20090220高二数学(定积分的概念习题课)
高数定积分习题
(sin π i ) ⋅ 1
nn
n→∞ i=1
nn
∫=
1sinπ
0
x
d
x
=
−
1
π
cos
π
x
1 0
=
2
π
.
n sin π i
∑ ∑ lim
n = lim
n
n
⋅
= f (i )⋅ 1 nn
f ( x) = ？sinπ x sin xπ∈i[0⋅ ,11]
n→∞ i=1 n + 1 n→∞ n + 1 i=1
解得 a = 3，a = 3. 2
∴ f (x) = 3x − 3 1− x2 2
及 f (x) = 3x − 3 1− x2.
2. lim ln n (1 + 1 )2(1 + 2)2L(1 + n)2 = ( B ).
n→∞
nn
n
(2004考研)
∫ ( A) 2ln2 x d x 1
∫2
(B) 2 ln x d x
n+
i
n 1
i
=？ f ( i n
不是
)
⋅
1 n
sin π i sin π i sin π i
n< n+1
n
+
n 1
<
n n
i
(i = 1, 2, L ,n)
sin π i sin π i sin π i
n< n+1
n
+
n 1
<
n (i = 1, 2, L ,n) n
i
∑ Q lim n sin π i ⋅ 1
高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大版选修22
高中数学第四章定积分 1 定积分的概念同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=21x,y=0围成的图形的面积.解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+n1],[2+n1,2+n2]…[2+ nn1-,3],记第i个区间为[2+ni1-,2+ni](i=1,2,…,n),其长度为Δx=n1.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑=∆niiS1,设f(x)=21x,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+ni1-,2+ni]上,可以认为函数f(x)=21x的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=)2)(12(nini+-+处的函数值f(ξi)=)2)(12(1nini+-+,这样在区间[2+ni1-,2+ni]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=)2)(12(nini+-+·n1=(i=1,2,…,n).∴S n=∑=ni1ΔS′i=∑=ni1f(ξi)·n1=n1［3)12(1)22)(12(1)12(21•-+++++++nnnnn］=2161312131121221121121=-=--+++++++-nnnnn.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=⎰05v(t)dt=∑=nk1(n5·k）3·n5(n→∞)=∑=nk1445n·k3(n→∞)=445n［2)1(+nn］2(n→∞)=454≈(米）.答:该物体在5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：⎰abv（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。
高二数学(《定积分的概念》(第2课时))
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a
b- a f (x)dx = lim å f (xi ) n n y i= 1
n
y = f (x)
b
积分上限
b
积分下限
n
∫a f ( x)dx = I =lim∑ f (ξi )∆xi λ→0 i =1
被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量
定积分的定义： 定积分的定义： ò
b
a
b- a f (x)dx = lim å f (xi ) n n i= 1
思考2：已知汽车作变速直线运动，在时 思考2 已知汽车作变速直线运动， t(单位 h)的速度为 (t)＝－ 单位： 的速度为v(t)＝－t 刻t(单位：h)的速度为 (t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1 单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1 时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分 时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分 [0 成n个小区间，那么各个小区间对应的时 个小区间， 段分别是什么？ 段分别是什么？
------取极限得到解决. 取极限得到解决 和 ------取极限得到解决.
