(江苏专用)2020版高考数学总复习第十章第四节抛物线课时作业苏教版

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高考数学江苏新攻略总复习课标通用练习：第十章第四节抛物线含解析

第四节抛物线课时作业练1.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值是.答案-18解析抛物线的标准方程为x2=1ay,因为准线方程为y=2,所以a<0且2=-14a,解得a=-18.2.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为.答案y2=8x解析依题意得,|OF|=a4.由直线l的斜率为2,可知|AO|=2|OF|=a2.又△OAF的面积等于12·|AO|·|OF|=a216=4,则a2=64.又a>0,所以a=8,该抛物线的方程为y2=8x.3.(2019江苏南京高三模拟)如图,抛物线形拱桥的顶点距水面4米时,测得拱桥内水面宽为16米;当水面升高3米后,拱桥内水面的宽度为米.答案8解析以抛物线的顶点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=my(m<0),由题意得抛物线过点(8,-4),所以m=-16,即x2=-16y,令y=-1,得|x|=4,从而水面的宽度为8米.4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是.答案1516解析设M(x,y),抛物线方程可化为x2=14y,则必有|MF|=y+p2=y+116=1,所以y=1516.5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,|PQ|=10,则抛物线的方程为. 答案y2=8x解析由于直线PQ过抛物线的焦点,因此|PQ|=x1+x2+p=6+p=10,即p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.6.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为.答案y2=4x解析由已知得圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.7.(2018扬州高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离为.答案6解析由题意可知1+p2=4,p=6,则该抛物线的焦点到准线的距离为6.8.(2019南京师大附中高三模拟)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,且它的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同,则双曲线的方程是.答案x 25-y2 20=1解析由双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,得ba=2,由它的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点(5,0)相同,得c=5,则b2=c2-a2=4a2,则a2=5,b2=20,双曲线的方程是x 25-y220=1.9.(2019南京模拟)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则ba= .答案√2+1解析因为正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b,O为AD的中点,所以C(a2,-a),F(a2+b,b).又因为点C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,所以{a2=pa,b2=2p(a2+b),根据a<b,解得ba=√2+1.10.(2018江苏高考信息预测)如图,直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x分别交于B,C,A,D四点,则|AC|+|BD|= .答案18解析∵圆x2+y2-4x+3=0的半径为1,圆心为(2,0),抛物线y2=8x焦点为(2,0),∴直线y=x-2过抛物线的焦点和圆心,∴|AC|+|BD|=|AD|+|BC|=|AD|+2.联立y=x-2与y2=8x,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=12,∴|AD|=x1+x2+4=16,∴|AC|+|BD|=16+2=18.11.根据下列条件分别求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)过点P(2,-4).解析(1)双曲线的标准方程为x 29-y216=1,故其左顶点的坐标为(-3,0).由题意设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),则-p2=-3,即p=6,故抛物线的标准方程为y2=-12x.(2)设抛物线的方程为y2=mx(m>0)或x2=ny(n<0),分别代入P点坐标求得m=8,n=-1,故所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=-y.12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解析(1)易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到点F的距离.于是,问题转化为求点P到点 A(-1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和的最小值.易知A、P、F三点共线时所求的距离之和取得最小值,故最小值为|AF|=√(-1-1)2+(1-0)2=√5.(2)易知B在抛物线内,设点P到准线的距离为d1,点B到准线的距离为d2,易知d 1=|PF|,d2=4.|PF|+|PB|=d1+|PB|≥d2=4,当且仅当直线PB垂直于准线x=-1时取等号,故|PB|+|PF|的最小值为4.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.设全集U=N *,集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为 .答案 {4,6}2.向量a=(3,m)与b=(m,3)的方向相反,则m= . 答案 -3解析由两向量共线得m 2=9,m=±3,当m=3时,a=b,方向相同,当m=-3时,a=-b,方向相反. 3.△ABC 中,AC=2,BC=3,cos A=-45,则sin B= . 答案 25解析在△ABC 中,cos A=-45,则sin A=√1-cos 2A =35,又AC=2,BC=3,所以由正弦定理可得sinB=ACsinA BC =2×353=25.4.已知函数f(x)=x+4x ,x∈ [1,5],则函数f(x)的值域为 . 答案 [4,295] 5.(2019徐州铜山高三模拟)若直线y=x+2与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为 . 答案 √2解析由题意得ba =1,则双曲线的离心率e=c a =√1+(b a )2=√2.6.(2018江苏南通中学高三考前冲刺)已知圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为2π3的扇形,则这个圆锥的体积为 . 答案 2√23π解析由扇形的半径为3得圆锥的母线长为3,易得扇形的弧长为2π,则圆锥底面圆的半径为1,则该圆锥的高为2√2,体积为13×π×12×2√2=2√23π. 7.已知函数f(x)=ax 2+1bx+c (a,b,c∈Z)是奇函数,且f(1)=2, f(2)<3,则a+b+c 的值为 .答案 2解析由函数f(x)是奇函数得c=0,则f(1)=a+1b=2,则2b=a+1. f(2)=4a+12b <3,即4(2b -1)+12b<3,即b(2b-3)<0,解得0<b<32,又b∈Z,则b=1,a=1,则a+b+c=2.8.若数列{a n }中,各项均为正数,且a 1=2,a n+1=2a n +3×2n ,则数列{a n }的通项公式为 . 答案 a n =(32n -12)×2n解析 a n+1=2a n +3×2n 的两边同时除以2n+1得a n+12n+1=a n 2n +32,即a n+12n+1-a n 2n=32,所以数列{a n 2n }是以a 12=1为首项、32为公差的等差数列,所以a n 2n =1+(n -1)×32=32n-12,所以a n =(32n -12)×2n .9.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD. (1)在平面PAD 内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由; (2)证明:平面PAB⊥平面PBD.解析 (1)取棱AD 的中点M(M∈平面PAD),点M 即为所求的一个点.理由如下: 连接CM.因为AD∥BC,BC=12AD, 所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB 是平行四边形,从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连接BM,AD,所以直线AB与CD相交,因为AD∥BC,BC=12又PA⊥AB,PA⊥CD,所以PA⊥平面ABCD,从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=1AD,所以BC∥MD,且BC=MD,2AD,所以BD⊥AB.所以四边形BCDM是平行四边形,所以BM=CD=12又AB∩AP=A,AB⊂平面PAB,AP⊂平面PAB,所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.。

