乘法公式的几何背景
乘法公式应用与拓展-几何背景下的乘法公式
··
学习目标：
．从图形面积入手，熟悉每个乘法公式的结构 特征，理解公式几何背景，培养学生的几何直观 和数形结合的思想方法； ·利用图形的直观性和乘法公式结构特征，寻找 完全平方式的派生关系，并解决相关问题；
活动一：
一·【导】
（）·（)
a2 b2
乘法公式：（)()
a2 b2
）
） 5 a 7 b 8 c2 5 a 7 b 8 c2
活动二：
a2 b2 面积为：（a+b)(a-b)
可得算式： a2 b2 （)()
可发现，平方差公式逆用也成立！
在利用规律求值时，关键要弄 清楚完全平方公式的基本特点，记住平
方在两边，乘积两倍在中间，满足特 点直接用，不满足时要等值补全。
右图是由个长为，宽为的 长方形和一个边长为的正 方形共同组成的边长为正 方形，请用字母表示中间小正 方形的面积：
中间部分面积计算方法：
(a b)2
；
中间部分面积计算方方法 （ab)2 4ab ； 你有什么发现： （ ab)2-4a b(ab)2 .
从右图观察，你发现 a2 b2 、与 （a b)2 有什么关系吗？
9 2a2b2
8b14
灵， 活关 套键 用在
！于
议·如果我们把大正方形的边长变成， 小正方形的边长变成，你又能得到一个 什么样的乘法算式，它还可以用平方差公 式进行计算吗？
专题19 乘法公式的几何背景专项训练(30道)(举一反三)(学生版)
专题3.6 乘法公式的几何背景专项训练（30道）
【浙教版】
1．（2021秋•无为市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．b2+ab＝b（a+b）
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．
②计算：(1−1
22
)(1−1
32
)(1−1
42
)⋯(1−1
20202
)(1−1
20212
)．
2．（2021秋•商城县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝，S2＝（直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
3．（2021秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
2021年春人教版数学中考模型特训——《 整式运算的几何背景及应用》
整式运算的几何背景及应用1．整式运算的几何背景(用图形面积验证整式的运算) (1)单项式乘多项式：(如图1)
m(a＋b)＝ma＋mb．
(2)多项式乘多项式：(如图2)
(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
(3)乘法公式
i)平方差公式：(如图①、图②)
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
ii)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2
2．乘法公式的变形及推广
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
①位置变化：(a ＋b )(－b ＋a )＝a 2－b 2； ②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝a 2－b 2； ③指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝a 4－b 4； ④增项变化：(a －b ＋c )(a －b －c )＝(a －b )2－c 2. 完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. ①(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2； ②(a －b )2＋2ab ＝a 2＋b 2； ③(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)； ④(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ；
⑤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ±1a 2 ＝a 2＋1
a 2 ±2(a ≠0)； ⑥⎝
⎛⎭⎪⎫a ±1a 2 ＝a ＋1
a ±2(a >0)；
⑦(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc .
整式运算的几何意义
1．我们知道，若用两种方法计算同一个图形的面积，或计算同一个图形剪拼前后的两种面积，则两个计算结果相等．若用两种方法计算下列三个图形的阴影部分的面积，则可以得到下面三种等式：Ⅰ.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；Ⅱ.(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；Ⅲ.(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2，但等式的顺序与图形的顺序不完全一致，则正确的配对是( )
乘法公式的几何背景问题(学生版)
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共31小题）
1．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．
（3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题：
若（a+b）2＝13，ab＝2，则（a﹣b）2＝．
2．（2021秋•南康区期末）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．
（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系：；
（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．
3．（2022秋•同心县校级期中）如图（1），边长为a的正方形内有一个边长为b的小正方形．（1）请用a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用a、b的代数式表示）
初中数学《乘法公式与因式分解》单元教学设计以及思维导图
初中数学《乘法公式与因式分解》单元教学设计以及思维
导图
乘法公式与因式分解
适用年
七年级
级
所需时
课内共6课时，每周四课时，课外共3课时间
主题单元学习概述
本单元是单项式乘多项式和多项式乘多项式内容的继续和拓展，内容分为两部分:乘法公式和因式分解。
乘法公式包括平方差公式和完全平方公式。乘法公式是多项式乘以多项式的特例，以后遇到符合乘法公式条件的多项式乘法算式，就可以直接套用乘法公式写成乘积。
因式分解是一种城建的代数恒等变形，因式分解是单项式乘多项式及多项式乘法公式的逆向变形。
本单元学习重点:乘法公式及其应用，用提公因式法和公式法进行因式分解。
本单元专题划分非常清晰:专题一:乘法公式
专题二:因式分解
因式分解与单项式乘多项式及乘法公式是互逆运算。本单元学习方式:利用学案先对本节课有大概的熟悉，再在课堂上教师引导与学生交流相结合，已掌握本单元知识点。
预期学习成果:1.在具体问题中，正确运用乘法公式。
2.在具体问题中，正确运用提公因式法和公式法分解因式主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识与技能:1.能推导乘法公式，平方差公式与完全平方公式 2.乘法公式的应用
3.能用提公因式法，公式法进行因式分解
4,了解因式分解的一般步骤
过程与方法:1.了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算 2.正确理解乘法公式和因式分解的意义，认识乘法公式的结构特征及字母的广泛含义情感态度与价值观:.经历分析，探索，推导乘法公式和分解因式方法的过程，丰富数学活动经验，丰富数学活动经验，体会数学的基本
思想和思维方法，提高分析和解决问题的能力
人教版八年级数学上册乘法公式(含答案)
14.2乘法公式
专题一乘法公式
1．下列各式中运算错误的是（）
A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4ab
C．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2 2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)4
3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．
专题二乘法公式的几何背景
4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）
A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b2
5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab
6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？
状元笔记
【知识要点】
1．平方差公式
(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】
乘法公式
项式，也可以是多项 式．当a或b是多项式时， 2 ‒2(a+b)c + c2 =(a+b) 需要分组变形，是指将 =a2+2ab+b2 ‒2ac‒2bc + c2 因式中的项分组结合起 = a2+b2+ c2 +2ab ‒2ac‒2bc. 来，作为一个整体来考 虑的变形．
应用乘法公式进行计算：
(1)20062008‒20072；
②公式中a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项 式、多项式.
