乘法公式的几何背景
乘法公式应用与拓展-几何背景下的乘法公式
（a
1 ）2 a
25
a2
2 a
1 a
1 a2
25
a2 2
1 a2
25
a2
1 a2
25
知识
易错点
悟
思想方法
）试试身手，活学活用：
199912 998 199912 919979912 9929
整体换元简化计算，关键看出 整体的共同点。
a b a b ） 如果、满足等式 22 2 6 1 0 ，0
你的发现是：
b2
a2
a2 b2 （ab)2 2ab ；
从右图观察， a2 b2 、与 （a b)2 有什么关系吗？
你发现是：
a2 b2 （ab)2 2ab .
综述以上结论：
我们知道 (a b )2 ，、 a （ b )2 、 a 2 b 2 、 ab 之间有 如下关系：
a2 b2 （ab)2 2ab a2 b2 （ab)2 2ab
（ ab)24a b(ab)2
ab(ab)2(ab)2 4
(ab)2(ab)24ab
四·【练】
解答下列各题：
（）·已知 ： ab8， ab7 ，求下列式子的值：
① a2 b2; ② a3bab3; ③ a4 b4.
活动二：直接利用乘法公式（快速写出下列各乘法 算式的计算结果）
(3xy)3( xy) 9x2 y2
弄应
清用
m 5 n 5 n m m2 2n52
公乘 式法
(1 2
m
1 n)2
2
1m2
4
12mn41n2
专题19 乘法公式的几何背景专项训练(30道)(举一反三)(学生版)
专题3.6 乘法公式的几何背景专项训练（30道）【浙教版】1．（2021秋•无为市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120202)(1−120212)．2．（2021秋•商城县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝，S2＝（直接用含a，b的代数式表示）（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．3．（2021秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．4．（2021春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．5．（2021秋•东莞市期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120202)×(1−120212)．6．（2021秋•黔西南州期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．7．（2021秋•科左中旗期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．8．（2021秋•西城区校级期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）．A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为a的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为b（a＞b）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于a、b的等式．9．（2021秋•思明区校级期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．10．（2021春•东海县期末）如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝；（用含a，b的代数式表示）（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）11．（2021秋•孝义市期末）完全平方公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用图形表示说明．知识再现如图1，大正方形的面积有两种表示方法．方法一：大正方形可以看作是边长为（a+b）的正方形，则大正方形的面积可以表示为；方法二：大正方形的面积还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，则大正方形的面积可以表示为；所以图1中大正方形的面积可以说明的公式是；经验总结完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：解：∵a+b＝3，∴（ab）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面积为9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．应用迁移如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，求△BCD的面积．（用两种方法解答）12．（2021秋•章贡区期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为．（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．13．（2021秋•龙岩期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：．（2）【应用】若m+n＝6，mn＝5，则m﹣n＝；（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH 和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．14．（2021秋•巧家县期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：；方法2：．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．15．（2021秋•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．16．（2021秋•上蔡县期末）利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式．例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）根据图②，可以得到的数学公式是；（2）根据图③，请写出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量关系是．（3）根据图④，请写出一个等式：；（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a+b）（a+3b）的长方形，则可得x+y+z的值为；（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．现请你根据图⑥，写出一个等式：．17．（2021秋•西峰区期末）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD 的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．18．（2021秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：，．（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．（4）当A=m+34，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．19．（2021秋•南昌县期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；（2）请写出图3中所表示的数学等式：；（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝；（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+b的值．20．（2021秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．21．（2021秋•永春县期中）发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（1）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为；（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．22．（2021春•盐湖区校级期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是．A、转化思想B、方程思想C、数形结合思想D、分类讨论（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式．（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．23．（2021春•龙华区期末）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是；应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是；拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值．24．（2021春•靖江市月考）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：；（2）利用（2）中的结论，若x+y＝4，xy=94，则（x﹣y）2的值是；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：；（4）如图④，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n时，试求S2021﹣S2020的值．25．（2020秋•天河区期末）某地产公司为了吸引年轻人购房，推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题：（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．26．（2021春•临渭区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为．②设A=x+2y−34，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的结果．27．（2021秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b ＝3，ab＝2，则a2+b2＝；（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF ＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为．28．（2021秋•二道区期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝2，长方形EMFD 的面积是12，分别以MF、DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，则x的值为．29．（2021秋•朝阳区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张两边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）的长方形，则x+y+z＝．30．（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b 的代数式表示）。
乘法公式的几何背景问题(学生版)
