例谈分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解分式方程的增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0（使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个解叫做原分式方程的增根。
例如：解方程213122xx x x-=--解：去分母，方程两边乘以(2)x x -，得232x x --=-解得0x =检验，当0x =时(2)0x x -=则0x =为原方程的增根所以原方程无解.说明：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。
如上题中，不论x 取何值，都不能使原方程两边的值相等，因此原方程无解；又如对于方程20x=，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
思考：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？比如：方程22211x x x x x x+-=++，去分母后化为(3)(1)0x x -+=，解得3x =或1x =-，此时，1x =-是原方程的增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =；又比如：方程21x x+=，去分母后化为02x =-，不成立，原方程无解，同时原方程也没有增根。
所以：有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根。
思考：增根与无解是什么关系呢？分式方程的无解有两种情况：①分式方程所转化成的整式方程无解；例如：21x x+=②分式方程所转化成的整式方程有解，但是这个解使最简公分母为0.例如：213122xx x x -=--思考：有没有办法可以避免增根呢？比如：方程22211x x x x xx+-=++，将等式右边化为0，得222101x x x x xx+--=++，左边通分2222(1)0(1)x x x x --+=+，即2230(1)x x x x --=+，分子分解因式再约分，得30x x-=，由分子30x -=，得3x =。
原来的增根1x =-就没有出现。
注意：分式方程的增根不是原分式方程的解，但它是分式方程去分母后所得的整式方程的解.Tip1:对于分式方程，分母的值为0时，等式无意义。
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
例谈分式方程中的增根与无解
例 1 解方程^ - # = 1. X- 1 I -X
解 方 程 两 边 同 乘 以 （* - 2 ) ，得;c + * - 4 = x -2. 解 得 ;c =2. 经检验4 = 2 是原方程的增根,应舍去，所以原方 程无解. 分 析 x = 2 是分式方程去分母后化成整式方程 的根，但 代人原方程后，分 母 为 零 ，分式 无 意 义 ，此时 的根即为原方程的增根.那为什么会出现这种情况 呢？因为原分式方程中x 的 取 值 范 围 是 而 去 分
例 2 若关于^的分式方程1 - ^ = 1 无解，
X- 1
X
则 ______ •
解 去分母，得 X- a ) - 3 (;«- 1) = ;«(X- 1)•
化简整理，得 * U +2) =3.
① 当 a +2 = 0 时 ，方程无解，此 时 a =-2;
② 当 a + 2 # 0 时,则当;c 是 增 根 ，即 或 1 B寸，
2020年 4 月 1 0 日
解 去 分 母 整 理 ，得 2V - 2x + a - 3 = 0 .
题意•
该方程 为一元二次方程，要 使 原 方 程 无 实 数 根 ， 分以下两种情况述三例分别介绍了原分式方程无实数
- 8 (a - 3 ) < 0 ,解得 a > | ;
母 化 为 整 式 方 程 后 ，无 形 中 去 掉 了 原 分 式 方 程 中 分 母 不为零的限制条件，从 而 * 的取值范围扩大为全体实 数 .这 样 ，从 整 式 方 程 解 出 的 未 知 数 的 值 就 有 可 能 不 是原分式方程的根. 2 增根与无解
是 不 是 有 增 根 的 分 式 方 程 就 是 无 解 的 ，而无解的 分式方程就一定有增根呢？很多学生会以为增根即 为 无 解 ,无解即为增根.但事实并非如此.
