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，，∵V B﹣ACE＝V E﹣ABC，∴．20．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．解：（1）依题意可知，解得a＝2，b＝2，c＝4故C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则△＝300m2﹣64（5m2﹣20）＞0，解得﹣8＜m＜8．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，原点到直线l的距离，则△AOB的面积，当且仅当m2＝32，即时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2．21．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12x+9，则f′（0）＝9，故曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y＝9x+1；（2）证明：令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，故f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，∵f（）＞f（3）＝1，故f（x）在（，+∞）上的最小值是f（3）＝1，设函数g（x）＝x+1﹣lnx，则g′（x）＝（x＞0），令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，故g（x）在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）≥g（1）＝2；从而（x+1﹣lnx）f（x）≥2，但由于f（x）≥1与g（x）≥2的取等条件不同，故（x+1﹣lnx）f（x）＞2，∵2cos x≤2，∴（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0．（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求|PA|的取值范围．解：（1）由曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），得x2+（y﹣a）2＝16，即x2+y2﹣2ay＝16﹣a2，因为曲线C经过坐标原点O，所以16﹣a2＝0，又a＜0，所以a＝﹣4．故C的极坐标方程为ρ2+8ρsinθ＝0，即ρ+8sinθ＝0（或ρ＝﹣8sinθ）．（2）因为l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0，即4ρcosθ﹣12ρsinθ﹣12＝0，所以l的直角坐标方程为x﹣3y﹣3＝0．令y＝0，得x＝3，则A的直角坐标为（3，0），由（1）知，曲线C表示圆心为C（0，﹣4），半径为4的圆且|AC|＝5，故|PA|的取值范围为[1，9]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若f（x）的最小值为4，且，证明：．【解答】（1）解：当a＝1时，由f（x）＜6，得|x﹣1|+|x+3|＜6．当x≤﹣3时，﹣2x﹣2＜6，则﹣4＜x≤﹣3；当﹣3＜x＜1时，4＜6，则﹣3＜x＜1；当x≥1时，2x+2＜6，则1≤x＜2．故不等式f（x）＜6的解集为（﹣4，2）．（2）证明：因为f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|≥|x﹣a3﹣（x+3a）|＝|a3+3a|，且a＞0，所以f（x）的最小值为a3+3a＝4．因为函数g（a）＝a3+3a为增函数，且g（1）＝4，所以a＝1．从而，因为m＞0，n＞0，所以由柯西不等式得，即，所以（当且仅当，时等号成立）。
上海崇明县城北中学2021年高三数学理期末试卷含解析
上海崇明县城北中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i为虚数单位，复数=A． 1－i B．－1－i C．－1+i D．1+i参考答案：D分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：。
2. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D3. 设集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x||x|＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜﹣1或2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜﹣2或1＜x＜3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1或2＜x＜3}．故选：C．4. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是，输出的结果是7，则判断框中的“”应填入（）A．B． C. D．参考答案：C由题意可得，若输出结果为，则该流程图的功能是：计算的值，裂项求和可得：，输出结果为，则最后求得的，结合选项可知判断框中的“”应填入.本题选择C选项.5. 若向量,则下列结论中错误的是A． B．C． D．对任一向量，存在实数，使参考答案：C因为，所以；又因，所以；与为不共线向量，所以对任一向量，存在实数，使. 故选C.6. 在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝A、 B、C、D、参考答案：B由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B7. 已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A、B、 C、D、参考答案：C8. 设（其中为自然对数的底数），则的值为 ( )A． B． C． D．参考答案：C9. 函数的单调递增区间是（）A． B．（2, ） C．（1,） D．参考答案：D10. 设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则?U A∩B等于（）A．（0，1] B．C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪参考答案：C考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴?U A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则（?U A）∩B=（1，2]，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为____________.参考答案：略12. 函数的最小正周期是参考答案： 函数，周期，即函数的周期为。
2020-2021学年北京市丰台区高三(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷一、选择题1．（4分）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，那么A∩B＝（）A．{0，1}B．{x|0≤x＜2}C．{﹣1，0}D．{0，1，2} 2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1＝1，a2+a4＝10，则a20＝（）A．35B．37C．39D．413．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．4．（4分）若函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为（）A．[0，1）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，1）5．（4分）若关于x，y的方程组（a∈R）无解，则a＝（）A．2B．C．1D．6．（4分）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）；②存在区间D，f（x）在区间D上单调递减的函数是（）A．