上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷抛物线

上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷抛物线创作人：百里第次创作日期：202X.04.01 审核人：北堂进行创作单位：明德智语学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【淮南一中等四校高三5月联考】抛物线24x y =的准线方程为（）A.1-=yB.161-=xC.1-=xD.161-=y 2.【百强校】【西安市高新一中高三5月模拟】已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A ．2264(1)25x y -+=B ．2264(1)25x y +-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1x y +-=3. 【宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ，是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A. 4B. 5C. 6D. 114. 已知不过原点的直线l 与2y x =交于A B 、两点，若使得以AB 为直径的圆过原点，则直线l 必过点（）A.()0,1B.()1,0C.()0,2D.()1,0，()1,0-5.【百强校】【南阳市一中高三下学期第三次模拟】已知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，P 是直线MF 与C 的一个交点，若3FM FP =，则PF =（） A ．163 B ．83 C ．53 D ．526.【百强校】【天水市一中高三第五次高考模拟】已知P 是抛物线x y42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN+的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．21+ 7.【改编题】设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|等于( )(A)43 (B)8 (C)83 (D)168.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若MA ·MB =0,则k 等于( )(A)12 (B)22 (C)2 (D)29.【辽宁高考理第10题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．12B ．23C ．34D ．4310.【全国1高考理第10题】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （）A. 27B. 3C. 25 D. 2二、填空题11. 【-上海市金山】若点()8,2-M 在抛物线px y 22=的准线上，则实数p 的值为．12.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）】若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =．13.【吉林市高三第三次模拟考试】已知直线:10l x y -+=与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，且在直线l 下方，则△PAB 的面积的最大值为.14.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．15．【高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为.16.如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________.三、解答题17.已知抛物线2:4E x y =.（1）若直线1y x =+与抛物线E 相交于,P Q 两点，求PQ 弦长；（2）已知△ABC 的三个顶点在抛物线E 上运动.若点A 在坐标原点，BC 边过定点(0,2)N ，点M 在BC 上且0AM BC ⋅=，求点M 的轨迹方程.18.已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F(1，0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)如图所示，若14AM MB =，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．19.【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20．【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（Ⅰ）】（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 21．17.已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（1）证明:OM OP ⋅为定值;（2）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；(3)证明直线PQ 恒过一个定点.22．【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为6.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形创作人：百里第次创作日期：202X.04.01 审核人：北堂进行创作单位：明德智语学校。

江苏高考复习抛物线专题练习(带答案)

江苏高考复习抛物线专题练习（带答案）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，以下是江苏2021-2021高考温习抛物线专题练习，请考生仔细练习。

(2021泰州中学检测)给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下依次记为A，B，C，D，假设线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程.[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1，那么其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有那么(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2，因此|AD|=4(k2+1).依据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，即l方程为x-y-=0或x+y-=0.2.(2021苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC经过原点O.【惯例证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，无妨设A在第一象限，那么易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】由于抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.假定记A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.由于BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.3.(2021南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)假定y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)假定p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，那么可设直线AB 的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)由于AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2021广东高考)抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思绪] (1)由点到直线的距离求c的值，失掉F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求战略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，依据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率区分为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理失掉关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.江苏2021-2021高考温习抛物线专题练习及答案的一切内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。

考点08 曲线方程与抛物线-2020年高考数学附加题专项训练 (江苏专用)(解析版)

考点8 曲线方程与抛物线--2020年高考数学附加题专项训练（江苏专用）一、知识点梳理1、了解曲线与方程的对应关系，了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单的曲线方程；理解求直线与曲线的交点坐标的方法，进一步体会数形结合的思想方法。

2、理解抛物线的标准方程、会求抛物线的标准方程；理解抛物线的简单性质，会利用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

二、例题精选例1、已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，点R (1,2)在抛物线C 上．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于点M ，N ，求线段MN 的长度最小时直线AB 的方程．【解析】 (1) 将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(3分)(2) 设直线AB 的方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1得y 2－4my ＋4(m －1)＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(5分) 设直线AR 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2.例2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，直线l 过点F 且与抛物线相交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．(1) 若直线l 的方程为y ＝43x －23，求直线OA 的斜率；(2) 已知点C 在直线x ＝－p 上，△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，求抛物线的方程．【解析】 (1) 由题意，焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0在直线l 上，所以43×p 2－23＝0，解得p ＝1.所以抛物线的方程为y 2＝2x.将y ＝43x －23与y 2＝2px 联立，消去x 得所以y ＝2或y ＝－12，因为点A 在第一象限，所以点A 的坐标为(2，2)，所以直线OA 的斜率为1.(3分)(2) 依题意，直线l 的斜率存在，且不为零．设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(－p ，y 3)，AB 的中点M(x 0，y 0)．将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2与y 2＝2px 联立，Δ＝4p 2＋4k 2p 2>0，x 1，2＝（k 2p ＋2p ）±Δ2k 2，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2＝2p ＋3，即2pk 2＝3.(5分)MC ＝（x 0＋p ）2＋（y 0－y 3）2＝1＋1k 2||x 0＋p .因为x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p 2k 2＝12p ＋p k 2，所以MC ＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫32p ＋p k 2，将1k 2＝32p代入得，MC ＝1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32.(8分) 又因为△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，所以MC ＝32(2p ＋3)，所以1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32＝32(2p ＋3)，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝23x.(10分)例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：y 2＝4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E 的方程；(2) 若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s ，t)，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B.当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【解析】(1) 因为抛物线C 的方程为y 2＝4x ，所以F 的坐标为(1，0)．设M(m ，n)，因为圆M 与x 轴、直线l 和PF 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2，2n)，则直线PF 的方程为y 2n ＝x －1n 2－1，即2nx －(n 2－1)y －2n ＝0，(2分) 所以圆心M 到直线PF 的距离d ＝|2mn －n （n 2－1）－2n|（2n ）2＋（n 2－1）2＝|n|，即|n ·（2m －n 2－1）|n 2＋1＝|n|. 又m ，n ≠0，所以|2m －n 2－1|＝n 2＋1，即n 2－m ＋1＝0，所以E 的方程为y 2＝x －1(y ≠0)．(4分)令f(t)＝2t 3＋52t ＋12t，t>0，则f′(t)＝6t 2＋52－12t 2＝12t 4＋5t 2－12t 2.。

高中数学苏教版 3.3.1 抛物线的标准方程课后练习、课时练习

一、单选题1. 已知点是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为A．B．C．D．2. 若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（）A．6 B．C．7 D．3. 以为焦点的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．4. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O 为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（）B．1 C．D．A．5. 设，其中，则的最小值为（）A．B．C．D．6. 已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则（）A．4 B．6 C．8 D．10二、多选题7. 已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（）A．B．C．D．8. 已知圆：直线：，下列说法正确的是（）A．直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得B．直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得C．与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题9. 已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为______．10. 已知等腰梯形的顶点都在抛物线上，且，，则点到抛物线的焦点的距离是__________．11. 已知O为坐标原点，M是抛物线准线上的一点，点P在圆上.若MP的中点在圆上，则的取值范围为______.12. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．四、解答题13. 已知椭圆：（）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．(1)求该椭圆的方程；(2)设点坐标为，若过椭圆左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．14. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为；(2)焦点在直线上．15. 已知抛物线的方程为，它的准线过双曲线的一个焦点，且抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程. 16. 分别根据下列条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是；(2)准线方程是．。

(江苏专版)2020版高考数学一轮复习抛物线教案(理)(含解析)苏教版

第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________．解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________．答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________．解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ，又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形．因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点．常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________．解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba＝ 3. 由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y .[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：172考点三直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q.(1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)，所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 2－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________. 解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6，所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立．答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

