隐函数组概念隐函数组理反函数组与坐标变换

合集下载

《数学分析》考试大纲

《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。

六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。

2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。

应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。

能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。

区间与邻域，有界集与确界原理。

函数概念,函数的表示法。

函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。

具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章数列极限（一）考核内容数列。

数列极限的定义,无穷小数列。

收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。

子列及子列定理。

多元函数的隐函数定理与反函数定理应用

多元函数的隐函数定理与反函数定理应用多元函数的隐函数定理与反函数定理是微积分中重要的定理，它们在数学和应用领域中具有广泛的应用。

本文将介绍这两个定理的基本概念和应用场景。

一、多元函数的隐函数定理多元函数的隐函数定理是研究隐函数存在性和可导性的定理。

它告诉我们，在一定条件下，可以通过一个函数关系式来确定一个或多个变量的函数关系。

隐函数定理的基本表述是：设函数F(x,y)在点(a,b)附近具有连续的偏导数，且F(a,b)=0。

如果F对y在点(a,b)的偏导数不为零，即∂F/∂y(a,b)≠0，那么在点(a,b)附近，方程F(x,y)=0可以确定一个连续可导的函数y=g(x)，满足g(a)=b。

隐函数定理的应用非常广泛，例如在经济学领域，可以用来研究供求关系、市场均衡等问题。

在物理学中，可以用来研究物体的运动轨迹、力学系统的稳定性等问题。

在工程学中，可以用来研究控制系统的稳定性、优化问题等。

二、多元函数的反函数定理多元函数的反函数定理是研究函数反函数存在性和可导性的定理。

它告诉我们，如果一个函数在某点处的雅可比行列式不为零，那么在该点附近，函数存在反函数，并且反函数也是连续可导的。

反函数定理的基本表述是：设函数F(x,y)在点(a,b)处具有连续的偏导数，且雅可比行列式J(a,b)≠0。

那么在点(a,b)附近，函数F(x,y)存在反函数G(u,v)，且G在点(b,a)处连续可导。

反函数定理的应用也非常广泛，例如在计算机科学中，可以用来研究密码学中的加密和解密算法。

在统计学中，可以用来研究概率分布函数的变换和逆变换。

在生物学中，可以用来研究遗传密码的解读和转录调控等问题。

三、隐函数定理与反函数定理的应用举例为了更好地理解隐函数定理与反函数定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一个二元函数F(x,y)=x^2+y^2-1，我们希望求解方程F(x,y)=0确定的函数关系。

根据隐函数定理，我们可以计算∂F/∂y=2y，并发现在原点(0,0)处∂F/∂y=0。

隐函数——精选推荐

§1 隐函数(一) 教学目的：掌握隐函数存在的条件，学会隐函数求导法． (二) 教学重点：隐函数的定义；隐函数定理；隐函数求导法． (三) 教学难点：隐函数求导法、隐函数定理的证明————————————————————一个方程()0,=y x F的情形在前面，我们是在假定从方程(,)0F x y =中可以确定的可微函数是x y 的前提下，给出求导数)('x f 的方法。

然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。

因此，我们必须知道方程在什么情况下才能确定隐函数？例：设有方程()22,10F x y x y =+-=，问在点()0,1，()0,1-，()1,0，()1,0-的附近是否确定y 为x 的函数？定理1 （隐函数存在定理）设二元函数),(y x F 满足下列条件：0000000000000(1){(,)|,},(2)(,)0;(3)(,)0;(1)(,)(,)0()0(,)(,())0();(2)(,)(3)(,)y D x y x x a y y b x y F x y F x y x y F x y y f x x O x F x f x y f x f O x f O x ηηηη=-≤-≤=≠==>∈==在矩形区域内，有关于的连续偏导数；则在的某个领域内，由方程可以确定唯一的函数，也即，存在，当时有，并且在内连续；在内有连续的导数()(),',x y F x y y F x y =-，且。

注： (1)定理的几何意义：条件(1)表明曲面),(y x F z =是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面0=z 有一个交点，条件（3）（不妨设0),(00>y x F y ）表明在)0,,(00y x 的附近，对固定的x ，设y 为正向，曲面是单调增加的。

定理的结论是：在点)0,,(00y x 的附近曲面和0=z 有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论是局部性的，即在点),(00y x 的某个邻域内由方程0),(=y x F 可以唯一确定一个可微的隐函数。

