河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(二十二)(教师版)

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高中数学必修一课时作业22

课时作业22 函数的奇偶性时间：45分钟一、选择题1．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( C ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a )) C ．(－a ，－f (a ))D ．(a ，f (1a))解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．∴选C.2．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定是( A )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )，定义域为R ，∴函数F (x )在R 上是奇函数．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：y ＝x ＋1不是奇函数；y ＝－x 2是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数；y ＝1x在(0，＋∞)上是减函数，故A ，B ，C 都错．对于D ，实际上，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≥0，－x2，x<0，画出图象(图略)，由图象可知，该函数既是奇函数又是增函数．4．已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x<0时，有(B)A．f(x)≤2 B．f(x)≥2C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R解析：可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示，由图易知当x<0时，有f(x)≥2.故选B.5．已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝错误!是(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：∵f(x)·f(－x)＝1，f(x)>0恒成立，∴f(－x)＝错误!>0，∴g(－x)＝错误!＝错误!＝错误!＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(C)A．－3 B．－1C．1 D．3解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.7．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( C )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )·g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( A )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解析：∵函数f (x )为偶函数，∴f (2x －1)＝f (|2x －1|)，由题意得|2x －1|<13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.二、填空题9．对于函数y ＝f (x )，定义域为D ∈[－2,2]，以下命题正确的是②③④.(填序号)①若f (－1)＝f (1)，f (－2)＝f (2)，则y ＝f (x )是D 上的偶函数； ②若对于任意x ∈[－2,2]，都有f (－x )＋f (x )＝0，则y ＝f (x )是D 上的奇函数；③若f (2)≠f (－2)，则f (x )不是偶函数； ④若f (－2)＝f (2)，则该函数可能是奇函数．解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错误；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．10．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于1.解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴1－a＝0，即a ＝1.三、解答题11．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2＋1x2；(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；(3)f(x)＝错误!解：(1)偶函数．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2＋错误!＝x2＋错误!＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)奇函数．定义域为R.又因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.(1)现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间；(2)写出函数f(x)的值域．解：(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．由图可知，函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在[0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)．(2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．13．(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(AD)A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)解析：方法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．令y＝g(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，∴y＝x＋f(x)是奇函数．对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，∴y＝xf(x)是偶函数．对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数．对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，∴y＝x2f(x)是奇函数．方法二：根据奇、偶函数的运算性质可得A项和D项是奇函数，B项是偶函数，利用定义判断C项既不是奇函数也不是偶函数．14．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式错误!>0的解集为(A)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：因为f(x)为奇函数，f(3)＝0，所以f(－3)＝0.又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增．由错误!＝f(x)>0，①当x>0时，得f(x)>f(3)＝0，所以x>3；②当x <0时，得f (x )>f (－3)＝0，所以－3<x <0，综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x ，x≤0，ax2＋bx ，x>0为奇函数，则a ＝－1，b ＝1.解析：方法一：当x >0时，－x <0， f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x .因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以当x >0时，f (x )＝－x 2＋x ，即ax 2＋bx ＝－x 2＋x ，所以a ＝－1，b ＝1. 方法二：由题意知错误!则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知，f (x )为奇函数．16．函数f (x )＝ax －b 4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，且f (1)＝13.(1)求f (x )的解析式； (2)判断并证明f (x )的单调性； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.解：(1)根据题意，得函数f (x )＝ax －b4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，则f (0)＝－b4＝0，解得b ＝0.又由f (1)＝13，则有f (1)＝a 3＝13，解得a ＝1.所以f (x )＝x4－x2.(2)f (x )在区间(－2,2)上为增函数．证明如下：∀x 1，x 2∈(－2,2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝错误!，又由－2<x 1<x 2<2，得4＋x 1x 2>0，x 1－x 2<0， 4－x 21>0,4－x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，所以函数f (x )在(－2,2)上为增函数． (3)根据题意f (t －1)＋f (t )<0⇒f (t －1)< －f (t )⇒f (t －1)<f (－t )⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<t －1<2，－2<－t<2，t －1<－t ，解得－1<t <12，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.。