③熟悉完全平方公式的几种常见变形： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a‒b)2=a2–2ab+b2. (a+b)2+(a–b)2=2a2+2b2, (a+b)2–(a–b)2=4ab. a2+b2=(a+b)2–2ab , a2+b2=(a–b)2+2ab.
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2 (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) = ‒ (m+n) (m ‒n) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ (m2‒n2) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ ( m4‒n4) ( m4+n4) = ‒ ( m8‒n8) = n8‒m8.
乘法公式的几何背景
第2题
图 第3题图
(a~b)
D. (a+
b )'=(a
长方形
_____张才能用它们
乘法公式的儿何背景
学案三、乘法公式的几何背景
1。 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是：( )
A. (°—b)2 = a 2—+ B ・(d+ /?)'= +
C ・ 2a(a + b)=2十 +2ab
D ・(a + “Xa ——b) = —b 2
2。 在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下部分拼成一个矩形，计算而积，验证了
一个等式()
A. ( a + b ) •二 a 「+2 ab+b • B ・ a'-b' = (a+ b ) ( a —b) C. (a —b) "-a —2ab+b'
D. a" — ab^a(a —b )
3。 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a>b),再沿虚线剪开，如图(1),然后拼成一个
梯形，如图(2),根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是()
A o a "—b"= ( a +b) (a-b)
B ・(a+ b 广二£+2a b +b
C. (a — b ) "= a -— 2 ab+b
D. a "— b "= (a -b)
4.
如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得岀一个等式为( A. (a+b ) "=a + 2 ab+b B ・(a —b) "-a"-2ab+b' C ・ a -b = ( a +b)
+4ab 5.
如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a 、b (a>b )，则
【能力培优】14.2乘法公式(含答案)
14.2乘法公式
专题一乘法公式
1．下列各式中运算错误的是（）
A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4ab
C．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2
2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）
A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)4
3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．
专题二乘法公式的几何背景
4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）
A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b2
5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab
6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？
状元笔记
【知识要点】
1．平方差公式
(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积
几何背景下的乘法公式
从右图观察， a2 b2 、ab与 （a b)2 有什么关系吗？
你发现是：
a2 b2 （a b)2 2ab
.
ab
b2
a2
ab
a b
综述以上结论：
我们知道
(a
b)
2、（
，
a
b) 2、a 2
b2、ab
之间有
如下关系：
a 2 b2 （a b)2 2ab a 2 b2 （a b)2 2ab
① 解：∵ 2 b 2 ( b)2 2b
把 b 5,ab 6 代入上式得：
∴原式= 52 -2 6 25 - 12 13
② 解：∵ a3b ab3
b( 2 b 2)
b（ b)2 2ab
把a b 5,ab 6代入上式得： 原式 6 (52 2 6)
3a
3a-2b
2b
2b
面积为：（3a+2b)(3a-2b) 面积为（：3a)2 (2b )2
可得等式：（3a+2b)(3a-2b)=（3a )2 (2b )2
1（） a b )2 (a b )2
2） 5a 7b 8c2 5a 7b 8c2
活动二：
a
b
a
人教版八年级上册数学乘法公式含答案
14.2乘法公式
专题一乘法公式
1．下列各式中运算错误的是（）
A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4ab
C．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2 2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)4
3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．
专题二乘法公式的几何背景
4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）
A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b2
5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab
6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？
状元笔记
【知识要点】
1．平方差公式
(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】
乘法公式的应用
For personal use only in study and research; not for commercial use
乘法公式的几何背景
1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为．
第2题
2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是．
3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是．
第4题图
4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是．
5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．
6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为
b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形．
7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）你认为图1的长方形面积等于；
（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系；
（4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）．
8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式
1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．
2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．
1．完全平方公式
(1)完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(2)完全平方公式的证明：
(a±b)2＝(a±b)(a±b)
＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)
＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．
(3)完全平方公式的特点：
①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．
②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．
【例1－1】用完全平方公式计算
(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；
(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；
(5)(2x＋y－3z)2.