分式方程的增根与无解
目录
• 分式方程的增根 • 分式方程的无解 • 分式方程增根与无解的关系 • 分式方程增根与无解的实例解析 • 分式来自程增根与无解的解题策略01
分式方程的增根
增根的定义
01
增根是指满足原方程但不满足分 式方程的解。
02
当分式方程的最简公分母等于0时 ，该解为增根。
增根的产生原因
分。
04
分式方程增根与无解的实 例解析
增根实例解析
01
02
03
增根的概念
增根是指满足原方程但不 满足分式方程的解。
增根的例子
考虑方程 $frac{x}{2} frac{3}{x - 2} = 1$，其增 根可能是 $x = 2$，因为 当 $x = 2$ 时，分母 $x 2$ 为零，使得方程无意 义。
当分式方程的最简公分母为0时，会 导致方程无解或解不唯一，从而产生 增根。
增根的产生与方程的化简过程有关， 如果化简过程中出现错误，也可能导 致增根的出现。
增根的判断方法
将一个解代入最简公分母，如果 最简公分母等于0，则该解为增
根。
通过解方程得到多个解，然后逐 一检验这些解，如果某个解使得 最简公分母等于0，则该解为增
增根与无解的联系
增根可能导致分式方程无解
01
如果分式方程有增根，那么该增根可能使得分式方程在某些条
件下无解。
无解不一定是增根引起的
02
分式方程无解的原因可能不仅仅是增根，还可能是原方程本身
没有解或者分式方程的解不满足某些条件。
增根和无解都是分式方程的特殊情况
03
增根和无解都是分式方程可能遇到的情况，需要特别注意和区
如果方程两边化简后不相等，则方程无解。
浅谈分式方程的增根与无解
【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。
今天，给大家带来 2 类典型的问题。
一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。
1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。
换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。
因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。
而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。
由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。
1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。
故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。
这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。
因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。
那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。
一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。
二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。
增根与无解
即x-2=0所以x=2
原分式方程去分母，得2-（x+m）=2（x-2）
将x=2代入，得2-（2+m）=2×（2-2）解得m=0
【例2】如果方程 - =0无解，试确定k的值.
分析：若原分式方程无解，则有两种情况：一种是由分式方程变形得到的整式方程无解，另一种是化成的整式方程的解是分式方程的增根.
增根与无解
我们知道，将分式方程变为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式（最简公分母），有时可能产生满足整式方程，但不适合原分式方程的根，这种根叫做分式方程的增根.
例1若关于x的分式方程 + =2有增根，则m的值是______.
分析：增根满足原分式方程化为的整式方程，故只要使最简公分母等于零，就可时乘以（x-1）（2x+3）得2x+3-k（x-1）=0
2x+3-kx+k=0，即（k-2）x=k+3
（1）若这个整式方程无解，则k-2=0，而k+3≠0，即k=2
（2）若分式方程有增根，则（x-1）（2x+3）=0，所以x-1=0或2x+3=0，所以增根只能是1或- .
当x=1是整式方程的解时，（k-2）×1=k+3，此方程无解.
无解有两种情况，一是由分式方程变形得到的整式方程无解，二是化成的整式方程的解是分式方程的增根.
练习：
1．若关于x的方程 = +2有增根，则m的值是______.
2．若关于x的方程 = +1无解，则a的值是______.
答案：1．1 2．2或1
当x=- 是整式方程的解时，（k-2）×（- ）=k+3，解得k=0.
分式方程的增根与无解
如何准确理解分式方程的增根与无解在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。
分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0.分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。
综上所述，可简记为：“分式方程有增根⇒分母＝0”；“分式方程无解⇒⎩⎨⎧⇒⇒00未知数的系数＝整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程xm x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得m x -=-3分式方程有增根∴ 01=-x 解得：1=x把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31∴ 2=m小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.练习：1、若关于x 的方程xx x x m x x 1122+=+-+有增根，求m 的值. （参考答案：21或-=m ）2、若关于x 的方程xx x a --=+-2132有增根，求a 的值.)1(=a 参考答案： 3、若分式方程：xx kx -=-+21212－有增根，求k 的值. （参考答案：1=k ） 例2、若关于x 的方程0111=--+x ax 无解，求a 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得0)1(1=--+x ax整理得：02)1(=+-x a分式方程有无解∴ 01=-x 或 01=-a当01=-x 时，有1=x ∴021)1(=+⨯-a 得 1-=a当01=-a 时，有1=a由上可知：1-=a 或 1小结：分式方程无解，要考虑两个方面：一是分式方程有增根导致无解；另一个是化简后的整式方程无解导致原分式方程无解.练习：1、若关于x 的方程234222+=-+-x x ax x 无解，求a 的值. （参考答案：a ＝－4或1或6）23=。