隐函数组概念

近旁能否确定隐函数组 x = x(u, v), y = y(u, v), 若能则求出其所有偏导数.
解: 方程组对 u 求偏导,得
⎧2u ⎩⎨−1
− −
2xxu − yu xu y − xyu
= =
0 0
,
由此解得
xu
=
2xu +1 2x2 − y ,
yu
=
−
2x + 2 yu 2x2 − y .
方程组对 v 求偏导,得
(iii) 在V内F,G具有一阶连续偏导数;
(iv)
J = ∂(F,G) ∂(u, v)
在
P0
不等于零,
则在 P0 的某一(四维空间)邻域 U ( P0 ) U(P0)(包含在V中)内, 方程组(1)唯一确定了定义在点 Q0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 U (Q0 ) 内的两个二元函数
u = f ( x, y), v = g( x, y)
30 (u, v) ∈ U (P0′ ) 时, u ≡ u( x(u, v), y(u, v)), v ≡ v( x(u, v), y(u, v));
40 x = x(u, v), y = y(u, v) 在 U ( P0′ ) 内有连续的一阶偏导数,且
∂v
∂x = ∂u
∂y ∂(u, v)
,
∂(x, y)
⎧2v ⎨⎩1 −
− 2xxv − yv xv y − xyv =
= 0
0
,
由此解得
xv
=
2xv −1 2x2 − y
,
yv
=
2x − 2 yv 2x2 − y .
四、反函数组与坐标变换
1. 坐标变换设B为平面点集.

隐函数组

可以确定函数 y y( x ), z z( x ), 且
(F ,G ) dy ( x, z ) dx (F ,G ) ( y, z )
(F ,G ) dz ( y , x ) dx (F ,G ) ( y, z )
Fx Gx Fy Gy
Fy Gy Fy Gy
等式两边对 x 求导，
F F u F v 0 u v x x x G x Gu u Gu v 0 x x
F u Gu
u F v F v x x x u G v G u x x x
F u F v F u , v 的 u v x 这是关于 x x x x Gu u Gu v G x 二元线性方程组。 x x Fu Fv J 0, 方程组有唯一解。 D Gu Gv Fx Fv Fx Fv (F ,G ) D1 ( x, v ) G x Gv G x Gv
解2
运用公式推导的方法。将所给方程的两边对 x 求导并移项:
x u y v u x x , y u x v v x x
DJ
x y y x
x2 y2 ,
DJ D1
x y y x
x2 y2 ,
D2 x u y v
(F , G ) 当 6 y 4 z 0 时， ( y, z ) (F ,G ) dy ( x, z ) 6 x 2 z z 3 x dx ( F , G ) 6 y 4z 3 y 2z , ( y, z ) (F ,G ) 2 y 4x 2x y dz ( y , x ) , dx (F ,G ) 6 y 4z 3 y 2z ( y, z )

数学分析第十八章隐函数定理及其应用

隐函数必须在指出确定它的方程以及x, y的取值范围后才有意义.
又如方程 1 x y c 0, y x sin y 0. 2
2 2
(i ) 要研究什么条件下才能确定隐函数. (ii ) 隐函数一般不能化成显函数.但要研究其连续性和可微性.
二、隐函数存在性条件的分析
满足方程(1)的点集可看作z F ( x, y )与z 0的交集.
令U ( P0 ) ( x0 , x0 ) ( y0 , y0 ), 则f ( x0 ) y0 , 当 x ( x0 , x0 )时, ( x, f ( x)) U ( P0 )且F ( x, f ( x)) 0.
2）f ( x)在( x0 , x0 )内连续.(略)
y 2 x ln 2 x 2 ln 2
y
.
注：导数有两种求法.
类似地理解由方程F ( x1,, xn , y ) 0所确定的n元隐函数的概念. 并有下列n元隐函数的存在唯一与连续可微性定理
定理 18.3
若满足下列条件 :
0 0 0 (i) F ( x1,, xn , y )在以P0 ( x1 ,, xn , y )为内点的区域 D R n 1上连续, 0 0 0 (ii) F ( x1 ,, xn , y ) 0, (iii) 偏导数Fx1 ,, Fxn , Fy 在D内存在且连续, 0 0 0 (iv) Fy ( x1 ,, xn , y ) 0,
满足隐函数存在唯一性定理的条件，所以，在x 0的某邻域内确定唯一一个隐函数y ( x), 满足 F x, ( x) 0.
注意： 1. 定理18.1的条件仅仅是充分条件, 例如 F ( x,y ) y 3 x3 , F ( x,y ) ( x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2 , 在点(0,0)处满足(i) - (iii), 但不满足(iv).

隐函数组.

u u( x , y ), ( x , y ) D, ( u, v ) E , v v ( x , y ),
并有
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) 0, ( x , y ) D. G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) 0,
它确定了一个映射 ( 或变换 ) :
T : B R2 ,
P( x, y ) a Q(u, v ) .
写成点函数形式, 即为 Q T ( P ), P B; 并记 B 的象集为 B T ( B ) . 现在的问题是: 函数组 (6) 满足何种条件时, T 存在逆变换 T 1 ? 即存在
内 (4)式成立．根据以上分析, 便有下述隐函数组定理.
前页后页返回
雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国）前页后页返回
二、隐函数组定理
定理 18.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数 F 与 G 满足下列条件：
(i) 在以点 P0 ( x0 , y0 , u0 , v0 )为内点的某区域 V R 4
前页后页返回
(F ,G ) ( y, z ) (F ,G ) ( z, x)
2 4 0, P0 2 4 4 2 8 0, P0 4 4
因此由隐函数组定理可知, 在点 P0 近旁可以惟一地确定隐函数组:
x x ( z ), z z ( y ), 与 y y( z ); x x( y ) ;
上连续；
(ii) F ( P0 ) G( P0 ) 0 (初始条件);
(iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数；

