3.1无理数(1)导纲a

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无理数及根号基础知识回顾

无理数及根号基础知识回顾无理数的解题方法一、无理数及根号1. 无理数为无限不循环小数。

（满足条件3个条件，小数无限不循环）判定方法：带“√”且无法分解的，带π 的。

其余均为有理数。

2. 读法：√x 读作“根号x ”，“x 的算数平方根” “x 的二次方根”。

√3读作“x 的立方根” “x 的三次方根”。

√x 4读作“x 的四次方根”。

√x 5读作“x 的五次方根”。

√x 6读作“x 的六次方根”。

√x n 读作“x 的n 次方根”。

注意：√=√2，当√2通常“根号”处的“2”不写。

3. 根号和无理数怎么来的？2×2=22=4 , 3×3=32=9，那么思考：A ×A =22=4，那么A= ; B ×B =32=9，那么B= C ×C =42=16，那么C= ; D ×D =52=25，那么D=再思考：E ×E =E 2=7，那么E=观察：2×2=22=4 , 3×3=32=9A ×A =22=4，那么A=√4=√22=2,即√4=2B ×B =32=9，那么B=√9=√32=3,即√9=3C ×C =42=16，那么C=√16=√42=4,即√16=4D ×D =52=25，那么C=√25=√52=5,即√25=5那么：E ×E =E 2=7，那么E=√7★无法计算的则直接用根号表示。

同理：2×2×2=23=8，那么F ×F ×F =F 3=23=8√83=√233=2那么：G ×G ×G =G 3=10，那么G=√1034. 无理数的简化计算基本数√4=2 √9=3 √16=4 √25=5 √36=6 √49=7 √64=8 √81=9 √100=10 √121=11 √144=12 √169=13 √196=14 √225=15√83=2 √273=3 √643=4 √1253=5 √2163=6 √3433=7 √5123=8 √164=2 √814=3 √325=√255=225=32，26=64，27=128，28=256，29=512，210=1024 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=22523=8 33=27 43=64 33=125 63=216 73=343 83=512 24=16 34=81 25=32简化计算√8=√4×2=√4×√2=2√2, √12=√4×3=√4×√3=2√3 √18=√9×2=√9×√2=3√2, √20=√4×5=√4×√5=2√5 √56=√4×14=√4×√14=2√14, √52=√4×13=√4×√13=2√13试试看：√24，√48，√72，√56，√108，√37535. 平方根与算数平方根，偶数次方根和奇数次方根√?2 √?32此情况不存在。

无理数的性质与运算知识点总结

无理数的性质与运算知识点总结无理数是指不能用两个整数的比来表示的实数。

无理数具有一些特殊的性质和运算规则，以下将对这些知识点进行总结。

一、无理数的性质：1. 无理数无限不循环：无理数的小数部分是无限不循环的，没有重复的数字模式，例如π、e等。

2. 无理数无法精确表示：无理数不能用有限的整数表示，只能用无限的小数来表示。

虽然我们可以使用近似值来表示无理数，但无法得到其精确值。

3. 无理数的无限性：无理数在实数直线上是连续分布的，没有间隙或缺口。

二、无理数的运算规则：1. 无理数的加法：无理数之间的加法满足交换律和结合律，即对于任意的无理数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和a + b = b + a。

2. 无理数的减法：无理数之间的减法也满足交换律和结合律，即对于任意的无理数a、b和c，有(a - b) - c = a - (b + c)和a - b = -(b - a)。