苏教版高中数学选修电子题库抛物线含答案

1.已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，准线方程是x ＝－p 2，则－p2＝－7，解得p ＝14，故所求抛物线的标准方程为y 2＝28x .答案：y 2＝28x2.抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标是________．解析：y ＝1ax 2(a ≠0)化为标准方程x 2＝ay ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4. 答案：⎝⎛⎭⎫0，a 4 3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p2，将圆的方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1⇒p ＝2.答案：2 4.(2010·高考上海卷)动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P 的轨迹是以点F (2，0)为焦点，以直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，得出抛物线方程为y 2＝8x ，即为所求．答案：y 2＝8x[A 级基础达标]1.以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2＝16x .答案：y 2＝16x2.抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的准线方程为________．解析：抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的焦点坐标及准线方程与a 的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y 轴上，∴准线方程为y ＝－4a4，即y ＝－a .答案：y ＝－a3.抛物线y ＝12x 2的焦点到准线的距离为________．解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124，故焦点到准线的距离为124. 答案：1244.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：如图，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝3.CD ＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54，即线段AB 的中点到y 轴的距离为54.答案：545.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心M 到直线l 的距离为d ，则MA ＝d .由抛物线的定义，M 的轨迹为抛物线，以A (3，0)为焦点、直线l 为准线，方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x6.(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m ，4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， ∴抛物线的方程为标准方程．又∵点P (4，2)在第一象限，∴抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)．当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ；当抛物线为x 2＝2py 时，则有42＝2p ×2，故2p ＝8，x 2＝8y . 综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y .(2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12；∴抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.7.抛物线的顶点是椭圆16x 2＋25y 2＝400的中心，而焦点是椭圆的右焦点，求此抛物线的方程．解：椭圆方程可化为x 225＋y 216＝1，c 2＝25－16＝9，c ＝3，故中心(0，0)，右焦点为(3，0)．设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝3，故p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝12x .[B 级能力提升]8.(2010·高考浙江卷)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，所以点B 到抛物线准线的距离为342.答案：3429.若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．解析：把双曲线x 23－16y 2p 2＝1化为标准形式x 23－y 2p 216＝1，故c 2＝3＋p 216，c ＝3＋p 216＝48＋p 24，左焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫－48＋p 24，0，由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－48＋p 24，又抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，所以－48＋p 24＝－p 2，解得，p ＝4或p ＝－4(舍去)．故p ＝4.答案：410.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x . 又双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴ 94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍去)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.11.(创新题)已知抛物线x 2＝4y ，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为(12，6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值．解：将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36>6，所以点A 在抛物线外部．抛物线焦点为F (0，1)，准线l ：y ＝－1.如图所示，过P 点作PB ⊥l 于点B ，交x 轴于点C ，则P A ＋PC ＝P A ＋PB －1＝P A ＋PF －1.由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，P A ＋PF 的值最小，所以P A ＋PF 的最小值为F A ＝13，故P A ＋PC 的最小值为12.。

数学知识点苏教版高中数学(选修2-1)2.4《抛物线》word教案-总结

抛物线知识导学一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）．二、抛物线的标准方程1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式（抛物线标准方程的具体推导过程见教材）：（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2px =-，其开口方向向右；（2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =，其开口方向向左；（3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2py =-，其开口方向向上；（4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =，其开口方向向下．其中抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离．注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似212y x p=的形式，应按本部分要求记作：22x py =．如求抛物线22y px =的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：212x y p=，然后得其焦点坐标为108p ⎛⎫⎪⎝⎭，．2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程．三、抛物线的几何性质1右侧其中抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴．如右图，抛物线标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，过点F 作垂直于对称轴（x 轴）的直线交抛物线于12M M ，两点，计算得12M M ，两点坐标为22p p p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，可知线段12M M 的长为定值2p ，只与焦参数p 有关．线段12M M 叫做抛物线的通径．2．与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点：（1）抛物线可以无限延伸，但无渐近线．（2）抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形，离心率为1，是固定的．（3）抛物线的开口大小与离心率无关，与p 的大小有关，p 越大则开口越大，反之则越小．（4）抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为2p ．抛物线中的思维误区一、对抛物线的定义模糊导致错误例1 若动点P 与定点(11)F ，和直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线 D ．直线误：由抛物线的定义，可知选（C ）．析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点(11)F ，在定直线:340l x y +-=上．正：设动点P 的坐标为()x y ，，则=整理，得320x y -+=．所以动点P 的轨迹为直线，选（D ）．二、忽视标准方程的种类导致错误例2 求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程．误：设抛物线22(0)y px p =->，将(24)P --，代入，得4p =．故抛物线的标准方程为28y x =-．析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程.正：还有一种情形设22(0)xpy p =->，求得标准方程为2x y =-．所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．三、对直线与抛物线一个交点认识不清例3 求过点(01)M ，且和抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程．误：设所求直线方程是1y kx =+．由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10kx k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =．故所求的直线方程为1y x =+．析：由于过点(01)M ，的直线l 的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解．正：（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为0x =，显然与抛物线C 仅有一个公共点．（2）当直线l 的斜率为零，其方程为1y =，显然与抛物线C 仅有一个公共点．（3）当直线l 的斜率为(0)k k ≠，设所求直线方程是1y kx =+．由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10kx k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点， 224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =．故所求的直线方程为1y x =+．综上可知，所求的直线方程为011x y y x ===+，，．四、对于多解认识不清例4 求顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为8的抛物线方程．误：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上， ∴设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，． ∵通径82p = ∴所求的抛物线方程为28y x =．析：错因只考虑到焦点在x 轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x 轴负半轴的情形，故产生了漏解．正：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，可设抛物线方程为22y ax =．又通径为82a =，∴28a =±．故所求的抛物线方程为28y x =±．抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具．本文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助 1、求最值例1 设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；（2）若B 点的坐标为（3，2），求PB PF +的最小值．解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P 点．故最小值为（2）如图2，自点B 作BQ 垂直于准线，交点为Q ，交抛物线于点1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4．点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解．2、求曲线的方程例2 圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．解析：如图3，设圆心为P 且A F ，为切点，由PA PF =，结合抛物线的定义知F 为抛物线的焦点，即102F ⎛⎫⎪⎝⎭，，因此112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且圆的半径1r =．故所求方程为221(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．3、确定方程的曲线例3 3x y =-+表示的曲线是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：方程变形为．它表示“点()M x y ，与点(31)F -，的距离等于它到直线30x y -+=的距离”，根据抛物线的定义知，M 的轨迹是抛物线．故选（D ）．点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行． 4、求三角形面积例4 设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ △的面积．解析：如图4，不妨设抛物线方程为24y ax =，1122()()P x y Q x y ，，，，由抛物线定义知12122PQ PF QF x a x a b x x b a =+=+++=⇒+=-．由2114y ax =，2224y ax =，得2222121224(2)44y y b a y y a b a a a+=-⇒+=-．又由于PQ 为过焦点的弦，因此212y y a =-．故21y y -==因此，2112OPQ S OF y y =-= △ 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路．本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌握．抛物线的焦半径公式一、抛物线的焦半径公式如图，设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 的方程为2p x =-．设00()P x y ，为抛物线上任意一点，PA l ⊥，A 为垂足．由抛物线定义，得0022p p PF PA x x ⎛⎫==--=+ ⎪⎝⎭．02p P F x=+即为抛物线22(0)y px p =>的焦半径公式．抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便．二、焦半径公式应用举例例１设抛物线24y x =的焦点弦的两个端点分别为11()A x y ，和22()B x y ，，若126x x +=，那么AB =______．解：设焦点为F ，由2p =，利用焦半径公式，得121262822p p AB AF BF x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例2 抛物线22(0)y px p =>上有112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，三点，F 是它的焦点，若AF BF CF 、、成等差数列，则（）A ．123x x x ，，成等差数列B ．132x x x ，，成等差数列C ．123y y y ，，成等差数列D ．132y y y ，，成等差数列解：由抛物线的焦半径公式，得12p A F x=+，22p BF x =+，32p CF x =+， ∵AF BF CF 、、成等差数列，∴1322222p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1322x x x +=，即123x x x ，，成等差数列．故选（Ａ）．例3 过抛物线28y x =的焦点的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，已知10AB =，O 为坐标原点，则OAB △的重心的横坐标是______．解：设1122()()A x y B x y ，，，，原点(00)O ，，4p =． ∵121241022p p AB x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴126x x +=．∴OAB △的重心的横坐标是1206233x x ++==．例4 设抛物线24y x =的焦点弦被焦点分为长是m 和n 的两部分，求m 和n 的关系．解：设抛物线24y x =的焦点弦的端点为1122()()A x y B x y ，，，，则11m x =+，21n x =+，焦点为(10)F ，，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=．∴121x x = ．∴12121212(1)(1)111m n x x x x x x x x m n =++=+++=+++=+ ，即m n m n += ．当k 不存在时，121x x ==，4m n m n ==+．综上，有m n m n =+ ．。