18-2隐函数组

并有
u u( x, y), v v( x, y),
( x, y) D, (u, v) E,
F ( x, y,u( x, y),v( x, y)) 0,
(x, y) D.
G( x, y,u( x, y),v( x, y)) 0,
关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详
地确定隐函数组:
x x(z),

y

y(z),
与
z z( y),

x

x( y) ;
但不能肯定 y , z 可否作为 x 的两个 3o, 可求得隐函数在点 P0 处的导数值:

dx dz
(F,G)
P0
D R2 上具有连续的一阶偏导数, P0( x0 , y0 ) 是 D 的内点, 且
(u, v )
u0 u( x0, y0 ), v0 v( x0, y0 ) ,
(x, y)
0.
P0
前页后页返回
则在点 P0(u0,v0 ) 的某邻域 U(P0 ) 内, 存在惟一的一组反函数 (7) , 使得
x0 x(u0 ,v0 ), y0 y(u0 ,v0 ); ( x(u,v), y(u,v) ) U (P0 ) ;
u u( x(u,v), y(u,v)) , v v( x(u,v), y(u,v)) .
此外, 反函数组 (7) 在 U(P0 ) 内存在连续的一阶偏导数; 若记
y vx , u Jxy
y ux . v Jxy

前页后页返回
由 (9) 式进一步看到:

第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数

第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。

隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。

几何应用。

条件极值与拉格朗日乘数法。

教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。

2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。

3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。

4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。

教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。

二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。

要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。

强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。

这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。

这说明拉格朗日乘数法的优越性。

§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍（1）隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号（P144）2. 隐函数的两个基本问题（1）隐函数的存在性; （2）隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。

§2 隐函数组

y x + z 2 2 yz Fx F y Fz = 2 G x G y Gz P0 2 xy x + z y − 2 z P0
−2 2 − 4 = . −4 2 − 4
由于
∂(F ,G ) ∂( x, y) −2 2 = = 4 ≠ 0, P0 −4 2
§2 隐函数组
一、隐函数组概念二、隐函数组定理三、反函数组与坐标变换
一、隐函数组概念
设有一组方程 F ( x , y , u, v ) = 0,
(1) G ( x , y , u, v ) = 0, 2 4 若存在 D, E ⊂ R , 其中 F 与 G 定义在 V ⊂ R . 使得对于任给的 ( x , y ) ∈ D , 有惟一的 (u, v ) ∈ E 与
返回
关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在此不作详细讨论．，在此不作详细讨论．首先，若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐函数首先，
u = u( x , y ) 与 v = v ( x , y )
则函数 F、 G 应满足何种条件呢应满足何种条件呢? 都可微, 由复合求导法, 不妨先设 F、 G 都可微由复合求导法通过对 F ( x , y , u, v ) = 0,
P0
∂ (F ,G ) = ∂ ( u, v )
P0
≠ 0.
上页下页返回
则有如下结论成立：则有如下结论成立：
1o 必定存在邻域 U ( P0 ) = U (Q0 ) × U (W0 ) ⊂ V , 其中
Q0 = ( x0 , y0 ), W0 = ( u0 , v0 ), 使得

第十八章隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定值及其应用§1 隐函数教学目的掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法．教学要求(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法． (2)掌握隐函数定理的证明．教学建议(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求．教学程序一、隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. （一）、隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.（二）、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性； 2 隐函数的解析性质. 二、隐函数存在条件的直观意义: 三、隐函数定理:定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:1 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ;2 ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 )3 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ;4 ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域Y (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得1 )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x Y (0P )且()0)( , ≡x f x F .2 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 .例1 设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++证方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧===uvz uw y vw x 222 确定了函数组 ⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(w v u z z w v u y y w v u x x ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=udv vdu zdz udw wdu ydy vdw wdv xdx 222，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=dv zu du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 222222 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0 2 2 2 0 2 2 2 0 z uz v y u yw x v x w 将函数组代入方程),,(),,(w v u F z y x f =，得关于变元w v u ,,的方程),,()),,(),,,(),,,((w v u F w v u z w v u y w v u x f =，在这方程两边分别对w v u ,,求偏导，得 u z y xF u z f u y f u x f =∂∂+∂∂+∂∂, v z y x F v z f v y f v x f =∂∂+∂∂+∂∂, w z y x F wz f w y f w x f =∂∂+∂∂+∂∂, 将上面三式分别乘以w v u ,,后再相加，得 ++z uv f y uw f z y22zuvf x vw f z x 22+y uw f x vw f y x 22++,w v u wF vF uF ++=.将vw x =2，uw y =2，uv z =2代入即得w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++.例2 若),(y x f z =有连续二阶偏导数，满足方程222222)(y x z yz x z ∂∂∂=∂∂∂∂，证明：若把),(y x f z =中y 看成z x ,的函数，则它满足同样形状的方程 222222)(z x y z y x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 证由),(y x f z =确定y 是z x ,的函数，则有)),(,(z x y x f z =，方程两边分别对z x ,求偏导，得xyy f x f ∂∂∂∂+∂∂=0, （1） zyy f ∂∂∂∂=1 , （2） (1)式再分别对z x ,求偏导，得22222222)(20x yy f x y y f x y y x f xf ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂= , (3) z x yy f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=22220, （4） (2)式再对z 求偏导，得22222)(0z yy f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂= , （5）由（3）（5）式22222)(z y y f x f ∂∂∂∂∂∂])(2[22222222x yy f x y y f x y y x f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂= ])(2[)(22222222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂= ])(2[)()(222222222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂= (由（5）式)]2[)(2222222222z yx y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂=, 由（4）式222222)()(zx y y f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂z x yy f z y x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=222222222)()( ]2[)(2222222z x yy f z y x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=,因为222222)(y x z yz x z ∂∂∂=∂∂∂∂，则]2[)(2222222222zyx y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂ ]2[)(2222222z x y y f zy x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=, 结合（4）式得22222)(y f z y x y ∂∂∂∂∂∂][2)(22222222z x yy f z y x y y f z y y x f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂= 22)(zx y y f ∂∂∂∂∂=. 即 222222)(z x y z y x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 例3 设 ⎪⎩⎪⎨⎧===0),(0),,(),,,(t z h t z y g t z y x f u ，问什么条件下u 是y x ,的函数啊？求y u x u ∂∂∂∂,。