高中数学试题含答案-课时规范练28 数列的概念

课时规范练28数列的概念基础巩固组1.已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项2.记S n为数列{a n}的前n项和.“任意正整数n,均有a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)已知数列{a n}满足a n+1=1-1a n(n∈N*),且a1=2,则()A.a3=-1B.a2 019=12C.S6=3D.2S2 019=2 0194.(2020河北保定高三期末)在数列{a n}中,若a1=1,a2=3,a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则该数列的前100项之和是() A.18 B.8 C.5 D.25.(多选)已知数列{a n}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,若b n=1a n·a n+1,设数列{b n}的前n项和为S n,则()A.a n=n2B.a n=nC.S n=4nn+1D.S n=5nn+16.(2020湖南益阳高三期末)已知{a n}是等差数列,且满足:对∀n∈N*,a n+a n+1=2n,则数列{a n}的通项公式a n=() A.n B.n-1C.n-12D.n+127.已知数列{a n}的首项a1=21,且满足(2n-5)a n+1=(2n-3)a n+4n2-16n+15,则数列{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a88.已知每项均大于零的数列{a n},首项a1=1且前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=()A.638B.639C.640D.6419.设S n为数列{a n}的前n项和,且a1=4,a n+1=S n,n∈N*,则S4=.10.在数列{a n}中,a1=2,a n+1n+1=a nn+ln1+1n,则a n=.11.已知数列{a n}的通项公式为a n=n+13n-16(n∈N*),则数列{a n}的最小项是第项.12.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=4a n+3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n}的通项公式;公众号：一枚试卷君(2)证明:a n+1+1a n+1=4.综合提升组13.(2020广东中山期末)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,{S n+na n}为常数列,则a n=()A.13n-1B.2 n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n314.(2020安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n}满足a n+1-a nn =2,a1=20,则a nn的最小值为()A.4√5B.4√5-1C.8D.915.(多选)(2020江西赣州教育发展联盟2月联考)已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2),a1=14,则下列说法正确的是()A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列D.数列1S n为递增数列创新应用组16.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=a,a n+1=S n+3n,若a n+1≥a n对∀n∈N*成立,则实数a的取值范围是.17.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{a n}的前n项和S n=f(n)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设c n=1-4a n (n∈N*),定义所有满足c m·c m+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{c n}的变号数,求数列{c n}的变号数.参考答案课时规范练28 数列的概念1.C 数列√5,√11,√17,√23,√29,…,中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,所以通项公式为a n =√5+6(n -1)=√6n -1,令√6n -1=5√5,得n=21.2.A ∵a n >0,∴数列{S n }是递增数列,∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件.如数列{a n }为-1,1,3,5,7,9,…,显然数列{S n }是递增数列,但是a n 不一定大于零,还有可能小于零, ∴数列{S n }是递增数列不能推出a n >0.∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件. ∴“任意正整数n ,均有a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件.3.ACD 数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1-1a n(n ∈N *),可得a 2=12,a 3=-1,a 4=2,a 5=12,…,所以a n+3=a n ,数列的周期为3,a 2 019=a 672×3+3=a 3=-1,S 6=3,S 2 019=2 0192. 4.C ∵a 1=1,a 2=3,a n +2=a n +1-a n (n ∈N *),∴a 3=3-1=2, a 4=2-3=-1, a 5=-1-2=-3, a 6=-3+1=-2, a 7=-2+3=1, a 8=1+2=3, a 9=3-1=2, …∴{a n }是周期为6的周期数列,∴S 100=S 16×6+4=16×(1+3+2-1-3-2)+(1+3+2-1)=5.故选C. 5.AC 由题意得a n =1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+3+…+nn+1=n2,∴b n =1n 2·n+12=4n (n+1)=41n −1n+1,∴数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =41-12+12−13+13−14+…+1n −1n+1=41-1n+1=4nn+1.故选AC.6.C 由a n +a n+1=2n ,得a n+1+a n+2=2n+2,两式相减得a n+2-a n =2=2d ,∴d=1,又a n +a n +d=2n ,∴a n =n-12.故选C .7.A ∵4n 2-16n+15=(2n-3)(2n-5),∴(2n-5)a n+1=(2n-3)a n +(2n-3)(2n-5), 等式两边同时除以(2n-3)(2n-5),可得a n+12n -3=a n2n -5+1, 可设b n =a n 2n -5,则b n+1=an+12n -3, ∴b n+1=b n +1,即b n+1-b n =1.∵b 1=a 12×1-5=21-3=-7, ∴数列{b n }是以-7为首项,1为公差的等差数列. ∴b n =-7+(n-1)×1=n-8,n ∈N *.∴a n =(n-8)(2n-5)=2n 2-21n+40.可把a n 看成关于n 的二次函数,则根据二次函数的性质,可知其对称轴n=10.52=5.25. ∴当n=5时,a n 取得最小值.故选A .8.C 已知S n √S n -1-S n-1√S n =2√S n S n -1,数列{a n }的每项均大于零,故等号两边同时除以√S n S n -1,可得√S n −√S n -1=2,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.故选C .9.32 因为S n 为数列{a n }的前n 项和,且a 1=4,a n+1=S n ,n ∈N *, ① 则当n ≥2时,a n =S n-1, ②由①-②得a n+1-a n =a n ,∴an+1a n=2,则数列{a n }是从第二项起,公比为2的等比数列,又a 2=S 1=4,∴a n =4·2n-2=2n (n ≥2),故a n ={4(n =1),2n (n ≥2).所以S 4=a 5=25=32.10.2n+n ln n 由题意得a n+1n+1−a n n =ln(n+1)-ln n ,a n n −an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). ∴a 22−a 11=ln 2-ln 1,a 33−a22=ln 3-ln 2,…,a n n−an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). 累加得a n n −a 11=ln n ,又a 1=2,∴a nn =2+ln n (n ≥2),当n=1时,a 1=2,上式成立,故a n =2n+n ln n. 11.5 a n =n+13n -16=131+193n -16.当n>5时,a n >0,且单调递减, 当n ≤5时,a n <0,且单调递减. ∴当n=5时,a n 最小.12.(1)解 a 1=3,a 2=15,a 3=63,a 4=255.因为a 1=41-1,a 2=42-1,a 3=43-1,a 4=44-1,…, 所以归纳得a n =4n -1. (2)证明因为a n +1=4a n +3,所以a n+1+1a n +1=4a n +3+1a n +1=4(a n +1)a n +1=4. 13.B ∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,∴S 1+1×a 1=1+1=2.∵{S n +na n }为常数列,∴S n +na n =2.当n ≥2时,S n-1+(n-1)a n-1=2,∴(n+1)a n =(n-1)a n-1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·35·…·n -1n+1,∴a n =2n (n+1)(n ≥2),当n=1时上式成立,∴a n =2n (n+1).故选B . 14.C 由a n +1-a n =2n ,知a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,…,a n -a n -1=2(n-1),n ≥2.以上各式相加得a n -a 1=n 2-n ,n ≥2,所以a n =n 2-n+20,n ≥2, 当n=1时,a 1=20符合上式,所以a n n =n+20n-1,n ∈N *, 所以当n ≤4时,a n n单调递减,当n ≥5时,a n n单调递增.因为a 44=a55=8,所以ann 的最小值为8.故选C .15.AD 由题意,可知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足a n +4S n-1S n =0(n ≥2),则S n -S n-1=-4S n-1S n (n ≥2),即1S n−1S n -1=4(n ≥2).又因为a 1=14,所以1S 1=4,所以数列1S n是以4为首项,4为公差的等差数列,所以数列1S n为递增数列,且1S n=4+(n-1)×4=4n ,则S n =14n .又因为当n ≥2时,a n =S n -S n-1=14n −14(n -1)=-14n (n -1),a 1=14,所以数列{a n }的通项公式为a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2.故选AD. 16.[-9,+∞) 据题意,得a n+1=S n+1-S n =S n +3n ,∴S n+1=2S n +3n ,∴S n+1-3n+1=2(S n -3n ).又S 1-31=a-3,∴数列{S n -3n }是以a-3为首项,2为公比的等比数列,∴S n -3n =(a-3)·2n-1即S n =3n +(a-3)·2n-1.当n=1时,a 1=a ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +(a-3)×2n-1-3n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1+(a-3)×2n-2,∴a n+1-a n =4×3n-1+(a-3)×2n-2.又当n ≥2时,a n+1≥a n 恒成立,∴a ≥3-12×(32)n -2对∀n ∈N *,且n ≥2成立,∴a ≥-9.又a 2=a 1+3,∴a 2≥a 1成立.综上,所求实数a 的取值范围是[-9,+∞).17.解 (1)依题意,得Δ=a 2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f (x )=x 2-4x+4. 所以S n =n 2-4n+4. 当n=1时,a 1=S 1=1-4+4=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n-5.所以数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n ={-3,n =1,1-42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5可知,当n ≥5时,恒有c n >0. 又因为c 1=-3,c 2=5,c 3=-3, c 4=-13,c 5=15,即c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0, 所以数列{c n }的变号数为3.。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(二十)(教师版)

