2013第三章多维随机变量及其分布-3

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概率论与数理统计教案第3章多维随机变量及其分布

第3章多维随机变量及其分布教学要求1．理解二维随机变量的概念以及二维随机变量的联合分布函数的概念与性质，会利用联合分布函数计算有关事件的概率.2．理解二维离散型随机变量及其联合分布律、边缘分布律、条件分布律的概念与性质及其相互关系，会求联合分布律，并会用其求边缘分布律、条件分布律以及有关事件的概率.3．理解二维连续型随机变量及其联合概率密度函数和联合分布函数、边缘概率密度和边缘分布函数、条件概率密度和条件分布函数的概念与性质及其相互关系，会用概率密度函数求分布函数，掌握用联合概率密度求边缘概率密度、条件概率密度以及有关事件的概率.4．掌握二维均匀分布的概率密度，了解二维正态分布的概率密度.5．理解多维随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立性的条件，会判断随机变量的独立性，掌握运用随机变量独立性进行概率的计算.6．理解多维随机变量函数的概念，会求简单二维随机变量函数的分布，掌握Y X Z +=和{}Y X Z ,m ax =，{}Y X Z ,m in =的分布.教学重点二维随机变量与分布函数的概念，二维离散型随机变量及其分布律、二维连续型随机变量及其概率密度函数的概念以及概率的求法，联合分布与边缘分布的关系，随机变量独立性. 教学难点联合分布、边缘分布与条件分布的计算及相互关系，连续型随机变量分布函数的计算及其随机变量函数分布的求法.课时安排本章安排10课时.教学内容和要点一、二维随机变量的分布函数1.二维随机变量及其分布函数的概念与性质2.二维随机变量的边缘分布函数二、二维离散型随机变量1.二维离散型随机变量及其分布律的概念与性质2.边缘分布律3.条件分布律三、二维连续型随机变量1.二维连续型随机变量及其联合概率密度函数和联合分布函数的概念与性质2.边缘概率密度和边缘分布函数3.二维连续型随机变量的常用分布：二维均匀分布、二维正态分布4.条件概率密度和条件分布函数四、随机变量的独立性1. 随机变量独立性的概念2. 离散型和连续型随机变量独立性的条件3. 随机变量独立性的判断五、二维随机变量的函数的分布1. 二维随机变量函数分布的概念2. 二维离散型随机变量函数分布律的求法3. 二维连续型随机变量函数概率密度的求法4.随机变量函数的独立性主要概念1.二维随机变量2.联合分布函数3.二维离散型随机变量及其联合分布律、边缘分布律、条件分布律4.二维连续型随机变量及其联合概率密度、边缘概率密度、条件分布5.随机变量的独立性6.二维随机变量函数的分布。

多维随机变量及其分布

fZ
(z)
=
⎧⎪ ⎨
z
−
e
z2 2
⎪⎩ 0
z>0 z≤0
例 9．设随机变量 X ,Y 相互独立，X 的密度函数为 f ( x) ，Y 的分布律为 P(Y = ai ) = pi ，
i = 1, 2,L, n 。试求 Z = X + Y 的概率密度
解：此题中一个随机变量是离散型的，另一个是连续型的，从而写不出“联合密度”，所以在分布函数的求法上需将其进行综合考虑。由分布函数的定义及全概率公式：
（3）因为 P( X = 1,Y = 0) = 0 ，但是
P(X
=
1)
=
7 15
, P(Y
=
0)
=
1 120
故 P( X = 1,Y = 0) ≠ P( X = 1) ⋅ P(Y = 0)
所以 X 和Y 不相互独立。（4）因为 P(Y = j X = 1) = p1 j p1⋅ = p1 j × 15 7 , j = 0,1, 2, 3
所以易验证(C ) 是正确答案，它满足二维随机变量( X ,Y ) 分布函数的四条性质。例 2．设连续型随机变量 X ,Y 相互独立且服从同一分布。求P(X ≤ Y )
解：不妨设 X ,Y 的概率密度分别为 f ( x), f ( y) ，于是由 X ,Y 相互独立得出( X ,Y ) 的联
∫∫ 合概率密度为： f ( x, y) = f ( x) ⋅ f ( y)，而 P( X ≤ Y ) = f ( x) f ( y) dx dy ， x≤ y
f (x, y) =
1
− x2+ y2
e 2,
2π
− ∞ < x, y < +∞,

