第17讲凸二次规划的有效集方法 ppt课件
二次规划 ppt课件
定 理 9-4 设 G 是 半 正 定 （ 正 定 ） 矩 阵 ， 则 x* 是 约 束 问 题 (9-58) 的 全 局 最 优 解 ， * 是 相 应 的 乘 子 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： x* 、 * 是 线 性 方 程 组
G AT
的解．
A x r 0 b
定 理 9-4 表 明 ， 求 解 等 式 约 束 的 二 次 规 划 问 题 ， 可 转 化 为 求 解 线 性 方 程 组 的 问 题 ， 但 是 问 题 的 维 数 也 由 n 变 成 了 n+m， 维 数 的 增 大 会 增 加 求解线性方程组的难度，一种克服上述缺点的方法是变量消去法．消去 法包括直接消去法和广义消去法．
9.6 二次规划
二次规划是特殊的非线性规划，它形式简单，既可以 使用求解非线性规划的一般方法求解，又有特定的解法； 此外，二次规划在实际中有着广泛的应用，例如著名的支 持向量机，在本质上就是一个二次规划问题．本节着重介 绍凸二次规划问题的一些性质和求解方法．
9.6.1 二次规划的基本概念与基本性质
1 min f ( x) xT Gx r T x, x R n 2 s.t. hi ( x) AiT x bi 0, i {1,2, , m} I ( x* )
的全局极小点．
(9-57)
证 若 x* 是 凸 二 次 规 划 (9-55) 的 全 局 极 小 点 ， 则 x* 是 问 题 (9-55) 的 K - T 点，也是问题 (9-57) 的 K - T 点，由定理 9-2 可知， x* 是问题 (9-57) 的全局极小点．
i m 1
A
* i
m l
T i
凸二次规划的有效集方法ppt课件
3 5
2 0
0 2
2 0
2 5
,即是
1
2
0 1
3 5
2 5
，可推出
3
,
5
2,
1T
.
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17
此时，由于约束的乘子3 2为最负的，从工作集w0 中去
掉其约束，得到 w1 5.再解子问题(10). 当 k 1的时候，
p1
1
0
，
由
(9)
式
可
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得
1
1
，
从
而
产
生
新
的
迭
代
点
x2 1,0T .
2
(15)
s.t. i 0, i I.
定理 1 设G正定，如果原始问题有可行点，则 x X 是（1）的
解当且仅当存在 , y 是对偶问题之解且 x G1y以及是
原问题在 x处的 Lagrange 乘子.
原问题无可行点当且仅当对偶问题无界.
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25
三. 二次规划的其他算法
1．Lemke 算法 基本思想
反之，如果 x是(1)的可行点，且是问题(3)的 K-T 点，而且
相应的 Lagrange 乘子满足
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
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5
2．理论基础 有效集方法的难点在于事先一般不知道有效集 w(x) .