课时作业(二十)一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，x ∈RD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R解析：函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，x ∈R 的图象，故选C.2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( D )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π2得ω＝4，又因x ＝π3是其一条对称轴，∴43π＋φ＝π2＋kπ，φ＝kπ－56π，k ∈Z ，所以选D.3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )解析：把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝cos x ＋1，然后向左平移1个单位得到y ＝cos(x ＋1)＋1再向下平移1个单位得到函数y ＝cos(x ＋1)其对应的图象为A.4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12解析：由图象知T ＝23π，ω＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝A sin θ＝-23.f ⎝⎛⎭⎫π6＝A cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－A sin θ＝23，选A.5．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为( B )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋13D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx －13解析：函数f (x )周期T ＝2πω＝2，得ω＝π，又∵f ⎝⎛⎭⎫16＝A sin π6＝1，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin πx ，将f (x )图象向左平移13个单位所得图象解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.6．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( A )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：因为要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的图象向左平移π12个单位得到 y ＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，故选A.7．已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，则下列结论中正确的是( D )A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为2πB ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得g (x )的图象D ．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得g (x )的图象解析：f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ， f (x )·g (x )＝12sin 2x ，T ＝π最大值为12，A 、B 均不正确．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos x ≠g (x )，故C 错．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－cos x ，故D 正确，选D.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0) 的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x . 其中正确的是( C )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤ 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π，∴ω＝2,2×712π＋φ＝2kπ＋3π2，φ＝2kπ＋π3，k ∈Z . f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3， f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3， f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，对称轴为直线x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π6，0，所以②、③不正确；因为f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12>13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝⎛12π11<f ⎝⎛⎭⎫14π13，即④正确；设[x ，f (x )]为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上任意一点，其关于对称中心⎝⎛⎭⎫5π6，0的对称点⎝⎛⎭⎫5π3－x ，－f (x )还在函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上，即f ⎝⎛⎭⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫5π3－x ，故⑤正确，综上所述，①④⑤正确，选C.解法二：判断出①正确，②不正确之后，选C. 二、填空题9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f ⎝⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan ⎝⎛⎭⎫34＋φ＝0tan ⎝⎛⎭⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3＝0，则π3x ＋π3＝k π，∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：2611．点A (x ，y )在单位圆上从A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周，则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为________．解析：由题意知∠xOA 0＝π3，点A 每秒旋转2π12＝π6，所以t 秒旋转π6t ，∠A 0OA ＝π6t ，∠xOA ＝π6t ＋π3，则y ＝sin ∠xOA ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3三、解答题12.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π.且f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围．解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：(3)cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3>22，∴2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π42kπ＋π12<2x <2kπ＋712π，kπ＋π24x <kπ＋724π，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z .13．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0； (1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.[热点预测]14．(1)定义区间[a ，b ]的长度为b －a .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的一个长度最大的单调递减区间，则( D )A ．ω＝8，φ＝π2B ．ω＝8，φ＝－π2C ．ω＝4，φ＝π2D ．ω＝4，φ＝－π2(2)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( D )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3解析：(1)若⎣⎡⎦⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫π2－π4＝π2，∴ω＝4，且函数f (x )在x ＝π4时取得最大值．所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ()π＋φ＝1，∴φ＝－π2，故选D.(2)f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数得φ＝π2，△EFG 为边长为2的等边三角形，所以T ＝4，∴ω＝π2，A ＝3，∴f (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，∴f (1)＝－ 3. 答案：(1)D (2)D。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(三十九)(教师版)

课时作业(三十九)一、选择题1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( B )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( C )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( C )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：P 2＝2a ＋7＋2a (a ＋7)，Q 2＝2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)＝2a ＋7＋a 2＋7a ＋12 显然P 2<Q 2，从而P <Q .4．若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( C )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都大于－2，即a ＋1b >－2，b ＋1c >－2，c ＋1a >－2，将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a >－6，又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c ≤－2，三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≤－6，所以假设不成立．6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( B )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知得x 2＝ab ，y 2＝bc ，而ab 、b 2、bc 中因a 、b 、c 均为正数且2b ＝a ＋c ，∴2b 2＝ab ＋bc ，∴x 2、b 2、y 2成等差数列而非等比数列．二、填空题7．若记号“※”表示求两个实数a 和b 的算术平均数的运算，即a ※b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立一个等式可以是________．解析：∵a ※b ＝a ＋b 2，b ※a ＝b ＋a2，∴a ※b ＋c ＝b ※a ＋c . 答案：a ※b ＋c ＝b ※a ＋c .8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：由题意可得f (－1)>0或f (1)>0即可，解f (－1)>0，得2p 2＋3p －9<0，即－3<p <32，解f (1)>0，得2p 2－p －1<0，即－12<p <1，求并集得－3<p <32.答案：⎝⎛⎭⎫－3，329．(1)由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a ，b ，c 为三个向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想，a n ＝2n －2；(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；(4)若 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1.上述四个推理中，得出的结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)解析：向量的乘法不满足结合律，故(1)不正确； ∵ f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，故 f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋1＝2，故(4)不正确．答案：(2)(3) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎨⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)． h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．11．已知函数y ＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)y ′＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.∵a >1，∴ln a >0，a x >0.又x >－1，∴3(x ＋1)2>0，∴y ′>0，∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设方程f (x )＝0有负数根，即存在x 0<0，使f (x 0)＝0，即ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，∴ax 0＝2－x 0x 0＋1.若x 0<－1，则2－x 0x 0＋1<0.①而ax 0>0恒成立，② ∴①式与②式矛盾，若－1<x 0<0，则ax 0＝－1＋3x 0＋1. ∵－1<x 0<0，∴0<x 0＋1<1， ∴1x 0＋1>1，∴3x 0＋1>3， ∴－1＋3x 0＋1>2.③而当－1<x 0<0时，0<ax 0<1.④ ∴③式与④式矛盾．综上可知，假设不成立，原命题正确，即方程f (x )＝0没有负数根．12．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n <0，所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.[热点预测]13．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(a ＋1)x (a ≥1)(1)讨论f (x )的单调性与极值点．(2)若g (x )＝12x 2－x －1(x >1)，证明：当a ＝1时，g (x )的图象恒在f (x )的图象上方．(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．解：(1)f ′(x )＝ax ＋x －(a ＋1)＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x (x >0) 当a ＝1时f ′(x )＝(x －1)2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立 ∴f (x )在(0，＋∞)单调递增，此时f (x )无极值点当a >1时f ′(x )，f (x )在定义域上的变化情况如下表：x ＝1为极大值点，x ＝a 为极小值点．(2)证明：a ＝1时，令F (x )＝g (x )－f (x )＝12x 2－x －1－ln x －12x 2＋2x ＝x －1－ln xF ′(x )＝1－1x ＝x －1x 当x >1时，F ′(x )>0,0<x <1时，F ′(x )<0 ∴F (x )在(0,1)递减，在(1，＋∞)上递增． ∴F (x )≥F (1)＝0，∴x >1时，F (x )>0恒成立即x >1时g (x )>f (x )恒成立∴当x >1，g (x )的图象恒在f (x )的图象的上方． (3)证明：由(2)知F (x )≥F (1)＝0即ln x ≤x －1 ∵x >0，∴ln x x ≤1－1x .令x ＝n 2(n ∈N *)则ln n 2n 2≤1－1n 2，∴ln n n 2≤12⎝⎛⎭⎫1－1n 2∴ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2≤12⎝⎛⎭⎫1－122＋1－132＋…＋1－1n 2＝12(n －1)－12⎝⎛⎭⎫122＋132＋…＋1n 2.<12(n －1)－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…1n (n ＋1)＝12(n －1)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝12(n －1)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 ＝2n 2－n －14(n ＋1)∴不等式成立．。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(五)(学生版)

