必修② 第二章点线面的位置关系导学案(第1稿)

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【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计 2.1.3~2.1.4

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二两个平面的位置关系平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，反思与感悟 1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.A.0B.1C.2D.3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.反思与感悟 1.判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.2.反证法也用于相关问题的证明.①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：解后反思本例中由于点Q的位置不确定，导致截面形状不确定，故而采用分类讨论的方法来确定截面.另外，作两个平面的交线要注意直线的无限延伸性和平面的无限延展性，不要受所画图形的限制.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点答案C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若l ，m 是异面直线，l ∥α，m ∥β，则α∥β. 答案 ①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面DCC 1D 1，B 1C 1∥平面AA 1D 1D ，又AB 与B 1C 1异面，而平面DCC 1D 1与平面AA 1D 1D 相交，故②错误.1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式 (1)按公共点的个数分类⎩⎨⎧直线与平面平行(直线与平面没有公共点)直线与平面不平行⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交(直线与平面有惟一公共点)直线在平面内(直线与平面有无数个公共点)(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.一、选择题1.若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( ) A.b ∥α B.相交C.b ⊂αD.b ⊂α、相交或平行答案 D解析如图所示，选D.2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点答案D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③答案D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作答案C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④答案B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.答案①③对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.答案1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。

苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系教案(1)

1.2.1平面的基本性质及推论（一）教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用教学过程：（一）公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内1、直线与平面的位置关系2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,点A 在平面α内,记作α∈A ,直线a 在平面α内,记作α⊂a（二）公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.（三）公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四）问题：(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?(五)给出几个正方体作出截面图形课堂练习：教材第40页练习A 、B 小结：本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.课后作业：略1.2.1平面的基本性质及推论（二）教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用教学过程：（一）推论1：直线及其外一点确定一个平面（二）推论2：两相交直线确定一个平面（三）推论3：两平行直线确定一个平面（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内．求证：AB 和CD 既不平行也不相交．证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ， α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．求证：c b a 、、交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ．因为，β⊂a ，故β∈A ，同理，γ∈A ，故c A ∈．所以c b a 、、交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线．证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，所以R Q P 、、三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证：这六点共面．证明：连结BD 和KF ，因为 L E 、是CB CD 、的中点，所以 BD EL //．又矩形11B BDD 中BD KF //，所以 EL KF //，所以 EL KF 、可确定平面α，所以 L K F E 、、、共面α，同理 KL EH //，故 L K H E 、、、共面β．又平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，A B C PQRαCA A BB C D D EFGH KL1111故平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证α∈G ，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面．卡片：证明共面问题常有如下两个方法：(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( ) (2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( ) (4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( ) (5)矩形是平面图形. ( ) 2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件． 3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 . 4.空间四个平面把空间最多分为部分． 5.空间五个点最多可确定个平面．6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用课后作业：略1.2.2空间中的平行关系（1）教学目标：1、理解公理42、掌握等角定理及其应用教学重点：1、理解公理4 2、掌握等角定理教学过程：（五）复习平面几何中有关平行线的传递性的结论（六）公理4：平行于同一直线的两条直线平行（应指出：此“公理”并不是真正的公理，可以证明，但不一定给学生证明）（七）异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线（八）异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线（注：第（三）、（四）两条课标均未设计，但应重视）（九）等角定理：见教材（十）空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。

【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计 2.2.3~2.2.4

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质[学习目标] 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的性质定理思考(1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？答(1)不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.知识点二平面与平面平行的性质思考(1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？答(1)不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面.(2)平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.题型一线面平行性质定理的应用例4如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、反思与感悟线∥面线面平行的性质线面平行的判定线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.题型二面面平行性质定理的应用例2已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.②若AB 、CD 异面，如图，过A 作AE ∥CD 交α于E ，取AE 的中点P ，连接MP 、PN 、BE 、ED . ∵AE ∥CD .∴AE 、CD 确定平面AEDC .则平面AEDC 与α、β的交线分别为ED 、AC ，∵α∥β，∴ED ∥AC . 又P 、N 分别为AE 、CD 的中点， ∴PN ∥ED ，又ED ⊂平面α，PN ⊄平面α， ∴PN ∥平面α.同理可证MP ∥BE ，∴MP ∥平面α， ∵AB 、CD 异面，∴MP 、NP 相交. ∴平面MPN ∥平面α.又MN ⊂平面MPN ，∴MN ∥平面α.反思与感悟 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.跟踪训练2 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AC ＝15 cm ，DE ＝5 cm ，AB ∶BC ＝1∶3，求AB ，BC ，EF 的长. 解如图，连接AF ，交β于点G ，连接BG ，GE ，AD ，CF . 因为平面α∥平面β∥平面γ，所以BG ∥CF ，GE ∥AD . 所以AB BC ＝AG GF ＝DE EF ＝13.所以AB AB ＋BC ＝14.所以AB ＝154cm ，EF ＝3DE ＝15 cm ，BC ＝AC －AB ＝454cm.题型三平行关系的综合应用例3 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1. ∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC .同理，A 1M ∥NC .∴四边形A 1MCN 是平行四边形. ∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ，∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1. 同理，A 1M ∥BP ，A 1M ＝BP . 又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是▱A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3. 故112 A MCNA MN SS＝2×12×22×3＝2 6. 反思与感悟在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面.跟踪训练3 如图，三棱锥A －BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH .证明 ∵四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH . ∵EF ⊄平面BCD ，GH ⊂平面BCD ， ∴EF ∥平面BCD .又∵EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，∴EF ∥CD . 又∵EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH .转化与化归思想例4如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.分析欲证明线线平行可考虑线面平行的性质，欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.(1)证明因为AD∥BC，BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BC∥平面P AD.所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥BC.(2)解平行.证明如下：如图，取CD的中点Q，连接NQ，MQ.因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因为MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面P AD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.解后反思常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，三种平行关系不是孤立的，而是相互联系的.面面平行问题常常转化为线面平行问题，而线面平行问题又可转化为线线平行问题，所以要注意转化思想的应用.忽视定理的条件例6如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.分析已知E，F两点为正方体棱的中点，若证四边形BED1F为平行四边形，则先证B，E，D1，F四点共面，再证四边形BED1F为平行四边形.证明如图，连接AC，BD，交点为O；连接A1C1，B1D1，交点为O1.连接BD1，EF，OO1.设OO1的中点为M.由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M.所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.解后反思本例中常见的错误是没有证明E，B，F，D1四点共面，而是想当然地认为这四点共面，然后由平面ADD1A1∥平面BCC1B1，且这两个平面与平面EBFD1的交线分别为ED1和BF，故而得出ED1∥BF.这种证法的错误根源在于忽视了立体几何中定理的要求条件，人为地假设条件存在，缺乏严谨性.1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交答案D解析一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面内的任何一条直线都没有公共点，所以这条直线和这个平面内的直线都不相交. 2.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b B.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥β C.a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥β D.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 答案 D解析 A 中α∩β＝a ，b ⊂α，则a ，b 可能平行也可能相交；B 中α∩β＝a ，a ∥b ，则可能b ∥α且b ∥β，也可能b 在平面α或β内；C 中a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，根据面面平行的判定定理，若再加上条件a ∩b ＝A ，才能得出α∥β；D 为面面平行的性质定理的符号语言，正确.故选D.3.若不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A.α∥平面ABCB.△ABC 中至少有一边平行于αC.△ABC 中至多有两边平行于αD.△ABC 中只可能有一边与α相交答案 B解析若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.答案223解析易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223. 5.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.答案 45＋62解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝45＋6 2.1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°答案C解析∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC ＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确. 2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于点A′，B′，C′.若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5答案B解析∵平面α∥平面ABC，平面P AB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，从而易得△A ′B ′C ′∽△ABC ，且A ′B ′AB ＝P A ′P A ＝25，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝425.3.设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C ( ) A.不共面B.当且仅当A ，B 分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A ，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A ，B 如何移动，都共面答案 D解析如图所示，A ′，B ′分别是A ，B 两点在α，β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′.连接A ′B ，取A ′B 的中点E ，连接CE ，C ′E ，CC ′，AA ′，BB ′.则CE ∥AA ′，从而易得CE ∥α.同理C ′E ∥β.又∵α∥β，∴C ′E ∥α.∵C ′E ∩CE ＝E .∴平面CC ′E ∥平面α.∴CC ′∥α.故不论A ，B 如何移动，所有的动点C 都在过点C 且与α，β平行的平面上.4.如图，四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面P AD ，则( ) A.MN ∥PD B.MN ∥P A C.MN ∥AD D.以上均有可能答案 B解析 ∵MN ∥平面P AD ，MN ⊂平面P AC ，平面P AD ∩平面P AC ＝P A ，∴MN ∥P A .5.直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有答案 B解析设这n条直线的交点为P，则P∉a，∴直线a和点P确定一个平面β.设α∩β＝b，则P∈b.又∵a∥α，∴a∥b.显然直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.6.下列结论中，正确的有()①若a⊄α，则a∥α②a∥平面α，b⊂α，则a∥b③平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b④平面α∥β，点P∈α，a∥β，且P∈a，则a⊂αA.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析①中，a与α也可能相交，故①不正确；②③中，a与b也可能异面，故②③不正确；④中，∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a⊂α，又∵P∈a，P∈α，∴a⊂α，故④正确.7.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点答案D解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.二、填空题①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；⑤若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.答案②⑤解析①错误，α与β也可能相交；②正确，依题意，由a，b确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④错误，α与β也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.答案 2 解析因为EF ∥平面AB 1C ，且EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 10.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案 32解析 EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 三、解答题11.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心.(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ；(2)求S △MNG ∶S △ADC .(1)证明如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BG GH＝2. 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解由(1)可知，MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD . 同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ， ∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB .∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CMMB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DNNB ，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .。