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6
2．理论基础
解决办法： 构造一个集合序列去逼近有效集 w(x) ，即从初始点出发，计算有效 集 w(x0) ，解对应的等式约束子问题，重复这一做法，得到有效集序
凸优化课件
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
凸二次规划的原-对偶内点算法
主程序
结论与展望
原-对偶内点算法融合了对偶原理、Lagrange乘子法、内点罚 函数法和Newton法，具有传统优化的特点，同时也大大扩 大了内点算法的应用领域； 原-对偶内点算法在解决线性规划、二次规划、半定规划、 锥规划以及压缩传感、机器学习问题中起到了很好的作用； 原-对偶内点算法在初始值的确定上，灵活度远大于一般的 内点算法； 对于原-对偶内点算法加速技术的研究，主要还是集中在如 何快速的求解step3中的线性方程组上； 原-对偶内点算法是一类具有广泛应用的算法，值得大家关 注，并能在以后的学习和科研中加以运用； 参考资料：A Mathematical View of Interior-Point Methods for Convex Optimization等。
凸二次规划及其对偶问题
根据Lagrange对偶原理： 原凸二次规划 max minL( x, y, z )
y,z x
对偶问题：
1 T T max d ( y , z ) x Qx b y y,z 2 ( D) s.t.Qx c AT y z 0, z 0 Ax b, x 0
Lagrange函数：
L( x, y, z )
1 T x Qx cT x yT ( Ax b) z T x 2
Karush-Kuhn-Tucher条件：
x
Qx c AT y* z * 0 *T * 为(P)的最优解 z x 0, z* 0 Ax* b 0, y 0
0101200120406080100120140160180605616156262563635iterationstep20406080100120140160180414243444546474849iterationstep2040608010012014016018011111112113114115116117iterationstep20406080100120140160180010203040506070809iterationstepiteration63330499951166640000520406080100120140160180169168167166165164163162161iterationstepiteration迭代过程中目标函数的变化情况1989年rcmonteiro和iadler给出了用原对偶内点算法求解凸二次规划问题的一个版本并证明了其复原对偶内点算法融合了对偶原理lagrange乘子法内点罚函数法和newton法具有传统优化的特点同时也大大扩大了内点算法的应用领域
凸优化问题的二次规划算法研究
凸优化问题的二次规划算法研究第一章引言1.1 研究背景凸优化问题是数学规划中的一个重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。
在实际问题中，许多优化问题可以转化为凸优化问题，而二次规划是一类重要的凸优化问题。
二次规划在实际应用中具有广泛的需求和重要性，因此研究二次规划算法具有重要的理论和应用意义。
1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题中的二次规划算法进行深入研究和分析，探讨其数学原理和求解方法。
通过对不同算法进行比较和评估，为实际应用提供可行性和可靠性。
第二章二次规划基本概念2.1 二次规划定义对于一个凸函数f(x)和一组线性等式约束g(x)，满足约束条件下求解以下形式目标函数最小值：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 02.2 函数形式在实际应用中，目标函数f(x)通常是一个多项式，并且约束条件g(x)可以是一组线性等式或不等式。
第三章二次规划求解方法3.1 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解二次规划问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个无约束优化问题。
3.2 内点法内点法是一种高效的求解二次规划问题的方法。
通过将约束转化为罚函数，将原问题转化为一个无约束优化问题。
第四章二次规划算法比较4.1 拉格朗日乘子法 vs 内点法比较拉格朗日乘子法和内点法两种常用的二次规划算法。
从理论和实际应用角度比较两种算法的优劣，分析其适用场景和效率。
4.2 其他相关算法介绍其他一些与二次规划相关的算法，如梯度下降、牛顿迭代等。
分析这些算法与传统方法之间的差异和优劣，并探讨其在实际应用中的适用性。
第五章二次规划在实际应用中的案例分析5.1 工程优化设计以工程设计中常见的最小成本、最大效益等目标函数为例，分析二次规划在工程优化设计中的应用。
5.2 金融投资组合优化以金融投资组合优化为例，分析二次规划在金融领域中的应用。
通过构建合适的目标函数和约束条件，实现最优的投资组合。
凸集与凸函数ppt课件
2. 凸集与凸函数
Th2.2 给定向量p(≠0)∈Rn, ∈R,则
H {x ¡ n | pT x } (2.1)
是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表成 上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下, (p, )是唯一的. Th2.3 给定矩阵A mn ,向量b n ,则
M {x ¡ n | Ax b}(简记为Ax b) (2.2) 是 n中的一仿射集.反之, n中的每一仿射集 都可表成(2.2)式的形式,即一组超平面的交集.
17
2. 凸集与凸函数
Df 2.12，设S( ) n, p n，p 0, x S 若S H {x pT (x x ) 0}或者S H － {x pT (x x ) 0}
则称H {x pT (x x )＝0}是S在x处的支撑超平面，若S H ,
则称H为S在x处的正常支撑超平面。
11
2. 凸集与凸函数
m
Df 2.8 给定m个向量, x1,..., xm ¡ n,以及满足 i 1的 i1
非负实数i R,i 1,..,m,称向量
1x1 ... mxm为{x1,..., xm}的凸组合.