y＝sin x B．y＝x3C．D．y＝lnx7．（4分）已知{a n}是等比数列，S n为其前n项和，那么“a1＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科）．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（）A．36B．48C．144D．2889．（4分）在平面直角坐标系中，A，B是直线x+y＝m上的两点，且|AB|＝10．若对于任意点P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，则m的最大值为（）A．B．4C．D．810．（4分）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y＝（a为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）A．9：40B．9：30C．9：20D．9：10二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2022学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，{|12}B x x =-<<，则(A B = )A ．{0，1}B ．{1-，0，1}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1，2}2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．()f x lnx = B ．()2x f x = C ．3()f x x =D ．()sin f x x =3．在等比数列{}n a 中，若23216a a =，则4(a = ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．44．在二项式52()x x -的展开式中，含3x 项的系数为( )A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．在平面直角坐标系中，角α的终边过点(1,0)-，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120︒与角β的终边重合，则cos (β= ) A ．12 B ．12-C ．32D ．32-6．人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB 级别跃升到PB ，EB 乃至ZB 级别(11024TB GB =，11024PB TB =，11024EB PB =，11024)ZB EB =．由国际数据公司IDC 的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：)ZB 的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y 和时间x 的函数模型是( ) A ．y a bx =+ B ．y a b x =+ C ．y a blnx =+D ．x y a be =+7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，过P 作l 的垂线，垂足为M ．若||||MF PF =，则||(PM = )A ．2BC ．4D ．8．已知直线:1l y mx m =--，P 为圆22:4210C x y x y +--+=上一动点，设P 到直线l 距离的最大值为()d m ，当()d m 最大时，m 的值为( )A ．12-B ．32-C ．23D ．29．已知点A ，B ，C 不共线，λ，μ为实数，AP AB AC λμ=+，则“01λμ<+<”是“点P 在ABC ∆内（不含边界）”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对*k N ∀∈，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a +++的最小值为( )A ．18B ．20C ．21D ．23二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
广西壮族自治区河池市金城江区第二初级中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析
广西壮族自治区河池市金城江区第二初级中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：C【分析】等式两边同乘，得到，然后得到在复平面对应的点，得到答案.【详解】解：复数，，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于简单题．2. 将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为( )A. B. C. D.参考答案：C略3. B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是A．B．C．D．参考答案：C4. 已知点是双曲线上一点，、是它的左、右焦点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C5. （文）如图，目标函数z＝ax-y的可行域为四边形OACB（含边界），若是该目标函数z＝ax-y的最优解，则a的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：B略6. 如图，在多面体中，平面平面，，且是边长为2的正三角形，是边长为4的正方形，分别是的中点，则A. B. 4 C. D. 5参考答案：A7. 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.参考答案：C8. 一个几何体的三视图如下图所示，图中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的体积为A．72πB．108 C．108πD．96参考答案：C9. 若圆与圆，则（）参考答案：C10. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是 ( )A．0 B．2 C．4 D．8参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于x的不等式的解集恰好是，则．参考答案：4【详解】试题分析：设，对称轴为，此时，有题意可得;,且，由，解得：（舍去）或，可得，由抛物线的对称轴为得到，所以考点：二次函数的性质二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．12. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2参考答案：C13. 在等比数列{a n}中，已知a4＋a10=10，且，则= ．参考答案：1614. 已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.参考答案：由定义可知当，点P的轨迹是半径为的圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所以。
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【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．
二、填空题
13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
11．若变量x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，若 ，则△ABC的面积S是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 满足 ，则 的取值范围是__________.
14．计算： ________
15．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若三角形的面积 ，则角 __________．
解析：
【解析】
【分析】
设三角形外接圆半径R，由三角形面积公式 解方程即可得解.