3. 无理数的乘法：无理数之间的乘法也满足交换律和结合律，即对于任意的无理数a、b和c，有(ab)c = a(bc)和ab = ba。

4. 无理数的除法：无理数之间的除法，可以通过将被除数乘以除数的倒数来实现。

例如，a除以b可以表示为a * (1/b)。

三、常见的无理数：1. π（圆周率）：π是一个无理数，其近似值为3.14159。

它表示的是任意圆的周长与直径的比值。

2. e（自然对数的底）：e也是一个无理数，其近似值为2.71828。

它是自然对数的底数，广泛应用于数学和科学领域。

3. √2（根号2）：根号2是一个无理数，没有一个精确的小数表示形式。

它是一个无限不循环的小数。

综上所述，无理数具有无限不循环、无法精确表示以及无限性的特点。

在运算中，无理数的加法、减法、乘法和除法都满足交换律和结合律的规则。

常见的无理数有π、e和√2等。

了解和掌握无理数的性质和运算规则对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

华师大版七年级数学下册全册教案

华师大版七年级数学下册全册教案一、教学内容本教案依据华师大版七年级数学下册，全册内容包括：1. 第一章实数1.1 无理数1.2 实数的运算2. 第二章代数式2.1 多项式2.2 合并同类项2.3 一元二次方程3. 第三章函数3.1 一次函数3.2 一次函数的图像3.3 一次函数的性质4. 第四章四边形4.1 矩形4.2 菱形4.3 正方形二、教学目标1. 理解并掌握实数、代数式、函数和四边形的基本概念和性质。

2. 学会运用实数进行运算，解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：无理数的理解、一元二次方程的解法、一次函数的图像与性质。

2. 教学重点：实数的运算、合并同类项、四边形的基本性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型。

2. 学具：练习本、草稿纸、直尺、圆规。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入无理数的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：讲解无理数、实数的运算、多项式、合并同类项、一元二次方程、一次函数、四边形等内容。

3. 例题讲解：针对每个知识点，选取典型例题进行讲解，分析解题思路和方法。

4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予反馈。

6. 课后作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识。

六、板书设计1. 板书左侧：列出本节课的知识点，突出重点、难点。

2. 板书右侧：展示例题及解题步骤，方便学生理解。

3. 适当添加图表、模型等，提高视觉效果。

七、作业设计1. 作业题目：（1）计算题：实数的加减乘除运算。

（2）填空题：合并同类项，求解一元二次方程。

（3）解答题：一次函数的图像与性质，四边形的性质。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握程度，调整教学方法。

2. 拓展延伸：针对学有余力的学生，提供一些拓展题目，提高学生的思维能力和解题技巧。

例如：研究实数的幂运算、一次函数的图像变换、四边形的特殊性质等。

初中数学最新-七年级数学无理数同步练习精品

3
（ 1）写出所有有理数；
（ 2）写出所有无理数；
（ 3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接 .
12. 我们知道，无限不循环小数叫无理数 . 试根据无理数的意义，
请你构造写出两个无理数 .
13. 体积为 3 的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可
能是有理数吗？请说明你的理由 .
答案：
一、 1.B 2.D 3.D 4.B 5.C
二、 6.2 7. 有限小数无限循环小数无限不循环小数 8. 不
是不是不是 9. 不是是 10.2.24
三、 11.(1) － 3 , －1. 42 ,3.1416, 2 ,0,4 2,( －1) 2n (2) π , －
4
3
1.424224222, (3) －1. 42 <－1.424224222, <－ 3 <0<2 <( － 1) 2n<
边长 ______有理数 .( 填“是”或“不是” )
10. 一个高为 2 米，宽为 1 米的大门，对角线大约是 ______米( 精
确到 0.01).
三、解答题 11. 已知：在数－ 1.424224222, 中，
3 ，－ 1. 42 , π ,3.1416,
4
2 ,0,4 2,( － 1) 2n, －
43
π<3.1416<42 12. 略 13. 不可能不可能不可能略 14 不可
能不可能不可能 15 （1）不是略（2）2 2
14. 如图，在△ ABC中，CD⊥AB，垂足为 D，AC=6，AD=5，问：CD
可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
15. 设面积为 5π的圆的半径为 y，请回答下列问题：（ 1）y 是有理数吗？请说明你的理由；（ 2）估计 y 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.

31第2课时无理数

TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣（比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在背上刺下“精忠报国”四个字）；
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在编故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
解决问题）
学习知识的能力（学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极主动
以终为始
分清主次
不断更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
无理数的发现
希伯索斯(Hippasus)
毕达哥拉斯的学生
?
真理毕竟是淹没不了的。真理是经得起时间的考验的！人们不会忘记希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，还把这样的数取名为“无理数”。
巧妙的组合：
（1）图2-1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