2020高考数学冲刺复习- 抛物线-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(含解析)

2020高考数学冲刺复习考点44 抛物线1．（江苏省苏州市2019届高三5月高考信息卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e = 本题正确结果：132．（江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试）椭圆T ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．【解析】依题意可得1BC AD AB a k k k b==-=，因为过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），所以直线BC ：a y x b b =+，直线AD ：()ay x a b=-．由()4423222222220ay x bba x ab x bb x a y a bì=+ï?+=íï+=î，所以3232444422C B C a b a b x x x b a b a--+=⇒=++. 由()4425624222222()20ay x a ba x a x a ab bb x a y a bì=-ï?-+-=íï+=î，所以62444A D a a b x x a b -⋅=+，5444D a ab x b a-=+. 因为()210C aCB x b 骣琪=+?琪桫，()21D aAD a x b 骣琪=+?琪桫，由3BC AD =可得33D C x x a -=，所以223a b =，椭圆T 的离心率22161133b e a =-=-=6。

2020版高考数学一轮复习课时训练(四十九)抛物线理(含解析)苏教版(2021-2022学年)

课时跟踪检测(四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOｙ中,若抛物线y2=2ｐｘ(ｐ>0）上横坐标为2的点到焦点的距离为4,则该抛物线的准线方程为＿_____＿_.解析：抛物线y2＝2px(p>0）的焦点坐标为错误!未定义书签。

，准线方程x＝－错误!,由抛物线的定义可知,２+＼f(ｐ,2)＝４,则p＝４，∴抛物线的准线方程为x=-2。

答案：x＝-22．(２018·扬州期末)若抛物线ｙ2=2px(ｐ>0）的焦点也是双曲线x2－y２=８的一个焦点,则p=______＿＿。

解析:抛物线y2＝2px的焦点为错误!未定义书签。

，双曲线x２－ｙ２＝8的右焦点为（4,0)，故错误!未定义书签。

＝4，即p=8.答案:83．已知P为抛物线y2=8x上动点,定点Ａ(3,１),F为该抛物线的焦点,则ＰF+PA的最小值为________.解析:易知点A在抛物线内部,抛物线的准线方程为x＝-2,过点P作准线的垂线,垂足为M，则PF+PA＝PM＋PA,当A,P，Ｍ三点共线时取得最小值,所以PF+ＰA=3-（-2)＝5.答案:54.(201８·前黄中学检测)已知抛物线ｙ2=2px(ｐ>０）的准线经过点（－１，1），则该抛物线焦点坐标为_＿____＿_．解析:由于抛物线ｙ２＝2ｐx(ｐ＞０)的准线方程为x＝－错误!，由题意得－错误!＝－1,ｐ=2,所以焦点坐标为错误!未定义书签。

答案:错误!５．已知点Ｐ在抛物线y2＝4ｘ上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为错误!，则点P 到x轴的距离为＿＿___＿__．解析:设点P的坐标为(x P,yＰ）,抛物线y2＝4ｘ的准线方程为x＝-1,根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＼f（ｘP，x P－-１)＝＼f(１,2）,解得ｘＰ=１，所以ｙ错误!=4,所以|y P｜=2.答案：26.(20１9·连云港模拟)设抛物线ｙ2＝２ｘ的焦点为Ｆ，过点M （错误!未定义书签。

2020年高中数学课时作业本抛物线的标准方程(含答案)

2020年高中数学课时作业本抛物线的标准方程1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是( )A.y 2=-8xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=4x2.抛物线y=12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( )A.3B.6C.148D.1243.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22=1的右焦点重合，则p 的值为( ) A.-2 B.2 C.-4 D.44.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.若抛物线y 2=8x 上的一点P 到其焦点的距离为10，则P 点的坐标为________.6.动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x ＋2=0相切，则动圆必过点________.7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为________.8.已知圆x 2＋y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p ＞0)的准线相切，则p=________.9.根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2=144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y=－3与抛物线交于点A ，AF=5.10.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d，A(-1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.答案解析1.答案为：C ；解析：显然由准线方程x=-2，可知抛物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p=4，所以标准方程为y 2=2px=8x.2.答案为：C ；解析：将方程化为标准形式是x 2=112y ，因为2p=112，所以p=124.故到焦点的距离最小值为148.3.答案为：D ；解析：椭圆右焦点为(2,0)，∴p 2=2.∴p=4.4.答案为：C ；解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为12(|AF|＋|BF|)-14=32-14=54.5.答案为：(8，±8)；解析：设P(x P ，y P )，∵点P 到焦点的距离等于它到准线x=-2的距离，∴x P =8，y P =±8.故P 点坐标为(8，±8).6.答案为：(2,0)；解析：动圆恒与直线x ＋2=0相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0).7.答案为：y 2=－8x解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x 轴上，且过p(－3，m)，可设抛物线方程为y 2=－2px(p>0)，由抛物线的定义可知，3＋p 2=5.∴p=4.∴抛物线方程为y 2=－8x. 8.答案为：2；解析：由x 2＋y 2-6x-7=0，得(x-3)2＋y 2=16，∴x=-p 2=-1，即p=2.9.解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216=1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2=－2px(p>0)，且－p 2=－3，∴p=6，∴ 方程为y 2=－12x.(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2=2px(p ≠0)，A(m ，－3)，由抛物线定义，得5=AF=⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2=2pm ，∴p=±1或p=±9，故所求抛物线方程为y 2=±2x 或y 2=±18x.10.解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1.由抛物线的定义，知|PF|=d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12= 5.(2)把点B的横坐标代入y2=4x中，得y=±12，因为12>2，所以点B在抛物线内部.自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).由抛物线的定义，知|P1Q|=|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|=|BQ|=3＋1=4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

