初中数学中相辅相成的合情推理和演绎推理
合情推理和演绎推理之间的联系和差异-高中数学知识点讲解
合情推理和演绎推理之间的联系和差异1.合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理:“合乎情理”的推理,包括归纳推理和类比推理.①归纳推理:特殊→一般,部分→整体②类比推理:特殊→特殊演绎推理:又称为“逻辑推理”,从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理.形式为:一般→特殊区别:(1)合情推理前提为真,结论可能为真,是或然性推理;演绎推理前提为真,结论亦为真,是必然性推理.(2)合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法,虽然结论未必正确,但有创造性,对科学发现有帮助;演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法,虽然结论一定正确,但不能取得突破性进展,形式化程度比合情推理高.联系:合情推理和演绎推理二者相辅相成,就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理.【命题方向】常以选择、填空题形式出现,属于基础题,注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系.例:给出下面几个推理:①由“6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7…”得到结论:任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和;②由“三角形内角和为 180°”得到结论:直角三角形内角和为 180°;③由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为边长的立方;④由“a2+b2≥2ab(a,b∈R)”推得 sin2x≤1.其中是演绎推理的序号是.分析:演绎推理的模式是三段论模式,包括大前提,小前提和结论,演绎推理的特点是从一般到特殊,根据上面的特点,判断下面四个结论是否正确,结果①是一个归纳推理,③是一个类比推理,②④是演绎推理.解答:演绎推理的模式是三段论模式,包括大前提,小前提和结论,演绎推理的特点是从一般到特殊,根据上面的特点,判断下面四个结论是否正确,由“6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7…”得到结论:任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和;这是一个归纳推理,故①不选;由“三角形内角和为 180°”得到结论:直角三角形内角和为 180°;是一个演绎推理,故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为边长的立方;这是一个类比推理,故不选③由“a2+b2≥2ab(a,b∈R)”推得 sin2x≤1.这是一个演绎推理,故选④总上可知②④符合要求,故答案为:②④点评:本题考查演绎推理的特点,考查归纳推理和类比推理的特点,本题是一个基础题,这种题目不用计算,只要根据几个推理的特点得到正确结论即可.。
初中数学合情推理与演绎推理的教学
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
生要有扎实的基础,这是我们进行演绎推理必须具备的要素。就数学来讲,要熟练掌握书本知识,要熟练到随口而出的地步。
课程名称
初中数学合情推理与演绎推理的教学
学习重点
三天来我每天都抽出大量的时间来学习四位老师关于在初中教学中合情推理与演绎推理讲座受益匪浅,现将重要知识点总结如下:
1、合情推理的概念以及如何培养起学生合情推理的思维习惯。(3小时)
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括经验和实践的结果),以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
要培养学生的合情推理能力要做到以下四个方面
首先让学生认真审题(观察具体问题);其次是让学生展开联想:(可以向自己提出一系列问题:见过与其类似的问题吗?比如图形类似?条件类似?结论类似;再次,通过自身探究或合作交流(如:将问题特殊化,寻找类似结论或类似方法——归纳、类比猜想;最后,让学生自己得到问题结论并加以证明。
其次要培养起学生的逻辑推理的能力。让学生掌握推理的基本方法和基本步骤在此基础上逐步引导学生逐步掌握演绎推理。
其次,就是通过具有代表性和典型性的例题让学生自己动手,让他们熟练掌握演绎推理的的步骤和上下连贯性。
学习心得
通过本次培训学习我有如下心得体会:在数学学习中合情推理与演绎推理的是基本的思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证,即在前提正确的基础上,通过正确使用推理规则得出结论。
几何教学过程中的合情推理与演绎推理
几何教学中的合情推理与演绎推理
合情推理离不开现实生活,要靠大胆的推测和猜想 ,然后进行归纳、比较、类比然后得出结论。
合情推理的结论并不一定正确,还有待于利用演绎推理去证明.演绎推理是从已有的事实出发,按照规定的法则,规律,定律证明结论,演绎推理的结论一定正确。
演绎推理的思路,思考过程等离不开合情推理的猜想和推测。
因此,合情推理与演绎推理是相辅相成的。
现以《多边形的内角和》一节为例,揭示合情推理和演绎推理的相互关系。
一:复习:三角形的内角和是多少?长方形和正方形的内角和呢?
二、探究1:.任意四边形的内角和等于多少度 你是怎样得到的?
【学生自主探究、合作交流,用多种方法把四边形转化成三角形,从而得出四边形的内角和是360º】
探究2.:五边形的内角和是多少?六边形呢?n 边形呢?