课时作业(五)一、选择题1．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．252．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增3．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时， f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2二、填空题7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．8．函数y ＝3x ＋6－8－x 的值域为________．9．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．三、解答题10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．11．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫13＝1. (1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值范围．12．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且同时满足以下三个条件：①f (1)＝1；②对任意的x ∈[0,1]，都有f (x )≥0；③当x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时总有f (x ＋y )≥f (x )＋f (y )．(1)试求f (0)的值；(2)求f (x )的最大值；(3)证明：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，恒有2x ≥f (x )．[热点预测]13．(1)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时， f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，1－3x ，x >0，则f []f (－1)＝________；若f (2a 2－3)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．。

高中数学必修一课时作业28

课时作业28 指数函数的概念时间：45分钟一、选择题1．若函数f (x )＝(m 2－m －1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则实数m ＝( D )A ．2B ．1C ．3D ．2或－1解析：由指数函数的定义，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或－1，故选D.2．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( A ) A ．(2)xB ．2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22x解析：由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a×2x，x≥0，2－x ，x<0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( A )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：∵f (－1)＝2，∴f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.故选A.4．设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( A ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：f (2)＝a －2＝4，a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x | ＝2|x |，得f (－2)>f (－1)．故选A.5．知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝4，则f (2a )＝( D ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析：∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝4，∴f (a )＝2a ＋2－a ＝4，∴f (2a )＝22a ＋122a ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋12a 2－2＝16－2＝14.6．已知f (x )＝a x ＋b ，a >0，且a ≠1的图象如图所示，则f (3)等于( C )A ．22－2B ．39－3C ．33－3D ．33－3或－33－3解析：由题中图象知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，故f (x )＝(3)x －3，f (3)＝33－3.7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( B )A ．2B ．154C.174D ．a 2解析：由已知得f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2 ①. f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2，由f (x )与g (x )的奇偶性可得－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2 ②.由①②解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2. 又g (2)＝a ，所以a ＝2，则f (2)＝22－2－2＝154. 8．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后，若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为( D )A ．y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x －1 B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x 解析：设该乡镇现在人口数为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克，1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)千克，人口数为M (1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为错误!千克， 2年后，人均占有粮食产量为错误!千克， ……经过x 年后，人均占有粮食产量为错误!千克，即所求解析式为y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x . 二、填空题 9．给出下列函数：①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝πx ；⑥y ＝4x 2；⑦y ＝x x；⑧y ＝(2a －1)x(a >12且a ≠1)．其中为指数函数的有①⑤⑧(填序号)．解析：本题主要考查指数函数的概念．②中不是指数函数，因为底数不能是自变量；③中是－1与4x 的乘积，不是指数函数；④中底数－4<0，故不是指数函数；⑥中指数不是自变量x ，而是x 2；⑦中底数x 不是常数．由指数函数的概念可知，①⑤⑧中是指数函数．10．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为－12.解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，则13－x ＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0，所以2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x ＋13x ＋1＝－1，所以a ＝－12. 三、解答题11．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解：f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .结论：从以上计算的结果看，当两个函数的自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．12．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (mg/L)与时间t (h)之间的关系为P ＝P 02－kt (其中P 0表示初始废气中污染物数量)．经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物．问：(1)15小时后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少36%需要花多长时间？解：(1)由题意得，P ＝P 02－5k ＝(1－20%)P 0，则2－5k ＝0.8，故当t ＝15时，P ＝P 0·2－15k ＝P 0·(2－5k )3＝(80%)3P 0＝51.2%P 0. 故15个小时后还剩51.2%的污染物． (2)由题意，P 02－kt ＝(1－36%)P 0，即(2－5k ) t5 ＝0.64，所以0.8t5＝0.64，所以t5＝2，即t ＝10，故污染物减少36%需要花10 h.13．(多选题)设指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则下列等式中正确的是( ABD )A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )B ．f (x －y )＝错误!C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )D ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )，故A 中的等式正确；f (x －y )＝a x－y ＝a x a －y ＝axay＝错误!，故B 中的等式正确；f 错误!＝a 错误!＝(a x )错误!，f (x )－f (y )＝a x－a y≠(a x)1y，故C 中的等式错误；f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n ，故D中的等式正确．14．如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于( A )A.2 B ．3 C ．2D ．3解析：设点C (0，m )(m >0)，则由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ，m ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ，m ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ，2m .②③联立，得m 2－2m ＝0，所以m ＝0(舍)或m ＝2，所以a ＝2.15．已知函数f (x )＝22x 2＋22x ，则f (x )＋f (1－x )＝1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2101＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫3101＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫98101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100101＝50. 解析：因为f (1－x )＝22－2x 2＋22－2x ＝222×22x＋22＝222x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1.则原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＋f ⎝⎛⎭⎪⎫100101＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99101＋… ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫50101＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫51101＝50. 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13.(1)写出杂质含量y 与过滤次数n 的函数关系式；(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？解：(1)过滤1次后的杂质含量为2100×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝2100×23；过滤2次后的杂质含量为⎝⎛⎭⎪⎫2100×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫232；过滤3次后的杂质含量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫233； ……过滤n 次后的杂质含量为2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ∈N *)．故y 与n 的函数关系式为y ＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ∈N *)．(2)由(1)知，当n ＝7时，y ＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝6454 675.当n ＝8时，y ＝2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝128164 025，因为6454 675>11 000，128164 025<11 000，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(二十八)(教师版)

