D4_4有理函数积分
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D4-4有理函数积分
d(x6)
1 x6u
1 du 1 (1 1 )du
6 u(u2)
12 u u2
1[ln|u|ln|u2|]C 12
1
例3 x(x6 2) d x
解法2 分子加、减同一项
原式＝
1 x( x6
2)
d
x
12
2 x(x6 2) dx
1 2
(x6 2)x6 x(x6 2)
注：形如
psinxqcosxdx的积分都是本题
asinxbcosx
的解法。
习题 P175~176
• 1（1）（2）（3）（4）（5）（8）（11） （13）
• 2（1）（2） • 3（1）（4）（6）（8）
1 1 0
另解 凑系数法
x3
4
4x
x(
x
4
2
4)
(4 x2 ) x2 x( x2 4)
1 x
x ）分母在实数范围内因式分解； （2）分解成几个部分因式之和； （3）各部分因式分别积分。
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例1 2x25x5x13dx 解 原式 (2x5x1)(x13)dx
4
)
1 2
csc2(x4)dx
1cot(x)C
2
4
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例3
4sinx7cosxdx 2sinxcosx
练习册P29,三(5)
解 令 4 s in x 7 c o s x
A ( 2 s i n x c o s x ) B ( 2 s i n x c o s x )
D4_4有理函数积分名师教学资料
1
dt
2t ln
t 1 t 1
C
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内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
解: (1) 用拼凑法
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
(
x
1 1)2
x(
1 x 1)
(
x
1 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
2
22
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3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
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2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R(x , n ax b ) dx , 令 t n ax b
R(x
,n
a xb c xd
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
D4_4有理函数积分
cos 3 x 2 cos x dx . 例10. 求 2 4 1 sin x sin x
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x , 原式
(cos 2 x 2) cos x dx
1 sin 2 x sin 4 x
2
(sin 2 x 1) d sin x 1 sin 2 x sin 4 x
解: (1) 用拼凑法
1 x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1 1 2 ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
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2
2
作业
P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21
第四节 有理函数的积分
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
P( x) R( x) Q( x)
a0 x n a1x n1 an
2 2
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1 dx (a b 0) . 例9. 求 2 (a sin x b cos x)
解法 1 原式
dx
(a tan x b) 2 cos 2 x
令 t tan x
高等数学课件D44有理函数积分
积分的线性性质是积分的基本性质之一，也是积 分运算的重要基础
单击此处添加项标题
积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
单击此处添加项标题
积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
添加标题
积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
单击此处添加项标题
积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
单击此处添加项标题
积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
添加标题
积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
D4_3分部积分法;D4_4有理函数积分
9/18
分部积分法主要针对被积函数是两类不同函
数乘积的积分,但并非两类不同函数乘积的积分一
定要用分部积分法.
xe dx ? (凑微分) (分部积分) xe dx ? (无法求) x e dx ?
x2 x 2 x2
高等数学（上）
10/18
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
高等数学（上）
12/18
1.真分式的分解 (1)代数学上的两个结论 结论1(因式分解定理) 任 意 一 个 实 系 数 多 项Q 式 ( x ) x n a1 x n1 an1 x an 总 可 以 分 解 为 下 列 若个 干一 次 因 子 和 二 次 因的 子乘 积
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 d x ( x p x q) n
(不作要求)
高等数学（上）
16/18
1. sec xdx.
3
4x 1 2. 2 dx. x 2x 4
高等数学（上）
17/18
例2 求
x( x
1
10
3
dx 1)
x 例3 求 dx 4 ( x 1)
高等数学（上）
18/18
1.三角函数有理式的积分 设 表示三角函数有理式, 则
R(sin x , cos x) dx
令 t tan x 2 t 的有理函数的积分
高等数学（上）
19/18
1 sin x dx . 例4 求 sin x(1 cos x)
新出现原来要求的那个积分,从而成为所求积分的一
D4_4有理函数积分PPT课件
x
1 1
例3
将真分式 (1
2
1 x)(1
x2
)
分解为部分分式之和。
解： (1
1 2x)(1
x2)
1
A 2x
Bx C 1 x2
右端通分，两端去分母后,得: 1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x)
整理得 1=(A+2B)x2+(B+2C)x+(C+A) 比较上式两端各同次幂的系数及常数项有:
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容:
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、有理函数的积分
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函 数，有理函数的形式是:
P(x) Q(x)
2
x3 5x 6
5 x2
6, x3
则：
x2
x
3 5x
dx 6
5 dx x2
x
6
3
dx
5
d(x 2) x2
6
d(x 3) x3
5ln x 2 6ln x 3 C
例5
求
x(
x
1
1)
2
dx
解: 由例2可得
1 x(x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1 x 1
x(x
1
1)2
例2
将真分式 x(
x
1
1)2
分解为部分分式之和.