A
B D A B C
D A B D
E P
通过完成上表,学生不仅通过类比得到“多边形的内角和是(n-2)×180º”这一结论,并且在此过程中找到证明结论的途径,那就是把多边形转化成若干个三角形,利用三角形的内角和轻松证明。
在此过程中,数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理;而检验结论是否具有一般性或正确性必须用到演绎推理。
所以说合情推理和演绎推理是探索、发现、证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程。
在教学过程中要重视举例,学生的动手操作,让学生通过观察、度量、实验操作、图像变换等手段探究图形的性质,不断的培养学生的观察、比较、分析、推理等能力,逐步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力。
在教学中如何把合情推理与演绎推理做到相辅相成
在教学中如何把合情推理与演绎推理做到相辅相成著名数学家G〃波利亚很早就明确提出两种推理:论证推理可用来确定数学知识,合情推理可用来为猜想提供依据.也就是说,学生应通过观察、实验、归纳、类比等数学活动获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例,经历从合情推理到演绎推理的过程。
既重视演绎推理又强调合情推理的重要性,是数学新课程改革的出路,这是基于数学教育的最终目标——发展学生的科学创新意识和动手实践能力的需要而作的改革.作为一种导向,我们应该如何在课堂教学中贯彻体现这一理念,从而培养学生的这两种推理能力呢?本文通过“三角形中位线定理”的一个教学设计片段,谈谈课堂教学中如何把合情推理和演绎推理融为一体,来促进学生思维的发展。
教学片段一.明确三角形中位线的概念,给出研究课题1.我们已学过三角形的有关线段,请同学们画出△ABC的中线.(先独立完成,然后投影交流)提问:三角形有几条中线?它们是什么点间的连线?提问:这三条线段都是什么点间的连线?这三条线段称为△ABC的中位线.你能否根据刚才的画图,写出三角形中位线的定义呢?(学生直接将定义写在练习纸上,然后交流、板书)我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,说出三角形的中线和三角形的中位线的异同?(都是线段,都有三条,一个是顶点与对边中点的连线,一个是两边中点的连线)2.提出问题如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,(边口述,边板书)那么请同学们观察一下,猜一猜:中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系?3.猜想结论为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系,我们做一个拼图活动:我们把三角形沿中位线DE剪一刀.试一试:你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢?你也可以与同桌合作,共同探索,一起来拼.我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上,请同学们打开,然后小组讨论一下,请把你猜测得的结论写在纸上.(学生独立观察并猜想结论,然后同桌交流,最后集体交流,并板书结论)二.推理、论证结论1.刚才同学们交流了利用我们所提供的图形,得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系,你能否用语言叙述这一结论呢?(学生尝试归纳结论,并互相补充完整后,板书)命题:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.你能证明这个命题吗?(板书)已知:如图,在△ABC中,AD=DB,AE=EC.求证:DE∥BC,DE=1/2 BC(经过交流、分析后,学生独立写出证明过程)证明:延长DE到F,使EF=DE,连结CF,∵AE=CE,∠AED=∠CEF(对顶角相等),ED=EF∴△ADE≌△CFE(SAS)AD=CF(全等三角形的对应边相等)∠ADE=∠F(全等三角形的对应角相等)∴AD∥CF(内错角相等,两直线平行)∵AD=DB,∴CF=DB所以四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)于是DF∥BC,DF=BC,即DE∥BC,DE=1/2 BC。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理知识点一:推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论.知识点二:合情推理根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等,经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
1.归纳推理(1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)。
(2)一般模式:部分整体,个体一般(3)一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同性质;②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题;③检验猜想.(4)归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始,提出有规律性的猜想;一般地,归纳的个别情况越多,就越具有代表性,推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的,所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.2.类比推理(1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).(2)一般模式:特殊特殊(3)类比的原则:可以从不同的角度选择类比对象,但类比的原则是根据当前问题的需要,选择恰当的类比对象.(4)一般步骤:①找出两类对象之间的相似性或一致性;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,得出一个明确的命题(猜想);③检验猜想.(5)类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象,同时又应是两类不同的对象;一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质越相关,那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性,所以类比推理所得的结论不一定是正确的。
合情推理与演绎推理的意义
合情推理与演绎推理的意义(1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
(2)在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。
例如,在研究球体时,我们会自然地联想到圆。
由于球与圆在形状上有类似的地方,即都具有完美的对称性,都是到定点的距离等于定长的点的集合,因此我们推测圆的一些特征,球也可能有。
圆的切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于圆的半径,类似地,我们推测可能存在这样的平面,与球只交于一点,该点到球心的距离等于球的半径。
平面内不共线的3个点确定一个圆,类似地,我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。
演绎推理是数学中严格证明的工具,在解决数学问题时起着重要的作用。
“三段论”是演绎推理的一般模式,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的。
例如,三角函数都是周期函数,sinx是三角函数,因此推导证明出该函数是周期函数。
又如,这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在(-0,1)上是增函数”。
大前提是增函数的定义,小前提是推导函数f(x)在(-c,1)上满足增函数的定义,进而得出结论。
合情推理从推理形式上看,是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。
就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。
但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理。
因此,合情推理与演绎推理是相辅相成的。
谈谈合情推理与逻辑推理的初中数学教学
谈谈合情推理与逻辑推理的初中数学教学初中数学教学中,合情推理和逻辑推理是两个重要的思维方式。
两者在问题解决、证明过程以及实际应用中起到了相辅相成的作用。
本文将从基本概念、应用和教学方法三个方面,谈谈合情推理与逻辑推理在初中数学教学中的重要性。