n
如果当n 的无限接近某个常数， 如果当n→∞时，S 的无限接近某个常数， 这个常数为函数f( 在区间[a, b]上的 这个常数为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的 b 定积分，记作: 定积分，记作: ò f (x)dx
定积分的概念、微积分基本定理(基础练)高二数学(理)十分钟同步课堂专练(人教A版选修2-2)
1.5~1.6 定积分的概念、微积分基本定理基础练一、单选题1．10(2)xe x dx +⎰等于（ ）A ．1B ．-1C ．eD ．1e + 2．已知()f x 为偶函数且20()4f x dx =⎰，则22()f x dx -⎰等于（ ）A ．0B ．4C ．8D ．163．计算20cos xdxπ⎰的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．π 4．已知0t >，若()0234tx dx -=⎰，则t =（ ）A ．1-B ．2C ．4D ．1-或4 5．已知()2f x x =-，则21()d f x x -⎰等于（） A ．3 B ．4 C ．3.5 D ．4.5 6．若复数(2)z a ai =-+(a R ∈，i 为虚数单位)为纯虚数，则0)ax dx =⎰（） A ．22π+ B ．2π+ C ．42π+ D ．44π+二、填空题7．计算31(2)x dx +⎰的值是________.8．已知(111d x -=⎰________.9．函数的图象4,40,()4cos,,02x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩与x 轴所围成的封闭图形的面积为__________.三、解答题10．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(0,2)，且20()6f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数2()g x x ，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.参考答案1．【答案】C【解析】12100(2)()|11x x e x dx e x e e +=+=+-=⎰. 故选C ．2．【答案】C【解析】()f x 为偶函数且20()4f x dx =⎰， 2220()2()248f x dx f x dx -∴==⨯=⎰⎰. 故选C.3．【答案】C 【解析】2200cos =sin x |=sin -sin 0=12xdx πππ⎰,故选C 4．【答案】C【解析】因为()()02223330t t x dx x x t t ⎰-=-=-，所以2340t t --=，解得4t =或1t =-（舍去）.故选C.5．【答案】C 【解析】2,0,()22,0,x x f x x x x -≥⎧=-=⎨+<⎩22020222110100011()d ()d ()d (2)d (2)d 22 3.5122f x x f x x f x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=+=++-=++-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 故选C6．【答案】B【解析】因为z 为纯虚数，所以有2020a a a -=⎧⇒=⎨≠⎩，原式22000)x dx xdx ==+⎰⎰⎰，因为0⎰的几何意义表示坐标原点为圆心，半径为2的14圆的面积，所以20124ππ=⋅⋅=⎰， 而2222021112020222xdx x ==⨯-⨯=⎰，所以原式22000)2x dx xdx π==+=+⎰⎰⎰， 故选B7．【答案】8 【解析】32311111(2)(2)|96128222x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故填8.8．【答案】22π+【解析】()11111121dx x-==--=-⎰，1-⎰表示单位圆的上半圆的面积：2111122ππ-∴=⨯⨯=⎰，(111122dx π-∴=+⎰. 故填22π+.9．【答案】12【解析】由题意可得：围成的封闭图形的面积为:()022024040144cos 44sin 2S x dx xdx x x x ππ--⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰， ()08164sin0122π=--+-= 故填1210．【答案】（1）()2f x x =+；（2）92 【解析】（1）()f x 为一次函数且过点()0,2 ∴可设()()20f x kx k =+≠ ()()2220022224602k f x dx kx dx x x k ⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得：1k =()2f x x ∴=+（2）由22y x y x ⎧=⎨=+⎩得：11x =-，22x = ()f x ∴与()g x 围成的图形面积()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()222312118119222421233232S x x dx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.。
高中数学第四章定积分1定积分的概念例题与探究北师大版选修22
高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.正确理解定积分的概念及其几何意义.(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即⎰abf(x)dx=⎰abf(u)du=⎰a bf(t)dt……(称为积分形式的不变性),另外定积分⎰a bf(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分限不同,所得的值也不同,例如f(x 2+1)dx 与⎰03f(x 2+1)dx 的值就不同.(2)⎰abf(x)dx 、⎰ab|f(x)|dx 与|⎰a bf(x)dx|在几何意义上有不同的含义,绝不能同等看待,由于被积函数f(x)在闭区间[a,b]上可正可负,也就是它的图像可以在x 轴上方,也可以在x 轴下方,还可以在x 轴的上下两侧,所以⎰a bf(x)dx 表示介于x 轴,函数f(x)的曲线及直线x=a,x=b(a≠b)之间的各部分面积的代数和;而|f(x)|是非负的,所以⎰a b|f(x)|dx 表示在区间[a,b]上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积;而|⎰a bf(x)dx|则是⎰a b f(x)dx 的绝对值,三者的值一般情况下是不同的. 2.定积分性质的常用推论.推论1.若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则⎰a b f(x)dx≤⎰a bg(x)dx.推论2.|⎰abf(x)dx|≤⎰a b|f(x)|dx.3.估值定理及其证明.设函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值分别为m 与M,则m(b-a)≤⎰a bf(x)dx≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质推论1得⎰abmdx≤⎰abf(x)dx≤⎰a bMdx.即m⎰abdx≤⎰abf(x)dx≤M⎰a bdx,故m(b-a)≤⎰a bf(x)dx≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 4.