《概率论》第3章§3条件分布

P{X x | Y y} (x R1)
若按条件概率公式，则有 P{X y x | Y y} 当P{( XXP,{YY)x限(,XYy制,}Y在)y在}直区线域 D上上时可视具为有一密维度r.vf (x, y)
y D
O
P{Y y} 0
x
第三章多维随机变量及其分布
§3 条件分布
8/17
第三章多维随机变量及其分布
§3 条件分布
4/17
设 (X ,的Y )分布律为
P{ X xi,Y yj} pij (i, j 1, 2,)
考虑在 {Y 对已y于j发} 固生定的的条j件,若下P{Y,{发Xy生j}x的i}p条.j 件 0概, 则率称
为在
P{ XP{Xxi| Yxi | Yyj }
X
Y
Y (1 X ) X Y
YX
1/ 2 1/ 2
X Y 1/ 2
Y
1 X
故三段木棒能构成的概率为
X Y
P{Y
1 2
,X
1 2
,
X
Y
1 2
}
f (x, y)dxdy
y
yx
x0.5, y0.5 x y0.5
x 1dxdy
0.5
D
x
O
0.5 x 1
D:xx0y.50, y.50.5 0 x1,0 y x
如何定义条件分布 P{X x | Y y}
0, 考虑条件概率
P{X
x
|
y
Y
y
}
P{X x, y Y y } P{y Y y }
称为条件分布
应用积分中值定理
x
y
y
y
y
f (u, v)dvdu fY ( y)dy

第三章多维随机变量及其分布

xy
F(x, y) f (u,v)dudv ,
则称 (X ,Y) 为二维连续型随机变量, f (x, y) 称为 (X ,Y) 的概率密度或称为 X 和 Y 的联合概率密度或联合密度函数.
(X ,Y) 的联合密度函数 f (x, y) 具有性质:
性质 1 非负性: f (x, y) 0 .
第三章多维随机变量及其分布
在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变量整体地讨论其结果.如射击时考虑子弹在靶标上的位置,我们用定义在同一个样本空间Ω 上的两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维随机变量或二维随机向量（X，Y）表示.
一般地,设随机试验 E 的样本空间为 {} , X X () 和 Y Y() 分别是定义在同一个样本空间Ω 上的随机变量,我们称向量（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意有限维随机变量.我们把二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量.本章主要讨论二维随机变量, 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三维以上的随机变量.
证对任意的 x1 x 2
因为 (X x 1 ,Y y ) (X x 2 ,Y y )
所以 P ( X x 1 ,Y y ) P ( X x 2 ,Y y ) 即 F(x1,y)F(x2,y)
同理可证,对任意的 y1 y 2
有
F(x,y1)F(x,y2)
边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 设 (X ,Y) 的联合分布函数为 F(x, y) ,则
F X ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , ) y l i m F ( x , y ) F Y ( y ) P ( Y y ) P ( X , Y y ) F ( , y ) x l i m F ( x , y )

第三章多维随机变量及其分布第节

4.8
y(2

x)dy
x 0, 或 x 1 0 x1
y=x 1
0
x 0, 或 x 1

2.4(2

x)
x
2
0 x1
例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：
f
(
x,
y)

4.8 0
y(2

x
)
0 x 1, 0 y x 其它
求关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。
y (x2, y2)
(x1, y1) x
分布函数 F(x, y) 具有以下的基本性质：
(1) F(x, y) 是变量 x, y 的单调不减函数，
即对于任意固定的 y, 当 x2>x1 时, 有 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的 x, 当 y2>y1 时, 有 F ( x, y2 ) F ( x, y1);
式： F ( x, y) pij , xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, yj y的 i, j 求和. 与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量
的分布函数 F(x, y), 如果存在非负的函数 f (x, y), 使
得对任意的实数x, y，有
yx
F ( x, y)
f (u,v)dudv,