高中数学必修二《点、直线、平面之间的位置关系》2.1.1 导学案设计

2.1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.知识点一平面的概念1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.思考一个平面能把空间分成几部分？答因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分.知识点二点、线、面之间的关系1.直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与数学符号的对应关系：思考若A ∈a ，a ⊂α，是否可以推出A ∈α？答根据直线在平面内定义可知，若A ∈a ，a ⊂α，则A ∈α. 知识点三平面的基本性质及作用思考 (1)两个平面的交线可能是一条线段吗？ (2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？答 (1)不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一三种语言间的相互转化例1 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P ，且平面α与平面β相交于P A ，平面α与平面γ相交于PB ，平面β与平面γ相交于PC ；(2)平面ABD 与平面BDC 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 相交于AC .解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.反思与感悟 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型二共面问题例2证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.证明(1)如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面α.因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.(2)如图②，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.因为a∩b＝M，所以直线a和b确定平面α.因为a∩c＝N，b∩c＝Q，所以点N，Q都在平面α内，所以c⊂α.同理可证d⊂α，所以直线a，b，c，d共面于α.综合(1)(2)，知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪训练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.题型三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q ∈平面ADD 1A 1.又∵平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ， ∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线. 反思与感悟点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 跟踪训练3 如图所示，在四面体A －BCD 中，E ，G 分别为BC ，AB的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点.证明 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点，∴GE ∥AC . 又∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，从而FH ∥GE . 故E ，F ，H ，G 四点共面. ∵FH ∥AC ，DH ∶DA ＝2∶5， ∴FH ∶AC ＝2∶5，即FH ＝25AC .又∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ＝12AC ，∴FH ≠GE ，∴四边形EFHG 是一个梯形， GH 和EF 交于一点，设为O .∵O ∈GH ，GH ⊂平面ABD ，O ∈EF ，EF ⊂平面BCD ， ∴O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，∴O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上. 故EF ，GH ，BD 交于一点.分类讨论思想例4三个平面将空间分成几部分？请画出图形.分析平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.解(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时，将空间分成4部分，如图①所示.(2)当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交(即α∥β，γ与其相交)时，将空间分成6部分，如图②所示.(3)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示.(4)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示.(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.解后反思本题在解答过程中，采用了从简单到复杂的处理方法.1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面答案 C解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.2.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α答案 D解析点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示.3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是()答案 D解析A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_______个平面.答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.一、选择题1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面答案 D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.2.如图，用符号语言可表示为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n答案 A解析α与β交于m，n在α内，m与n交于A.3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面答案 D解析对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个答案 C解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.5.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC.A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合答案 C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误.6.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线答案 B解析如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确.7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面答案 D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确.二、填空题8.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.9.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝_______.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又∵R∈l，∴R∈β.又∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.10.若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.11.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.三、解答题12.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC 的交线.13.如图，在正方体ABCD－AB1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.所以BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.。

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案(1)

空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点）一、四个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号语言：,,l B l A ∈∈且.,ααα⊂⇒∈∈l B A图形语言：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.图形语言：ABC ∆确定一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言：,,l P P =⋂⇒∈∈βαβα且.l P ∈公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号语言：.////,//c a c b b a ⇒二、三个角的定义三角为：异面直线所成的角，线面角，二面角.1 异面直线所成的角：已知两条异面直线b a ,，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''把b a ''与所成的锐角（或直角）叫做异面直线b a ,所成的角（或夹角）.2 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.图形语言：3 二面角: 在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂直，在半平面 α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 图形语言：三、判定定理和性质定理1 线面平行的判定定理文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符合语言：.//,//,,αααa b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄2 面面平行的判定定理文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符合语言：.//////αβααββ⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a P b a b a3 线面平行的性质定理文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符合语言：.//,,,//b a b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊂βαβα图形语言：定理：平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条直线也平行于这个平面.符合语言：.//////αααb b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄4 面面平行的性质定理文字语言：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符合语言：.////b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα定理：夹在两个平行平面间的平行线段相等.5 线面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符合语言：.,αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥a O c b c b c a ba 定理：两平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面. 符合语言：.//αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a6 面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符合语言：.βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥aa7 线面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符合语言：.//baba⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα定理：垂直于同一条直线的两个平面平行.符合语言：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥aa.定理：一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直这个平面内的任意一条直线.符合语言：.baba⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα8 面面垂直的性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符合语言：βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥alaal.定理：两个相交平面都垂直第三个平面，则两个相交平面的交线也垂直于第三个平面.符合语言：.γβαγβγα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥ll。

苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系教案一

1．两架飞机同时在天空飞过，其中一架从东向西飞行，另一架从南向北飞行，它们各留下了一条白色的痕迹，这两条白色的痕迹一定相交吗？2．在长方体1111D C B A ABCD -中，直线AB 与C A 1具有怎样的位置关系？ 3．已知a B B A a ∉∈∉⊂，，，ααα，求证：直线AB 与a 是异面直线．定理：的直线，和这个平面内的直线是异面直线．符号语言：4．异面直线所成的角：（尝试在右侧画出图形表示）已知异面直线b a 、，经过空间中任一点O 作直线b b a a ////''、，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）．异面直线所成的角的范围_____________________．例题剖析例1 已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体．（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直线；（2）求异面直线1AA 与BC 所成的角；（3）求异面直线1BC 和AC 所成的角．例2 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，PC ⊥AB ，2==AB PC ，F E ，分别是PA 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线；（2）求EF 与PC 所成的角．A Baα 作图区CA 1P C巩固练习1．在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对． 2．下列说法正确的有________________．(填上正确的序号) ①．过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③．若a c b a ⊥，//，则b c ⊥． ④．若c b c a ⊥⊥，，则b a //．3．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2321===AA AD AB ，．（1）直线BC 与11C A 所成的角；（2）直线1AA 与1BC 所成的角．课堂小结异面直线的判定，异面直线所成角的计算．A 1课后训练一基础题1．两条异面直线所成角的取值范围是____________________________． 2．在正方体1111D C B A ABCD -中，面11A ABB 的对角线1AB 所在直线与直线1DD 所成角的大小是________________________________．3．已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体，F E ，分别是AB AA ，1的中点．（1）哪些棱所在直线与直线DC 是异面直线？（2）哪些棱所在直线与直线EF 垂直？（3）直线11D C 与EF 的夹角是多少？二提高题4．长方体1111D C B A ABCD - 中，221===AB AA AD ，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是_______________．三能力题5．在空间四边形ABCD 中，F E 、分别是CD AB 、中点，且5=EF ，又86==BC AD ，．求AD 与BC 所成角的大小．6．如图，已知c b a 、、不共面，P c b a =⋂⋂，点c C b B a D a A ∈∈∈∈，，，，求证：BD 和AC 是异面直线．7．空间四边形ABC P -中，CA BC AB PC PB PA =====．ABA 1EF A DB C Pacb（1）写出图中几组异面直线；（2）画出与PC AB ，都垂直且相交的直线． PC。

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案(1)