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共31小题）1．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题：若（a+b）2＝13，ab＝2，则（a﹣b）2＝．2．（2021秋•南康区期末）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系：；（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．3．（2022秋•同心县校级期中）如图（1），边长为a的正方形内有一个边长为b的小正方形．（1）请用a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用a、b的代数式表示）（2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的面积又是多少？（3）根据图（1）和（2）给你的启发，你能验证什么乘法公式？4．（2022秋•泉州期中）如图所示，从边长为（a+b）的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题：（1）用如图所示图形验证的乘法公式是：；（2）运用（1）中的等式，计算：1.232+2.46×2.77+2.772的值为；（3）运用（1）中的等式，若x2﹣3x+1＝0，求的值．5．（2022秋•二道区校级月考）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着腿线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为；（2）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系：；（3）根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy＝，求代数式（x﹣y）2的值．6．（2022秋•原阳县月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立．（3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值．7．（2022春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．8．（2022春•陈仓区期中）根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②可以写出的一个等式是；（2）请你计算（x+p）（x+q），并画出一个相应的几何图形加以说明．9．（2022春•滕州市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（结果不用化简）：①方法1：；方法2：．②请你写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（2）根据（1）题中的等量关系，解决问题：若a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2；（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，写出它表示的代数恒等式．10．（2022春•正定县期中）如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全一样的小长方形，再按照图②围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积（只需要表示，不必化简）；（2）比较（1）中的两种结果，你能得到怎样的等量关系式？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下列问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求（m+n）2的值．11．（2022春•仪征市校级月考）有一张边长为a的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b，木师傅设计了如图所示的三种方案：（1）小明发现这三种方案都能验证一个所学过的乘法公式：.（用a，b表示）（2）请你根据三种方案分别写出这个乘法公式的三种验证过程．12．（2022春•昭平县期末）如图，某中学校园内有一个长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．（1）求绿化的面积．（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝4，b＝1时，求绿化的面积．13．（2022春•兴平市期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：方法1：；方法2：．（2）由（1）可得出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的一个等量关系为；（3）利用（2）中得到的等量关系，解决如下问题：若2a+b＝6，ab＝4，求（2a﹣b）2的值．14．（2022春•三元区校级月考）如图所示，请完成下列问题：（1）填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为或．（2）通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．15．（2021秋•海沧区期末）（1）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：cm），用式子表示该图形中阴影部分的面积．（2）请根据（1）中的尺寸，画出示意图，使其面积为x2+xy+πx2．16．（2021秋•定州市期末）如图，某校一块边长为2x米的正方形空地是八年级四个班的卫生区，据清扫难度不同，学校把它分成了四块，采用抽签的方式安排卫生区，如图是四个班所抽到的卫生区的情况，其中一班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）用含x，y的式子分别表示三班和四班的卫生区的面积；（2）求二班的卫生区的面积比一班的卫生区的面积大多少平方米？17．（2021秋•科左中旗期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．18．（2022春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．19．（2021秋•义马市期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？20．（2022秋•中山区期末）（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是（填序号）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2④a（a+b）＝a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．21．（2022秋•思明区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；②计算：．22．（2021秋•唐河县期末）读下列材料，完成文后任务．小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足（6﹣x）（x﹣2）＝3．求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：方法1：设6﹣x＝m，x﹣2＝n，则（6﹣x）（x﹣2）＝mn＝3，m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝16﹣6＝10方法2：∵（6﹣x）（x﹣2）＝3，∴6x﹣12+2x﹣x2＝3，∴x2﹣8x＝﹣15，（6﹣x）2+（x﹣2）2＝36﹣12x+x2+x2﹣4x+4＝2x2﹣16x+40＝2（x2﹣8x）+40＝2×（﹣15）+40＝﹣30+40＝10．任务：（1）方法1用到的乘法公式是（填“平方差公式”或“完全平方公式”）．（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10，求（x﹣11）（9﹣x）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．23．（2022春•章丘区期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．24．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．25．（2022•南京模拟）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝，S2＝，写出上述过程中所揭示的乘法公式；（2）直接应用，利用这个公式计算：①（﹣x﹣y）（y﹣x）；②102×98．（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．26．（2022春•东乡区期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．27．（2021秋•渝水区校级期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．28．（2022秋•东台市期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）×．（用含有a、b的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式：．（3）根据你得到的等式解决下列问题：①计算：68.52﹣31.52．②若m+4n＝2，求（m+1）2﹣m2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值．29．（2021秋•思明区校级期中）如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长．30．（2021秋•寿光市校级月考）边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证．（1）图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：；（2）根据（1）中计算得出的面积，你可以得到一个什么等式，请写出来：；（3）请用你发现的结论进行简便运算：43.7452﹣56.2552．。
遵义市初二数学课本电子版新版上册
遵义市初二数学课本电子版新版上册教学目标：(一)知识目标1、在尚无的整式乘法的科学知识中探索、探究，提炼出全然平方公式(二)技能目标1、通过乘法公式的运用，培育学生运用公式的计算能力。
2、通过从多项式的乘法公式再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从特殊到一般，从一般到特殊的思维能力。
3、通过乘法公式的几何背景，培育学生运用数形融合的思想，方法的能力。
(三)情感目标使学生在积极探索和化解数学问题的过程中体会数学思维的批判性、严密性。
教学重点：公式的.灵活运用。
教学难点：公式中字母的广为含义教学工具：小黑板、幻灯片教学过程：一、科学知识总结出示小黑板：1、排序：(2m+n)(2m-n) (x+y)(x+y)2、有一块边长为a米的正方形林地，将它的各边均增加b米，问现在此林地的面积为多少?(先画图，再列式表示)学生活动(口请问)，师板书：(a+b)(a+b)=(a+b)2=a2+2ab+b2融合前面(x+y)(x+y)=(x+y)2师问：以上式子为何种运算形式?如何计算?生答：两数和的平方，结果存有三项：等同于这两数的平方和再加上它们乘积的两倍(a+b)2= a2+2ab+b2二、知识运用(出示小黑板)试试看：下列各题是否符合完全平方公式的结构特征，若符合，那么a、b分别代表准?2 2(3a+2b)2 (2a+―) (4s+1) 2 b引导生观察得出：以上几个完全平方公式，结果均有三项(首平方，尾平方，积的2倍在中间)。
互动1：(出具幻灯片)1、(a-b)2 (2x-3y)2以上2式与否具备全然平方公式的结构特征，若具备：说道说道a、b分别代表谁?师生共同完成：(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a×(-b)+ (-b)2=a2-2ab+b2(2x-3y)2=[2x+(3y)]2=(2x)2+2×2x×(-3y)+(-3y)2 =4x2-12xy+9y2师生共同观察得出：a、b可表示数字、字母、代数式等互动2：(出示的灯片)练一练，填空题1、(2x+y) (2x+y)= (2x+y)2=(2x )2+(2×2x×y)+(y )2222、(-―a+1)=( )+( ) +( )=( )3 4(-2s-4t)2 = [( )+( )]2=( ) +( ) +( ) = ( )(x+y)(x-y) = ( )(x+y)2=( x-y) 2+( )互动3：师生共同完成我当小老师，推论以下各题恰当是否：(2x+1)2=(2x)2+2×2x×1+1=4x2+4x+1(x-y)2=x2-2xy-y2 (符号)(a+b)2=a2+b2 (与积的乘方相混)(―m-n)=―m+3mn+n (符号) 2 4三：小结：从以上所有的结果已窥见全然平方公式的结果存有三项，每项的符号有规律，前后二项都为也已，只有中间内积的2倍初等矩阵或为正数(两数同号为也已、异号为负)。
乘法公式
a 11, b 9,
所以这两个正方形的面积分别为121 cm2,81 cm2.