则称 (X, Y) 是连续型二维随机变量，而 f (x, y) 称为二维随机变量(X, Y) 的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。
联合概率密度 f (x, y)具有以下的性质：
(1) f ( x, y) 0,

(2)
f ( x, y) dxdy F (, ) 1,

第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。

例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。

⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。

在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。

1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。

1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。

随机变量X常称为⼀维随机变量。

2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。

定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。

⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。

(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。

三章节多维随机变量及其分布.ppt

P X 1或 2 | Y 1
0.0375 0.035 0.6444 0.1125
15
（三）条件分布
对于两个事件 A , B ，若 P ( A ) 0 , 可以考虑条件概率 P ( B |A ) ，
对于二维离散型随机变量 (X ,Y )，设其分布律为 P (Xxi， Yyj)p ij i,j 1 ,2 ,
P (X x i) P (X x i， Y ) p ij= =p i•i 1 ,2 , j 1
11
注意：记号pi•表示是由pij关于j求和后得到的；同样p•j是由pij关于 i求和后得到的.
X Y y1
x1
p 11
x2
p 21 …
…
xi
p i1
…
…
P Y yj p·1
y2 … yj … PX xi
第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性随机变量函数的分布
1
二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。
e S
x
§1 二维离散型随机变量
（一）联合概率分布
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。
离散型随机变量的联合概率分布律：
为二维离散型随机变量(X,Y) X Y y1
的联合概率分布律。可以用
x 1 p11
x 2 p21

第三章多维随机变量及其分布

求概率 (1)PX 1,Y 3;(2)PX Y 3
解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D

1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28

11 08
(6 y

xy

1 2
y2)
3 2
dx

3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
1. 3
y
y x
o
x
四、小结
在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数.
例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)

1 8
(6

x

y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
解答 PX Y 4 X 1
4
PX Y 4, X 1
2

PX 1
12
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
4 1 (6 x y)dy
1 28
3 8 18
第二节边缘分布
边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度小结
称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y

3.3-多维随机变量及其分布

f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
称为随机变量X 在Y y的条件下的条件密度函数.
fY X y
x
f (x, y)
fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的条件密度函数.
条件密度函数的性质
性质1 对任意的 x，有 fX Y x y 0
性质 2 fX Y x ydx 1 简言之，fX Y x y是密度函数．
和的分布：Z = X + Y 二、连续型分布的情形
设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度
Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f (x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}
是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ (z) f (x, y)dxdy
（3） F (, y) 0, F ( x,) 0 F (,) 0, F (,) 1
（4）关于x或y右连续
（5）对 x1 x2 , y1 y2 ,有
P(x1 X x2, y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ) F ( x2 , y1) 0
二维随机变量（X,Y）离散型
X和Y 的联合概率分布列
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率分布列
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1

第3 多维随机变量及其分布

记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.
则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：
17 May 2020
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
二、多维超几何分布
口袋中有 N 只球，分成 r 类。第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+……+Nr = N. 从中任取 n 只，记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：
第三章多维随机变量及其分布
第15页
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
(正则性)
注意： P(X ,Y ) D p(x, y)dxdy
D
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第三章多维随机变量及其分布
第16页
3.1.5 常用多维分布
一、多项分布
若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar
例3.1.2 设随机变量 Y ~ N(0, 1),
求
X1
0, 1,
|Y |1, |Y |1
X2
0, 1,
|Y | 2 |Y | 2
的联合分布列.
解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：
P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2) = P(|Y|≥2) = 2 2Φ(2) = 0.0455
第三章多维随机变量及其分布
第1页
§3.1 多维随机变量及其联合分布
3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1