高中数学(人教版)隐函数组课件

Fx Fv G x Gu x 1 (F ,G) L , Fu Fu Gu v Gv J ( x, v )
u 1 (F ,G ) y vv y L ; y J ( y, v )
§2 隐函数组
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
隐函数组概念
F ( x , y , u, v ) 0, (1) G ( x , y , u, v ) 0, 其中 F 与 G 定义在 V R 4 . 若存在 D, E R 2 , 使得对于任给的 ( x , y ) D, 有唯一的 (u, v ) E 与之对应, 能使 ( x, y, u, v ) V , 且满足方程组 (1),
及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:
§2 隐函数组
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
① 由方程组 (1) 的第一式 F ( x , y , u, v ) 0 确定隐
函数 u ( x , y, v ), 且有
x Fx Fu , y Fy Fu , v Fv Fu .
P0 近旁不能唯一确定以 x 作为自变量的隐函数组.
§2 隐函数组
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
例 2 设函数 f ( x , y ), g( x , y ) 具有连续的偏导数,
u u( x , y ) 与 v v( x , y ) 是由方程组
u f ( ux , v y ) , g( u x , v 2 y ) 0
设有一组方程
则称由 (1) 确定了隐函数组 u u( x , y ), ( x , y ) D, ( u, v ) E , v v ( x , y ),

隐函数组

隐函数的求导法则（分下列几种情况）
(1) F ( x, y) 0 (2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y, u,v) 0 G( x, y, u,v) 0
公式法常用解法：
方程两边求导法
等式两边对 x 求导，
Fx
Fu
u x
Fv
v x
0
Gx
Gu
u x
Gu
v x
0
Fu Gu
u x
u x
Fv Gu
v x
v x
Fx Gx
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu
u x
Gu
v x
Gx
这是关于
u x
,
v x
的
二元线性方程组。
D Fu Fv J 0, Gu Gv
方程组有唯一解。
D1
v v(x, y), 求 u , u , v , v 。
解
令
x y x y
F (x, y,u, v) u2 v x ,
G(x, y,u, v) u v2 y ,
则
(F,G) 2u (u, v) 1
1
2v 4uv 1
(F,G) 1
1
2v
(x, v) 0 2v
u 2v x 4uv 1
Gy Fy
Gx Fz
.
( y, z)
Gy Gz
例1 设
x2 y2 z2 50,
x 2 y 3z 4.
求
dy dx
,
dz dx
.
解 1：令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 50 0,
G( x, y, z) x 2 y 3z 4 0.