一、基本概念1.合情推理合情推理是指根据问题的背景、条件、经验和自身的常识,合理地假设和推测,寻找解题方法和策略的思维方式。
在实际问题中,我们经常会遇到需要理解和分析问题条件,从中找到规律,进而解决问题的情况。
合情推理的特点是注重问题背景的了解和分析,结合条件和背景进行合理假设和推测。
2.逻辑推理逻辑推理是根据定理和推理规则进行的推理过程。
它是一种基于严密逻辑关系的思维方式,依据前提和逻辑规则,得出结论的过程。
逻辑推理的特点是严谨、逻辑性强,通过一系列的推理步骤进行证明。
二、应用1.合情推理在初中数学教学的应用合情推理在初中数学教学中起到了重要的作用。
合情推理能帮助学生理解和分析问题条件,根据问题背景进行合理假设和推测,从而找到解题的方法和策略。
通过引导学生思考问题的背景和条件,教师可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
例如,在解决实际问题时,可以通过合理假设和推测找到解题的关键步骤,从而推动学生思维的发展。
2.逻辑推理在初中数学教学的应用逻辑推理在初中数学教学中同样具有重要意义。
逻辑推理能帮助学生建立起严密的数学思维,培养学生的证明能力和分析问题的能力。
通过引导学生运用逻辑规则和定理进行问题的推理和证明,教师可以提升学生的逻辑思维水平。
例如,在证明数学定理或运用数学公式时,学生需要运用逻辑推理的方法,将已知条件和推理规则应用到证明过程中,最终得出正确的结论。
三、教学方法1.综合运用在初中数学教学中,我们应综合运用合情推理和逻辑推理,根据问题的具体情况选择合适的思维方式。
对于实际问题,在理解问题条件的基础上,可以引导学生根据自己的常识、经验和背景,进行合情推理,找到解题的思路。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、 知识讲解推理:由一个或几个事实(或假设)得出一个判断的思维方式前提为真,结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理 称为归纳推理(简称归纳).特征:从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤:已知条件 观察归纳 大胆猜想 检验猜想(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程:从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 检验猜想(3)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论, 这种推理称为演绎推理.说明:1.演绎推理是由一般到特殊的推理;2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包括⑴大前提---已知的一般原理;⑵小前提---所研究的特殊情况;⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.三段论可表示为:大前提:M 是P小前提:S 是M结 论:S 是P二、典型例题例 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图形中 有 个点.例 根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例 证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三:小结思考 设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且 (1)5=2+3,请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g (),来表示 ;(2)如果(1)中获得一个结论,请你推测能否将其推广.。
合情推理与演绎推理
10. (2010·衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求f(-5)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值.
解析: 由题意知: f(x)+f(1-x)= ∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]= .
举一反三
解析: ,…,猜想: .
题型二 类比推理 【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质. 分析 实数的加法所具有的性质,如结合律、交换律等,都可以和向量加以比较.
从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,
解析:(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球; (2)空间中不共面的4个点确定一个球; (3)球的表面积与体积可求; (4)在空间直角坐标系中,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; (2)平面内不共线的3个点确定一个圆; (3)圆的周长和面积可求; (4)在平面直角坐标系中,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.
解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,…,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1 =
合情推理与演绎推理是相辅相成的
合情推理与演绎推理是相辅相成的合情推理帮助我们获得一些猜想,获得一些对结论的一种认识,而演绎推理帮我们来进一步验证它的真假,二者是相辅相成的,不能偏废。
这二者对我们未来的生活都非常重要。
一.在数学发展中合情推理与演绎推理的地位和关系。
合情推理就是根据已有的知识和经验,在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。
合情推理就是一种合乎情理的推理,主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。
合情推理所得的结果具有偶然性,但也不是完全凭空想象,它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断。
但合情推理的结论不一定正确有待证明。
而演绎推理是确认数学命题为真的推理,体现了数学学科的特点。
但演绎推理所论证的对象往往是由合情推理得来的,同时,由合情推理所得到的猜测必须经过证明(即演绎推理)才能确定其正确性,因此,在数学的发展过程中二者是相辅相成、缺一不可的。
二、结合教学实例说明两者间的关系。
北师大版教材在设计上,遵照循序渐进的原则,初中几何结论几乎都是先让学生先合情推理出结论,再演绎推理证明结论。
例如,在学习平行线、三角形、四边形等几何内容时先让学生在合情推理中得到其相关性质和判定等,然后安排《证明》一、二、三章节通过证明相关性质和判定。
1.具体实例1,三角形的内角和定理,先是引导学生经历将一个三角形的三个角撕下来拼在一起的操作进行观察,分析总结出三角形内角和等于180°的结论,然后结合图形引导学生运用所学习的知识进行合情说理。
在《证明》中进行了演绎推理进一步进行了验证。
2.实例2,通过几对相同的三角形的拼摆,通过观察、操作、对比,图形组合利用合情推理能力获得合理的猜想,得出平行四边形及特殊平行四边形相关结论。
也是在《证明》(三)中进行了严密的推理证明。
3.实例3,(图形结合教材)将一张矩形纸对折再对折,然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到平面图形是什么?(第三个图三角形部分为①、四边形为②)。
归纳与技巧:合情推理与演绎推理(含解析)