Th2.4 集合S ¡ n是凸集,当且仅当S包含其中任意有限个
元素的凸组合,即对m
于是,由下确界定义知,存在序列{x(k)}, x(k) S, 使得 y x(k) r.
先证{x(k)}存在极限x S.只须证{x(k)}为柯西数列。
x(k) x(m)
2
(x(k) y) (x(m) y) 2
2
x(k) y
2
2
x(m) y
2
(x(k) y) (x(m) y)
2
19
多面体(polyhedral set)是有限闭半空间的交. (可表为 Axb ). x1
二次规划起作用集方法
《非线性规划》课程设计题目：二次规划起作用集方法院系：数理学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：119084112 数112指导教师：日期：2014年6月19日摘要二次规划（QP）是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束函数是线性函数的非线性规划.二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一.关键词：二次规划；起作用集；乘子向量AbstractQuadratic programming (QP) refers to the objective function for the quadratic function of the decision variables x, and the constraint function is a linear function of nonlinear programming, quadratic programming problem is the simplest nonlinear constraint optimization problems, and some nonlinear programming can be transformed into solving a series of quadratic programming problem, so the solving methods of quadratic programming is also one of the basis of solving nonlinear programming.Keywords: Quadratic programming; Work set; Multiplier vector目录一、二次规划的概念与性质1.1模型一1.2模型二二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤2.1方法2.2计算步骤三、算例总结一、二次规划的概念与性质 1.1模型一⎩⎨⎧+=≥==+=.,,1,,,,2,1,.;21)(min L m j b x a m i b x a t s x c Hx x x f j j i i T T(1) 式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m),j a (j=m+1,···,L)均为n 维行向量.另L m m b b b b b ,,,,,,121 +都是已知实数，且m ≤n(L ≥m).定理一 设*x 是上式正定二次规划的最优解，且在点*x 处的起作用约束集为*J ，则*x 是下述等式约束问题的唯一解：.,.21)(min *J i b x ta s xc Hx x x Q i i T T∈=+=1.2模型二只含有等式约束的二次规划：.,,2,1,.;21)(min m i b x ta s x c Hx x x f i i T T==+=（2）式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m)为n 维行向量.定理二 规划（2）式的K-T 对),(**Λx 是存在唯一的，且),(**Λx 为（2）式的K-T 对的充要条件是它们满足方程组：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b c x AA H T 0二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤2.1方法对于一般正定二次规划（1)式，由定理一可知，只要能找到*x 所满足的起作用约束指标集*J ，就可以通过求解等式约束（2）式二次规划化问题得到*x .但是*x 未知，*J 不能一下求出，可采用逐步改进的方法：先求出问题（1）式的一个可行点)(k x ，计算点)(k x 处有起作用约束指标集k J ，并求解相应的等式约束的二次规划问题(2)式.设其最优解为)(ˆk x ，乘子向量为k Λ.令k P =)(ˆk x－)(k x，即认为k P 是从点)(k x出发至)(ˆk x的方向，如求出了k P 也就找到了)(ˆk x ，)(ˆk x =)(k x +k P .