数学《隐函数定理及其应用》讲义

第十八章隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念设X R ⊂,Y R ⊂, 函数:F X Y R ⨯→, 对方程(,)0F x y =,若存在集合I X ⊂,J Y ⊂,使得对任何x I ∈,存在唯一的y J ∈满足方程(,)0F x y =,则称(,)0F x y =确定了一个隐函数:f I J →, 记为()y f x =,x I ∈.此时, (,())0F x f x ≡,x I ∈恒成立. 相对地, 形如()y f x =的函数称为显函数.我们说隐函数的产生也是很自然的, 如函数73()y g x x x x ==++严格增, 因而其有反函数, 但不易求出显函数1()x g y -=, 此时只能说方程730y y y x ++-=能确定隐函数1()()dy g x f x -==. 当然, 显函数也可以写成隐函数的形式(,)()0F x y y f x =-=. 显函数的几何意义就是平面上的曲线. 而方程(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =在几何意义上就是曲面(,)z F x y =与平面0z =相交得到一条曲线(()y f x =), 此曲线投影到x 轴, 投影为I , 而对每个x I ∈,有唯一的点(,)x y 在该曲线上.注并不是每一个方程都可以确定一个隐函数,如2210x y ++=.关于隐函数, 我们主要关心两个问题: 1) 隐函数的存在性;2) 隐函数的性质(如连续和可微性等). 二、隐函数存在的直观分析从几何上看, 方程(,)0F x y =确定函数()y f x =.相当于曲线(,)0F x y =与直线0x x =有且仅有一个交点, 这就要求0(,)0F x y =恰好有一个解, 当然至少要有一个解, 即1︒ 00(,)x y ∃, 使得00(,)0F x y =.其次, 若要求曲线(,)0F x y =连续, 则需要假设2︒ 在00(,)x y 的某邻域内, F 连续.最后, 从隐函数的定义, 对一个x , 只能有一个y 满足(,)0F x y =. 这相当于F 作为y 的函数是单射. 因而我们要求F 关于y 严格单调, 或者条件3︒00(,)0y F x y ≠, 且y F 连续 (此时在00(,)x y 的某邻域内,F 关于y 严格单调).如果要求确定的隐函数可微, 则当F 可微时, 由链式法则有0x y F F y '+⋅=, 此时/x y y F F '=-, 即隐函数()y f x =可微. 而要保证F 可微, 一般需假设4︒x F 连续. 三、一元隐函数定理下面我们给出一元隐函数定理. 定理若下列条件满足1) 函数(,)F x y 在000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续; 2) 00(,)0F x y =(初始条件);3) 在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y , 且00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内, 方程(,)0F x y =唯一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+上的隐函数()y f x =, 满足1︒ 00()f x y =,00(,)x x x αα∈-+时, 0(,())()x f x U P ∈, 且(,())0F x f x =; 2︒ ()f x 在00(,)x x αα-+上连续.进一步, 若F 在D 上还存在连续的偏导数(,)x F x y , 则方程(,)0F x y =所确定的隐函数3︒ ()y f x =在00(,)x x αα-+内有连续导函数, 且(,)()(,)x y F x y f x F x y '=-.注 a) 为证1︒,2︒, 只需条件: 1) 00(,)0F x y =; 2) 在00(,)x y 的某邻域内F 连续; 3) F 关于y 严格单调.b) 定理中的条件充分而不必要. 如330y x -=在(0,0)不满足(0,0)0y F ≠,但仍确定函数y x =.c) 若条件改为00(,)0x F x y ≠, 则可确定函数()x g y =. 又若00(,)0x F x y ≠与00(,)0y F x y ≠同时成立, 则方程(,)0F x y =将同时确定函数()y f x =和()x g y =,使(,())((),)0F x f x F g y y ==,由于,x y 的对应关系唯一,故它们互为反函数, 且x y F dydx F =-将不变号(如果变号,dy dx 将有零点,在该点dx dy 不存在,与g 可微矛盾), 即隐函数严格单调.例1 反函数存在性定理及其导数.例2 设(,)sin 0F x y y y x ε=--=, 01ε<<. 求dy dx , 22d ydx.例3 讨论Descartes 叶形线3330x y axy +-=所确定的隐函数()y f x =的一阶与二阶导数.例4 设2212z y x =-, 其中()y f x =为方程3330x y xy +-=所确定的隐函数. 求dz dx ,22d z dx.例5 证明: 1) 在(0,0)附近方程2sin()0x y xy ++=可确定函数()y f x =;2) 求f 的导数; 3) (0)f 为极大值.四、n 元隐函数定理下面我们来讨论n 元隐函数定理.定理设1) 函数12(,,,,)n F x x x y ⋅⋅⋅在以点0000012(,,,,)n P x x x y ⋅⋅⋅为内点的区域1n D R +⊂上连续;2) 000012(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=; 3) 偏导数12,,,,n x x x y F F F F ⋅⋅⋅在D 内存在且连续;4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ⋅⋅⋅≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内方程12(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=唯一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数) 12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅,使得1︒.当120(,,,)()n x x x U Q ⋅⋅⋅∈时, 12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈; 2︒.12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅在0()U Q 内有连续偏导数12,,,n x x x f f f ⋅⋅⋅, 且11,x x yF f F =-22,,n n x x x x yyF F f f F F =-⋅⋅⋅=-.即若F 关于某个变量偏导数不等于0, 则存在以之为因变量的隐函数.例6 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐函数(,)z f x y =及其偏导数.例7 设方程(,,)0F x x y x y z +++=确定(,)z f x y =.求,x y z z .例8 求由方程(,,)0F x y y z z x ---=所确定的函数(,)z z x y =的微分.例9 设(,)u f x ut y ut =+-,求,,x y t u u u .例10 证明: 由方程()()y x z z ϕψ=+所确定的函数(,)z z x y =满足方程2222222()2()0z z z z z z z y x y x y x x y∂∂∂∂∂∂∂⋅-⋅⋅⋅+⋅=∂∂∂∂⋅∂∂∂∂.§2 隐函数组给出线性方程组111122220a xb yc ud v a x b y c u d v +++=⎧⎨+++=⎩ 何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =? 给定一般形式方程组(,,,)0(1)(,,,)0(2)F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =?一、隐函数组定理定理 1 设2,A B R ⊂, ,:F G A B R ⨯→. 00000(,,,)P x y u v =.