评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程 组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．
(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y= ； (2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2) (x2+y2)的值为
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a–b)2=a2–2ab+b2
.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍. 会推导：(a+b)2= (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2= a2+2ab+b2. (a‒b)2= (a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2= a2–2ab+b2. 几何解释 公式结构特点 ①左边都是一个二项 式 的完 全 平方 ； 右边 都 是二次三项式．
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2 (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) = ‒ (m+n) (m ‒n) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ (m2‒n2) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ ( m4‒n4) ( m4+n4) = ‒ ( m8‒n8) = n8‒m8.
初中数学精品教学设计： 乘法公式与面积问题
《0205 乘法公式与面积问题》微设计学习目标:1.通过利用图形面积计算来验证平方差公式和完全平方公式的进一步研究，学会利用图形的面积计算得到相应的乘法公式；2.学会根据乘法公式设计相应的图形利用面积验证公式；3.体会几何直观和数形结合的数学思想方法的应用。
学习重点：会利用图形的面积计算验证相应的乘法公式；1 学习难点：利用乘法公式设计对应的图形，并进行验证。
教学过程： 一、背景问题教材利用如图1，和如图2，分别验证了： 平方差公式:()()22a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 完全平方公式:()222+2a b a ab b +=+两数和的平方,等于这两个数的平方和加上它们的积的2倍.你能设计不同的方法来验证平方差公式吗？ 又能通过怎样的图形来验证()2222a b a ab b -=-+呢？二、数学解决 平方差公式的验证： 方法1： 方法2：图 1图2方法3：方法4：我们还可以利用下图验证两数差的完全平方公式：分析：如图可知，大正方形的面积为2a ，左上角正方形的面积为()2a b -，则其面积还可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积2ab ，再加上右下角一个小正方形的面积2b ，即()2222a b a ab b -=-+.例：图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是( )A ． ()()224m n m n mn +--= B.()()222+2m n m nmn +-=C ．()2222m n mn m n -+=+ D ．()()22m n m n m n +-=-分析：此例题也可以作为完全平方公式的验证。
练习：阅读材料并解答问题：我们已经知道，公式()222+2a b a ab b +=+可以用平面图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：()()2222+3a b a b a ab b ++=+就可以用图1或图2的面积表示.(1)请写出图3中所表示的代数恒等式:_______________.图①图②ab ab ab ab b 2b 2b 2b bbbaa 2a（2）试画一个几何图形，使它的面积能表示: ()()223+43a b a b a ab b ++=+ （3）小明用2张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 、b 的长方形重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为_____________ .（1）分析：观察图形可知这个长方形的长为()2a b +，宽为()2a b +，根据长方形的面积为长乘以宽，得左边为()()22a b a b ++，又长方形的面积等于各部分的面积的和，所以右边为()22252a ab b ++， 从而得恒等式为()()2222=252a b a b a ab b ++++。
七年级数学下册 9.4 乘法公式教案3 (新版)苏科版
9.4 乘法公式教学目标：知识与技能（1）会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力。
（2）通过图形面积的计算，感受完全平方公式的直观解释。
过程与方法经历探索完全平方公式的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法，并进一步发展学生的符号感和推理能力。
情感、态度与价值观（1）通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结全的思想方法和转化的数学思想方法的能力。
（2）在探究过程中培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神以及合作交流的能力和创新意识。
教学重点：理解完全平方公式，运用公式进行计算。
教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。
教学过程：师生活动个人主页（一）创设情境导入新课导语一情境一如图，你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？从而你发现了什么？情境二学生利用准备好的长方形、正方形纸板（如图甲），拼成一个大正方形（如图乙），通过这样的拼图过程，你能发现什么吗？导语二先观察图，再用等式表示图中图形面积的运算。
（导语二图） = + +（二）合作交流解读探究完全平方公式[探究]如果把图（导语二图）看成一个大正方形，它的面积为(a+b)2，如果把它看成2个相同的长方形与2个小正方形，它的面积为a2+2ab+b2，则易得 (a+b)2=a2+2ab+b2。
[想一想]完全平方公式有怎样的结构特征？你能用语言叙述这两个公式吗？完全平方的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项中两项乘积的2倍。
可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。
公式的语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差。
（三）应用迁移巩固提高类型之一利用完全平方公式进行计算例1 用完全平方公式计算：（1）(5+3p)2（2）(-3b+2c)2（3）(-2a-5)2变式题用完全平方公式计算（1）(x+2y)2（2）(-3x-4y)2（3）(a+b)(-a-b)例2 利用完全平方公式计算：（1）1022（2）1972（四）总结反思拓展升华[总结]本节学习的数学知识：完全平方公式——(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析,给孩子期末复习!