无理数的性质及运算规律

无理数的性质及运算规律一、无理数的定义1.无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。

2.无理数不能精确地表示为分数形式，其小数部分既不会终止也不会无限重复。

二、无理数的性质1.transcendental number：无法表示为任何一种函数的根，如π和e。

2.不可数性：无理数集合中的元素无法与自然数一一对应，即无法数清无理数的个数。

3.均匀分布性：无理数在小数点后的每一位出现的概率是相等的。

4.无法表示为有限或无限循环小数：与有理数相区别的根本特征。

三、无理数的运算规律1.加减法：无理数加减无理数仍为无理数。

示例：√2−√2=02.乘除法：无理数乘以无理数仍为无理数。

示例：√2×√2=23.乘方：一个无理数的平方仍为无理数。

示例：(√2)2=24.无理数与有理数的运算：结果为无理数或是有理数，取决于运算方式。

示例：√2+1（无理数与有理数和为无理数）5.根号的性质：只有非负实数的平方根才是无理数。

示例：√(−2)没有实数解四、无理数在日常生活中的应用1.测量与工程：角度、几何尺寸的精确度等。

2.物理科学：自然界的许多现象与数学常数相关，如π在圆的周长与直径的比值中。

3.计算机科学：算法中的随机数生成、加密等领域。

五、无理数的估算与近似1.逼近法：使用有理数逼近无理数的值，如用分数近似π。

2.近似值：在需要的精度范围内，对无理数进行近似取值。

示例：π≈3.14六、无理数在数学中的地位1.实数体系：无理数与有理数共同构成实数集，是数学分析、微积分等高级数学分支的基础。

2.数论：无理数在数论中有着广泛的应用，如素数的分布等。

3.几何学：无理数在几何形状的计算和理论分析中不可或缺。

总结：无理数是实数的重要组成部分，其独特的性质和运算规律在数学、科学及日常生活中具有广泛的应用。

习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？方法：无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。

(课件2)3.1无理数

1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164
1.414<a<1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449
归纳：a是一个无限不循环小数，这样的数我们称它为无理数
1、做一做： 86页（1）做一做
数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你才有可能爬上科学的大山。
同学们，让我们一起走进美妙的数学世界——
4.1无理数
什么是有理数？
有理数分为整数（正整数、零、负整数）分数（正分数、负分数）
议一议：把下列各数表示成小数，你发现了什么？
小结：正方形的边长b不是有理数，是一个无限不循环小数 2、86页随堂练习
小结：正三角形的高h也不是理数，是一个无限不循环小数。
3、87页习题4.1 小结：长方形的对角线的长也不是有理数，是一个无限不循环小数
4、87页，试一试
结论：无限不循环小数叫做无理数
例题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3 ， 0.1010010001……
知识应用: (1)88页做一做 (1)89页随堂练习 (2)90页习题4.2 通过这节课的学习,你能有哪些收获? 布置作业：伴你学
再见
（1）5.101010101……（相邻两个1之间有一个0）
（2）1.0203040506……(从小到大排列的相邻两个
正整数间都有一个0
(3) 3
..
（4）0.5 7（5）0.1010010001……