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
(完整)认清“增根”和“无解”
(完整)认清“增根”和“无解”第 1 页 共 1 页认清“增根”和“无解”分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑．一、利用分式方程有增根确定字母的值解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．例1 若分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。
1 C.1或2- D.3解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m.解得x=m-2。
令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-．因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =．所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ．二、利用分式方程无解求字母的值解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解．例2 若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。
化简,得(2)3a x +=．当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-．当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =．①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =．所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．。
例谈分式方程的增根与无解
例谈分式方程的增根与无解
通过解分式方程组，我们可以发现，通常会出现三种情况：有解、增根、无解。
1. 有解的情况
有解的情况就是对方程组所有方程的解，可以为数值，也可以为无理数。
例如：
例1： 8x-4=4x-8
x=-2
例2：令 x=2，则有：
〔4/x－2=(x＋1)/2〕
即4/2-2=(2+1)/2，经过计算得出有解：2=-1
2. 增根的情况
增根的情况就是方程组只有由无理方程构成，但所有方程没有共同解的情形。
例如：
例1：〔3/x－2=(x＋1)/x〕
由于3/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。
例2：〔2/x－2=(x＋1)/x〕
由于2/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。
3. 无解的情况
无解的情况就是对方程组所有方程没有解的情形。
例如：
例1：〔3/x－2=1/x〕
由于3/x-2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。
例2：〔2/x＋2=1/x〕
由于2/x+2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。
综上所述，当解分式方程组时，通常会出现三种情况：有解、增根、无解，其中增根和无解比较常见。
针对分式方程组的计算，要正确的区分它们的解。
例谈分式方程的增根、无解和有解问题
数学学习与研究2014.18【摘要】分式方程的增根、无解和有解是分式方程中常见的三个概念,学生在学习分式方程后,常常会对这三个概念混淆不清,认为分式方程有增根就是分式方程无解或者分式方程没有增根就是分式方程有解,然而事实上并非如此.【关键词】分式方程;整式方程;增根;无解;有解分式方程有增根指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形:(1)原方程化去分母后的整式方程无解;(2)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.分式方程有解则是指存在未知数的值能使方程两边的值相等.总之,分式方程有没有增根跟分式方程有无解没有必定的关系.现举例说明:例1解方程5x -1-x +4x (x -1)+2x =0.解原分式方程两边都乘x (x -1),得整式方程5x -(x +4)+2(x -1)=0,解这个整式方程,得x =1.经检验,当x =1时,x (x -1)=0,所以x =1是原方程的增根.所以原方程无解.点评显然原分式方程中未知数x 必须满足x ≠0且x ≠1,而转化成相应整式方程中未知数x 可以取全体实数,所以当求得整式方程的解x 恰好使原分式方程的最简公分母为零时,x 的值就是原方程的增根.故本例题中,x =1是原方程的增根,原方程无解.例2(2001年重庆市)若关于x 的方程ax +1x -1-1=0有增根,则a 的值为.解原分式方程两边都乘以(x -1),得整式方程(a -1)x +2=0.因为原分式方程有增根,且增根只能是x =1,所以x =1是相应的整式方程的解,所以把x =1代入整式方程,得a=-1.所以当a =-1时原分式方程有增根.点评分式方程有增根,跟分式方程有解或无解没有必然关系,有增根只是说明分式方程转化成相应的整式方程必须有解,且存在某个(或几个)解代入分式方程的公分母等于零,即不是原分式方程的解,则成为原方程的增根.换言之,增根指的未知数的值是分式方程转化相应整式方程的解,但不是原分式方程的解.例3(2002年孝感市)当m 为何值时,关于x 的方程2x-x -m x 2-x=1+1x -1无解.解原分式方程两边乘x (x -1),得整式方程x 2-x +2-m =0.若要使原分式方程无解,有下面两种情况:①相应的整式方程无解,即x 2-x +2-m =0无解.