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析，给孩子期末复习！专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（D）A．a²+b²=(a+b)²－2abB．(a－b)²=(a+b)²－4abC．(a+b)(－a+b)=－a²+b²D．(a+b)(－a－b)=－a²－b²解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)²－2ab=a+2ab+b²－2ab=a²+b²，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)²=a²－2ab+b²，(a+b)²－4ab=a²+2ab+b²－4ab=a²－2ab+b²，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b²－a²=－a²+b²，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)²=－a²－2ab－b²，故D错误．2．代数式(x+1)(x－1)(x²+1)的计算结果正确的是（A）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)4解析：原式=(x²－1)(x²+1)=(x²)²－1=x4－1．3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)²－2(2x²－xy)（其中x=2，y=3）．解：原式=4x²－y²+x²+2xy+y²－4x+2xy=x²+4xy，当x=2，y=3时，原式=2²+4×2×3=4+24=28．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ B ）A．（a+b）（a－b）=a²－b²B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a－2ab+b²D．（a+b）²=a²+ab+b²解析：这个图形的整体面积为(a+b)²；各部分的面积的和为a²+2ab+b²；所以得到公式（a+b）²=a²+2ab+b²．故选B．5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（C）A．a²－b²=（a+b）（a－b）B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a²－2ab+b²D．a（a+b）=a²+ab解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）²和b²，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）²，∴（a－b）²=a²－2ab+b²，故选C．6．我们在学习完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）²”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）²吗？解：（a+b+c）²的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）²，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．。
几何背景下的乘法公式
(1 m
2
1 2
n )2
1 4
m2
1 mn
2
1 n2
4
(1 a 3b)2 (1 a 3b)2
2
2
1 a4
16
9 a 2b 2
2
81b 4
弄应 清用 公乘 式法 特公 点式 ，时 灵， 活关 套键 用在 ！于
议3·如果我们把大正方形的边长变成3x+y， 小正方形的边长变成2z，你又能得到一个 什么样的乘法算式，它还可以用平方差公 式进行计算吗？
活动二： b
图1是由边长为a和边长为b的正方 形，构成的边长为a+b的正方形， 大正方形的面积有几种计算方法呢？ a 你发现它能验证那个乘法公式呢？
a
b
ab
b2 b
a2
ab a
a 图1
b
大正方形的面积计算方法1： （a b)2
；
大正方形的面积计算方法2： a2 2ab b2 ；
验证的公式： （a b)2 a2 2ab b2 .
4
(a b)2 (a b)2 4ab
四·【练】
解答下列各题：
（1）·已知 ： a b 8 ， ab 7 ，求下列式子的值：
① a2 b2 ; ② a3b ab3; ③ a4 b4.
① 解：∵ 2 b 2 ( b)2 2b
把 b 5,ab 6 代入上式得：
∴原式= 52 -2 6 25 - 12 13
活动三：对于乘法公式有 (a b)(a b) a2 b2 ； (a b)2 a2 2ab b2 ，那么式子 (a b c)2 怎么计算呢？能利用以上乘法公式吗？式子 （a+b+c）(a-b-c)呢？
2）我们知道x-y+y-z等于x-z，若实数x、y、z满足式
专题20 整式的乘除章末重难点突破(举一反三)(学生版)
专题3.7 整式的乘除章末重难点突破【考点1 幂的运算】【例1】（2021春•叶集区期末）下列计算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2【变式1-1】（2021春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【变式1-2】（2021春•安庆期中）计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）【变式1-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于．【考点2 幂的逆运算】【例2】（2021秋•岳麓区校级月考）解答下列问题（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．【变式2-1】（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【变式2-2】（2021春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【变式2-3】（2021•河北模拟）若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【考点3 巧用幂的运算进行大小比较】【例3】（2021春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．大小关系无法确定【变式3-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（）A．255＜344＜433B．433＜344＜255C．255＜433＜344D．344＜433＜255【变式3-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）．【变式3-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【考点4 幂的运算中的新定义问题】【例4】（2021秋•开州区期末）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J ．Npler ，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N （a ＞0且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 216，对数式2＝log 39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M •N ）＝log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0），理由如下：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M •N ＝a m •a n ＝a m +n ，由对数的定义得m +n ＝log a （M •N ）．又∵m +n ＝log a M +log a N ，∴log a （M •N ）＝log a M +log a N ．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log 264＝ ，②log 327＝ ，③log 71＝ ；（2）求证：log a M N =log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；（3）拓展运用：计算log 464+log 57﹣log 535．【变式4-1】（2021秋•杜尔伯特县期末）阅读下列材料，并解决下面的问题：我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23＝8可以变形为log 28＝3，log 525＝2也可以变形为52＝25．