分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2
数形结合专题课(乘法公式(因式分解)的几何解释)--沈佳
乘法公式（因式分解）的几何解释
——“数形结合”思想
学习目标：1、理解乘法公式（多项式乘法）与几何图形表示之间的相互推导
2、体会数形结合，能熟练“数”与“形”之间的转化
一、回顾旧知、预学展示
1、边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）请你分别表示出图1阴影部分的面积S 1，图2阴影部分的
面积S2
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？
2、在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下部分如图所示拼成一个长方形.
（1）请你分别表示出两个图形中阴影部分的面积S1，S2
（2）请问以上结果可以验证哪个因式分解？
3、前两题都通过图形变换，用不同的方式表示了相同的面积（阴影部分的面积），证明了乘法公式的正确性，思考一下，你还能够将图1中的阴影部分转化成其它几何图形吗（画出图形）？是否也能证明以上的乘法公式（写出证明过程）！（小贴士：动手做一做，思路会更清晰哦，方法越多越好）
图1
4、如图1，边长为（a+b ）的正方形，按图2所示分割.请用不同的方法来表示大正方形的面积，从而验证了哪个乘法公式？
图1
图2
5、想要证明
()
2
222a b a b ab -=+-，由上题启发，从等式出发，你该如何构造下面的正方形？
6、图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出三个代数式2
()m n +、2
()m n -、mn 之间的等量关系是 ． （3）若6x y +
人教版八年级数学上册《乘法公式》主题教学分析
《乘法公式》主题教学分析
主题内容
乘法公式的内容包括平方差公式、完全平方公式及添括号等内容，新课标对这部分内容提
的教学要求是：能推导乘法公式：()()22a b a b a b +-=-；2222a b a ab b ±=±±（），了解公式的
几何背景，并能利用公式进行简单计算.
乘法公式是整式乘法的特殊形式，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的. 运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书首先指出了这一点，接着安排了平方差公式、完全平方公式的教学，并证明了平方差公式、完全平方公式，并进一步借助几何图形对比公式做了直观解释，让学生能更好地理解此公式，最后举例说明，运用平方差公式和完全平方公式进行有关的计算.
在学习乘法公式时，以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出公式的推导和应用，提高学生的学习能力.
学习目标
1.能推导平方差公式，完全平方公式，让学生知道从多项式的乘法到乘法公式是从一般到特殊的过程，学生在探索公式的过程中，经历观察、比较、抽象概括的学习过程.
2.在已有的数学学习经验的基础上，会通过几何图形的面积验证公式，感知数形结合的思想，了解公式的几何背景.
3.理解乘法公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言准确表述公式内容，并能运用公式进行相关计算，在运用的过程中进一步体会公式中字母表示的意义，强化对公式的理解.
4.了解平方差公式、完全平方公式的几何背景，能推导并掌握乘法公式：
()()22a b a b a b +-=-；
2222a b a ab b ±=±±（），并能正确地，灵活地综合利用公式进行简单计算.
专题3-12乘法公式的几何背景大题专练(重难点培优30题)-2023-2024(0002)
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】
专题3.12乘法公式的几何背景大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•襄州区期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．
2．（2022春•下城区期中）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣10）（x﹣20）＝15，求（x﹣10）2+（x﹣20）2的值；
（2）若x满足（x﹣2021）2+（x﹣2022）2＝33，求（x﹣2021）（x﹣2022）的值；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1 张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方 形，则这个正方形的边长为 _________ ．
• 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公 式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平 方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能 得到的数学公式是 _________ ．
乘法公式的几何背景
如图4-3剪两张边长均为x的正方形纸片，再剪三张 长为x,宽为1的长方形纸片和一张边长为1的正方形 纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形？ 由此你发现了什么？
• 图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用 剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和 大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个 正方形，则中间空的部分的面积是（ ） 2 2 2 2 a b • A．ab B． C． a b D． a b
• 图（1）是边长为（a+b）的正方形，将图（1）中的阴 影部分拼成图（2）的形状，由此能验证的式子是 （ ） 2 2 a b a b 4ab • A • B． a b2 2ab ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 b2 • C a ba b a 2 b2 • D． a b2 a2 b2 2ab
• 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形， 用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状 和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一 个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） 2 2 2 2 m n m n • A、mn B、m n C D
• 如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片 是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分 别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸 片4张，则应至少取丙类纸片 _________ 张 才能用它们拼成一个新的正方形．
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式， 并画出与它对应的几何图形．
• 如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图 中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个 较大的正方形． • （1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表 示，不必化简）； • （2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？ • （3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如 果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．
• 阅读材料并回答问题： • 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际 上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示， 2a ba b 2a 2 3ab b 2 ，就可以用图（1）或图 如： （2）等图形的面积表示 （1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： _________ ； （2）试画一个几何图形，使它的面积表示： 2a ba b 2a 2 3ab b 2