初二无理数的概念及运算

初二无理数的概念及运算无理数是数学中的一类特殊数，它不能被表示为两个整数的比值，而且不能用有限的小数或无限循环小数表示。

在初二阶段的学习中，我们需要掌握无理数的概念和运算规则。

一、无理数的概念无理数是一类不能被有理数表示的数，它的十进制表示是无限不循环的。

最常见的无理数就是π（圆周率）和根号2。

1. 圆周率π圆周率π是一个无限不循环的小数，它的十进制表示约为3.14159。

圆周率π是一个无理数，这意味着它不能被写成两个整数的比值。

无论我们如何计算，都无法知道π的精确值，因为它是一个无限不循环的小数。

2. 根号2根号2是另一个重要的无理数，它表示正方形的对角线与边长的比值。

根号2的十进制表示约为1.414。

与π一样，根号2也是无理数，不能被写成两个整数的比值。

二、无理数的运算规则在初二阶段，我们需要了解无理数的基本运算规则，包括无理数的加法、减法和乘法。

1. 无理数的加法和减法无理数的加法和减法与有理数的加法和减法类似。

例如，如果我们要计算根号2加上根号3，我们可以将它们写成无理数的形式，即√2 + √3。

然后，按照有理数的加法规则，我们可以将根号2和根号3当作不同的数相加，得到√2 + √3 ≈ 2.414。

同样，我们可以进行无理数的减法运算，只需要将减数变为负数即可。

2. 无理数的乘法无理数的乘法与有理数的乘法也类似。

例如，如果我们要计算根号2乘以根号3，可以写成√2 × √3。

然后，我们可以将根号2和根号3分别化简成最简形式，即√6。

所以，√2 × √3 = √6。

三、实际应用无理数在数学和物理中有广泛的应用。

以π为例，它在几何学和圆的相关问题中经常出现。

另外，根号2也常被用来表示边长为1的正方形的对角线。

无理数广泛应用于科学和工程领域，帮助我们解决各种实际问题。

结语：初二阶段了解无理数的概念和运算规则，是打下数学基础的关键一步。

通过学习无理数的概念和运算规则，我们可以更好地理解数学的精髓，并且在未来的学习中能够更自如地运用无理数解决问题。

八年级上册U3T1SA知识点

八年级上册U3T1SA知识点在初中阶段，学生学习的知识点越来越丰富和深入。

八年级上册数学第三单元第一节的知识点可以说是其中之一。

本文就来详细介绍一下八年级上册数学第三单元第一节的知识点。

1.实数的概念及其分类实数是指全部有理数和无理数的集合。

其中，有理数包括整数、分数和整数与分数的代数和。

无理数包括不能写成有限小数和循环小数的数。

实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数可以表示为有限小数或循环小数，无理数不能写成有限小数或循环小数。

2.有理数的比较大小对于任意两个有理数，都可以使用大小符号（>、<、=）进行比较。

比较的方法有如下几个：（1）化成相同分数比较大小；（2）转化为小数比较大小；（3）利用传递性进行比较。

3.有理数的加减法有理数的加减法运算过程中，可以将所有数化成同类项，然后进行加减。

对于有理数的加减法，需要注意以下几点：（1）两数相加或相减，同号的数相加减要取相同符号，异号的数相加减要取较大数的符号。

（2）加法运算满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

（3）减法运算的结果是一个数，其中减数要在被减数的左边，被减数与减数相等时，差为0。

4.有理数的乘法有理数的乘法运算过程中，可以将所有数化成最简整数比，然后进行乘法运算。

对于有理数的乘法，需要注意以下几点：（1）同号的数相乘为正数，异号的数相乘为负数。

（2）乘法满足交换律和结合律，即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。

（3）一个数与零相乘的结果为零。

5.有理数的除法对于有理数的除法，可以将除数乘以一个数，使其成为整数，然后整除。

对于有理数的除法，需要注意以下几点：（1）除数不能为零。

（2）同号的数相除为正数，异号的数相除为负数。

（3）除法运算不满足交换律和结合律。

6.无理数的近似值与比较大小无理数的近似值可以用一些方法进行求解，比如无限不循环小数的截断近似法、有限小数的补全近似法等。

数学重点知识复习提纲

数学重点知识复习提纲数学作为一门基础学科，对于学生来说是必修的科目之一。

然而，由于数学的抽象性和复杂性，很多学生在学习过程中会遇到困难。

为了帮助学生更好地复习数学知识，下面将提供一个数学重点知识复习提纲，以便学生有条不紊地进行复习。

1. 数的性质与运算1.1 自然数、整数、有理数、无理数和实数的概念与性质1.2 加法、减法、乘法和除法的运算性质1.3 分数的性质与运算1.4 百分数、比例与比例关系的应用2. 代数式与方程式2.1 代数式的概念与性质2.2 一元一次方程与一元一次不等式的解法2.3 二元一次方程组的解法2.4 平方根与二次方程的解法2.5 分式方程与分式不等式的解法3. 几何图形与几何变换3.1 平面图形的性质与分类3.2 直线、角、三角形、四边形和多边形的性质3.3 圆的性质与圆周角3.4 相似与全等的概念与判定3.5 平移、旋转、翻转和对称的基本变换4. 函数与图像4.1 函数的概念与性质4.2 一次函数、二次函数和指数函数的图像与性质4.3 对数函数、三角函数和反三角函数的图像与性质4.4 函数的运算与复合函数的概念与性质4.5 函数方程与函数不等式的解法5. 统计与概率5.1 数据的收集、整理与分析5.2 频数表、频率表和频率分布图的制作与分析5.3 概率的概念与计算5.4 事件与样本空间的概念与性质5.5 随机变量与概率分布的概念与性质以上提纲涵盖了数学的主要知识点，学生可以根据自己的实际情况进行复习。