课时作业(二十八)一、选择题1．若复数z满足zi＝1－i，则z等于(A)A．－1－i B．1－iC．－1＋i D．1＋i解析：z＝1－i i＝i＋1－1＝－1－i，故选A.2．已知i是虚数单位，且复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，z1·z2是实数，则实数b的值为(A)A．－6 B．6C.32D.16解析：z1·z2＝(3－bi)·(1－2i)＝(3－2b)－(b＋6)i为实数，∴b＋6＝0，∴b＝－6.3．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(A)A．－3＋2i B．3＋2iC．－2＋3i D．2＋3i解析：Δ＝62－4×13＝－16，∴x＝－6±4i2＝－3±2i.故选A.4．i是虚数单位，复数2i1＋i的实部为(C) A．2 B．－2 C．1 D．－1解析：2i1＋i＝2i?1－i??1＋i??1－i?＝1＋i，实部为1，选C. 5．在复平面内复数z＝3＋4i1－i对应的点在(B) A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z＝3＋4i1－i＝?3＋4i??1＋i??1－i??1＋i?＝－12＋72i，在复平面内对应的点为????－12，72在第二象限，选B.6．复数z＝3＋i1－i的共轭复数z＝(B) A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析：z＝3＋i1－i＝?3＋i??1＋i??1－i??1＋i?＝1＋2i，则z＝1－2i，选B.7．已知m1＋i＝1－ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m＋ni ＝(B) A．1＋2i B．2＋iC．1－2i D．2－i解析：由m1＋i＝1－ni得m＝(1－ni)(1＋i)＝1＋n＋(1－n)i得m＝1＋n,1－n＝0得m＝2，n＝1.∴m＋ni＝2＋i，选B.8．复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z的实部与虚部之和为(D)A．－2 B．2C．1 D．0解析：z(1－i)＝2i?z＝2i1－i＝2i?1＋i??1－i??1＋i?＝－1＋i.则实部与虚部和为0.9．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为(D)A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2 C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2解析：采用展开计算的方法，得x＋1＋(1－x) i＝y，因为x，y均为实数，所以x ＝1，y＝2，故选D.10．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1) i为纯虚数”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数，则x2－1＝0且x＋1≠0，即x＝1，所以“x＝1”是“复数z为纯虚数”的充要条件，选C.11．在复平面内，复数5＋4i，－1＋2i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数的模是(B)A．13 B.13C．213 D．210解析：由题意知点A(5,4)，点B(－1,2)，故其中点C(2,3)，所以复数的模为13，故选B.12．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p、q∈R)的一个解，则p＋q＝(C)A．－3 B．－ 1C．1 D．3解析：将方程的解1－i代入二次方程可得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝0，化简得(2p＋q)－(2＋2p)i＝0，由复数相等?????2p＋q＝02＋2p＝0解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.13．若复数z＝??????1＋i1－i2 013，则ln |z|＝(B) A．－2 B．0 C．1 D．4解析：复数z＝??????1＋i1－i2 013＝i，所以ln|z|＝0，故选B.14．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝i2 012＋3z2z1－1－i2 013的模等于(C)A.552 B．25C.29 D．221 解析：将z1＝2＋i，z2＝1－2i代入z＝i2 012＋3z2z1－1－i2 013化简得z＝5－2i，所以|z|＝52＋22＝29，故选C. 15．已知复数z1＝cos 23°＋isin 23°和复数z2＝sin 53°＋isin 37°，则z1·z2(A)A.12＋32iB.32＋12iC.12－32iD.32－12i 解析：z1·z2＝(cos 23°＋isin 23°)·(sin 53°＋isin 37°)＝cos 23°sin 53°－sin 23°sin37°＋(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋(sin 23°cos 37°＋cos 23°sin 37°)i ＝sin 30°＋isin 60°＝12＋32i.二、填空题16．i为虚数单位，计算3＋i1＋i＝________.解析：复数z＝3＋i1＋i＝?3＋i??1－i??1＋i??1－i?＝4－2i 2＝2－i.答案：2－i17．若复数a＋i1－i是纯虚数，则实数a的值为________．．解析：复数z＝a＋i1－i＝?a＋i??1＋i??1－i??1＋i?＝?a－1?＋?a＋1?i2为纯虚数，故a＝1.答案：118．设复数z满足i (z＋i)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的虚部是________．．解析：由已知z·i＝－2＋2i，得z＝－2＋2i i＝－2＋2i，故虚部为2. 答案：219．若复数z＝1＋i1－i(i为虚数单位)，则|z|＝________. 解析：z＝1＋i1－i＝?1＋i?22＝i，∴|z|＝1.答案：1 [热点预测]20．(1)设复数z＝a＋i1＋i，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为()A．－i B．iC．－1 D．1(2)已知x，y∈R，i为虚数单位，若x－1＋yi＝2i1＋i，则x＋y的值为() A．2 B．3C．4 D．5解析：(1)z＝a＋i1＋i＝?a＋i??1－i??1＋i??1－i?＝a＋1＋?1－a?i2，由已知实部为a＋12＝2得a＝3，所以虚部为1－a 2＝－1，故选C.(2)x－1＋yi＝2i?1－i?2＝1＋i，由复数相等可得x＝2，y＝1，故x＋y ＝3.答案：(1)C(2)B办公室卫生管理制度一、主要内容与适用范围1．本制度规定了办公室卫生管理的工作内容和要求及检查与考核。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(二十三)(教师版)