利用定积分的定义求变速直线运动的路程.运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),欲求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s,可以采用先分割,再近似代替,然后作和,求出极限的方法. (1)分割:将时间区间[0,t 0]分成n 等份:[n i 1-t 0,nit 0](i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间[n i 1-t 0,nit 0]上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n),用ξi 时刻的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的平均速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间[0,t 0]范围内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替.即s=∑=ni 1Δs i ≈∑=ni 1v(ξi )Δt.(4)求极限:当所分时间区间愈短,即Δt=n t 0愈小时,∑=ni 1v(ξi )Δt 的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=ni 1v(ξi )Δt 的极限,就是所求的物体在时间区间[0,t 0]上经过的路程.由此得到s=∞→n lim∑=ni 1v(ξi )Δt.高手支招4典例精析【例1】 利用定积分的几何意义,计算下列等式.(1)⎰012xdx=1;(2)⎰-112x -dx=2π.思路分析：定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分上、下限的意义,并作出图形,即可得到解决.解：(1)如图1,⎰012xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积,由S △=21×2×1=1,故⎰012xdx=1.(2)如图2,⎰-1121x -dx 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故⎰-1121x -dx=2π.图1 图2【例2】 汽车以速度V 做匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程s=Vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t 的速度为V(t)=t 2+2(单位km/h),请计算它在1≤t≤2这段时间行驶的路程的过剩估计值和不足估计值(n=5). 思路分析：与求曲边梯形的面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.解：将区间[1,2]分成5个小区间,则第i 个小区间为[1+s i 1-,1+si], 其长度为Δt=51. 过剩估计值s 1=+2++2++2++2+22+2)× =(10+++++4)×=,不足估计值s 1=(12+2++2++2++2++2)× =(10+1++++×=.【例3】 利用定积分的几何意义求:(1)⎰-2224x -dx;(2)⎰121x -dx.思路分析：了解被积函数的定义,由定积分的几何意义求解.解：(1)被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆周,由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积,所以有⎰-2224x -dx=222•π=2π.(2)∵被积函数为y=21x -,其表示的曲线为以原点为圆心,1为半径的四分之一圆,由定积分的几何意义知,所求的定积分即为该四分之一圆的面积.∴⎰0121x -dx=41π·12=41π. 【例4】 比较定积分⎰-02e x dx 和⎰-02xdx 的大小.解：令f(x)=e x-x,x∈[-2,0],则f(x)＞0, 故⎰-20f(x)dx ＞0,即⎰-20(e x-x)dx ＞0.⎰-20e x dx ＞⎰-20xdx,从而⎰-02e x dx<⎰-02xdx.【例5】 估计定积分⎰0πx23sin 21+dx 的值.思路分析：首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解：∵当x∈[0,π]时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1,因此有 2≤2+23sin x≤3,x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有3π≤⎰0πx 23sin 21+dx≤2π. 【例6】 利用定积分计算⎰12(1+x)dx 的值.思路分析：令f(x)=1+x,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解. 解：将区间[1,2]分成n 等份,则每个区间长度为Δx i =n1, 在[1-i x ,x i ]=[1+n i 1-,1+n i ]上取ξi =1-i x =1+ni 1-(i=1,2,3,…n),于是f(ξi )=f(1-i x )=1+1+n i 1-=2+n i 1-,从而∑=n i 1f(ξi )Δx i =∑=ni 1(2+n i 1-)·n 1=∑=ni 1(n 2+21n i -)=n 2·n+21n[0+1+2+…+(n -1)] =2+21n ·2)1(-n n =2+n n 21-,∴⎰12(1+x)dx=∞→n lim (2+n n 21-)=2+21=25.【例7】 （2005重庆高考，文12）曲线y=x 3在点(1,1)处的切线与x 轴\,直线x=2所围成的三角形的面积为_____________.思路分析：y=x 3在点(1,1)处的切线方程为y-1=f′(1)(x -1),即y=3x-2. 作图可知:S △ABC =21|AB|·|BC |=21×(2-32)×4=38. 答案：38高手支招5思考发现1.定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a ＞b 时,不难验证⎰aaf(x)dx=0,⎰abf(x)dx=-⎰b af(x)dx.2.定积分⎰a bf(x)dx 存在的必要条件是:函数f(x)在区间[a,b]上有界.因此,当函数f(x)在区间[a,b]上无界时,定积分⎰a bf(x)dx 是不存在的.。
数学分析2课件：第九章 定积分 习题课
但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数 不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列， 则函数在[a,b]可积。
8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形；换元；分部积分； 一些特殊类型函数的积分。
解
lim ||T||0 i
f
(i
)
xi
a(b b(b
a
),
取
i
有理数，
a),i取无理数，
f ( x)在[a,b]不可积。
或：T , ixi (b a)2,不可能任意小。
T
例3
f
(
x)
x(1 0,
x)，x 是否可积？
解
对[0，1]n等分，得分割T ,取i
a
a
a
判别式 0，即
4 [ b f ( x)g( x)]2dx 4 b f 2( x)dx bg2( x)dx
a
a
a
[ b f ( x)g( x)dx]2 b f 2( x)dx bg2( x)dx.