故Δ=(-1)2-4(2-m )<0,得m <74;②相应的整式方程有解且均为原分式方程的增根时,原分式方程无解,而原分式方程的增根只能为x =0或x =1,把x =0或x =1分别代入整式方程得m =2.综上所述:当m <74或m =2时,所给方程无解.点评分式方程无解,可能有两种情况,一种是转化成的整式方程无解,则原分式方程必然无解;另一种是转化成的整式方程有解但代入分式方程不成立,即分式方程无解.换言之,分式方程无解,相应的整式方程也无解或者即使有解那也只能是增根.所以增根并不是分式方程无解的唯一原因,分式方程无解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.例4(2003年南昌市)已知关于x 的方程1x-m x -1=m 有解,求m 的取值范围.解原分式方程两边乘x (x -1),得整式方程mx 2-x +1=0.若要使原分式方程有解,只要相应整式方程有解且至少有一个解是原分式方程的解,即至少有一个解不是原分式方程的增根即可.①当m =0时,相应的整式方程的解为x =1,显然x =1是原分式方程的增根,即不是原分式方程的解,所以m =0应舍去.②当m ≠0时,相应的整式方程要有解,则Δ=1-4m ≥0,即m ≤14.由于原分式方程的增根只可能为x =0或x =1,当x =0时,相应的整式方程不成立;当x =1时,m =0.综上所述:当m ≤14且m ≠0时,原分式方程有解.点评分式方程有解,则转化成相应的整式方程必须有解且存在满足分式方程成立的非增根.所以分式方程有解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.解分式方程的一般步骤是:把方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;若未知数的值是相应整式方程的解但代入原分式方程不成立,则该值是原分式方程的增根;分式方程无解包括两种情况:一是相应的整式方程无解,二是整式方程有解但对原分式方程来说也只是增根,即分式方程无解跟是否存在增根没有必然的关系;分式方程有解则相应的整式方程必须有解,且必须存在某些根代入分式方程成立,而是否存在增根没有必然的关系.弄清分式方程的增根、无解和有解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断分式方程解的情况有一定的指导意义.例谈分式方程的增根、无解和有解问题◎李桂生(江西省赣州市赣州中学341000). All Rights Reserved.。
分式方程无解和增根的例题
分式方程无解和增根的例题例1、当a为何值时，关于x的方程：2/（x-2）+ax/（x^2-4）=3/（x+2）会产生增根？解：方程两边同时乘以x^2-4得，2（x+2）+ax=3（x-2），整理，得（a-1）x=-10，当a=1时，方程无解，当a≠1时，x=-10/（a-1）。
所以x=-10/（a-1）就是方程的增根，则有[-10/（m-1）]^2-4=0，即100/（m-1）^2=4，解得m=6或m=-4。
所以当m=6或m=-4时，原方程有增根。
例2、若关于x的方程1/（x^2-x）+（a-5）/（x^2+x）=（a-1）/（x^2-1）有增根x=0，求a的值。
分析：在分式方程转化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，所以容易产生增根。
增根的检验方法是把所求的根代入到分式方程的最简公分母中，验证分母是否等于0，而已知增根，则说明增根必是整式方程的根。
解：∵1/（x^2-x）+（a-5）/（x^2+x）=（a-1）/（x^2-1），方程两边同时乘以x（x^2-1）得：x+1+（a-5）（x-1）=（a-1）x，把x=0代入上式得a=6。
例3、关于x的方程2/（x+1）+5/（1-x）=a/（x^2-1）有增根，求a的值。
解：方程两边同时乘以（x^2-1），得2（x-1）-5（x+1）=a，整理，得-3x-7=a，所以x=-（a+7）/3就是原方程的增根，则有[-（a+7）/3]^2-1=0，即（a+7）^2=9，解得a=-10或a=-4。
所以当a=-10或a=-4时原方程有增根。
例4、若关于x的分式方程（2x+a）/（x-3）=-1无解，求a的值。
解原方程可化为：2x+a=-（x-3），3x=a+3，解得x=（a+3）/3，因为原分式方程无解，所以x=（a+3）/3是方程的增根，则有（a+3）/3-3=0，解得a=6。
所以当a=6时，原方程无解。
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这个变形中，因为去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值，比如解方程、：。
①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。
甲：原方程的解是。
乙：不过当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙：求解过程完全准确，没有任何的差错。
甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙：很简单，两个字：检验。
能够把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。
甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，所以原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，所以，这个方程也无解。
甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看，方程，去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。
甲：看起来增根并不是什么“好东西”，有没有办法能够避免增根？乙：有是有，不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验。
比如解方程，可先把右边化为0，得。
例谈分式方程的“增根”与“无解”问题