课时作业(二十三)一、选择题1．在钝角△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( B )A.32B.34C.32D.34解析：由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C 即112＝3sin C ，sin C ＝32.则C ＝60°或120°，C ＝60°时，△ABC 为直角三角形(舍去)；C ＝120°时，A ＝30°所以S ＝12×1×3×sin 30°＝34.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，设A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( C )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上都不对解析：由正弦定理可得：43sin A ＝b sin B ⇒sin B ＝22，又∵a >b ，∴∠A >∠B ，故∠B ＝45°.3．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( A )A. 3 B ．3 C.7 D ．7解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理得BC ＝3，选A.答案：A4．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝14，则sin A ＝( C )A.154 B.158 C.64 D.68解析：由余弦定理得c ＝10，由cos C ＝14得sin C ＝154，所以由正弦定理得出sin A＝64，选C.答案：C5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C ＝2(A ＋B )，则下列正确的是( D )A ．c 2<3abB ．c 2>3abC ．c 2≤3abD ．c 2≥3ab解析：由C ＝2 (A ＋B )＝2(π－C )，得C ＝2π3，由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故c 2≥3ab .6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( B )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1解析：由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.二、填空题7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝1，cos A ＝13，则a ＝________.解析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，故a ＝2 2. 答案：2 28．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin C ，a 2－b 2＝32bc ，则角A 等于________．解析：由sin B ＝2sin C 得：b ＝2c ，又a 2－b 2＝322c ×c ＝3c 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－2c 24c 2＝－12，∴A ＝2π3.答案：23π9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，且b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．解析：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0，则cos B ＝12，B ＝π3，sin B ＝32，又3sin A sin C ＝sin 2B ＝34，∴4sin A sin C ＝1，即2[cos(A －C )－cos(A ＋C )]＝1,2[cos(A －C )＋cos B ]＝1，∴cos(A －C )＝0.又－π<A －C <π，∴A －C ＝±π2；又A ＋C ＝2π3，∴A ＝π12或A ＝7π12.答案：π12或7π12三、解答题10．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－ 3. (1)求角B 的大小；(2)若BA →·BC→＝4，a ＝2c ，求b 的值．解：(1)由tan ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－3，得tan B ＋31－3tan B ＝－3，∴tan B ＝3，∵ 0<B <π，∴B ＝π3.(2)由BA →·BC →＝4，得ac cos π3＝4，即ac ＝8，∵a ＝2c ，∴a ＝4，c ＝2.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝12，∴b ＝2 3.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ， b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求ab 的值．解：(1)证明：由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A2－cos 2A2＝58.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，cos B ＝35，求b 的值．解：(1)由cos 2A2－cos 2A 2＝58，得1＋cos A 2－cos 2A 2＝58，得(2cos A －1)2＝0，即cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝60°. (2)由cos B ＝35，得sin B ＝45，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝3×4532＝85.[热点预测]13．已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (B ＋C )＝1，a ＝3，b ＝1，求角C 的大小．解：(1)因为f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12 ＝32sin x ＋cos x ＋12－12 ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6又y ＝sin x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2，(k ∈Z )所以令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2 解得2k π－2π3<x <2k π＋π3所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2kπ－2π3，2kπ＋π3，(k ∈Z )(2)因为f (B ＋C )＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π6＝1，又B ＋C ∈(0，π)，B ＋C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，7π6所以B ＋C ＋π6＝π2，B ＋C ＝π3，所以A ＝2π3由正弦定理sin B b ＝sin Aa把a ＝3，b ＝1代入，得到sin B ＝12 又b <a ，B <A ，所以B ＝π6，所以C ＝π6.。

高三数学第一轮复习课时作业(22)正、余弦定理和三角形面积公式A

课时作业(二十二)A 第22讲正、余弦定理和三角形面积公式时间：35分钟分值：80分基础热身1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223C ．－63 D.632．在△ABC 中，若(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝5∶6∶7，则cos B 的值为( ) A.1116 B.1114 C.911 D.783．2011·淮南一模已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋2B ．43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2C ．4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2D ．8sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋24．2011·安徽卷已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．能力提升5．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．56．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B．60° C ．120° D．150°8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A ．5 B.1132C.41 D ．259．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________________.10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＋c ＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b＝________.11．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．12．(13分)2011·揭阳二模在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S 满足S ＝32bc cos A .(1)求角A 的值；(2)若a＝3，设角B的大小为x，用x表示c，并求c的最大值．难点突破13．(12分)2011·漳州质检在锐角△ABC中，三个内角A、B、C所对的边依次为a、b、c.设m＝(cos A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，a＝23，且m·n＝－12 .(1)若b＝22，求△ABC的面积；(2)求b＋c的最大值．课时作业(二十二)A【基础热身】1．D 解析依题意，得a >b ，则A >B,0°<B <60°，由正弦定理，有asin A＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝33， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2．A 解析令b ＋c ＝5k ，c ＋a ＝6k ，a ＋b ＝7k (k >0)，则a ＋b ＋c ＝9k ，得a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1116.3．C 解析由正弦定理，有BC sin A ＝AB sin C ＝ACsin B，得BC ＝433sin A ，AC ＝433sin B ＝433sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ，则△ABC 的周长为l ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋2，＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2.4．15 3 解析不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3. 【能力提升】5．D 解析由同角三角函数的基本关系式，得cos C ＝11＋tan 2C ＝35，sin C ＝cos C tan C ＝45，由正弦定理，有2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.6．C 解析由正弦定理，有a b ＝sin Asin B，又a ＝2b cos C ，则sin A ＝2sin B cos C ，即sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，展开，化简，得sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，即△ABC 是等腰三角形．7．A 解析由正弦定理，有c b ＝sin C sin B ，又sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°.8．A 解析由S ＝2，得12ac sin B ＝2，解得a ＝1，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ＝(42)2＋12－2×42×1×22＝25，则b ＝5. 9. 2 解析由正弦定理，有b sin B ＝c sin C ，即sin C ＝c sin120°b ＝2×326＝12，∴C ＝30°，则A ＝180°－(B ＋C )＝30°，故a ＝c ＝ 2. 10．2 解析 ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)，∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2)．∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3)．由(1)、(2)、(3)，解得b ＝2.11．4 解析解法一：取a ＝b ＝1，由b a ＋a b ＝6cos C 得cos C ＝3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233.在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 解法二：由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B＝2c 2a 2＋b 2－c2＝4. 12．解答 (1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ，得tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝332＝2， ∴c ＝2sin C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－x ，∴c ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x .∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴当x ＝π6时，c 取得最大值，c 的最大值为2.【难点突破】13．解答 (1)由m ·n ＝－12得cos 2A －sin 2A ＝－12，即cos2A ＝－12，∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3.设△ABC 的外接圆半径为R ，由a ＝2R sin A 得23＝2R 32，∴R ＝2. 由b ＝2R sin B ，得sin B ＝22，又b <a ，∴B ＝π4， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22＋12×22＝6＋24， ∴△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×23×22×6＋24＝3＋ 3.(2)解法一：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝12，∴(b ＋c )2＝3bc ＋12≤3⎝⎛⎭b ＋c 22＋12，∴(b ＋c )2≤48，b ＋c ≤43，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴b ＋c 的最大值为4 3.解法二：由正弦定理得：b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝23sinπ3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝2π3， ∴b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，b ＋c 取最大值4 3.。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(五十二)(教师版)