a
a
a
例7 设 f ( x) C[a,b] ，且 f ( x) 0. 证明
0,分割T，使 ixi .
T
充要条件（2） 函数f在[a,b]可积当且仅当：
、 0,分割T , 使得属于T的所有小区间中，
对应于振幅 k 的那些小区间 k的总长 xk . k
7、可积函数类
1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。
2 、 在 [a,b] 上 只 有 有 限 个 间 断 点 的 有 界 函 数 在 [a,b]上可积。
高二数学1.5.3定积分的概念课后习题新人教A版选修2-2
答案 : A
5. 设 a=dx, b=x2dx, c=x3dx, 则 a, b, c 的大小关系是 (
)
A. c>a>b
B. a>b>c
C.a=b>c
D. a>c>b
解析 : 根据定积分的几何意义 , 易知 x3dx<x2dx<dx, a&图所示阴影部分的面积用定积分表示为
答案 : D
4. 已知 f ( x) =x3-x+ sin x, 则 f ( x)d x 的值为 (
)
A. 等于 0
B. 大于 0
C.小于 0
D. 不确定
解析 : 易知 f ( x) 为奇函数 , 由奇函数的性质 f ( x)d x=-f ( x)d x, 而 f ( x)d x=f ( x)d x+f ( x)d x=0.
3. 用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积
.
(1) y=| sin x| , y=0, x=2, x=5.
(2) y=lo x, y=0, x=, x=3.
解: (1) 曲线所围成的平面区域如图所示 .
设此面积为 S, 则 S=| sin x| dx 或 S=sin xdx+( - sin x)d x=sin xdx- sin xdx. (2) 曲线所围成的平面区域如图所示 .
答案 : C
2. 若 f ( x)d x=1,3 f ( x)d x=2, 则 f ( x)d x=
.
解析 : ∵f ( x)d x=1, ∴f ( x)d x=2,
∵3f ( x)d x=2,
∴f ( x)d x=, ∴ f ( x)d x=f ( x)d x+f ( x)d x=+2=.
高二数学选修2-2_《定积分的概念》名师课件2
a
b
ba lim 即 x)dx lim f (i ) f (x)dx，即 f ( i)x i。 a fa (fx)(dx 0 n n i 1 i 1
b b
n
n
新课讲解
一般地，设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ） ，在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1,2,, n ，作和式：
a a a
b (2)性质(3)中积分区间的可加性也可以推广： f(x)dx＝
a x 1
x b 2∫f(x)dx＋„＋ f(x)dx，其中 a<x <„<x <b. f(x)dx＋ 1 n
a
x
1
xn
b (3)性质(4)：若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则 f(x)dx≥0.