在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log 28．一般地，若a n ＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ），且具有性质： ①log a b n ＝n log a b ；②log a a n ＝n ；③log a M +log a N ＝log a （M •N ），其中a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0．根据上面的规定，请解决下面问题：（1）计算：log 31＝ ，log 1025+log 104＝ （请直接写出结果）；（2）已知x ＝log 32，请你用含x 的代数式来表示y ，其中y ＝log 372（请写出必要的过程）．【变式4-2】（2021春•宜兴市月考）规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（−12，﹣8）＝ ；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n ，4n ）＝x ，则（3n ）x ＝4n ，即（3x ）n ＝4n ，∴3x ＝4，即（3，4）＝x ．∴（3n ，4n ）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，5）+（4，6）＝（4，30）．（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．【变式4-3】（2021春•岳麓区月考）定义：如果2m ＝n （m ，n 为正数），那么我们把m 叫做n 的D 数，记作m ＝D （n ）．（1）根据D 数的定义，填空：D （2）＝ ，D （16）＝ ．（2）D 数有如下运算性质：D （s •t ）＝D （s ）+D （t ），D （q p ）＝D （q ）﹣D （p ），其中q ＞p ． 根据运算性质，计算：①若D （a ）＝1，求D （a 3）；②若已知D （3）＝2a ﹣b ，D （5）＝a +c ，试求D （15），D （53），D （108），D （2720）的值（用a 、b 、c 表示）．【考点5 整式乘法中的求值问题】【例5】（2021春•灌阳县期中）已知（﹣x ）（2x 2﹣ax ﹣1）﹣2x 3+3x 2中不含x 的二次项，则a 的值是（ ）A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣2【变式5-1】（2021春•浑南区校级期中）若不管a 取何值，多项式a 3+2a 2﹣a ﹣2与（a 2﹣ma +2n ）（a +1）都相等，则m 、n 的值分别为（ ）A ．﹣1，﹣1B ．﹣1，1C ．1，﹣1D ．1，1【变式5-2】（2021秋•晋安区期中）在计算（x +a ）（x +b ）时，甲把b 错看成了6，得到结果是：x 2+8x +12．（1）求出a 的值；（2）在（1）的条件下，且b ＝﹣3时，计算（x +a ）（x +b ）的结果．【变式5-3】（2021秋•耒阳市校级月考）已知多项式M ＝x 2+5x ﹣a ，N ＝﹣x +2，P ＝x 3+3x 2+5，且M •N +P 的值与x 的取值无关，求字母a 的值．【考点6 巧用乘法公式求值】【例6】（2021春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【变式6-1】（2021春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【变式6-2】（2021春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值（3）求（a﹣b）2的值．【变式6-3】（2021春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【考点7 整式乘除的计算与化简】【例7】（2021春•淄川区期中）（1）计算：①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化简，再求值：①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．【变式7-1】（2021春•郓城县期末）计算：（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−1 2．【变式7-2】（2021春•竞秀区期末）计算题：（1）82019×（﹣0.125）2020 （2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【变式7-3】（2021春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；（2）计算：20092﹣2010×2008；（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．【考点8 整式乘法的应用】【例8】（2021秋•旅顺口区期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b＞1，如果将原长方形的长增加3厘米，宽减少1厘米，得到的新长方形面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各增加1厘米，得到的新长方形面积记为S2．（1）试比较S1与S2的大小，并说明理由；（2）如果S1＝2S2﹣10，求将原长方形的长减少1，宽增加3厘米后得到的新长方形面积．【变式8-1】（2021春•宽城县期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S．乙（1）①计算：S甲＝，S乙＝；②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲S乙．（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．①该正方形的边长是（用含m的代数式表示）；②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．【变式8-2】（2021春•雁塔区校级期中）如图1，有A、B、C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形．（1）小明选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，剪出中间的正方形D型卡片，由此可验证的等量关系为；（2）小亮想用这三种卡片拼成一个如图3所示的长为2a+b，宽为a+b的长方形，那么需要A型卡片2张，B型卡片张，C型卡片张，并在图3中画出一种拼法．（图中标上卡片型号）【变式8-3】（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【考点9 乘法公式的几何背景】【例9】（2021秋•邓州市期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2．所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；（2）请直接写出下列问题答案：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝；②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．【变式9-1】（2021秋•龙港区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．方法1 ；方法2 ．（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为；（3）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为；（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．【变式9-2】（2021春•龙华区月考）【探究】若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．【变式9-3】（2021秋•永春县期中）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG 的边长分别为a和b（a＞b）．（1）求图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a，b的代数式表示）；（2）如果a+b＝8，ab＝6，求S1的值；（3）当S1＝S2时，求a与b满足的数量关系．