【详解】
由题：
设三角形外接圆半径为R（ ），根据正弦定理和三角形面积公式：
即 ，
解得： .
故答案为：
【点睛】
此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.
20．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2得＋1＋q＋q2=
20．已知等比数列 的公比为2,前n项和为 ,则 =______.
三、解答题
21．在条件① ，② ，③ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在 中，角 的对边分别为 ， ， ，.
求 的面积.
22．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转到三角形A1B1C1，且 .顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1.
2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5)
一、选择题
1．在 中 分别为角 所对的边,若 ,则此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
2．若 ,则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 则 （）
A． B． C． D．
解析：3
【解析】
【分析】
由acosB＝5bcosA得 ，由asinA﹣bsinB＝2sinC得 ，解方程得解.
【详解】
由acosB＝5bcosA得 .
由asinA﹣bsinB＝2sinC得 ，
所以 .
故答案：3
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
(1)当＝ 时，求六边形徽标的面积；
(2)求六边形徽标的周长的最大值.
23．在△ 中，角 的对边分别为 ，已知 ，（1）求 （2）若 ，△ 的面积为 ，求
24．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋ asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝ ，AD＝ ，求△ABC的面积．
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
由正弦定理求出 ，
【详解】
是三角形内角， ，∴ ，
由正弦定理 得 ，
又 ，即 ，
， （ 舍去），
∴ ．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
由 得到 ，即 ，利用分组求和法即可得到结果.
【详解】
由数列 的前 项和为 ，
当 时， ；
当 时， ，
上式对 时也成立，
∴ ，
∴ ，
∵函数 的周期 ，
∴
，
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合 的几何意义求出其范围，即可得到答案.
【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
而 的几何意义表示过平面区域内的点与 的直线斜率，
结合图象，可得 ， ，
所以 的取值范围为 ，
故选：A.
【点睛】
故 为钝角.此时 .故 .
即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.
19．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R（）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应
解析：
【解析】
由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4= ＋a2＋a2q＋a2q2，
得 ＋1＋q＋q2= .
三、解答题
21．见解析
【解析】
【分析】
若选①：利用正弦定理可得 ,即 ,再利用余弦定理求得 ,进而求得 ,从而求得面积；
解析：C
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式可得 ，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得 ，从而得到角A.
【详解】
∵
∴
即
∴
∴
∴ ，
∴ （舍）
∴
故选C
【点睛】
此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成 在 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.
【详解】
作出可行域如图：
化目标函数为 ，
联立 ，解得 .
由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小， 有最大值 .
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
16．设 ，若对于任意满足 的正数 ， ，都有 ，则 的取值范围是______.
17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______．
18．在钝角 中，已知 ，若 的面积为 ，则 的长为______．
19．若 的三个内角 ， ， ，且面积 ，则该三角形的外接圆半径是______
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，且 ，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【详解】
∵等差数列 的前 项和有最大值，
∴等差数列 为递减数列，
又 ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ 成立的正整数 的最大值是17，
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．
5．C
18．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题
解析：
【解析】
【分析】
利用面积公式可求得 ,再用余弦定理求解 即可.
【详解】
由题意得, .
又钝角 ,当 为锐角时, ,则 ,即 不满足钝角三角形.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
三角形的面积公式为 ，故需要求出边 与 ，由余弦定理可以解得 与 .
【详解】
解：在 中，
将 ， 代入上式得 ，
解得：
由 得
所以，
故选D.
【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是 （底 高），二是 .借助 （底 高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图所示：
当 取最大值时， 在 轴截距最大
平移直线 ，可知当直线 过图中 点时，在 轴截距最大
由 得：
故选：
【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.
7．C
解析：C
【解析】
由 得， ，解得 ，从而 ，故选C.
解析： .
【解析】
分析：利用面积公式 和余弦定理结合可得．
详解：由 ．
余弦定理： ，
可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现 ，因此联想余弦定理 ，由于要求 角，因此面积公式自然而然 选用 ．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．