a c
c
b
y y=f(x)
思考：从定积分的几何 意义解释性质⑶ b c b b b c c b b f x) dx f。 (。 x)dx f (x)dx。 f)( x)dx (x fx () x )dx (x dx f (f x) dx ( f( a)dx dx a fa a c c a a c
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
作 业
教材50页 1.5A组4、5
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 时， 上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
第六章 定积分习题
上的一个原函数，故
b f ( x)dx f ( x) b f (b) f (a) a b
a
a
【例2】求定积分
1 cos 2xdx
0
解： 1 cos 2xdx 2cos2 xdx
t
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
tc a
tc t
五、典型例题
【例1】设 f ( x)在 a,b上有连续导数，且 f ( x)是 f ( x) 在 a,b上的一个原函数, f (a) b, f (b) a , 求
b
a f ( x)dx
3
(2 x)dx
0
1
=
x3 3
1 0
2
x
1 2
3
x
2
1
1 3
b
b
【例5】设 f ( x)为连续函数，求a f ( x)dx a f (a b x)dx
解: 令t a b x , 则dt dx ,当 x a 时, t b; 当 x b 时, t a.
1
分析：函数F ( x)是一个积分上限函数．将0x xf (t)dt 看成
定积分时，t 是积分变量，x是常量, 将其视为函数时，
x 是函数的自变量．
解:
F
(
x)
x
1 x 0
f (t)dt
1 x 0
f (t)dt
xf ( 1 ) ( x
长春市实验中学高二数学《定积分习题课》导学案
【学习目标】1．进一步理解定积分的基本思想2．进一步理解微积分基本定理的含义【重点难点】重点：微积分基本定理的综合应用难点:微积分基本定理的综合应用【自主学习】知识链接1．定积分的概念 ］2．定积分的性质3．微积分基本定理。
［来源：］【合作释疑】合作探究一：例1．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =_______[来源: ]例2.函数f(x ）＝错误!的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )[来源： ] A .错误! B ．1 C ．2 D .错误!例3．由曲线y ＝x 2＋1，x ＋y ＝3及x 轴，y 轴所围成的区域的面积为：___._____.［来源: ]例4．以初速度40 m /s 坚直向上抛掷一物体，t 秒时刻的速度为v ＝40－10t 2,则此物体所能到达的最高高度是（ )A 。
1603m B 。
错误! m C .错误! m D 。
错误! m合作探究二:1．已知t>0，若错误!错误!d x ＝6，则t ＝_____。
2．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积,利用定积分应表达为____________________．3．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2] C ．［1,2］D ．［0，1］[来源: ] 4．按万有引力定律，两质点间的吸引力221r m m k F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a)________________．［来源： ] 【巩固训练，整理提高】巩固训练题1．求由抛物线ax2 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
y4［来源：］2．设y=f（x）是二次函数，方程f（x)=0有两个相等的实根,且f′（x）=2x+2。
人教课标版高中数学选修2-2《定积分的概念》基础训练
《定积分的概念》基础训练题组一 边梯形的面积与变速运动的路程1.当n 很大时，函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用下列哪个值近似代替（ ） A.1f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.i f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()0f2.在求由直线()0x a x b a b y ==<=、、及曲线()()()0y f x f x =≥围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[],a b 上等间隔地插人()1n -个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中，正确的个数是（ ） ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ;②n 个小曲边梯形的面积和小于S ;③n 个小曲边梯形的面积和大于S ;'④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定.A.1B.2C.3D.43.物体运动的速度和时间的函数关系式为()2v t t =(t 的单位:,v h 的单位:/km h ),近似计算在区间[]2,8内物体运动的路程时，把区间6等分,则这段时间物体运动的路程的近似值(每个i ξ均取为小区间的右端点）为_____km . 题组二 定积分的性质及几何意义4.设()f x 是[],a b 上的连续函数，则()()b ba a f x dx f t dt -⎰⎰的值（ ） A.大于零B.等于零C.小于零D.不能确定5.已知()()()12,6,b b a a f x g x dx g x dx +==⎡⎤⎣⎦⎰⎰则()3ba f x dx =⎰（ ） A.12B.6C.18D.246.设()()()20,20,x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩则()11f x dx -⎰的值是（ ） A.121x dx -⎰ B.112x dx -⎰ C.012102x x dx dx -+⎰⎰ D.012102x dx x dx -+⎰⎰ 7.下列命题不正确的是（ ）A.若(x)f 是连续的奇函数，则()0a af x dx -=⎰ B.