概率统计1-1

A∩ B
Ω
A AB B
B
5. 互不相容事件 两个事件A 不可能同时发生， 两个事件A、B不可能同时发生，即 A ∩ B = Φ ，称事件 为互不相容事件。 A、B为互不相容事件。
Ω
A B
6. 对立事件 事件A 至少有一个发生，且仅有一个发生， 事件A、B至少有一个发生，且仅有一个发生，即 则称A 为对立事件， A U B = Ω, A ∩ B = Φ ，则称A、B为对立事件，记
B = A, A = B
B Ω Ω
A
A B
A、B 是对立事件 、
A、B 是互不相容事件 、
7. 事件的差 事件A发生且事件B不发生，这样的事件称为A 事件A发生且事件B不发生，这样的事件称为A与B 的差，记为A 的差，记为A-B
A A-B S -
Ω
A− B
B
A− B = A∩ B = A− A∩ B
ω ∈Ω
φ
A⊂Ω A⊂ B
A=B
AU B
A I B = AB
A
AB = φ
A-B
事件“A，B同时发生” A的对立事件或逆事件 A,B事件互不相容 事件“A发生,B不发生”
事件的运算
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 、交换律： 2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) 、结合律 (AB)C＝A(BC) 3、分配律 、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC) (AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)
对于随机现象，个别试验我们无法预测其结果， 对于随机现象，个别试验我们无法预测其结果， 但在相同条件下进行大量观测是， 但在相同条件下进行大量观测是，它们又呈现一定的 规律性。 规律性。 例如：抛硬币，每次抛的结果是无法预料的， 例如：抛硬币，每次抛的结果是无法预料的，但当 抛的次数很多时，正面和反面出现的次数大致相同。 抛的次数很多时，正面和反面出现的次数大致相同。 概率论与数理统计就是研究随机现象及其规律的一 概率论与数理统计就是研究随机现象及其规律的一 门科学。 门科学。
n
A 1
A 2
A 3
L
Ω
An
An−1
记
Ω
号
概率论 样本空间、必然事件 不可能事件 基本事件，样本点 事件A 事件A发生必然导致B发生 事件A与B相等
事件“A，B至少有一个发生”
集合论 空间、全集 空集 全集中的元素 Ω 的子集 集合A包含于B 集合A与B相等 集合A与B的并 集合A与B的交 集合A的余集 集合A与B交为空 集合A与B的差集
1) A ∩ B进行检验（不放 从一批产品中每次取出一个进行检验（ ），事件 表示第i次取到合格品（i=1， 回），事件 Ai 表示第i次取到合格品（i=1，2，3）， 试用事件的运算符号表示下列事件 (1)三次全取到合格品 (1)三次全取到合格品 (2)三次中只有第一次取到合格品 (2)三次中只有第一次取到合格品 (3)三次中恰有一次取到合格品 (3)三次中恰有一次取到合格品 (4)三次中恰有两次取到合格品 (4)三次中恰有两次取到合格品 (5)三次中至少有一次取到次品 (5)三次中至少有一次取到次品
写出抛硬币试验的样本点、样本空间、 抛硬币试验的样本点 例：写出抛硬币试验的样本点、样本空间、随机 事件、基本事件、必然事件、不可能事件。 事件、基本事件、必然事件、不可能事件。 样本点:正面、 样本点:正面、反面 样本空间: 正面、反面｝ 样本空间:｛正面、反面｝ 随机事件: 正面、反面｝、 ｝、｛反面 随机事件:｛正面、反面｝、 φ 、｛正面｝、｛反面｝ ｛正面｝、｛反面｝ 必然事件: 正面、反面｝ 必然事件: ｛正面、反面｝ 不可能事件: 不可能事件 φ 思考：同时掷两个骰子的样本点、样本空间、 思考：同时掷两个骰子的样本点、样本空间、随机事 基本事件、必然事件、不可能事件。 件、基本事件、必然事件、不可能事件。
1.1.2 事件之间的关系与运算
1. 包含关系 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含 于事件B 于事件B，记为 A⊂ B
Ω A
B
B
显然： ） 显然：1） Φ ⊂
） A ⊂ Ω 2） A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
2.相等关系 2.相等关系 如果事件A包含事件，且事件B包含事件A 则称事件A 如果事件A包含事件，且事件B包含事件A，则称事件A 与B相等，记为A=B 相等，记为A=B
本学科的应用
气象、水文、地震预报、 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 概率论》紧密相关； 《概率论》紧密相关； 产品的抽样验收， 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床 中应用，均要用到《假设检验》 中应用，均要用到《假设检验》； 许多服务系统，如电话通信、机器维修、 3. 许多服务系统，如电话通信、机器维修、病 人候诊、存货控制等都要用到《排队论》 人候诊、存货控制等都要用到《排队论》； 信号传输中的滤波问题等； 4. 信号传输中的滤波问题等； 在金融保险中的应用。 5. 在金融保险中的应用。
3.基本事件和样本空间 3.基本事件和样本空间