数学篇学思导引在解分式方程问题时，经常会碰到“增根”或“无解”的情形.许多同学对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解或有增根是同样的概念.事实上，“增根”与“无解”是两个不同的数学概念.抓住概念本质是理解概念的关键.下面，笔者就分式方程的“增根”与“无解”问题进行了剖析，希望同学们能够理解两者的概念，掌握不同问题的解法.一、分式方程的“增根”问题分式方程的“增根”是在去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大，从而产生了增根，所以在得出分式方程的解后往往需要进行检验，若经过验证发现是增根，则应舍去；若此“增根”是分式方程唯一的解，则说明该分式方程无解.一般而言，分式方程产生“增根”，应满足如下两个条件：一是去分母时，能使方程两边同时乘以的最简公分母等于零；二是能使分式方程转化后的整式方程成立.例1(1)解方程2x x +1-2x 2+x=x +1x ；(2)解方程3x -3-6x x 2-9=4x +3；(3)当m 为何值时，关于x 的方程4x -4+mx x 2-16=5x +4会产生增根？解：(1)方程两边同时乘以最简公分母x (x +1)，可得2x 2-2=(x +1)2，整理可得x 2-2x -3=0，解得x 1=3，x 2=-1.经检验，当x 2=-1时，分母为0，原方程无意义，所以x 2=-1为增根，应舍去，所以原方程的解为x =3.(2)方程两边同时乘以最简公分母(x +3)⋅(x -3)，可得3(x +3)-6x =4(x -3)，整理可得x =3.经检验，当x =3时，原方程无意义，所以x =3为增根，应舍去，所以原方程无解.(3)原分式方程两边同时乘以最简公分母(x -4)(x +4)，可得4(x +4)+mx =5(x -4)，整理可得(1-m )x =36.因为原分式方程有增根，所以（x -4）(x +4)=0，例谈分式方程的“增根”与“无解”问题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年29数学篇学思导引所以x =4或x =-4是整式方程(1-m )x =36的根，所以361-m =4或361-m =-4，解得m =-8或m =10.评注：分式方程的“增根”必定使方程两边同时乘以的最简公分母等于0，但是并非同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根，也不是所有的分式方程都会产生增根.二、分式方程的“无解”问题分式方程无解是指不管未知数取何值时，都无法使得分式方程两边的值相等.一般情况下，当分式方程出现无解时，同学们需要注意如下两种情况：一是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程无解，则原分式方程无解；二是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程有解，但此解是原方程的增根（能使最简公分母为0），所以原分式方程亦无解.例2（1）解方程x -3x +4=5-x4+x+2；（2）倘若关于x 的方程2x -1-kx +3x 2+x -2=5x +2无解，则实数k 的值为；（3）求证：不论实数t 取何值时，关于x 的方程x -4t x -1+4t 2+2t x 2-x=1x 无实数解.解：（1）方程两边同时乘以最简公分母x +4，可得x -3=5-x +2(x +4)，整理得0=16，显然，该整式方程无解，所以原分式方程无解.（2）原分式方程两边同时乘以最简公分母(x -1)(x +2)，可得2(x +2)-(kx +3)=5(x -1)，整理可得：（k +3）x =6.因为原方程无解，所以需要讨论如下两种情况：①当k =-3时，所得的整式方程为0·x =6，显然方程是无解的，所以原分式方程无解.②当k ≠-3时，所得的整式方程有解，且x =6k +3为原分式方程的增根，所以有6k +3=1或6k +3=-2，解得k =3或k =-6.综上所述，当k =-3或k =3或k =-6时，原分式方程无解.（3）证明：方程两边同乘以最简公分母x (x -1)，可得x (x -4t )+4t 2+2t =x -1，整理可得x 2-(4t +1)x +4t 2+2t +1=0.因为△=(4t +1)2-4(4t 2+2t +1)=-3＜0，所以整理后的方程无实数解，所以不论实数t 取何值时，原分式方程无实数解.评注：当分式方程无解时，该分式方程可能有增根，也可能没有增根；当分式方程去分母后所得的整式方程无解时，分式方程一定无解；当分式方程去分母后所得的整式方程为一元二次方程，需要对分式方程的无解、有解以及增根等情况进行探讨，如果该一元二次方程没有实数解，则表明该分式方程无解.从这两道例题可以看出，分式方程有增根与无解是完全不同的两个概念.分式方程与去分母后得到的整式方程是不等价的，这就是分式方程要验根的重要原因.同学们在解题时要用心区别，仔细辨析，明确其差异，准确把握数学概念，从而提高解分式方程的准确性.30。
分式方程的无解与增根
解得，m =1 2、把增根代入整式方程 求出字母的值。 ∴当m 1时，原方程有增根。 时，原方程无解。
∵原方程有增根 x 2，即2 3 - m ∵原方程无解
例4、当a为何值时，关于 x的方程 2 ax 3 + 2 = x - 2 x - 4 x+2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)， 得2(x＋2)＋ax＝3(x－2) 整理得（a－1）x＝－10
那么增根可能是___________________ X=2或x=-2 ． K=-8或k=-12 则k的值可能为______________
方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。 3、把增根代入整式方程求出字母的值。
x -3 m 有增根， 无解， 例3、若关于x的方程 x-2 2-x x -3 m 解：原方程可化为 =x -2 x-2 方程两边同乘以（ x - 2），得 x - 3 = -m 1、化为整式方程。 ∴x = 3 - m
例如： 0； X=-3 ( x 3)(x - 1) 3、分式方程若有增根，增根代入最简公分母
（√ 2 例如： = 0 0X=2 4、使分式方程的分母等 x 0的未知数的值一定
是分式方程的增根。
（× ）
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程的增根与无解
南门学校
欧成敏
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化
二解
目标
三检验 检验 a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
分式方程的无解与增根
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程无解则是指不论未知数取何值，都 不能使方程两边的值等．它包含两种情形：