江苏专用高中数学课时分层作业10抛物线的标准方程苏教版选修1_1

课时分层作业(十) 抛物线的标准方程(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．抛物线y 2＝4x 的准线方程为________．【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1. 【答案】 x ＝－12．若椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线上，则p ＝__________.【导学号：95902133】【解析】由椭圆标准方程知a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆的左焦点为(－1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线上，所以－p2＝－1，故p ＝2.【答案】 23．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．【解析】由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 64．抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标为________．【解析】抛物线y ＝1a x 2的标准形式为x 2＝ay ，故焦点在y 轴上，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 45．若抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的右焦点，则实数a 的值为__________.【导学号：95902134】【解析】抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，则双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的右焦点也为(2,0)，从而a 2＋3＝4解得a ＝±1，因为a ＞0，故舍去a ＝－1，所以a ＝1.【答案】 16．焦点在y 轴上，且抛物线上一点A (m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为________．【解析】设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，∵A (m,3)到焦点的距离为5，∴p2＋3＝5，∴p ＝4，∴抛物线为x 2＝8y . 【答案】 x 2＝8y7．已知开口向下的抛物线上一点Q (m ，－3)到焦点的距离等于5，则该抛物线的标准方程为________.【导学号：95902135】【解析】 ∵Q (m ，－3)到焦点的距离等于5.∴Q 到准线的距离也等于5. ∴准线：y ＝2，即p2＝2，∴p ＝4.即：抛物线标准方程为：x 2＝－8y .【答案】 x 2＝－8y8．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)，因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.【答案】 4 二、解答题9．若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，求点M 的轨迹方程．【解】由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知，动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p ＞0)的形式，而p 2＝12，所以p＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．10．(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试给出FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式；(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，求|FA →|＋|FB →|＋|FC →|.【导学号：95902136】【解】 (1)由抛物线方程y 2＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义得FP 1＝x 1＋p 2，FP 2＝x 2＋p 2，FP 3＝x 3＋p2，则FP 1＋FP 3＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p ，因为x 1＋x 3＝2x 2，所以FP 1＋FP 3＝2x 2＋p ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝2FP 2，从而FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式为FP 1＋FP 3＝2FP 2.(2)设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知2p ＝4，p ＝2，F (1,0)，又FA →＋FB →＋FC →＝0，则有x A －1＋x B －1＋x C －1＝0，即x A ＋x B ＋x C ＝3. 由抛物线的定义可知，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x C ＋p 2＝(x A ＋x B ＋x C )＋3×p 2＝3＋3＝6.[能力提升练]1．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④2．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝________.【导学号：95902137】【解析】由抛物线定义得PF ＝PA ，又由直线AF 的斜率为－3可知，∠PAF ＝60°，所以△PAF 是等边三角形，即PF ＝AF ＝4cos 60°＝8.【答案】 83．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．【解析】因为抛物线方程为y 2＝4x ，则准线方程为x ＝－1.设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由图可知(图略)，PM ＝x 0＋1＝5.所以x 0＝4，把x 0＝4代入y 2＝4x ，解得y 0＝±4，所以△MPF 的面积为12PM ×y 0＝12×5×4＝10.【答案】 104．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，点F 是抛物线的焦点，求PB ＋PF 的最小值．【解】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1，0)的距离之和最小．显然，连接AF 交曲线于P 点，故最小值为22＋1＝ 5.(2)如图，过B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1，此时，P 1Q ＝P 1F ，那么PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4，即PB ＋PF 的最小值为4.。

2020年高考复习数学课时作业99：抛物线

5．已知点 P(x0，y0)是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，Q 是圆 C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1 上的一个动点，则 x0＋|PQ|的最小值为( A．2 5－1 二、填空题 6．抛物线 y 2 px （ p 0 ）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 p
2
) D．4
p x＋ 2 y p 【解析】设 M(x，y)，则由题意，得＝2，＝2，则 x＝4－，y＝4.又点 M 在抛物线 C 2 2 2 p 上，所以 42＝2p 4－2，解得 p＝4，故选 D. 5．【答案】C 【解析】设抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)，过点 P(x0，y0)作准线 l：x＝－1 的垂线，垂足为 N，则 x0＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|CF|－2＝ 1＋2
抛物线 1 一、选择题 1．若抛物线 y2＝2px 上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8 x D．y2＝10x 2．已知直线 y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA| ＝2|FB|，则 k 的值为( 1 A. 3 B. 2 3 ) 2 2 C. 3 2 D. 3 )
抛物线 1 答案一、选择题 1．【答案】C p 【解析】由题意可知 p>0，因为抛物线 y2＝2px，所以其准线方程为 x＝－，因为点 P(2， 2 p y0)到其准线的距离为 4，所以|－－2|＝4，所以 p ＝4，故抛物线方程为 y2＝8x。故选 C。 2 2．【答案】C
【解析】设抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l：x＝－ 2，直线 y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2,0)，如图过 A，B 分别作 AM⊥l 于 M，BN⊥l 于 N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点 B 为 AP 的中点， 1 连接 OB，则|OB|＝ |FA|，所以|OB|＝|BF|，点 B 的横坐标为 1，故点 B 的坐标为(1,2 2)，把 2 2 2 B 点坐标代入直线方程得 k 的值为。 3 3．【答案】C 【解析】由题意，因为两条曲线交点的连线过点 F， p 所以两条曲线的一个交点为 2，p ， p2 4 p2 代入双曲线方程得 2－ 2＝1， a b p 又＝c， 2 c2 c2 所以 2－4× 2＝1，化简得 c4－6a2c2＋a4＝0， a b 所以 e4－6e2＋1＝0，所以 e2＝3＋2 2＝(1＋ 2)2，所以 e＝ 2＋1，故选 C。 4．【答案】D

苏教版高中数学选修(1-1)课件抛物线复习

抛物线的有关应用
抛物线的几何性质
抛物线的定义
平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离的动点的轨迹叫做抛物线。
点点距点线距,即：| MF | d,e | | MF | 1 d
抛物
焦点x在轴上
线的 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0)
标准 y 方程 O
高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
复习目标
掌握抛物线的知识结构，明确其重点是直线与抛物线的位置关系.
掌握抛物线的定义及其标准方程，巩固掌握应用抛物线的定义分析解决问题的一般方法.
掌握抛物线的几何性质，特别是抛物线的特殊点、特殊线的特征及其内在联系.
抛物线的定义
抛物线
抛物线的标准方程
y
O
x
注意：
抛物线与二次函数图像、抛物线方程与二次函数的关系.
例题 1.抛物线y 4ax2 (a 0)的焦点坐
标为
，准线方程为
.
2.抛物线的C过点P(6, 3),求抛
物线C标准方程 .
(0, 1 ) y 1
16a
16a
y2 3 x或x2 12 y 2
思考：抛物线y ax2 bx c(a 0)的焦
一对称轴一准线
离心率焦准距半通径长
特别提醒
抛物线是由一个独立条件确定
抛物线标准方程的求法：直接法、待定系数法—先定位、后定量
抛物线及其点、线的
坐标(方程)与坐标系有关
抛物线及其点、线的
定性、定量关系与坐标系无关
特别提醒
抛物线与直线的位置关系：
注意：抛物线与直线的中点弦、平行弦、弦长等问题的常规解法与椭圆、双曲线中类似，但也不完全相同.

