最大公约数_典型例题三
第4讲：最大公因数
最大公约数知识梳理：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
典型例题：例1：用短除法求最大公因数。
（1）24和36；（2）8和24 （3）9和10 （4）8,12和24练习：用短除法求最大公因数。
（1）16和36；（2）9和18 （3）12和17 （4）12,18和36互质数小结：最大公因数两种特殊情况小结：例2：一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习：1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例3：一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？练习：1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例4：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练习：1、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。
最大公约数,典型例题
典型例题例1．在括号里填符合要求的数：（）与（）是互质数．分析：由于1和除1以外的任何一个自然数互质，所以可填1与2，1与3，1与4……由于任意两个不同的质数也只有公约数1，所以括号里又可填2和3，3和5，7和11，13和17……由于一个质数与一个合数有时也是互质数，所以可在括号里有选择地填入一个质数和一个合数，如3和4，5和8，7和12……由于两个合数也可能是互质数，所以也可以在括号里有选择地填入两个合数，如4和9，8和9，15和16，20和21……由于连续的两个自然数一定是互质数，所以可在括号里随意地填入两个连续的自然数，如2和3，3和4，4和5，5和6……显然，题目的答案是多种多样的．例2．育新中学甲班有男同学27人，女同学18人，一起去划船（每条船不超过6人）要保证每条船上男女同学都分别相等，请你算一算，应该租几条船？分析与解：因为18和27的最大公约数是9，租9条船，则每条船上坐男同学27÷9＝3（个）；坐女同学18÷9＝2（个），每条船坐3＋2＝5（个）．答：应该租9条船．例3．翠波小学四年级有84人，五年级有108人，六年级有96人．在“助残日”（每年五月第一个星期天）那天，学校把他们分成人数相等的小组，去残疾人、“五保户”等需要社会爱护、帮助的人员家里，去社会福利院等单位奉献爱心，做好人好事．每个小组最多可有多少人？分析：每个年级人数不相等，但要求每个小组人数相等，且要人数为最多．可知题目是要我们求84、108和96三个数的最大公约数．解：2×2×3＝12答：每个小组最多可有12人．例4．一块长方形铁皮长180厘米，宽84厘米．现在要将它剪成相等的正方形铁片，要求边长为整厘米数，剪完后材料无剩余．至少能够剪成多少块？分析：要使剪成的正方形铁片为最少，则正方形的边长必须尽可能地大；要使它剪完后材料无剩余，就要使长方形铁片的长和宽，都能被正方形的边长数整除．可见，剪成的正方形铁片的过长，应该是长方形铁片的长与宽的最大公约数．解：2×2×3＝12所以，剪成的最大正方形铁片，边长是12厘米．然后，看整个长方形铁片面积中，能够包含多少个最大的正方形面积，便是至少能剪成的正方形块数．故能够剪成的正方形块数就是：180×84÷（12×12）＝15120÷144＝105（块）答：至少能剪105块．例5．陈老师买来80支铅笔和80本练习本，奖给班上的优秀学生，每人奖品数量相同．结果，铅笔还少4支，练习本却剩下10本．问：班上的优秀学生最多是多少人？分析：根据题意，优秀学生的人数，正好是（80＋4）与（80一10）这两个数的最大公约数．解：80＋4＝84 80－10＝702×7＝14答：班上的优秀学生人数最多是14人．例6．有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？分析：根据题目要求，在分礼物时必须正好分尽这3种果品．因此，礼物的份数必须是320，240，200的的公约数．现在要求最多可以分出多少份同样的礼物，也就是说要求320，240，200的最大公约数．解：因为：320，240，200的最大公约数是40．所以：最多可以分成40份，每份礼物中有苹果：320÷40＝8（个）橘子：240÷40＝6（个）梨：200÷40＝5（个）答：最多可以分成40份同样的礼物．每份礼物中苹果有8个，橘子6个，梨5个．。
奥数最大公约数与最小公倍 数例题、练习及答案
最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。
2.公倍数和最小公倍数 ③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
初中数学最大公约数与最小公倍数知识点及典型例题
最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是初中数学中重要的知识点，也是数学中常见的概念。
它们在数论、代数和几何等领域都有着重要的应用，因此对这两个概念的深入理解对于学生来说至关重要。
接下来，本文将从最大公约数和最小公倍数的概念、性质以及典型例题等方面进行全面的评估和探讨。
一、最大公约数和最小公倍数的概念最大公约数指的是几个数共有的约数中最大的一个，通常用符号gcd(a, b)来表示，其中a和b是需要求最大公约数的两个整数。
对于整数12和18，它们的最大公约数为6，即gcd(12, 18) = 6。
最小公倍数则是指几个数共有的倍数中最小的一个，通常用符号lcm(a, b)表示，其中a和b同样是需要求最小公倍数的两个整数。
对于整数4和6，它们的最小公倍数为12，即lcm(4, 6) = 12。
二、最大公约数和最小公倍数的性质1. 最大公约数和最小公倍数的性质十分重要。
比如说，对于任意两个整数a和b，它们的最大公约数和最小公倍数之间有着特定的关系。
具体而言，两个数的最大公约数与它们的乘积等于这两个数的最小公倍数，即gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b。
2. 最大公约数和最小公倍数还有一个重要的性质，即最小公倍数等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。
这一性质在实际计算中经常被用到，可用来简化最小公倍数的求解过程。
三、典型例题1. 某商场有两种塑料袋，一种每50个装一袋，另一种每35个装一袋。
问：要买够这两种塑料袋的最小数量，至少需要多少个？解析：根据题意可知，第一种塑料袋的最小公倍数为50，而第二种塑料袋的最小公倍数为35。
要买够这两种塑料袋的最小数量，至少需要它们的最小公倍数。
即lcm(50, 35) = 350。
买够这两种塑料袋的最小数量至少需要350个。
2. 有两个正整数，它们的最大公约数是9，且其中一个数是36，求另一个数。