第五节直线、平面垂直的判定及其性质考纲下载1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．理解直线与平面所成的角、二面角的概念．1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，∠PAO 就是斜线AP 与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直．2．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．1．(教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B ①④正确．2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( ) A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥α D．b与α相交解析：选C ∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b⊂α.3．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对 B．7对C．6对 D．5对解析：选B 由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)．解析：设α∩β＝l，则当m⊂α，且m⊥l时，有m⊥β，否则m不垂直β，故α⊥β⇒/ m⊥β；反之，若m⊂α，m⊥β，则α⊥β.答案：必要不充分5．(教材习题改编)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________.解析：如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB，DB，由条件知，OD⊥OB，设AD＝1，则OD＝OB＝2 2，所以DB＝OD2＋OB2＝1.所以△ADB为正三角形，故∠DAB＝60°.答案：60°1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度：(1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题．[例1] (A.浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α(2)(A.湖北高考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点. 求证：①直线BC1∥平面EFPQ；②直线AC1⊥平面PQMN .[自主解答] (1)选项A，B，D中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C.(2)①连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.1而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.②如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.连接B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥B1D1，故MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.[答案] (1)C线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD⊂平面BCDE，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，DP⊂平面DEP，DE⊂平面DEP，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.[例2] (A.绍兴模拟)如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.[自主解答] (1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12 AB.又AB∥CD，CD＝12 AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝12 AB.又CD＝12 AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．求证：(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.证明：(1)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝12AC，且DE∥AC.又F为A1C1的中点，所以A1F＝12A1C＝12AC，且A1F∥A1C1∥AC，所以A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.[例3]如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB .[自主解答] (1)证明：由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，故AB ⊥PH . 又∵PH 为△PAD 中AD 边上的高，∴AD ⊥PH . ∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)由于PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，故E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，故S △BCF ＝12·FC ·AD ＝12×1×2＝22.因此V E BCF＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)垂直与平行结合问题．求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．求证：(1)B1C∥平面A1BD；(2)B1C1⊥平面ABB1A1.证明：(1)如图所示，连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点．连接OD，∵D为AC的中点，∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD.∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB＝B1B，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形．∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵AC1⊂平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1.又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥B1C1.又∵A1A⊂平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B＝A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.[例4](A.浙江高考)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．[自主解答] (1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE. (2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝2，DC＝2. 得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD，与CB延长线交于F，连接AF，则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝π4，得EF＝22，BF＝22；在Rt△ACF中，由AC＝2，CF＝322，得AF＝262.在Rt△AEF中，由EF＝22，AF＝262，得tan∠EAF＝13 13.所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是13 13.方法规律1．求斜线与平面所成的角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．2．求二面角的步骤(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角就是二面角的平面角；(3)计算该角的大小．以上3步简记为作、证、算．3．作二面角平面角的方法法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角αaβ的平面角．法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角αlβ的平面角．法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角ABCD的平面角．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE⊂平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即为二面角BPCA的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又∵OE、AC⊂平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴BD＝AC＝22，BO＝12BD＝ 2.由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PA⊥BC. 又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.而PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝PA2＋AB2＝5，在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝3，在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE，得BE＝25 3.在Rt△BOE中，OE＝BE2－BO2＝2 3.∴tan ∠BEO＝BOOE＝3，即二面角BPCA的正切值为3.——————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————1个转化——三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．3种方法——三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)判定线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；④利用面面垂直的性质．(3)判定面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 答题模板(五) 空间位置关系的证明[典例] (B.浙江高考)(15分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值．[快速规范审题] 第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：证明BD ⊥平面APC ――→可利用线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理证明BD 与平面APC 内的两相交直线垂直或证明BD 所在的平面与平面APC 垂直，且BD 与交线垂直．2．审条件，挖解题信息观察条件：AB ＝BC ，AD ＝CD ，PA ⊥平面ABCD ，线面垂直的判定定理,BD ⊥平面APC .3．建联系，找解题突破口AB ＝BC ，AD ＝CD ――→BD 是AC 的中垂线BD ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD 线面垂直的判定定理,BD ⊥平面APC .第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：DG 与平面APC 所成的角的正切值射影定理,DG 与平面APC 所成的角．2．审条件，挖解题信息观察条件：AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°余弦定理,AC ＝23比例关系,OC ＝3勾股定理,OD ＝2.3．建联系，找解题突破口在Rt △OGD 中三角函数定义,tan ∠OGD ＝ODOG. 第(3)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：PG GC ――→相似三角形性质PG 、GC 的值． 2．审条件，挖解题信息观察条件：PC ⊥平面BGDOGC ⊂平面BGD,PC ⊥OG 勾股定理,PC 的值． 3．建联系，找解题突破口PC ⊥平面BGDOG ⊂平面BGD,PC ⊥OG 勾股定理,PC 的值――→相似三角形性质GC 的值―→PGGC的值．,[准确规范答题](1)证明：设点O 为AC 与BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线，所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .⇨2分又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面APC ，所以BD ⊥平面APC .⇨4分(2)连接OG .由(1)可知，OD ⊥平面APC ，则DG 在平面此外易误判DG 与平面APC 所成的角造成后续求解错误APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．⇨5分由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，所以OC ＝12AC ＝ 3.⇨7分在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝7－3＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433. 所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为433.⇨10分 (3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG .在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3＋12＝15，所以GC ＝AC ·OC PC ＝23×315＝2155.⇨13分从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.⇨15分 [答题模板速成][全盘巩固]1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 当l⊥α时，l⊥m且l⊥n；但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.即“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交 D．垂直解析：选A 因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线，同理，直线m垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线，根据线面或线线垂直的性质定理得l∥m.3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是( )A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析：选B 条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的充分必要条件．4．(A.丽水模拟)已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：选C ①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n ⊥β，因此④是正确的．5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.6.如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为( )A B C D解析：选A 取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PE⊥AD知，PE⊥平面ABCD，从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC、AB的中点F、G，连接DF、DG、FG，由PD＝DC知，DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，∴DG⊥PC，又DF∩DG＝D，DF⊂平面DFG，DG⊂平面DFG，∴PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，因此线段DG上的点满足MP＝MC.7．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．答案：①③④8.如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝12；②a＝1；③a＝3；④a＝2；⑤a＝4.当在BC边上存在点Q(Q不在端点B、C处)，使PQ⊥QD时，a可以取________(填上一个你认为正确的数据序号即可)．解析：当PQ⊥QD时，有QD⊥平面PAQ，所以QD⊥AQ.在矩形ABCD中，设BQ＝x(0<x<2)，则CQ＝2－x.在Rt△ABQ中，AQ2＝a2＋x2，在Rt△DCQ中，DQ2＝a2＋(2－x)2.又由AQ2＋DQ2＝4，得2a2＋2x2－4x＝0，则a2＝－(x－1)2＋1(0<x<2)，故a2∈(0,1]，即a∈(0,1]，故①②符合，③④⑤不符合．答案：①(或②)9.如图PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．解析：①AE ⊂平面PAC ，BC ⊥AC ，BC ⊥PA ⇒AE ⊥BC ，故①正确；②AE ⊥PC ，AE ⊥BC ，PB ⊂平面PBC ⇒AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，EF ⊂平面AEF ⇒EF ⊥PB ，故②正确；③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．答案：①②④10．(A.台州模拟)如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，E 为BC 的中点，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝3，CD ＝1，PA ＝AD ＝2.(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)求PA 与平面PDE 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥DE ，取AD 的中点F ，连接EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线，所以EF ∥AB 且EF ＝AB ＋CD 2＝2，在Rt △ADC 和Rt △DEF 中，∠EFD ＝∠ADC ＝90°，DF ＝DC ＝1，EF ＝AD ＝2，所以△EFD≌△ADC，∠FED＝∠DAC，所以AC⊥DE.因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC所以DE⊥平面PAC.(2)由(1)知平面PDE⊥平面PAC，设DE∩AC＝G，连接PG，在Rt△PAG中，作AH⊥PG，垂足为H，则AH⊥平面PDE，所以∠APH是PA与平面PDE所成的角，由(1)知，在Rt△ADG中，AD＝2，tan∠CAD＝CDAD＝12，所以AG＝AD×cos∠CAD＝45，因为PA⊥平面ABCD，所以PG＝AG2＋PA2＝65，sin∠APH＝sin∠APG＝AGPG＝23，即PA与平面PDE所成角的正弦值为2 3 .11.(A.金华模拟)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS ＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12.如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2)证明：取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PD∥BC且PD＝12 BC.在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR＝12 BC.所以QR∥PD且QR＝PD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，所以PQ∥平面SCD.(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.[冲击名校]如图在直棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC 的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC与C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1A1B1E的体积．解：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC与C1E所成的角，由题设知∠A 1C1E＝60°.因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面A1ABB1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，又A1E⊂平面A1ABB1，所以A1C1⊥A1E.故C1E＝A1C1cos 60°＝22，又B1C1＝A1C21＋A1B21＝2，所以B1E＝C1E2－B1C21＝2.从而V三棱锥C1A1B1E＝13S△A1B1E×A1C1＝13×12×2×2×2＝23.[高频滚动]如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．解：(1)证明：取BC的中点为M，连接AM，B1M，在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，又平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，故AM⊥平面BCC1B1，又BD⊂平面BCC1B1，所以AM⊥BD.又正方形BCC1B1中，tan∠BB1M＝tan∠CBD＝1 2，所以BD⊥B1M，又B1M∩AM＝M，B1M⊂平面AB1M，AM⊂平面AB1M，所以BD⊥平面AB1M，又AB1⊂平面AB1M，故AB1⊥BD.在正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，又A1B∩BD＝B，A1B，BD⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD.精品文档. (2)取AA1的中点为N，连接ND，OD，ON.因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥AC，又AC⊂平面ABC，ND⊄平面ABC，所以ND∥平面ABC，又OD∥平面ABC，ND∩OD＝D，所以平面NOD∥平面ABC，又平面NOD∩平面BAA1B1＝ON，平面BAA1B1∩平面ABC＝AB，所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，所以O为AB1的中点，即AOOB1＝1.。