课时作业(五十二)一、选择题1．设双曲线y 29－x 2a 2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率为( B )A.54B.53C.74D.7解析：由双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0知a 2＝16，双曲线的离心率为e ＝9＋163＝53，故选B.2．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( B )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1D.x 23－y 22＝1解析：由题可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，画图可得P (5，4)，故可得双曲线方程为x 2－y 24＝1.3．已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化解析：如图，对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n －y2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ，(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2， ∴△F 1PF 2是直角三角形．选B.4．斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( D )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线的性质知ba >3，即得c 2－a 2>3a 2，e >2.5．圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为( D )A.23或32B.23或2C.12或2D.12或32解析：不妨设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，若此曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6x ＝2a ，|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以离心率为e ＝2c 2a ＝3x 6x ＝12，若此曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2x ＝2a ，此时离心率e ＝2c 2a ＝3x 2x ＝32，故选D.6．如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12D.3＋12解析：连接OA ，AF 1，|OA |＝|OF 2|＝c ，因△AF 2B 为等边三角形，∴∠AF 2O ＝∠F 2AO ＝30°，∠AOF 2＝120°，|AF 2|＝3c ，△AF 1O 为等边三角形，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1，选B.7．已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( B )A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关解析：由已知GA →＝λPF 1→知GA ∥PF 1，即△OAG ∽△OF 1P ，得OG OP ＝OAOF 1＝a c ＝13得e ＝ca ＝3，故选B.二、填空题8．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：由已知可得，|PF 1|＝2c cos 30°＝3c ，|PF 2|＝2c sin 30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：3＋19．已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其渐近线方程为________．解析：由方程知a 2＝1，b 2＝1k ，∴c 2＝5＝1＋1k ，∴k ＝14，即b 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 答案：y ＝±2x10．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|P A |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：4411．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°.延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题知a ＝1，根据双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝2a 所以|AF 1|＝4，|BF 1|－|BF 2|＝2，∴|BF 1|＝2＋|BF 2|由图知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|∴|BA |＝|BF 1|，△ABF 1为等腰三角形，又因∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，则△ABF 1为等腰直角三角形，所以|AB |＝|BF 1|＝2 2.所以S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：4三、解答题12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为6；(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为 8x 2－y 2＝8. ①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1·x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝－199. 由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1.故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列． [热点预测]14．(1)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，则∠AFB ＝( B )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°(2)F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( B )A ．2 B.7 C.13 D.15解析：(1)双曲线的离心率为2，所以c ＝2a ，由题可得右图，所以∠AFB ＝60°.(2画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝ca ＝7，故选B.答案：(1)B (2)B。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(三十八)(教师版)

课时作业(三十八)一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( A )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错解析：y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( C )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123. 规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．5．如下图所示，由若干个小圆圈组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个小圆圈，每个图形总的小圆圈数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a5＋…＋9a2 013a 2 014＝( C )A.2 0102 011B.2 0112 012C.2 0122 013D.2 0132 014解析：由已知条件知a 1＝3，a 2＝6，a 3＝9，a 4＝12，归纳得出a n ＝3(n －1)，因此9a 2a3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 013a 2 014＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 012－12 013＝2 0122 013. 6．一个赛跑机器人有如下特性：①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米； ②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；③当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( A )A ．48.6秒B ．47.6秒C ．48秒D ．47秒解析：由题意可得当设置步长为1.9米，需跑27步，此时共跑51.3米，用时为(27－1)×1.9＝49.4秒；当a ＝1.8米时，需28步，共跑50.4米，用时为(28－1)×1.8＝48.6秒，当a ＝1.7米时，需跑30步，此时共跑51米，用时49.3秒．……由此可知当步长a 在减小时，所用时会超过49秒，舍去，故选A.二、填空题7．观察下列一组等式：①sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34； ②sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34； ③sin 245°＋cos 275°＋sin 45°cos 75°＝34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________.解析：由①②③，可知sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34成立，须β－α＝30°即可，即β＝30°＋α，所以一般结果是sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.答案：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34，答案不惟一，等价的均可8．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式—阿贝尔公式：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝L 1(b 1－b 2)＋L 2(b 2－b 3)＋L 3(b 3－b 4)＋…＋L n －1(b n－1－b n )＋L n b n则其中：(1)L 3＝________；(2)L n ＝________.解析：由题意知面积恒等关系进行等价转化(b 3－b 4)对应矩形的长为(a 1＋a 2＋a 3)；(b 2－b 3)对应矩形的长为(a 1＋a 2)…b n 对应矩形的长为(a 1＋a 2＋…＋a n )．故得结论．答案：(1)a 1＋a 2＋a 3 (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n9．设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB→＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝010．将集合{2s ＋2t |0≤s ≤t 且s ，t ∈Z }中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j >0)，则b 43＝________.解析：由数表归纳可知b 43＝24＋22＝20. 答案：20 三、解答题11．已知数列{a n }是递增的等比数列，满足a 1＝4，且54a 3是a 2、a 4的等差中项，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋1，其前n 项和为S n ，且S 2＋S 6＝a 4(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为T n ，若不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >1，a n ＝4q n －1 ∵54a 3是a 2和a 4的等差中项 ∴2×54a 3＝a 2＋a 4即2q 2－5q ＋2＝0 ∵q >1，∴q ＝2 ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1依题意，数列{b n }为等差数列，公差d ＝1 又S 2＋S 6＝32，∴(2b 1＋1)＋6b 1＋6×52＝32， ∴b 1＝2，∴b n ＝n ＋1. (2)∵a n ＝2n ＋1，∴T n ＝4(2n －1)2－1＝2n ＋2－4.不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 化为n 2－n ＋7≥λ(n ＋1)∵n ∈N *∵λ≤n 2－n ＋7n ＋1对一切n ∈N *恒成立．而n 2－n ＋7n ＋1＝(n ＋1)2－3(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9n ＋1－3≥2(n ＋1)·9(n ＋1)－3＝3当且仅当n ＋1＝9n ＋1即n ＝2时等式成立．∴λ≤3.12．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. [热点预测]13．(1)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．(2)已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( A )A.3724B.76C.1115D.715(3)已知向量OA →，AB →，O 是坐标原点，若|AB →|＝k |OA →|，且AB →方向是沿OA →的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA →经过一次(θ，k )变换得到AB →.现有向量OA →＝(1,1)经过一次(θ1，k 1)变换后得到AA 1→，AA 1→经过一次(θ2，k 2)变换后得到A 1A 2→，…，如此下去，A n －2A n －1经过一次(θn ，k n )变换后得到A n －1A n .设A n －1A n ＝(x ，y )，θn ＝12n －1，k n ＝1cos θn，则y －x 等于( B )A.2sin ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1sin 1sin 12…sin 12n －1 B.2sin ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1cos 1cos 12…cos 12n －1C.2cos ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1sin 1sin 12…sin 12n －1D.2cos ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1cos 1cos 12…cos 12n －1解析：(1)由题可以看出m 3分裂成m 个连续奇数，59为第30个奇数，7×82<30<8×92，所以59应在83的分裂中，∴m ＝8.(2)由给出的数列{a n }的10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.(3)由归纳推理知识易知B 正确．答案：(1)8 (2)A (3)B。