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
最大公约数和最小公倍数试题
最大公约数和最小公倍数试题一、选择题：1. 24和36的最大公约数是：A. 12B. 6C. 24D. 182. 36和54的最小公倍数是：A. 108B. 72C. 216D. 543. 15和25的最大公约数是：A. 3B. 5C. 15D. 14. 48和60的最小公倍数是：B. 240C. 120D. 6005. 若a和b的最大公约数为12，最小公倍数为180，则a和b的值分别为：A. 72, 180B. 12, 180C. 12, 15D. 72, 15二、填空题：1. 12和18的最大公约数为______。
2. 15和20的最小公倍数为______。
3. 64和96的最大公约数为______。
4. 25和30的最小公倍数为______。
5. 35和42的最大公约数为______。
三、解答题：1. 某村庄的居民用木材修建了一条长廊，长度为96米。
其中，每隔16米处设有一个支撑柱。
这条长廊最少需要多少根支撑柱？为什么？我们需要找到长廊长度96米和每隔16米一个支撑柱之间的最大公约数。
首先，96除以16得到6，所以96和16的最大公约数为16。
因此，长廊最少需要16根支撑柱，每隔16米放置一根。
这是因为16是96的因数，用16米长度去测量96米长的长廊时，可以整除，无需额外的支撑柱。
2. 小明家有3盒糖和4盒巧克力，小红家有5盒糖和6盒巧克力。
小明和小红想平分这些糖和巧克力，每个人得到的数量应该是最多的。
他们至少需要多少盒糖和巧克力？答：我们需要找到3、4、5、6这几个数字的最小公倍数。
首先，我们可以列出它们的倍数：3的倍数：3, 6, 9, 12, 15, 18, ...4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, ...5的倍数：5, 10, 15, 20, 25, ...6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, ...从中可以看到，它们的最小公倍数是12。
所以小明和小红至少需要12盒糖和12盒巧克力，每个人平分得到3盒糖和3盒巧克力。
最大公约数与最小公倍数应用
最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]=（18，12）×[18，12]=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
（运用性质2）练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。
例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11求这两个自然数。
”，例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。
[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
习题四1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。
最大公约数和最小公倍数练习题[无]
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最大公约数和最小公倍数练习题一. 填空题。
1. a b 和都是自然数，如果a b ÷=10，a b 和的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2. 甲=⨯⨯235，乙=⨯⨯237，甲和乙的最大公约数是（ ）×（ ）＝（ ），甲和乙的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ）。
3. 所有自然数的公约数为（ ）。
4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（ ）。
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
**9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（ ）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（ ）和（ ）。
（2）连续两个自然数（ ）和（ ）。
（3）1和任何自然数（ ）和（ ）。
（4）两个合数（ ）和（ ）。
（5）奇数和奇数（ ）和（ ）。
（6）奇数和偶数（ ）和（ ）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。
（ ）2. 两个不同的奇数一定是互质数。
（ ）3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。
（ ）4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。
（ ）5. a 是质数，b 也是质数，a b m ⨯=，m 一定是质数。
（ ）三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（ ） 13和6（ ） 4和6（ ） 5和9（ ）29和87（ ）30和15（ ）13、26和52 （ ）2、3和7（ ）四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
（三个数的只求最小公倍数）45和60 36和6027和72 76和8042、105和56 24、36和48**五. 动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？试题答案 一. 填空题。
最大公因数列举法
找最大公因数的几种方法
最大公因数，也称最大公约数或最大公因子，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
常见的有列举法、短除法等
一、列举法
把几个数的因数一一列举出来,然后找出它们共同的因数(公因数),其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。
例题一：找12和18的最大公因数
解析：12的因数:1,2,3,4,6,12。
18的因数:1,2,3,6,9,18。
12和18的公因数:1,2,3,6。
12和18的最大公因数:6。
二、短除法
用几个数的质因数去除这几个数,直到最后的商互质为止,把所
有的质因数连续相乘,结果就是这几个数的最大公因数。
例题二:找12和18的最大公因数
三、倍数关系
如果两个数有倍数关系,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
例题三：找12和36的最大公因数