因此求解（2）式可以化成求解：.,0.)(21)(21)(min )()(1k k i k T k k T k kT k k Tk J i P a t s P x f HP P P c Hx HP P x f ∈=∇+=++= （3)设)(ˆk x 的起作用约束指标集为1+k J ，则根据)(ˆk x 与)(k x 之间不同关系来调整k J （当然要使目标函数值不断减少）.按照这种思路继续，就有可能得到*J ，从而求得（1）式的最优解*x . 2.2步骤第1步：选定初始可行点)1(x 及相应的起作用约束指标集1J ，使)(1J i a i ∈线性无关.令k:=1.第2步：求解含有等式约束的正定二次规划问题(3)，设其解为k P .第3步：若k P =0（即)(ˆk x=)(k x），则计算相应的乘子向量k Λ，转第4步.若k P ≠0，转第5步.第4步：若),,2,1(\m J j k ∈∀；都有0)(≥k j λ成立，则)(k x为规划（1）式的最优解，计算结束；否则求出)},,2,1(\|min{)()(m J j k k j k q ∈=λλ，令)1(+k x =)(k x，1+k J =k J \{q}, k:=k+1,返回第2步.第5步：若)(ˆk x =)(k x +k P （k P ≠0）满足i i b x a ≥，k J L m m i \},,2,1{ ++∈（即)(ˆk x 也满足规划（1）的可行域），则令)1(+k x =)(k x，计算)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J ，令k:=k+1，返回第2步.否则（即)1(+k x 不是规划（1）式的可行解）转第6步.第6步：从)(ˆk x 点出发沿方向k P 进行一维搜索.记)1(+k x =)(k x +k k P α，计算步长：}0,\),,2,1(|min{ˆ)(<++∈-=k i k ki k i i k P a J L m m i P a x a b α易见k aˆ为正数.因此对每个k J L m m i \},,2,1{ ++∈，i k k k i b P x a ≥+)ˆ()(α必成立. （因为)(k x是可行解，k aˆ是正数，当k k P a >0时更成立） 取k α=min{1,k aˆ}. 记 )1(+k x=)(ˆk x +k k P α.计算点)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J .令k:=k+1，返回第2步. 三、算例用起作用约束集方法计算（书上例题409页）：⎩⎨⎧≥-≥----+-=.0,,623.;102)(min 212121222121x x x x t s x x x x x x x f用LINGO 求解，程序如下： MODEL: Sets:num_i/1,2/:c,x; endsets data: c=-3, -2; enddata[OBJ]min=(x(1)^2－x(1)*x(2)+2*x(2)^2－x(1)－10*x(2); @sum(num_i(i):c(i)*x(i)>=－6; @for(num_i(i):x(i)>=0;);END运行该程序可得1x =21，2x =49，为原规划问题的最优解.总结二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一. 参考文献[1]何坚勇·最优化方法·北京：清华大学出版社，2007.。
凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件
X αx1+(1-α)x2 X2
.
23
f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
.
24
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1kq
ykq
.
P41 2.37
26
凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
.
1
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
.
7
凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
二次规划资料
向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，
二次规划问题的既约积极集方法
二次规划问题的既约积极集方法
在进行二次规划问题的解算时，可使用既约积极集(KKT)方法，该方法为一个优化理论，可用于求解线性和非线性的最优化问题.
简单来说，KKT方法是将最优化问题定义为一个联立的系统方程，并采用关于该系统方程的满足条件，再通过求解有关方程组来求解该最优化问题.