若1) 00()()0F P G P ==;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈; 3) Jacobi 行列式(,)(,)F G J u v ∂=∂在0P 处值不为0,则存在00(,)x y 的邻域U 及U 上的唯一一组1C 类函数,f g , 使得(,)u f x y =, (,)v g x y =满足1︒ 000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡, (,,(,),(,))0G x y f x y g x y ≡, (,)x y U ∀∈,2︒ 1(,)(,)x F G u J x v ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G u J y v ∂=-⋅∂,1(,)(,)x F G v J u x ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G v J u y ∂=-⋅∂. [()11(,)()(,)xx v xvx v x v x vvF G G F F G u F G G F J J J x v F ψψ+⋅-∂=-==⋅-=-⋅∂]注若定理条件3) 改为(,)0(,)P F G y v ∂≠∂, 则方程(1), (2)可确定的隐函数组为(,)(,)y y x u v v x u =⎧⎨=⎩. 更一般地, 可先求出,,,x y u v F F F F ,,,,x y u v G G G G , 如0u v uvF FG G ≠, 则可对(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩, 两边关于,x y 求偏导. 如对x 求偏导, 则x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v +⋅+⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩,从而u x v x xu x v x xF u F v FG u G v G ⋅+⋅=-⎧⎨⋅+⋅=-⎩⇒(,)(,)(,)(,)x u x u x u v u vF F FG G G x v u F G F F u v G G -∂-∂==-∂∂, (,)(,)(,)(,)x F G u x v F G u v ∂∂=-∂∂, 类似可以求出,y y u v .例1 讨论方程组222(,,,)0(,,,)10 F x y u v u v x y G x y u v u v xy ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩, 在点0(2,1,1,2)P 附近能确定怎样的隐函数组, 并求其偏导数.例2 1) 已知01xu yv yu xv +=⎧⎨+=⎩, 求x u , y u , x v , y v ;2) 设2(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩, 求,u ux y ∂∂∂∂.3) 设函数(,)u u x y =由方程(,,,)(,,)0 (,)0 u f x y z t g y z t h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定. 求,u u x y∂∂∂∂.二、反函数组定理给定(,)(,)u f x y v g x y =⎧⎨=⎩, 何时有(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩?设(,,,)(,)0(,,,)(,)0 F x y u v f x y u G x y u v g x y v =-=⎧⎨=-=⎩,00000(,,,)P x y u v =, 由隐函数组定理条件为1) 00()()0F P G P ==, 即000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈, 由于1u v F G ==-, 0v u F G ==连续, 故条件2)为在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈.3)0000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)x y x yx y x y f f F G u v g g x y x y ∂∂==≠∂∂.因而我们可得到下面的反函数组定理. 定理2 若1) 000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈; 3)00(,)(,)0(,)x y u v x y ∂≠∂,则存在00(,)u v 的邻域U 及唯一的一组1C 函数(,)x u v ϕ=,(,)y u v ψ=.((,)u v U ∈), 使得1︒ ((,),(,))u f u v u v ϕψ=, ((,),(,))v g u v u v ϕψ=, 000000(,),(,)x u v y u v ϕψ==; 2︒(,)(,)1(,)(,)u v x y x y u v ∂∂⋅=∂∂. [(,)/(,)x v u v u y x y ∂∂∂=∂∂∂, (,)/(,)x u u v vy x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v u x x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v v x x y ∂∂∂=∂∂∂.]例3 设sin cos u ux e u vy e u v ⎧=+⎨=-⎩, 求,,,x y x y u u v v .例4 求cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩的反函数组.例5 求sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的反函数组.例6 利用sin cos x r θϕ=, sin sin y r θϕ=, cos z r θ=变换2221u u x u y u z ∆=++.例6 已知经过代换2u x yv x ay =-⎧⎨=+⎩后, 方程60zz xy yy z z z +-=化为方程0uv z =,求a 的值.§3 几何应用一、平面曲线的切线与法线平面曲线()y f x =, 在000(,)P x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-. 若平面曲线由方程(,)0F x y =给出, (,)F x y 在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件, 故其在0P 附近可确定连续可微函数()y f x =(或()x g y =). 注意到()y f x =与(,)0F x y =表示的是同一曲线, 故曲线(,)0F x y =在0P 处的切线和法线方程分别为000()()y y f x x x '-=-与0001()()y y x x f x -=--' (或000()()x x g y y y '-=-与0001()()x x y y g y -=--') 又()xy F f x F '=-(或()y xF g y F '=-), 则曲线(,)0F x y =在000(,)P x y 处的切线方程: 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, 法线方程: 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=.例1 求Descartes 叶形线 332()90x y xy +-= 在(2,1)处的切线与法线方程.二、空间曲线的切线与法平面 1、曲线由参数方程给出.设 :(),(),()L x x t y y t z z t ===, ()t αβ≤≤. (1) 下面求L 在其上某点0000(,,)P x y z 处的切线与法线方程, 这里00()x x t =,00()y y t =,00()z z t =,0()t αβ≤≤.假设(1)中三个函数均在0t 处可导且222000(())(())(())0x t y t z t '''++≠,在L 上0P 附近任取一点(,,)P x y z =000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆, 从而连接0P 与P 的割线方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆, 其中00()()x x t t x t ∆=+∆-, 00()()y y t t y t ∆=+∆-, 00()()z z t t z t ∆=+∆-, 又000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆, 令0t ∆→, 则0P P →, 且曲线L 在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 进而曲线L 在0P 处的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.2、曲线由两曲面给出设曲线L 的方程为 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (2)设1,F G C ∈, 且0(,)0(,)P F G J x y ∂=≠∂. 