2020届一轮复习苏教版抛物线作业

1．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．82．（2016新课标全国I 理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．83．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．104．（2016浙江理科）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______________． 5．（2017新课标全国II 理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．6．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．7．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．8．（2016新课标全国III 理科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．（2018北京理）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．1．【答案】C【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出,M N 的中点的横坐标，再求出线段MN 的中点到抛物线的准线的距离． 2．【答案】C【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点()44-，，∴设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y p x =-（0p >），将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程，求得p 即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点()44-，，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C 符合题意. 3．【答案】C【解析】由抛物线的定义知00524p MF y y =+=，解得02y p =，又点()01,M y 在抛物线C 上，代入22x py =解得011,2y p ==.过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,则tan tan FAM AME ∠=∠=14554AE ME==. 故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出011,2y p ==，再过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,最后解直角三角形AME 得tan FAM ∠的值. 4．【答案】B【解析】设过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y ，两点，则12AB x x p =++，又因为以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，所以1268AB x x p p =++=+=，解得2p =.故选B.【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. 5．【答案】D【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.1．【答案】A 【解析】抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p ∴=，即2p =，12p∴=，则准线方程为1y =-.故选A.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题. 2．【答案】C【解析】若“0mn <”，则2n x y m =-中的0nm->，所以“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”，则2n x y m=-中的0nm->，即0mn <，则“0mn <”成立，故是充分必要条件.故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断. 3．【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则2p =8,所以抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x .故选C. 4．【答案】B 【解析】抛物线y 2＝4x ，2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，4MF ∴=，即有42M px +=，3M x ∴=. 故选B.【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解. 5．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x =12-，当MQ ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+12|=52. 6．【答案】D【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出M 的坐标，求出周长，所以只需设出M 的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长. 7．【答案】D【解析】由题意得1(,0)2F ，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得13214m +=，则14m =，所以3,34FA FB ==，所以9cos04FA FB FA FB ⋅==．故本题选D . 8．【答案】A【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. 9．【答案】D【解析】过A ,B 分别作抛物线准线的垂线AQ ,BP ,垂足分别为Q ,P ,设|AF|=a ,|BF|=b ，则由抛物线的定义，得|AQ|=a ,|BP|=b ,所以|HN|=.在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2=a 2+b 2-2ab cos 60°=a 2+b 2-ab ，所以a b HN AB +====,因为a+b ≥2,所以1≤,当且仅当a =b 时等号成立,故HNAB的取值范围为(0,1].故选D.10．【答案】4【解析】由双曲线﹣y 2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则22p=,所以p=4. 11．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+，依据题设可得595222p p p +=+⇒=，则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填10.12．【答案】12【解析】由题意可设()(),1,A m D m ，因此点A到抛物线的焦点的距离是23412p m +=+=. 13．【答案】【解析】依题意得焦点F 的坐标为(,0),设M 在抛物线的准线上的射影为K ,连接MK ,由抛物线的定义知|MF |=|MK |,因为|FM |∶|MN |=1∶3,所以|KN |∶|KM |=2∶1,又01404FN k a a --==-,k FN =-=-2,所以4a=2,解得a =.14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，15．【解析】(1)设()()1122,,,M x y N x y ,则128x x p +=-,而12p MF x =+,22pNF x =+, ∴128MF NF x x p +=++=. (2)当p =2时,抛物线方程为24y x =. ①若直线MN 的斜率不存在,则B (3,0).②若直线MN 的斜率存在,设A (3,t )(t ≠0),则由(1)知21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，整理得()2212124y x y x =--,∴()1212124y x y x y y +--=⋅,即2MN k t=,∴直线()2:3MN y t x t-=-, ∴B 点的横坐标为232t -,由22(3)4y t x t y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2222120y ty t -+-=,由Δ>0得0<t 2<12,∴232t -∈(−3,3).综上,点B 的横坐标的取值范围为(]3,3-.【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键. 16．【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则=2px 1,=2px 2.则直线AB 的方程为()11122py y x x y y -=⋅-+,∴y =·x -·+y 1=·x +.又y 1y 2=-4p 2,∴y =·x -(x -2p ).∴直线AB 过定点(2p ,0).17．【解析】(1)由题意设抛物线方程为22(0)x py p =>，其准线方程为2py =-，1121k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+()44x k -+=()1244k x k k ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，化简得12y k x k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭4142k k k k ⎛⎫-=--⎪⎝⎭()48x ++. ∴直线DE 过定点()4,8-.【名师点睛】（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.（2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法：①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分离参数法：一般可以根据需要选定参数λ∈R ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式()()()2123,,,0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，()(),1,2,3i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组()()()123,0,0,0f x y f x y f x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.1．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果. 2．【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =(p >0)，圆的半径为r ,,AB DE 分别交x 轴于,C F 点，则||AC =A 点纵坐标为A 点横坐标为4p ，即4||OC p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||||AC OC AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. 3．【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 4．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离． 5．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 6．【答案】2【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．8．【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-．记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ．（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，9．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 10．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以2212121212122224112()111111=21 11(1)(1)11M Nkx x x x x x k k y y k x k x k x x kkλμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．。

(江苏专用)2020版高考数学总复习第十章第四节抛物线课件苏教版

据条件判断抛物线的焦点在x轴上还是在y轴上,还是两种情况都有可能,在正半轴上还是负半轴上;②设方程:依据上面的判断设出相应的标准方程;③找条件:依据已知条件建立方程(组);④得方程:解方程(组),将所得的解代入所设方程中,即可得到抛物线的方程.
角度二抛物线的几何性质
典例3 (1)(2018苏锡常镇四市高三调研)在平面直角坐标系xOy中,点P
∴ ac =2,即 ac22 = a2a2b2 =4,
∴ ba22 =3,即 ba = 3 .
抛物线x2=2py的焦点坐标为 0, 2p

,双曲线 ax22 - by22 =1的渐近线方程为y=± ba
x,即y=± 3 x.
p
由题意得
2 2
=2,∴p=8.故抛物线C2的方程为x2=16y.
| 4 0 6 | +1=2+1=3.
16 9
深化练已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点, 过A、B分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D,则|AC|+|BD|的最小值为
.
答案 2
解析由题意知,焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=| AB|-2. 由抛物线的定义知,当|AB|为通径,即|AB|=4时,|AB|最小,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
渐近线上,则 b =2,双曲线的离心率e= c =
a
a
1

b a
2
= 5
.
方法技巧抛物线的性质的应用技巧 (1)利用抛物线的方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线的方程化成标准方程. (2)要灵活运用数形结合的思想.