KKT方法的实现步骤大致如下：
(1)先定义最优化问题，包括目标函数和约束条件；
(2)然后定义一组拉格朗日算子，即每个约束条件都由一个拉格朗日乘子来反映；
(3)将所定义的最优化问题转换为一个联立的系统方程，其中包括目标函数、约束条件和对应的拉格朗日乘子；
(4)接着通过求解该联立系统方程来获取最优解；
(5)最后利用KKT方法的满足度保证该最优解的可行性.。
二次规划
二次规划是特殊的非线性规划，它形式简单，既可以 使用求解非线性规划的一般方法求解，又有特定的解法； 此外，二次规划在实际中有着广泛的应用，例如著名的支 持向量机，在本质上就是一个二次规划问题．本节着重介 绍凸二次规划问题的一些性质和求解方法．
9.6.1 二次规划的基本概念与基本性质
* T i i *
m l
很 明 显 A ( x x ) =0 ， 而
i 1 * i T i *
m
i m 1
A
* i
m l
T i
( x x* ) 可 以 写 成 两 部 分 之 和 ，分 别 是
根 据 x* 处 起 作 用 约 束 和 不 起 作 用 不 等 式 约 束 下 标 分 别 求 和 ， 由 （ 9-56 ） 和 x H 可以推出
T 1 T ( AB ) AN F , I
(9-71)
并 且 秩 ( F)= n -m ， 因 此
T 1 T G G ( A BB BN T 1 B ) AN (9-72) G N F GF ( AN AB , I ) G I NB G NN 由于 F 是列满秩的，并且 G 正定，因此 G N 也是正定的，对称性显然． 定 理 9-5 表 明 对 于 等 式 约 束 的 严 格 凸 二 次 规 划 问 题 ，可 以 用 直 接 消
9.6.2 等式约束二次规划问题
本小节讨论等式约束二次规划问题
min
f ( x)
1 T x Gx r T x, 2
(9-58)
s.t. AT x b,
其 中 ，G 为 n n 阶 对 称 矩 阵 ， r 为 n 维 列 向 量 ， A 为 n m 阶 矩 阵 ， n m 且 秩 ( A )= m ， 即 矩 阵 A 是 列 满 秩 的 ．
凸集和凸函数和凸规划课件
设S Rn是非空闭凸集， y Rn \ S, (1)则存在唯一的 x S, 使得它与y的距离
为最小 , 即有
x - y inf x y x S 0.
(2) x S 是点 y 到集合 S 的最短距离点的
充要条件为：x x T x y 0 x S .
注：闭凸集外一点与闭凸集的极小距离， 即投影定理。
凸函数
下面的图形给出了凸函数f x, y x4 3 x2 y4
y2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 f x是定义在凸集 D Rn 上，x, y D ,
令 t f tx 1 t y, t 0,1, 则:
(1 f x是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对 )任意的x, y D ,一元函数t 为 0,1上的凸函数.
设在开凸集二阶可微若在fx是严格凸的但在点不是正定的凸函数的判别定理凸函数的判别定理二阶条件二阶条件40为正定矩阵条件是上的严格凸函数的充要其中为二次函数即凸函数的判别定理凸函数的判别定理二阶条件二阶条件41凸规划convexprogramming上的凸函数则称规划问题min为凸规划问题
凸集和凸函数和凸规划课件
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2
= x Rn aT x b
an xn b
凸集----举例
H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
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2020/11/29
8
在第k 次迭代，有可行点 xk 以及工作集wk ，其中wk 是由 所有的等式约束和有效不等式约束组成.
设 pk 是问题
min
gT
xk
p
1 2
xk
p T
G
xk
p,
(5)
s.t. aiT p 0, i wk ,
的
K-T
点，
k i
i
wk
是相应的
Lagrange
通过解一系列等式约束的二次规划来实现不等式约束的 优化.
称为有效集方法或者起作用集方法.
2020/11/29
2
一般二次规划标准形式
min q(x) 1 xTGx gT x, 2
s.t. aiT x bi , i E,
(1)
aiT x bi , i I.
其中G是nn的对称矩阵. E,I 分别对应等式约束和
AT
1
0
2 1
,G
2 0
02 ,
g
2 5
,
从而，可以推出
1
0
2T 1
3
5
2 0
0 2
如果ik 0i wk I ,则停止，得到解 x xk ； 由（7）式求得ik ；wk : wk \ ik, xk1 xk ，转 Step4.
Step 3. 由（9）计算k ： xk1 xk k pk ；
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4．有效集方法步骤
Step 3. 由（9）计算k ： xk1 xk k pk ；
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x2
（0，1）
（2，2） x4 x5
（4，1）
x 2 x 3 （2，0）
x1
x0 x1
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记上面的约束为
1
到
5，假设初始可行点为
x0
2 0
，易知
有效约束为 3 和 5，从而w0 3,5.求解（10）式，求得解为 p1 0
（此时k 1）. Lagrange 乘子的求解： A Gx g ,
ik 0,i wk
I.