解： 1 x(x 1)2
高等数学课件4-4有理函数的积分
积分的几何意义
积分是微积分中 的重要概念，用 于计算曲线下的 面积
积分的几何意义 在于将曲线下的 面积分割成无数 个小矩形，然后 求和
积分的极限定义 是积分的几何意 义的数学表达
积分的几何意义 可以帮助我们理 解积分的物理意 义，如计算物体 的质量、体积等
有理函数的积分性质
积分的线性性质
积分的线性性质在积分计算 中的应用
线性性质：积分是线性的， 即两个函数的积分等于两个 函数积分的和
积分的线性性质在积分变换 中的应用
积分的线性性质在积分不等 式中的应用
积分的几何意义
积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积 积分的几何意义在于将函数图像下的面积转化为积分表达式 积分的几何意义可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质 积分的几何意义在物理、工程等领域有着广泛的应用
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
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积分的计算方法
直接积分法：适用于简单函数， 如x^2，x^3等
分部积分法：适用于含有对数函 数的函数，如x^2ln(x)， x^2ln(x)+x^3等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
换元积分法：适用于复杂函数， 如x^2+x^3，x^2+x^3+x^4 等
积分表法：适用于已知积分的函 数，如x^2，x^3，x^4等
有理函数：由有理数、无理数、常数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本函数 组成的函数
有理函数的特点：具有连续性、可导性、可积性等性质
有理函数的分类：根据函数的形式和性质，有理函数可以分为代数函数、超越函数、三角函数 等
有理函数的应用：在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解微分方程、积分方程、 傅里叶变换等
高等数学课件D44有理函数积分
长除法
对于假分式，可以通过 长除法将其化为多项式 与真分式的和，再对真 分式进行部分分式分解 和积分。
避免计算过程中常见错误
忽略定义域
在进行有理函数积分时，需要注 意函数的定义域，避免出现无意 义的积分结果。
计算错误
部分分式分解、长除法等计算过 程中，需要注意运算的准确性和 细节，避免因为计算错误导致最 终结果错误。
t$进行求解。
解答
原式$= arctan x + C$
03
实例2
04 求解$int
frac{3x+2}{x^2+4x+5} dx$
思路
05 将分子拆分为与分母相关的项
，再利用基本积分公式求解。
解答
06 原式$= frac{3}{2}
ln(x^2+4x+5) - arctan(x+2) + C$
假分式积分实例
策略1：因式分解
对于形如$frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$Q(x)$可因式分解，可将其拆分为多个简单真分式的和 进行积分。
复杂有理函数积分策略
策略2
部分分式分解
策略3
三角换元法或根式换元法
复杂有理函数积分策略
• 对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$、 $\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 等项的有理函数，可尝试使用三角换元法 或根式换元法进行积分。
部分分式分解法
01
将有理函数分解为部分分式的和。
02
对每个部分分式进行积分，利用基本积分公式和积分法则。
03
将积分结果相加，得到原函数的积分表达式。
长除法求余数法
对于假分式，可以通过 长除法将其化为多项式 与真分式的和，再对真 分式进行部分分式分解 和积分。
避免计算过程中常见错误
忽略定义域
在进行有理函数积分时，需要注 意函数的定义域，避免出现无意 义的积分结果。
计算错误
部分分式分解、长除法等计算过 程中，需要注意运算的准确性和 细节，避免因为计算错误导致最 终结果错误。
t$进行求解。
解答
原式$= arctan x + C$
03
实例2
04 求解$int
frac{3x+2}{x^2+4x+5} dx$
思路
05 将分子拆分为与分母相关的项
，再利用基本积分公式求解。
解答
06 原式$= frac{3}{2}
ln(x^2+4x+5) - arctan(x+2) + C$
假分式积分实例
策略1：因式分解
对于形如$frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$Q(x)$可因式分解，可将其拆分为多个简单真分式的和 进行积分。
复杂有理函数积分策略
策略2
部分分式分解
策略3
三角换元法或根式换元法
复杂有理函数积分策略
• 对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$、 $\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 等项的有理函数，可尝试使用三角换元法 或根式换元法进行积分。
部分分式分解法
01
将有理函数分解为部分分式的和。
02
对每个部分分式进行积分，利用基本积分公式和积分法则。
03
将积分结果相加，得到原函数的积分表达式。
长除法求余数法
相关主题
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2 d(1 2 x)
dx 1 d(1 x ) 1 2 1 2x 5 1 x2 5 1 x
2
ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1
2
1
例1(3) 目录
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例3. 求 解: 原式
2
1 ( 2 x 2) 3 2
2 2
2
2
解: 原式
dx
( x 1) 2 1 ( x 2 2 x 2) 2
1 x 2x 2
2
d( x 2 x 2)
arctan(x 1)
C
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例6. 求
x4 1
1 2
1 x
2
dx
本题用常规方法解很繁
2 2
解: 原式
2 4
3
dx .