河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(六十四)(教师版)

课时作业(六十四)一、选择题1．执行下边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是( D )A.14B.32C.22 D. 2解析：x >1时，log 2x ＝12得x ＝2成立，而x <1时，x －1＝12得x ＝32>1与x <1矛盾，故选D.第1题图第2题图2．阅读上边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( B )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：第1次循环，S ＝1，不满足判断框内的条件，x ＝2；第2次循环，S ＝9，不满足判断框内的条件，x ＝4；第3次循环，S ＝73，满足判断框内的条件，跳出循环，输出S ＝73.3．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( A )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：k ＝1，S ＝1＋1－12＝32；k ＝2，S ＝1＋1－13＝53；k ＝3，S ＝1＋1－14＝74；k ＝4，S ＝1＋1－15＝95.输出结果是95，这时k ＝5>a ，故a ＝4.第3题图第4题图4．已知全集U ＝Z ，Z 为整数集，如上图程序框图所示，集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，B ＝{y |框图中输出的y 值}；当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝( D )A ．{－3，－1,5}B ．{－3，－1,5,7}C ．{－3，－1,7}D ．{－3，－1,7,9}解析：由程序框图的运行程序可知，集合A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，所以(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7,9}，故选D.5．如图是用模拟方法估计椭圆x 24＋y 2＝1面积的程序框图，S 表示估计的结果，则图中空白处应该填入( D )A ．S ＝N250B ．B ．S ＝N125 C ．C ．S ＝M250 D ．D ．S ＝M125解析：区间0～2构成边长为2的正方形，其面积为4，由程序框图的运行程序可知在2 000个点中落在椭圆第一象限内的点共有M 个，而椭圆自身是关于x 轴、y 轴、原点对称的，故空白处应填入M 2 000×4×4＝M125，故选D.6．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( A )A.511B.111C.3655D.7255解析：S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.第6题图第7题图7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为910，则判断框内应填入的条件是( A )A ．i >9B ．i ≥9C ．i >10D ．i ≥8解析：S ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，由S ＝910，得n ＝9，故选A.8．执行如图所示的程序框图，输入m ＝1 173，n ＝828，则输出的实数m 的值是( B )A ．68B ．69C ．138D ．139 解析：1 173÷828＝1…345,828÷345＝2…138， 354÷138＝2…69,138÷69＝2…0， ∴m ＝n ＝69，n ＝r ＝0. ∴输出的实数m 的值为69.9．定义min{a 1，a 2，…，a n }是a 1，a 2，…，a n 中的最小值，执行程序框图(如图)，则输出的结果是( C )A.15B.14C.13D.23解析：n ＝2时，a 2＝2， n ＝3时，a 3＝1a 2＝12；n ＝4时，a 4＝a 2＋1＝3，n ＝5时，a 5＝1a 4＝13；n ＝6时，a 6＝a 3＋1＝32，n ＝7时，a 7＝1a 6＝23；n ＝8时，a 8＝a 4＋1＝4，T ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，3，13，32，23，4＝13.第9题图第10题图10．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( D )A ．T >0？，A ＝M ＋W50 B ．T <0？，A ＝M ＋W50 C ．T <0？，A ＝M －W50D ．T >0？，A ＝M －W50解析：依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T >0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T <0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.二、填空题11．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．解析：第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7.答案：7第11题图第12题图12．执行上面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：313．(1)运行下图所示的程序，输入3,4时，则输出________．INPUT a ，b IF a >b THENm ＝aELSEm ＝bEND IFPRINT mENDS ←0n ←0While S ≤1 023S ←S ＋2n n ←n ＋1End While Print n第(1)题图第(2)题图(2)根据上图所示的算法，可知输出的结果为________．解析：(1)程序的功能是比较两个数的大小且输出较大的数，所以输入3,4时输出4. (2)根据算法语句可知这是一个循环结构，S n 是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前n 项和，即：S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，可见n ＝10时，S 10＝1 023，所以n ＝10时进行最后一次循环，故n ＝11.答案：(1)4 (2)11 [热点预测]14．(1)下图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S mod 10”表示自然数S 被10除所得的余数，“S /10”表示自然数S 被10除所得的商．则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为( D )A ．18B ．16C ．14D ．12第(1)题图第(2)题图(2)如图所示的程序框图中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的值所在范围为( C )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2解析：(1)法一：S ＝10，则x ＝S MOD 10＝10，y ＝S /10＝1,3(x ＋y ＋1)＝6，不符合判断条件，S ＝11，则x ＝1，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝9，不符合判断条件．S ＝12，则x ＝2，y ＝1，3(x ＋y ＋1)＝12，符合判断条件，输出S ＝12，选D.法二：由题意知，此程序的功能是寻找“徽数”，所谓“徽数”的定义是个位数与S 被10除所得的商的和加1后，再乘以3等于这个数本身，所以从选项验证可知D 正确．(2)由程序框图可知，本程序的功能是输入的三个数中输出最大的一个，现在tan θ，sin θ，cos θ，输出了sin θ，所以sin θ是最大的，在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中θ的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，34π.答案：(1)D (2)C。