【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.知识点一直线与平面垂直的性质定理①线面垂直⇒线线平行思考(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？答(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二平面与平面垂直的性质定理①面面垂直⇒线面垂直思考(1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？答(1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一直线与平面垂直的性质及应用例1如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.证明如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.题型二平面与平面垂直的性质及应用例2如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积.(1)证明∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝34AB2＝ 3.∵OC⊥平面VAB，∴V C－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1×3＝33，∴V V－ABC＝V C－VAB＝3 3.反思与感悟 1.证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.跟踪训练2如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.题型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝ 3.在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)解三棱锥E －A 1B 1C 1的体积 V ＝13AA 1·111∆A B C S ＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32， A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3. 故11∆A C E S ＝3 5.设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ，则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·11∆A C E S ＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105. 即点B 1到平面EA 1C 1的距离为105. 反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠DAB ＝60°，侧面P AD 为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边上的中点，能否在PC 棱上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论.(1)证明设G 为AD 的中点，连接PG ，BG ，如图. 因为△P AD 为等边三角形，所以PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD .又因为BG ∩PG ＝G ，所以AD ⊥平面PGB . 因为PB ⊂平面PGB ，所以AD ⊥PB .(2)解当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD . 如图，设F 为PC 的中点，则在△PBC 中，EF ∥PB . 在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，EF ∩DE ＝E ，所以平面DEF ∥平面PGB .由(1)，得PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ，所以平面PGB ⊥平面ABCD . 所以平面DEF ⊥平面ABCD .条件开放型例4 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足什么条件时，有A 1C ⊥B 1D 1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)分析要使A 1C ⊥B 1D 1→A 1C ⊥BD ――――――→A 1A ∩A 1C ＝A 1BD ⊥平面A 1AC →AC ⊥BD 解因为BD ∥B 1D 1，所以要使A 1C ⊥B 1D 1，需A 1C ⊥BD . 又因为A 1A ⊥平面ABCD ，A 1A ⊥BD ，A 1A ∩A 1C ＝A 1，所以BD ⊥平面A 1AC .因为AC ⊂平面A 1AC ，所以AC ⊥BD .由以上分析，知要使A 1C ⊥B 1D 1，需使AC ⊥BD 或任何能推导出AC ⊥BD 的条件，如四边形ABCD 是正方形、菱形等.解后反思此题是对条件开放的，因此解决此类问题时一般从结论入手，分析得到该结论所需的条件，逐步使问题简化，最终得证.这种解决问题的技巧在今后的学习中经常会用到，注意掌握.A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行答案 D解析 A 项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.A.①②B.③④C.①④D.②③答案D解析①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能答案D解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C 都有可能，故选D.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.答案①③解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.5.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.答案5解析∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、选择题1.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.2.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面P AB，P A＝PB，AD＝DB，则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC答案B解析∵P A＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面P AB，平面ABC∩平面P AB＝AB，∴PD⊥平面ABC.3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案A解析连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上，故选A.4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④答案B解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.5.P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是()A.P A⊥BCB.BC⊥平面P ACC.AC⊥PBD.PC⊥BC答案C解析∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，A选项正确；∵BC⊥AC，∴BC⊥面P AC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确.故选C.6.三棱锥P－ABC的三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则()A.S△ABC＝S△PBC＋S△OBCB.S2△PBC＝S△OBC·S△ABCC.2S △PBC ＝S △OBC ＋S △ABCD.2S △OBC ＝S △PBC ＋S △ABC 答案 B解析如图，由题设，知O 是垂心，且有AP ⊥PD ，所以PD 2＝OD ·AD ，即S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .7.如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A.A ′C ⊥BDB.∠BA ′C ＝90°C.CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D.四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO . ∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD . ∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵A ′O ∩A ′C ＝A ′，∴BD ⊥平面A ′OC ， ∴OC ⊥BD ，出现矛盾，即A ′C 不垂直于BD ，A 选项错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，且平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B .∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ， ∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，B 选项正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 选项错误； V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 选项错误.二、填空题答案 19.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为________.答案 55 解析取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，易知∠EDF 为直线DE 与平面ABCD 所成的角，tan ∠EDF ＝15＝55. 10.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________.答案 83解析如图.因为矩形ABCD 的四个顶点都在球面上，所以过A ，B ，C ，D 四点的截面圆的圆心为矩形ABCD 的中心O ′.连接OO ′，在△AOC 中，因为OA＝OC ，且O ′为AC 的中点，所以OO ′⊥AC .同理，OO ′⊥BD .又因为AC ∩BD ＝O ′，所以OO ′⊥平面ABCD ，即OO ′为棱锥O －ABCD 的高.AO ′＝AC 2＝62＋(23)22＝432＝23， OO ′＝AO 2－AO ′2＝42－(23)2＝2，所以V O －ABCD ＝13×6×23×2＝8 3. 11.如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N分别为AB ，DF 的中点.若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，则线段MN的长等于________.答案 6解析取CD 的中点G ，连接MG ，NG .因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.三、解答题12.如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明 (1)如图所示，设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此，四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点.又F 为PC 的中点，因此，在△P AC 中，可得AP ∥OF .又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)由题意，知ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP 、AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC .13.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形.(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论.(1)证明因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交的直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1、AC 为平面ACC 1A 1内两条相交的直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点.由已知，O 为AC 1的中点.连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。

必修2点直线平面之间的关系导学案

导学案使用教师：使用班级：课题§2.1.1 平面自学导航学习目标：1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；2.理解平面的无限延展性；3.理解公理1、2、3、4，并能简单应用。

重点：掌握、理解公理1、2、3、4，并能简单应用。

难点：立体几何中三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的相互转化。

学法指导：自主探索与合作交流相结合自主学习知识链接：空间几何体自主探究：预习教材P40~ P43，找出疑惑之处，并完成下列问题：1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②没有厚度（2）平面的画法：水平放置的平面的画法竖置放置的平面的画法相交平面的画法（3）平面的表示：平面可以看成点的集合，点A在平面α内，记作，点B不在平面α内，记作2．三个公理公理1：用数学符号表示为：作用：公理2：用数学符号表示为：作用：公理3：用数学符号表示为：作用：小组交流、展示提升例1：一个平面将空间划分成几个部分？二个平面将空间划分成几个部分？三个平面将空间划分成几个部分？例2:下列判断中不正确的是（）A.一个平面把空间分成两部分B. 两个平面把空间分成三或四部分C.任何一个平面图形都是一个平面D. 圆和平面多边形都可以表示平面例3：用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，但点B 在平面α外：（2）直线a 经过平面α外的一点M ；（3）直线a 既在平面α内，又在平面内β内。