解析：36是12的倍数(3倍)，所以12和36的最大公因数是较
小的数。
12和36的最大公因数是:12
四、互质关系
公因数只有1的两个非零自然数是互质关系(也叫做互质数),它们的最大公因数是1。
常见的几种互质关系: 两个连续的非零自然数是互质关系；两个不同的质数是互质关系；1和任意非零自然数是互质关系。
例题四：找8和9的最大公因数
解析：因为8和9是两个连续的自然数,是互质关系,所以最大公因数是1。
8和9的最大公因数是:1。
小奥数论3-因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、最大公约数与最小公倍数
3.数论——因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、最大公约数与最小公倍数3.1因数、约数和倍数：如果如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数，c就是a或b 的倍数。
倍数和因数是相互依存的。
因数相对乘法而言，不一定是整数，如0.9×8＝7.2。
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的约数）。
约数是建立在整除关系上的。
一个数的约数是有限的，其中最小1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数是无限，其中最小的倍数是它本身。
没有最大倍数。
3.2奇数和偶数及奇偶性问题自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
奇偶性问题：奇±奇=偶奇×奇=奇奇±偶=奇奇×偶=偶偶±偶=偶偶×偶=偶3.3质数和合数及分解质因数：一个数，如果只有1和它本身两个约数能整除它，这样的叫做质数。
100 以内的质数有：2、3、5、7、11 、13 、17 、19 、23 、29 、31 、37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、79 、83 、89 、97 。
如果除了1和它本身还有别的约数的整数，这样的数叫做合数，例如，4、6、8、9、12 都是合数。
1不是质数也不是合数。
数论只是研究正整数，不包括0。
两个质数只有1这1个公因数，则这两个数互质。
天然互质的情况：连续的两个自然数；连续两个奇数；两个质数；1和任何一个大于1的自然数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如28 分解质因数：28=2×2×7。
注意数论中，分解质因数必须写成指数形式，如28=22×7。
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 a×p22a×...×p k ak，这被称为唯一分解定理。
小学奥林匹克数学竞赛辅导——最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数实际生活中，我们经常会碰到这样一些问题，把一张大长方形纸片平均裁成若干张小的长方形或正方形纸片而没有剩余，怎么办？这一类问题其实是最大公约数和最小公倍数在实际中的运用。
最大公约数和最小公倍数的知识在解决生活实际问题中经常用到，在数学竞赛中也占有一定的比重。
这一讲我们就来研究这个问题。
【例1】一块长96厘米，宽84厘米的铁皮，根据需要且不能浪费边角料，要剪出面积相等的最大的正方形铁皮，问：最多可以剪出这样的正方形铁皮多少块？［分析］根据题意，要求不浪费材料，并要剪成最大的正方形，可知剪出的正方形铁皮片的边长一定既是长方形铁皮片长的约数，又是这个长方形铁皮片宽的约数，也就是长方形铁皮片长和宽的公约数，因为要求最大的正方形块数，正方形的边长一定是长方形铁皮长和宽的最大公约数，进而就可求所剪正方形的块数了。
［解］解法一：（96、84）＝12所剪最大正方形面积是：12×12＝144（平方厘米）长方形铁皮的面积是：96×84＝8064（平方厘米）能剪出面积相等的最大正方形的块数是：8064÷144＝56（块）解法二：（96、84）＝12长里面有几个最大正方形的边长：96÷12＝8（个）宽里面有几个最大正方形的边长：84÷12＝7（个）8×7＝56（块）答：可剪出大小相等面积最大的正方形56块。
【例2】在一次庆祝活动中，某公司买来336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？［分析］苹果总数＝每份中苹果数×份数，因此，份数应是苹果总数的约数，同样份数也应该是桔子总数和梨总数的约数，所分礼物的份数一定是苹果、桔子、梨的总数的公约数。
即一定要是336、252、210的公约数。
题目求最多可以分多少份，就是求336、252、210的最大公约数。
［解］（336、252、210）＝42，所以这样的水果最多可以分成42份相同的礼品，并且在每份礼品中，苹果有：336÷42＝8（个）桔子有：252÷42＝6（个）梨有：210÷42＝5（个）［评析］这道题中，因为分成的是同样的礼物，所以份数是三个数量的最大公约数。
北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编
最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作(a 、b ）,如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。
3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积 即(a 、b)×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数)(1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质(但不一定两两互质)；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积.短除法(最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数)能被同一数整除，就要继续除,一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3)n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
辗转相除法(最大公约数）设两数为a 、b(a>b)，求a 和b 最大公约数（a ，b)的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q...。
.r1（0≤r1）。
若r1=0,则（a ，b ）=b ；若r1≠0，则再用r1除b,得b ÷r1=q 。
.r2 （0≤r2）。
若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零除数即为（a ，b ）。