在复习过程中，可以采取以下策略：首先，建立知识框架。

将每个知识点的概念、性质和解题方法整理成表格或思维导图，有助于学生理清知识脉络。

其次，掌握基本概念。

数学是建立在基本概念之上的，学生要深入理解每个概念的含义和性质，做到心中有数。

再次，多做习题。

通过大量的习题练习，可以帮助学生巩固知识，提高解题能力。

可以选择一些典型的习题进行反复练习，同时也要注重思考和总结。

最后，做好归纳总结。

41无理数课件

正三角形ABC的边长为2，底边上的高为h， h可能是整数吗？可能是分数吗？
A
h不是整数.
(2)比如1 1 1，2 2 4 2 2 43 3 9
2 h
两个相同的分数相乘结果都是分数，
h不是分数.
B
D
C
h不是有理数.
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（1）面积为7的正方形的边长是有理数吗？为什么？（2）面积为4的正方形的边长是有理数吗？为什么？
（3）a可能是以2为分母的分数吗？可能是以 3为分母的分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。（4）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
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归纳：
在等式 a2 2 中，a既不是整数，
也不是分数，所以a不是有理数。
考考你：
（1）以直角三角形的斜边的正方形面积是多少？
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者就把不可公度的量取名为无理数这便是无理数的由来
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)。这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可公度的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。
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八年级上册数学复习知识点总结：有理数和无理数

八年级上册数学复习知识点总结：有理数和无理数第一篇：八年级上册数学复习知识点总结：有理数和无理数八年级上册数学复习知识点总结：有理数和无理数无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数数学上，有理数是两个整数的比，通常写作a/b，这里b 不为零。

分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。

数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。

希腊文称为λογο??，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

不是有理数的实数遂称为无理数。

所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

以上就是为大家整理的八年级上册数学复习知识点总结：有理数和无理数，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!第二篇：人教版八年级上册数学复习知识点总结(全)全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线34定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上35逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称36勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^237勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形38定理四边形的内角和等于360°39四边形的外角和等于360°40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°41推论任意多边的外角和等于360°42平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等43平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等44推论夹在两条平行线间的平行线段相等45平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角51矩形性质定理2 矩形的对角线相等52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角56菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷257菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的62定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分63逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称64等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等65等腰梯形的两条对角线相等66等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形67对角线相等的梯形是等腰梯形68平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h73(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d74(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d75(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值91圆是定点的距离等于定长的点的集合92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合93圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合94同圆或等圆的半径相等95到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆96和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线97到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线98到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线99定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

14.3.1 无理数

式吗？
(2)分数可以写成有限小数或无限循环小数，如

1 100
=－0.01，
3 5
＝－0.6，7 2
=3.
5， 3 16
=0.187
5,

1 3
=－0.333
33…＝－0.3. ，2 3
=0.
666
. 66…=0.6，
知1－导
问题2
7 22
＝318
18
.. …=0.318.
任意给定一个分数，你能将它写成有限小数或无限
(2)如果设正方形的边长为x cm，那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？
知1－导
事实上，因为S△ABC＝
1 2
×2×2＝2cm2.如果
设正方形的边长为x cm，那么x2 = 2.因为正方形的
边长是正数，所以x是2的算术平方根，即x＝ 2.
2 是一个什么样的数呢？
知1－导
问题1
1. 2是整数吗？－3，－2，－1，0，1，2，3的平方2吗？你
循环小数的形式吗？(可以借助计算器计算） (3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环
小数的形式呢？
事实上，有理数总可以写成有限小数或无限循环小
数的形式，而 2 ，π是无限不循环小数.
结论
知1－导
我们把无限不循环小数叫做无理数(irrational number). 其实，无理数有很多，像
3 ＝1.732 05…， 5＝2.236 06…， 6 ＝2.449 48…， 3 2 ＝1.259 92…，3 3 ＝1.442 24…，3 10 ＝2.154 43…， 1. 212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2) 等，都是无限不循环小数，它们都是无理数. 无理数包括正无理数和负无理数.如 2, π, 3, 5, 7 等，都是正无理数； 2, π, - 3, 5, 7 等，都是负无理数. 一般地，如果a是一个正无理数，那么－a是一个负无理数.