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x , 原式
(cos x 2) cos x dx
1 sin x sin x
(t 1) d t
2
2
2
4
(sin x 1) d sin x 1 sin x sin x
d(t 1 ) t (t
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四种典型部分分式的积分:
1.
x a dx A ln x a C
( x a) n
A dx
A
2.
A 1 n
( x a)
1 n
C (n 1)
2 ( x px q ) 2x p
3.
x 2 p x q dx ( x 2 p x q ) n dx
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例9. 求
解法 1
(a sin x b cos x) 2 dx
dx
1
( a b 0) .
原式
(a tan x b) cos x
2
2
令 t tan x
dt ( a t b)
2
1 a ( a t b) C
C
cos x a ( a sin x b cos x)
第四节 有理函数的积分
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R( x) P( x) Q( x)
a0 x a1x
x 2x 3
2
2
dx d( x 1) ( x 1) ( 2 )
2 2
1 d( x 2 x 3) x 2x 3
2
2
3
1 2
ln x 2 x 3
3 2
arctan
x 1 2
C
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用书 P363 公式20 .
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例4. 求
解:
I
2 x 5x x 5x 4
4 2 4 2
3
dx
2x 5 x 5x 4
2
4 2
2
dx
2
1 d( x 5 x 5) 2 x 5x 4
解: (1) 用拼凑法
1 x( x 1)
2
x ( x 1)
x( x 1)
1 ( x 1) 1 ( x 1)
2 2
2
1 ( x 1)
2
1 x ( x 1)
x ( x 1)
x ( x 1)
1 x 1
1 x
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(2) 用赋值法
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例9. 求
(a sin x b cos x) 2 dx
a a b
1 a b 1
2 2
2 2
1
( ab 0)
解法 2 令 原式
sin ,
dx
b a b
2 2
cos
cos 2 ( x )
tan( x ) C
a b
2
2
第五节 目录
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备用题 1. 求不定积分
解： t 令
1 x ,则
分母次数较高, 宜使用倒代换.
,故
1
1 t
6
t 5
1
5
t
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2.求不定积分 解：原式 =
x 前式令 u tan 2 ; 后式配元
3 1u
1
2 2
2 1 u
2
du
1 u
arctan
x1 x 2
1
1
x1
ln
2 2
上页
2 2
2 2 2
x
常规法 目录
C
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二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分 设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
x 令 t tan 2
万能代换 (参考下页例7)
t 的有理函数的积分
dx x2
.
u 3 x2 , 则 解: 令
du 3 原式 1 u
3 ( u 1 1 1 u
3u
2
(u 1) 1 1 u
2
du
) du
3
1 2 u u 2
ln 1 u
C
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例12. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
2 x 2
2t 1 t
2
2 x 2 sin 2 2 x 2 sin 2 cos
cos
2 x 2 2 x tan 2
1 t 1 t
2 2
dx
2 1 t
2
dt
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sin x(1 cos x) dx
1 sin x
1t
1 1 dt t 2 2 2 2t 1 t 2 t 1t (1 ) 2 2
,则
2t (t 1)
2 2
原式 (t 1) t
2
dt
2
t
2
2
t 1
dt
2 t ln
t 1 t 1
C
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内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
分解
万能代换
根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及部分分式之和
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
1 1
( x 1) ( x 1)
x 1
dx 1 2 x2 1
1 x
2
4
dx
注意本题技巧
dx
2
2 x2
1 x
2
1 x
1
2
1
d( x 1 ) x
(x
1 2 ) x
2
1
2
d( x 1 ) x
(x
1 2 ) x
2
x 1 x
(见P363 公式21)
1 2 t)
2
2
4
1 t t
2
4
3
1 3
arctan
t 1 t 3
2
C
1 3
arctan
cos x 3 sin x
C
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2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R ( x , n ax b ) dx ,
1
解: 原式
cos
2
dx
x
a tan x b
a
2
2
2
1 a
2
tan 2 x ( b ) 2
a
d tan x
arctan( tan x ) C ab b
2 2
1
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
x3 x 5x 6
2
x3 ( x 2)( x 3)
A x2
x3
B x 3
A (x 2) 原式
x2
x 3 x 2 x3 x2 x 3