最大公约数和最小公倍数问题
最大公约数几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1、则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1：一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？分析7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。
因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。
75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题2：一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。
要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。
现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3、3厘米=0.3分米1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题3：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？分析要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。
[五六年级衔接篇]07最大公约数
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第五讲最大公约数导读：整数a 除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或b能整除a）,a就叫做b的倍数，b叫做a的约数。
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫做最大公约数。
在解决关于最大公约数问题时，常用的结论有：1．如果a与b互质，那么a和b 的最大公约数是1。
2．如果a是b的整数倍，那么a和b的最大公约数是b.3．两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
4．两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
5．如果a 大于b,那么a—b与b最大公约数就等于a与b的最大公约数。
6．a ＋b 与b 的最大公约数就等于a 与b 的最大公约数。
7．一个较大数与另一个数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数。
例题1有一张长方形的纸，长1.36米，宽0.8米。
裁成一样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，裁完后又正好没有剩余，可裁出几个正方形？分析：1.36米＝136厘米0.8米＝80厘米根据题意，裁得的正方形边长必须是136和80的最大公约数。
正因为边长是最大公约数，所以它能同时满足“面积尽可能大”、“裁完后正好没有剩余”两条件。
136和80的最大公约数是8。
解：（136 ÷8）×（80 ÷8）＝170（个）即时练习1把一张长72厘米，宽48厘米的长方形纸，裁成若干相等的正方形而没有剩余，要使正方形的边长尽可以大，可以分成多少个正方形？例题2 求84，24和16的最大公约数。
分析：求三个数的最大公约数，可以用分解质因数的方法，还可以用短除法来求。
解：84 ＝2 ×2 ×3 ×7 24 ＝2 ×2 ×2 ×3 16 ＝2 ×2 ×2 ×284，24和16的最大公约数的是4。
即时练习2求42、168和252的最大公约数。
奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案
最大公约数与最小公倍数（一）教授教养目的：1．经由过程学生对运用题的前提与问题的周全剖析,造就学生发明问题息争决问题的意识.2．经由过程比较与辨析,使学生进一步懂得和控制“最大公约数和最小公倍数”运用题的解题纪律.3．造就学生的合作交换意识和创新意识,成长学生的空间不雅念与想像力.教授教养进程：一.根本概念常识①假如一个天然数a 能被天然数b 整除,那么称a 为b 的倍数,b 为a 的约数.②假如一个天然数同时是若干个天然数的约数,那么称这个天然数是这若干个天然数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个天然数的最大公约数.例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12;18的约数有：1,2,3,6,9,18.天然数n a a a ,,,21 的最大公约数通经常运用符号（n a a a ,,,21 ）暗示,例如,12和18的公约数有：1,2,3,6.个中6是12和18的最大公约数,记作(12,18)=6.（8,12）=4,（6,9,15）=3.③假如一个天然数同时是若干个天然数的倍数,那么称这个天然数是这若干个天然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个天然数的最小公倍数.例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84,…18的倍数有：18,36,54,72,90,…天然数n a a a ,,,21 的最小公倍数通经常运用符号[n a a a ,,,21 ]暗示,例如12和18的公倍数有：36,72,….个中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36.[8,12]=24,[6,9,15]=90.假如两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数.经常运用的求最大公约数和最小公倍数的办法是分化质因数法和短除法.用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的差别：求n 个数的最大公约数：（1） 必须每次都用n 个数的公约数去除;（2） 一向除到n 个数的商互质（但不必定两两互质）;（3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积.求n 个数的最小公倍数：（1） 必须先用（假如有）n 个数的公约数去除,除到n 个数没有除去1以外的公约数后,在用1n -个数的公约数去除,除到1n -个数没有除1以外的公约数后,再用2n -个数的公约数去除,如斯持续下去,为包管这一条,每次所用的除数均可选质数;（2） 只要有两个数（被除数）能被统一数整除,就要持续除,必定要除到n 个数的商两两互质为止;（3） n 个数的最小公倍数即为短除式中,所有除数和最后两两互质的商的乘积.