归纳与技巧:合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.2.特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.3.模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:基础题必做1.(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B .使用了类比推理C .使用了“三段论”,但推理形式错误D .使用了“三段论”,但小前提错误解析:选C 由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的. 2.数列2,5,11,20,x,47,…中的x 等于( ) A .28 B .32 C .33D .27解析:选B 由5-2=3,11-5=6,20-11=9. 则x -20=12,因此x =32.3.(教材习题改编)给出下列三个类比结论. ①(ab )n =a n b n 与(a +b )n 类比,则有(a +b )n =a n +b n ;②log a (xy )=log a x +log a y 与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a +b )2=a 2+2ab +b 2与(a +b )2类比,则有(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2. 其中结论正确的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选B 只有③正确.4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.解析:V 1V 2=13S 1h113S 2h 2=⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2=14×12=18.答案:1∶8 5. 观察下列不等式 1+122<32, 1+122+132<53, 1+122+132+142<74 ……照此规律,第五个不等式为___________________________________________________. 解析:观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的2倍减1的差除以项数,即1+122+132+142+152+…+1n 2<2n -1n(n ∈N *,n ≥2),所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116.答案:1+122+132+142+152+162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用.合情推理的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明.2.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提、小前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的.归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)=xx+2(x>0).如下定义一列函数:f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,f n(x)=f(f n-1(x)),…,n∈N*,那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)=________.[自主解答]依题意得,f1(x)=xx+2,f2(x)=xx+2xx+2+2=x3x+4=x(22-1)x+22,f3(x)=x3x+4x3x+4+2=x7x+8=x(23-1)x+23,…,由此归纳可得f n(x)=x(2n-1)x+2n(x>0).[答案]x(2n-1)x+2n(x>0)解题方法归纳1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.[注意] 归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.以题试法1. 将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A .809B .852C .786D .893解析:选A 前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个,则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2×405-1=809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为a ,b ,c 内切圆半径为r ,则三角形面积为S △ABC =12(a +b +c )r ”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,则四面体的体积为________________”.[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13,得V 四面体ABCD=13(S 1+S 2+S 3+S 4)r . [答案] V 四面体ABCD =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r解题方法归纳1.类比推理是由特殊到特殊的推理,命题有其特点和求解规律,可以从以下几个方面考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构.2.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).以题试法2.若{a n }是等差数列,m 、n 、p 是互不相等的正整数,则有:(m -n )a p +(n -p )a m +(p -m )a n =0,类比上述性质,相应地,对等比数列{b n },有__________________.解析:设{b n }的首项为b 1,公比为q ,则b m -n p·b n -p m ·b p -mn =(b 1q p -1)m -n ·(b 1q m -1)n -p ·(b 1q n -1)p-m=b 01·q 0=1. 答案:b m -n p·b n -p m ·b p -mn =1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2nS n (n ∈N *).证明: (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列;(2)S n +1=4a n .[自主解答] (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=n +2n S n ,∴(n +2)S n =n (S n +1-S n ),即nS n +1=2(n +1)S n . 故S n +1n +1=2·S nn ,(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知S n +1n +1=4·S n -1n -1(n ≥2), ∴S n +1=4(n +1)·S n -1n -1=4·n -1+2n -1·S n -1=4a n (n ≥2).(小前提)又∵a 2=3S 1=3,S 2=a 1+a 2=1+3=4=4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n +1=4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.以题试法3.如图所示,D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 上的点,∠BFD =∠A ,且DE ∥BA .求证:ED =AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD =∠A ,(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ,(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边,(小前提) 所以ED =AF .(结论) 上面的证明可简略地写成:⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD =∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED =AF .1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( )A .①B .②C .③D .①和②解析:选B 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B. 2. 正弦函数是奇函数,f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数,因此f (x )=sin(x 2+1)是奇函数,以上推理( )A .结论正确B .大前提不正确C .小前提不正确D .全不正确解析:选C 因为f (x )=sin(x 2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.3. 在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2=14,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2=( )A.18B.19C.164D.127解析:选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故V 1V 2=127.4. 