(7)
且令wk1 wk \ ik，然后重新计算(5)式.
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设(5)式的解 pk 0，此时 xk pk 可能不是原问题（1）的
可行点，此时在 xk 和 xk pk 之间的线段上取靠近 xk pk 最近的
可行点取为下次迭代的迭代点 xk1.
xk1 xk k pk
求解方法： 直接变量消去法；Leabharlann Lagrange 乘子法.
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2．理论基础
设 x是二次规划问题(1)的局部极小点，并且在 x处的有效
集合为w(x) E I x ，则 x也必是问题
min 1 xTGx gT x
2
(3)
s.t. aiT x bi , i E I x
的局部极小点.
第六章 二次规划 quadratic program
一．不等式约束的有效集方法
二．二次规划的对偶性质
三．二次规划的其他算法
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一．不等式约束二次规划的有效集方法
1. 基本思想
对于存在不等式约束的二次规划，在每次的迭代中，以 已知的可行点为起点，把在该点起作用的约束作为等式约束， 将不起作用约束去掉，在此等式约束下极小化目标函数， 求 得新的比较好的可行点以后，重复以上做法.
不等式约束指标集合. g, x,and ai,i E I 都是n维向量.
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等式约束二次规划问题
标准形式
min q(x) 1 xTGx gT x, 2
(2)
s.t. AT x b,
其中 x Rn,b Rm, A Rnm, g Rn,G Rnn且G是对称的，
设rank( A) m.
可行点，每次迭代求解一个等式约束的二次规划. 如果等式约束二次规划的解是原约束问题的可行点，则判
别相应的 是否满足
0, i I x ，
其中 满足
Gx g
aii .
iE I x
如果满足，则停止计算. 否则，可去掉一约束重新求解约束问题. 当等式二次规划之解不是原问题的可行点，则需要增加约
乘子.
如果 pk 0，则知 xk 是问题
min gT x 1 xTGx,
2
(6)
的 K-T 点.
s.t. aiT x 0, i wk ,
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如果此时k i
0 对一切 i
wk
I 都成立，则 xk 也是原问题
（1）的最优解.
否则令ik wk I ,使得
k ik
min
ik
解决办法： 构造一个集合序列去逼近有效集 w(x) ，即从初始点出发，计算有效 集 w(x0 ) ，解对应的等式约束子问题，重复这一做法，得到有效集序
列w(xk ) k 0,1, ，使得 w(x0 ) w(x) ，以获得原问题的最优解.
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3. 算法推导 有效集方法是一个可行点方法，即每个迭代点都要求是
反之，如果 x是(1)的可行点，且是问题(3)的 K-T 点，而且
相应的 Lagrange 乘子满足
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
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2．理论基础 有效集方法的难点在于事先一般不知道有效集 w(x) .
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2．理论基础
如果k 1，则转 Step4. 否则 ，找到 j wk 使 得
aTj xk k pk bj ； 令wk : wk j.
Step 4. wk1 : wk ; k : k 1.
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5. 例题：
min q(x) (x1 1)2 (x2 2.5)2
s.t. x1 2x2 2 0 x1 2x2 6 0 x1 2x2 2 0 x1 0 x2 0
(8)
其中，
k
min
1,
min
iwk
T
i
pk
0
bi
iT xk
T i
pk
.
(9)
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（5）式的简化计算
令 x xk p， 则
q(x)
gT
xk
p
1 2
xk
p T
G
xk
p
1 2
pTGp q xk
T
pc
这里c
1 2
xkT Gxk
gT
xk 为常数项，不影响最优解，从
而可以去掉，得到
min
gkT
p
1 2
pT Gp,
(10)
s.t. aiT p 0, i wk ,
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4．有效集方法步骤
Step 1. 计算可行的初始点 x0，令w0 E I x0 ，k : 0.
Step 2. 解等式约束二次规划问题（10），求得 pk ； 如果 pk 0，则转 Step 3；