2022年湘教版八上《无理数》立体精美课件

例1.计算: (x+2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
利用和的完全平方公式计算:
(1) (a+1 )2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2 =
(2) (2a+3b ) 2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2 =
所以， 8 2.828.
练一练
用计算器比较下面两数的大小： (1) 5 1; (2) 67 π.
解:（1） 5 1 3.236 067 978；（2） 67 π 3.339 148 045；
67π> 51.
当堂练习
1.下列各数：
， 0， 0.23，1，25，1，
2
27
0.303003(相邻两个
3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ A ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】无限不循环小数是无理数，其中，0.303003
2
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.
2.下列各数中，是无理数的为（ C）
A【. 解3.1析4 】因B.为13 3C.1.40 是.3 小0 数5 3 ，0 15 是5 分3 0 数5 ，5 0.5 4•是无D限. 循0 . 环4• 小
要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是
一样的吗？”同学们，你觉得两个农夫的要求
是一样的吗？
你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？你能得到什么结论？

3.1无理数

1 1 1 1
将两个边长为1分米的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形.
a a
a
（1）设所拼正方形的边长为a，a 应满足什么条件？（2）a可能是整数吗？为什么？（3）a可能是分数吗?说说你的理由.
三、互动交流质疑解难（1）大正方形的边长为a时， a2=2.
（2）a不可能是整数. 因为12=1, 22=4 ,32=9, …, 越来越大，没有平方是2的整数,所以a不可能是整数.
四、积极探索提升能力
2
2
1
1
a 面积为2 a
（1）如上图，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？……借助计算器进行探索.
(3)把你的探索过程填入如下表格
边长a 面积s
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415
1<s<4 1.96<s<2.25
1.9881<s<2.0164
1.999396<s<2.0022 25
1.4142<a<1.41 43
1.99996164<s<2.0002 4449
(4)你还想继续算下去吗? (5)在这个问题的探索过程中你还有疑问吗？
归纳总结：a=1.41421356…是一个无限不循环小数.
（3）a不可能是分数.
1 1 1 2 2 4 ， × = ，…，因为 × = 2 2 4 3 3 9 两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a不可能是分数.
在等式a2 =2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 结论:有理数以外的数是客观存在的.

鲁教版数学七上3.1无理数教案(20201124145313)

3. 1无理数教学目标（-）教学知识点1. 通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2. 能判断给出的数是否为有理数：并能说出理由.（二）能力训练要求1•让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进「行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.（三）情感与价值观要求1•激励学生枳极参与教学活动，提髙大家学习数学的热情.2. 引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3. 了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为頁•理而奋斗的献身精神.教学重点1. 让学生经历无理数发现的过程•感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2. 会判断一个数是否为有理数.教学难点1. 把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2. 判断一个数是否为有理数.教具准备有两个边长为1的正方形，剪刀.投影片两张：第一张：做一做（记作§3.1.1 A）；第二张：补充练习（记作§3.1.1 B）.教学过程I •创设问题情境，引入新课：［师］同学们，我们上了好多年的学,学过不•计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范I丙，有理数包括整数和分数，那么有理数「范囤是否就能满足我们实际生活的需要呢？下而我们就来共同研究这个问题.II •讲授新课1•问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿岀自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下而再请大家共同思考一个问题，假•设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢［生甲］a是正方形的边长，所以a肯泄是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形而积，所以札无据正方形而积公式可知a2二2.［生丙］由a2二2可判断a应是1点几. ［师］大家说得都有道理，前而我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a 是分数吗？.请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为J2二1, 22=4, 32=9,…整数的平方越来越大，所以a应在1 和2之间，故a不可能是整数.1 1 12 2 4 1 1 1—X — = —、— X — = —, — X —=—［生乙］因为22 43 3 933 9,…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a2二2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了2.做一做：投影片§3.1.1 A(1) 在下图中，「以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2) 设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？(3) b是有理数吗？［师］请大家先回忆一下勾股左理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a, b,斜边为c,则有a*b匚cl［师］在这个题中,两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股定理得b==f+2\即吐5, 则b是有理数吗？请举手回答［生甲］因为2：=4, 3匚9, 4V5V9,所以b不可能是整数.［生乙］没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上而讨论的数a, b都不是有理数，而是另一类数一一无理数. 关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的•早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述•后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发.现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现•也就是我们前而谈过的a匚2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方而应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.III.课堂练习（一）课本随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2,高为h, h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD二1,在RtAABD中，由勾股定理得h==3. h不可能是整数，也不可能是分数.IV.课时小结1. 通过拼图活动，让学生感受有理数又不够•用了，，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.2. 能判断一个数是否为有理数.V.课后作业课本习题3.1解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a,得a2=32+22, a2=13a不可能是整数，也不可能是分数VI.活动与探究下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB二2, BE二1, AB、BE是有理数.ADLAB+BD匚2和3匚13, AC：= 1 + 1=2.AE^AB'+BE^'+l^S.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.板书设计：教学反思：无理数的引入是比较重要的，也渗透着估讣数的大小的问题，为后面教学内容做一个好的铺垫。

