量子力学2012复习题

合集下载

量子力学试卷期末例题(第1-4章)

第一至四章例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了【】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的【】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是【】 A 、戴维孙——革末实验 B 、黑体辐射C 、光电效应D 、斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是【】 A 、单值、正交、连续 B 、归一、正交、完全性C 、连续、有限、完全性D 、单值、连续、有限5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et irϕϕψ+-=,)exp()()exp()(22112t E ir t E i r ϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r -+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E ir -+-=ϕϕψ其中定态波函数是【】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为【】 A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a .7、量子力学中用来表示力学量的算符是【】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]ˆ ,ˆ[x p x = 【】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是【】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlm ψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ二、填空题1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子）。

量子力学基础复习题1

量子力学基础复习题11量子力学基础部分复习题一．选择题1．用单色光照射在某种金属上做光电子实验，以下几个判断中正确的是：(A) 光强（能流）越大，产生的光电流一定越大；(B) 用红外光做实验，几乎不可能产生光电流；(C) 用紫光可以产生光电流，用相同强度的蓝光产生同样的光电流；(D) 金属电极之间加不加电压，观测到相同的现象。

［］2．根据玻尔理论，氢原子中的电子在n =3的轨道上运动的动能与在基态的轨道上运动的动能之比为(A) 1/3． (B) 1/6．(C) 1/9． (D) 1/27．［］3．电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 ? ，则U 约为(A) 150 V ． (B) 330 V ．(C) 630 V ． (D) 940 V ．［］(是否用相对论！？)4．关于不确定关系≥??x p x ，)2/(π=h ，有以下几种理解：(1) 粒子的动量可以准确测定；(2) 不确定关系反映了物质的波动特性；(3) 粒子的动量和坐标可能同时准确测定；(4) 不确定关系适用于电子，但不适用于光子。

其中正确的是：(A) (1)，(2). (B) (2)，(4).(C) (3)，(4). (D) (2)，(3). ［］5．氢原子中处于3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为(A) (3，0，1，21-)． (B) (1，1，1，21-)． (C) (2，1，2，21)． (D) (3，2，0，21)．［］6. 光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程.对此，在以下几种理解中，正确的是(1) 两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律.(2) 两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程.(3) 两种效应都属于电子吸收光子的过程.(4) 光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程. ［］二．填空题：1．波长为λ0 = 0.500 ?的X 射线被静止的自由电子所散射，若散射线的波长变为λ = 0.5222 ?，反冲电子的动能E K 是（）。

河西学院量子力学试题及答案 2

第1页共2页河西学院2011—2012学年第二学期期末考试试卷一、选择题1.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 2.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 3.几率流密度矢量的表达式为A. J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ B. J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.4.质量流密度矢量的表达式为A. J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ. B. J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.5. 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 6.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.7.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.8.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 9.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 10.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E .B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 11.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ. B.-μ22222e n s . C.242ne s μ -. D. -μe n s 4222 . 12.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.13. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 14.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.15.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.16.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π 17.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 18.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小. 19一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的.专业：物理学课程：量子力学第2页共2页C.奏力场特有的.D.普遍具有的.20.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .二、填空题1. 对易关系[, ]x px 等于 2. 对易关系[, ]L zy 等于 3. 对易关系[, ]x p y 等于 4. 对易关系[ , ]LL xz等于 5. 对易关系[ , ]L L x2等于 6. 对易关系[, ]L p x y 等于 7. 对易关系[ , ]Lp zy等于 8. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数)三、计算题1.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是2.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是3.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为。

量子力学例题与解答

《量子力学》复习例题与题解一、基本概念1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。

2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为力学量算符Q ˆ的相应于本征态nψ的本征值。

4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。

5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。

6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t xψ必须归一化，即1),(2=⎰τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要的精度逐步进行一级、二级或高级修正。

10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。

2012中国科学院量子力学真题解答

a
当 m n时 2 a m x 2 xmn x s i n ( )dx a 0 a a 2
二、解： Pn 0 其中 n0
1 n H ' 0 e i n 0 t d t 2 0 ( E n E 0 ) / n
2
n H ' 0 qE exp( x n = x 0 =
3
1/ 2
0
（ 3） ( ) N (1 H ') 0 , ( ) 0 N (1 H ')
( ) ( ) 1 N
2