概率论讲义第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布在很多随机现象中, 只用一个随机变量来描述往往不够, 而要涉及到多个随机变量. 如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述, 正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等. 要研究这些随机变量之间的联系, 就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律——多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容, 为简明起见, 主要介绍二维情形, 有关内容可以类推到多于二维的情形.第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.首先引入(X , Y )的分布函数的概念.定义设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1)与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1︒ F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2).2︒ 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1. 3︒ F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ).4︒ 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0.注: 二元分布函数具有性质1︒~ 4︒, 其逆也成立(2︒中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1︒~ 4︒, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4︒是必不可少的, 即它不能由1︒~ 3︒推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1).二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记 P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0;111=∑∑∞=∞=i j ij p .我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为=),(y x F ∑∑≤≤==x x yy j i i j y Y x X P },{=∑∑≤≤x x yy ij i j p这里∑∑≤≤x x yy i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和.例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数..解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}=312231=⋅.同理, 有 P {X = 2, Y = 1}=31 , P {X = 2, Y = 2}=31.即(X , Y )的分布律如右表所示.当x < 1, 或y < 1时, F {x , y } = 0;当1 ≤ x < 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } = 0;当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F {x , y } = =+1211p p 31;当x ≥ 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } ==+2111p p 31;当x ≥ 2, y ≥ 2时, F {x , y } = 1.所以, (X , Y )的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⎩⎨⎧<≤≥⎩⎨⎧≥<≤⎩⎨⎧<≤<≤<<=.2,2,1,21,22,21,31,21,2111,0),(y x y x y x y x y x y x F 或或或三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F {x , y }, 若存在非负函数f (x , y ), 使对任意的x 、y 有⎰⎰∞-∞-=y xdudvv u f y x F ),(),(，则称(X , Y )为连续型的二维随机变量, f (x , y )称为二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度, 或称随机变量X 、Y 的联合概率密度.概率密度f (x , y )具有以下性质: 1︒ f (x , y ) ≥ 0;2︒1),(),(=+∞+∞=⎰⎰∞+∞-∞+∞-F dxdy y x f3︒ 若f (x , y )在点(x , y )处连续, 则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂4︒ 设G 是xOy 平面上的一个区域, 则点(X , Y )落在G 内的概率为⎰⎰=∈Gdxdyy x f G Y X P ),(}),{( (2)例2 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()(其它y x Ae y x f y x求: (1) 系数A ; (2) 分布函数F (x , y ); (3) 概率P {(X , Y )∈D }, 其中D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.解: (1) 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ,得21=A .(2) ⎰⎰∞-∞-+-=yxy x dxdy e y x F )(),(=⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰+-,,0,0,0,)(其它y x dxdy ey xy x=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(其它y x e e y x(3) edxdy eedxdxdy y x f Y X P xyxD21),()},{(1010-===⎰⎰⎰⎰---.例3 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=,,0,20,10,3),(2其它y x xy x y x f , 求P {Y ≥ X }.解: P {Y ≥ X }=2417)3(),(2210=+=⎰⎰⎰⎰≤xxy dy xy xdxdxdy y x f .以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n (n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E 是一个随机试验, 它的样本空间为S , 设X 1、X 2、…、X n 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个n 维向量(X 1, X 2, …, X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量.对任意n 个实数x 1、x 2、…、x n , n 元函数F (x 1, x 2, …, x n ) = P {X 1 ≤ x 1, X 2 ≤ x 2, …, X n ≤ x n }称为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的分布函数或随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节边缘分布设(X , Y )是二维随机变量, 其分布函数为F (x , y ), 事件{X ≤ x }即为{ X ≤ x , Y < +∞}, 从而由(X , Y )的分布函数可定出X 的分布函数, 记为F X (x ).F X (x ) = P {X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < +∞} = F (x , +∞)=),(lim y x F y +∞→.我们称F X (x )为关于X 的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为F Y (y ) = P {Y ≤ y } = P {X < +∞, Y ≤ y }= F (+∞, y ) = ),(lim y x F x +∞→.一、离散型设(X , Y )为二维离散型随机变量, 其分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), 则∑∑≤∞==+∞=x x j ijX i p x F x F 1),()(, ∑∑≤∞==+∞=y y i ijY i p y F y F 1),()(.从而X 与Y 的分布律分别为∑∞===1}{j iji p x X P , i = 1, 2, …; ∑∞===1}{i ijj p y Y P , j = 1, 2, …;记=⋅i p ∑∞===1}{j iji p x X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj p y Y P , j = 1, 2, ….分别称p i ⋅和p ⋅ j 为(X , Y )关于X 与Y 的边缘分布律.注: 1︒ 边缘分布律具有一维分布律的一般性质. 2︒ 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.例1 一袋中装有3只黑球和2只白球, 分别采用有放回与不放回摸球两种方式. 若设⎩⎨⎧=;,0,,1第一次摸出黑球第一次摸出白球X⎩⎨⎧=.,0,,1第二次摸出黑球第二次摸出白球Y求(X , Y )的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律.解: 有放回不放回边缘分布律经常写在联合分布律的边缘, 这就是为什么称为边缘分布律的缘由.二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为f (x , y ), 由⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=xX dxdy y x f x F x F ]),([),()(;⎰⎰∞-∞+∞-=+∞=yY dydx y x f y F y F ]),([),()(.知X 与Y 都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(;⎰∞+∞-=dxy x f y f Y ),()(.称f X (x )与f Y (y )分别为(X , Y )关于X 与Y 的边缘概率密度.例2 设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0,),(,1),(其它D y x Ay x f则称(X , Y )在D 上服从均匀分布.