苏教版高中数学选修电子题库抛物线含答案(1)

1.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线的方程是________．解析：据题意设所求平行直线方程为3x －2y ＋c ＝0，又直线过抛物线y 2＝2x 的焦点⎝⎛⎭⎫12，0，代入求得c ＝－32，故直线方程为6x －4y －3＝0.答案：6x －4y －3＝02.设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m4＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 答案：y 2＝8x 或y 2＝－16x3.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2⇒y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x . 答案：y 2＝4x4.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为________．解析：由已知可得直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，联立直线与抛物线方程消元得：3x 2－10x ＋3＝0，解之得：x 1＝3，x 2＝13(据题意应舍去)，由抛物线定义可得：AF ＝x 1＋p2＝3＋1＝4.答案：4[A 级基础达标]1.已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．解析：∵抛物线y ＝ax 2，∴x 2＝1a y 的准线方程是y ＝－14a ，依题意得－14a ＝1，∴a ＝－14.答案：－142.抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．解析：由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝13，∴抛物线方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：依题意，设点M (x ，y )，其中x >0，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2xx 2＋y 2＝3x >0，由此解得x ＝1，又该抛物线的准线方程为x ＝－12，结合抛物线的定义，点M 到该抛物线的焦点的距离等于1＋12＝32.答案：324.直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6，∴AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8，∴梯形APQB 的面积为48.答案：48 5.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (－1，－1)，代入抛物线方程得p ＝12，抛物线x 2＝－y ，代点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.答案：2＋2 26.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴AB ＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2.∴抛物线的标准方程为y 2＝±42x .7.过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，求AFFB 的值．解：直线方程为y －p 2＝33x ，则x ＝3⎝⎛⎭⎫y －p2，代入抛物线x 2＝2py ，得3y 2－5py ＋3p 24＝0，解得y 1＝3p 2，y 2＝p6，根据抛物线的定义得AF FB ＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.[B 级能力提升]8.等腰直角三角形OAB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 是抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为________．解析：设等腰直角三角形OAB 的顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，由OA ＝OB ，则x 21＋y 21＝x 22＋y 22，∴x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0， ∵x 1>0，x 2>0，2p >0，∴x 1＝x 2，即A 、B 关于x 轴对称．故直线OA 的方程为：y ＝x tan45°，即y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x ，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p y ＝2p ，故AB ＝4p ，等腰三角形OAB 的面积为12×2p ×4p ＝4p 2.答案：4p 29.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中能得出抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)．解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)；对于③，由焦半径公式r ＝1＋p2＝6，∴p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件；对于④，2p ＝5，此时y 2＝5x ，不符合题意；对于⑤，设焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则由题意，满足12·1－02－p2＝－1.解得p ＝5，此时y 2＝10x ，所以②⑤能使抛物线方程为y 2＝10x .答案：②⑤10.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m 时，水面宽为8 m ，一木船宽4 m 高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：如图所示建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，过点(4，－5)，∴16＝－2p (－5)，∴2p ＝165，∴抛物线方程为x 2＝－165y ，x ＝2时，y ＝－54，∴相距为34＋54＝2时不能通行．11.(创新题)已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点．若A 、B 在抛物线准线l 上的投影分别为A ′、B ′，求∠A ′FB ′的大小．解：由定义知AF ＝AA ′，BF ＝BB ′， ∴∠AA ′F ＝∠A ′F A ， ∠FB ′B ＝∠B ′FB .又∵∠BB ′F ＝∠B ′FM ，(如图) ∠AA ′F ＝∠A ′FM ，∴∠B ′FM ＝∠B ′FB ，∠A ′FM ＝∠A ′F A ， ∴∠A ′FM ＋∠B ′FM ＝∠B ′FB ＋∠A ′F A ， ∴∠A ′FM ＋∠B ′FM ＝90°， ∴∠A ′FB ′＝90°.。

(江苏专用)高考数学总复习专题10.3 抛物线试题(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题10.3 抛物线【三年高考】1. 【2017课标1理10改编】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为.【答案】16【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||cos p AB α=，则2222||sin cos ()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+= 2. 【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 的中点，则FN =。

【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，做MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。