1 1 2 H ' 0
2
H ' 0
2

1
2
1 H '2 0
E ( ) ( ) H ( ) ( ) H 0 H ' ( ) = 0 N (1 H ')( H 0 H ') N (1 H ') 0 N 2[E0 H '
0
0
+ 2 E 0 H '2
0
]
E0 由 E ( ) 0

2
2
2
[ H ', [ H 0 , H ']] H ' 0
2
1

2 H '2
2 2
0 0
[ H ', [ H 0 , H ']]

2a02 1 2 e E0
E ( ) E 0 2e a0
四、解： 1） [ J x , J y ] i J z ; [ J y , J z ] i J x ; [ J z , J x ] i J y ; J J iJ 2) m J x n 1 m Jy Jz JzJy n i 1 [ m Jy Jz n m Jz Jy n ] i 1 [n m J y n m m J y n ] i nm m Jy n i 1 m Jz Jx JxJz n i m n = m Jx n i nm m Jy n i nm m n . m Jx n i i (n m )2 m J x n 1 (n m )2 =0 m n 1 所以当且仅当 m n 1时， m J x n 不为 0 . 3）在（ J 2 , J z ) 表象中， J = 1 , m = - J , - J 1 , . . . . , J 1, J .所以 m 0 , 1 . J z =，相应的 1 本征态为 1 0 ； J z =0， 0 0 1 1 1 2 ； J x =0， 2 ' 0 ； 2 1 1 0 1 ； J z =-， 0 J x =-， 0 1 0 1 1 1 3' 2 2 1

量子力学复习题及答an答案比较全

量子力学期末考试辅导一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。

能级分立。

非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。

能级分立。

2. 简并、简并度。

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。

把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。

解：()⎰∞Ω=022,,dr r r d P ϕθψ4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。

解：()ϕϕθψθθππd r d dr r P ⎰⎰=2022,,sin5. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。

写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。

解： ()⎰Ω=adr r r d P 022,,ϕθψ6. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

解：()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

解：!2,)()(2/22n A x H eA x nn n x n n ⋅==-πααψα,2,1,0,21=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n E n ω8. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。

解：能量本征值和本征波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ 9. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。

量子力学必考题

量子力学必考题第二章微扰理论3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：（考一问）解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =哈米顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H与ˆ无关，属定态问题))(2)( )()(2222222ϕφϕϕφϕφϕφϕIE d d E d d I -==-令 222IEm =，则 0)()( 222=+ϕφϕϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为Im E m 222 = (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

定态波函数为 ϕφim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件ππϕϕφφππ2121 220220*=⇒===⎰⎰A A d A d m m∴ 转子的归一化波函数为ϕπφim m e 21=综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为2ˆ21ˆL IH= t H与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为),(),(ˆ212ϕθϕθEY Y L I= (式中),(ϕθY 设为Hˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθIEY Y L= 令 22 λ=IE ，则有),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L= 此即为角动量2ˆL的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL其波函数为球谐函数ϕθϕθim m m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为2)1(2IE +=可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

11-12学年度量子力学试题AA

湖北文理学院2011—2012学年度下学期物理系物理学专业《量子力学》期末考试试卷课程类别：专业课适用专业： 09物理学试卷编号：A系别专业学号姓名一、填空题（每空1分，共20分。

)1、，德布罗意关系表达为__________、__________，它反映了微观粒子的__________性。

2、波函数必须满足的条件是、有限、。

3、在坐标表象中，=x ˆ ，=p ˆ ，用δ符号表示的对易关系为_______________。

4、表示力学量的算符是_____________算符，力学量算符的本征函数具有、完备性、性，本征函数系构成希尔伯特空间的一组完备的基矢组，任一量子态被视为该空间的一个________。

；5、定态薛定谔方程表示成_______________，它也是能量算符的本征方程。

6、电子自旋也称为电子的______角动量，其本征值在任何方向上均取____个值。

7、自旋为2的奇数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子称为。

8、玻尔索末菲理论应用于氢原子，只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的。

9、设粒子处于态2021103121cY Y Y ++=ψ，ψ为归一化波函数，lm Y 为球谐函数，则系数c 的取值为，的可能值为。

10、处于独态的氦称为。

二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个或几个正确答案，并将其代号写在题干前面的括号内，答案选错或未选全者，该题不得分。