若(x)f 是连续的偶函数，则()()02a aa f x dx f x dx -=⎰⎰ C.若(x)f 在[],ab 上连续且恒正,则()0ba f x dx >⎰ D.若(x)f (幻在[],ab 上连续且()0ba f x dx >⎰，则(x)f 在[],ab 上恒正 8.定积分10_____.x dx ⎤=⎥⎦⎰ 9.已知20,2e e xdx =⎰430,4e e x dx =⎰求下列定积分： (1)()302;e x x dx +⎰ (2)()3021.ex x dx -+⎰ 易错易混题组易错点1弄错区间端点导致出错10.求由抛物线22y x =与直线()0,0x t t y =>=所围成的曲边梯形的面积时,将区间[]0t ，等分成n 个小区间，则第()1i -个区间为（ ）A.1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()1,t i ti n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.()()21,t i t i nn --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 易错点2错误理解定积分的几何意义导致出错11.定积分(20=_____.dx ⎰参考答案1.答案：C解析：当n 很大时，()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可用该区间上任意一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替.2.答案：A 解析：n 个小曲边梯形是将所给曲边梯形等距离分割得到∴n 个小曲边梯形的面积和为,S ∴①正确，②③④错误，故选A.3.答案：见解析解析：以小区间右端点对应的值作为平均速度，可得路程的近似值()()=2324252627281=66.s km ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯4.答案：B解析：定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关.()b a f x dx ⎰和()ba f t dt ⎰都表示曲线()y f x =与直线,0x a xb y ===及所围成的曲边梯形的面积,它们的值相等，故选B.5.答案：C解析：()()()(),b b ba a a f x dx g x dx f x g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰且()()baf xg x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=12,()b a g x dx ⎰=6,∴()b a f x dx ⎰=12-6=6,∴()()3=3=36=18.b ba a f x dx f x dx ⨯⎰⎰6.答案：D解析：由定积分的性质求()f x 在区间[]1,1-上的定积分，可以通过求()f x 在区间[]1,0-与[]0,1上的定积分来实现,显然D 正确，故选D.7.答案：D解析：A.因为()f x 是连续的奇函数，所以其图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故定积分是0，所以A 正确.B.因为()f x 是连续的偶函数，所以其图象关于y 轴对称，故B 正确.C 显然正确. D.()f x 可以小于0，但必须有大于0的部分，且由()f x 0>的曲线围成的面积比由()0f x <的曲线围成的面积大.8.答案：见解析解析：10100.x dx xdx ⎤⎥⎦=-⎰⎰⎰0⎰等于圆()2211x y -+=与直线0,1,0x x y ===围成的图形的面积，为21,2S =所以122.4S S π--= 9.答案：见解析 解析：（1）()4332000232.4e e e e x dx xdx x dx e +=+=+⎰⎰⎰ ()330000422121.22e e eex x dx x dx xdx dx e e e -+=-+=-+⎰⎰⎰⎰（2） 10.答案：D解析：每个小区间的长度为t n故第1i -个区间的左端点为()()202t i t i n n -+-⨯=,右端点为()()21.t i t i t n n n--+= 11.答案：见解析解析：曲线y =即()22402,02x y x y +=≤≤≤≤表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧，0⎰y =[]0,2上的图象与坐标轴围成的平面图形的面积S ，21=,4S r ππ=即0,π=⎰所以(200dx π=-=-⎰⎰。
高等数学定积分习题课
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例8
设 f ( x2)连续, f (0) 0, f (0) 0
x
求
lim x 0
解 I lim
x 0 x
f (t )dt 0
x 0
2
x 2 f ( t )dt
2 xf ( x ) lim
x 0
2 f (x ) 2 f ( t )dt xf ( x )
0 x
a
x
a
a
a
F ( x )单调减
F (b) F ( x ) F (a ) 0
b b 2 即 f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g 2 ( x )dx a a a b
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2
定积分不等式的证明方法——辅助函数法 ①将一个积分限换成变量，移项使一端为 0 另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ) ② 求 F ( x ) 判定单调性，与端点的值进行 比较即得证
b
m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
积分中值定理
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续， 则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ，
使 f ( x )dx f ( )(b a )
a b
(a b)
积分中值公式
b
f ( x ) g( x )dx 0 a
可取[a ,b]内任一点
b
若 g( x )dx 0, 则 g ( x )dx 0
a a
a
b
b
a
m
f ( x ) g( x )dx a g( x )dx a