则由隐函数组定理, 在0P 附近能确定唯一的连续可微函数()x z ϕ=, ()y z ψ=使得1)00()x z ϕ=, 00()y z ψ=,2)1(,)(,)dx F G dz J z y ∂=-⋅∂, 1(,)(,)dy F G dz J x z ∂=-⋅∂. 故曲线L 在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---==, 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂,而L 在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂.例 2 求曲线22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截得的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.三、曲线的切平面与法线方程设曲面方程由 (,,)0F x y z = (3)给出, 其在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件. 设000(,,)z F x y z 0≠, 则方程(3)在0P 附近确定唯一1C 函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =且x z F z x F ∂=-∂, y zF zy F ∂=-∂, 从而该曲面在0P 处有切平面与法线其方程分别为000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----,即 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 与000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例3 求椭球面222236x y z ++=在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.例4 =(0)a >的切平面在坐标轴上截距之和为常数.§4 条件极值一、条件极值极值问题↔定义域↔条件的限制例 1 设计一个容量为V 的长方形开口水箱, 试问水箱的长x , 宽y , 高z 分别为多少时其表面积最小.(,,)2()S x y z xz yz xy =++ (0,0,0)x y z >>>满足条件 xyz V = ———— 条件极值问题条件极值问题求(目标)函数()u f x =, 12(,,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在 (约束)条件()0i g x =, 1,2,,i m =⋅⋅⋅, m n <下的极值.设{,()0,1,2,,}i E x D g x i m =∈==⋅⋅⋅, a E ∈. 若存在开球(,)B a r D ⊂,使(,)x E B a r ∈⋂时,()()f x f a ≥(或()()f x f a ≤), 则称f 在a 达到(满足条件()0i g x =)的条件极小(极大)值.例1的解二、条件极值的必要条件 (3n =,2m ≥来讨论)设3D R ⊂为开域, 12,,:f g g D R →为1C 函数, 123(,,)x x x x D =∈. 若f 在点123(,,)a a a a =处达到条件极值, 且111123222123rank 2ag g g xx x g g g x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭,(1grad ()g a ,2grad ()g a 线性无关). 则存在12,R λλ∈, 使得1212()()()0j j jg g fa a a x x x λλ∂∂∂++=∂∂∂, 1,2,3j =. 即a 是Lagrange 函数1122L f g g λλ=++的驻点.三、Lagrange 乘法求()u f x =, 1(,,)n n x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在条件()0i g x =, (1,2,,)i m =⋅⋅⋅下的极值.方法为1︒ 作Lagrange 函数1111(,,,,,)()()()n m m m L x x f x g x g x λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+, x D ∈.2︒ 令0 (1,,)iLi n x ∂==⋅⋅⋅∂, 0 (1,,)j L j m λ∂==⋅⋅⋅∂, 求驻点. (m n +个方程, m n +个未知量)3︒ 求D 中使1,,,m f g g ⋅⋅⋅不为1C 的点, 及使1rank(grad ,,grad )m g g m ⋅⋅⋅<的点.(这些点与驻点成为可能的极值点).4︒ 用无条件极值方法判断上述可能点是否为极值点. 例2 重解例1.例3 求抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆, 求该椭圆到原点的最长和最短距离.例4 求(,,)f x y z xy yz =+在条件222x y +=, 2y z +=下的极值.例5 求平面一点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的最短距离.例6 求(,,)f x y z xyz =在条件1111x y z r++= (,,,)x y z r R +∈下的极小值, 并证明11113()a b c-++≤, ,,a b c R +∀∈.例7 求目标函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件Ax By ++0Cz D +=下的最小值.例8 求1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅在12n x x x a ++⋅⋅⋅+=约束条件下的最大值.例9 已知12(,,),(,,),(,)G x y z G x y z f x y 都是可微的,(,)(,,(,))i i g x y G x y f x y =, 1,2i =.求证:121112221(,)(,)x y xy z xyzf fg g G G G x y G G G --∂=∂.例11 183P , 5.例10 183P 11二次型, 特征值问题.例12 183P , 12.例13 184P , 14.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数, 而(,),(,)x x s t y y s t ==有连续偏导数, 则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅∂∂∂. [设(),()y f x x t ϕ==, 则dy dy dx dt dx dt=⋅.]Jacobi 行列式的几何意义一元 ()y f x =, 0x , 0x x x =+∆, 00()()y f x x f x ∆=+∆-称||||y x ∆∆为f 在0x 到0x x +∆的平均伸缩系数.若0x ∆→, 极限00000()()||limlim |()|||x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆, 则称0|()|f x '为映射f 在0x 处的伸缩系数. (导数的几何意义)若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数且(,)x y G ∀∈,(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂=≠∂. 函数组将xy 平面的开区域G 变换成uv 平面上的开区域1G ,点00(,)x y G ∈映为点10000((,),(,))u x y v x y G ∈, 则包含点00(,)u v 的面积微元d σ'与对应的包含点00(,)x y 的面积微元d σ之比为00|(,)|J x y . 即0000(,)(,)|(,)|(,)x y d u v J x y d x y σσ'∂==∂.。