每小题2分，共6分。

)1、泡利不相容原理说：[ ]A、自旋为整数和半整数的粒子不能处于同一态中。

B、自旋为整数的粒子不能处于同一态中。

C、自旋为整数的粒子能处于同一态中。

D、自旋为半整数的粒子能处于同一态中。

E、自旋为半整数的粒子不能处于同一态中。

2、康普顿效应指出：[ ]A、电子可以穿透原子核。

B、X射线可以与电子相互作用。

C、中子的净电荷为零。

D、氢离子是一个质子。

E、质子有自旋磁矩。

量子力学2012复习题

量子力学2012复习题一、简答题：1. 试简述Bohr 的量子理论。

2. 试给出测不准关系的数学表达式，并说明其意义。

3. 简述量子力学的态叠加原理及其与测量概率的关系。

4. 写出在任意态|ψ〉下测量力学量F 所得平均值的一般表达式。

5. 设粒子在势场V (r )中运动，写出相应的含时薛定谔方程和定态薛定谔方程；或给定态函数求势能表达式。

6. 简述束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

7. 在坐标表象中写出自由粒子哈密顿量的表达式及其本征波函数，指出其本征值及其特征。

8. 下列函数哪些函数是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +9. 简述一维谐振子粒子数表象的意义，并在该表象中写出谐振子的哈密顿量表达式和相应的本征态、本征值和本征方程。

对三维谐振子，情况又怎样？10. 力学量F 的平均值随时间变化满足d 1[,]d F FF H t i t∂=+∂ ，由此可得出力学量F 为守恒量的条件，试写出相应条件。

11. 简述量子力学表象变换的意义、幺正变换矩阵满足的条件及幺正变换的特征。

12. 全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？13. 中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值。

14. 写出中心力场中粒子的所有守恒量。

15. 力学量完全集2(,)z L L 的共同本征函数是什么？写出相应的本征值及本征方程。

16. 写出氢原子哈密顿算符的本征值（能级）和本证态，简要描述各量子数的意义。

17. 简要描述自旋算符与泡利矩阵的关系以及泡利矩阵的对应关系；在z σ表象中写出泡利矩阵,,z x y σσσ的具体表示。

18. 简述微扰论的基本思想，写出非简并微扰论的能量公式（至二级修正）及波函数（至一级修正），并能计算相关问题。

19. 简述变分法的基本思想及选取试探波函数的一般原则。

20. 写出一维谐振子升降算符对粒子数本征态的作用结果，并用粒子数本征态的相干叠加表示湮灭算符a 的本证态，即相干态。

量子力学复习题答案与题解

量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。

P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。

P22动量算符的定义。

P27写出单粒子薛定谔方程。

P27写出多粒子薛定谔方程。

P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。

P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。

P39写出线性谐振子的能级表达式。

P40写出波函数应满足的三个基本条件。

P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。

P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。

P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。

P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。

P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。

对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。

( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。

P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。

P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。

P83 写出力学量平均值的积分表达式。

P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。

量子力学习题汇集

量⼦⼒学习题汇集第⼀章习题１．证明下列算符等式[][][][][][][][][][][][][][][]0,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A BC A C B A C AB CB AC A B BC A C A B A C B A２．设粒⼦波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒⼦的⼏率．３．在球坐标中，粒⼦波函数为()??ψ,,r ，试求：１）在球壳(r,r+dr)中找到粒⼦的⼏率；２）在()??,⽅向的⽴体⾓Ωd 中找到粒⼦的⼏率．４．已知⼒学量F 的本征⽅程为n n n F ?λ?=求在状态波函数332211ψc c c ++=下测⼒学量F 的可能值，相应的⼏率及平均值（假设波函数ψ已归⼀或不归⼀的情况）．第⼆章习题１．⼀粒⼦在⼆维势场∞=,,0),(y x V 其它by a x <<<<0,0中运动，求粒⼦的能级和波函数．能级是否简并２．由哈密顿算符()2232222212222z y x m m H ωωω+++?-=η所描述的体系，称各向异性谐振⼦．求其本征态和本征值．３．利⽤递推关系--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ证明()22222)2)(1()12()1(2并由此证明在n ψ态下2,0nE T P ==第四章习题１．证明 )cos sin (cos i A +=ψ为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。