例4：已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交面α于,Q,R P ,求证：,Q,R P 在同一条直线上.堂清训练1.判断下列说法是否正确.○1三角形中两条边在同一平面内，则第三条边也在该平面内.（） ○2四边形中三个点共面，则第四个点也在该平面内.（） 2.三棱柱各面所在平面将空间分成部分. 3.在空间四边形ABCD （D ∉平面ABC ）各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ,F ,G ,H 四点，如果EF ,GH 交于一点P , 则（）A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 在直线BD 或AC 上 D ．P 不在直线BD 上，也不在直线AC 上教学反思：αRPQBCA导学案使用教师：使用班级：课题§2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系自学导航学习目标：1.正确理解空间直线与直线的位置关系，特别是两异面直线的异面关系。

高中人教版数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》精品导学案

§2。

1点、直线、平面之间的位置关系1.学习目标：1）直观认识和理解、体会空间中的丶直线、平面之间的位置关系 2）学会用数学语言表述几何对象的位置关系2.学习重点与难点：1）空间直线、平面的位置关系2）三中语言：文字语言，图形语言和符号语言的转化图（1）图（2）图（3）观察以上图中的点、线、面的位置关系回答以下问题：图（1）几何体的有个面围成，有个顶点，有条棱，面与面的位置是棱与棱的位置是棱与面的位置是顶点与棱的位置是顶点与面的位置是图（2）几何体的有个面围成，有个顶点，有条棱，面与面的位置是棱与棱的位置是棱与面的位置是顶点与棱的位置是顶点与面的位置是图（3）你能视为几何体吗？答有个面，有个顶点，有条棱，面与面的位置是棱与棱的位置是棱与面的位置是顶点与棱的位置是顶点与面的位置是你能用以前学习过的集合的语言描述图（1）,图（2）,图（3）,中的点与线的位置（举例说明）点与面的位置（举例说明）线与线的位置（举例说明）线与面的位置M C A B S NABCDA 1B 1C 1D 1EF 面与面的位置如图所示用集合语言表示A AB ， B AB ，C AB ， 1A AB ， A 平面1AB ，C 平面1AB ， A 平面BE ， AB 平面BE ， EF 平面AC ，BF 平面11C A平面BE 平面AC = ，平面AC 平面11C A = ， BF CE ，BF CD ，BF 1CC ，BF BC ，BF 11D A ，通过以上你能归纳出空间的点与面，点与线，线与线，线与面，面与面的位置关系吗？点与线的位置线与线的位置线与面的位置面与面的位置 §2.1.1平面一、学习目标：（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

二、学习重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

点线面的位置关系导学案

§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面主备人：( ) 审核人：（）审核领导一、课标及考纲要求：1.掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用；二、教学重点、难点重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、教学过程设计1．平面含义生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2．平面的画法及表示平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

右图中点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α3、平面的基本性质引导学生思考教材P41的思考题D C BA α α β ·A αB师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

高中数学必修二导学案点、线、面之间的位置关系(一)

学生班级：姓名：小组序号：评价：必修二 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一【学习目标】1、了解空间中直线与平面的位置关系．2、了解空间中平面与平面的位置关系3、通过观察与类比加深对这些位置关系的理解、掌握。

【学习重点】空间中直线与平面的位置关系的理解【学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题和预习提纲通读教材P40-P47页内容，对概念、关键词等进行梳理，作好必要的标注和笔记。

预习案问题导学1、过三点能确定几个平面？2、如果一条直线与一个平面有一个公共点，那么这条直线是否在这个平面内？如果一条直线与一个平面有两个公共点呢？3、分别在两个平面内的直线是否一定是异面直线？垂直于同一条直线的两条直线是否平行？知识梳理1．平面的概念：2．平面的画法及表示：3. 点A在平面α内，表示为：，点B在平面α外，表示为：直线l在平面α内，表示为：，直线l在平面α外，表示为：4. 平面的基本性质．公理1公理2公理35. 异面直线的定义：6. 空间两直线的位置关系分为：7. 公理4定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角8. 异面直线所成的角的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线预习自测1.用符号表示下列语句，并画出相应的图形（1）点A在平面α内，但点B在平面α外⑵直线l在平面α内，直线m不在平面α内；（3）直线l既在平面α内，又在平面β，直线m在平面α内,l和m相交于点P.2 .判断下列命题是否正确（1）经过三点确定一个平面（2）经过一条直线和一个点确定一个平面（3）四边形确定一个平面（4）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面（5）经过两相交直线，有且只有一个平面（6）经过两条平行直线，有且只有一个平面（7）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点3．两条异面直线指的是（）A．不同在任何一个平面内的两条直线B．空间中不相交的两条直线C．分别位于不同平面内的两条直线D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线4．若空间两条直线,a b与直线l都成异面直线，则直线,a b的位置关系是（）A．平行或相交B．相交、平行或异面C．异面或相交D．异面或平行探究案合作探究探究一：已知△ABC的三条边所在直线与平面α交与点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线αR Q PCB A探究二：例2．如图，已知空间四边形ABCD 中，,E H 分别为,AB AD 的中点，,F G 分别为,BC CD 的中点。