【考点10 整式乘除中的规律问题】【例10】（2021秋•恩施市期末）观察下列式子：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；（1）根据以上式子，请直接写出（x n﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；（2）计算：1+2+22+23+24+ (22021)【变式10-1】（2021春•龙岗区月考）观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；…（1）猜想规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x2+x+1）＝；（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？（x6﹣1）÷（x﹣1）＝；（3）已知x3+x2+x+1＝0，分别求出x4和x2020的值．【变式10-2】（2021春•安徽月考）【操作】填空：（1）（x﹣1）（x+1）＝；（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）＝；（3）（x﹣1）（x+1）（x2+1）（x4+1）＝；…【猜想】根据上述等式的规律，猜想（x﹣1）（x+1）（x2+1）…（x2n+1）＝（用含n的式子表示，不用说理）；【应用】请根据猜想完成下列各题（直接写出结果，不用化简）：计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）＝；【变式10-3】（2021秋•大连期末）如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算．（1）计算：7×13﹣6×14＝，19×25﹣18×26＝；（2）请猜想方框里的四个数字计算结果的规律，并用整式运算对猜想的规律加以证明；（3）如图2，是2022年4月份的日历，选择任意的十六个数字方框，将四个角上的数字，仍按照题中的运算方法计算，（2）中的规律还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．。
几何背景下的乘法公式
议2·如果把以上大正方形边长变为 1 x ，小正方形边长
3
变为
1 4
y
，你能得到乘法什么算式？结果得多少呢？
乘法算式：(1
3
x
1 4
y )(1 x
3
1 4
y)
(1 3
x )2
(
1 4
y )2
你能从几何意义上解释下列算式吗？ 你能计算吗？ 动手做一做
① 解：∵ 2 b 2 ( b)2 2b
把 b 5,ab 6 代入上式得：
∴原式= 52 -2 6 25 - 12 13
② 解：∵ a3b ab3
b( 2 b 2)
b（ b)2 2ab
把a b 5,ab 6代入上式得： 原式 6 (52 2 6)
活动二： b
图1是由边长为a和边长为b的正方 形，构成的边长为a+b的正方形， 大正方形的面积有几种计算方法呢？ a 你发现它能验证那个乘法公式呢？
a
b
ab
b2 b
a2
ab a
a 图1
b
大正方形的面积计算方法1： （a b)2
；
大正方形的面积计算方法2： a2 2ab b2 ；
验证的公式： （a b)2 a2 2ab b2 .
方形的面积：
b
b
中间部分面积计算方法1： (a b)2
；
中间部分面积计算方方法2 （a b)2 4ab Nhomakorabea；
你有什么发现： （a b)2 - 4ab (a b)2
专题19 乘法公式六种常考题型分类训练(原卷版)
专题19 乘法公式六种常考题型分类训练（原卷版）题型一乘法公式的基本运算典例1（2023春•东昌府区期末）计算：（1）（2a+3b）（2a﹣3b）；（2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）；（3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）．典例2（2023春•莲湖区校级月考）计算．（1）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）；（2）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2．题型二利用乘法公式进行简便运算典例3（2023秋•榆树市期中）利用乘法公式计算：（1）20192﹣2018×2020．（2）99.82．典例4 （2023秋•南关区校级期中）用简便方法计算：（1）20232﹣2022×2024；（2）982+4×98+4．典例5（2023•定远县校级模拟）利用乘法公式计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）；（2）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．典例6（2023春•新泰市期末）计算：（1）20232﹣2022×2024；（2）112+13×66+392．题型三完全平方式和配方法典例7 （2023秋•渝中区校级月考）若多项式x2+（k﹣3）xy+4y2是完全平方式，则k的值为（）A．±7B．7或﹣1C．7D．﹣1变式训练1．如果x2+16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是．2．已知m为整数，多项式x2+mx+4是完全平方式，则m＝．3．（2022秋•宝山区校级期中）如果4x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，那么k的值是．4．（2019秋•镇原县期末）如果多项式1+9x2加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是（填上两个你认为正确的答案即可）．典例85﹣（a﹣b）2的最大值是，当5﹣（a﹣b）2取最大值时，a与b的关系是．典例9 （2023秋•天心区期中）阅读材料，解决后面的问题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m﹣n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，即：（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，解得：m＝﹣3，n＝3，∴m﹣n＝﹣3﹣3＝﹣6．（1）若x2+y2+6x﹣8y+25＝0，求x+2y的值；（2）已知等腰△ABC的两边长a，b，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求该△ABC的周长；（3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+36＜ab+6b+10c，求a+b﹣c的值．变式训练1．（1）多项式9x2+1加上单项式后．能成为一个含x的二项式的完全平方式．（2）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．题型四乘法公式在几何背景下的运用典例10（2022春•莲池区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x变式训练1．（2023春•和平区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab题型五利用乘法公式变形求代数式的值典例11（2023春•宝应县期中）已知a+b＝3，（a+3）（b+3）＝20，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2+5ab+b2：（3）a﹣b．变式训练1．（2022秋•渝中区校级期中）若n满足（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，（n﹣2014）（2019﹣n）＝．题型六乘法公式的综合运用典例12（2021秋•赣县区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．变式训练21．（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab= (a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC ＝10，则图中阴影部分的面积为．。
【初中数学精品资料】乘法公式