《无理数》课件1

2 2 2 2 2
所以5不是有理数.
随堂练习
1 、如图，正三角形 ABC 的边长为 2 ，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
A 2 h B C
解：由正三角形的性质可知 BD=1 ，在 Rt △ ABD 中，
2 h 由勾股定理得 =3.h 不可
能是整数，也不可能是分
数.
一、想一想
A.面积为25的正方形
B.面积为16的正方形
C.面积为7的正方形
D.面积为1.44的正方形
设计面积为5π的圆的半径为a.
(1)a是有理数吗？说说你的理由.
(2)估计a的值(精确到十分位，并利用你的计算器验证你的估计. (3)如果精确到百分位呢？
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .
(1)a不是有理数，因为a既不是整数，也不是分数，
(1) 如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2) 设该正方形的边长为b， b满足什么条件？
2 1
(3) b是有理数吗？
在直角三角形中，若两条直角边长为 a，b，斜
边为c，则有a +b =c . 在这个题中，两条直角边分别为 1和2，斜边为 b ，根据勾股定理得 b2=12+22 ，即 b2=5 ，则 b 是有理数吗？因为2 =4，3 =9，4＜5＜9，所以b不可能是整数 . 没有两个相同的分数相乘得 5，故 b 不可能是分数.因为没有一个整数或分数的平方为5，
B C
1
1
探索1： a可能是整数吗？说说你的理由. 析：据勾股定理有： a2＝2
因为12=1，22=4 而a2＝2 所以12<a2 <22
即1<a<2，故a不是整数
探索2： a可能是分数吗？说说你的理由.

湘教版数学八年级上册3.1《无理数》教学设计

湘教版数学八年级上册3.1《无理数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册3.1《无理数》是学生在学习了有理数的基础上，进一步扩大数的概念，认识无限不循环小数，了解无理数的概念及其应用。

教材通过丰富的现实背景和生动有趣的例子，引导学生探究无理数的定义，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数，对数的运算、分类有一定的了解。

但八年级的学生对无理数的概念、性质和应用还不够明确。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论和实践活动，提高学生的数学素养。

三. 教学目标1.了解无理数的定义、性质和应用。

2.能正确判断一个数是无理数还是非无理数。

3.培养学生的逻辑思维能力、创新意识和实践能力。

4.提高学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：无理数的定义、性质和应用。

2.教学难点：无理数的判断方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过现实背景和生动有趣的例子，引导学生探究无理数的定义。

2.讨论法：学生进行课堂讨论，分享各自的观点和思考，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3.实践操作法：让学生参与实践活动，如计算、绘图等，巩固无理数的概念和性质。

4.引导发现法：引导学生发现无理数与有理数的区别和联系，自主探究无理数的性质。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示无理数的定义、性质和应用。

2.教学素材：收集现实背景材料和有趣例子，用于引导学生探究无理数。

3.练习题：准备相关练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用现实背景材料，如π的值、sqrt(2)的值等，引导学生发现这些数不能表示为两个整数的比，从而引出无理数的概念。

2.呈现（15分钟）展示无理数的定义，用PPT呈现无理数的性质和例子，让学生了解无理数的特点。

3.操练（15分钟）让学生进行练习，判断给定的数是无理数还是非无理数。