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中山市东升高中高一年级校本教材开发小组编印数学导学案2008～2009 学年第一学期模块：必修 ②章节：第二章点线面的位置关系班级：姓名：中山市东升高中高一数学◆必修2◆导学案编写：赵进校审：王艳艳1§2.1.1 平面学习目标1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系. 学习过程一、课前准备（预习教材 P 40~ P 43，找出疑惑之处）引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知 1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知 2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母 ,, a b g 来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面a ,平面ABCD ,平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的 2 倍； ②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢? 新知 3：⑴点A 在平面a 内，记作 A a Î ；点 A 在平面a 外，记作 A a Ï .⑵点 P 在直线l 上，记作 P l Î ，点P 在直线外，记作P l Ï .⑶直线l 上所有点都在平面a 内,则直线l 在平面a 内(平面a 经过直线l ),记作l aÌ ；否则直线就在平面外，记作 l a Ë .探究 2：平面的性质问题：直线l 与平面a 有一个公共点P ,直线l 是否在平面a 内?有两个公共点呢?新知 4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为： ,, A l B l ÎÎ 且 , A B l a a aÎÎÞÌ 问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知 5：公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点 B ?为什么?新知 6：公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：平面a 与平面b 相交于直线l ，记作 l a b = I .公理3 用集合符号表示为, P a Î 且Pb Î Þ l a b = I ,且P l Î ※ 典型例题例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.2008年下学期◆高一月日班级：姓名：第二章点、线、面的位置关系2例 2 如图在正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 中，判断下列命题是否正确，并说明理由： ⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为 , O O ¢，则平面AA C C ¢¢ 与平面BB ¢D D ¢ 的交线为OO ¢；⑶点 ,, A O C ¢可以确定一平面； ⑷平面AB C ¢¢与平面AC D¢ 重合.※ 动手试试练用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面a 内，但点B 在平面a 外； ⑵直线a 经过平面a 外的一点M ； ⑶直线a 既在平面a 内，又在平面b 内.三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※ 知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用), 是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理 3 用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下面说法正确的是（）.①平面 ABCD 的面积为 210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④ 平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④ 2. 下列结论正确的是（）. ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（）.A.在直线DB 上B.在直线AB 上C.在直线CB 上D.都不对 4. 直线 12 , l l 相交于点P ，并且分别与平面g 相交于点 , A B 两点，用符号表示为____________________. 5. 两个平面不重合，在一个面内取 4点，另一个面内取 3 点，这些点最多能够确定平面_______个.课后作业1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ,,, l AB CD a b a b =ÌÌ I AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点， , B C 都是棱的中点，请作出经过 ,, A B C 三点的平面与正方体的截面.O ¢ O B C D ADC B A HGDCFBA中山市东升高中高一数学◆必修2◆导学案编写：赵进校审：王艳艳3§2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系学习目标1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.学习过程一、课前准备（预习教材 P 44~ P 47，找出疑惑之处）复习 1：平面的特点是______、_______ 、 _______. 复习 2：平面性质(三公理)公理 1___________________________________；公理 2___________________________________；公理3___________________________________.二、新课导学※ 探索新知探究 1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢? 观察：如图在长方体中，直线A B ¢ 与CC ¢的位置关系如何？结论：直线A B ¢ 与CC ¢既不相交，也不平行.新知 1：像直线A B ¢ 与CC ¢这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3 对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知 2：异面直线的画法有如下几种( , a b 异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究 2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律? 观察：如图 21,在长方体中，直线C D¢¢∥ A B ¢¢，AB ∥ A B ¢¢，那么直线AB 与C D ¢¢平行吗?图 21新知 3: 公理 4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图 21 中, ADC Ð 与 A D C ¢¢¢ Ð , ADC Ð 与 A BC ¢¢¢ Ð 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知 4: 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究 3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图 22新知 5: 如图22,已知两条异面直线 , a b ，经过空间任一点O 作直线 a ¢∥a ,b ¢∥b ，把a ¢与b ¢所成的锐角(或直角)叫做异面直线 , a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ^ . 反思：思考下列问题.⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? ※ 典型例题例1 如图23, ,,, E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边 ,,, AB BC CD DA 的中点，若对角线 2, BD = 4 AC = ，则 22 EG HF + 的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).aaba2008年下学期◆高一月日班级：姓名：第二章点、线、面的位置关系4图 23例 2 如图 24，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA ¢和CC ¢ ⑵B D ¢¢和C A¢ 图 24※ 动手试试练正方体 ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 的棱长为a ，求异面直线AC 与 A D ¢¢所成的角.三、总结提升※ 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※ 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图， ,,, a A B B a a a a ÌÏÎÏ ，则直线AB 与直线 a 是异面直线.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. ,, a b c 为三条直线，如果 , a c b c ^^ ，则 , a b 的位置关系必定是（）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对 2. 已知 , a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知 l a b = I , , a b a b ÌÌ ，且 , a b 是异面直线，那么直线l （）.A.至多与 , a b 中的一条相交B.至少与 , a b 中的一条相交C.与 , a b 都相交D.至少与 , a b 中的一条平行4. 正方体 ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 的十二条棱中，与直线 AC ¢是异面直线关系的有___________条.5. 长方体 1111 ABCD A B C D - 中, 3 AB = , 2, BC = 1 AA =1，异面直线AC 与 11 A D 所成角的余弦值是______.课后作业 1. 已知 , E E ¢是正方体 AC ¢棱 AD ， A D ¢¢的中点，求证： CEB C E B¢¢¢ Ð=Ð . 2. 如图 25，在三棱锥P ABC - 中，PA BC ^ ，E 、F 分别是PC 和 AB 上的点，且 32PE AF EC FB == ，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为 , a b ，求证： 90 a b += °.图 25中山市东升高中高一数学◆必修2◆导学案编写：赵进校审：王艳艳5§2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4 平面与平面之间的位置关系学习目标1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.学习过程一、课前准备（预习教材 P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习 1：空间任意两条直线的位置关系有_______、 _______、_______三种. 复习 2：异面直线是指________________________ 的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.复习 3：平行公理：__________________________ ________________；空间等角定理：_______________________________________________________.二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：空间直线与平面的位置关系问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图 31,直线A B ¢ 与长方体的六个面有几种位置关系?图 31新知 1：直线与平面位置关系只有三种： ⑴直线在平面内—— ⑵直线与平面相交—— ⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面 ⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.探究 2：平面与平面的位置关系问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图 32，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图 32新知 2：两个平面的位置关系只有两种： ⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.※ 典型例题例 1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l 上有无数个点不在平面a 内，则l ∥a . ②若直线l 与平面a 平行，则l 与平面a 内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l 与平面a 平行，则l 与平面a 内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.32008年下学期◆高一月日班级：姓名：第二章点、线、面的位置关系6例 2 已知平面 , a b ，直线 , a b ，且a ∥b ,a a Ì ，b b Ì ，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系?※ 动手试试练 1. 若直线a 不平行于平面a ，且a a Ë ，则下列结论成立的是（） A.a 内的所有直线与a 异面 B.a 内不存在与a 平行的直线 C.a 内存在唯一的直线与a 平行D.a 内的直线与a 都相交.练 2. 