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):①“若a ,b ∈R ,则a -b =0⇒a =b ”类比推出“a ,c ∈C ,则a -c =0⇒a =c ”; ②“若a ,b ,c ,d ∈R ,则复数a +b i =c +d i ⇒a =c ,b =d ”类比推出“a ,b ,c ,d ∈Q ,则a +b 2=c +d 2⇒a =c ,b =d ”;③“a ,b ∈R ,则a -b >0⇒a >b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b >0⇒a >b ”; ④“若x ∈R ,则|x |<1⇒-1<x <1”类比推出“若z ∈C ,则|z |<1⇒-1<z <1”. 其中类比结论正确的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选B 类比结论正确的有①②.5.观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端点)有n (n ≥2,n ∈N *)个圆点,第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A .S n =2nB .S n =4nC .S n =2nD .S n =4n -4解析:选D 由n =2,n =3,n =4的图案,推断第n 个图案是这样构成的:各个圆点排成正方形的四条边,每条边上有n 个圆点,则圆点的个数为S n =4n -4.6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A .设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n =2n -1,求出S 1=12,S 2=22,S 3=32,…,推断:S n =n 2B .由f (x )=x cos x 满足f (-x )=-f (x )对∀ x ∈R 都成立,推断:f (x )=x cos x 为奇函数C .由圆x 2+y 2=r 2的面积S =πr 2,推断:椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的面积S =πabD .由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断:对一切n ∈N *,(n +1)2>2n 解析:选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{a n }是等差数列,其前n 项和等于S n =n (1+2n -1)2=n 2,选项D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.因此选A.7. 设n 为正整数,f (n )=1+12+13+…+1n ,计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.解析:由前四个式子可得,第n 个不等式的左边应当为f (2n ),右边应当为n +22,即可得一般的结论为f (2n )≥n +22.答案:f (2n )≥n +228 观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律,第n 个等式为________.解析:每行最左侧数分别为1、2、3、…,所以第n 行最左侧的数为n ;每行数的个数分别为1、3、5、…,则第n 行的个数为2n -1.所以第n 行数依次是n 、n +1、n +2、…、3n -2.其和为n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2.答案:n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)29. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c 2=a 2+b 2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ,如果用S 1,S 2,S 3表示三个侧面面积,S 4表示截面面积,那么类比得到的结论是________.解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得S 21+S 22+S 23=S 24.答案:S 21+S 22+S 23=S 2410.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积S =12×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12;……请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的体积V =13×底面积×高;(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5.(1)求a 18的值;(2)求该数列的前n 项和S n .解:(1)由等和数列的定义,数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,易知a 2n -1=2,a 2n =3(n =1,2…),故a 18=3.(2)当n 为偶数时,S n =a 1+a 2+…+a n =(a 1+a 3+…+a n -1)+(a 2+a 4+…+a n ) =2+2+…+2n 2个2+3+3+…+3n 2个3=52n ;当n 为奇数时,S n =S n -1+a n =52(n -1)+2=52n -12.综上所述:S n=⎩⎨⎧52n ,n 为偶数,52n -12,n 为奇数.12.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n +1)与f (n )之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式;(3)求1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1的值. 解:(1)f (5)=41.(2)因为f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4, …由上式规律,所以得出f (n +1)-f (n )=4n . 因为f (n +1)-f (n )=4n , 所以f (n +1)=f (n )+4n , f (n )=f (n -1)+4(n -1) =f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3) =…=f (1)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4 =2n 2-2n +1. (3)当n ≥2时,1f (n )-1=12n (n -1)=12(1n -1-1n ), ∴1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1=1+12⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+13-14+…+1n -1-1n=1+12⎝⎛⎭⎫1-1n =32-12n.1. 观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( )A .28B .76C .123D .199解析:选C 记a n +b n =f (n ),则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=3+4=7;f (5)=f (3)+f (4)=11.通过观察不难发现f (n )=f (n -1)+f (n -2)(n ∈N *,n ≥3),则f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76;f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.2.对于命题:若O 是线段AB 上一点,则有|OB |·OA +|OA |·OB =0.将它类比到平面的情形是:若O 是△ABC 内一点,则有S △OBC ·OA +S △OCA ·OB +S △OBA ·OC =0,将它类比到空间情形应该是:若O 是四面体ABCD 内一点,则有________.解析:将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点,则有V O -BCD ·OA +V O -ACD ·OB+V O -ABD ·OC +V O -ABC ·OD =0.答案:V O -BCD ·OA +V O -ACD ·OB +V O -ABD ·OC +V O -ABC ·OD =03. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:(1)sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°;(2)sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°;(3)sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°;(4)sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos 48°;(5)sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择(2)式,计算如下:sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30° =1-14=34. (2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34. 