现(X , Y )在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.解: 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得A = π.当|x | < 1时, ⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(21112122xdy xx-==⎰---ππ; 当|x | ≥ 1时, f X (x ) = 0, 即⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2x x x x f Xπ同理可得,⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,0,1,12)(2y y y y f Y π例3 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ 都是常数, 且σ1 > 0, σ2 > 0, -1 < ρ < 1. 我们称(X , Y )为服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解: 令m = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----222221212121)())((2)(σμσσμμρσμy y x x2121212122121221212222)()()())((2)(σμσμρσμρσσμμρσμ-+---+----=x x x y x y2121221122)()1(σμρσμρσμ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x x y .所以, ⎰∞+∞-=dyy x f x f X ),()(=⎰∞+∞----dyem )1(22212121ρρσπσ⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=dy eex y x 2112222121)1(212)(221121σμρσμρσμρσπσ.令⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1122211σμρσμρx y t , 则dt dy 221σρ⋅-=, 从而,22222)1(211212211222ρσπσρσμρσμρ-=⋅-=⎰⎰∞+∞--∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----dt edy etx y .所以, 21212)(121)(σμσπ--=x X ex f (+∞<<-∞x ). 同理可得, 22222)(221)(σμσπ--=y Y ey f (+∞<<-∞y ).表明, ),(~211σμN X , ),(~222σμN Y .此例说明, 二维正态随机变量(X , Y )中的X 、Y 都服从正态分布, 并且与参数ρ 无关. 所以对于确定的μ1、μ2、σ1、σ2而取不同的ρ, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X 和Y 的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X 和Y 的联合概率密度(分布).第四节相互独立的随机变量我们知道, 两事件A 、B 相互独立的充要条件是 P (AB ) = P (A )P (B ) 由此我们引进随机变量相互独立的定义. 定义设F (x , y )及F X (x )、F Y (y )分别是二维随机变量(X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x 、y , 有 P {X ≤ x , Y ≤ y } = P {X ≤ x } P {Y ≤ y }, 即F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) (1) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的.可见, 在随机变量X 和Y 相互独立的情况下, 由关于X 和Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X , Y )的联合分布函数, 而且还可推得}{},{}/{x X P x X y Y P x X y Y P ==≤==≤}{},{limx x X x P x x X x y Y P x ∆+≤≤∆+≤≤≤=→∆),(),(),(),(lim+∞-+∞∆+-∆+=→∆x F x x F y x F y x x F x)()()()()()()()(lim+∞-+∞∆+-∆+=→∆Y X Y X Y X Y X x F x F F x x F y F x F y F x x F )()()()]()([limx F x x F y F x F x x F X X Y X X x -∆+-∆+=→∆= F Y (y ) = P {Y ≤ y }.这就是说在X 和Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.一、离散型设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为 P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), (X , Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为=⋅i p ∑∞===1}{j iji p x X P , i = 1, 2, …;=⋅j p ∑∞===1}{i ijj p y Y P , j = 1, 2, ….则X 和Y 相互独立的充要条件是P {X = x i , Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j }, 即p ij =⋅i p j p ⋅ (2)例1 设(X , Y )的联合分布律为证明: X 和Y 相互独立.二、连续型设二维连续型随机变量(X , Y )的联合概率密度为f (x , y ), 关于X 和Y 的边缘概率密度为f X (x )和f Y (y ), 则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (3) 几乎处处成立.例3 设(X , Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------⋅-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 证明: X 和Y 相互独立的充要条件是ρ = 0. 例4 若(X , Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-,,0,0,0,),()(其它y x e y x f y x则X 和Y 相互独立. 证: 显然⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它x e x f x X⎩⎨⎧≥=-,,0,0,)(其它y e y f y Y 故有f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ). 从而X 和Y 相互独立.例5 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎩⎨⎧≥=-,,0,0,5)(5其它y e x f y Y试求: (1) X 与Y 的联合概率密度;(2) P {Y ≤ X }.解: (1) 由已知条件, 得⎩⎨⎧≤≤=,,0,2.00,5)(其它x x f X 从而得X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≥≤≤=-.,00,2.00,25),(5其它y x e y x f y(2) P {Y ≤ X }= P {Y - X }⎰⎰≥-=),(y x dxdyy x f ,积分区域如图, 化成二次积分后得⎰⎰≈=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤-2.0013679.0),(}{e dx dy y x f X Y P x .以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n 维随机变量的情形.设n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ), 若存在非负函数f (x 1, x 2, …, x n ), 使得对于任意实数x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞--n n x x x nn dx dx dx x x x f 112121),,,(,则称f (x 1, x 2, …, x n )为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合概率密度.称),,,()(111+∞+∞= x F x F X , ),,,,(),(2121,21+∞+∞= x x F x x F X X , …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘分布函数, ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=n n X dx dx dx x x x f x f32211),,,()(1,⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-=nn X Xdx dx dx x x x f x x f432121,),,,(),(21, …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘概率密度.若对于所有的x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ))()()(2121n X X X x F x F x F n=, 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x 1、x 2、…、x m ; y 1、y 2、…、y n , 有F (x 1, x 2, …, x m ; y 1, y 2, …, y n ) = F 1 (x 1, x 2, …, x m ) F 2 (y 1, y 2, …, y n )其中F 1、F 2和F 依次为(X 1, X 2, …, X m )、(Y 1, Y 2, …, Y n )和(X 1, X 2, …, X m ; Y 1, Y 2, …, Y n )的分布函数, 则称随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )是相互独立的.定理设随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )相互独立, 则X i (i = 1, 2, …, m )与Y j (j = 1, 2, …, n )相互独立. 又若h 、g 是连续函数, 则h (X 1, X 2, …, X m )和g (Y 1, Y 2, …, Y n )也相互独立.。