年 级 初二 学科数学内容标题 乘法公式 编稿老师应佳成【本讲教育信息】一、教学内容1. 会推导乘法公式，并了解乘法公式的几何背景2. 会用乘法公式进行简单计算二、重点、难点1. 重点：乘法公式的运用2. 难点：如何正确地运用乘法公式三、知识梳理1. 平方差公式：()()b a b a b a 22-=+-;2. 完全平方和公式：()b ab a b a 2222++=+;完全平方差公式：()b ab a b a 2222+-=-;3. 补充公式：立方和公式：()()b a b ab a b a 3322+=+-+； 立方差公式：()()b a b ab a b a 3322-=++-； 其它：()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++()b b a b a a b a 3223333+++=+4. 公式之间的变形：（1）基本的变形单位：y x +、y x -、y x 22+、xy（2）变形公式：()()ab b a b a 422+-=+（可以变形为多个公式）()()()b a b a b a 22222+=-++（3）特殊的公式：211222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k ；211222-+=⎪⎭⎫⎝⎛-kk k k【典型例题】例1. 计算下列各题： （1）()()x y y x ---； （2）()()y x x y --； （3）()()b a c c b a --++； （4）()()()b a a 2111+--+- 解：（1）原式=-+-()()x y y x=+-=-()()x y x y x y22（2）原式=---()()x y x y2222y xy 2x )y xy 2x ()y x (-+-=+--=--=2 （3）原式))((c b a c b a -+++-=[]2222222b ab 2a c )b a (c c )b a (---=+-=-+-=（4）原式)1)(1)(1(2b a a ++--==--+=-+--=--++()()()a b a a b b a a b b 2222222221111例2. 用乘法公式计算：（1）()()11222++-a a a ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21214121412122m m m m m m ；（3）已知：()654481682=+N ，求()()7858++N N 的值；（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a 22222122121.解：（1）原式[]22)1)(1(++-=a a a=-+a a 326321（2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41212141212122m m m m m m =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-m m m 3361818164（3）原式=()()N N ++5878()[]()[]()=+-++=+-=-=N N N 68106810681065448110065438122（4）原式=+⎛⎝⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪2214212222a b a b =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-212212414222244a b a b a b例3. 已知：3=+b a ，12-=ab ，求下列各代数式的值.22+ab 22+-()2解：（）123212924332222a b a b ab +=+-=-⨯-=+=()()222b ab a +-）（45369)12(333)(22=+=-⨯-=-+=ab b a （）34341294857222()()()a b a b ab-=+-=-⨯-=+=例4. 已知0132=+-a a ，求：（1）a a 221+；（2）⎪⎭⎫⎝⎛-a a 12解： a a 2310-+=∴-+=∴+=a a a a 31013（1）a a a a 2222112327+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-=（2）a a a a -⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-=114345222例5. 已知()()021322=+--+x x x x ，求()x +12的值.解： ()()x x x x 22312+--+=+++----=x x x x x x x 423243122220∴+-=∴+=++=+=x x x x x 222210121112()例6. 观察下列式子：()()1112-=+-x x x ； ()()11132-=++-x x x x ； ()()111423-=+++-x x x x x ； ……请你根据这一规律计算： （1）()()111++++--x x x x n n （2）1222221213+++++ 解：（1）原式=-+xn 11（2）原式=-+++++=-()()2122221211312214…例7. （1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：⎩⎨⎧=-=+566522 ⎩⎨⎧=-=+788722 1516161522+=-=⎧⎨⎩⎩⎨⎧=-=+2728282722 （2）从上面的计算中你发现了什么？你能用含一个字母的等式表示这个规律吗？ （3）请你用所学的知识解释这个规律的正确性；（4）请用上面的规律计算：10099985432122222222-+--+-+- . 解：（1）561165117815871515163116153127285528275522222222+=-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩+=-=⎧⎨⎩ （2）()()n n n n +-=++1122（3）左边=+-=++-=+()n n n n n n 121212222右边=+21n∴=∴左边右边等式成立（4）原式…=-++-+++-+()()()()()()121234349910099100=-++++++=-()1234991005050…【模拟试题】（答题时间：30分钟）［基础训练］1. （1）（a ＋b ）2＝_______；（2）（a －b ）2＝________.2. （1）（a ＋13b ）2＝a 2＋______＋19b 2； （2）（2x －y ）2＝4x 2－______＋y 2； （3）（－12m ＋1）2＝（ ）2－（ ）＋1； （4）x 2＋y 2＝（x ＋y ）2－_______. 3. 化简：（3x ＋2y ）2＋（x ＋y ）（－x －y ）. 4. 运用完全平方公式计算：（1）712； （2）4982； （3）2022； （4）79.82.5. 计算（－a 2＋12）2的结果是（ ） A . a 4－2a 2＋14 B . －a 4＋2a 2＋14 C . a 4－a 2＋14 D . －a 4＋a 2＋146. 计算（x ＋1）（－x －1）的结果是（ ）A . －x 2－2x －1B . －x 2－1C . －x 2＋2x －1D . x 2－1 7. 下列各等式中正确的是（ ） A . （x －2y ）2＝x 2－2xy ＋4y 2 B . （3x ＋2）2＝3x 2＋12x ＋4 C . （－3x －y ）2＝9x 2－6xy ＋y 2 D . （－2x －y ）2＝4x 2＋4xy ＋y 28. 设（a ＋b ）2＝（a －b ）2＋m ，则m 为（ ） A . －4ab B . －2ab C . 4ab D . 2ab［提高训练］9. 若x ＋1x＝3，则x 2＋21x ＝________.10. （2a b +）2－（2a b -）2的值为（ ）A . abB . 2abC . 2abD . 011. 当x 、y 取什么值时，代数式x 2＋y 2＋x －2y ＋2的值最小，这个最小值为多少？ 12. 已知x ＋y ＝－2，xy ＝－3，求x 2＋y 2的值.［应用拓展］13. （1）已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝2，求ab 的值.（2）已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，求a2＋b2及ab的值.【试题答案】1.（1）a2＋2ab＋b2（2）a2－2ab＋b22.（1）23ab （2）4xy （3）－12m m （4）2xy3. 8x2＋10xy＋3y24.（1）5041 （2）248004 （3）40804 （4）6368.045. C6. A7. D8. C9. 7 10. A11. x＝－12，y＝1，最小值为3412. 1013.（1）ab＝－1 2（2）a2＋b2＝112，ab＝34。
华师大版-数学-八年级上册-乘法公式 课标解读
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乘法公式课标解读
一、课标要求
人教版八上14．2乘法公式的内容包括平方差公式、完全平方公式及添括号等内容，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对这部分内容提的教学要求是：能推导乘法公式：(a+b)( a-
b) = a2- b2；(a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算．
二、课标解读