证明如下:法一:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°·cos α+sin 30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+32sin αcos α+14sin 2α-32sin αcos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α =34. 法二:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos 2α2+1+cos (60°-2α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin 2α =12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-34sin 2α-14(1-cos 2α) =1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.1. 观察下列事实:|x |+|y |=1的不同整数解(x ,y )的个数为4,|x |+|y |=2的不同整数解(x ,y )的个数为8,|x |+|y |=3的不同整数解(x ,y )的个数为12,…,则|x |+|y |=20的不同整数解(x ,y )的个数为( )A .76B .80C .86D .92解析:选B 由特殊到一般,先分别计算|x |+|y |的值为1,2,3时,对应的(x ,y )的不同整数解的个数,再猜想|x |+|y |=n 时,对应的不同整数解的个数.通过观察可以发现|x |+|y |的值为1,2,3时,对应的(x ,y )的不同整数解的个数为4,8,12,可推出当|x |+|y |=n 时,对应的不同整数解(x ,y )的个数为4n ,所以|x |+|y |=20的不同整数解(x ,y )的个数为80.2. 已知如下等式:3-4=17(32-42), 32-3×4+42=17(33+43), 33-32×4+3×42-43=17(34-44), 34-33×4+32×42-3×43+44=17(35+45), 则由上述等式可归纳得到3n -3n -1×4+3n -2×42-…+(-1)n 4n =________(n ∈N *). 解析:依题意及不完全归纳法得,3n -3n -1×4+3n -2×42-…+(-1)n 4n =17[3n +1-(-4)n +1].答案:17[3n +1-(-4)n +1]。
合情推理与演绎推理相辅相成
合情推理与演绎推理相辅相成作者:林水助来源:《科学导报·学术》2020年第15期在实施新课改之前,我国传统数学教育重视演绎推理,而在实施新课改后,演绎推理相对来说被弱化,与之相比,合情推理得到重视。
一线的中小学教师,还有一些高校学者都积极投入到对“合情推理”的研究当中去,试图在教学活动中引入合情推理,为的是契合课标的要求,而演绎推理在数学上是作为一种严格的推理方法使用,是数学严谨性的体现。
因此,合情推理与演绎推理是相辅相成的。
笔者以具体案例加以阐述,以执教新北师大版六年级下册第一单元复习中一实践活动为例,本课教材中,设计了一个用4张完全一样的长方形纸(长16cm,宽4cm)卷成不同的圆柱形的活动,其实践活动目的是通过“用长方形纸卷圆柱形”的探索活动,鼓励学生应用所学的圆柱的表面积和体积的知识,经历探索规律的过程,体会一些变量之间的关系。
教学重难点:体会在圆柱侧面积相等的情况下,体积不等,理解其原由。
一、运用合情推理,发现规律《数学课程标准》中指出:“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
推理是数学的基本思维方式,也是人学习和生活经常使用的思维方式。
在小学阶段,主要学习合情推理,即归纳推理和类比推理。
而归纳推理又多表现为不完全归纳推理”。
在本课教学中,先采用合情推理中的不完全归纳法推理,让学生经过观察、猜想、实验、比较,再进行归纳、类比,验证得出规律。
教学实例简述:1、观察和猜想教师拿出两张同样的长方形纸,一张横着卷成圆柱形,另一张竖着卷成圆柱形,两个圆柱的体积一样大吗?学生出现不同的意见:两个圆柱的体积一样大,两个圆柱的体积不一样大,认为粗短的圆柱体积大,或觉得细长的圆柱体积大。
2、实验和比较学生小组合作完成验证活动,将纸围成不同的圆柱,把测量和计算的数据填在下面的表格中。
学生得出结论:侧面积相等时,粗短的圆柱体积大,细长的圆柱体积小。
3、归纳和类比把两张这样的长方形纸横着对折,沿着虚线剪开,将两张长方形纸换个方向粘在一起(接口处忽略不计)。
2.1合情推理与演绎推理
证 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 大前提 小前提 结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
大前提
小前提 结论பைடு நூலகம்
例3 证 大前提 小前提
结论 演绎推理的结论一定正确吗? (1)面粉是副食,富强粉是面粉,所以富强粉是副食。 错因:大前提是错误的,所以结论是错误的。
错因:偷换概念
确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提 和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.
(四)合情推理与演绎推理的区别
合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理 由特殊到 由部分到整体、 推理 由一般到特殊 个别到一般的推 特殊的推 的推理。 形式 理。 理 区
别
推理 结论不一定正确,有待进一 结论 步证明。
类比圆的特征,下表中球的相关特征分别是什么?
定义:平面上,到定点的距 空间中,到定点的距离等 离等于定长的点的轨迹就 于定长的点的轨迹就是球. 是圆.
圆的直径 圆的弦
圆的切线 圆的周长
球的大圆 球的小圆 球的切面 球的表面积
圆的面积
球的体积
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点 球心与截面(非大圆) 的连线垂直于弦 圆心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相 与球心距离相等的两截面 等,与圆心距离不等的两 积相等,与球心距离不等 弦不等,距圆心较近的弦 的两截面积不等,距球心 较长. 较近的截面积较大.
S
下面的推理正确吗?
大前提:刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的,使
用暴力、胁迫或其他方法,强行劫取公私财物的行
为.其刑事责任年龄起点为14周岁,对财物的数额
没有要求.
小前提:小明超过14周岁,强行向路人抢取钱财 50元.
合情推理与演绎推理(总结)
2.从推理的结论来看:
合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.
联系:二者相辅相成,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过 程,但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理.
+(n+1)=n(n+3)/2个圈,由n(n+3)/2≤55知,n最大为9,即前
55个圈中的●有9个,故选B.
答案:B
9.在平面几何中有如下结论:正三角ABC的内 切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S2(S1)=4(1), 推广到空间可以得到类似结论:正四面体P-ABC 的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则V1/V2= ________.
C
[解析] 只有选项C是由 一般到特殊的推理,属 于演绎推理.
4.(2019·哈尔滨师大附中高二月考)《论语·学路》篇中
说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则
礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措
手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是
() A.类比推理
B.归纳推理
C.演绎推理
D.一次三段论
解析:这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无
所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.