第三章+多维随机变量及其分布3-条件分布

------在条件 Y=yj 下,随机变量X的条件分布律.
解据题意(X,Y)的所有可能取值为(i, j), i, j=0,1,2
X Y
0
1
2
0 1/9 2/9 1/9 4/9
1 2/9 2/9 0 4/9
2 1/9 0 0 1/9
4/9 4/9 1/9
条件分布律用表格表示:
i
01 2
P{X=i|Y=0} 1/4 1/2 1/4 P{X=i|Y=1} 1/2 1/2 0 P{X=i|Y=2} 1 0 0
,
x2 y 其它
x
y
fY ( y)
f ( x, y)dx
1
1y2yy2( 4yxydyx2,),00yy11, ,
00,,
其其它它
对于y (0<y<1), 在Y=y条件下,有
O
1
f X |Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
y
2x y2 0,
,
y x 其它
y
特别：在Y=y=1/2条件下,有
同理可求P{Y=j|X=i} i, j=0,1,2
u连续型随机变量的条件分布
定义2 设(X,Y)的概率密度f(x, y) , (X,Y)关于Y的边缘
概率密度为 fY(y). 若对固定的y, fy(y)>0, 则称
fX|Y (x |
y)
f (x, y) fY (y)
FX|Y(x | y)
x
ff(Yu(,yy))du
为在Y= y的条件下X的条件概率密度；
条件分布函数
若对固定的x, fX(x)>0, 则称
fY|X ( y | x)