例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克.现将这三种茶叶分离按整克数装袋,请求每袋的价钱都相等,那么每袋的价钱最低是若干元钱？剖析与解： 因为144克一级茶叶.180克二级茶叶.240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价钱相等,所以144克一级茶叶.180克二级茶叶.240克三级茶 叶,分装的袋数应雷同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数.标题请求每袋的价钱尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是 144,180,240的最大公约数.是144,180,240的最大公约数.所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价钱最低是60÷12=5（元）.例2 用天然数a 去除498,450,414,得到雷同的余数,a 最大是若干？ 剖析与解：因为498,450,414除以a 所得的余数雷同,所以它们两两之差的公约数应能被a 整除.498-450=48,450-414=36,498-414=84.所求数是（48,36,84）=12.例3 现有三个天然数,它们的和是1111,如许的三个天然数的公约数中,最大的可所以若干？剖析与解： 只知道三个天然数的和,不知道三个天然数具体是几,似乎无法求最大公约数.只能从独一的前提“它们的和是1111”入手剖析.三个数的和是1111,它们 的公约数必定是1111的约数.因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,因为三个天然数的和是1111,所以三个天然数都小于1111,1111不成能是三个天然数的公约数,而101是可能的,比方取三个数为101,101和909.所以所求数是101.例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图）,这条对角线除两个端点外,共经由若干个格点（横线与竖线的交叉点）？剖析与解：（30,24）=6,解释假如将方格纸横.竖都分成6份,即分成6×6个雷同的矩形,那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小方格构成.在6×6的简化图中,对角线也是它所经由的每一个矩形的对角线,所以经由5个格点（见左下图）.在对角线所经由的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经由任何格点（见右下图）.所以,对角线共经由格点（30,24）-1=5（个）.例5 甲.乙.丙三人绕操场赛跑,他们走一圈分离须要1分.1分15秒和1分30秒.三人同时从起点动身,起码需多长时光才干再次在起点相会？剖析与解：甲.乙.丙走一圈分离需60秒.75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以须要的时光应是60,75,90的公倍数.所求时光为[60,75,90]=900（秒）=15（分）.例6 爷爷对小明说：“我如今的年纪是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分离是你的5倍.4倍.3倍.2倍.”你知道爷爷和小明如今的年纪吗？剖析与解：爷爷和小明的年纪跟着时光的推移都在变更,但他们的年纪差是保持不变的.爷爷的年纪如今是小明的7倍,解释他们的年纪差是6的倍数;同理,他们的年纪差也是5,4,3,2,1的倍数.由此推知,他们的年纪差是6,5,4,3,2的公倍数.[6,5,4,3,2]=60,爷爷和小明的年纪差是60的整数倍.斟酌到年纪的现实情形,爷爷与小明的年纪差应是60岁.所以如今小明的年纪=60÷（7-1）=10（岁）,爷爷的年纪=10×7=70（岁）.二.随堂演习最大公约数与最小公倍数（二）摘要：这一讲重要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广.在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法可知,（18,12）=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36.假如把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么（18,12）×[18,12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12.也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积.当把18,12换成其它天然数时,依旧有相似的结论.从而得出一个重要结论：两个天然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个天然数的乘积.即,（a,b）×[a,b]=a×b.例1两个天然数的最大公约数是6,最小公倍数是72.已知个中一个天然数是18,求另一个天然数.解：由上面的结论,另一个天然数是（6×72）÷18=24.例2 两个天然数的最大公约数是7,最小公倍数是210.这两个天然数的和是77,求这两个天然数.剖析与解：假如将两个天然数都除以7,则原题变成：“两个天然数的最大公约数是1,最小公倍数是30.这两个天然数的和是11,求这两个天然数.”转变今后的两个数的乘积是1×30=30,和是11.30=1×30=2×15=3×10=5×6,由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质.是以转变后的两个数是5和6,故本来的两个天然数是7×5=35和7×6=42.例3 已知a与b,a与c的最大公约数分离是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c.剖析与解：因为12,15都是a的约数,所以a应该是12与15的公倍数,等于[12,15]=60的倍数.再由[a,b,c]=120知, a只能是60或120.[a,c]=15,解释c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15.因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为：“a是60或120,（a,b）=12,[a,b]=120,求a,b.”当a=60时, b=（a,b）×[a,b]÷a=12×120÷60=24;当a=120时,b=（a,b）×[a,b]÷a=12×120÷120=12.所以a,b,c 为60,24,15或120,12,15.