答案:C
5.“指数函数是增函数,函数 f(x)=2x 是指数函数,所
以函数 f(x)=2x 是增函数”,以上推理( )
A.大前提不正确 B.小前提不正确
C.结论不正确
D.正确
解析:指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1),当 a>1 时,指数函
解析: 正四面体的内切球的半径为r1,外接球的半径为 r2,则r1/r2=1/3,∴V1/V2=1/27. 答案:1/27
九年级数学下册《合情推理和演绎推理》课件 新人教版
由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 别到一般的推理 推理 推理
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 联系 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看, 归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比 是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到 特殊的推理。从推理所得的结论来看,合情推理 的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理 在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下, 得到的结论一定正确。
简而言之,归纳推理是由部分到整体、
由个别到一般的推理。
例如: 磨擦双手能产生热, 敲击石头能产生热 , 锤击铁块能产生热 , 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动; 所以,物质运动能产生热。
归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。
“归纳和演绎正如分析和综合一 样,是必然相互联系的,不应当牺牲一个而把另 一个捧到天上去。 “数学的创 造过程是与其他知识的创造一样的,在证明一个定 理之前,你先得猜想这个定理的内容,在你完全作 出详细的证明之前,你得猜想证明的思路,你要先 把观察到的结果加以综合然后加以类比,你得一次 又一次地尝试,数学家的创造性成果是论证推理 (演绎推理),即证明,但这个证明是通过合情推 理,通过猜想而发现的”
在探索自然规律时,首先要确定一个 目标,或者提出一个要解决的问题,然后 通过日常的实践、分析和合情推理, 总结出一个预期的解决方案或猜想,最后还 需对此猜想作出严格的证明,证明的过程 中则需要按演绎推理的规则进行,证明完 前一步,下一步又该如何演绎仍需依靠合 情
【数学知识点】合情推理和演绎推理的区别
【数学知识点】合情推理和演绎推理的区别
合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确有待证明;演绎推理得到的结论一定正确。
演绎推理是证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程。
1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。
3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法
用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想。
如数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
感谢您的阅读,祝您生活愉快。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理作者:杭毅来源:《初中生世界·七年级》2020年第08期初中数学要求将推理能力的培养贯穿整个数学学习之中。
推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,一般包括合情推理和演绎推理。
其中,合情推理是归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。
比如,用手扔一个石子,它要掉下来;再扔一个玻璃球,它也要掉下来;再扔一个苹果,它还是要掉下来。
我们会想到:不论扔什么东西,它都要掉下来;进一步去想这是为什么,想到最后,认为是由于地球有引力。
但是,我们并没有把每件东西都扔上去试试。
试了若干次,就认为这是普遍规律,这种推理方法,叫作归纳推理。
所谓归纳推理,就是从若干特殊现象中总结出一般规律,是从特殊到一般。
类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似,推出它们另一属性也相同或相似的一种推理,是从特殊到特殊。
比如乒乓球和网球,比赛形式都分单打或双打,比赛场地都用网相隔,并且规定球都要直接打到对方领域。
于是,人们就可以从乒乓球比赛“交换发球”这个规则,类比规定网球比赛也要“交换发球”,甚至还会联想到羽毛球、排球比赛,但很少会联想到篮球、足球比赛,因为后者在形式上不类似,不存在联想的基础。
但在数学研究中,要证明一条几何定理,就要从公理、定义和以前的定理出发,一步一步地按逻辑规则推出来,这也表明,数学需要演绎推理。
归纳推理只能作为提出猜想的基础,不能作为证明的依据。
演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定的规则出发,得到某个具体结论的推理,主要形式是“三段论”,由大前提、小前提、结论三部分组成一个“连珠”。
大前提是已知的一般原理;小前提是研究的特殊場合;结论是将特殊场合回归到一般原理之下得出的新知识。
例如,大前提:凡人都会死;小前提:苏格拉底是人;结论:所以,苏格拉底会死。
从这个“三段论”中可以看到,推理的前提是一般,推出的结论是个别。
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论 小学语 文教 学 中课 堂气氛的 营造 方法
胡 希 台 尔・ 如 孜
( 新疆 阿 瓦提 县 英 艾 日克 乡上 海浦 东新 区白玉 兰小 学 8 4 3 2 0 0 )