第3章多维随机变量及其分布

0，
x 0, y 0，求(1)A ? 其它
(2)( X ,Y )的联合分布函数; (3)P{Y X }; (4)P{ X 1}.
解(1)由 f ( x, y)dxdy 1，得
y
1=
f ( x, y)dxdy=
dx
Ae (2 x y)dy
0
0
O
x
A
e2 xdx
(X1, X2, , Xn) 本章主要以二维随机变量 ( X ,Y ) 为例进行讨论。
3
第一节二维随机变量的联合分布
1、联合分布函数
定义1 设( X ,Y )是二维随机变量, 对于任意实数x, y, 称二元函数
F ( x, y) P{X x，Y y}
为二维随机变量( X ,Y )的分布函数或X和Y的联合分布函数。
（乘法公式）
P{Y y j }P{ X xi Y y j }；
(2) ( X ,Y )的联合分布函数为F ( x, y) P{ X x,Y y} p ij xi x y j y
8
例1 箱子中有10张彩票，其中3张可中奖，甲乙二人先后各抽取
一张彩票，定义两个随机变量X ,Y：
则称( X ,Y )是连续性二维随机变量，并将f ( x, y)称为( X ,Y )的联
合概率密度函数.
概率密度f ( x, y)的性质：
(1) f ( x, y) 0;
(2)
f ( x, y)dxdy F (, ) 1;
10
(3)若f ( x, y)连续, 则F ( x, y)偏导存在且 2F ( x, y) f ( x, y); xy
0
e ydy
0
e2 x
A
2
0

第三章+多维随机变量及其分布3-条件分布

yj}
pij p j
i 1,2,
------在条件 Y=yj 下,随机变量X的条件分布律.
例1 将两封信随机往编号为1,2,3的三个信箱内投.以 X表示第一个信箱内信的数目，Y表示第二个信箱内信的数目，求X和Y的联合分布律及条件分布律．
解据题意(X,Y)的所有可能取值为(i, j), i, j=0,1,2
§3.3 条件分布
离散型随机变量的条件分布
定义1 设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij ,
对固定i , 若 pi 0
P{Y
yj
X
xi }
pij pi
,
j 1,2,
-------在条件X=xi 下,随机变量Y的条件分布律．
对固定 j, 若 p j 0 P{X xi Y
,
y x y 其它
特别：在Y=y=1/2条件下,有
f ( x, y) 8x,
f X|Y ( x | y)
fY ( y) 0,
1x 1
2
2
其它
2y x 2 (1 0,x2),源自x2y 其它x
y
fY ( y)
f ( x, y)dx
1
1y2
yy2( 4yxydyx2,),00yy11, ,
00,,
其其它它
对于y (0<y<1), 在Y=y条件下,有
O
1
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
y
2x y2 0,
条件分布函数
若对固定的x, fX(x)>0, 则称
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)

(ppt) 第三章多维随机变量及其分布

14 August 2013
D
河北科技大学
第三章多维随机变量及其分布
19
说明
几何上, z f ( x , y ) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y ) d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空三章多维随机变量及其分布
5
定义1 设 ( X , Y ) 为2-rv, 称函数
F(x, y) = P{X x, Y y} (任意实数x, y) 为(X,Y) 的分布函数, 或 ( X , Y ) 的联合分布函数, 或 X 和 Y 的联合分布函数. J-cdf Joint distribution function y 注 F(x, y)表示随机点(X, Y) y (x, y) 落在以点(x, y)为右上端点 x 0 x 的广义矩形域内的概率.
14 August 2013
第三章多维随机变量及其分布
28
当 x 1, y 1 时,
F ( x, y)
y

x
f ( u, v ) d u d v
1 d u0
0
u1
2 d v 1.
所以 ( X , Y ) 的分布函数为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
14 August 2013
河北科技大学
第三章多维随机变量及其分布
18
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