要将它们全体分离装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量雷同.问：每瓶最多装若干千克？剖析与解：假如三种溶液的重量都是整数,那么每瓶装的重量就是三 种溶液重量的最大公约数.如今的问题是三种溶液的重量不是整数.要解决这个问题,可以将重量分离乘以某个数,将分数化为整数,求出数值后,再除以这个数. 为此,先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36,三种溶液的重量都乘以36后,变成150,135和80,（150,135,80）=5. 上式解释,若三种溶液分离重150,135,80千克,则每瓶最多装5千克.可现实重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多装在例4中,消失了与整数的最大公约数相似的分数问题.为此,我们将最大公约数的概念推广到分数中.假如若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个分数的最大公约数. 由例4的解答,得到求一组分数的最大公约数的办法：（1）先将各个分数化为假分数;（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a;（3）求出各个分数的分子的最大公约数b;（4）a b 即为所求.例5 求655,852,926的最大公约数.相似地,我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中.假如某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个分数的最小公倍数.求一组分数的最小公倍数的办法：（1）先将各个分数化为假分数;（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a;（3）求出各个分数的分母的最大公约数b;一个陷井.它们之中谁先失落进陷井？它失落进陷井时另一个跳了多远？同理,黄鼠狼失落进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼失落进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）.黄鼠狼先失落进陷井,它失落进陷井时,狐狸跳了专题演习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的情势.2.两个天然数的最大公约数是12,最小公倍数是72.知足前提的天然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数：部分离装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量雷同.问：起码要装若干瓶？于统一处只有一次,求圆形绿地的周长.随堂演习解答专题演习解答1.72×120=（7,120）×［72,120］=24×360.2.12,72与24,36两组.提醒：72÷12=6=1×6=2×3,所以有两组：①12×1=12,12×6=72; ②12×2=24,12×3=36.5.等于.6.151瓶.7.120米.。
小学数学五年级数学奥数举一反三最大公约数25
五年级奥数举一反三
【例题4】一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距
360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之 间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻 两棵树之间的距离最多是多少米？
【思路导航】 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将 360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每 段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2， 337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离 最多是22.5米。
五年级奥数举一反三
【例题2】一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高 1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有 剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
【思路导航】 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要 把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体 的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱 长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。 （270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
五年级奥数举一反三
【练习1】 1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样 大小的正方形，至少能裁多少块？ 2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干 块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？ 3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的 小正方形，小正方形的面积最大是多少？
它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？ 如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
【思路导航】 7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长 必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的 公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。 如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60 的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）× （60÷15）=20块。