随机试验的每一个可能发生的结果称为一个样 随机试验的每一个可能发生的结果称为一个样 试验的每一个可能发生的结果称为 本点, 本点,记为ω。 样本空间， 全体样本点组成的集合称为样本空间 记为Ω。 全体样本点组成的集合称为样本空间，记为 样本空间Ω的子集称为随机事件。 样本空间 的子集称为随机事件。 的子集称为随机事件 由一个样本点组成的事件称为基本事件。 由一个样本点组成的事件称为基本事件。 基本事件 由全体样本点组成的事件称为必然事件。 由全体样本点组成的事件称为必然事件。 必然事件 不可能事件。 不含任何样本点的事件称为不可能事件 不含任何样本点的事件称为不可能事件。
随机现象—— 在一定的条件下, 我们事先无法预测 在一定的条件下, 随机现象 其结果，发生的结果有多种可能性，例如： 其结果，发生的结果有多种可能性，例如：
抛一枚质地均匀的骰子所出现的点数； 抛一枚质地均匀的骰子所出现的点数； 某电话台每小时内接到的呼唤电话数； 某电话台每小时内接到的呼唤电话数； 抛一枚质地均匀的硬币。 抛一枚质地均匀的硬币。
作业： 作业： (1)同时抛两枚硬币 试写出该试验的样本点， 同时抛两枚硬币， (1)同时抛两枚硬币，试写出该试验的样本点， 样本空间、随机事件、基本事件。 样本空间、随机事件、基本事件。 (2)证明：( A − A ∩ B) ∪ B = A ∪ B = A ∩ B (2)证明： 证明
第一章 随机事件及其概率
随机事件 事件的概率 概率的公理化定义与性质 条件概率与事件的独立性 全概率公式与Bayes Bayes公式 全概率公式与Bayes公式
1.1 随机事件
1.1.1 随机试验与随机事件
1.随机现象 1.随机现象
确定性现象—— 在一定的条件下, 可以预测其结 在一定的条件下, 确定性现象 果的现象，例如： 果的现象，例如： 太阳每天从东方升起； 太阳每天从东方升起； 在标准大气压条件下，达到 度的水必然沸腾； 在标准大气压条件下，达到100度的水必然沸腾； 度的水必然沸腾 异性电荷必然互相吸引。 异性电荷必然互相吸引。
A= A
A=Ω− A
8.完备事件组（空间的划分） 8.完备事件组（空间的划分） 完备事件组 如果n个事件 A1 , A2 ,... An 满足 ∪ Ai = Ω, Ai ∩ A j = Φ(i ≠ j )， i =1 则称事件 A1 , A2 ,... An 为一个完备事件组，有时也称
A1 , A2 ,... An 为空间的一个划分。
4、德摩根 、德摩根(De Morgan)律： 律
A U B = A I B,
k k k k
AB = A U B
k k k k
UA =IA , IA =UA
A⊂ B⇒ A⊃ B
注：差运算没有交换律，也没有结合律! 差运算没有交换律，也没有结合律!
例：Ω = {1,2,3,...,10}, A = {2,3,4}, B = {3,4,5}, C = {5,6,7} 求下列事件：
i =1
至少有一个发生， 可列个事件 A1 , A2 ,... An ,... 至少有一个发生，这样的事件称 ∞ A1 ,为2 ,... An ,... A ∪ Ai i =1 的和， 的和，记为
事件的积（ 4. 事件的积（交） 事件A 同时发生，这样的事件称为A 的积，记为AB 事件A、B同时发生，这样的事件称为A、B的积，记为AB
2.随机试验与随机事件 2.随机试验与随机事件
在一定条件下， 在一定条件下，对自然现象和社会现象进行的实 验或观察，称为试验 试验， 表示，例如： 验或观察，称为试验，用T表示，例如： 掷一枚均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。 T1: 掷一枚均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。 T3: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。 上述试验具有如下共性：
概率论与数理统计
严钧
junyan@ yanjunwh@
作业要求： 作业要求：
单周交作业，请在作业本上写上你的班级、 周交作业，请在作业本上写上你的班级、 班级 上课前请课代表把作业 姓名和学号，每次上课前 姓名和学号，每次上课前请课代表把作业 收上来。 收上来。 平时成绩占30%，一次作业不交扣两分。 两分。 平时成绩占 ，一次作业不交扣两分 作业请独立完成。 独立完成 作业请独立完成。
1）可以在相同条件下重复进行； ）可以在相同条件下重复进行； 2）试验前可以预知所有可能的结果； ）试验前可以预知所有可能的结果； 3）每次试验的结果是无法预知的。 ）每次试验的结果是无法预知的。 具有上述三个特点的试验称为简单随机试验， 具有上述三个特点的试验称为简单随机试验，简 简单随机试验 随机试验。 称随机试验。 随机试验的结果称为随机事件，简称事件，通常 随机试验的结果称为随机事件，简称事件， 随机事件 事件 用大写字母表示。例如： ：｛出现正面｝， ：｛出现正面｝，T2： 用大写字母表示。例如：T1：｛出现正面｝， ： 出现2点 都是事件。 ｛出现 点｝都是事件。 一定条件下必然要发生的事件称为必然事件， 一定条件下必然要发生的事件称为必然事件，通 表示。 常用 Ω 表示。 一定条件下必然不发生的事件称为不可能事件， 一定条件下必然不发生的事件称为不可能事件， 表示。 通常用φ 表示。