多元函数的隐函数定理与反函数定理

多元函数的隐函数定理与反函数定理隐函数定理（Implicit Function Theorem）和反函数定理（Inverse Function Theorem）是微积分中涉及多元函数的重要定理。

它们在数学和物理科学研究中具有广泛的应用。

本文将分别介绍这两个定理的概念、条件和应用，并通过例子说明其具体应用。

隐函数定理是关于多元函数的一个重要定理，它探讨了如何找到一个函数的隐函数表达式。

设有函数 F(x, y) = 0，其中 x 和 y 是多元函数F 的自变量。

如果可以确定存在与 y 相关的函数 x = g(y)（或者存在与x 相关的函数 y = f(x)），使得在某个区域内 F(x, g(y)) = 0（或者 F(f(x), y) = 0）成立，那么我们就可以说 g(y)（或者 f(x)）是 F(x, y) = 0 的一个隐函数。

隐函数定理的条件是：设函数 F(x, y) 在点 (a, b) 的某个邻域内具有连续的偏导数，并且满足 F(a, b) = 0 和F_y(a, b) ≠ 0，其中 F_x 和 F_y 分别表示 F 关于 x 和 y 的偏导数。

在符合这些条件的前提下，隐函数定理保证了存在一个连续可微的函数 g(y)，使得 F(x, g(y)) = 0，其中 x 的取值范围与 y 的取值范围有关。

隐函数定理的应用非常广泛，例如在几何问题中，可以利用隐函数定理来确定曲线的参数方程；在经济学中，隐函数定理可以用来求解一些均衡条件；在物理学中，隐函数定理可以用来推导一些物理方程的隐函数表达式等等。

接下来我们将介绍反函数定理。

反函数定理是关于函数反函数的一个定理。

设有函数 f: X -> Y，其中 X 和 Y 是实数集上的开集。

如果函数 f 在某个点 a 处连续可微，并且其导数f'(a) ≠ 0，那么存在一个开集V，使得 a 属于 V，且在 V 上函数 f 是一个双射。

这说明函数 f 在点 a 处存在反函数 f^(-1)，并且 f 在 a 的邻域内的一个开集上存在连续可导的反函数。

§2 隐函数组

§２隐函数组本节，我们首先将学习由两个或两个以上的方程组成的方程组所确定的隐函数组的存在性和可微性。

其次，作为隐函数组的特例，我们还将进一步学习由多个函数组成的函数组所确定的反函数组的存在性和可微性。

一、隐函数组的概念以方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩为例。

我们知道，在线性代数中，对于由两个四元线性方程组成的方程组111112222200a u b v c x d y e a u b v c x d y e ++++=⎧⎨++++=⎩，（*）当u 和v 的系数行列式11220a b a b ≠时，我们有111122221122111122221122c xd ye b c x d y e b u a b a b a c x d y e a c x d y e v a b a b ⎧++⎪++⎪=-⎪⎪⎪⎨++⎪⎪++⎪=-⎪⎪⎩，显然u 和v 都是x ，y的二元函数，这样的函数习惯上称为由方程组（*）确定的隐函数组。

一般地，设函数(,,,)F x y u v 和(,,,)G x y u v 定义在区域4G R ⊂上，若存在区域2D R ⊂，使得对每一个给定的点(,)x y D ∈，总存在唯一的u 和v ，满足：(,,,)x y u v G ∈，且(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v ≡⎧⎨≡⎩，则称方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩在G 上确定了唯一的定义在区域D 上的隐函数组，记为(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，(,)x y D ∈。

显然，(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，(,)x y D ∈，表明隐函数组(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩是方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩，在区域D 上的唯一解。

隐函数组概念隐函数组理反函数组与坐标变换

《数学分析》考试大纲

多元函数的隐函数定理与反函数定理应用

隐函数——精选推荐

隐函数组概念

隐函数组

数学分析第十八章隐函数定理及其应用

隐函数组.

18-2隐函数组

第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数

§2 隐函数组

第十八章 隐函数定理及其应用

高中数学(人教版)隐函数组课件

隐函数组

数学《隐函数定理及其应用》讲义

多元函数的隐函数定理与反函数定理

§2 隐函数组

第十八章隐函数定理及其应用