小结： 1、分式方程的增根是在分式方程化为整式 方程的过程中，整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。 2、分式方程无解则包含两种情形：
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。 3、分式方程有增根和无解时：
方法总结：（1）化为整式方程。（2）确定增根。
课堂练习：
ห้องสมุดไป่ตู้
1.当m为何值时,方程
x x 1
m 1 x2 x
x 1 x
有增根.
2、关于x的方程 x a - 3 1无解，求a。 x -1 x
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
X=a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ X=a不是分式
方程的解
方程的解
X=a就是分式 方程的增根
例1 解方程： x -1 = 3 - x + 2
x +2 x +2
解：方程两边同乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2) 整理得 0x＝8．
解，则m的取值是（ A ）
分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，分式方程无解和分式方程有增根决不是一回事。
（一）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．（二）原方程化去分母后的整式方程无解例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．（三）原分式方程无解，去分母后的整式方程的解就等于增跟例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．（四）分式方程在什么情况下会产生增根？产生无解？例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
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无解，
• 解：原方程可化为 • • • •
x3 x2
m =— x2
．
• 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分 式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是 原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此 认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加 深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即： •当a为何值时，关于x的方程 ①无解？ • 此时还要考虑转化后的整式方程 （a－1）x＝－10 本身无解的情况，解法如下：
2 ax 3 2 x2 x 4 x2
当a为何值时，关于x的方程 ①无解？
2 ax 3 2 x2 x 4 x2
• 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得 2（x＋2）＋ax＝3（x－2） • 整理得（a－1）x＝－10 ② • 若原方程无解，则有两种情形： • （1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10， • 此方程无解，所以原方程无解。 • （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方 程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入 方程②中，求出a＝－4或6． • 综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．
例2 解方程
x 1 3 x 2 x2 2 x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解， 当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式 方程无解不一定就是产生增根．
m x3 • 例3（2007湖北荆门）若方程 = x2 2 x 则m= ．
例1 解方程
2 4x 3 2 x2 x 4 x2
①
解：方程两边都乘以（x+2)(x-2）， 得 2(x+2)-4x=3(x-2） ② 解这个方程，得 x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义， 所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为 全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值 就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所 以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
例4当a为何值时，关于x的方程 2 ax 3 2 x 2 x 4 x2 ① 会产生增根？ • 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)， • 得2(x＋2)＋ax＝3(x－2) • 整理得(a－1)x＝－10 ② • 若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程Байду номын сангаас的根． • 把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程， 然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最 后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程 中所含字母的值．
结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮 助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况 有一定的指导意义．