【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。

如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。

因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。

3．【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程. 【答案】(1)证明略；(2)直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=.或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】所以2210m m --=，解得1m =或12m =-. 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M 10M 的方程为()()223110x y -+-=.当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半径为85，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【考点】直线与抛物线的位置关系；圆的方程【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部.4．【2017某某，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 【答案】（1）22413y x +=，24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m -.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD△的面积为，故22162232||2m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||3m =，所以3m =±. 所以，直线AP的方程为330x +-=，或330x --=. 【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 5．【2017，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.【答案】（Ⅰ）方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-.（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点P 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON 的方程为22y y x x =，联立求得点B 的坐标2112(,)y yx x ，证明1211220y y y x x +-=.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.6.【2017某某，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值X 围；（Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716【解析】试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则2121412-=+-=x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值X 围是)1,1(-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|PA 211)2k x ++=)1(12++k k|PQ |= 1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|PA ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．7. 【2016年高考某某理数改编】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为．【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由已知得13FM FP =，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22112122OM t k t t t ∴==≤=++，()max2OM k ∴=．考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．8．【2016高考某某理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】9 【解析】试题分析：1109M M x x +=⇒= 考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离． 9．【2016高考新课标1卷改编】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为．【答案】4考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.10．【2016高考某某理数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y =，由//CF AB 得EF CFEA AB =，即2EF CFEA AF==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=所以132p ⨯=p =考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 11．【2015高考某某，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是_______.【答案】11BF AF --【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF . 12.【2015高考某某，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp ==【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，看出，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5分．2018年对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，三种题型均有可能，与向量等知识综合命题的趋势较强，分值最多为5分，．故在备考时应加强对概念和性质的理解和掌握，能够根据抛物线的标准方程得出几何性质.【2018年高考考点定位】高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题. 【考点1】抛物线的定义【备考知识梳理】1.抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 【规律方法技巧】1.抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一条定直线l (抛物线的准线)；一个定值1(点M 与定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于1)．2. 常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.【考点针对训练】1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF=．【答案】3【解析】由题可知，设),(11y x A ，),(22y x B ，于是根据抛物线的简单性质有，38sin 2||221p p p x x AB ==++=θ，3521p x x =+，又因为4221p x x =，可得6,2321px p x ==，于是362223|BF ||AF |=++=p p pp .2.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =___________. 【答案】3【解析】如图所示，因为FQ PF 4=，故34PQ PF =，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF ==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==．xy –1–2–3–41234–1–2–3–41234O F【考点2】抛物线的标准方程与几何性质【备考知识梳理】 1. 抛物线的标准方程与几何性质焦点在x 正半轴上焦点在x 负半轴上焦点在y 正半轴上焦点在y 正半轴上标准方程22y px =（0p >）22y px =-（0p >） 22x py =（0p >） 22x py =-（0p >）【规律方法技巧】1.p 的几何意义：p 是焦点到准线的距离，故p 恒为正.2.焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可以统一写成2(0)y ax a =≠；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可以统一写成2(0)x ay a =≠. 3.焦点的非零坐标是一次项系数的14，准线方程中的常数为一次项系数的-14. 4.求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为p ，写出抛物线的标准方程，（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：①判定是否在原点；②确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；③根据条件列出关于p 的方程，解出p 值，即可写出标准方程.5.抛物线22y px =（0p >）上点的坐标可设为（20,2y y p），在计算时，可以降低计算量. 【考点针对训练】1.已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C相交于点M ，与其准线相交:KM MN =于点N ，若则a 的值等于________________. 【答案】4 【解析】(,0),:4aF MF MK KM MN =∴=，42421:2:=∴=∴=a a KM KN ． 2.已知点 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为_________________. 【答案】2【解析】由抛物线定义| MF | + | NF | =61164M N M N x x x x ⇒+++=⇒+=，所以MN 中点的横坐标为22M Nx x +=．【考点3】直线与抛物线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为22y px =（0p >），直线0Ax By C ++=，将直线方程与抛物线方程联立，消去y 得到关于x 的方程20mx nx p ++=. (1) 若m ≠0，当△＞0时，直线与抛物线有两个交点.当△=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切. 当△＜0时，直线与抛物线无公共点.（2）当m =0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行. 【规律方法技巧】1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A 、B 两点(如右图所示)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2.（4）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p .3.直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．4．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.5．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，直线y=k （x+2）与抛物线交于A ，B 两点，则直线FA 与直线FB 的斜率之和为__________________. 【答案】0【解析】由题可知，如图，)0,2(F ，设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎩⎨⎧=+=xy x k y 8)2(2，化为04)84(2222=+-+k x k x k ，由于0>∆，所以4,48212221=-=+x x kk x x ，因此，直线FA 与直线FB 的斜率之和为0)2)(2()2)(2()2)(2(222112212211=---++-+=-+-x x x x k x x k x y x y .2.已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）．过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是__________．【答案】3[,)2r ∈+∞【解析】与抛物线交于)2,1(±，与圆交于),1(r ±，满足题设.设直线l ：1+=my x （1）代入x y 42=，得0442=--my y ，)1(162+=∆m ，把（1）代入222)1(r y x =+-得2221m r y +=，设),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x A ，||||BD AC =，即4231y y y y -=-，即4321y y y y -=-，即2)1(21214222>+=⇒+=+m r m r m ，即2>r 时，l 仅有三条.考查四个选项，只有D 中的区间包含了),2(+∞，即),23[+∞∈r 是直线l 仅有三条的必要条件．【两年模拟详解析】1．【2017届某某市、某某市高三二模】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k PF 的长为________．【答案】6【解析】由抛物线方程为26y x =，所以焦点坐标因为AF 的斜率为，所以直线AF 的方程为因为,PA l A ⊥为垂足，所以点P 可得P 点的坐标为2．【某某省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试数学（文）】在平面直角坐标系xOy中,双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的右支与焦点为F的抛物线22(0)x py p=>交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_________.【答案】22y x =±3．【某某市2017届高三三调】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（）经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是____．【答案】【解析】抛物线的焦点为：（2,0）所以双曲线的a=2，又b=1，故离心率为：4．【某某省某某市2017届高三第二次模拟考试数学（理）】如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．【答案】4【解析】试题分析：解：设点的坐标为：，由题意可知：，由抛物线中定值的结论可知：，据此可知：，当且仅当时等号成立，即的最小值为4.点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.5．【某某省孝义市2017届高三下学期考前热身训练（文）】已知一条抛物线的焦点是直线:(0)l y x t t =-->与x 轴的交点，若抛物线与直线l 交两点,A B 26AB =t =__________．【答案】64【解析】直线与x 轴的交点为(),0t -，设抛物线方程为24y tx =-，直线方程为x t =，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线的方程可得：2260x tx t ++=，则：()1262826,4AB t x x t t =-+==∴=。

2020年高中数学课时作业本抛物线的几何性质(含答案)

2020年高中数学课时作业本抛物线的几何性质1.若直线y=2x ＋p 2与抛物线x 2=2py(p>0)相交于A ，B 两点，则|AB|等于( )A.5pB.10pC.11pD.12p2.过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2=8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A.213B.215C.217D.2193.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2=2x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条4.设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2=8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A.(0,2)B.[0,2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)5.抛物线y 2=2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________.6.过点(0,1)且与抛物线y 2=4x 只有一个公共点的直线有________条.7.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________.8.已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN=________.9.已知抛物线y 2=－x 与直线l ：y=k(x ＋1)相交于A ，B 两点.(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.10.已知抛物线y 2=2x.(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3=0的距离最短，并求出距离的最小值.答案解析1.答案为：B ；解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=4p ，∴y 1＋y 2=9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|=y 1＋y 2＋p=10p.2.答案为：B ；解析：不妨设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 方程为y=－2(x －1)，代入抛物线方程y 2=8x 得4(x －1)2=8x ，整理得x 2－4x ＋1=0，∴x 1＋x 2=4，x 1x 2=1，∴|AB|=1＋k 2|x 1－x 2|=5[x 1＋x 22－4x 1x 2]=215.3.答案为：C ；解析：斜率不存在时，直线x=0符合题意，斜率存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1=0，k=0时，符合题意，k ≠0时，由Δ=0得k=12.4.答案为：C ；解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM|>4即可.根据抛物线定义，|FM|=y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞).5.答案为：2解析：抛物线y 2=2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x=－12，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AF ＋BF=x 1＋12＋x 2＋12=5，解得x 1＋x 2=4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 6.答案为：3解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x=0，满足与抛物线y 2=4x 只有一个公共点.当斜率存在时，设直线方程为y=kx ＋1，再与y 2=4x 联立整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1=0，当k=0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k ≠0时，由Δ=0可得k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条. 7.答案为：36解析：设抛物线方程为y 2=2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x=p 2代入y 2=2px 可得y 2=p 2，|AB|=12，即2p=12，故p=6.点P 在准线上，到AB 的距离为p=6，所以△PAB 的面积为12×6×12=36.8.答案为：1∶5；解析：如图所示，，过点M 作MM ′垂直于准线y=－1于点M ′，则由抛物线的定义知MM ′=FM ，所以FM MN =MM ′MN，由于△MM ′N ∽△FOA ，则MM ′M ′N =OF OA =12，则MM ′∶MN=1∶5，即FM ∶MN=1∶ 5.9.解：(1)证明：易知k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x ，得ky 2＋y －k=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2=－1k，y 1·y 2=－1.因为y 21=－x 1，y 22=－x 2，所以(y 1·y 2)2=x 1·x 2，所以x 1·x 2=1，所以x 1x 2＋y 1y 2=0，即OA ―→·OB ―→=0，所以OA ⊥OB.(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB =12|ON|·|y 1－y 2|=12×|ON|×y 1＋y 22－4y 1·y 2=12×1× 1k2＋4=10，解得k 2=136，所以k=±16.10.解：(1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y)，则|PA|2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x=⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x=0时，|PA|min =23，故距点A 最近的点的坐标为(0,0).(2)设点P(x 0，y 0)是y 2=2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3=0的距离为d=|x 0－y 0＋3|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32=|y 0－12＋5|22.当y 0=1时，d min =522=524. ∴点P 的坐标为(0.5,1).。