【 摘要】 语 文的新课程特别强调要在语文的课 堂教学中重视对学生人 文意识的培养, 明确指 出” 语文课程应培养学生热爱语文 的
2 、 善 于对 教 材 内容 进 行 加 工 , 特别是教材 以外的活动 , 例 如: 实际 生 活 的 实例 , 小 游戏 等 。设 计 适 当的 学 习 活动 , 引 导 学 生通过观察 、 尝试 、 估 算、 归纳、 类比、 画 图等 活 动 发 现 一 些 规 律。 猜 测 某 些 结论 。 发展 合 情 推 理 能 力 。 3 、 适 当引导学生探 索同一命题不 同思路 与方法 , 进行 比较 和讨论 . 激 发 学 生对 数 学证 明 的 兴 趣 。 发 展 学 生 思 维的 广 阔 性 和灵 活性 。 从 而 训 练 学 生的 演绎 推 理 能 力 。
课程教育 研究
C 0 u r E d u c a 廿 0 n R e s e a r c h
2 0 1 4 年6 月 下旬 刊
教 学・ 信 息
1 、 课 堂 上 多让 学 生 经 历观 察 、 实验 、 猜 想、 证 明等 数 学 活 动 ,发 展 合 情推 理 和初 步 的演 绎 推 理 证 明 能 力 。也 就 是 说 , 教 师” 既教证明 , 又教 猜 想” 。 在 过 程 中感 悟 数 学基 本 思 想 , 积累 数 学活 动 经验 。 切忌 。 教 师 的一 言 堂 , 过 度操 练 演 绎 推理 。 如: 学 习 角平 分 线 的 性 质 时 , 就 应 留 出时 间让 学 生折 纸 , 发现性质、 再
此。 语 文教 师要 想 使 学 生在 一 种 欢 悦 、 畅 快 的 课 堂 气 氛 中去 追 求知 识 , 那 就要 首 先 自己 充 满 这 种 情 绪 , 用 自己欢 悦 的 情 绪 去 感染学生。 四、 用 多 媒体 来 辅 助教 学 。 激 发 学 生 的 情 趣 和 学 习的 兴 趣 多媒 体 教 学 已成 为 教 学 活动 中必 不 可 少 的 一 个 重要 环 节 和 要 素 。在课 堂教 学活 动 中, 教 师利 用 多媒 体 技 术 . 使 教 学形 式 和 教 学方 式 变得 灵 活 多样 。 彻 底 改 变 了过 去单 凋死 板 的 课 堂教 学方式。让多媒 体技 术与语 文课 堂教 学环节有机结合 。 生动有 趣 的 教 学 形 式 激发 了学 生 的 学 习兴 趣 . 从 而提 高 了课 堂教 学 效
果。
活跃 的课 堂 气 氛 能 有 效地 提 高教 学效 率 , 达 到 教 学 相 长 的 目的 。 教 师 在课 堂教 学 中 。 要 以 学 生为 主 体 , 充 分发 挥 学生 的 主 体作 用 。 激 发他 们 的 学 习兴 趣 , 调 动 学 习积 极性 , 真 正做 到教 师 只是 课 堂教 学 的组 织者 、 引导 者 , 学 生 才是 学 习的 主人 。 如何 营 造 宽松 、 和 谐 的 课 堂 气 氛呢 ?从课 堂教 学过 程 来 看 , 可 以从 以下 几 方 面 着手 : 课 堂 教 学 开 始 时 上课 开 始 。 教 师可以带领学生唱唱歌 , 背背诗 , 这样 , 不仅 让 学 生从 课 间 的 活 动 中进 入 学 习状 态 , 活跃 课 堂 气 氛 。 而且 能 集 中学 生的 注 意 力 , 为新 课 的 学 习作 好 铺 垫 。 如 果 是 借 班上 课 , 可以和学生课前谈话 。 如 问学 生” 你贵姓” ” 老师想和你做 朋友” ” 你吃 过 饭 了吗 ?” 等 一 些轻 松 活 泼 的话 题 , 这 样 便 能在 极 短 时间 内拉 近 师 生之 间 的距 离 , 为 新授 课 作 情 感 铺 垫 。 二、 动 手 操 作 调 动 课 堂 气 氛 前 苏联 教 育 家 苏霍 姆 林 斯基 曾 经说 过 : ” 儿 童 的 智 慧在 他 的 手指 尖上 。” 这 句话 的意 思 是说 , 儿 童 多动 手操 作 会 促 进 智 力 的发 展 。从 脑 的 结 构 看 , 人 的 大 脑 皮层 的各 种 感 觉和 运 动 部 位 中, 管 手 的部 位 所 占面 积 很 大 , 所 以 手 的 运 动 能使 大脑 的很 大 区域得到训练。动手操作的过程 。 调动 了学生的感官参与 . 手脑 结 合 。学 生的 思 维 离 不开 动作 。 动 手操 作 是 智 力 的 源泉 , 发 展 的 起点. 激 发 了学 生对 操 作 活动 的 兴趣 。动 手操 作 建 立 学生 的 表 象思维 , 是学生的直观 学习, 把 书本 内容生动化 , 让语文 学习更 加形象, 课 堂 学 习气 氛 不再 是 讲 和 听 的形 式 。比如 , 学 生在 课 外 进行 剪报 活 动 , 把 用到的知识、 语 句剪下来 。 增 加 了记 忆 , 将 学
进 行 证 明。
合 情 推 理 帮 我们 获得 一 些猜 想 ,获 得 一 些 对 结 论 的 一 种认 识 , 而 演 绎 推 理 帮 我 们 来进 一 步 验 证 它 的 真 假 ,二 者 是 相 辅 相 成 的, 不能 偏 废 。 因此 在 现 在 的 课 程 里 面 , 我 们 始 终 把 推 理 能 力 作 为 一 个核 心概 念 提 出 来 。就 数 学而 言 , 演 绎 推 理 是 证 明 数 学 结 论、 建 立数 学体 系的 重要 思 维过 程 。 但 数 学 结论 、 证 明思 路 等 的
发现 , 主要靠合情推理。 因此 , 我们不仅要 学会证 明 . 也要学会
猜想。 总之 , 数 学教 学 中 , 注 重” 探 索发 现 ” 和” 演 绎证 明” 的 有 机 结 合, 有 利 于 实现 ” 增 强( 学生) 发 现 和 提 出 问题 的 能 力 、 分 析 和 解 决 问题 的 能 力” 的课 程 总 目标 。在 以后 的 教 学 中 。 多体 现 合 情 推 理 和 演绎 推 理 的相 结合 ,让 学生 在 探 究 活 动 中掌握 这 种 思 想 . 为 以 后 的教 学奠 定 坚 实的基 础 。
思想 感情 ” , ” 重 视提 高学 生的品 德修 养 和 审美情趣 , 使 他们 逐 步形 成 良好 的个 性和 健 全的人 格 , 促进 德 、 智、 体、 美的 和谐 发展 ” 。 【 关键 词 ¨ 、 学 语 文 课 堂 气氛
【 中图分类号 】 G 4 2 4 . 2 1 பைடு நூலகம்
【 文献标识码 】 A 【 文章编号】 2 0 9 5 — 3 O 8 9 ( 2 o 1 4 ) 6 — 0 1 8 9 — 0 1