说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。

２．对于⼀转动惯量为I 的平⾯转⼦，其能量算符为IL H z 2=，求体系的能量本征态。

如??ψsin )0,(A =，求),(t ?ψ。

３．量⼦化对称陀螺的哈密顿量可写成()222212121z y x L I L L I H ++=试求该对称陀螺的能量本征值。

４．⼀质量为m 的粒⼦被限制在半径为a r = 和b r =的⼆个不可穿透同⼼球⾯之间运动，不存在其它势。

量子力学课后习题复习资料

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

量子力学复习提纲及考试试卷、答案

量子力学复习提纲及考试试卷、答案量子力学复习提纲及考试试卷、答案1、德布罗意的物质波理论认为粒子的能量E 、动量P 与物质波的频率v 和波长λ的关系为( νh E = )、( n h pλ=或λh p = ) 。

2、量子力学中用（波函数）描写微观体系的状态。

3、()2,t r Ψ 是粒子t 时刻（在r 处的概率密度），()2,t p c是粒子t 时刻（具有动量p 的概率密度）。

（注：照最后一道大题写是概率分布函数的也算对了，但是只写是概率就不对）4、扫描隧道显微镜是利用（隧道效应）制成的。

5、氢原子电子的第n 个能级是（2n ）度简并的。

6、F的本征值λ组成连续谱，则本征函数λφ的正交归一性表达式（书P70 ()λλτφφλλ'-='?δd *）。

7、坐标和动量的不确定关系式（()()4222 ≥??x p x 或()()2 ≥??x p x ）。

8、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的（共同本征函数）。

二、求角动量算符的对易关系[]yx L L ?,?（5分）证明：书P77三、证明当氢原子处于基态时，电子在与核的距离为0a r =(玻尔半径)处出现的概率最大（10分）书P67四、证明厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

（10分）证明：书P69 五、一粒子在一维势场,()0,,x a U x a x a x a ∞<-??=-≤≤??∞>?中运动，求粒子的能级和对应的波函数（20分）解：书P26例题六、设t=0 时，粒子的状态为??+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ 求此时粒子的动量期望值和动能期望值。

（20分）解：书P92习题3.6七、（1）写出动量算符x p的本征函数()x x p ψ，本征方程。

求粒子处于()x x p ψ态时的坐标概率分布函数()2x x p ψ。

（2）求处于坐标算符x的本征态()()x x x x '-='δψ态中粒子的动量概率分布函数()2x x p c '。

量子力学复习题部分解答

s5如果算符αˆ、βˆ满足条件1ˆˆˆˆ=-αββα，求证：βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-， 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=-，证] 利用条件1ˆˆˆˆ=-αββα，以βˆ左乘之得 βαββαβˆˆˆˆˆˆ2=- 则有 βαβββαˆˆˆˆ)1ˆˆ(2=-- 最后得 βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-。

再以βˆ左乘上式得 —222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆβαββαβ=-，即232ˆ2ˆˆˆˆˆβαββαβ=-则有 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 最后得 233ˆ3ˆˆβαββα=- 7（10分）求角动量z 分量的本征值和本征函数。

解：ˆz d L i d φ=-归一化系数。

是积分常数，亦可看成其中解得：c ce l d d i L zi l zz φφψφψφψφφψ ==-=)()()()(ˆ】波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：`求归一化系数}最后，得 L z 的本征函数。

9ππφφψππ2112||2202220=→===⎰⎰c cd c d,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ)2()(πφψφψ+=)2(πφφ+=→zi z i l l cece 12=πzi l e,2,1,022±±==m ml zππ于是,2,1,0±±==→m m l z10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222x E x x U x dxd ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换，得)()()()(2222x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得{)()()()(2222x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。

量子力学题库

目录第二章波函数和薛定谔方程 (2)一、简答题 (2)二、证明题 (6)三、计算题 (7)第二章波函数和薛定谔方程一、简答题1.何谓微观粒子的波粒二象性？2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。

4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。

7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？ 9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(t r描述，波函数应满足什么样的标准条件？波函数的物理意义是什么？11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。

12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微观粒子的状态及波函数的标准条件。

14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。

17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的含义是什么？18.波函数归一化的含义是什么？什么样的波函数可以归一化？归一化随时间变化吗？19. Bron 对波函数的统计解释什么？()()2,,,t r t r ψψ和()dxdydz t r 2, ψ分别表示什么含义？20.将描写体系量子状态的波函数乘上一个常数后，所描写体系的量子状态是否改变？21．若)(1x ψ是归一化的波函数，问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ ，)()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。