已知 ,, a b c 为三条不重合的直线， ,, a b g 为三个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c Þ a ∥b ； ②a ∥g ,b ∥g Þ a ∥b ； ③a ∥c ,c ∥a Þ a ∥a ； ④a ∥g ,a ∥a a Þ ∥g ； ⑤a a Ë ,b a Ì ,a ∥b Þ a ∥a . 其中正确的命题是（）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤三、总结提升 ※ 学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性. ※ 知识拓展求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难为易、化繁为简.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 直线l 在平面a 外，则（）. A.l ∥a B.l 与a 至少有一个公共点 C.l A a = I D.l 与a 至多有一个公共点 2. 已知a ∥a ，b a Ì ，则（）. A.a ∥b B.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（）. A.1 对 B.1 对或2 对 C.1 对或 2 对或 3 对D.0 对或1 对或 2对或 3 对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______. 课后作业 1. 已知直线 , a b 及平面a 满足: a ∥a ,b ∥a ,则直线 , a b 的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.中山市东升高中高一数学◆必修2◆导学案编写：赵进校审：王艳艳7§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.学习过程一、课前准备（预习教材 P 40~ P 50，找出疑惑之处）复习 1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系 ì ïí ï î 平行相交异面 ⑷直线与平面的位置关系 ì ïí ï î在平面内相交平行 ⑸平面与平面的位置关系 ìíî平行相交复习 2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习 3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学 ※ 典型例题例 1 如图 41, ABC D 在平面a 外，AB P a = I ， BC Q a = I ， AC R a = I ，求证：P ,Q ,R 三点共线.图 41小结：证明点共线的基本方法有两种⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理 3 可推知这些点都在交线上，即证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上. 例 2 如图 42,空间四边形ABCD 中，E ,F 分别是AB 和CB 上的点，G ,H 分别是CD和 AD 上的点，且EH FG 与相交于点K .求证：EH,BD ,FG 三条直线相交于同一点.图 42小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理 3 得证这三线共点.例 3 如图 43,如果两条异面直线称作“一对” ，那么在正方体的 12 条棱中，共有异面直线多少对? 图 43反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※ 动手试试练 1. 如图 44,是正方体的平面展开图,图 44则在这个正方体中：2008年下学期◆高一月日班级：姓名：第二章点、线、面的位置关系8①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 是异面直线其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练 2. 如图 45，在正方体中，E ,F 分别为AB 、AA ¢的中点，求证：CE ,D F¢ ,DA 三线交于一点. 图 45练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少? 小结：分类讨论的数学思想三、总结提升※ 学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※ 知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内. ②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 直线 1 l ∥ 2 l ,在 1 l 上取 3 个点，在 2 l 上取 2 个点，由这 5 个点确定的平面个数为（）. A.1 个 B.3 个 C.6个 D.9 个 2. 下列推理错误的是（）. A. A l Î , A a Î ,B l Î ,B a Î l aÞÌ B. A a Î , A b Î ,B a Î ,B b Î AB a b Þ= I C.l a Ë , A l A aÎÞÏ D.A ,B ,C a Î , A ,B ,C b Î ,且 A ,B ,C 不共线 a b Þ 与重合3. a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线，则a ,c 的位置关系是（）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业1. 如图 46,在正方体中M ,N 分别是 AB 和DD ¢的中点，求异面直线B M ¢ 与CN 所成的角.图 462. 如图 47,已知不共面的直线a ,b ,c 相交于O 点， M ,P 点是直线a 上两点，N ,Q 分别是直线b ,c 上一点.求证：MN 和PQ 是异面直线.图 47P NM O中山市东升高中高一数学◆必修2◆导学案编写：赵进校审：王艳艳9§2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.学习过程一、课前准备（预习教材 P 54~ P 55，找出疑惑之处）复习：直线与平面的位置关系有______________， _______________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：直线与平面平行的背景分析实例 1：如图 51，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l 与墙所在的平面位置关系如何？图 51实例 2：如图 52，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图 52结论：上述两个问题中的直线l 与对应平面都是平行的.探究 2：直线与平面平行的判定定理问题：探究1两个实例中的直线l 为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 如图 53所示， a ∥a .图 53反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※ 典型例题例 1 有一块木料如图54 所示，P 为平面BCEF 内一点，要求过点P 在平面BCEF 内作一条直线与平面ABCD 平行，应该如何画线？图 54例 2 如图 55，空间四边形ABCD 中， , E F 分别是, AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .图 55※ 动手试试练1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ， M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN = ，如图 56 所示.求证：MN ∥平面BEC .图 56练 2. 已知 ABC D , , D E 分别为 , AC AB 的中点，沿 DE 将 ADE D 折起，使A 到 A ¢的位置，设M 是 A B ¢ 的中点，求证：ME ∥平面A CD ¢ .三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行Þ线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题. ※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法： ⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（）.A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交 2. 下列结论正确的是（）. A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l 与平面a 不相交，则l ∥平面aC. , A B 是平面a 外两点， , C D 是平面a 内两点，若 AC BD = ，则AB ∥平面aD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系是（）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交 4. 在正方体 1111 ABCD A B C D - 的六个面和六个对角面中，与棱AB 平行的面有________个.5. 若直线 , a b 相交，且a ∥a ，则b 与平面a 的位置关系是_____________.课后作业1. 如图 57，在正方体中，E 为 1 DD 的中点，判断1 BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.图 572. 如图 58，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是 ABC D 和 BCD D 的重心.求证：PQ ∥平面ACD .图 58N MFEDBA§2.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程一、课前准备（预习教材 P 56~ P 57，找出疑惑之处）复习 1：直线与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 复习 2：两个平面的位置关系有___种，分别为____ ___和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点, 怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗? 二、新课导学 ※ 探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题 1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.问题 2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题 ⑴如图 61， AA AA B B ¢¢¢ Ì面, AA ¢∥面BB C C ¢¢ ，则面AA B B ¢¢ ∥面BB C C ¢¢ 吗？图 61⑵如图 62，AA ¢∥EF ，AA ¢∥ DCC D¢¢ 面，EF ∥ DCC D ¢¢ 面，则 A ADD ¢¢ 面 ∥ DCC D¢¢ 面吗？图 62⑶如图 63，直线A C ¢¢和B D ¢¢相交，且A C ¢¢、B D ¢¢ 都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ¢¢¢¢∥ 平面ABCD 吗？图 63反思：由以上 3 个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 如图 64所示，a ∥b .图 64反思：⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？ ※ 典型例题例 1 已知正方体 1111ABCD A B C D - ，如图 65，求证：平面 11 AB D ∥1 CB D . 图 65例 2 如图 66，已知 , a b 是两条异面直线，平面a 过a ，与b 平行，平面b 过b ，与a 平行，求证：平面a ∥平面b图 66小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线. ※ 动手试试练. 如图 67，正方体中， ,,, M N E F 分别是棱A B ¢¢， A D ¢¢，B C ¢¢，C D ¢¢的中点，求证：平面AMN ∥ 平面EFDB . 图 67三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※ 知识拓展判定平面与平面平行通常有 5种方法 ⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)； ⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 平面a 与平面b 平行的条件可以是（）. A.a 内有无穷多条直线都与b 平行B.直线a 与 , a b 都平行，且不在a 和b 内C.直线a a Ì ,直线b b Ì ,且a ∥b ,b ∥aD.a 内的任何直线都与b 平行2. 经过平面a 外的一条直线a 且与平面a 平行的平面（）. A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个3. 设有不同的直线 , a b ，及不同的平面a 、b ，给出的三个命题中正确命题的个数是（）. ①若a ∥a ,b ∥a ,则a ∥b ②若a ∥a ,a ∥b ,则a ∥b ③若 , a a a Ì ∥b ,则a ∥b .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是________________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条, 则这两平面的位置关系是_______________.课后作业1. 如图 68，在几何体ABC A B C ¢¢¢ - 中， 1 Ð +2180 Ð= °, 34180 Ð+Ð= °,求证：平面ABC ∥ 平面A B C ¢¢¢.图 682. 如图 69，A ¢、B ¢、C ¢分别是 PBC D 、 PCA D 、 PAB D 的重心.求证：面A B C ¢¢¢∥ ABC 面 .图 69baF EM N BC ¢ ADCAD ¢。