1．能推导平方差公式、完全平方公式，让学生知道从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的过程，学生在探索公式的过程中，经历观察、比较、抽象概括的学习过程．
2．在已有数学学习经验的基础上，会通过几何图形的面积验证公式，感知数形结合的思想，了解公式的几何背景．
3．理解乘法公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言准确表述公式内容，并能运用公式进行相关计算，在运用过程中进一步体会公式中字母表示的意义，强化对公式的理解．
4．添括号是与去括号相反的一个过程，有些整式的乘法需要先经过变形，然后再用公式，这时就体现了添括号的作用，同时，以后学习因式分解、分式运算及解方程等内容时添括号都有很重要的作用．
5．乘法公式是初中数学很重要的一部分内容，教学过程中应高度重视．能正确理解公式，能灵活运用公式是掌握乘法公式的具体体现，教师应重点关注，同时，在探究乘法公式的过程中所体现的转化思想、数形结合思想及从特殊到一般的数学方法等数学思想方法也应让学生着重体会．
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《整式的乘法复习专题——用几何面积表示整式运算》
整式的乘法复习专题——用几何面积表示整式运算 班级： 姓名： 座号： 小组：学习目标1、通过进一步体验几个乘法公式的几何背景，体会利用几何面积表示代数恒等式的方法；2、通过将几何问题代数化，以及利用整式运算解决几何问题初步体验，体会数形结合的思想方法在解决问题中的应用。
一、课前学习1.温故知新字母表示 几何表示图形表示 a 长为a 的线段b a + 线段b a 、的长度之和b a -)(b a > ab2a2.我们接触了一些整式乘法公式。
我们借用图形面积的方式来验证它们的正确性。
图1 图2图1的面积可表示为： 图1的面积还可表示为：图2的蓝色部分面积表示为： 图2的蓝色部分面积还可表示为： 这两个图形的面积分别说明哪两个公式？我们会发现：同一图形的不同面积表示方法得出的代数式之间有什么关系？a b a二、知识讲解，探索新知1.如图，图形中绿色部分面积可以验证代数式，这个代数等式是（ ）A. a 2−b 2=(a +b )(a −b )B.(a +b)2=a 2+2ab +b 2C.(a −b)2=a 2−2ab +b 2D.(a +2b )(a −b )=a 2+ab −2b 22.操作体验与探究发现（学生操作展示）活动一：计算(2a +b )(a +b)=并用以下图形（每种个数不限）拼出一个几何图形使它的面积为(2a +b )(a +b)？3.想一想：你能利用所给的若干张小卡片再拼出新的图形吗？根据你所拼的图形写出相应的代数等式。
活动二：现场小组合作用四个两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c 的直角三角形，用它们拼出一个正方形，在图形上标注关键线段，用不同的形式表示出四个直角三角形的面积，你发现了a 、b 、c 之间有什么数量关系？c ba。
七年级数学上册专题知识讲义-乘法公式、整式的除法(附练习及答案)
乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。
通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。
平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。
整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。
二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。
难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。
【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。
答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。
例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。
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• 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形， 用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状 和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一 个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） 2 2 2 2 m n m n • A、mn B、m n C D
• 如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片 是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分 别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸 片4张，则应至少取丙类纸片 _________ 张 才能用它们拼成一个新的正方形．
• 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1 张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方 形，则这个正方形的边长为 _________ ．
• 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公 式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平 方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能 得到的数学公式是 _________ ．
• 阅读材料并回答问题： • 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际 上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示， 2a ba b 2a 2 3ab b 2 ，就可以用图（1）或图 如： （2）等图形的面积表示 （1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： _________ ； （2）试画一个几何图形，使它的面积表示： 2a ba b 2a 2 3ab b 2
乘法公式的几何背景
如图4-3剪两张边长均为x的正方形纸片，再剪三张 长为x,宽为1的长方形纸片和一张边长为1的正方形 纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形？ 由此你发现了什么？
• 图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用 剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和 大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个 正方形，则中间空的部分的面积是（ ） 2 2 2 2 a b • A．ab B． C． a b D． a b
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式， 并画出与它对应的几何图形．
Байду номын сангаас
• 如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图 中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个 较大的正方形． • （1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表 示，不必化简）； • （2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？ • （3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如 果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．
• 图（1）是边长为（a+b）的正方形，将图（1）中的阴 影部分拼成图（2）的形状，由此能验证的式子是 （ ） 2 2 a b a b 4ab • A • B． a b2 2ab a2 b2 • C a ba b a 2 b2 • D． a b2 a2 b2 2ab